lunedì 21 settembre 2020

La matematica di Gianni Rodari #15: Misure


Una questione matematica molto cara a Rodari è il concetto di misura.
Nel capitolo 37 della "Grammatica della fantasia", significativamente intitolato "La matematica delle storie", Rodari sottolinea quanto sia importante che i bambini imparino a misurare il mondo attorno a loro, preferibilmente attribuendo un connotato ludico a questa atttività:

Fondamento di ogni attività scientifica è la misurazione. Esiste un gioco per bambini che dev'essere stato inventato da un grande matematico: il gioco dei passi. Il bambino che domanda il gioco ordina ai suoi compagni, di volta in volta, di fare "tre passi da leone", "un passo da formica", "un passo da gambero", "tre passi da elefante"... Così lo spazio del gioco è continuamente misurato e rimisurato, creato e ricreato da capo secondo diverse unità di misura fantastiche. Da questo gioco possono prendere spunto esercizi matematici molto divertenti, per scoprire "quante scarpe è lunga l'aula scolastica", "quanti cucchiai è alto Carletto", "quanti cavaturaccioli ci sono dalla tavola alla stufa...". Dal gioco alla storia il passo è breve. 

Ecco, ancora una volta, la Fantastica che si sostituisce alla Logica: non sopprimendo completamente lo spirito scientifico e razionale, ma sovrapponendovi i colori della fantasia per creare una "nuova logica", più libera ma non certo priva di una sua razionalità. E questo mondo logico-fantastico è un terreno estremamente fertile per ambientarvi storie.
Ci sono due brani (già citati in puntate precedenti di questa serie) in cui questo processo è molto evidente. 

Il primo è il racconto "Pesa-di-più e Pesa-di-meno", in cui si gioca sui paradossi legati alla misurazione del peso. 

Il secondo esempio proviene dalla celebre filastrocca "A inventare i numeri" (dalle "Favole al telefono"):

"Quanto c’è da qui a Milano?"
"Mille chilometri nuovi, un chilometro usato e sette cioccolatini".
"Quanto pesa una lagrima?"
"Secondo: la lagrima di un bambino capriccioso pesa meno del vento, quella di un bambino affamato pesa più di tutta la terra".
"Quanto è lunga questa favola?"
"Troppo". 

E non è finita.
In una delle storie tratte da "Il tamburino magico", il malvagio dottor Terribilis cerca di spostare la Luna dalla sua orbita celeste, ma fallisce nel suo intento proprio perché non è molto bravo in matematica, in particolare nelle misure e nelle equivalenze:
Il grande supercrick sprigionava invano tutta la sua diabolica potenza. La Luna non si spostava di un millimetro dalla sua strada di sempre. Bisogna sapere che il dottor Terribilis, dotto e ingegnosissimo in ogni campo, era piuttosto debole nel calcolo dei pesi e delle misure del sistema metrico decimale. Nel calcolare il peso della Luna egli aveva sbagliato l’equivalenza per ridurre le tonnellate in quintali. Il supercrick era fabbricato per una Luna dieci volte più piccola e leggera della nostra. Il dottor Terribilis ruggì per il dispetto, rimontò sulla navicella spaziale e si sprofondò nello spazio...

sabato 19 settembre 2020

Probabilità rock!


Dopo il successo del calcolo combinatorio rock (ringrazio ancora tutti per la calorosa ed entusiasta risposta), è in arrivo il secondo live del mio canale "Paolo Alessandrini - Matematica"
L'appuntamento è per giovedì 24 settembre, alle ore 21
Ho scelto l'argomento che nella precedente diretta aveva ricevuto più preferenze: la teoria della probabilità! Naturalmente, anche questa volta tutto sarà... a tempo di rock! 
E anche in questa seconda diretta vedremo insieme spunti e idee di probabilità tratte (anche) dal mio libro "Matematica rock".
Vi aspetto numerosi: colleghi insegnanti, ma anche studenti, appassionati di rock, curiosi di matematica... insomma, accorrete tutti! 
Mi raccomando: iscrivetevi, se non l'avete ancora fatto, al canale!
E se volete, registratevi anche sull'evento Facebook.
A giovedì sera!

lunedì 14 settembre 2020

Carnevale della Matematica #142 su Il Post

Dopo la pausa estiva torna il Carnevale della Matematica (come potremmo farne a meno?), ospitato sulle pagine del Post dal fondatore Maurizio .mau. Codogno.
Giunto ormai a un venerando numero di edizioni (142), il Carnevale settembrino snocciola numerosi contributi provenienti da ben noti blogger come Leonardo Petrillo, Roberto Zanasi, Annalisa Santi, Peppe Liberti, Rudi Mathematici, MaddMaths!, MathIsInTheAir, lo stesso Codogno e il sottoscritto, presente questa volta con una certa abbondanza di articoli.
Buona lettura a tutti e lunga vita al Carnevale!

La matematica di Gianni Rodari #14: Matematica per pigri

In questa breve puntata della serie su Rodari e la matematica vorrei, per una volta, citare non direttamente il Maestro ma due degli innumerevoli autori che di lui hanno scritto.
Mi riferisco a Gianni Sarcone e Marie-Jo Waeber, esperti di matematica e gioco nonché autori di numerosi libri sul tema.
D'altra parte, in un sito come questo, che si autodefinisce "blog di matematica giocosa", il connubio tra gioco e matematica non può certo restare in disparte, soprattutto se si parla di un autore come Rodari.

"La matematica è per i pigri", affermano Sarcone e Waeber in un testo scritto per "La Settimana dei Bambini del Mediterraneo" e riportato sul sito Archimede's Laboratory (lic.)
È per i pigri, perché non serve contare quante uova ci sono in due dozzine: per fortuna abbiamo imparato le tabelline a scuola e sappiamo che ce ne sono 24. Così come per misurare il perimetro della Terra il pigro Eratostene risparmiò scarpe, sudore, tempo e metri da sarta e si limitò a usare due bastoncini e una formula matematica.

Insomma, la matematica è una costruzione mentale, una proiezione della nostra creatività che può tranquillamente fare a meno della realtà e, inevitabilmente, assomiglia molto al gioco. Un mind game, direbbe John Lennon.
Condivido in pieno il concetto espresso da Sarcone e Waeber: è evidente che nella matematica Rodari vedeva uno spazio di libertà, un territorio in cui l'immaginazione poteva esprimersi liberamente nello stesso modo in cui la fantasia di un bambino si esprime nel gioco.
In conclusione lascio la parola ai due autori:
Ve lo dico io, essere pigri e sognatori è una grande qualità, e ciò che fa avanzare il mondo. “E cosa c’entra il poeta Gianni Rodari?”. Rodari è un matematico della parola... Uno di quelli che conosce i congegni che muovono l’immaginazione, uno che ama le cose semplici come il gioco. E vedi, il gioco è per i pigri... Ci fa inventare, sperimentare con la fantasia tante situazioni della vita senza aver bisogno di viverle tutte! Rodari è il re dei pigri, e quindi un matematico. 
Matematica, gioco, parole, fantasia, immaginazione sono perline della stessa collana, intercambiabili: il gioco può prendere il posto della matematica, la matematica quello delle parole, e così via... Solo i pigri possono portare questa collana; per gli altri, quelli che non hanno tempo da perdere, la collana stringe al collo, è troppo stretta, non c’è spazio per la fantasia, per giocare, per matematicare o parolare. Non c’è spazio per sbagliare. 

sabato 12 settembre 2020

Calcolo combinatorio rock! Il video

Ancora un caloroso grazie a tutti gli amici che hanno assistito alla mia diretta di giovedì sul calcolo combinatorio rock!
Eravate tantissimi: una sessantina di spettatori collegati in diretta (attualmente sono quasi 350 le visualizzazioni). E tutti molto interessati, entusiasti e attivi.
Per me è stata davvero una fantastica, meravigliosa emozione: grazie di cuore a tutti!
Purtroppo, per un problema tecnico, la chat dal vivo non è più disponibile sul video stesso (il problema non si verificherà in futuro) ma la potete visualizzare a questo link.
Ed ecco il video della diretta, che potete rivedere comodamente quando desiderate:

 

Ho parlato di disposizioni, combinazioni, permutazioni, di numerazione binaria, traendo spunto dal mio libro "Matematica rock" e ingaggiando, come guide d'eccezione, band come Beatles, Pink Floyd e Coldplay. La diretta può essere utile per gli insegnanti (ho proposto spunti spendibili in chiave didattica) ma non solo: mi ha fatto molto piacere scoprire che erano collegati anche studenti, ex studenti e in genere persone curiose verso la matematica e la musica.

In anteprima vi svelo già la data del prossimo streaming: giovedì 24 alle ore 21.
L'argomento è ancora avvolto nel mistero, ma non troppo: sarà uno di quelli che voi stessi avete proposto durante la diretta di giovedì.

Mi raccomando: se non l'avete ancora fatto, iscrivitevi subito al mio canale YouTube "Paolo Alessandrini - Matematica" e attivate le notifiche, per essere costantemente aggiornati sui miei eventi!
Alla prossima diretta!

martedì 8 settembre 2020

Calcolo combinatorio... rock!

Siete pronti a un incontro del tutto inedito, in cui si parlerà di matematica a tempo di rock e in compagnia di band d’eccezione come Beatles, Pink Floyd e Coldplay?

Giovedì 10 settembre 2020, alle ore 21, sarò sul mio canale YouTube per una diretta rivolta agli insegnanti di matematica ma anche a chiunque sia curioso di argomenti matematici e musicali.
Vi suggerirò qualche spunto tratto dal mio libro “Matematica rock” e utilizzabile a scuola per trattare in modo insolito e divertente un’area della matematica spesso sottovalutata, il calcolo combinatorio.

Durante la diretta risponderò molto volentieri alle domande che mi farete.

Mi raccomando: iscrivitevi subito al mio canale YouTube e attivate le notifiche, per essere costantemente aggiornati sui miei eventi!

martedì 1 settembre 2020

Qui Matematica rock!

Qualche giorno fa, complice il mio libro "Matematica rock", ho fatto la conoscenza di una persona davvero speciale. Claudio Signorini è il creatore di un canale di matematica di grande successo, "Qui Matematica", che invito tutti a esplorare in profondità. Io e Claudio abbiamo scoperto di avere molte cose in comune: siamo entrambi veronesi, ingegneri informatici, appassionati di musica e impegnati nella divulgazione e la didattica della matematica. Per la verità abbiamo anche un'altra cosa in comune, ma credo che la scoprirete presto seguendo il canale di Claudio.
Dopo aver letto il mio libro, Claudio ha voluto intervistarmi sul suo canale: è stata l'occasione per parlare un po' di "matematica rock" e in particolare del famoso stomp-stomp-clap di "We Will Rock You".
Nel video assisterete anche a un interessante esperimento riguardante la canzone dei Queen, ma non vi rovino la sorpresa!
Buona visione!

sabato 29 agosto 2020

La matematica di Gianni Rodari #13: Altri numeri

Nella puntata n. 8 di questa serie, intitolata "Quasi numeri, meravigliardi, fanta-tabelline, unci dunci trinci", mi sono soffermato su alcune deliziose invenzioni rodariane tratte da una delle "Favole al telefono", la celebre "A inventare i numeri". Cose come:

uno stramilione di biliardoni, un ottone di millantoni, un meravigliardo e un meraviglione.

In quell'occasione, però, ho dimenticato di citare altre due favole della stessa raccolta, anch'esse contenenti analoghe invenzioni numeriche. Con questo post, breve e per una volta "poco matematico", cerco di rimediare alla dimenticanza.
Il primo brano dimenticato si intitola "Il palazzo da rompere". L'antefatto della storia è presto detto:

Una volta, a Busto Arsizio, la gente era preoccupata perché i bambini rompevano tutto.

Ma una soluzione viene trovata:

Per fortuna da quelle parti ci sono molti ragionieri. Ce n'è uno ogni tre persone e tutti ragionano benissimo. Meglio di tutti ragionava il ragionier Gamberoni, un vecchio signore che aveva molti nipoti e quindi in fatto di cocci aveva una vasta esperienza. Egli prese carta e matita e fece il conto dei danni che i bambini di Busto Arsizio cagionavano fracassando tanta bella e buona roba a quel modo. Risultò una somma spaventevole: millanta tamanta quattordici e trentatre.

Ecco quindi altri strani numeri creati da Rodari. Ma le presenze numeriche proseguono ancora:

Con la metà. di questa somma, - dimostro il ragionier Gamberoni, - possiamo costruire un palazzo da rompere e obbligare i bambini a farlo a pezzi: se non guariscono con questo sistema non guariscono più. La proposta fu accettata, il palazzo fu costruito in quattro e quattro otto e due dieci. Era alto sette piani, aveva novantanove stanze (...)

Effettivamente l'idea di Gamberoni funziona. I bambini distruggono l'intero palazzo ma poi risultano completamente guariti dalla loro sindrome vandalica. Ed ecco che nel computo dei risparmi compare un numero inventato già presente in "A inventare i numeri":

Il Rag. Gamberoni fece i conti e dimostrò che la città di Busto Arsizio aveva realizzato un risparmio di due stramilioni e sette centimetri.

In un'altra delle "Favole al telefono", precisamente "Il naso che scappa", accade qualcosa di molto simile alla celebre vicenda narrata da Gogol: un naso fugge dalla faccia di un signore, finisce nella rete di un pescatore del Lago Maggiore e poi al mercato, tra tinche e lucci, dove viene avvistato dalla domestica del legittimo proprietario del naso.

La domestica corse a informare il suo padrone. 
“Dagli quello che domanda! Voglio il mio naso!”.
La domestica fece il conto che ci voleva un sacco di denaro, perchè il naso era piuttosto grosso: ci volevano tremendamila lire, tredici tredicioni e mezzo. 

Ecco qui. Evidentemente il divertimento nell'inventare parole dal significato numerico era per Rodari così irresistibile da ricorrere spesso nella sua produzione. Mi sembrava davvero un peccato tralasciare queste due perle, così vi chiedo perdono per essere tornato per un attimo sui miei passi a recuperarle. Alla prossima puntata!

sabato 22 agosto 2020

La matematica di Gianni Rodari #12: Ancora geometria


Nelle già citate "Filastrocche in cielo e in terra" si trova la poesia "Il mercante di diametri", con la quale restiamo anche questa settimana in ambito geometrico:

Un cerchio ragionò:
Con tanti diametri che ho,
perché non ne vendo un po’?
Così si fece mercante
e andava per i mercati
a vendere diametri sigillati.
A chi ne comprava tre
dava in omaggio
un raggio.
Tutto questo succedeva
in un paese nebbioso,
dove anche un raggio di cerchio
sembra tanto luminoso.

In un articolo pubblicato l'anno scorso su Repubblica, Sandra Lucente afferma giustamente che questa poesia "starebbe bene tanto per introdurre una conferenza di matematica sull'ipotesi del continuo quanto una lezione di astrofisica sulla curvatura dei raggi di luce".
In effetti, l'idea dalla quale parte Rodari è l'infinità dei diametri di un cerchio: questione apparentemente scontata, ma sulla quale vale invece la pena di soffermarsi almeno un attimo.

Euclide in una statua posta
presso l'Università di Oxford.
Secondo Euclide, il punto, ente fondamentale della geometria, è "ciò che non ha parti". La concezione del punto privo di dimensione è molto più avanzata di quella pitagorica, che vedeva nel punto un elemento granulare dotato di misura, per quanto piccola. Per i pitagorici ogni segmento era formato da un numero finito di punti messi in fila: la misura del punto era quindi un divisore comune a tutti i segmenti possibili, cioè tutti i segmenti erano tra di loro commensurabili.

Quando i pitagorici, con loro sommo orrore, scoprirono invece che esistono segmenti tra di loro incommensurabili (per esempio il lato e la diagonale del quadrato), si resero conto che la loro visione granulare del punto geometrico non poteva stare in piedi. Fu in quel momento di drammatica crisi della matematica antica che prese piede la concezione euclidea del punto senza misura e senza parti.
Quanti punti di questo tipo possono stare in un segmento? Infiniti, ovviamente. Ma Euclide si guardò bene dall'usare lo scivoloso concetto dell'infinito: per lui alla domanda precedente si rispondeva (in modo equivalente) affermando che tra due punti qualunque di una retta si può sempre inserire almeno un punto intermedio.
Da qui a stabilire che su una circonferenza ci sono infiniti punti il passo è abbastanza breve.
La circonferenza goniometrica


D'altra parte, se pensiamo in termini "goniometrici", ogni punto della circonferenza può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'intervallo dei numeri reali compresi tra 0 e 2π. 
Ogni punto P sulla circonferenza, infatti, corrisponde a un angolo θ 
che, misurato in radianti, può valere da zero (quando P coincide con A) fino a 2π (passando per B, C, D e tornando ad A dopo un giro completo).
Ora, dato che 0 è minore di 2π, l'intervallo reale [0, 2π] contiene una quantità di numeri che non solo è infinita, ma addirittura non può nemmeno essere messa in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. In altre parole, non possiamo metterci a elencare tutti i numeri da 0 a 2π uno per uno, proprio per il fatto che tra uno e l'altro potremmo sempre infilarcene un altro ancora, e questo processo non avrebbe mai fine.
Georg Cantor definì come "continuo" e indicò con c questo livello di infinito superiore a quello dei numeri naturali. Se i punti sulla circonferenza sono infiniti (e che infinito!), è evidente che lo sono anche i suoi diametri. Ed ecco il cerchio di Rodari che, divenuto commerciante, decide di venderli.
Tanto, come mostrò lo stesso Cantor, togliendo a un numero finito si ottiene ancora c.
Un affarone, non c'è che dire, per il furbo cerchio!

giovedì 13 agosto 2020

La matematica di Gianni Rodari #11: Geometria

Per questa breve e leggera puntata ferragostana della serie dedicata a Rodari e alla matematica, mi sembra appropriato parlare di estate, di vacanze e quindi di... compiti per le vacanze.
Qualche anno fa si era parlato molto di un professore (credo di lettere) di un liceo di Fermo, che aveva assegnato ai suoi studenti una lista di compiti molto insolita e suggestiva: anziché versioni di latino o analisi di testi letterari, il prof aveva raccomandato ai ragazzi di essere allegri, liberi, felici.

Ebbene, in "Problemi di stagione", brano incluso nelle "Filastrocche in cielo e in terra" pubblicate nel 1960 (molti, molti anni prima della lista del prof di Fermo), Gianni Rodari propose qualcosa di molto simile: ma condì il tutto con un pizzico di geometria, in modo da far assomigliare davvero il poetico invito a un difficile problema matematico.


«Signor maestro, che le salta in mente?
Questo problema è un'astruseria,
non ci si capisce niente:

trovate il perimetro dell'allegria,
la superficie della libertà,
il volume della felicità…

Quest'altro poi
è un po’ troppo difficile per noi:

Quanto pesa una corsa in mezzo ai prati?

Saremo certo bocciati!»

Ma il maestro che ci vede sconsolati:
«Son semplici problemi di stagione.
Durante le vacanze
troverete la soluzione».


Buon Ferragosto a tutti, e mi raccomando: risolvete anche voi i problemi di Rodari!

lunedì 27 luglio 2020

Le Biblioteche Totali

Il racconto "La biblioteca di Babele" di Jorge Luis Borges è una delle miniere d'oro più generose per ogni divulgatore matematico.
Anch'io, nel mio piccolo, non ho saputo resistere al fascino del claustrofobico, vertiginoso e bellissimo universo descritto dallo scrittore argentino e ne ho parlato spesso, per esempio in questa video-conferenza.

L'attrazione fatale della Biblioteca non ha conquistato solo matematici, critici letterari e scrittori, ma anche filosofi, architetti, scienziati, informatici e illustratori. Per esempio c'è un problema aperto relativo alla forma della Biblioteca, sul quale molte menti brillanti si sono interrogate. E questo si ripercuote sul problema di rappresentarla graficamente: tra i tentativi più brillanti quello di un programmatore americano, Jamie Zawinski. Ho utilizzato alcune delle sue immagini per impreziosire questo post.

La Biblioteca è formata da un numero indefinito di sale esagonali, ciascuna delle quali ospita 4 pareti adibite a librerie. Ogni parete è composta da 5 scaffali e ogni scaffale contiene 32 libri. I libri hanno tutti lo stesso formato: 410 pagine, ciascuna delle quali si compone di 40 righe, e ogni riga contiene irrimediabilmente 80 lettere di colore nero.
Ciascun libro risulta così formato da una successione di 410 ∙ 40 ∙ 80 = 1.312.000 caratteri. Ogni esagono contiene 4 ∙ 5 ∙ 32 = 640 libri, che corrispondono quindi a 640 ∙ 1.312.000 = 839.680.000 simboli.
Ma quanti libri e quanti simboli ci sono in tutta la Biblioteca? Non lo sappiamo, perché non è noto il numero degli esagoni che la compongono.

Tuttavia, possiamo dire quanti libri diversi del formato indicato da Borges possono esistere: basta applicare le formule del calcolo combinatorio e determinare il numero di diverse sequenze di 1.312.000 simboli esistenti. Visto che i caratteri diversi utilizzati nei libri della Biblioteca sono 25 (22 lettere più lo spazio, il punto e la virgola), è facile dedurre che esistono in tutto 251.312.000 diversi libri di quel formato. Questo numero equivale a circa 101.834.097, cioè a 1 seguito da circa un milione e ottocentomila zeri. Una quantità finita ma spaventosamente grande, non c'è che dire. Se anche un libro avesse le dimensioni di un atomo, non ci sarebbe spazio a sufficienza nell'intero universo per ospitare tutti questi volumi: il numero di atomi contenuti nell'universo conosciuto si aggira intorno a 1080, che è un numero incomparabilmente minore. Insomma, occorrerebbe una quantità mostruosamente grande di universi per contenere i libri possibili!

Nonostante sia fisicamente assurdo, nel corso del racconto Borges ci informa che la Biblioteca è totale, cioè comprende sicuramente tutti quei 101.834.097 libri possibili (ma è possibile che di un libro esistano più copie, forse persino infinite copie). Il passo del racconto in cui viene fornita questa informazione è particolarmente intenso e drammatico:
Da queste premesse incontrovertibili dedusse che la Biblioteca è Totale, e che i suoi scaffali registrano tutte le possibile combinazioni dei venticinque simboli ortografici (numero anche se vastissimo, non infinito) cioè tutto ciò che è dato di esprimere in tutte le lingue. Tutto: la storia minuziosa dell’avvenire, le autobiografie degli arcangeli, il catalogo fedele della biblioteca, migliaia e migliaia di cataloghi falsi, la dimostrazione delle falsità di questi cataloghi, la dimostrazione della falsità del catalogo fedele, l'evangelo gnostico di Basilide, il commento del commento di questo vangelo, il resoconto veridico della tua morte, la traduzione di ogni libro in tutte le lingue, le interpolazioni di ogni libro in tutti i libri. 
Qualche settimana fa ho avuto il piacere di conoscere una persona con la quale ho riscontrato una singolare convergenza di interessi intellettuali. Giorgio Chini, questo il suo nome, è un ingegnere elettronico dalle vaste e profonde frequentazioni culturali. Dopo aver letto il mio libro "Matematica rock", ha voluto farmi notare l'analogia tra un passaggio del capitolo dedicato a pi greco, in cui mi soffermavo sui numeri normali, e un articolo (si veda figura a lato) che lui stesso scrisse intorno al 1985 traendo ispirazione proprio dalla "Biblioteca di Babele" di Borges.
L'intuizione centrale dell'articolo di Chini è quella di immaginare un equivalente "musicale" della Biblioteca di Babele. Fin da subito l'ho trovata estremamente suggestiva, al punto da indurmi a scrivere questo post e suscitare nella mia mente ulteriori idee, domande e approfondimenti.
All'epoca della stesura dell'articolo di Giorgio, il CD (Compact Disc) rappresentava una tecnologia di recente introduzione: come tale, costituiva l'ideale punto di riferimento per consentire una trasposizione del concetto borgesiano di Biblioteca Totale dal mondo della parola scritta a quello dei suoni.

Com'è spiegato nell'articolo, il segnale musicale viene campionato a intervalli di tempo regolari, precisamente 44100 volte al secondo. Ogni campione è costituito da un numero binario di 16 bit, mediante il quale viene codificata l'informazione relativa al segnale sonoro nell'istante in esame. Partendo da questi dati, è possibile intraprendere un ragionamento analogo a quello suggerito dal racconto di Borges: fissando per semplicità a un'ora la durata convenzionale di un CD, si calcola un totale di 60 ∙ 60 ∙ 44100 ∙ 16 = 2.540.160.000 bit contenuti in un disco. Il numero dei CD possibili è allora uguale a 22540160000, che equivale a circa 10750.000.000: un numero finito, certo, ma spaventosamente maggiore del numero dei libri borgesiani possibili.

A maggior ragione rispetto alla Biblioteca di Babele, questa gigantesca Biblioteca Totale dei Suoni non potrebbe nemmeno lontanamente starci nel nostro universo, anche immaginando di poter ridurre ogni CD alle dimensioni di un atomo.
Che cosa si troverebbe in questa smisurata biblioteca sonora? Ritorna il tema vertiginoso, già esplorato da Borges, della totalità della Biblioteca: in questo caso troverebbe posto qualsiasi successione dei fatidici 10750.000.000 bit, cioè ogni sequenza sonora della durata di un'ora. Chini illustra il concetto in questo bellissimo passo:
La maggior parte dei dischi conterrà un rumoraccio fastidioso e indecifrabile ma sempre diverso, così come nella Biblioteca c'è un sol libro che è, da cima a fondo, la ripetizione delle lettere MCV. Ma tanti dischi invece avranno senso: conterranno ad esempio il Requiem di Mozart in tutte le possibili esecuzioni, compresa quella che ho io in casa che è su un disco di vinile con un graffio, e anche quelle con tutte le possibili stecche di ogni orchestrale. Ci sarà l'Inverno come lo ha suonato Vivaldi appena lo ha composto, e un'esecuzione del Tannhauser dove la noia è interrotta dall'oboista che, al posto della sua parte, comincia a suonare "Space Oddity"; ci sarà la musica che Stockhausen non ha ancora scritto, e quella che Claudio Baglioni purtroppo ha già scritto.
Ma non solo la musica fa parte dei suoni. Se qualcuno di voi ha mai dormito in un prato, quando si è svegliato avrà sentito un rumore di un grillo; nella Biblioteca dei Suoni c'è: c'è anche il dischetto in cui quel dolce trillo è proprio nel mezzo al fragore della bomba di Hiroshima. C'è anche il rumore del caffè che passa in tutte le caffettiere possibili e quello dei passi di ognuno di noi su qualunque terreno, facile o duro che sia al nostro piede.
E poi tra i suoni ci sono le voci: quella di me stesso che leggo questo articolo, tutte le gaffe di Ronald Reagan, le parole dette da Dio a Mosè sul Sinai. Se Dio non esiste, come io penso, non importa: qualunque cosa avrebbe potuto dire, in qualsiasi lingua, nella Biblioteca c'è. Tutto quello che hanno detto tutti gli uomini, vissuti e non, è presente.
La voce tremante di chiunque dica "Io ti amo", quella che risponde "Io no", e quella di chi invece, felice tanto da piangere, dice "Anche io", sono tutte nella Biblioteca. Là ognuno può trovare il disco che lo condanna alla disperazione e quello in cui il proprio amore è ricambiato, però non potrà sapere su quale dei due è registrata la realtà.
A distanza di 35 anni, l'idea di Chini ne ha generata un'altra nella mia testa: perché non pensare anche a una Biblioteca Totale dei Film possibili?
Anche in questo caso dobbiamo fissare qualche parametro convenzionale, perché gli standard video e audio utilizzati in ambito cinematografico e televisivo costituiscono un mondo molto complesso e variegato. Ricorrendo alle specifiche emesse dal consorzio "Digital Cinema Initiatives" (DCI), diciamo di adottare i seguenti parametri:
1) per il video, una velocità di 24 fotogrammi al secondo, con un formato immagine di 2048 per 1080 pixel, e 36 bit per codificare l'informazione del colore di un singolo pixel;
2) per l'audio, 48.000 campioni al secondo e 24 bit per codificare un singolo campione.
Inoltre fissiamo una durata di due ore per ogni film della nostra Biblioteca.

Quanti sono i film possibili? Eseguendo un calcolo analogo ai precedenti si trova che:
1) per racchiudere l'informazione video di un intero film servono 2 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 36 ∙ 2048 ∙ 1080 = 13.759.414.272.000 bit;
2) per quanto riguarda l'audio, sono necessari 2 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 48.000 ∙ 24 = 8.294.400.000 bit.
Complessivamente ci servono circa 13.767 Gbit (ovviamente il video la fa da padrona).
I miei lettori si staranno certamente chiedendo perché non faccio alcuna menzione della possibilità di comprimere il pacchetto di informazioni: ebbene, è chiaro che questo è concretamente possibile (e fondamentale ai fini dell'efficienza del sistema), ma da un punto di vista concettuale non impatta sul conteggio dei distinti film possibili (d'altra parte, è facile dimostrare che qualsiasi algoritmo di compressione rimpicciolisce alcuni tipi di file - ovviamente quelli statisticamente più frequenti - ma ne ingrandisce altri)
Quanti sono in definitiva i film possibili? Il calcolo è sempre lo stesso: dobbiamo elevare 2 a 13.767 miliardi, ottenendo qualcosa come 10414.427.995.031.
Prevedibilmente, il numero che risulta è molto maggiore di quello trovato per la Biblioteca Totale dei Suoni: è una quantità inconcepibile e spaventosamente colossale.

Anche in questa Biblioteca Totale dei Film c'è tutto. Come al solito, nella maggior parte dei dischi ci sono sequenze video incomprensibili e insensate, accoppiate a colonne sonore fatte unicamente di rumori senza significato. Ma da qualche parte ci sono anche tutti i film di Chaplin, Kubrick, Allen, Antonioni e di tutti i registi della storia del cinema. Ci sono i film che loro avrebbero voluto realizzare ma non hanno realizzato e tutte le varianti possibili, comprese le più assurde, dei loro film. Per esempio c'è "2001 Odissea nello spazio" con la colonna sonora costituita da pezzi metal al posto dei valzer di Strauss, c'è "Il grande dittatore" con le scene girate su Marte, c'è "Zabriskie Point" doppiato in lingua klingon, c'è "C'era una volta in America" con Aristotele in carne e ossa al posto di Robert De Niro, e così via.
Ovviamente non ci sarebbero soltanto film in senso stretto, ma anche combinazioni qualsiasi di video e audio. Ci sono le vere registrazioni della formazione della Terra, della morte dell'ultimo dinosauro, della prima volta in cui un uomo primitivo è riuscito ad accendere un fuoco, della nascita e della crocifissione di Cristo, della fase finale della battaglia di Waterloo. In uno dei film potreste rivivere tutti i sogni che avete fatto nelle ultime notti (e tutti gli altri sogni della vostra vita sono sicuramente custoditi in altri dischi). In un altro ci sono le puntate di Goldrake che io ho visto in TV in un pomeriggio del 1979: nei fotogrammi si vede non solo il cartone animato, ma anche il televisore che c'era a casa mia allora e parte della stanza, e la colonna sonora è la registrazione originale delle parole che Giulio Cesare pronunciò quando fu aggredito e accoltellato a morte.
Tranquilli, in un disco c'è anche il film della vostra morte: in sovraimpressione è riportata la data e l'ora in cui essa avverrà. Però c'è un numero incalcolabile di altri film che mostrano versioni alternative della vostra morte: a voi indovinare qual è il film "giusto". Ed esiste una sequenza di dischi (l'unico problema è trovarli e metterli in ordine) che documentano in ogni dettaglio tutta la vostra vita, tutto quello che i vostri occhi e le vostre orecchie hanno percepito da quando siete nati fino a ora e anche nel futuro. La stessa cosa vale per tutti gli altri abitanti del mondo, anche quelli che non ci sono più, quelli che non ci sono ancora e perfino quelli che non ci saranno mai.
Insomma, tutta la vita di ogni possibile essere umano (o non umano), ogni fatto accaduto (o non accaduto) nell'universo in ogni epoca passata, presente e futura: tutto, proprio tutto è custodito in questa incredibile Biblioteca.
Mi fermo qui perché continuare potrebbe far girare la testa, sia a voi che a me, e concludo con un caloroso grazie all'amico Giorgio Chini.

venerdì 24 luglio 2020

La matematica di Gianni Rodari #10: Calcolo combinatorio

Dai post che ho finora pubblicato, qualcuno avrà forse pensato di poter dedurre una facile conclusione: le questioni e le nozioni matematiche di cui Rodari si serve nelle proprie opere appartengono tutte all'aritmetica o alla geometria di base, insomma a quel bagaglio di conoscenze che viene insegnato nelle classi della scuola primaria.
Questo sarebbe anche coerente con la fama di gigante della letteratura per l'infanzia di cui gode Rodari.
Ma sarebbe una conclusione affrettata.
Lo scrittore di Omegna ha scritto anche poesie e racconti rivolti agli adulti e nel secondo articolo della serie avevo mostrato anche un esempio significativo: la poesia "Insiemi" pubblicata nel 1968.
In questi pezzi, dato il carattere più maturo e smaliziato del pubblico di riferimento, Rodari si concede alcune libertà che nei brani per bambini sono ovviamente assenti: argomenti  più "adulti", toni allusivi e ironici, un lessico più ricercato. E perché no, una matematica più elevata.
Già, perché in uno di questi brani per lettori "cresciuti", il racconto "Il discorso inaugurale" (pubblicato il 16 settembre 1960 su "Paese sera" e nel 1989 nella raccolta postuma "Il giudice a dondolo"), Rodari arriva a fondare l'intera narrazione su un problema di calcolo combinatorio.
Il racconto inizia così:
- Signor presidente - esordì il ministro.
- Signore - aggiunse il ministro.
- Signori - concluse per il momento il ministro. Quasi tutti fecero silenzio e alcuni si misero anche le dita nel naso. Il ministro proseguì.
- Mi era stato rispettosamente suggerito da taluno dei miei segretari di premettere al discorso che andrò a pronunciare l'efficacissimo preambolo della allocuzione con cui, il 27 gennaio 1932, inaugurai la storica fiera dei polli di Massafiscaglia, mentre persone a me legate da lunga ed affettuosa parentela avrebbero preferito vedermi scegliere i primi due periodi dell'orazione da me detta, or fanno tre anni, nella nobile città di Ascoli Piceno, scoprendovisi il busto dell'entomologo di chiarissima fama, professor N. H. Gualtiero Pisanti-Pisanetti, nel cinquantenario della morte della sua balia.
- Vi confesserò signori, che non ho tenuto conto alcuno di tali consigli. I numerosi lustri di ininterrotta permanenza nei governativi Gabinetti mi hanno consentito di accumulare nei miei archivi trentatré discorsi completamente dattiloscritti a spazio doppio, ognuno dei quali è divisibile in diciotto elementi autonomi e automobili, per un totale di cinquecentonovantaquattro elementi liberamente componibili come i frammenti di una tenia per formare nuovi discorsi. Quante diverse combinazioni di diciotto elementi cadauna sono possibili con la suddetta disponibilità di elementi numero cinquecentonovantaquattro? 
Eccolo, il problema. Riassumiamolo. Nell'archivio del ministro ci sono 594 "elementi" diversi. Un discorso è composto da 18 di questi elementi. Il problema è quindi determinare in quanti modi possiamo scegliere 18 oggetti da un insieme di 594 oggetti.
Chi mastica un po' di calcolo combinatorio sa che il termine usato da Rodari, combinazioni, è proprio quello tecnicamente corretto.
Più precisamente, in questo caso si tratta di determinare il numero di "combinazioni semplici di 594 oggetti di classe 18" ("semplici" perché non sono ammesse le ripetizioni del medesimo elemento, altrimenti parleremmo di combinazioni "con ripetizione").
Se fosse rilevante l'ordine con il quale compaiono i 18 elementi nel discorso, si potrebbe fare un ragionamento di questo tipo: il primo elemento viene scelto tra tutti i 594 elementi; il secondo, dovendo essere diverso, tra 593; il terzo tra 592 e così via. Quindi il numero di modi di accodare 18 elementi sarebbe uguale a 594 · 593 · ... · 579 · 578 · 577 (si arriva fino a 577 perché il prodotto deve comprendere 18 fattori).
Ma nel nostro problema il modo in cui i 18 elementi sono ordinati non conta: quindi dobbiamo dividere quel prodotto per il numero di diversi possibili ordinamenti di una sequenza di 18 oggetti.
Questo numero equivale al prodotto 18 · 17 · 16 · ... · 3 · 2 · 1, altrimenti detto fattoriale di 18.
La formula diventa quindi:

Per indicare questo quoziente in modo più compatto, i matematici utilizzano la seguente scrittura:
e indicano il quoziente come coefficiente binomiale "594 su 18".
Non è difficile rendersi conto che questo numero può diventare molto grande: basta che il numero complessivo di oggetti a disposizione (che compare in alto nel coefficiente binomiale) sia significativamente maggiore del numero di oggetti da estrarre per costruire le combinazioni (che compare in basso).

Ma vediamo come il racconto prosegue.
Attenzione: a un certo punto c'è un errore. Cercate di individuarlo!

Al sottile quesito il mio segretario particolare si sforzò di dare una risposta applicando la formula:
n x (n-a) più l'on. Togni Giuseppe
----------------------------------------
    18 x l'on. Pella Giuseppe
con la quale ottenne l'ambiguo totale di antamilasettecentoanta, che mi lasciò notevolmente freddo.
- Il gabinetto di analisi matematica di Settecamini, da me all'uopo interpellato, applicò invece la formula:
           n fattoriale
a)        ---------------------------------
           c fattoriale (n-c) fattoriale


- Dando gratuitamente e generosamente a "n", che mi era stato raccomandato dal mio sottosegretario, a nome di monsignor Fiorenzo Mattoni, il valore di 594 e a "c" il valore di 18, si ottenne con estrema facilità, e senza colpo ferire:
             594 fattoriale
b)        ---------------------------------------
           18 fattoriale (594-18) fattoriale

- Questo primo successo, oltre a galvanizzare le energie dei ricercatori, permise di togliere di mezzo un gran numero di fattoriali, che furono abbandonati al loro squallido destino. Nessuno li degnò di una lagrima.
(Voci: Bene!)
- L'iter della pratica si presentava ora alla nostra mente con chiarezza solare, anzi oserei dire, nel quadro delle nostre migliori tradizioni mediterranee: 
             577 x 578 x 579 x ... x 592 x 593 x 594
           ------------------------------------------------
           1 x 2 x 3 x ... x 16 x 17 x 18

Il citato gabinetto, purtroppo, non disponeva né di una calcolatrice elettronica né di un efficiente pallottoliere. Le operazioni dovevano essere eseguite tutte a mano e a matita, su carta vergatina formato 18x24. Si assunsero il delicato incarico sette allievi dell'esimio professor Rodolfo Caprini-Capretti-Cerotti di San Babaleo. Fedeli al motto dei padri, divide et impera, gli audaci si divisero tra loro le moltiplicazioni: conquistarono d'assalto le trincee dei prodotti parziali, li sommarono tra loro con grande sprezzo del pericolo, e all'alba di una smagliante domenica di primavera, carica di auspici per i destini della patria e della fede, ottennero il risultato finale.
- In cifre, signori: 79.450.745.379.459.
- In lettere: settantanove trilioni, quattrocentocinquanta miliardi, settecentoquarantacinque milioni, trecentosettanovemilaquattrocentocinquantanove. Trascuro i decimali: li lascio all'opposizione.
(Applausi scroscianti. Voci: - Così si difende l'Occidente dal comunismo!)

Il racconto prosegue poi senza più particolari riferimenti matematici, ma amplificando la componente di arguta satira verso le storture retoriche di certa politica.
Ma... avete trovato l'errore commesso da Rodari?
No, non ve lo svelo qui, non voglio rovinarvi il piacere della scoperta.
Chi lo dovesse trovare me lo faccia sapere, attraverso i commenti al post o tramite la pagina Facebook o via mail. Il vincitore della sfida sarà certamente ricordato negli annali di Mr. Palomar!
Buona caccia, cari lettori, e appuntamento alla prossima puntata!

domenica 12 luglio 2020

La matematica di Gianni Rodari #9: Più uno!

Nella puntata precedente di questa serie ho parlato dei numeri fantastici introdotti da Rodari nel classico "A inventare i numeri". Tra i nomi inventati, alcuni erano presumibilmente da associare a quantità grandi, forse gigantesche (mi riferisco ovviamente allo "stramilione di biliardoni", all'"ottone di millantoni", al "meravigliardo" e al "meraviglione").

Quando si parla di numeri grandi, inevitabilmente si finisce per parlare anche di un concetto matematico tanto suggestivo quanto scivoloso: l'infinito.
Questo perché salendo sempre più alto nell'ascensore dei numeri grandi, ci si dirige verso l'infinito, e si crede anche di avvicinarsi a questa "meta", quando ovviamente essa rimane sempre lontana e irraggiungibile.
In un video che trovate qui avevo sfiorato la questione citando un racconto di Cesare Zavattini del 1931: il famoso giornalista e sceneggiatore descriveva una surreale "gara di matematica" che premiava chi diceva il numero più alto. A un certo punto della competizione, il padre del narratore prende il largo declamando un numero che sembra non finire mai: "Un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi..."
Ma alla fine (attenzione, spoiler - ma il finale l'avevo già svelato qui) uno degli avversari urla "Più uno", e si aggiudica il premio, tra i singhiozzi del protagonista.

Rodari riprende l'idea di Zavattini nella poesia "Più uno", che riporto di seguito:

C’era una volta un tale
che voleva trovare
il numero più grande del mondo.

Comincia a contare
e mai si stanca:
gli viene la barba grigia,
gli viene la barba bianca,
ma lui conta, conta sempre
milioni di milioni
di miliardi di miliardi
di strabilioni
di meraviglioni
di meravigliardi…
In punto di morte scrisse un numero
lungo dalla Terra a Nettuno.
Ma un bimbo gridò: “Più uno!”.

E il grande calcolatore
ammise, un poco triste,
che il numero più grande
del mondo non esiste!

Avrete notato che anche qui Rodari cita i suoi amati meraviglioni e meravigliardi già presenti in "A inventare i numeri", e gli strabilioni parenti dello stramilione ivi menzionato.
La storiella del tipo (un signore beffardo per Zavattini, uno spiazzante bambino in Rodari) che aggiunge uno a un numero e vince la gara, benché accattivante per chi non l'ha mai sentita prima, potrebbe sembrare scontata a molti altri.

Giuseppe Peano
Un elemento d'interesse dal punto di vista squisitamente matematico è la nozione di numero "successore" che sottende quella fatidica aggiunta dell'unità. Giuseppe Peano la utilizzò per formulare i celebri assiomi che definiscono i numeri naturali:
1) esiste un numero naturale detto zero;
2) ogni numero naturale ha un numero naturale successore;
3) numeri naturali diversi hanno successori diversi;
4) lo zero non è il successore di alcun numero naturale;
5) ogni sottoinsieme A di numeri naturali contenente lo zero e il successore di ogni elemento contenuto in A coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione).

Il bambino che nel racconto di Rodari grida "più uno!" non fa altro che applicare gli assiomi di Giuseppe Peano.
Il secondo assioma, infatti, ci assicura che il grido del bambino produrrà un numero naturale, e non una mostruosità senza capo né coda.
Il terzo assioma ci garantisce che questo numero naturale è diverso da tutti i precedenti, in quanto successore di un numero diverso dai precedenti.
Il quarto assioma ci toglie il pensiero di essere caduti in un loop e di esserci accartocciati sullo zero di partenza.
Nel primo capitolo di "Matematica rock", che proprio oggi compie un anno dalla sua uscita, avevo fatto notare come il mondo aritmetico evocato dal testo della celebre canzone "Rock Around the Clock" sia una perfetta incarnazione del secondo e del terzo assioma di Peano.
Mancando lo zero, vengono ignorati il primo, il quarto e il quinto assioma, cosicché dopo il 12 si è autorizzati a ritornare sull'1, dando vita a una sequenza numerica che cicla all'infinito tra 1 e 12 e ci fa pensare all'aritmetica modulare (o dell'orologio) ideata da Gauss.

A ben vedere, quel grido "più uno" mi sembra anche un magnifico grido di libertà, di certezza di poter sempre salire di un gradino sulla "scala verso il Paradiso" dei numeri naturali: proprio in virtù del suo carattere discreto, numerabile. Come dire: non sarà bello non poter mai arrivare a destinazione, ma è rassicurante poter avanzare sempre senza ostacoli, avere sempre un successore diverso verso il quale approdare, consapevoli di essersi innalzati un pochino rispetto a prima.

martedì 7 luglio 2020

Cicerone, i dadi e la scimmia

Nella sua opera teologica "De divinatione", del 44 a. C., Cicerone espone una riflessione che, seppure in modo superficiale e incompiuto, anticipa di molti secoli non soltanto gli studi sulla teoria della probabilità ma anche i calcoli che portarono Borel al teorema della scimmia instancabile:
Perché stai a domandare, Carneade, per qual motivo queste cose avvengano o con quale arte possano essere comprese? Io confesso di non saperlo, ma affermo che tu stesso devi riconoscere che avvengono. "Per caso", dici tu. Ma davvero può accadere per caso ciò che ha in sé tutti i caratteri della verità? Quattro dadi, lanciati a caso, danno il "colpo di Venere"; ma se lancerai quattrocento dadi, e otterrai il colpo di Venere per tutte e cento le volte, crederai che ciò sia dovuto al caso? Dei colori schizzati a caso su una tavola possono produrre i lineamenti di un volto; ma crederai che schizzando colori a caso si possa ottenere la bellezza della Venere di Coo? Se una scrofa col suo grifo avrà tracciato sul terreno la lettera A, la crederai per questo capace di scrivere l'Andromaca di Ennio? Carneade immaginava che nelle cave di pietra di Chio, in seguito alla spaccatura di un macigno, fosse venuta in luce per caso la testa di un piccolo Pan: sono disposto a credere che si trattasse di una qualche forma somigliante, ma certamente non tale da potere essere giudicata opera di Scopa. Le cose, non c'è dubbio, stanno così: il caso non può mai imitare perfettamente la verità.
Come dire: la famosa scimmia di Borel, messa davanti a un computer, produrrebbe sequenze di caratteri totalmente insensate oppure, con un po' di fortuna, testi simili a brani noti o parzialmente dotati di un qualche barlume di significato: non certo, dice Cicerone, qualcosa di perfettamente sensato o identico all'originale.
Cicerone sbagliava perché non considerava l'eventualità che il tentativo potesse durare per un tempo infinito: ma questa è un'altra storia.

venerdì 3 luglio 2020

La matematica di Gianni Rodari #8: Quasi-numeri, meravigliardi, fanta-tabelline, unci dunci trinci

Quasi sette anni fa pubblicai un trittico di post: dopo la prima e la seconda parte, l'ultima riportava un celebre e delizioso brano di Rodari, intitolato "A inventare i numeri" e tratto dalle "Favole al telefono":

- Inventiamo dei numeri?
- Inventiamoli, comincio io. Quasi uno, quasi due, quasi tre, quasi quattro, quasi cinque, quasi sei.
- È troppo poco. Senti questi: uno stramilione di biliardoni, un ottone di millantoni, un meravigliardo e un meraviglione.
- Io allora inventerò una tabellina:
   tre per uno Trento e Belluno
   tre per due bistecca di bue
   tre per tre latte e caffè
   tre per quattro cioccolato
   tre per cinque malelingue
   tre per sei patrizi e plebei
   tre per sette torta a fette
   tre per otto piselli e risotto
   tre per nove scarpe nuove
   tre per dieci pasta e ceci.
(...)
 - Allora inventiamo in fretta altri numeri per finire. Li dico io, alla maniera di Modena: unci dunci trinci, quara quarinci, miri miminci, un fan dès.
- E io li dico alla maniera di Roma: unzi donzi tenzi, quale qualinzi, mele melinzi, riffe raffe e dieci.

Il pezzo è interessante perché propone una gustosa collezione di nomi di numeri, ma ogni parte del brano evoca considerazioni diverse dal punto di vista matematico.

I nomi introdotti all'inizio (quasi uno, quasi due, quasi tre, quasi quattro, quasi cinque, quasi sei) mi fanno pensare ai limiti: "quasi uno" mi sembra un modo meravigliosamente naif per indicare una funzione che tende a 1 quando la variabile indipendente si avvicina a un qualche valore. Come dire: quando la variabile indipendente è molto vicina a quel valore, la funzione vale "quasi uno".

La parte successiva, invece, fino a pasta e ceci, suggerisce riflessioni di tutt'altro genere.
Come scrivevo nelle prime due parti del trittico del 2013, dare dei nomi ai numeri è lo scopo principale dei sistemi di numerazione. Non è un esercizio fine a se stesso: è l'essenza del meccanismo che ci permette di contare, usare i numeri in modo efficiente, fare calcoli e avere una matematica che si rispetti.
L'idea del sistema posizionale, concepita già dai Sumeri e perfezionata (con la base decimale) dagli Indiani e dagli Arabi, rappresenta un marchingegno geniale in base al quale ogni possibile quantità intera viene automaticamente associata sia a una sequenza di cifre (scelte da un insieme finito), sia a una parola o in generale un'espressione costituita da parole (che ovviamente varia a seconda delle lingue).
Per esempio, la quantità di anni trascorsi tra la fine della seconda guerra mondiale e oggi viene espressa, nel nostro sistema posizionale in base 10, con la sequenza 75, che significa 7 decine più 5 unità. In base alle convenzioni vigenti nella lingua italiana, la parola corrispondente è "settantacinque".
Per completezza, occorre dire che per alcuni numeri grandi non esiste una sola "espressione" linguistica, ma più possibili espressioni equivalenti: per esempio, 10.000.000.000 possiamo indicarlo con "dieci miliardi" ma anche con "diecimila milioni".
Tutto questo ci può sembrare scontato e banale, ma non lo è. In un racconto di Borges, "Funes, o della memoria", il protagonista inventa un sistema di numerazione in cui ogni quantità è espressa da una parola, ma senza alcuna logica che permetta di automatizzare il meccanismo in modo generale:

In luogo di settemilatredici diceva (per esempio) «Máximo Perez»; in luogo di settemilaquattordici, «La Ferrovia»; altri numeri erano «Luis Melián Lanifur, Olimar, zolfo, il trifoglio, la balena, il gas, la caldaia, Napoleone, Agustín de Vedia». In luogo di cinquecento diceva «nove». 

Come potete immaginare, un sistema del genere non è esattamente semplice da utilizzare. Dal punto di vista narrativo è molto affascinante, ma matematicamente è una pessima idea.
Se però i nomi vengono assegnati sovrapponendoli a un sistema di numerazione vigente, allora il discorso è diverso. Ci sono numeri che hanno uno o più nomi ufficiali (una volta stabilita la lingua) e, in più, una specie di "soprannome": il numero 10 elevato alla 100 può essere denominato in modo ortodosso dicendo "10" e poi concatenando un serie opportunamente lunga di "miliardi di", ma per gli amici è noto anche come "googol".

Cosa possiamo dire allora dei numeri di Rodari? Sullo stramilione di biliardoni, sul meravigliardo e sui loro fratelli, ovviamente, non ha senso farsi troppe domande: il gioco è bello proprio perché non sappiamo, ed è giusto non sapere, se queste strane quantità corrispondano a ben precisi numeri reali.
Rodari stesso parla di "inventare i numeri". Un po' come se fossero quantità che trascendono le categorie numeriche attualmente note, come se si trattasse di estensioni analoghe a quelle ottenute, nel corso della storia, con l'introduzione dei numeri irrazionali, dei numeri negativi, dei numeri immaginari, e così via.
Un fondato sospetto però esiste: che si tratti semplicemente di soprannomi di numeri interi molto grandi, un po' come il fantastilione e il fantastiliardo di Paperon de' Paperoni, su cui avevo scritto qualcosa nella prima parte della trilogia, e su cui Gianluigi Filippelli ha scritto un interessantissimo pezzo due anni e mezzo fa.

La porzione successiva, quella della tabellina del tre alternativa, sembra invece improntata sulla stessa idea stravagante di Borges-Funes. Ovvero: il numero 3 lo chiamo "Trento e Belluno", il numero 6 "Bistecca di bue", il numero 9 "Latte e caffè", e così via.

E per finire, la parte finale sembra una divertita variazione sul tema delle locuzioni regionali dei numeri. I primi tre, unci dunci trinci, mi fanno tornare in mente un brano di Elio e le Storie Tese di qualche anno fa, con il quale concludo questo ottavo episodio della serie sulla matematica rodariana.
A presto!



venerdì 26 giugno 2020

La matematica di Gianni Rodari #7: Operazioni aritmetiche

In questa settima puntata della serie dedicata alla matematica di Gianni Rodari vi proporrò un breve viaggio attraverso le incursioni del grande scrittore nel territorio delle operazioni aritmetiche.
Un accenno lo troviamo nel già più volte citato capitolo 14 della "Grammatica della fantasia", quello dedicato alla "matematica delle storie". Ci sono storie, è questa la tesi di Rodari, che ricalcano strutture logiche, e che quindi possono essere utilizzate dagli insegnanti per aiutare i bambini a familiarizzare con le basi del ragionamento, con i concetti elementari della matematica. L'emozione che deriva dall'esperienza narrativa rappresenta un benefico rafforzamento dell'operazione logica e cognitiva. Tra i concetti che possono animare la logica di una storia, spiega Rodari, ci può essere perfino la proprietà commutativa di alcune operazioni aritmetiche:

Un'operazione mentale più difficile è quella che porta a capire che "a più b è uguale a b più a". Non tutti i bambini ci arrivano prima dei sei anni.

La commutatività dell'addizione e della moltiplicazione è comunque una nozione che impariamo molto presto a scuola. Precisamente scopriamo che, dati due numeri reali a e b qualsiasi, si ha:


Più tardi ci potremmo accorgere che questa proprietà non è un'esclusiva dell'addizione e della moltiplicazione, ma riguarda anche altre operazioni, per esempio il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore tra due numeri interi positivi, le operazioni di minimo e di massimo applicate a coppie di numeri reali, l'addizione tra vettori, l'intersezione e l'unione tra insiemi, e altre ancora.
Ancora più tardi, potremmo imparare che ci sono particolari insiemi di elementi, detto gruppi, in cui viene definita una particolare operazione, e che se questa operazione gode della proprietà commutativa, il gruppo viene detto commutativo, o abeliano, dal nome di Niels Henrik Abel (1802-1829), matematico norvegese che nella sua breve vita conseguì alcuni importanti risultati connessi allo studio dei gruppi commutativi di polinomi.

Sempre nel fatidico capitolo 14, Rodari cita di nuovo le addizioni:

Una storia in cui un poveretto, caduto in città da chissà dove, dovendo prendere per arrivare in piazza del Duomo prima il tram numero tre e poi il tram numero uno, immagina che risparmierà un biglietto prendendo invece il tram numero quattro ("tre più uno") potrà invece aiutare i bambini a distinguere tra addizioni corrette e addizioni impossibili. Prima di tutto, naturalmente, li divertirà.

Ma gli spunti più gustosi inerenti alle operazioni aritmetiche arrivano da due delle celebri "Favole al telefono", del 1962. In "Abbasso il nove", Rodari ci avverte che i numeri possono essere permalosi e indurci a commettere errori:

Uno scolaro faceva le divisioni:
- Il tre nel tredici sta quattro volte con l’avanzo di uno. Scrivo quattro al quoto. Tre per quattro dodici, al tredici uno. Abbasso il nove…
- Ah, no, - gridò a questo punto il nove.
- Come? – domandò lo scolaro.
- Tu ce l’hai con me: perché hai gridato «abbasso il nove»? Che cosa ti ho fatto di male? Sono forse un pericolo pubblico?
- Ma io...
- Ah, lo immaginavo bene, avrai la scusa pronta. Ma a me non mi va giù lo stesso. Grida: «abbasso il brodo di dadi», «abbasso lo sceriffo», e magari anche «abbasso l’aria fritta», ma perché proprio «abbasso il nove»?
- Scusi, ma veramente…
- Non interrompere, è cattiva educazione. Sono una semplice cifra, e qualsiasi numero di due cifre mi può mangiare il risotto in testa, ma anch'io ho la mia dignità e voglio essere rispettato. Prima di tutto dai bambini che hanno ancora il moccio al naso. Insomma, abbassa il tuo naso, abbassa gli avvolgibili, ma lasciami stare.
Confuso e intimidito, lo scolaro non abbassò il nove, sbagliò la divisione e si prese un brutto voto. Eh, qualche volta non è proprio il caso di essere troppo delicati.

Un altro esempio da "Promosso più due", fiaba tratta dalla stessa raccolta:

- Aiuto, aiuto, - grida fuggendo un povero Dieci.
- Che c’è? Che ti succede?
- Ma non vedete? Sono inseguito da una Sottrazione. Se mi raggiunge sarà un disastro.
- Eh, via, addirittura un disastro …
Ecco, è fatta: la Sottrazione ha acchiappato il Dieci, gli balza addosso menando fendenti con la sua spada affilatissima. Il povero Dieci perde un dito, ne perde un altro. Per sua fortuna passa una macchina straniera lunga così, la Sottrazione si volta un momento a guardare se è il caso di accorciarla e il buon Dieci può svignarsela, scomparire in un portone. Ma intanto non è più un Dieci, è soltanto un Otto, e per giunta perde sangue dal naso.
- Poverino, che ti hanno fatto? Ti sei picchiato con i tuoi compagni, vero?
Misericordia, si salvi chi può: la vocina è dolce e compassionevole, ma la sua proprietaria è la Divisione in persona. Lo sventurato Otto bisbiglia «buonasera», con un filo di voce, e cerca di riguadagnare la strada, ma la Divisione è più svelta, e con un solo colpo di forbici, zac, ne fa due pezzi: Quattro e Quattro. Uno se lo mette in tasca, l’altro ne approfitta per scappare, torna in strada di corsa, sale su un tram.
- Un momento fa ero un Dieci, - piange, - e adesso guardate qua! Un Quattro! Gli scolari si scansano frettolosamente, non vogliono avere niente a che fare con lui. Il tranviere borbotta: - Certa gente dovrebbe almeno avere il buon senso di andare a piedi.
- Ma non è colpa mia! – grida tra i singhiozzi l’ex Dieci.
- Sì, è colpa del gatto. Dicono tutto così.
Il Quattro scende alla prima fermata, rosso come una poltrona rossa.
Ahi, ne ha fatta un’altra delle sue: ha schiacciato i piedi a qualcuno.
- Scusi, scusi tanto, signorina!
- Ma la Signora non si è arrabbiata, anzi, sorride. Guarda, guarda, guarda, è nientemeno che la Moltiplicazione! Ha un cuore grosso così, lei, e non può sopportare la vista delle persone infelici: seduta stante moltiplica il Quattro per tre, ed ecco un magnifico Dodici, pronto per contare un’intera dozzina d’uova.
- Evviva, - grida il Dodici, - sono promosso! Promosso più due.

In entrambe le storie, Rodari assegna ai numeri ruoli di protagonisti sensibili, a tratti suscettibili, nonché di vittime di operazioni aritmetiche capricciose.
Sono numeri che cercano serenità, rispetto, riconoscimento. E interlocutori (cioè operazioni) altruisti. Insomma, sono molto simili a noi umani.
Al di là del divertimento causato dalle situazioni simpaticamente surreali, è interessante l'idea di antropomorfizzare i numeri, attribuendo loro sentimenti e difetti tipicamente umani: può senz'altro costituire una mossa vincente per rendere la matematica più digeribile, soprattutto ai bambini.

La tecnica narrativa potrebbe essere estesa a concetti matematici più avanzati.
Potremmo immaginare fiabe in cui una moltiplicazione serial killer si serve di uno zero per rendere zero tutti gli altri numeri che incontra. Nel frattempo, una sua cugina dai modi più morbidi impiega un uno, ottenendo risultati inconcludenti. E ancora, potremmo ideare storie in cui ci sono funzioni al posto di numeri, e derivate o integrali anziché operazioni aritmetiche.
Forse qualcuno l'ha anche fatto. Ma, probabilmente, non con l'inimitabile genialità di Rodari.

giovedì 25 giugno 2020

Matematica e COVID-19: la collezione completa!

Da febbraio a oggi ho pubblicato su questo blog sei post relativi ad alcuni punti di contatto tra la matematica e la pandemia da COVID-19.
Alcuni di questi sono stati molto apprezzati e condivisi.
Ho pensato di raccoglierli in un agile PDF e di offrirveli, per ringraziarvi dell'attenzione con cui seguite il mio lavoro. 
Attenzione: alcune delle cose scritte sono molto legate ai giorni in cui gli articoli sono usciti, e oggi potrebbero suonare superate. Ma anche per questo motivo credo che la lettura sia interessante, per capire come molte cose siano cambiate rapidamente in questi mesi incredibili.
Buona lettura!

Ecco la lista dei post inclusi nel PDF:
1) "La matematica delle epidemie" - parte prima 
2) "La matematica delle epidemie" - parte seconda 

martedì 23 giugno 2020

Distanziamento sociale e distanza matematica

Alzi la mano chi aveva già sentito l'espressione distanziamento sociale (o distanziamento fisico) prima dell'introduzione del lockdown. Pochi di noi, credo, se si eccettuano forse le persone coinvolte nel settore sanitario. E con ogni probabilità la versione nota era quella inglese, ovvero social  distancing (o physical distancing).
Ora, a lockdown concluso, è invece un'espressione sulla bocca di tutti. Con questa dicitura, è ben noto, si intende l'accorgimento di mantenere una certa distanza tra le persone e di ridurre il numero di persone contemporaneamente presenti in un certo luogo, allo scopo di evitare o ridurre la diffusione di un agente infettivo, per esempio un virus nel corso di una pandemia.
L'utilizzo di questa misura di sicurezza è antichissimo: se ne parla anche nella Bibbia, in relazione all'isolamento di lebbrosi o appestati.

Se si parla di distanziamento sociale, si parla essenzialmente di distanza tra una persona e l'altra. E, come è facile immaginare, si tratta innanzitutto di un concetto matematico.
Immaginiamo che in una stanza ci siano due persone, Andrea e Beatrice, che parlano tra di loro. Come possiamo misurare la distanza che le separa? Presto detto: prendiamo un metro, magari di quelli da sarto, lo stendiamo per terra in modo da creare un segmento che parte da Andrea e arriva a Beatrice, e leggiamo sul metro il numero di centimetri corrispondenti al punto in cui si trova Beatrice.

Se formalizziamo il procedimento in modo più astratto, ci riportiamo a quanto abbiamo imparato a scuola: se sul piano cartesiano abbiamo due punti A e B, ciascuno contraddistinto da una coppia di coordinate, la distanza tra A e B è la lunghezza del segmento che congiunge i due punti. Nel caso più generale, questa lunghezza può essere facilmente calcolata a partire dalle coordinate dei punti ricorrendo al teorema di Pitagora, come è illustrato nella figura a fianco.

Ma il concetto di distanza, in matematica, è molto più generale. Rappresenta, per così dire, un'astrazione della nozione di lontananza che sussiste tra due oggetti qualsiasi.
La definizione che solitamente viene data è la seguente: la distanza su un qualsiasi insieme M è una funzione d che mappa il prodotto cartesiano M × M sull'insieme dei numeri reali  e che soddisfa le seguenti tre proprietà:
La prima proprietà formalizza il fatto che l'unico caso in cui due oggetti abbiano distanza reciproca nulla è che i due oggetti siano in realtà lo stesso oggetto.
La seconda proprietà è la simmetria: la distanza tra x e y è uguale alla distanza tra y e x.
Infine, la terza è la cosiddetta proprietà triangolare: la distanza tra due elementi x e y non può essere maggiore della somma tra la distanza tra x e un terzo punto z e la distanza tra questo terzo punto z e y. Considerate un triangolo: la lunghezza di qualsiasi suo lato è sicuramente minore o uguale della somma delle lunghezze degli altri due. Detto altrimenti: se io devo andare da Milano a Torino, ci impiego meno se prendo una strada diretta anziché fare una tappa intermedia a Genova.

Da queste tre proprietà (anzi, dalle ultime due) se ne può dedurre una quarta, molto semplice, che stabilisce che la distanza tra due elementi dell'insieme M può essere un numero positivo oppure uguale a zero, ma non può essere un numero negativo (avete mai visto un segmento di lunghezza negativa?)

Una funzione d che soddisfa tutte e tre le proprietà fondamentali può essere legittimamente chiamata distanza. Ma il bello è che, preso un insieme qualsiasi, non esiste necessariamente una sola funzione con queste caratteristiche. 
Se per esempio l'insieme M è l'insieme dei punti del piano, la distanza che abbiamo imparato a calcolare mediante il teorema di Pitagora (e che viene chiamata distanza euclidea) è la più semplice e intuitiva, ma non è certo l'unica che soddisfa le tre proprietà.

Ne esistono molte altre, per esempio la distanza di Manhattan, introdotta da Hermann Minkowski, secondo la quale la distanza tra due punti del piano cartesiano è la somma del valore assoluto delle differenze delle loro coordinate. In altre parole, per misurare quanto dista un punto da un altro, non posso tracciare una linea obliqua che congiunga direttamente i due punti, ma sono autorizzato a utilizzare soltanto linee orizzontali e verticali.
Guardate la figura a fianco. Per congiungere i due punti indicati come pallini neri, si possono scegliere diversi percorsi formati da segmenti orizzontali e verticali: la figura ne mostra tre (in rosso, blu e giallo), ma ce ne sono molti altri. Tutti, comunque, hanno la stessa lunghezza complessiva (12). Misurare la distanza lungo la linea verde, obliqua e diretta, è invece proibito.

In sostanza, mentre nella geometria euclidea dobbiamo calcolare le differenze tra le coordinate, e poi calcolare la radice quadrata della somma dei quadrati di tali differenze, a Manhattan è più facile: basta sommare direttamente le differenze.
Il sistema basato sulla distanza di Manhattan viene anche detto "geometria del taxi", ed è particolarmente realistico in città dove le principali strade sono perpendicolari tra di loro (per esempio Manhattan, appunto, ma anche Torino). Talvolta questa metrica viene definita anche "geometria degli scacchi", perché è secondo questo sistema che la torre misura la distanza tra due caselle della scacchiera.

Attenzione, nel definire il concetto di distanza ho parlato di insieme M qualsiasi, non necessariamente di un insieme di punti nel piano o nello spazio. Potrebbe trattarsi di un insieme di note musicali (la distanza potrebbe essere allora la formalizzazione del concetto di intervallo musicale), di immagini (allora potremmo entrare in considerazioni computazionali relative alla somiglianza tra immagini, rilevanti nell'ambito dei software di riconoscimento di oggetti), e perfino di parole.
In quest'ultimo caso, si può usare per esempio la distanza di Hamming: date due parole, la loro distanza di Hamming è il numero di sostituzioni (un enigmista direbbe "cambi di lettera") che devono essere eseguite per trasformare una parola nell'altra. Ne avevo parlato in un post della serie dei premi Turing, perché l'inventore di questa importante funzione distanza tra stringhe di caratteri, il matematico americano Richard Hamming, fu insignito del prestigioso riconoscimento nel 1968.



In generale, una volta che abbiamo definito una funzione distanza su un insieme M, possiamo anche definire il concetto matematico di palla: la palla di raggio r centrata in un certo elemento z di M non è altro che l'insieme degli elementi di M la cui distanza da z è minore di r (per la precisione, questa è una palla aperta, mentre per definire la corrispondente palla chiusa dobbiamo scrivere "minore o uguale" al posto di "minore").
Come si vede nella figura a fianco, la palla è il concetto matematico perfetto per rappresentare l'idea del distanziamento sociale!

La matematica di Gianni Rodari #15: Misure

Una questione matematica molto cara a Rodari è il concetto di misura. Nel capitolo 37 della "Grammatica della fantasia", significa...