martedì 10 luglio 2018

Geometrie pallonare da Uruguay 1930 a Russia 2018

Vi serve un'idea per ingannare il tempo nell'attesa delle semifinali e della finale di Russia 2018? Eccovi accontentati: un post sulla geometria dei palloni di calcio, in particolare sul pallone che in questi giorni viene preso a calci sui rettangoli di gioco russi.
Più volte, su queste pagine (ad esempio quiquiqui), ho parlato della geometria dei palloni di calcio, in particolare dei modelli utilizzati durante i Mondiali o in occasione degli Europei.
L'ormai quasi secolare vicenda dei "palloni mondiali" è una storia affascinante, che prende le mosse dal torneo uruguayano del 1930 e si snoda fino ad arrivare al Telstar 18 del torneo in corso. Qui trovate un video che racconta questo lungo percorso. In questo sito e in quest'altro trovate altre interessanti informazioni a riguardo.

Il "Modello T" del 1930
Mentre oggi è tutto organizzato fino al minimo dettaglio, la prima edizione del 1930 dovette scontare alcuni inconvenienti imbarazzanti: le due finaliste, ovvero Uruguay e Argentina, non riuscirono a mettersi d'accordo su quale pallone sarebbe stato usato, cosicché all'ultimo minuto decisero di usare nel primo tempo il "Modello T", preferito dai padroni di casa, e nel secondo la "pelota" argentina. Il primo era formato da dodici pannelli di cuoio a "T" uniti tra loro attorno a un nucleo di gomma, e presentava una vistosa cucitura a laccio, necessaria per il gonfiaggio. La pelota era simile, ma i pezzi di cuoio erano rettangolari e non a "T".
Il "Federale" usato ai Mondiali italiani del 1938 era simile alla pelota argentina, ma aveva tredici pannelli anziché dodici. Anche l'Allen, impiegato nel torneo transalpino del 1938, riprendeva sostanzialmente il modello argentino della prima edizione.

Il "Crack" del 1962
Dopo la pausa bellica, nel 1950 venne adoperato per la prima volta un pallone privo della cucitura col laccio: era stata inventato il gonfiaggio moderno, con la valvola. Il modello svizzero del 1954 fu il primo a essere formato da diciotto pannelli invece che dodici o tredici: inoltre era giallo e non marrone come i suoi predecessori.
Il "Top Start" del 1958 era praticamente identico al pallone di quattro anni prima, mentre ai Mondiali cileni del 1962 fece la sua apparizione il "Crack", che finalmente introduceva una variazione geometrica rilevante. Era infatti formato da diciotto pezzi di cuoio di tre diverse forme poligonali curve: rettangolari, esagonali e ottagonali.
Nell'edizione britannica del 1966 venne usato il "Challenge", che non differiva dal "Crack" se non per il colore: arancione, anziché giallo.

Il "Telstar" del 1970
All'edizione messicana del 1970 arrivò la rivoluzione: la Adidas inaugurò la sua egemonia, che dura indiscussa anche oggi, sulle sfere mondiali, e presentò il mitico "Telstar", la cui forma a icosaedro troncato con esagoni neri e pentagoni bianchi è presto divenuta un'icona classica del pallone da calcio.
Sull'icosaedro troncato ho parlato in abbondanza sui post già citati e anche sull'e-book "La matematica nel pallone", che potrebbe essere una lettura azzeccata sotto l'ombrellone, tra una partita e l'altra.
Tutti i modelli ufficiali dei tornei dal 1974 al 2002 sono stati icosaedri troncati: le variazioni da un'edizione all'altra riguardavano solo aspetti decorativi o i materiali, ma non la geometria di fondo.

Il modello del 1974 era del tutto identico a quella del 1970. Il "Tango" di "Argentina 78", pur essendo il solito icosaedro troncato, introduceva quel motivo grafico a sette cerchi che sarebbe rimasto in voga fino al 1998, attraverso il "Tango Espana" del 1982, l'"Azteca" del 1986, l'"Etrusco" di "Italia '90", il "Questra" di "USA 1994" e il "Tricolore" dell'edizione francese del 1998.
Nel 2002 rimase la geometria classica del Telstar ma scomparve il motivo a sette cerchi, per far posto a una grafica ispirata al disegno di uno shuriken, un tipo di dardo giapponese.

Il "Teamgeist" del 2006
Ma fu solo con la competizione del 2006, vinta dall'Italia, che la musica, anzi la geometria, cambiò radicalmente. Il "Teamgeist" era costituito da 14 pannelli curvi incollati insieme e non più cuciti. La forma geometrica di questo pallone non corrispondeva più a un icosaedro troncato, ma a un ottaedro troncato: ancora un solido archimedeo, comunque.

L'edizione del 2010 fu "funestata" dal pallone più criticato della storia dei Mondiali: con lo "Jabulani" l'Adidas abbandonava le geometrie archimedee e si spingeva in territori inesplorati, sfornando un modello che era stato presentato come il più rotondo di sempre ma che si rivelò invece l'incubo di tutti i calciatori del torneo. Era formato da otto pannelli uniti tra di loro a plasmare una pseudosfera. La sua complessa geometria è descritta ad esempio qui.

Il "Telstar 18"
Il Mundial brasileiro del 2014 vide rotolare sui campi di gioco il "Brazuca", di cui ho parlato diffusamente nei post già citati. Il pallone di quattro anni fa era topologicamente un cubo, e la sua ideazione fu un geniale capolavoro di matematica e ingegneria.
E quest'anno? Il pallone usato in Russia si chiama "Telstar 18". Se il suo nome ci riporta indietro di 48 anni, le sue caratteristiche guardano invece al futuro: al suo interno è presente un chip NFC ("Near-Field Communication") che è in grado di scambiare informazioni con dispositivi abilitati, come smartphone o tablet.

I cosmonauti russi giocano a calcio sulla ISS con il "Telstar 18"
Il 21 marzo scorso il "Telstar 18" è diventato il primo pallone mondiale a volare nello spazio: i due cosmonauti russi Anton Shkaplerov e Oleg Artemyev portarono la palla nella Stazione Spaziale Internazionale e lo collaudarono in una insolita partita a gravità zero. In quell'occasione Artemyev ha dichiarato: "Lo restituiremo alla Terra in tempo per il fischio d’inizio della prima partita della competizione". E così è stato.

Quali sono le caratteristiche geometriche del "Telstar 18"? La palla è formata da sei pannelli incollati insieme. Similmente al Brazuca, quindi, anche il "Telstar 18" è topologicamente assimilabile a un cubo. La forma dei sei pezzi è completamente nuova, ma la possibilità di metterli insieme a plasmare una sorta di sfera è ancora una volta assicurata dal teorema di Pogorelov, di cui avevo parlato nel già menzionato e-book e in questo articolo.


Nella figura a fianco sono messe a confronto le forme dei pannelli del "Brazuca" e del "Telstar 18": come vedete, il pallone brasileiro era formato da pezzi dalla foggia più semplice ma anche più arrotondata, mentre il pallone di quest'anno nasce dall'unione di forme più elaborate e appuntite. Se volete approfondire la questione, in questa pagina viene spiegato in dettaglio come realizzare un modello virtuale del pallone di "Russia 2018".
Ed ora, buon divertimento con le semifinali e le finali dei Mondiali!

sabato 7 luglio 2018

La citazione matematica del sabato (#8)



Trattandosi di un linguaggio, la matematica può essere usata non solo per informare, ma anche, soprattutto, per sedurre.

Benoît Mandelbrot 

sabato 30 giugno 2018

La citazione matematica del sabato (#7)


So che ci sono gruppi in testa alle classifiche che vengono esaltati come i salvatori del rock ’n’ roll, ma sono dei dilettanti. Non sanno nemmeno da dove arrivi la musica, e se io nascessi ora non mi sognerei di mettermi a suonare. Probabilmente mi dedicherei alla matematica: quello sì che mi interessa. 

Bob Dylan (in un comunicato stampa del 2005)

sabato 23 giugno 2018

La citazione matematica del sabato (#6)


Come posso spiegarmi? Pensa dunque: in una data operazione, cominci con numeri solidissimi, che possono rappresentare metri o pesi o qualunque altra cosa concreta, insomma, con numeri reali. Alla fine del calcolo, ritrovi numeri reali. Ma i due gruppi sono legati da qualcosa che non esiste. Non è come un ponte che ha solo i piloni delle estremità e che noi, tuttavia, traversiamo come se fosse intero? Per me, un calcolo simile ha del trucco, come se un pezzo di strada andasse Dio sa dove. Quello che più mi sgomenta, è la forza che possiede, capace di reggerti e di farti arrivare dall'altra parte.

Robert Musil, da "I turbamenti del giovane Törless" (1906)
(in questo passaggio il protagonista assiste a una lezione di matematica e rimane disorientato dall'utilizzo dei numeri immaginari in calcoli molto pratici e concreti)

martedì 19 giugno 2018

Tito Livio Burattini e il mistero della calcolatrice (seconda parte)

Wilhelm Schickard (1592-1635)
Eccoci finalmente alla seconda parte di questo breve viaggio nella vita e nelle opere di Tito Livio Burattini (i riferimenti bibliografici tra parentesi quadre rimandano alla nota alla fine del post).
Per meglio collocare il ruolo di Burattini come pioniere del calcolo meccanico, è opportuno riepilogare i contributi degli scienziati che lo precedettero nella progettazione e nella costruzione di dispositivi aritmetici. Trascurando i tentativi dell’era antica, per esempio il celebre meccanismo di Anticitera (che era per lo più un sofisticato planetario), e quelli rinascimentali (principalmente dispositivi che sfruttavano le proprietà dei logaritmi, come i bastoncini di Nepero e il regolo calcolatore), si deve riconoscere nell’impresa dello scienziato tedesco Wilhelm Schickard il punto di partenza della storia delle calcolatrici meccaniche.

Una ricostruzione del
congegno di Schickard
La macchina di Schickard, costruita nel 1623, era in grado di sommare e sottrarre numeri fino a sei cifre. Gli unici due esemplari realizzati dal tedesco andarono perduti dopo pochi mesi dalla loro costruzione, ragion per cui il suo sforzo cadde nell’oblio e vi rimase fino agli anni cinquanta e sessanta del secolo scorso, quando il congegno venne riconosciuto come la prima vera calcolatrice della storia.
Rimane tuttavia aperta la questione relativa al buon funzionamento della macchina di Schickard: qualcuno, infatti, ritiene, che il progetto del tedesco non fosse del tutto accurato e che l’opera di Schickard non possa essere legittimamente considerata come il momento di avvio della storia del calcolo meccanico.

Molto più celebre, invece, è la calcolatrice realizzata dal filosofo e matematico francese Blaise Pascal: la cosiddetta “Pascalina”.
Pascal era nato nel 1623, cioè nell’anno esatto in cui Schickard compiva il suo pionieristico tentativo, e aveva appena diciannove anni quando concepì l’idea della sua fortunata calcolatrice.
La Pascalina era in grado di sommare e sottrarre numeri fino a dodici cifre, e comprendeva un sofisticato meccanismo per la gestione dei riporti, detto «sautoir».
A differenza di Schickard, che si era limitato a costruire un paio di esemplari della sua macchina, il francese realizzò almeno una settantina di copie della sua invenzione, e le distribuì alle principali corti reali europee.
Un esemplare di Pascalina
Pierre Des Noyers, segretario della regina di Polonia Maria Luisa Gonzaga, era entrato in possesso di un esemplare di Pascalina, e l'aveva prestato al re Ladislao. Pare che il sovrano si fosse letteralmente innamorato di questo congegno meraviglioso, e non volle mai restituire l'esemplare avuto in prestito da Des Noyers. Questi allora ordinò altri due esemplari allo scienziato francese Gilles Personne de Roberval, depositario della scoperta di Pascal a Parigi. Des Noyers spiegò anche al Roberval il sistema monetario polacco, nella convinzione che la Pascalina potesse essere adottata anche in Polonia per il calcolo delle paghe dell’esercito [Desnoyers-Roberval].
Nel 1647, dopo il suo arrivo in Polonia, Burattini ebbe quindi l’opportunità di analizzare uno di questi esemplari a Varsavia.
Nacque così, nella mente del grande agordino, l'ambizione di costruire una macchina analoga: progetto che giunse a compimento nel 1658. Secondo [Targosz] la calcolatrice realizzata era effettivamente molto simile alla Pascalina.

Il granduca di Toscana
Ferdinando II de’ Medici
È certo che la macchina di Burattini fu in assoluto la prima calcolatrice meccanica costruita da un italiano. Per quanto ne sappiamo, soltanto Schickard e Pascal vennero prima del nostro Tito Livio, se si trascura il tentativo fallito di un orologiaio di Rouen che attorno al 1643, dopo aver appreso dell’impresa di Pascal, realizzò un prototipo che però non funzionò mai correttamente.
Burattini decise di donare la sua macchina al granduca di Toscana Ferdinando II de’ Medici. Perché proprio a lui? Come riportato in [Dalakov] e in [Hénin], sia Ferdinando che il fratello Leopoldo, che sarebbe stato creato cardinale nel 1667, erano grandi appassionati di scienza. Durante il regno di Ferdinando, Palazzo Pitti era pieno di igrometri, barometri, termometri, telescopi e altri strumenti scientifici. Nel 1657 Ferdinando e Leopoldo fondarono l'Accademia del Cimento, con l’intento di dare applicazione al metodo scientifico galileiano, basato sull'osservazione diretta dei fenomeni. L'Accademia del Cimento fu in effetti la prima associazione scientifica a utilizzare il metodo scientifico in Europa: tra i suoi membri ricordiamo Evangelista Torricelli, Vincenzo Viviani, Giovanni Alfonso Borelli e alcuni allievi di Galileo.
Burattini aveva conosciuto personalmente sia Ferdinando che Leopoldo, durante la sua missione diplomatica del 1655, e tra i tre si era instaurato un solido rapporto di amicizia e di stima.
Nel 1657 aveva progettato un orologio ad acqua per il granduca Ferdinando, e aveva costruito diverse lenti per microscopi e telescopi per Leopoldo. Quando era ripartito, aveva portato in Polonia diversi doni del granduca.

La calcolatrice conservata al Museo Galileo di Firenze
e ufficialmente attribuita a Burattini
Al Museo di Storia della Scienza di Firenze, oggi Museo Galileo, è conservata la macchina calcolatrice che ufficialmente è ritenuta essere l’esemplare inviato nel 1659 da Burattini al granduca Ferdinando II.
La calcolatrice è costituita da un sottile foglio di ottone lungo 20 cm, sulla cui superficie sono montati 18 dischi.
I sei grandi dischi in basso sono «decimali», cioè dotati ciascuno di 10 posizioni. Ruotando a mano un disco, è possibile portare, in una posizione convenzionale (per esempio in alto al centro), una delle cifre da 0 a 9 a piacere. Ciascun disco, quindi, può quindi essere utilizzato per rappresentare una cifra decimale, e l’insieme dei sei dischi può rappresentare un numero decimale di sei cifre, per esempio un importo economico.
In corrispondenza di ogni disco grande, più in basso, vi è un disco piccolo, che serve per registrare il riporto: se il disco grande completa un giro, cioè passa dalla posizione 9 alla posizione 0, scatta il riporto nel dischetto inferiore, cioè tale disco ruota di una singola posizione. A differenza della Pascalina, però, la macchina conservata a Firenze non gestisce il riporto in modo completamente automatico, cioè il riporto non viene sommato alla cifra immediatamente a sinistra: è quindi necessario che l'operatore, a mano, ruoti di una posizione il disco grande posto a sinistra di quello che ha generato il riporto.

Un'altra immagine della calcolatrice conservata al Museo Galileo di Firenze
In ogni caso, la macchina si presta, anche se in modo non efficientissimo, all'esecuzione di addizioni e sottrazioni. Per calcolare una somma, ad esempio, basta rappresentare le cifre del primo addendo sui dischi grandi, e ruotare poi ciascuno di essi di un numero di posizioni uguale alla cifra corrispondente del secondo addendo. Per calcolare una differenza, si procede in modo analogo ma ruotando i dischi in senso opposto, così da sottrarre anziché addizionare le cifre. In entrambi i casi, però, si deve tenere conto manualmente dei riporti.
I tre dischi grandi posti nella parte superiore della macchina, invece, non sono decimali, ma hanno, rispettivamente, 12, 20 e 7 posizioni. Come mai questi strani numeri? Essi servivano per gestire conversioni tra valute monetarie utilizzate nella frammentata Italia dell'epoca, per esempio 1 ducato = 7 lire, 1 lira = 20 soldi, 1 soldo = 12 denari. In modo analogo ai sei dischi decimali, anche  a ciascuno di questi tre dischi era associato un disco più piccolo, posto più in basso, per la gestione (non automatica) del riporto.

Lo studioso inglese Samuel Morland
(1625-1695)
Vi state chiedendo dove sta il mistero della calcolatrice di Burattini? Ebbene, esistono prove fondate per sostenere che la calcolatrice conservata a Firenze non è quella che Burattini realizzò nel 1658 e inviò al granduca Ferdinando II.
Prima di tutto, secondo [Targosz] la calcolatrice realmente costruita da Burattini era molto simile alla Pascalina, mentre l’esemplare conservato al Museo Galileo se ne discosta molto, e appare molto più simile alle macchine costruite dall'inglese Samuel Morland. Come si afferma in [Hénin], lo strumento conservato a Firenze “è un addizionatore monetario del tipo che Samuel Morland (1625-1695) costruì a Londra nel 1673 e descrisse in un opuscolo”. Sull'argomento si possono consultare anche [Dalakov], [Morland] e [Williams].
Inoltre, due lettere inviate da Alfonso Borelli a Leopoldo de’ Medici, datate rispettivamente 15 novembre e 1° dicembre 1658, menzionano un “istrumento o cassettina numeraria” spedito da Burattini. La macchina conservata a Firenze, invece, non è una “cassettina”, ma piuttosto un sottile foglio di ottone.
Un’altra prova proviene dai cataloghi medicei. Il catalogo del 1660 cita la macchina dell'agordino come “N. 585 in data 1659 uno strumento di ottone per fare abaco che ha otto ruote, lungo 3/4 largo 1/5 a S.A: serenissima donato da Tito Livio Burattini il 22 giugno” A tale proposito si può vedere [Hénin].
Descrizioni uguale si ritrovano nel catalogo del 1704 e in quello del 1738. Ora, è evidente la discrepanza tra questa descrizione e il congegno conservato al Museo Galileo, il quale, per esempio, non è dotato di otto ruote e ha dimensioni completamente diverse. Questa osservazione è riferita anche in [Ratcliff], dove si nota il fatto che la descrizione presente nei cataloghi e sopra riportata ricorda le caratteristiche della Pascalina. A tal proposito si veda anche [Marguin].
Curiosamente, tuttavia, altri cataloghi medicei riportano descrizioni che combaciano con lo strumento ufficialmente attribuito a Burattini: per esempio quello del 1779 recita: “Una macchinetta forse aritmetica di due lastre di ottone centinate che racchiudono 18 cerchi tra grandi e piccoli, numerati, imperniati, e da muoversi a mena dito. La macchinetta ha la faccia dorata, ed è lunga nel più pollici 7.3".<

La spiegazione che viene proposta da alcuni studiosi (si vedano [Dalakov] e [Hénin]) si ricollega al fatto che nel 1737 l’ultimo dei Medici, Gian Gastone, morì e il Granducato passò sotto la casa di Asburgo-Lorena; nove anni dopo quasi tutti gli strumenti scientifici della collezione medicea furono trasferiti al Museo Imperiale di Fisica di Vienna, da cui non ritornarono più indietro, come riferisce anche [Bedini]. Nel frattempo, a Firenze arrivarono centinaia di pezzi provenienti dal Museo di Fisica di Lunéville. È quindi molto probabile, anzi quasi certo, che Burattini costruì una calcolatrice simile alla Pascalina, la spedì a Firenze dove rimase per più di un secolo, ma poco prima del 1779 essa scomparve (forse in quanto trasferita a Vienna assieme alla maggior parte della collezione medicea) e fu sostituita da quella che oggi è osservabile al Museo Galileo.
Da chi fu realizzato lo strumento oggi conservato a Firenze? Secondo [Ratcliff] da uno sconosciuto costruttore italiano, oppure da Samuel Morland stesso, che come sopra osservato fu autore di un altro congegno molto simile. Un’ipotesi alternativa, proposta da [Hénin] è che esso sia stato importato da Lunéville.
Resta comunque indiscusso il primato di Tito Livio Burattini, primo italiano a costruire nel Seicento una calcolatrice aritmetica meccanica. Anche per questo, sorprende e dispiace la triste sorte che toccò allo scienziato agordino, già a partire dagli ultimi anni della sua vita: dopo essersi notevolmente arricchito grazie al prestigio che aveva ottenuto presso la corte polacca, cadde in disgrazia e morì poverissimo, nel 1680. Successivamente, venne purtroppo quasi completamente dimenticato (come testimoniava anche l'aneddoto che raccontavo nella prima parte del post): dopo le celebrazioni che il Comune di Agordo ha organizzato lo scorso autunno, e delle quali riporto qualche immagine qui sotto, spero che anche questo mio articoletto possa contribuire a risvegliare la curiosità di qualcuno per questa notevole figura del Seicento.

Alcune delle "calcolatrici di Burattini" realizzate dai bambini
della Scuola Primaria di Agordo durante il mio laboratorio (novembre 2017)


Un momento della mia lezione su Burattini
alla Scuola Primaria di Agordo (novembre 2017)
Il manifesto del convegno-tavola rotonda su Tito Livio Burattini
al quale ho partecipato come relatore (11 novembre 2017)
Un momento del convegno-tavola rotonda su Tito Livio Burattini (11 novembre 2017)


Un momento del convegno-tavola rotonda su Tito Livio Burattini (11 novembre 2017)



Nota bibliografica


[Bedini] Bedini S. A., “The fate of the Medici-Lorraine Scientific Instruments”, Journal of the History of Collections, Vol. 7, n. 2, 1995, pp. 159-170.

[Dalakov] Dalakov G., “The Calculating Machine of Tito Livio Burattini”, in “History of computers”, 2016 (http://history-computer.com/MechanicalCalculators/Pioneers/Burattini.html)

[Desnoyers-Roberval] Corrispondenza Desnoyers-Roberval, 26 marzo 1646, c.421r, 26 giugno, 1646, Vienna, Biblioteca Nazionale, fondo Hohendorf, ms. 7049

[Hénin] Hénin S., “Early Italian Computing Machines and Their Inventors” in Arthur Tatnall, “Reflections on the History of Computing: Preserving Memories and Sharing Stories”, AICT-387, Springer, pp. 204-230, 2012, IFIP Advances in Information and Communication Technology (Survey),  https://hal.inria.fr/hal-01526799/document

[Marguin] Marguin J. “Histoire des intruments et machines à calculer”, Hermann, Paris, 1994.

[Morland] Morland S. “The Description and Use of Two Arithmetick Instruments, Together with a Short Treatise, Explaining and Demonstrating the Ordinary Operations of Arithmetick”, London, 1673.

[Ratcliff] Ratcliff, J. R., "Samuel Morland and his Calculating Machines c.1666: the Early Career of a Courtier–Inventor in Restoration London". Brit. J. Hist. Science, 40, 2007, pp. 159–179.

[Targosz] Targosz K., “La cour çavant de Marie Louise de Gonzague”, Krakow, 1982.

[Williams] Williams, M. R., “History of Computing Technology”. Los Alamitos, California: IEEE Computer Society, 1997.

venerdì 15 giugno 2018

Carnevale della Matematica #120 su Il Post

Dopo molti mesi, ritorna su queste pagine un annuncio di pubblicazione del Carnevale della Matematica. Per la precisione, quello uscito ieri, 14 giugno, è il centoventesimo della gloriosa serie, ed è stato ospitato dal Post di Maurizio Codogno.
Con il motto gaussiano "il merlo tra i cespugli canta, canta, canta" e il tema relativo alla didattica, il Carnevale di giugno ha raccolto contributi da vari autori: Annalisa Santi, Flavio Ubaldini alias Dioniso, Leonardo Petrillo, MaddMaths!, Gianluigi Filippelli, lo stesso Codogno, fondatore e gestore della rassegna, e, udite udite, Mr. Palomar, che tra l'altro ospiterà anche l'edizione del 14 settembre.
Perché lo dico adesso? Be', perché nei mesi di luglio e agosto non si svolgerà alcun Carnevale, e quindi dopo aver letto quello di giugno, dovrete aspettare l'evento settembrino su queste pagine. Buona lettura, quindi, e viva il Carnevale!

venerdì 1 giugno 2018

Tito Livio Burattini e il mistero della calcolatrice (parte prima)

Un ritratto moderno di Tito Livio Burattini
(immaginario, perché non disponiamo di ritratti originali)
Circa un anno e mezzo fa mi capitò un fatto molto curioso. Avevo iniziato a svolgere alcune ricerche su uno scienziato agordino del Seicento, Tito Livio Burattini, essendo stato colpito da un suo primato alquanto suggestivo: egli fu, infatti, il primo italiano a progettare e costruire una calcolatrice meccanica, pochi anni dopo le esperienze pionieristiche di Wilhelm Schickard e di Blaise Pascal.
Il mio obiettivo era raccontare la storia di Burattini al Dolomiti in Scienza, la rassegna organizzata ogni anno a Belluno dal Gruppo Divulgazione Scientifica Dolomiti "E. Fermi", del cui Consiglio Direttivo mi onoro di far parte da molti anni.
Intorno al Natale del 2016, quando la data del mio intervento era stata fissata da tempo, e la presentazione era  quasi pronta, mi resi improvvisamente conto di una coincidenza quasi incredibile, che stranamente non avevo mai notato prima: avrei tenuto la mia conferenza il 25 febbraio 2017, e Tito Livio Burattini era nato l'8 marzo 1617.
Se il mio seminario fosse stato spostato di soli undici giorni, avrei avuto l'onore di parlare del grande scienziato esattamente nel quarto centenario della sua nascita.
Aver inconsapevolmente azzeccato la ricorrenza si rivelò un evenienza fortunata, anche perché il Comune di Agordo (che ancora una volta ringrazio per la stima nei miei confronti e per l'ospitalità) mi contattò per organizzare, assieme ad altri studiosi, un convegno celebrativo di Burattini in occasione del suo quattrocentesimo compleanno, al quale si affiancò una mia lezione-laboratorio ai bambini della Scuola Primaria del delizioso paese dolomitico.

La lapide posta sulla casa natale di Burattini ad Agordo
Cosa fece di tanto importante questo scienziato per meritare queste e altre celebrazioni, a quattro secoli di distanza dalla sua nascita? Il suo nome dice ben poco, o forse nulla, alla maggioranza delle persone, esperti di scienza compresi. Eppure, come accennavo sopra, fu questo signore a realizzare la prima calcolatrice meccanica della storia. Inoltre Burattini fu uno dei pionieri del volo e al tempo stesso un grande innovatore nel campo dei sistemi di misura.

Quando Burattini venne al mondo, la sua era una delle famiglie più agiate della zona di Agordo. Ricchezza e prestigio erano derivati dal coinvolgimento nella produzione mineraria, molto importante in quell'area. I Burattini possedevano molti terreni nell'agordino e persino una casa a Venezia. Il testamento scritto nel 1601 dal nonno di Tito Livio aveva stabilito che il feudo di Susin si sarebbe trasmesso di padre in figlio a chi, all'interno della famiglia, si fosse chiamato Tito Livio. Per questo motivo tutti i maschi della stirpe, da quel momento in poi, furono battezzati Tito Livio.
Della giovinezza del nostro Tito Livio non sappiamo quasi nulla, se non che studiò lingue e letteratura classica, matematica, scienze, astronomia e architettura a Padova (probabilmente all'Università) e forse a Venezia.
Negli anni 1637-1641 soggiornò in Egitto, dove realizzò carte geografiche ed eseguì rilievi dei celebri monumenti antichi. Al termine della sua permanenza egiziana si trasferì in Polonia, dapprima nell'antica città di Cracovia, e poi a Varsavia, che era recentemente diventata la capitale della grande Confederazione polacco-lituana.

La confederazione polacco-lituana attorno al 1618
Non deve stupire la decisione di Burattini di trasferirsi in quel lontano lembo di Europa: in quell'epoca, e ancor di più nel corso del Cinquecento, molti europei, in particolare italiani, si erano spostati nella grande Confederazione, attirati dall'inconsueta apertura dello Stato verso gli stranieri, dalla sua tolleranza religiosa e dal grande prestigio che in quel Paese godevano artisti e scienziati, non importa se forestieri. In generale la Polonia aveva la fama di un posto ricco di opportunità per ogni intellettuale che avesse voluto tentare la fortuna all'estero. Per giunta, la Confederazione era stata, nel Cinquecento, un vero laboratorio innovativo dal punto di vista, diciamo così, di forma dello Stato: era infatti una monarchia ereditaria, in quanto il re di Polonia, che era automaticamente anche granduca di Lituania, non riceveva la carica per via ereditaria, ma veniva eletto, per giunta da una cerchia di nobili molto estesa (quasi un milione di persone).
Purtroppo, le conquiste culturali cinquecentesche non si consolidarono, e nel corso del secolo successivo, forse a causa dell'ottusità della classe aristocratica, lo Stato entro in una fase di decadenza. Quando Burattini vi arrivò, la crisi era già molto seria, aggravata dai problemi finanziari causati dalle guerre contro la Svezia, la Russia e la Turchia.
Eccettuati alcuni viaggi fuori confine, Burattini rimase in Polonia fino alla morte. Durante questo lungo periodo, l'agordino entrò nelle simpatie di alcuni alti esponenti della corte reale e si occupò di numerose discipline in parallelo, tra le quali possiamo citare le tre seguenti.

1. Fisica. Fu un appassionato studioso degli scritti di Galileo, e il suo interesse crebbe nel 1644, quando monsignor Stanislao Pudlowski, già allievo di Galileo divenuto buon amico di Burattini, nonché rettore dell'università Jagellonica di Cracovia, gli donò una copia del trattato intitolato La bilancetta. Qui il grande pisano descriveva il metodo della bilancia idrostatica per misurare differenze di volumi tra oggetti sfruttando il principio di Archimede.
Ispirato da questo libro, Burattini scrisse una delle sue opere più celebri, La bilancia sincera, in cui analizzò il metodo proposto da Galileo. Poco dopo la stesura del suo trattato, l'agordino viene derubato dai predoni durante un viaggio in Ungheria, ma lui riscrisse il libro, aggiungendo alcune critiche al lavoro dello scienziato toscano: consapevole di avere a che fare con un gigante della scienza (nonostante fossero passati solo tre anni dalla morte di Galileo), Burattini pregò il lettore di non ritenere la sua critica troppo inappropriata e arrogante. D'altra parte, non vi erano innovazioni sostanziali dal punto di vista dell’esperimento fisico, ma soprattutto perfezionamenti ingegneristici (Burattini aveva doti eccezionali di ideatore e costruttore di strumenti di precisione).

Immagine tratta dal progetto del Dragone volante
2. Ingegneria. Intorno al 1647 apprese che un inventore francese stava realizzando una macchina in grado di volare (probabilmente si trattava di una "fake news": anche a quei tempi esistevano). Per non essere da meno, si mise al lavoro e, forte della sua competenza in fisica, progettò una macchina  denominata Dragone volante, capace, così egli sostenne, di viaggiare da Varsavia a Costantinopoli in sole dodici ore. Presentò al re di Polonia Vladislao IV il progetto, suscitando immediato scalpore ed enorme popolarità, addirittura a livello internazionale. Il successo del Dragone fu all'origine della rapida ascesa politica di Burattini presso la corte reale: nel giro di poco tempo, diventò concessionario a vita di miniere, gli furono affidate importanti missioni diplomatiche, ottenne titoli nobiliari, diventò infine gestore della Zecca reale.
Curiosamente, tuttavia, non riuscì mai a costruire la macchina progettata per mancanza di finanziamenti. Al di là di questo, il progetto sarebbe comunque fallito perché le conoscenze scientifiche e tecnologiche dell’epoca non consentivano ancora la costruzione di una macchina volante. Nel suo trattato, però, Burattini mostrò delle intuizioni geniali, tra cui l’accenno all'utilizzo di gas più leggeri dell’aria, che, nel corso del secolo successivo, avrebbero consentito finalmente il volo umano (grazie ai palloni aerostatici).
Il Dragone è una delle opere più suggestive di Burattini, grazie alla quale l'agordino viene ricordato come uno dei pionieri del volo e un precursore della moderna aviazione. Secondo alcuni fornì alcuni spunti alla vivace fantasia dello scrittore francese Cyrano de Bergerac, contemporaneo di Burattini e anche lui ideatore, seppure solo in senso letterario, di stravaganti macchine volanti (il nome di Cyrano de Bergerac è stato reso celebre dalla commedia di Edmond Rostand del 1897).

La prima pagina del trattato
di Burattini del 1675
3. Sistemi di misura. Burattini ideò un sistema universale di misura, e lo descrisse nella sua opera La misura universale del 1675. In quell'epoca la mancanza di un sistema metrico universale, che facesse finalmente ordine nel caos di unità di lunghezza, peso e tempo in uso, era un problema molto sentito tra i fisici: molti di loro se ne erano già occupati o se ne stavano occupando. Burattini era piuttosto isolato dalla comunità scientifica, ma riuscì a definire un sistema universale basato su unità di misura immutabili nel tempo e "naturali", ovvero non legate a campioni artificiali, e perciò riproducibili.
La sua idea fu quella di impiegare il secondo come unità di tempo, e di adottare un pendolo "che batte il secondo" (ovvero che compie un'oscillazione completa in 2 secondi) come strumento per definire l'unità di lunghezza. Una possibile alternativa sarebbe stata basare il sistema sulle dimensioni della Terra, ma Burattini non si fidava delle misurazioni terrestri disponibili allora, per cui optò per il pendolo.
Per costruire un siffatto pendolo serve che il filo abbia una lunghezza specifica, che Burattini chiamò "Metro Cattolico" ("cattolico" nel senso di universale). Il Metro Cattolico di Burattini corrisponde a 993 millimetri moderni. A partire dall'unità di lunghezza, Burattini derivò poi quelle di volume e di peso.
In realtà, Burattini commise alcuni errori: la legge del pendolo semplice, sulla quale si basò per collegare l'unità di tempo all'unità di lunghezza, non vale sempre come lui erroneamente pensava, ma solo per piccoli angoli (questo era già noto, ma Burattini non lo sapeva); inoltre la legge stessa contiene un parametro, l'accelerazione di gravità, che varia a seconda del luogo della Terra in cui ci si trova (e anche questo Burattini non lo sapeva).
La proposta di Burattini di adottare il pendolo che batte il secondo non era affatto nuova: ci aveva pensato ad esempio Christiaan Huygens pochi anni prima. Il lavoro di Burattini, tuttavia, resta geniale e innovativo, tanto più se si considera appunto la lontananza di Burattini dai centri di ricerca importanti dell'epoca, perché egli fu il primo:
a) a proporre il termine «metro»
b) a creare un sistema coerente di multipli e sottomultipli
c) a dedicare un libro intero al problema della misura.
Nonostante la sua genialità, il Metro Cattolico di Burattini non ebbe fortuna, cioè purtroppo non venne adottato da nessuno. Si dovette aspettare il 1791, quando, in piena Rivoluzione Francese, venne definito e adottato per la prima volta un "metro" (riprendendo la parola ideata da Burattini): la sua definizione però si basava sulle dimensioni della Terra e non sul pendolo. Successivamente la definizione di metro venne più volte rivista (nel 1899, nel 1967 e nel 1983), perché si capì che le misurazioni terrestre utilizzate erano troppo incerte. Oggi, nonostante sia usato un metro diverso da quello di Burattini, abbiamo comunque un'unità con lo stesso nome di quella ideata dall'agordino, basata sull'unità di tempo come aveva intuito lui, e quasi uguale al Metro Cattolico (soltanto 7 mm di differenza)!

Burattini non fu solo fisico e ingegnere, ma anche architetto regio, matematico (in particolare studioso di geometria), ottico, astronomo, e molte altre cose.
Comunque, come probabilmente si è già intuito, non vorrei parlare di lui come fisico o architetto, ma come costruttore di calcolatrici e pioniere del calcolo meccanico. Come accennavo, il contributo di Tito Livio Burattini in questo settore è stato fondamentale nella storia di questi meccanismi, al punto che il nome dello scienziato agordino merita di essere scritto, a pieno titolo, accanto a quelli di Wilhelm Schickard, Blaise Pascal, Gottfried Wilhelm Von Leibniz nella storia delle prime calcolatrici meccaniche.
Eppure pochissime persone, anche tra chi si occupa di informatica, hanno mai sentito nominare il nome di Burattini, e un numero ancora più esiguo conosce il suo ruolo determinante tra i pionieri del calcolo meccanico.
A tale scopo, mi piace ricordare un piccolo aneddoto che ho raccontato anche al convegno di Agordo di cui parlavo all'inizio del post. Era il mio primo anno di ingegneria informatica a Padova, e la prima lezione del corso di Fondamenti di Informatica I. Il professore iniziò a delineare una breve storia dell’informatica, partendo appunto dai primi tentativi seicenteschi di costruire calcolatrici meccaniche capaci di eseguire semplici operazioni aritmetiche. Ebbene, il docente citò la celebre Pascalina, l’altrettanto famosa macchina di Leibniz, ma tacque completamente del congegno di Schickard, e ovviamente della macchina costruita dal nostro Burattini. Io stesso, per molti anni ancora, non seppi dell’esistenza del grande agordino. Solo a parziale scusante di questa ignoranza, potrei forse accampare il fatto che non sono bellunese di origine, ma veronese.
Solo una dozzina di anni fa, dopo aver conosciuto mia moglie, bellunese, entrai a contatto con le glorie del territorio dolomitico, e scoprii, con sorpresa ed entusiasmo, la figura maestosa e sottovalutata di Tito Livio Burattini.

La storia della calcolatrice di Burattini è molto affascinante ed è resa ancora più intrigante dalla presenza di un mistero, ancora non completamente risolto. Ve ne parlerò in dettaglio nella seconda parte di questo post.

sabato 19 maggio 2018

La citazione matematica del sabato (#3)




In matematica l'arte di porre un problema deve essere considerata di maggior valore rispetto a quella di risolvere un problema.

Georg Cantor

giovedì 17 maggio 2018

L'immagine matematica del giovedì (#3)

Un quadrato greco-latino di ordine 10 
(In ogni colonna e in ogni riga i colori dei quadrati esterni e i colori dei quadrati interni compaiono una sola volta. Inoltre nessuna combinazione dei due colori compare più di una volta)

martedì 15 maggio 2018

Gli enigmi di Coelum: Celesti geometrie

Con questo post si conclude la rubrica "Gli enigmi di Coelum": ho infatti riproposto in questo blog, per gentile concessione dell'editore, tutti i miei articoli pubblicati tra 2013 e 2015 sul sito di Coelum Astronomia come approfondimento degli enigmi proposti sulla rivista cartacea.
L'ultimo enigma che vi presenta riguarda la teoria di Ramsey, ed è stato pubblicato sul numero 188 di Coelum.

La teoria di Ramsey
Se fin dai tempi più remoti l’uomo ha creduto di scorgere nel cielo forme familiari, profili di personaggi mitologici, sagome di animali esistenti sulla Terra o fantastici, lo dobbiamo forse a una teoria matematica sviluppata nel 1928 da un venticinquenne inglese: Frank Plumpton Ramsey.
Nell’articolo del numero 188 ho accennato alla vicenda di questo genio della matematica, che fu anche un brillante logico e un illustre economista. Ramsey nacque e crebbe a Cambridge, dove suo padre, insegnante di matematica, era preside del prestigioso Magdalene College.
Dopo il diploma, conseguito nel 1925, Ramsey si unì al gruppo di ricerca coordinato dal celebre economista John Maynard Keynes, e scrisse un paio di articoli di economia matematica tuttora molto citati.

Nel giro di pochi anni si occupò anche di logica, di filosofia, di statistica e teoria della probabilità, di psicologia cognitivista e semantica. Chi lo conosceva lo descriveva come un pensatore cristallino, sempre in grado di costruire ragionamenti perfettamente coerenti e di evitare trappole logiche.

Frank Plumpton Ramsey
(1903 – 1930)
Nel 1930 dovette sottoporsi a una operazione chirurgica addominale, e purtroppo, per le complicazioni sopraggiunte dopo l’intervento, morì tragicamente prima del suo ventisettesimo compleanno.
La teoria che Ramsey sviluppò nel 1928 afferma che in qualsiasi struttura abbastanza ricca di elementi, non importa se si tratta di un insieme di stelle, o di un gruppo di persone, o di una sequenza di numeri, è inevitabile osservare delle configurazioni regolari. In altre parole, anche dove il caos sembra regnare, esiste sempre un po’ di ordine.
Ma quanto ricca deve essere la struttura considerata, per far emergere l’ordine dentro di sé? Questa è la difficile domanda connessa alla teoria di Ramsey. La risposta dipende ovviamente dal tipo di problema ramseyano che viene studiato.

Nell’articolo su Coelum descrivevo il famoso esempio della festa: quanti devono essere gli invitati a un ricevimento per essere certi che tre di loro si conoscano l’un l’altro oppure che tre di loro non si conoscano a vicenda?
Per risolvere il rompicapo, si potrebbe pensare di considerare tutte le possibili combinazioni e verificare se in ognuna c’è un terzetto di reciproci conoscenti o un terzetto di totali estranei. Ma quante sono le possibili combinazioni? Per una festa con 6 invitati, vi sono 15 relazioni interpersonali da prendere in esame: infatti per ognuna delle 6 persone ci sono 5 altre persone con cui avere a che fare, ma per evitare di considerare ogni legame due volte, dobbiamo dividere per 2: quindi (6 × 5) / 2 = 15). Dato che ognuna di queste 15 relazioni può essere di conoscenza o di estraneità, le possibili combinazioni sono 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, ovvero, scritto in modo più compatto come amano fare i matematici, 215, che è uguale a 32.768.

Non appena si considerano feste più affollate, questo algoritmo di “forza bruta” diventa decisamente poco efficiente. In realtà esiste un approccio molto più semplice per risolvere il problem. Immaginiamo che i 6 invitati si chiamino Antonella, Bruno, Cinzia, Davide, Elena e Fausto. Supponiamo che Antonella conosca almeno tre delle altre persone: ad esempio Bruno, Cinzia e Davide. Ora, se Bruno e Cinzia, oppure Bruno e Davide, oppure Cinzia e Davide si conoscono tra di loro, allora Antonella e la coppia di conoscenti sono un terzetto di reciproci conoscenti; altrimenti Bruno, Cinzia e Davide sono un terzetto di totali estranei.
Supponiamo invece che Antonella conosca non più di due fra le altre persone: ad esempio Bruno e Cinzia. Se Davide ed Elena, oppure Davide e Fausto, o Elena e Fausto non si conoscono tra di loro, ecco che Antonella e la coppia di estranei sono tre persone che non si conoscono tra loro; altrimenti Davide, Elena e Fausto sono un trio di conoscenti. Abbiamo facilmente dimostrato che in un gruppo di sei persone devono esserci per forza tre conoscenti o tre estranei!
Se la festa avesse soli 5 invitati, invece, questa certezza non esisterebbe: in questo caso, infatti, potreste facilmente trovare una “configurazione” di conoscenze in cui non esiste alcun terzetto di reciproci conoscenti o di totali estranei.
Diversi problemi di Ramsey ammettono soluzioni diverse. Tuttavia vale sempre il concetto fondamentale: esiste una soglia di complessità del sistema considerato sopra la quale esistono sicuramente strutture ordinate di un certo tipo.

Una festa con 17 invitati
(da "Le scienze" n. 265, settembre 1990)
Se, anziché ricercare terzetti di conoscenti o di estranei, fossimo interessati ai quartetti, avremmo bisogno di 18 invitati. La figura seguente mostra un esempio di festa con 17 persone, in cui non esistono quartetti di reciproci conoscenti o di totali estranei: gli invitati sono rappresentati dai pallini bianchi, le relazioni di conoscenza e di estraneità rispettivamente dalle linee rosse e dalle linee blu.
Il problema analogo relativo a quintetti e sestetti, invece, è tuttora irrisolto.
Negli anni Sessanta del secolo scorso, due ricercatori americani, Alfred Hales e Robert Jewett, provarono ad applicare la teoria di Ramsey al gioco del tris, e dimostrarono che versioni abbastanza “ricche” del gioco portano sempre alla vittoria di uno dei due giocatori, rendendo impossibili le “patte”.

Che cosa s’intende per versioni ricche? Il tris classico si gioca su una scacchiera bidimensionale 3 × 3, ma nessuno ci vieta di immaginare versioni tridimensionali, o in generale a N dimensioni (con N ≥ 2), e possiamo anche pensare a scacchiere di dimensioni via via crescenti.
Per esempio, Hales e Jewett trovarono che, in un tris giocato su un cubo tridimensionale 3 × 3 × 3, comunque vengano collocati i cerchietti e le croci, la partita finirà sicuramente con tre cerchi in fila o con tre croci in fila.

L’enigma
I lettori di Coelum che si sono cimentati nella risoluzione dell‘enigma di gennaio hanno dovuto rompersi un po’ la testa sulle “triplette” nascoste all’interno di successioni di numeri interi. Una tripletta contenuta in una successione è una sequenza di tre numeri della successione posti in progressione aritmetica. Per esempio, nella successione 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, sono triplette valide (1, 5, 9), oppure (2, 3, 4), oppure (4, 6, 8), e così via.

Il quesito era il seguente.

Prendiamo i numeri interi compresi tra 1 ed N, e coloriamo ciascuno di essi di rosso o di blu, a nostro piacere. Quanto deve essere grande N perché, comunque scegliamo la colorazione dei numeri, vi siano sicuramente delle triplette dello stesso colore?

Nell’articolo, facevo notare che N = 7 è un valore ancora troppo basso: un controesempio è dato dalla successione 1 2 3 4 5 6 7, in cui non esistono triplette monocromatiche. È sufficiente prendere N = 8 per far comparire inevitabilmente le triplette monocolore? Oppure occorre salire a N = 9? Oppure ancora più in alto? O forse, per quanto si aumenti il valore di N, si può sempre evitare l’insorgenza di triplette dello stesso colore? (quest’ultima possibilità, come potete notare, sarebbe contraria alla teoria di Ramsey…)
Il problema delle triplette monocromatiche fu sollevato nel 1926 da un matematico olandese, Bartel Leendert van der Waerden, il quale si accorse che, non appena N diventava abbastanza grande, le triplette monocromatiche saltavano fuori sempre. Lo studioso trovò che il fenomeno si applicava anche al caso di sequenze più grandi delle triplette: in generale gruppi di M numeri separati tra di loro per progressione aritmetica.

Bartel Leendert van der Waerden
(1903 – 1996)
Per dimostrare rigorosamente il teorema, van der Waerden chiese l’aiuto dei colleghi Emil Artin e Otto Schreier. Lo stesso van der Waerden, qualche anno dopo, scrisse:

Andammo nell’ufficio di Artin, al Dipartimento di matematica dell’Università di Amburgo, e cercammo di trovare una dimostrazione. Tracciammo qualche diagramma sulla lavagna. Avevamo quelle che in tedesco si chiamano Einfiille: idee improvvise che vengono fulminee alla mente. Più volte queste nuove idee impressero una svolta alla discussione e alla fine una di esse portò alla soluzione.

Alla fine van der Waerden escogitò una tecnica di dimostrazione basata su una forma particolare di induzione. Il risultato è, evidentemente, un’ulteriore applicazione della teoria di Ramsey, e non a caso viene spesso ricordato come teorema di Ramsey per le progressioni aritmetiche. In molti casi viene però menzionato come teorema di van der Waerden.
Secondo il teorema di van der Waerden, quindi, l’enigma di gennaio ha senso. Ma rimane il problema: quanto deve essere lunga la successione di interi affinché, colorandola arbitrariamente, le triplette monocolore compaiano con certezza?

La soluzione 
La risposta al quesito posto era N = 9. Attraverso quale ragionamento si poteva arrivare alla risposta corretta? Evidentemente occorreva trovare un valore di N -1 per il quale esisteva una colorazione che non generava triplette monocromatiche, e mostrare che, invece, già per N, diventava inevitabile la comparsa di tali famigerate strutture.
Ebbene, coloriamo come segue la successione dei primi N – 1 = 8 interi:

1 2 3 4 5 6 7 8

Come potete vedere, non ci sono triplette né rosse né blu.

Con N = 9, invece, indipendentemente dallo schema di colorazione adottato, ci possiamo trovare in due casi:

• il 4 e il 6 hanno lo stesso colore

oppure

• il 4 e il 6 sono di colore diverso.

Analizziamo il primo caso, e supponiamo che il 4 e il 6 siano colorati di blu:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Per evitare la tripletta (4, 5, 6), il 5 deve essere colorato di rosso:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ora, per evitare le triplette (2, 4, 6) e (4, 6, 8), dobbiamo colorare di rosso anche il 2 e l’8:

1 24 5 6 7 8 9

Notate qualcosa di strano? Eh già, è comparsa la tripletta (2, 5, 8). Cercando di evitare le triplette blu, si è creata una tripletta rossa!

Consideriamo ora il secondo caso, in cui il 4 e il 6 sono di colore diverso: per esempio il 4 è rosso e il 6 è blu:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Possiamo allora colorare il 5 di rosso o di blu senza che si crei una tripletta. Decidiamo di colorarlo di rosso:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A questo punto, siamo costretti a colorare di seguito:

• il 3 di blu, per evitare la tripletta (3, 4, 5)
• il 9 di rosso, per evitare la tripletta (3, 6, 9)
• il 7 di blu, per evitare la tripletta (5, 7, 9)
• l’8 di rosso, per evitare la tripletta (6, 7, 8)
• il 2 di blu, per evitare la tripletta (2, 5, 8)
• l’1 di rosso, per evitare la tripletta (1, 2, 3)

La successione finale è quindi la seguente:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ma attenzione! C’è anche qui una tripletta monocromatica: (1, 5, 9)!
Abbiamo quindi dimostrato che, comunque si colori la successione iniziale, le triplette ci sono per forza!

sabato 12 maggio 2018

La citazione matematica del sabato (#2)





Dico loro che se si occuperanno dello studio della matematica troveranno in essa il miglior rimedio contro la concupiscenza della carne.

Thomas Mann, "La montagna incantata"

giovedì 10 maggio 2018

L'immagine matematica del giovedì (#2)


Un bell'esemplare di "icosaedro troncato" (altrimenti noto come "pallone Telstar" o "backminsterfullerene"), ritrovato all'interno di un parco giochi per bambini.

martedì 8 maggio 2018

Gli enigmi di Coelum: Questo titolo ha 25 caratteri


Autosimilarità
Nel numero 187 di Coelum ho parlato di autosimilarità, o, se preferite, di autosomiglianza: il fenomeno che si verifica quando un oggetto è simile a una sua parte. Prendete la copertina di Ummagumma, celebre doppio album dei Pink Floyd uscito nel 1969: in primo piano si vede il chitarrista David Gilmour, seduto, mentre gli altri tre componenti del gruppo sono dietro di lui, ognuno in un punto specifico. Appesa al muro si nota una fotografia incorniciata, che riproduce in versione rimpicciolita la scena complessiva, con i quattro musicisti negli stessi posti, ma “ruotati” di una posizione rispetto al primo livello.

Anche nell’immagine appesa si osserva una fotografia, che di nuovo ripropone la solita scena globale, qui ancora più piccola e con l’unica differenza della ulteriore rotazione delle posizioni delle persone. E così via, fino ad arrivare al quarto livello nella prima edizione del disco, o addirittura virtualmente all’infinito nelle edizioni più recenti.

Quando vidi per la prima volta questa copertina, ne rimasi talmente affascinato che, qualche anno dopo, scrissi sull’argomento un articolo: questo post ha rappresentato l’embrione del mio e-book La matematica dei Pink Floyd, pubblicato nel gennaio 2014 dalla casa editrice 40K.


La copertina di Ummagumma è un ottimo esempio di immagine autosimile, ma non è certo l’unico.
Un’altra famosa raffigurazione autosimile è quella della confezione di primo Novecento del cacao Droste, in cui una donna regge un mano un vassoio sul quale si trova una confezione identica, e così via all’infinito. Il caso del cacao olandese ha fornito anche un nome alternativo al fenomeno dell’autosimilarità: “effetto Droste”.

Esempi, per così dire, più matematici, sono offerti dagli oggetti dalla geometria frattale. Le linee costiere sono autosimili perché mostrano strutture molto simili se osservate a diverse scale d’ingrandimento: come dire che le curve dei litorali che troviamo su una carta geografica dell’Europa assomigliano molto alla linea di separazione tra l’acqua e la terraferma che possiamo osservare passeggiando d’estate sul bagnasciuga. Gli oggetti che presentano questa caratteristica si dicono frattali: in natura si trovano molti esempi, tra cui le nuvole, gli alberi, il profilo delle montagne, i cristalli di ghiaccio, certe foglie e fiori, alcuni ortaggi, come il broccolo romanesco. La geometria frattale ha rappresentato la frontiera più affascinante della geometria del Novecento, e uno dei suoi pionieri più importanti è stato il matematico polacco Benoit Mandelbrot.

Anche nell’arte figurativa si possono trovare esempi di opere autosimili: nel polittico Stefaneschi di Giotto, infatti, si osserva (nella figura qui a destra) il committente dell’opera che regge in mano un modellino del polittico stesso.

Ricorsione
La ricorsione, o ricorsività, è un po’ la formulazione matematica e informatica del fenomeno dell’autosimilarità. Nell’articolo di Moebius ho citato il fattoriale come esempio di funzione ricorsiva. Nell’informatica teorica la teoria delle funzioni ricorsive rappresenta un ambito di studio di grande importanza, anche perché si dimostra che le funzioni che in un qualche senso intuitivo possono essere considerate “calcolabili” lo sono sulla base di procedimenti ricorsivi.

D’altra parte le procedure ricorsive non sono bizzarrie da accademici dell’informatica teorica, ma algoritmi presenti in moltissimi programmi di utilizzo comune: per esempio, quando sul vostro smartphone scorrete la rubrica dei vostri contatti, dietro le quinte ha agito molto probabilmente un algoritmo ricorsivo che ha ordinato alfabeticamente la lista di nomi.

Nell’articolo di Moebius citavo la canzone Abate cruento di Elio e le Storie Tese, che parla di un “sogno strutturato a matrioska”.

Questa notte ho fatto un sogno strutturato a matrioska:
io sognavo di sognare che un abate un po’ cruento
dopo avermi esaminato mi ordinava di svegliarmi.
Io ubbidiente gli ubbidivo, cioè sognavo di svegliarmi
e me lo ritrovavo accanto con quel fare suo cruento,
lui che mi riesaminava, io che gli chiedevo affranto:
“Dimmi, abate, perché insisti nell’esaminarmi attento?
Ho commesso forse un atto che fu inviso all’abbazia?”
Egli, colto alla sprovvista, non sapendo fare meglio,
mi ordinò seduta stante di procedere a un risveglio.

Non deve stupire che Stefano Belisari, in arte Elio, si serva della ricorsione come materiale per il testo di un brano pop: l’autore della canzone è infatti laureato in ingegneria elettronica, e sicuramente gli algoritmi ricorsivi devono avere occupato a lungo i pensieri di Elio durante i suoi studi. La procedura “sogno” viene qui invocata due volte: la prima volta dal “programma” principale, e la seconda dalla procedura stessa, in modo ricorsivo. In entrambi i casi l’esecuzione della procedura viene interrotta dall’intervento dell’abate cruento, che ordina al sognatore di risvegliarsi. Alla seconda uscita il protagonista viene quindi riportato allo stato normale di veglia.


Autoreferenza
Quando l’autosimilarità riguarda frasi anziché oggetti, ecco che facciamo meglio a parlare di autoreferenza, o autoreferenzialità. Una frase autoreferente è una frase che parla di se stessa.
I filosofi parlano di autoreferenza per indicare il processo attraverso il quale l’individuo diventa in grado di riferirsi a se stesso usando il pronome io.

L’uroboro, il drago immaginario illustrato in figura qui a sinistra, è un simbolo dell’autoreferenza perché è sempre raffigurato mentre morde la propria coda. Qualcosa di simile alle Mani che disegnano del grafico olandese Maurits Cornelis Escher, celebre per le sue geometrie impossibili e per i suoi disegni vertiginosi (immagine in basso a destra).


Il bellissimo romanzo Se una notte d’inverno un viaggiatore di Italo Calvino ha un geniale incipit autoreferenziale, in cui il libro cita se stesso:

Stai per cominciare a leggere il nuovo romanzo “Se una notte d’inverno un viaggiatore” di Italo Calvino. Rilassati. Raccogliti. Allontana da te ogni altro pensiero. Lascia che il mondo che ti circonda sfumi nell’indistinto…

Anche le Mille e una notte, l’Amleto di Shakespeare, il Don Chisciotte della Mancia di Miguel de Cervantes, i Sei personaggi in cerca d’autore di Pirandello, nascondono in sé elementi di autoreferenzialità.


Occorre fare molta attenzione quando si maneggiano frasi autoreferenziali, perché si rischia facilmente di cadere nel paradosso. Per esempio, una frase autoreferente come:

Questa frase è falsa

implica che la frase afferma appunto il falso, e quindi è vera: ma se è vera dobbiamo credere al suo assunto iniziale, e cioè al fatto che sia falsa, e così via. Continuiamo a oscillare tra la verità e la falsità della frase, senza poter decidere tra una e l’altra.
Questo famoso paradosso è noto come paradosso del mentitore. Il filosofo francese Jean Buridan, italianizzato in Giovanni Buridano, formulò una versione alternativa di questo paradosso, spezzando la frase in due affermazioni:

Socrate dice “Platone dice il falso”

Platone dice “Socrate dice il vero”

Se ipotizziamo che Socrate sia sincero, allora dobbiamo concludere che Platone mente; ma allora dobbiamo credere che Socrate non dice il vero. Questo è in contrasto con la nostra ipotesi iniziale: e di nuovo cadiamo in una catena infinito di contraddizioni.

Un’altra versione del paradosso del mentitore è rappresentato dalla frase

Tutti i cretesi sono bugiardi

che di per sé non è paradossale, ma lo diventa immediatamente se pronunciata da un cretese!

L’enigma del numero 187 proponeva una frase autoreferenziale incompleta, e richiedeva di riempirne i buchi con cifre numeriche singole, mantenendo la coerenza logica della frase:

In questa frase, la cifra 0 è presente _ volta/e, la cifra 1 è presente _ volta/e, la cifra 2 è presente _ volta/e, la cifra 3 è presente _ volta/e, la cifra 4 è presente _ volta/e, la cifra 5 è presente _ volta/e, la cifra 6 è presente _ volta/e, la cifra 7 è presente _ volta/e, la cifra 8 è presente _ volta/e, e la cifra 9 è presente _ volta/e.

Ebbene, la soluzione prevedeva di riempire gli spazi vuoti rispettivamente con queste cifre:

1, 7, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1.

La frase diventa così la seguente:

In questa frase, la cifra 0 è presente 1 volta, la cifra 1 è presente 7 volte, la cifra 2 è presente 3 volte, la cifra 3 è presente 2 volte, la cifra 4 è presente 1 volta, la cifra 5 è presente 1 volta, la cifra 6 è presente 1 volta, la cifra 7 è presente 2 volte, la cifra 8 è presente 1 volta, e la cifra 9 è presente 1 volta.

Se controllate, la frase così sistemata è perfettamente coerente e veritiera.

Geometrie pallonare da Uruguay 1930 a Russia 2018

Vi serve un'idea per ingannare il tempo nell'attesa delle semifinali e della finale di Russia 2018? Eccovi accontentati: un post sul...