sabato 19 maggio 2018

La citazione matematica del sabato (#3)




In matematica l'arte di porre un problema deve essere considerata di maggior valore rispetto a quella di risolvere un problema.

Georg Cantor

giovedì 17 maggio 2018

L'immagine matematica del giovedì (#3)

Un quadrato greco-latino di ordine 10 
(In ogni colonna e in ogni riga i colori dei quadrati esterni e i colori dei quadrati interni compaiono una sola volta. Inoltre nessuna combinazione dei due colori compare più di una volta)

martedì 15 maggio 2018

Gli enigmi di Coelum: Celesti geometrie

Con questo post si conclude la rubrica "Gli enigmi di Coelum": ho infatti riproposto in questo blog, per gentile concessione dell'editore, tutti i miei articoli pubblicati tra 2013 e 2015 sul sito di Coelum Astronomia come approfondimento degli enigmi proposti sulla rivista cartacea.
L'ultimo enigma che vi presenta riguarda la teoria di Ramsey, ed è stato pubblicato sul numero 188 di Coelum.

La teoria di Ramsey
Se fin dai tempi più remoti l’uomo ha creduto di scorgere nel cielo forme familiari, profili di personaggi mitologici, sagome di animali esistenti sulla Terra o fantastici, lo dobbiamo forse a una teoria matematica sviluppata nel 1928 da un venticinquenne inglese: Frank Plumpton Ramsey.
Nell’articolo del numero 188 ho accennato alla vicenda di questo genio della matematica, che fu anche un brillante logico e un illustre economista. Ramsey nacque e crebbe a Cambridge, dove suo padre, insegnante di matematica, era preside del prestigioso Magdalene College.
Dopo il diploma, conseguito nel 1925, Ramsey si unì al gruppo di ricerca coordinato dal celebre economista John Maynard Keynes, e scrisse un paio di articoli di economia matematica tuttora molto citati.

Nel giro di pochi anni si occupò anche di logica, di filosofia, di statistica e teoria della probabilità, di psicologia cognitivista e semantica. Chi lo conosceva lo descriveva come un pensatore cristallino, sempre in grado di costruire ragionamenti perfettamente coerenti e di evitare trappole logiche.

Frank Plumpton Ramsey
(1903 – 1930)
Nel 1930 dovette sottoporsi a una operazione chirurgica addominale, e purtroppo, per le complicazioni sopraggiunte dopo l’intervento, morì tragicamente prima del suo ventisettesimo compleanno.
La teoria che Ramsey sviluppò nel 1928 afferma che in qualsiasi struttura abbastanza ricca di elementi, non importa se si tratta di un insieme di stelle, o di un gruppo di persone, o di una sequenza di numeri, è inevitabile osservare delle configurazioni regolari. In altre parole, anche dove il caos sembra regnare, esiste sempre un po’ di ordine.
Ma quanto ricca deve essere la struttura considerata, per far emergere l’ordine dentro di sé? Questa è la difficile domanda connessa alla teoria di Ramsey. La risposta dipende ovviamente dal tipo di problema ramseyano che viene studiato.

Nell’articolo su Coelum descrivevo il famoso esempio della festa: quanti devono essere gli invitati a un ricevimento per essere certi che tre di loro si conoscano l’un l’altro oppure che tre di loro non si conoscano a vicenda?
Per risolvere il rompicapo, si potrebbe pensare di considerare tutte le possibili combinazioni e verificare se in ognuna c’è un terzetto di reciproci conoscenti o un terzetto di totali estranei. Ma quante sono le possibili combinazioni? Per una festa con 6 invitati, vi sono 15 relazioni interpersonali da prendere in esame: infatti per ognuna delle 6 persone ci sono 5 altre persone con cui avere a che fare, ma per evitare di considerare ogni legame due volte, dobbiamo dividere per 2: quindi (6 × 5) / 2 = 15). Dato che ognuna di queste 15 relazioni può essere di conoscenza o di estraneità, le possibili combinazioni sono 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, ovvero, scritto in modo più compatto come amano fare i matematici, 215, che è uguale a 32.768.

Non appena si considerano feste più affollate, questo algoritmo di “forza bruta” diventa decisamente poco efficiente. In realtà esiste un approccio molto più semplice per risolvere il problem. Immaginiamo che i 6 invitati si chiamino Antonella, Bruno, Cinzia, Davide, Elena e Fausto. Supponiamo che Antonella conosca almeno tre delle altre persone: ad esempio Bruno, Cinzia e Davide. Ora, se Bruno e Cinzia, oppure Bruno e Davide, oppure Cinzia e Davide si conoscono tra di loro, allora Antonella e la coppia di conoscenti sono un terzetto di reciproci conoscenti; altrimenti Bruno, Cinzia e Davide sono un terzetto di totali estranei.
Supponiamo invece che Antonella conosca non più di due fra le altre persone: ad esempio Bruno e Cinzia. Se Davide ed Elena, oppure Davide e Fausto, o Elena e Fausto non si conoscono tra di loro, ecco che Antonella e la coppia di estranei sono tre persone che non si conoscono tra loro; altrimenti Davide, Elena e Fausto sono un trio di conoscenti. Abbiamo facilmente dimostrato che in un gruppo di sei persone devono esserci per forza tre conoscenti o tre estranei!
Se la festa avesse soli 5 invitati, invece, questa certezza non esisterebbe: in questo caso, infatti, potreste facilmente trovare una “configurazione” di conoscenze in cui non esiste alcun terzetto di reciproci conoscenti o di totali estranei.
Diversi problemi di Ramsey ammettono soluzioni diverse. Tuttavia vale sempre il concetto fondamentale: esiste una soglia di complessità del sistema considerato sopra la quale esistono sicuramente strutture ordinate di un certo tipo.

Una festa con 17 invitati
(da "Le scienze" n. 265, settembre 1990)
Se, anziché ricercare terzetti di conoscenti o di estranei, fossimo interessati ai quartetti, avremmo bisogno di 18 invitati. La figura seguente mostra un esempio di festa con 17 persone, in cui non esistono quartetti di reciproci conoscenti o di totali estranei: gli invitati sono rappresentati dai pallini bianchi, le relazioni di conoscenza e di estraneità rispettivamente dalle linee rosse e dalle linee blu.
Il problema analogo relativo a quintetti e sestetti, invece, è tuttora irrisolto.
Negli anni Sessanta del secolo scorso, due ricercatori americani, Alfred Hales e Robert Jewett, provarono ad applicare la teoria di Ramsey al gioco del tris, e dimostrarono che versioni abbastanza “ricche” del gioco portano sempre alla vittoria di uno dei due giocatori, rendendo impossibili le “patte”.

Che cosa s’intende per versioni ricche? Il tris classico si gioca su una scacchiera bidimensionale 3 × 3, ma nessuno ci vieta di immaginare versioni tridimensionali, o in generale a N dimensioni (con N ≥ 2), e possiamo anche pensare a scacchiere di dimensioni via via crescenti.
Per esempio, Hales e Jewett trovarono che, in un tris giocato su un cubo tridimensionale 3 × 3 × 3, comunque vengano collocati i cerchietti e le croci, la partita finirà sicuramente con tre cerchi in fila o con tre croci in fila.

L’enigma
I lettori di Coelum che si sono cimentati nella risoluzione dell‘enigma di gennaio hanno dovuto rompersi un po’ la testa sulle “triplette” nascoste all’interno di successioni di numeri interi. Una tripletta contenuta in una successione è una sequenza di tre numeri della successione posti in progressione aritmetica. Per esempio, nella successione 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, sono triplette valide (1, 5, 9), oppure (2, 3, 4), oppure (4, 6, 8), e così via.

Il quesito era il seguente.

Prendiamo i numeri interi compresi tra 1 ed N, e coloriamo ciascuno di essi di rosso o di blu, a nostro piacere. Quanto deve essere grande N perché, comunque scegliamo la colorazione dei numeri, vi siano sicuramente delle triplette dello stesso colore?

Nell’articolo, facevo notare che N = 7 è un valore ancora troppo basso: un controesempio è dato dalla successione 1 2 3 4 5 6 7, in cui non esistono triplette monocromatiche. È sufficiente prendere N = 8 per far comparire inevitabilmente le triplette monocolore? Oppure occorre salire a N = 9? Oppure ancora più in alto? O forse, per quanto si aumenti il valore di N, si può sempre evitare l’insorgenza di triplette dello stesso colore? (quest’ultima possibilità, come potete notare, sarebbe contraria alla teoria di Ramsey…)
Il problema delle triplette monocromatiche fu sollevato nel 1926 da un matematico olandese, Bartel Leendert van der Waerden, il quale si accorse che, non appena N diventava abbastanza grande, le triplette monocromatiche saltavano fuori sempre. Lo studioso trovò che il fenomeno si applicava anche al caso di sequenze più grandi delle triplette: in generale gruppi di M numeri separati tra di loro per progressione aritmetica.

Bartel Leendert van der Waerden
(1903 – 1996)
Per dimostrare rigorosamente il teorema, van der Waerden chiese l’aiuto dei colleghi Emil Artin e Otto Schreier. Lo stesso van der Waerden, qualche anno dopo, scrisse:

Andammo nell’ufficio di Artin, al Dipartimento di matematica dell’Università di Amburgo, e cercammo di trovare una dimostrazione. Tracciammo qualche diagramma sulla lavagna. Avevamo quelle che in tedesco si chiamano Einfiille: idee improvvise che vengono fulminee alla mente. Più volte queste nuove idee impressero una svolta alla discussione e alla fine una di esse portò alla soluzione.

Alla fine van der Waerden escogitò una tecnica di dimostrazione basata su una forma particolare di induzione. Il risultato è, evidentemente, un’ulteriore applicazione della teoria di Ramsey, e non a caso viene spesso ricordato come teorema di Ramsey per le progressioni aritmetiche. In molti casi viene però menzionato come teorema di van der Waerden.
Secondo il teorema di van der Waerden, quindi, l’enigma di gennaio ha senso. Ma rimane il problema: quanto deve essere lunga la successione di interi affinché, colorandola arbitrariamente, le triplette monocolore compaiano con certezza?

La soluzione 
La risposta al quesito posto era N = 9. Attraverso quale ragionamento si poteva arrivare alla risposta corretta? Evidentemente occorreva trovare un valore di N -1 per il quale esisteva una colorazione che non generava triplette monocromatiche, e mostrare che, invece, già per N, diventava inevitabile la comparsa di tali famigerate strutture.
Ebbene, coloriamo come segue la successione dei primi N – 1 = 8 interi:

1 2 3 4 5 6 7 8

Come potete vedere, non ci sono triplette né rosse né blu.

Con N = 9, invece, indipendentemente dallo schema di colorazione adottato, ci possiamo trovare in due casi:

• il 4 e il 6 hanno lo stesso colore

oppure

• il 4 e il 6 sono di colore diverso.

Analizziamo il primo caso, e supponiamo che il 4 e il 6 siano colorati di blu:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Per evitare la tripletta (4, 5, 6), il 5 deve essere colorato di rosso:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ora, per evitare le triplette (2, 4, 6) e (4, 6, 8), dobbiamo colorare di rosso anche il 2 e l’8:

1 24 5 6 7 8 9

Notate qualcosa di strano? Eh già, è comparsa la tripletta (2, 5, 8). Cercando di evitare le triplette blu, si è creata una tripletta rossa!

Consideriamo ora il secondo caso, in cui il 4 e il 6 sono di colore diverso: per esempio il 4 è rosso e il 6 è blu:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Possiamo allora colorare il 5 di rosso o di blu senza che si crei una tripletta. Decidiamo di colorarlo di rosso:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A questo punto, siamo costretti a colorare di seguito:

• il 3 di blu, per evitare la tripletta (3, 4, 5)
• il 9 di rosso, per evitare la tripletta (3, 6, 9)
• il 7 di blu, per evitare la tripletta (5, 7, 9)
• l’8 di rosso, per evitare la tripletta (6, 7, 8)
• il 2 di blu, per evitare la tripletta (2, 5, 8)
• l’1 di rosso, per evitare la tripletta (1, 2, 3)

La successione finale è quindi la seguente:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ma attenzione! C’è anche qui una tripletta monocromatica: (1, 5, 9)!
Abbiamo quindi dimostrato che, comunque si colori la successione iniziale, le triplette ci sono per forza!

sabato 12 maggio 2018

La citazione matematica del sabato (#2)





Dico loro che se si occuperanno dello studio della matematica troveranno in essa il miglior rimedio contro la concupiscenza della carne.

Thomas Mann, "La montagna incantata"

giovedì 10 maggio 2018

L'immagine matematica del giovedì (#2)


Un bell'esemplare di "icosaedro troncato" (altrimenti noto come "pallone Telstar" o "backminsterfullerene"), ritrovato all'interno di un parco giochi per bambini.

martedì 8 maggio 2018

Gli enigmi di Coelum: Questo titolo ha 25 caratteri


Autosimilarità
Nel numero 187 di Coelum ho parlato di autosimilarità, o, se preferite, di autosomiglianza: il fenomeno che si verifica quando un oggetto è simile a una sua parte. Prendete la copertina di Ummagumma, celebre doppio album dei Pink Floyd uscito nel 1969: in primo piano si vede il chitarrista David Gilmour, seduto, mentre gli altri tre componenti del gruppo sono dietro di lui, ognuno in un punto specifico. Appesa al muro si nota una fotografia incorniciata, che riproduce in versione rimpicciolita la scena complessiva, con i quattro musicisti negli stessi posti, ma “ruotati” di una posizione rispetto al primo livello.

Anche nell’immagine appesa si osserva una fotografia, che di nuovo ripropone la solita scena globale, qui ancora più piccola e con l’unica differenza della ulteriore rotazione delle posizioni delle persone. E così via, fino ad arrivare al quarto livello nella prima edizione del disco, o addirittura virtualmente all’infinito nelle edizioni più recenti.

Quando vidi per la prima volta questa copertina, ne rimasi talmente affascinato che, qualche anno dopo, scrissi sull’argomento un articolo: questo post ha rappresentato l’embrione del mio e-book La matematica dei Pink Floyd, pubblicato nel gennaio 2014 dalla casa editrice 40K.


La copertina di Ummagumma è un ottimo esempio di immagine autosimile, ma non è certo l’unico.
Un’altra famosa raffigurazione autosimile è quella della confezione di primo Novecento del cacao Droste, in cui una donna regge un mano un vassoio sul quale si trova una confezione identica, e così via all’infinito. Il caso del cacao olandese ha fornito anche un nome alternativo al fenomeno dell’autosimilarità: “effetto Droste”.

Esempi, per così dire, più matematici, sono offerti dagli oggetti dalla geometria frattale. Le linee costiere sono autosimili perché mostrano strutture molto simili se osservate a diverse scale d’ingrandimento: come dire che le curve dei litorali che troviamo su una carta geografica dell’Europa assomigliano molto alla linea di separazione tra l’acqua e la terraferma che possiamo osservare passeggiando d’estate sul bagnasciuga. Gli oggetti che presentano questa caratteristica si dicono frattali: in natura si trovano molti esempi, tra cui le nuvole, gli alberi, il profilo delle montagne, i cristalli di ghiaccio, certe foglie e fiori, alcuni ortaggi, come il broccolo romanesco. La geometria frattale ha rappresentato la frontiera più affascinante della geometria del Novecento, e uno dei suoi pionieri più importanti è stato il matematico polacco Benoit Mandelbrot.

Anche nell’arte figurativa si possono trovare esempi di opere autosimili: nel polittico Stefaneschi di Giotto, infatti, si osserva (nella figura qui a destra) il committente dell’opera che regge in mano un modellino del polittico stesso.

Ricorsione
La ricorsione, o ricorsività, è un po’ la formulazione matematica e informatica del fenomeno dell’autosimilarità. Nell’articolo di Moebius ho citato il fattoriale come esempio di funzione ricorsiva. Nell’informatica teorica la teoria delle funzioni ricorsive rappresenta un ambito di studio di grande importanza, anche perché si dimostra che le funzioni che in un qualche senso intuitivo possono essere considerate “calcolabili” lo sono sulla base di procedimenti ricorsivi.

D’altra parte le procedure ricorsive non sono bizzarrie da accademici dell’informatica teorica, ma algoritmi presenti in moltissimi programmi di utilizzo comune: per esempio, quando sul vostro smartphone scorrete la rubrica dei vostri contatti, dietro le quinte ha agito molto probabilmente un algoritmo ricorsivo che ha ordinato alfabeticamente la lista di nomi.

Nell’articolo di Moebius citavo la canzone Abate cruento di Elio e le Storie Tese, che parla di un “sogno strutturato a matrioska”.

Questa notte ho fatto un sogno strutturato a matrioska:
io sognavo di sognare che un abate un po’ cruento
dopo avermi esaminato mi ordinava di svegliarmi.
Io ubbidiente gli ubbidivo, cioè sognavo di svegliarmi
e me lo ritrovavo accanto con quel fare suo cruento,
lui che mi riesaminava, io che gli chiedevo affranto:
“Dimmi, abate, perché insisti nell’esaminarmi attento?
Ho commesso forse un atto che fu inviso all’abbazia?”
Egli, colto alla sprovvista, non sapendo fare meglio,
mi ordinò seduta stante di procedere a un risveglio.

Non deve stupire che Stefano Belisari, in arte Elio, si serva della ricorsione come materiale per il testo di un brano pop: l’autore della canzone è infatti laureato in ingegneria elettronica, e sicuramente gli algoritmi ricorsivi devono avere occupato a lungo i pensieri di Elio durante i suoi studi. La procedura “sogno” viene qui invocata due volte: la prima volta dal “programma” principale, e la seconda dalla procedura stessa, in modo ricorsivo. In entrambi i casi l’esecuzione della procedura viene interrotta dall’intervento dell’abate cruento, che ordina al sognatore di risvegliarsi. Alla seconda uscita il protagonista viene quindi riportato allo stato normale di veglia.


Autoreferenza
Quando l’autosimilarità riguarda frasi anziché oggetti, ecco che facciamo meglio a parlare di autoreferenza, o autoreferenzialità. Una frase autoreferente è una frase che parla di se stessa.
I filosofi parlano di autoreferenza per indicare il processo attraverso il quale l’individuo diventa in grado di riferirsi a se stesso usando il pronome io.

L’uroboro, il drago immaginario illustrato in figura qui a sinistra, è un simbolo dell’autoreferenza perché è sempre raffigurato mentre morde la propria coda. Qualcosa di simile alle Mani che disegnano del grafico olandese Maurits Cornelis Escher, celebre per le sue geometrie impossibili e per i suoi disegni vertiginosi (immagine in basso a destra).


Il bellissimo romanzo Se una notte d’inverno un viaggiatore di Italo Calvino ha un geniale incipit autoreferenziale, in cui il libro cita se stesso:

Stai per cominciare a leggere il nuovo romanzo “Se una notte d’inverno un viaggiatore” di Italo Calvino. Rilassati. Raccogliti. Allontana da te ogni altro pensiero. Lascia che il mondo che ti circonda sfumi nell’indistinto…

Anche le Mille e una notte, l’Amleto di Shakespeare, il Don Chisciotte della Mancia di Miguel de Cervantes, i Sei personaggi in cerca d’autore di Pirandello, nascondono in sé elementi di autoreferenzialità.


Occorre fare molta attenzione quando si maneggiano frasi autoreferenziali, perché si rischia facilmente di cadere nel paradosso. Per esempio, una frase autoreferente come:

Questa frase è falsa

implica che la frase afferma appunto il falso, e quindi è vera: ma se è vera dobbiamo credere al suo assunto iniziale, e cioè al fatto che sia falsa, e così via. Continuiamo a oscillare tra la verità e la falsità della frase, senza poter decidere tra una e l’altra.
Questo famoso paradosso è noto come paradosso del mentitore. Il filosofo francese Jean Buridan, italianizzato in Giovanni Buridano, formulò una versione alternativa di questo paradosso, spezzando la frase in due affermazioni:

Socrate dice “Platone dice il falso”

Platone dice “Socrate dice il vero”

Se ipotizziamo che Socrate sia sincero, allora dobbiamo concludere che Platone mente; ma allora dobbiamo credere che Socrate non dice il vero. Questo è in contrasto con la nostra ipotesi iniziale: e di nuovo cadiamo in una catena infinito di contraddizioni.

Un’altra versione del paradosso del mentitore è rappresentato dalla frase

Tutti i cretesi sono bugiardi

che di per sé non è paradossale, ma lo diventa immediatamente se pronunciata da un cretese!

L’enigma del numero 187 proponeva una frase autoreferenziale incompleta, e richiedeva di riempirne i buchi con cifre numeriche singole, mantenendo la coerenza logica della frase:

In questa frase, la cifra 0 è presente _ volta/e, la cifra 1 è presente _ volta/e, la cifra 2 è presente _ volta/e, la cifra 3 è presente _ volta/e, la cifra 4 è presente _ volta/e, la cifra 5 è presente _ volta/e, la cifra 6 è presente _ volta/e, la cifra 7 è presente _ volta/e, la cifra 8 è presente _ volta/e, e la cifra 9 è presente _ volta/e.

Ebbene, la soluzione prevedeva di riempire gli spazi vuoti rispettivamente con queste cifre:

1, 7, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1.

La frase diventa così la seguente:

In questa frase, la cifra 0 è presente 1 volta, la cifra 1 è presente 7 volte, la cifra 2 è presente 3 volte, la cifra 3 è presente 2 volte, la cifra 4 è presente 1 volta, la cifra 5 è presente 1 volta, la cifra 6 è presente 1 volta, la cifra 7 è presente 2 volte, la cifra 8 è presente 1 volta, e la cifra 9 è presente 1 volta.

Se controllate, la frase così sistemata è perfettamente coerente e veritiera.

sabato 5 maggio 2018

La citazione matematica del sabato (#1)

Qualche anno prima, nel 1886, quando era occupato con il problema della quadratura del cerchio, era venuto a sapere dell’esistenza di un numero calcolato con relativo grado di precisione da essere di grandezza tale e di così tante cifre, ad esempio la nona potenza della nona potenza di nove, che una volta ottenuto il risultato, sarebbero stati necessari 33 volumi stampati strettamente di 1.000 pagine, ciascuna ottenuta da innumerevoli risme di carta India, per contenere il racconto completo delle sue cifre stampate di unità, decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia, centinaia di migliaia, milioni, decine di milioni, centinaia di milioni, miliardi, il nucleo della nebulosa di ogni cifra di ogni serie contenendo in breve la potenzialità dell'essere elevata all'estrema elaborazione cinetica di qualsiasi potenza di qualsiasi delle sue potenze.
James Joyce, "Ulysses" (capitolo 17, "Ithaca")

martedì 1 maggio 2018

Mr. Palomar è tornato (era ora!)

Non è certo la prima volta che questo blog si concede (suo malgrado) una pausa di riflessione (si dice spesso così, e non si capisce bene su cosa si doveva riflettere e quali siano stati gli esiti della riflessione): ma una pausa lunga come quella che Mr. Palomar si è concesso di recente non si era mai vista.
Sono davvero imbarazzato, cari lettori (a proposito, c'è ancora qualcuno laggiù che mi legge?) perché i silenzi non annunciati hanno un che di scorretto, di immeritato. Perdonatemi, se potete. Potrei elencarvi una serie di giustificazioni, parlandovi del fatto che ho avuto molto da fare per altri progetti, che il mio lavoro di insegnante mi ha assorbito un sacco di tempo ed energie, che la famiglia ha giustamente reclamato il suo spazio...  ma rischierei di apparire come John Belushi nel celeberrimo film "The Blues Brothers".



Allora non dico nulla, e nemmeno prometto che non accadrà più (anche se sono convinto che non accadrà più). Però permettetemi un accenno a uno dei progetti a cui ho lavorato ultimamente e che hanno sottratto tempo a Mr. Palomar. Vista sotto quest'ultimo aspetto, potrebbe apparire come una cosa detestabile, ma se vi racconto meglio la "cosa" forse potrete apprezzarla un pochino e addirittura perdonarmi il geologico ritardo.
La "cosa" si chiama Progetto Pitecum, ed è un gruppo di persone con la passione e l'ambizione di proporre laboratori didattici, spettacoli, conferenze, corsi e altre forme utili a trasferire passione, conoscenza e cultura.
Consapevoli che non esistano sistemi chiusi quando si parla di cultura, ma soltanto interconnessioni, non amiamo gli steccati tra le aree della conoscenza, e ci occupiamo tanto di matematica e di scienza, quanto di discipline umanistiche.

Tra le molte cose belle che abbiamo realizzato noi di Pitecum ci sono due conferenze-spettacolo che ho presentato a Treviso, assieme a compagni d'eccezione, al Festival della Statistica e della Demografia "StatisticAll" nel 2016 e nel 2017.
"StatisticAll" è una manifestazione nata nel 2015 e organizzata da ISTAT, Società Italiana di Statistica e Società Statistica Corrado Gini.

Della prima avevo già parlato su queste pagine: "Un, due... re! Giocando a dadi con Mozart" è un viaggio giocoso all'interno della musica di Mozart e di altri compositori famosi, per scoprirne il lato numerico e combinatorio. Ad affiancarmi in questo spettacolo c'era il pianista Giancarlo Panizzo, che per la cronaca è anche un brillante fisico. Durante lo spettacolo io e Giancarlo giochiamo col pubblico per dimostrare come la musica di Mozart e di altri compositori contenga matematica: e forse proprio a questo debba la sua magia e la sua bellezza. Il momento più divertente dello spettacolo è, l'avrete capito dal titolo, il gioco musicale dei dadi, di cui avevo parlato in un mio vecchio post.

La seconda conferenza-spettacolo si intitola "D'accordo, si conta! Giocando con note e grandi numeri", ed è stata presentata all'edizione 2017 di "StatisticAll". In questa occasione il mio compagno di avventura non è un pianista ma un chitarrista, e precisamente Stefano Zamuner, che è anche uno dei componenti effettivi della squadra di Progetto Pitecum. Il tema centrale sono i grandi numeri, esplorato con spirito giocoso e con l'aiuto determinante della musica. Alla fine io e Stefano giochiamo con il pubblico in modo simile a quanto fatto nel 2016, ma questa volta il risultato finale non è un minuetto mozartiano, ma una canzone, generata aleatoriamente in base ai lanci di un dado, e ovviamente eseguita in diretta e in prima assoluta.
Nel seguente video c'è un assaggio dello spettacolo proposto a Treviso lo scorso ottobre.


Naturalmente queste due conferenze spettacolo sono a disposizione di chi le volesse "ospitare". Di una terza conferenza spettacolo, sempre musical-matematica, e molto particolare, parlerò a breve in un post a parte: e vi prometto, almeno questo sì, che non passeranno altri sei mesi. 

martedì 14 novembre 2017

Carnevale della Matematica #113

Mamma mia!

Benvenuti al Carnevale della Matematica numero 113, il sesto ospitato da Mr. Palomar.
Ultimamente questo blog è stato un po' latitante: possa questo appuntamento carnevalizio costituire un nuovo inizio e un motivo di rinnovata vitalità tra queste pagine.
Il tema della presente edizione è "Matematica sorprendente". Ma, si sa, da sempre il tema è rigorosamente facoltativo, e giustamente molti dei contributi hanno preferito non seguirlo.

Com'è diventata ormai un'usanza, ho aperto con il verso della Poesia Gaussiana corrispondente al numero 113. Essendo tale numero primo, ho l'onore di utilizzare questa espressione per la prima volta nella storia dei Carnevali. Non solo: mi pare che l'esclamazione "Mamma mia!" ben si adatti al tema scelto, che parla di sorpresa.
Flavio Ubaldini, in arte Dioniso Dionisi, mi ha inviato la cellula melodica, e mi ha segnalato che, grazie all'idea di Zar, adesso possiamo estendere la cellula anche ai numeri primi un po' più grandi, come 113 appunto.



Se alla cellula melodica "ufficiale" volete affiancare qualcosa di più "pop", eccovi accontentati.
Difficilmente possiamo leggere l'esclamazione "Mamma mia!" senza pensare al celeberrimo brano degli ABBA, uscito nell'aprile 1975 all'interno dell'album "ABBA", e come singolo nel novembre dello stesso anno.



Curiosamente, nello stesso anno, precisamente il 31 ottobre, uscì il singolo dei Queen "Bohemian Rhapsody", nel cui passaggio centrale ispirato all'opera, spiccano i celebri versi "Mamma mia, mamma mia, mamma mia let me go!"


E veniamo ad alcune delle principali proprietà matematiche del numero 113.
Si tratta, come già sottolineato, di un numero primo, il trentesimo per la precisione. Ma i matematici lo definiscono anche numero "omirp", perché le sue cifre, scritte al contrario, formano un altro numero primo (311).
È anche un numero difettivo, in quanto maggiore della somma dei suoi divisori propri.
Fa parte delle terne pitagoriche (15, 112, 113) e (113, 6384, 6385).
È pure un numero malvagio (il significato di questa proprietà è stato chiarito in un mio vecchio post, nonché nella precedente edizione del Carnevale).

Tralasciando molte altre proprietà matematiche di questo numero, aggiungo che ovviamente in Italia esso corrisponde al numero telefonico della Polizia di Stato, ma soprattutto è la targa dell'automobile di Topolino.

A questo punto possiamo partire con i contributi.
Ad aprire le danze è Dioniso Dionisi, alias Flavio Ubaldini, che dal suo blog Pitagora e dintorni segnala un post in due parti: Dedekind, il suo taglio e la soluzione del problema Ippaso: prima parte Dedekind, il suo taglio e la soluzione del problema Ippaso: seconda parte
Il post, ricorda Flavio, nasce dal fatto che un paio di lettori non matematici del suo libro "Il mistero del suono senza numero" gli hanno chiesto delucidazioni sul Taglio di Dedekind, ragion per cui il buon Dioniso ha deciso di scrivere una spiegazione, cercando di renderla il più discorsiva e il meno tecnica possibile.
Ubaldini segnala anche un altro suo articoletto, intitolato Un regalo pitagorico-coltraniano.

Annalisa Santi, autrice del blog Matetango, mi segnala Hailstone.....dagli abissi ai numeri.
Mi scrive Annalisa:
Dato che "Matematica sorprendente" è il tema del Carnevale della Matematica del mese di novembre, ho quindi cercato qualcosa che "sorprendesse"!
Curiosamente legate alla parola "hailstone" (grandine), sorprendenti mi sono d'apprima sembrate le immagini della Truck Lagoon creatasi dopo un attacco statunitense, "Operation Hailstone", a una base giapponese e di cui assolutamente ignoravo l'esistenza (si è sempre parlato quasi esclusivamente dell'attacco di Pearl Harbor!) e quindi la "hailstone sequence" (l'indimostrata a tutt'oggi congettura di Collatz), nonché, in conclusione del mio post, il recentissimo tentativo di due matematici italiani di dimostrarla.

Leonardo Petrillo, dal suo blog Scienza e musica, contribuisce con Di elementi e ponti degli asini, un post che introduce la storia della geometria, focalizzandosi sulla struttura dei fondamentali Elementi di Euclide, per poi concludere con l'analisi di ciò che viene spesso chiamato "pons asinorum".
Afferma Leonardo:
La relazione con la tematica portante del Carnevale ("Matematica sorprendente") potrebbe in un certo senso starci considerando la sorpresa nello scoprire, innanzitutto, gli interessanti progressi storici che hanno portato alla maestosa opera di Euclide e, soprattutto, nel collegamento di un termine così particolare come "ponte degli asini" con l'opera geometrica per eccellenza.

I sempre generosi Rudi Mathematici mi inviano una bella manciata di contributi provenienti dall'illustre blog de Le Scienze:
- Il Quick& Dirty fisico con le bollicine che risalgono, che fa ancora divertire tutti;
- Un bel PM del Capo, dal titolo Lunghe passeggiate, che riprende i sei gradi di separazione;
- Il compleanno di Felix Hausdorff, preferito e richiesto da Popinga, con riferimenti dalla chimica alla poesia;
E sempre i magnifici Rudi segnalano quello che loro definiscono il loro "miracolo mensile", ovvero l'uscita dell'edizione 226 della loro gloriosa rivista, che non è ancora uscita, ma non si sa mai, e che quando uscirà starà qui.

Non può esserci Carnevale senza i contributi di MaddMaths! Eccoli qui di seguito, generosissimi come sempre, partendo da quelli "sorprendenti" (a giudizio di Roberto Natalini).

Il 1 Novembre nell'ambito di Lucca Comics&Science, è stato presentato il nuovo albo Comics&Science, edito da CNR Edizioni e curato come sempre da Roberto Natalini e Andrea Plazzi. Che differenza c’è tra un papiro e una pergamena? Che cos’è un palinsesto? In quale modo nell’antichità si conservavano i testi scritti? Sono domande importanti per la trasmissione della scienza e del sapere, sullo sfondo dello straordinario Archimede 2.0 di Giuseppe Palumbo. La storia appassionante e vera fino all’ultimo dettaglio di come le scoperte del genio di Siracusa sono arrivate sino a noi. E Comics&Science non è solo fumetti. C’è infatti anche un ricco apparato di commenti. Roberto Natalini e Andrea Plazzi ci introducono alla storia del palinsesto perduto di Archimede. Ciro Ciliberto, Presidente dell'Unione Matematica Italiana, intervista Giuseppe Palumbo. Andrea Ercolani, filologo classico del CNR, ci guida nella storia di come certi testi sono giunti a noi, e Vito Mocella, fisico del CNR, su come siamo capaci oggi, con l'uso del sincrotrone, a leggere manoscritti antichissimi, nel suo caso dei papiri di Ercolano, altrimenti perduti. Un albo da non perdere.

Laure Saint-Raymond è una matematica francese che lavora sulle equazioni a derivate parziali, la meccanica dei fluidi e la meccanica statistica. È professoressa presso l'École Normale Supérieure de Lyon. Nel 2008 le è stato assegnato il premio EMS e nel 2013, quando aveva solo 38 anni, è diventata il più giovane membro dell'Academie des Science. Vi riproponiamo la traduzione italiana dell’intervista fatta da Roberto Natalini per la Newsletter della European Mathematical Society.

Sandra Lucente continua ad esplorare le dimensioni dello spazio, e adesso è arrivata alla quarta. Dove finirà il suo viaggio?

Arriva la matematica su Topolino Comic&Science Nel 2016 si avvia un progetto di divulgazione scientifica su Topolino curato dagli sceneggiatori Disney Francesco Artibani e Fausto Vitaliano in collaborazione con vari scienziati italiani. Il primo novembre è apparsa una storia a sfondo matematico, al cui soggetto ha collaborato il matematica Alberto Saracco.

Il film documentario “Galois. Storia di un matematico rivoluzionario”, ideato e scritto da Giuseppe Mussardo con la regia di Diego Cenetiempo, è stato proiettato in anteprima esclusiva italiana venerdì 27 ottobre 2017 presso il cinema Ariston di Trieste. Ce ne parla Elena Rinaldi.

Traduzione libera di Barbara Nelli dell’articolo "Comment réduire une sphère sans changer les distances" di Clément Dufrenne et Sean Bailly, apparso su Pour la Science. Far entrare la terra dentro una pallina da ping-pong, conservando le distanze tra i punti, sembra impossibile e invece un’équipe di ricercatori francesi, matematici e informatici è riuscita a realizzare quest’impresa.

Il 30 settembre scorso è morto Vladimir Voevodsky. Simone Borghesi, che ha collaborato con lui, ha scritto qualcosa su di lui.

Un ampio ramo della matematica – il trasporto ottimo – si occupa di ottimizzazione nel caso di trasporto di un materiale. Due sono gli esempi classici: lo spostamento della sabbia da una cava ad un cantiere e la distribuzione del pane dai forni ai negozi, al mattino. Una scheda Madd-Spot di Annalisa Massaccesi. La serie è curata da Emiliano Cristiani.

A cominciare dalla sua prima uscita del 2016, Archimede ospita Archimedia, una rubrica di fumetti e altri media curata da Andrea Plazzi. Nel n. 3/2017 trovate "Lo spettro dell’incomunicabilità", un fumetto di Tuono Pettinato. Qui sul sito presentiamo come al solito la prefazione di Andrea Plazzi, ma voi non perdetevi il fumetto all'interno di Archimede 3/2017.

Per la rubrica "Esperienze transdisciplinari di Matematica" vi proponiamo un nuovo contributo di Gianluigi Boccalon, realizzato in collaborazione con la Maria Paola Nicosia e Ileana Pretotto, che racconta come strumenti di tipo logico-matematici (come i diagrammi di flusso) possano essere efficacemente utilizzati nell'insegnamento delle lingue straniere.

Un altro pilastro della storia del Carnevale, Roberto Zanasi, mi invia, dal suo blog Gli studenti di oggi, un pezzo intitolato Trascendenza, che ruota attorno ad alcune domande. Perché la quadratura del cerchio è impossibile? Perché il geomètra non ritrova il principio ond'elli indige?

Il padre fondatore del Carnevale, Maurizio .mau. Codogno, ha scritto sul Post un rapido necrologio di Corrado Böhm, (sì, tendenzialmente è più un informatico, ma essendo stato informatico teorico di matematica dietro ce n'è comunque tanta) e Una volta ogni cent'anni, in cui spiega come la probabilità che ti capiti qualcosa che avviene una volta al secolo è molto meno bassa di quello che potrebbe sembrare.
Dalle Notiziole, Codogno segnala alcuni quizzini della domenica: Il quinto elementoPrimo e quadratoRicoprimenti Che ora è? e Ricorsione mancata.
Per quanto riguarda invece le recensioni: A cosa serve la matematica, manualetto che però non ha detto molto al recensore; Giocati dal caso, il libro che Nassim Taleb ha scritto prima de "Il cigno nero" e che secondo me è meglio del best seller per capire davvero il pensiero del nostro; Le vite segrete dei numeri, che più che altro parla di curiosità legate ai numeri ma non alla matematica.

Mauro Merlotti, dallo Zibaldone Scientifico, contribuisce con la (credo nota) Costante di Kaprekar.
Mi scrive Mauro:
Scoperta da Kaprekar nel 1949, riguarda la curiosa proprietà del numero 6174, che ricorre come risultato finale di una serie di semplici operazioni con i numeri di quattro cifre (purché non siano tutte uguali). Si sceglie un numero di 4 cifre, che vengono poi ridisposte per ottenere il numero più grande e quello più piccolo che si possono comporre. Infine, si sottrarre il numero più piccolo dal più grande per ottenere un nuovo numero e si continua ripetendo l'operazione per ogni nuovo numero ottenuto. Non so perché (e questo è per me sorprendente), ma, dopo pochi passaggi, si arriva sempre a 6174.

Infine, Gianluigi Filippelli, dal suo blog Dropsea, segnala Essere umani, recensione dell'omonimo libro di Brian Christian sull'intelligenza artificiale, il Premio Loebner, Claude Shannon, Alan Turing e gli scacchi, e 2048 Fibonacci: su una variazione del famoso 2048 ma con la serie di Fibonacci
Dal Caffé del Cappellaio Matto, invece, Gianluigi invia I ponti di Quackenberg: su Topolino #3232 una storia ispirata ai sette ponti di Konigsberg. Un breve articolo sul problema, risolto da Leonhard Euler e la storia pubblicata su Topolino e realizzata con la consulenza del matematico Alberto Sacco.


Questo è tutto. Un grande grazie a chi ha contribuito. Evviva il Carnevale della Matematica, che tornerà a dicembre sulle Notiziole di .mau. Buona lettura a tutti.


venerdì 9 giugno 2017

Le auree sonate per pianoforte di Mozart

Che Mozart sia stato uno dei più grandi compositori di ogni tempo lo sappiamo, e un'affermazione come questa suona quasi ovvia e scontata. Ma che il buon Amadeus fosse un appassionato di matematica quasi patologico, be', questo non tutti lo sanno.
Mi piace pensare che l'amore di Mozart per il pensiero matematico abbia avuto un influsso determinante sulla sublime e inarrivabile grandezza delle sue opere: quasi a certificare che, in fin dei conti, la musica altro non è che matematica sotto mentite spoglie.
L'ossessione di Mozart per la matematica cominciò in tenera età (da un enfant prodige come lui vi aspettavate forse qualcosa di diverso?). La sorella Nannerl riferì che Wolfgang, durante gli anni della scuola, "non pensava e non parlava d'altro che di figure geometriche".
Secondo alcune testimonianze, un giorno il tenero fanciullo ebbe l'idea di scrivere numeri col gesso su tutte le pareti di casa. Passò poi alle sedie, ai tavoli e al pavimento. Una volta riempite tutte le superfici disponibili, fece lo stesso nelle case dei vicini.
In una lettera alla sorella datata 19 maggio 1770, il quattordicenne Wolfgang scrive:
"Vi ringrazio di avermi mandato questi Rechenstorien, e vi prego di mandarmi ancora un poco di questi Kunsten"
Il riferimento è a un libro di aritmetica e algebra di tale Josef Spengler, intitolato “Anfangsgründe der Rechenkunst und Algebra“, ovvero "Rudimenti di aritmetica e algebra". Evidentemente la sorella aveva allegato ad una sua lettera qualcuno degli esercizi proposti dal libro, e il giovane Mozart aveva trovato grande diletto nella loro risoluzione.
L'attrazione di Mozart per la matematica non svanì con l'età adulta. Di questo abbiamo infatti almeno due prove, che sembrano anche indicare un particolare interessamento del grande compositore per il calcolo delle probabilità.
Ecco la prima prova.

I margini (nella figura qui sotto, in basso e a sinistra) del manoscritto di una sua composizione del 1782, la «Fantasia e fuga in do maggiore» K394 sono riempiti di calcoli per trovare la probabilità di vincere una lotteria.

E la seconda? Be', della seconda vi ho parlato in un post dedicato al gioco musicale dei dadi.
Non posso non ricordare come questo gioco, dai risvolti matematici e probabilistici molto interessanti, abbia anche divertito decine di spettatori lo scorso ottobre al Festival della Statistica di Treviso, dove assieme al pianista Giancarlo Panizzo ho raccontato queste e altre amenità musical-matematiche nello spettacolo "Un, due... re! Giocando a dadi con Mozart" (stay tuned: i giochi mozartiani torneranno al Festival in autunno).

Un ulteriore indizio della fascinazione del genio salisburghese per la matematica va in direzione diversa: non più la teoria delle probabilità, ma la sezione aurea.
Cos'è la sezione aurea? In breve: immaginate di prendere due bastoncini, quello più corto di lunghezza A, e quello più lungo di lunghezza B. Supponiamo che A stia a B come B sta alla somma delle lunghezze A+B. Se sussiste questa particolare relazione, il rapporto tra le due lunghezze B e A è uguale a un numero circa uguale a 1,618, che viene indicato solitamente con la lettera greca φ ("phi") e viene chiamato "sezione aurea" o "rapporto aureo" o "numero aureo".

Nemmeno questo interesse mozartiano per il rapporto "divino", già amato dagli antichi e da Leonardo da Vinci, deve stupire. Se una caratteristica emerge con chiarezza dalle composizioni di Mozart, questa ha che fare con l'equilibrio strutturale, con una perfezione della forma che sembra tradursi immediatamente in bellezza ed emozione. Come affermò il critico Hanns Dennerlein, Mozart possedeva un senso innato delle proporzioni.

Un esempio sorprendente di questo lo troviamo nelle sue 19 sonate per pianoforte. La struttura classica, in auge ai tempi di Mozart, prevede tre movimenti: solitamente un allegro come primo movimento, un lento (adagio, andante o qualcosa di simile) come secondo, e un movimento di chiusura che spesso è un allegro o un presto. In questo format standardizzato, ognuno dei movimenti (quasi obbligatoriamente il primo, opzionalmente gli altri due) poteva a sua volta essere strutturato secondo la cosiddetta "forma sonata", che prevedeva tre parti:
1. l'esposizione, in cui viene presentato il tema musicale principale;
2. lo sviluppo, in cui il tema viene espanso e rielaborato;
3. la ripresa, in cui il tema iniziale viene rivisitato in chiave di finale.
Per comodità, farò riferimento a due parti: l'esposizione e l'unione tra sviluppo e ripresa. Ebbene, qualcuno si è preso la briga di analizzare numerosi movimenti delle sonate per pianoforte di Mozart (più o meno quelli strutturati in forma sonata) e per ognuno misurare la durata delle sue due parti.

John F. Putz
Lo studioso che ha eseguito questa ricerca con maggiore accuratezza è stato John F. Putz, un matematico dell'Alma College del Michigan. I suoi risultati furono pubblicati sul numero di ottobre 1995 della rivista Mathematics Magazine, della Mathematical Association of America.
Putz ricorda che un giorno il figlio, musicista, gli parlò della struttura delle sonate per pianoforte di Mozart. Ricordando di aver letto qualcosa sulla propensione del musicista austriaco per l'equilibrio e l'eleganza formale, il matematico si mise al lavoro per verificare se si poteva riscontrare qualche pattern matematico nella suddivisione dei movimenti di queste composizioni.
Nella tabella seguente sono riportati i movimenti analizzati da Putz e, per ognuno, il numero di battute musicali della prima parte e quello della seconda parte. Si noti che il numero di battute è, di solito, un'ottima approssimazione della durata: sotto l'ipotesi che il tempo musicale resti invariato nel corso dello stesso movimento, il numero di battute è proporzionale alla durata in secondi.


Il risultato ottenuto da Putz è molto interessante: il rapporto tra la durata della seconda parte (sviluppo+ripresa) e quello della prima parte (esposizione) è spesso aureo, cioè molto vicino al numero ϕ ≈ 1,618: un po' come il rapporto tra le due dimensioni di una carta di credito.
Per le proprietà della sezione aurea, ciò significa che anche il rapporto tra la durata complessiva di un movimento e la durata della seconda parte è circa aureo.

Prendiamo il caso emblematico del primo movimento della Sonata n. 1 per pianoforte K 279. L'esposizione dura 38 battute, mentre sviluppo e ripresa si estendono per 62 battute. In totale il movimento ha 100 battute. Ora, il modo migliore di dividere in sezione aurea due 100 battute è proprio metterne 38 da una parte e 62 dall'altra. Infatti 62 diviso 38 è circa 1,63 e 100 diviso 62 è circa 1,61. Se Mozart avesse fatto durare l'esposizione una sola battuta in più e la seconda parte una battuta in meno, il risultato sarebbe stato molto meno aureo: 61/39 ≈ 1,56 e 100/61 ≈ 1,64.
Coincidenza? Risultato intenzionale? Non lo sappiamo.

Ma anche gli altri movimenti analizzati mostrano proporzioni simili. Con un software specializzato ho provato a ripercorrere l'analisi effettuata da Putz, ritrovando perfettamente i risultati da lui ottenuti.
Putz provò a rappresentare graficamente la durata (in battute) della seconda parte di ogni movimento in funzione della durata (in battute) dell'intero movimento. Il risultato è illustrato nella figura seguente (in ordinata la durata della seconda parte, in ascissa la durata totale).



Gli statistici chiamano "grafico di dispersione" un diagramma come questo. Il fatto che i punti risultano più o meno concentrati su una linea retta dimostra che esiste una relazione approssimativamente lineare tra le due durate in gioco.
Nella figura seguente è mostrata la linea retta che meglio d'ogni altra rappresenta questa relazione tra durata della seconda parte del movimento e durata totale.

Grafico di dispersione che mostra la relazione tra il numero di battute della seconda parte (sviluppo+ripresa) in ordinata e il numero di battute del movimento complessivo in ascissa


La retta rappresentata si dice retta di regressione.
Le tecniche di regressione sono metodi molto usati dagli statistici per trovare la relazione (lineare o non lineare) che legano due grandezze per le quali abbiamo a disposizione una certa quantità di misurazioni numeriche.
In questo caso le due grandezze (durata della seconda parte e durata totale) risultano legate da una relazione quasi perfettamente lineare.
Questo è in linea con quanto riportato sopra: il rapporto tra la durata totale e la durata della seconda parte è circa costante e circa uguale al numero aureo ϕ ≈ 1,618. Questo rapporto corrisponde all'inverso della pendenza, cioè del coefficiente angolare, della retta di regressione.

Gli statistici sono soliti utilizzare un indicatore, detto coefficiente di correlazione, per misurare la bontà dell'approssimazione lineare individuata. Il coefficiente può variare da un valore 0 (nessuna correlazione lineare tra le due grandezze) e un valore 1 (correlazione lineare perfetta).
Nel caso in esame il coefficiente di correlazione risulta uguale a 0,99.

Sulla base di questi risultati, sembrerebbe lecito concludere che Mozart abbia suddiviso i suoi movimenti utilizzando consapevolmente la sezione aurea. Ma Putz non si accontentò di questo esito, e rappresentò su un altro grafico di dispersione la durata della prima parte (esposizione) in funzione della durata della seconda parte (sviluppo+ripresa).
Il risultato è mostrato nella figura seguente (in ordinata la durata della prima parte, in ascissa la durata della seconda parte).


Com'è facile riconoscere, i punti appaiono questa volta più sparpagliati. La figura seguente mostra la retta di regressione.

Grafico di dispersione che mostra la relazione tra il numero di battute della prima parte (esposizione) in ordinata e il numero di battute della seconda parte (sviluppo+ripresa) in ascissa

In questo caso il coefficiente di correlazione risulta pari a 0,938: ancora alto, ma non altissimo come prima. Come si spiega questa differenza?
Putz ha dimostrato che, quando il rapporto tra due numeri B ed A (con 0 ≤ A ≤ B) è vicino, ma non uguale, alla sezione aurea (come accade in ciascuno dei nostri movimenti mozartiani, in cui i due numeri A e B sono rispettivamente le durate della prima e della seconda parte), si ha necessariamente che il rapporto (A+B)/B è più aureo del rapporto B/A. Per chi è interessato, la dimostrazione può essere trovata su questa pagina.

Alla fine di tutta la discussione, una domanda resta aperta: Mozart ha composto le sue magnifiche sonate per pianoforte adoperando intenzionalmente la sezione aurea, o la proporzione osservata da Putz è un puro caso? Lo stesso studioso americano, a sorpresa, conclude la sua analisi affermando che con ogni probabilità il grande compositore non utilizzò consapevolmente il rapporto divino.
Ma questo è del tutto opinabile. In ogni caso, credo sia ragionevole pensare che la struttura matematica di queste composizioni non sia unicamente frutto del caso, e che l'attrazione fatale che legò Mozart ai numeri rivesta, in questa storia, un ruolo determinante.

venerdì 26 maggio 2017

Gli enigmi di Coelum: I dadi di Platone

Nel numero 184 di Coelum ho parlato di solidi platonici.
I solidi che portano il nome del celebre discepolo di Socrate sono dei poliedri: in altre parole, appartengono alla grande famiglia dei solidi delimitati da un numero finito di facce piane poligonali.
Non sono però dei poliedri qualsiasi: hanno la caratteristica di avere come facce poligoni regolari, tutti uguali tra di loro, e inoltre hanno tutti i vertici e gli spigoli equivalenti. Sono, per così dire, l’analogo dei poligoni regolari in versione 3D (non a caso vengono spesso denominati poliedri regolari, o solidi regolari).
Ma c’è una differenza sostanziale, e, per così dire, affascinante: mentre i poligoni regolari sono infiniti (per ogni numero intero N esiste un poligono regolare con N lati), i solidi platonici sono solo cinque. Questi cinque poliedri portano nomi suggestivi, che derivano dal greco: tetraedro, esaedro (o cubo), ottaedro, dodecaedro e icosaedro.
Dato che in greco έδρα significa “base”, è facile comprendere l’etimologia di questi nomi: un tetraedro è un poliedro con 4 facce, un esaedro ne ha 6, un ottaedro 8, un dodecaedro 12 e un icosaedro 20.

I cinque solidi platonici 

Osservate che ognuno dei solidi regolari può essere convertito nel suo duale: basta trasformare le facce in vertici e i vertici in facce. Sottoposto a questa metamorfosi, il tetraedro resta invariato, avendo 4 facce e 4 vertici. Il cubo, invece, diventa un ottaedro, e viceversa. Il dodecaedro si tramuta in un icosaedro, e così anche all’inverso.

Caratteristiche dei cinque solidi platonici 
Perché i solidi platonici sono soltanto cinque? Davvero non ne esistono altri?
Ai tempi di Platone, cioè nel IV secolo a.C., si intuiva già che i solidi regolari fossero cinque, ma nessuno lo aveva ancora dimostrato rigorosamente. Nel suo dialogo “Timeo”, il filosofo ateniese descrisse i solidi regolari, e ne associò quattro agli elementi fondamentali dell’universo: il tetraedro al fuoco, il cubo alla terra, l’ottaedro all’aria, l’icosaedro all’acqua. Il quinto solido, il dodecaedro, venne fatto corrispondere alla forma dell’universo nella sua totalità.
 Circa un secolo e mezzo dopo, il grande matematico Euclide riuscì a provare che i solidi regolari sono soltanto i cinque descritti da Platone, e che non ce ne sono altri.

La "Scuola di Atene" di Raffaello Sanzio, affresco conservato al Vaticano. Platone è la figura centrale con il mantello rosso, mentre Euclide è (probabilmente) il personaggio chino in basso a destra, intento a tracciare cerchi su una tavoletta 

Una dimostrazione intuitiva può essere compresa senza grande sforzo.
Prima di tutto, osserviamo che in un qualsiasi poliedro, ogni vertice è il punto di incontro di almeno tre facce: infatti due facce si possono incontrare su uno spigolo, ma non possono formare un vertice. Inoltre, queste tre o più facce devono essere poste su piani diversi, perché se giacessero sullo stesso piano formerebbero in realtà una faccia sola, e non tre. Di conseguenza, la somma dei tre o più angoli che si incontrano in un vertice deve essere inferiore a 360°. Infatti, se fosse esattamente 360°, le facce sarebbero sullo stesso piano, mentre una somma angolare più bassa consente al punto di incontro di “alzarsi”, creando un vertice.
Ricordando che le facce del solido devono essere poligoni regolari, vediamo quali possono essere questi poligoni.

Certamente potrebbero essere triangoli equilateri. Ogni angolo di un triangolo equilatero è ampio 60°: quindi in un vertice del solido potrebbero incontrarsi 3 facce triangolari formando un angolo di 3 × 60° = 180° < 360°, oppure 4 facce triangolari formando un angolo di 4 × 60° = 240° < 360°, oppure 5 facce triangolari formando un angolo di 5 × 60° = 300° < 360°. Con 6 facce saremmo invece fuori, perché uscirebbe un angolo di 6 × 60° = 360°: troppo perché il vertice possa “alzarsi”.
Le facce potrebbero anche essere quadrati, in cui ogni angolo è di 90°. In ogni vertice del solido potrebbero infatti convergere 3 facce quadrate, a creare un angolo di 3 × 90° = 270° < 360°: già con 4 facce l’angolo sarebbe di 4 × 90° = 360°, quindi da escludere.
Infine, potremmo utilizzare come facce pentagoni regolari, nei quali ogni angolo è di 108°. Ogni vertice del solido potrebbe essere allora punto di incontro di 3 facce pentagonali, formando un angolo di 3 × 108° = 324° < 360°: con 4 facce saremmo invece oltre i limiti consentiti (4 × 108° = 432° > 360°).
Non potremmo invece utilizzare facce esagonali, perché in un esagono ogni angolo è di 120°, e già 3 facce formerebbero un angolo di 360°, che contribuirebbe a tassellare il piano, senza poter elevare un vertice del solido. Poligoni con più lati sono ancora peggiori, perché con sole 3 facce creerebbero angoli più grandi dell’angolo giro.

Le possibilità che abbiamo individuato sono quindi soltanto cinque:
  • 3 facce triangolari che si incontrano in ogni vertice: è il caso del tetraedro, che ha 4 facce triangolari e 4 vertici; 
  • 4 facce triangolari che si incontrano in ogni vertice: è il caso dell’ottaedro, che ha 8 facce triangolari e 6 vertici; 
  • 5 facce triangolari che si incontrano in ogni vertice: è il caso dell’icosaedro, che ha 20 facce e 12 vertici; 
  • 3 facce quadrate che si incontrano in ogni vertice: è il caso del cubo o esaedro, che ha 6 facce e 8 vertici; 
  • 3 facce pentagonali che si incontrano in ogni vertice: è il caso del dodecaedro, che ha 12 facce e 20 vertici. 
I solidi platonici forniscono lo spunto per comprendere e approfondire molti argomenti di interesse matematico, ma sono anche modelli straordinariamente utili per la realizzazione di oggetti per giocare: in particolare dadi e palloni. Ciascuna di queste due tipologie di manufatto richiede attenzioni particolari nel processo di costruzione: a meno che non vogliamo fregare qualcuno, un dado deve innanzitutto essere equo, cioè tutte le sue facce devono avere la stessa probabilità di uscire durante un lancio, mentre un pallone deve essere il più possibile simile a una sfera.

Cominciamo dai dadi. I solidi platonici, evidentemente, grazie alla loro forma simmetrica, caratterizzata da facce regolari e uguali, e da vertici e spigoli equivalenti, costituiscono ottimi modelli di dadi equi. Per gli appassionati di Dungeons and Dragons ciò non rappresenta una sorpresa: per questo gioco vengono infatti utilizzati dadi la cui forma riflette quella dei cinque dadi platonici.

Ma l’uso di dadi platonici non è certo un fatto recente. Negli anni Venti del secolo scorso, l’archeologo inglese Leonard Wooley fece un curioso ritrovamento all’interno delle tombe reali dell’antica città sumera di Ur: alcune tavole da gioco anticamente utilizzate per il cosiddetto Gioco Reale di Ur, l’antenato del moderno backgammon.

Copia della tavola da gioco ritrovata nelle tombe di Ur,
con tre dadi tetraedrici
Come è visibile nella figura, la particolare scacchiera era formata da un rettangolo 8 × 3 privato di due caselle esterne su ciascuno dei lati lunghi. Ciascuno dei due giocatori utilizzava 7 pedine e 3 dadi a forma di tetraedro con le punte smussate. In ciascun dado, due dei quattro vertici erano marcati, affinché ogni lancio potesse produrre due possibili esiti, a seconda che il vertice rivolto verso l’alto fosse marcato o no.
In pratica gettare un dado era come lanciare una moneta e vedere se è uscita testa oppure croce.

Il regolamento del gioco non è stato del tutto chiarito. Pare comunque che ogni giocatore dovesse partire da una delle caselle e arrivare a una casella terminale, determinando il numero di caselle percorse a ogni turno mediante il lancio dei dadi. La collisione con un pezzo avversario costringeva l’altro giocatore a ripartire dall’inizio.
I simboli speciali disegnati su alcune caselle provocavano eventi particolari, come il pagamento o il ritiro di una posta.

Ma, oltre ai cinque platonici, ci sono altri solidi che possono essere sfruttati per costruire dadi equi? Ebbene sì: i matematici hanno scoperto che ne esistono in particolare altri venti, oltre a cinque famiglie formate ciascuna da un numero infinito di dadi equi.
E i palloni? Concentriamoci sui palloni da calcio (anche se si potrebbe scrivere forse un libro intero considerando la geometria di tutti i tipi di palle utilizzate nei vari sport).

Il problema della costruzione un pallone di cuoio per giocare a calcio è il seguente: non è possibile costruire una sfera perfetta (come invece si deve fare per le palline da ping pong), ma si deve cercare di approssimare una sfera cucendo insieme pezzi di cuoio.
Inoltre, è comodo che i pezzi di cuoio siano tutti uguali, ed è ancora più comodo se questi pezzi vengono prodotti come poligoni regolari. Ecco quindi che i solidi platonici tornano utili anche in questo caso: preparando, per esempio, pezzi di cuoio a forma di triangolo equilatero si possono poi cucire tra di loro per realizzare una palla tetraedrica oppure ottaedrica oppure icosaedrica. Una volta il pallone viene gonfiato d’aria, le spigolosità si smussano, ottenendo qualcosa di vagamente simile a una sfera. È chiaro però che più sono le facce del solido più il pallone risulterà vicino a una forma sferica.

Il pallone Telstar dell'Adidas
Ecco perché l’icosaedro è il modello platonico storicamente preferito dai costruttori di palloni da calcio. Ai mondiali messicani del 1970 l’Adidas presentò il suo mitico pallone Telstar, ottenuto da un icosaedro spianando i vertici: la forma risultante, il familiare pallone a esagoni bianchi e pentagoni neri, è ciò che i matematici chiamano icosaedro troncato, e che i chimici hanno ritrovato in una molecola di carbonio chiamata buckminsterfullerene, appartenente alla vasta famiglia dei fullereni. Il nome Telstar fu scelto per la somiglianza con l’omonimo satellite artificiale posto in orbita geocentrica e utilizzato nelle telecomunicazioni a partire dagli anni Sessanta.

Anche alcuni modelli più recenti di palloni da calcio si rifanno ai solidi platonici: il Brazuca dei Mondiali 2014 in Brasile è topologicamente un cubo, così come lo era il pallone dei primi Mondiali, quelli del 1930, mentre il Teamgeist, pallone ufficiale dei Mondiali tedeschi del 2006 vinti dall’Italia, era un ottaedro troncato.

I solidi platonici sono sempre stati fonte di ispirazione per molti artisti. Piero della Francesca, che non fu soltanto un pittore, ma anche un matematico, era ossessionato dai solidi regolari: uno dei suoi trattati, il “De quinque corporibus regularibus”, era dedicato escludivamente a questi suggestivi poliedri, che all’artista interessavano ovviamente anche per il loro rapporto con il disegno e con le arti figurative.
Nell’articolo del numero 184 ricordavo come anche Leonardo Da Vinci realizzò moltissime illustrazioni inerenti ai solidi platonici, che furono pubblicate nel libro “De divina proportione” del frate matematico Luca Pacioli.

Nel 1955, il grande pittore surrealista Salvador Dalì realizzò una “Ultima cena” che stravolge i canoni dell’iconografia tradizionale. La scena è inserita all’interno di un grande dodecaedro, il solido regolare che Platone aveva associato alla perfezione dell’universo nel suo complesso. Nel descrivere il dipinto, Dalì parlò di una “cosmologia aritmetica e filosofica basata sulla sublime paranoia del numero dodici”. Sicuramente non è un caso che il numero delle facce del dodecaedro, 12, sia uguale al numero degli apostoli.

“Ultima cena” di Salvador Dalì (1955), olio su tela conservato alla National Gallery di Washington

Un altro artista del Novecento che ha sfruttato a fini figurativi il fascino dei solidi platonici è stato l’olandese Maurits Cornelis Escher, autore di celebri costruzioni impossibili e di disegni geometrici di grande fascino. La sua famosa litografia “Cascata” mostra un piccolo villaggio caratterizzato da costruzioni paradossali, in cui dell’acqua sembra scorrere in salita. Sulla sommità delle due torri poggiano due grandi solidi, oggi noti come poliedri di Escher, la cui forma si può ottenere intrecciando tra di loro tre ottaedri.

“Cascata”, litografia di
Maurits Cornelis Escher (1961)
L’enigma del numero 184 descriveva un particolare dado tetraedrico, sulle cui facce sono indicati quattro numeri interi, che godono di alcune proprietà:
 • sono tutti diversi tra di loro;
 • sono tutti numeri primi;
 • uno dei quattro numeri ha una sola cifra;
 • ognuno degli altri tre numeri ha due cifre, la seconda delle quali è 3;
 • lanciando il dado, la somma dei numeri visibili dà sempre un numero primo.
I lettori erano invitati a determinare i numeri interi riportati sulle quattro facce del tetraedro. La soluzione dell’enigma non era unica: anzi, ce n’erano ben cinque.
Alcuni lettori sono stati bravi a indicarle tutte, anche se per considerare vinta la sfida era sufficiente individuarne una. Le soluzioni erano le seguenti:
 • 5, 13, 23, 43
 • 5, 13, 43, 53
 • 5, 13, 43, 83
 • 7, 13, 23, 53
 • 7, 23, 73, 83

Non vi era un metodo particolare per individuare le soluzioni del problema: un approccio praticabile era quello per “forza bruta”, cioè per enumerazione e verifica delle possibili quaterne, da attuare a mano oppure con l’ausilio della potenza di calcolo di un computer (molti lettori, per esempio, si sono serviti di un foglio elettronico, strumento molto servizievole in casi come questo).

martedì 23 maggio 2017

I Premi Turing: John Warner Backus

Uno dei più celebri e utilizzati linguaggi di programmazione è stato (ed è) sicuramente il FORTRAN. Non poteva non aggiudicarsi il Premio Turing uno come John Warner Backus, creatore non solo del FORTRAN, ma anche, assieme al danese Peter Naur, di una fortunata notazione per definire le sintassi di linguaggi formali.
Nato a Filadelfia il 3 dicembre 1924, Backus non fu certo uno studente modello. Nel 1942 si iscrisse a chimica all'Università della Virginia, ma a causa della sua scarsa performance venne espulso dopo pochi mesi. Dopo un periodo di arruolamento nell'esercito, Backus frequentò alcuni corsi universitari di medicina, ma anche in questo caso non li portò a termine, trovando gli argomenti di studio poco stimolanti. Per di più, in questo periodo gli venne diagnosticato un tumore osseo al cranio, che fortunatamente gli fu rimosso senza gravi conseguenze.
Il giovane John si trasferì a New York, con idee molto confuse sul suo futuro. Cominciò a interessarsi di elettronica e, conseguentemente, di matematica. Si iscrisse quindi alla Columbia University e nel 1949 si laureò. L'anno dopo entrò alla IBM, dove il suo primo compito fu scrivere programmi per il Selective Sequence Electronic Calculator (SSEC).
Finalmente aveva trovato la sua strada.
Uno dei principali utilizzi del SSEC era il calcolo di tabelle di effemeridi astronomiche. Le tecniche di programmazione ideate da Backus in quegli anni sarebbero state impiegate anni dopo dalla NASA per il programma Apollo.
A quei tempi, scrivere programmi informatici significava inanellare, una dopo l'altra, migliaia di istruzioni a livello macchina. Un lavoro estremamente difficile, ad alto rischio di errori. Per facilitare il compito, nel 1953 Backus inventò Speedcoding, il primo linguaggio di alto livello della storia: le operazioni sui numeri a virgola mobile potevano essere descritte in una forma più semplice e veloce.

Un IBM 704 in uso alla NASA nel 1957
La IBM aveva lanciato nel 1954 il modello 704, il primo computer prodotto in serie dotato di una unità di calcolo in virgola mobile, e Backus si offrì di creare un linguaggio che avrebbe reso facile programmarlo.
Gli fu assegnato un team di dieci programmatori, che dopo un anno produsse una prima versione delle specifiche del linguaggio IBM Mathematical FORmula TRANslating System, ovvero del FORTRAN.
Il primo compilatore FORTRAN venne ufficialmente rilasciato nel 1957: consisteva di più di 25.000 righe di codice macchina, e venne incluso in tutti i modelli 704 venduti dalla IBM in quegli anni.
Col passare degli anni il FORTRAN venne progressivamente perfezionato e si guadagnò presto la posizione del linguaggio di programmazione più utilizzato per le applicazioni scientifiche.

Uno dei linguaggi che furono sviluppati sulla base del FORTRAN fu l'ALGOL: Backus prese parte alle riunioni di definizione, e fu nell'ambito di questo progetto che lo stesso Backus propose l'utilizzo della forma che prende il suo nome e quello del collega danese Peter Naur. La forma di Backus-Naur è una notazione formale per descrivere qualsiasi linguaggio di programmazione libero dal contesto, ed è particolarmente utile nello sviluppo di nuovi compilatori.

Fu grazie a questi straordinari risultati che John Backus fu insignito nel 1977 del Premio Turing.
Nella lezione che tenne in occasione della consegna del premio, Backus affermò:

I linguaggi di programmazione sembrano oggi in difficoltà. Ogni nuovo linguaggio incorpora, con qualche piccolo miglioramento, tutte le caratteristiche dei suoi predecessori e qualcuna di nuova. [...] Ogni nuovo linguaggio sostiene di avere nuove e affascinanti caratteristiche... ma la verità è che pochi linguaggi rendono la programmazione abbastanza economica e affidabile da giustificare il costo di produrre e imparare nuovi linguaggi.

Sulla base di questa sua affermazione, Backus indicò un nuovo paradigma di programmazione, denominato "function-level", che avrebbe dovuto sostituire il tradizionale approccio "value-level".
La programmazione "function-level" non va confusa con la programmazione funzionale (quella che si ritrova nel Lisp, ma anche in R, Wolfram Mathematica e Python). Nel paradigma tradizionale (value-level) si scrive un programma che viene applicato ai dati di input in modo da produrre una successione di valori intermedi che, alla fine, culmina nel valore finale desiderato. Nel paradigma function-level, invece, si parte da un programma iniziale che è sempre lo stesso per ogni computazione, e si applicano alcune operazioni "program-forming", o "funzionali", che producono una successione di programmi intermedi, fino a culminare nel programma finale desiderato.
Sempre nel 1977 Backus propose un esempio di linguaggio "function-level", chiamato FP, che rimane il prototipo dei linguaggi di questa categoria. Negli ultimi anni della sua carriera cercò di sviluppare un successore di FP, denominato FL. La fortuna di questo paradigma fu tuttavia molto modesta, e rimase confinata nell'ambito accademico-didattico.
Backus terminò la sua lunga carriera in IBM nel 1991, e morì nel marzo del 2007, trent'anni dopo aver ricevuto il premio Turing.

La citazione matematica del sabato (#3)

In matematica l'arte di porre un problema deve essere considerata di maggior valore rispetto a quella di risolvere un problema. G...