La top ten dei miei video su Youtube (6° posto)

Proseguiamo la scalata alla classifica dei video più popolari del mio canale "Paolo Alessandrini - Matematica".

Al sesto posto scopriamo "Numeri straordinari - Il numero di Joyce", del 12 febbraio 2021, con 6591 visualizzazioni. 

Curiosamente, come avete notato, i tre video finora realizzati per la serie "Numeri straordinari" si trovano tutti vicini nella classifica: questo, al momento, è il più visto dei tre (ma è anche vero che è il più vecchio dei tre, quindi ha avuto più tempo degli altri per essere visto).

Tengo molto anche a questo video, perché come nel caso del video su Buzzati si tratta di un esempio interessante di collegamento tra matematica e letteratura: e come tale potrebbe interessare anche agli insegnanti, per il suo valore didattico.

La top ten dei miei video su YouTube (7° posto)

Continua la descrizione dei video più visti sul mio canale YouTube "Paolo Alessandrini - Matematica".

Al settimo posto si trova "Numeri straordinari - I numeri primi di Buzzati" del 28 gennaio 2022, con 5458 visualizzazioni. 

Sono molto affezionato a questo video, per due motivi: innanzitutto perché parla di uno dei miei scrittori preferiti, Dino Buzzati, in questo caso chiamato in causa per un suo racconto non molto noto che parla (meravigliosamente) di numeri primi, ma ancor di più per la partecipazione straordinaria di mia moglie Donata, bellunese come Buzzati e bibliotecaria. Buona visione!

La matematica di Italo Calvino al ComUNICAMat

Per chi si fosse perso il mio intervento del 5 ottobre scorso sulla matematica di Italo Calvino al ComUNICAMat, rassegna online organizzata dall'Università di Camerino, potete trovare qui il link al video dell'intera giornata di giovedì 5 ottobre (il mio intervento parte dal minuto 3h 23').

Nel corso della stessa giornata trovate anche interessanti interventi di altri matematici, docenti e divulgatori, come per esempio Ilaria Fanelli, Albrecht Beutelspacher, Andreas Matt.

Il mio intervento sulla matematica di Italo Calvino si inserisce nel contesto delle celebrazioni del centenario della nascita del grande scrittore. Come ricordate, avevo già proposto una conferenza su questo tema, e posso anticipare che (spero entro la fine dell'anno) uscirà anche un mio articolo sullo stesso argomento.

D'altra parte, uno come me che ha dedicato il proprio blog a una delle opere di Calvino non poteva dimenticare questa importante ricorrenza!

Un grande grazie agli organizzatori del convegno di Camerino, in particolar modo il Prof. Carlo Toffalori, per avermi invitato a questa prestigiosa rassegna.

"Bestiario matematico" e Calvino al Max Planck!

Da ormai quasi due anni sono orgogliosamente uno dei docenti dell'Istituto "Max Planck" di Villorba (Treviso), scuola per così dire una e duplice, in quanto comprende sia gli indirizzi "tecnologici" dell'Istituto Tecnico, sia l'indirizzo "Scienze applicate" del Liceo Scientifico.

Una delle caratteristiche che fanno del Max Planck una scuola molto interessante e forse unica, soprattutto per gli studenti, è la sua apertura all'esterno, che si manifesta in molti modi. 

Io sono contento di aver contribuito a questa "apertura" in tre modi diversi. Innanzitutto da due anni partecipo al progetto della "Rete Minerva", meravigliosamente gestito dal collega prof. Paolo Tosato, con il quale ho girato moltissime scuole medie della Provincia di Treviso proponendo ai ragazzi il mio laboratorio di giochi e attività matematiche. 

Inoltre, lo scorso 10 marzo ho avuto l'onore e il piacere di presentare il mio libro "Bestiario matematico" ad alcune classi della scuola, nell'ambito di un fantastico progetto che da molti anni viene portato avanti dalle colleghe di lettere dell'Istituto. Parlare ai ragazzi del Liceo e dell'ITIS di creature matematiche e di matemaghi coraggiosi è stato molto emozionante. Tenete conto che gli autori che partecipano solitamente al progetto sono nomi di altissimo livello (ne vedete uno nella foto). 

Infine, un terzo motivo di emozione e soddisfazione consiste in una serie di incontri organizzati dalla mia scuola ma rivolti alla cittadinanza in generale. 

L'idea di organizzare alcuni appuntamenti dedicati a temi interessanti ma osservati da prospettive diverse (umanistico-letterario-artistica da un lato, e scientifico-matematica dall'altro) mi era venuta qualche mese fa, ma la sua realizzazione concreta si deve al collega prof. Dario Battistin, che ha curato alla perfezione tutti gli aspetti organizzativi. 

Venerdì prossimo, 12 maggio, avrà luogo il secondo incontro, nel quale sono coinvolto direttamente: "Parole e numeri in Calvino", una conferenza molto particolare in cui parlerò degli affascinanti legami tra l'opera di Italo Calvino e la matematica. L'appuntamento si svolgerà nella Barchessa di Villa Giovannina a Villorba, alle ore 21, e vedrà anche la presenza del collega Luca Mattiello, che estenderà la prospettiva coinvolgendo il punto di vista artistico, e dalla collega Anna Amadio, che impreziosirà la serata con alcune letture di brani di Calvino.

Amici trevigiani, accorrete numerosi! 

Borges su Archimede!

Sul numero 3/2020 di “Archimede“, la prestigiosa rivista trimestrale per gli insegnanti e i cultori di matematiche pure e applicate, trovate un mio articolo intitolato “Gli infiniti di Borges”, dedicato alle straordinarie suggestioni matematiche che affiorano dalle opere del grande scrittore argentino. 

Vi riporto qui l'incipit:
Non è facile trovare, nella letteratura del Novecento, uno scrittore che abbia affrontato i temi della matematica con la profondità e l’originalità di Jorge Luis Borges (1899-1986). Nelle sue opere si ritrovano spesso ragionamenti ingegnosi e potenti visioni che si collegano a territori come il calcolo combinatorio, la teoria dell’informazione, la ricorsione e l’infinito, la geometria e la topologia, perfino la teoria del caos e la fisica quantistica.

Abbonatevi, se non l’avete ancora fatto. E buona lettura!

Le Biblioteche Totali

Il racconto "La biblioteca di Babele" di Jorge Luis Borges è una delle miniere d'oro più generose per ogni divulgatore matematico.
Anch'io, nel mio piccolo, non ho saputo resistere al fascino del claustrofobico, vertiginoso e bellissimo universo descritto dallo scrittore argentino e ne ho parlato spesso, per esempio in questa video-conferenza.

L'attrazione fatale della Biblioteca non ha conquistato solo matematici, critici letterari e scrittori, ma anche filosofi, architetti, scienziati, informatici e illustratori. Per esempio c'è un problema aperto relativo alla forma della Biblioteca, sul quale molte menti brillanti si sono interrogate. E questo si ripercuote sul problema di rappresentarla graficamente: tra i tentativi più brillanti quello di un programmatore americano, Jamie Zawinski. Ho utilizzato alcune delle sue immagini per impreziosire questo post.

La Biblioteca è formata da un numero indefinito di sale esagonali, ciascuna delle quali ospita 4 pareti adibite a librerie. Ogni parete è composta da 5 scaffali e ogni scaffale contiene 32 libri. I libri hanno tutti lo stesso formato: 410 pagine, ciascuna delle quali si compone di 40 righe, e ogni riga contiene irrimediabilmente 80 lettere di colore nero.
Ciascun libro risulta così formato da una successione di 410 ∙ 40 ∙ 80 = 1.312.000 caratteri. Ogni esagono contiene 4 ∙ 5 ∙ 32 = 640 libri, che corrispondono quindi a 640 ∙ 1.312.000 = 839.680.000 simboli.
Ma quanti libri e quanti simboli ci sono in tutta la Biblioteca? Non lo sappiamo, perché non è noto il numero degli esagoni che la compongono.

Tuttavia, possiamo dire quanti libri diversi del formato indicato da Borges possono esistere: basta applicare le formule del calcolo combinatorio e determinare il numero di diverse sequenze di 1.312.000 simboli esistenti. Visto che i caratteri diversi utilizzati nei libri della Biblioteca sono 25 (22 lettere più lo spazio, il punto e la virgola), è facile dedurre che esistono in tutto 25^1.312.000 diversi libri di quel formato. Questo numero equivale a circa 10^1.834.097, cioè a 1 seguito da circa un milione e ottocentomila zeri. Una quantità finita ma spaventosamente grande, non c'è che dire. Se anche un libro avesse le dimensioni di un atomo, non ci sarebbe spazio a sufficienza nell'intero universo per ospitare tutti questi volumi: il numero di atomi contenuti nell'universo conosciuto si aggira intorno a 10⁸⁰, che è un numero incomparabilmente minore. Insomma, occorrerebbe una quantità mostruosamente grande di universi per contenere i libri possibili!

Nonostante sia fisicamente assurdo, nel corso del racconto Borges ci informa che la Biblioteca è totale, cioè comprende sicuramente tutti quei 10^1.834.097 libri possibili (ma è possibile che di un libro esistano più copie, forse persino infinite copie). Il passo del racconto in cui viene fornita questa informazione è particolarmente intenso e drammatico:

Da queste premesse incontrovertibili dedusse che la Biblioteca è Totale, e che i suoi scaffali registrano tutte le possibile combinazioni dei venticinque simboli ortografici (numero anche se vastissimo, non infinito) cioè tutto ciò che è dato di esprimere in tutte le lingue. Tutto: la storia minuziosa dell’avvenire, le autobiografie degli arcangeli, il catalogo fedele della biblioteca, migliaia e migliaia di cataloghi falsi, la dimostrazione delle falsità di questi cataloghi, la dimostrazione della falsità del catalogo fedele, l'evangelo gnostico di Basilide, il commento del commento di questo vangelo, il resoconto veridico della tua morte, la traduzione di ogni libro in tutte le lingue, le interpolazioni di ogni libro in tutti i libri. 

Qualche settimana fa ho avuto il piacere di conoscere una persona con la quale ho riscontrato una singolare convergenza di interessi intellettuali. Giorgio Chini, questo il suo nome, è un ingegnere elettronico dalle vaste e profonde frequentazioni culturali. Dopo aver letto il mio libro "Matematica rock", ha voluto farmi notare l'analogia tra un passaggio del capitolo dedicato a pi greco, in cui mi soffermavo sui numeri normali, e un articolo (si veda figura a lato) che lui stesso scrisse intorno al 1985 traendo ispirazione proprio dalla "Biblioteca di Babele" di Borges.
L'intuizione centrale dell'articolo di Chini è quella di immaginare un equivalente "musicale" della Biblioteca di Babele. Fin da subito l'ho trovata estremamente suggestiva, al punto da indurmi a scrivere questo post e suscitare nella mia mente ulteriori idee, domande e approfondimenti.
All'epoca della stesura dell'articolo di Giorgio, il CD (Compact Disc) rappresentava una tecnologia di recente introduzione: come tale, costituiva l'ideale punto di riferimento per consentire una trasposizione del concetto borgesiano di Biblioteca Totale dal mondo della parola scritta a quello dei suoni.

Com'è spiegato nell'articolo, il segnale musicale viene campionato a intervalli di tempo regolari, precisamente 44100 volte al secondo. Ogni campione è costituito da un numero binario di 16 bit, mediante il quale viene codificata l'informazione relativa al segnale sonoro nell'istante in esame. Partendo da questi dati, è possibile intraprendere un ragionamento analogo a quello suggerito dal racconto di Borges: fissando per semplicità a un'ora la durata convenzionale di un CD, si calcola un totale di 60 ∙ 60 ∙ 44100 ∙ 16 = 2.540.160.000 bit contenuti in un disco. Il numero dei CD possibili è allora uguale a 2^2540160000, che equivale a circa 10^750.000.000: un numero finito, certo, ma spaventosamente maggiore del numero dei libri borgesiani possibili.

A maggior ragione rispetto alla Biblioteca di Babele, questa gigantesca Biblioteca Totale dei Suoni non potrebbe nemmeno lontanamente starci nel nostro universo, anche immaginando di poter ridurre ogni CD alle dimensioni di un atomo.
Che cosa si troverebbe in questa smisurata biblioteca sonora? Ritorna il tema vertiginoso, già esplorato da Borges, della totalità della Biblioteca: in questo caso troverebbe posto qualsiasi successione dei fatidici 10^750.000.000 bit, cioè ogni sequenza sonora della durata di un'ora. Chini illustra il concetto in questo bellissimo passo:

La maggior parte dei dischi conterrà un rumoraccio fastidioso e indecifrabile ma sempre diverso, così come nella Biblioteca c'è un sol libro che è, da cima a fondo, la ripetizione delle lettere MCV. Ma tanti dischi invece avranno senso: conterranno ad esempio il Requiem di Mozart in tutte le possibili esecuzioni, compresa quella che ho io in casa che è su un disco di vinile con un graffio, e anche quelle con tutte le possibili stecche di ogni orchestrale. Ci sarà l'Inverno come lo ha suonato Vivaldi appena lo ha composto, e un'esecuzione del Tannhauser dove la noia è interrotta dall'oboista che, al posto della sua parte, comincia a suonare "Space Oddity"; ci sarà la musica che Stockhausen non ha ancora scritto, e quella che Claudio Baglioni purtroppo ha già scritto.
Ma non solo la musica fa parte dei suoni. Se qualcuno di voi ha mai dormito in un prato, quando si è svegliato avrà sentito un rumore di un grillo; nella Biblioteca dei Suoni c'è: c'è anche il dischetto in cui quel dolce trillo è proprio nel mezzo al fragore della bomba di Hiroshima. C'è anche il rumore del caffè che passa in tutte le caffettiere possibili e quello dei passi di ognuno di noi su qualunque terreno, facile o duro che sia al nostro piede.
E poi tra i suoni ci sono le voci: quella di me stesso che leggo questo articolo, tutte le gaffe di Ronald Reagan, le parole dette da Dio a Mosè sul Sinai. Se Dio non esiste, come io penso, non importa: qualunque cosa avrebbe potuto dire, in qualsiasi lingua, nella Biblioteca c'è. Tutto quello che hanno detto tutti gli uomini, vissuti e non, è presente.
La voce tremante di chiunque dica "Io ti amo", quella che risponde "Io no", e quella di chi invece, felice tanto da piangere, dice "Anche io", sono tutte nella Biblioteca. Là ognuno può trovare il disco che lo condanna alla disperazione e quello in cui il proprio amore è ricambiato, però non potrà sapere su quale dei due è registrata la realtà.

A distanza di 35 anni, l'idea di Chini ne ha generata un'altra nella mia testa: perché non pensare anche a una Biblioteca Totale dei Film possibili?
Anche in questo caso dobbiamo fissare qualche parametro convenzionale, perché gli standard video e audio utilizzati in ambito cinematografico e televisivo costituiscono un mondo molto complesso e variegato. Ricorrendo alle specifiche emesse dal consorzio "Digital Cinema Initiatives" (DCI), diciamo di adottare i seguenti parametri:
1) per il video, una velocità di 24 fotogrammi al secondo, con un formato immagine di 2048 per 1080 pixel, e 36 bit per codificare l'informazione del colore di un singolo pixel;
2) per l'audio, 48.000 campioni al secondo e 24 bit per codificare un singolo campione.
Inoltre fissiamo una durata di due ore per ogni film della nostra Biblioteca.

Quanti sono i film possibili? Eseguendo un calcolo analogo ai precedenti si trova che:
1) per racchiudere l'informazione video di un intero film servono 2 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 36 ∙ 2048 ∙ 1080 = 13.759.414.272.000 bit;
2) per quanto riguarda l'audio, sono necessari 2 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 48.000 ∙ 24 = 8.294.400.000 bit.
Complessivamente ci servono circa 13.767 Gbit (ovviamente il video la fa da padrona).
I miei lettori si staranno certamente chiedendo perché non faccio alcuna menzione della possibilità di comprimere il pacchetto di informazioni: ebbene, è chiaro che questo è concretamente possibile (e fondamentale ai fini dell'efficienza del sistema), ma da un punto di vista concettuale non impatta sul conteggio dei distinti film possibili (d'altra parte, è facile dimostrare che qualsiasi algoritmo di compressione rimpicciolisce alcuni tipi di file - ovviamente quelli statisticamente più frequenti - ma ne ingrandisce altri)
Quanti sono in definitiva i film possibili? Il calcolo è sempre lo stesso: dobbiamo elevare 2 a 13.767 miliardi, ottenendo qualcosa come 10^{414.427.995.031}.
Prevedibilmente, il numero che risulta è molto maggiore di quello trovato per la Biblioteca Totale dei Suoni: è una quantità inconcepibile e spaventosamente colossale.

Anche in questa Biblioteca Totale dei Film c'è tutto. Come al solito, nella maggior parte dei dischi ci sono sequenze video incomprensibili e insensate, accoppiate a colonne sonore fatte unicamente di rumori senza significato. Ma da qualche parte ci sono anche tutti i film di Chaplin, Kubrick, Allen, Antonioni e di tutti i registi della storia del cinema. Ci sono i film che loro avrebbero voluto realizzare ma non hanno realizzato e tutte le varianti possibili, comprese le più assurde, dei loro film. Per esempio c'è "2001 Odissea nello spazio" con la colonna sonora costituita da pezzi metal al posto dei valzer di Strauss, c'è "Il grande dittatore" con le scene girate su Marte, c'è "Zabriskie Point" doppiato in lingua klingon, c'è "C'era una volta in America" con Aristotele in carne e ossa al posto di Robert De Niro, e così via.
Ovviamente non ci sarebbero soltanto film in senso stretto, ma anche combinazioni qualsiasi di video e audio. Ci sono le vere registrazioni della formazione della Terra, della morte dell'ultimo dinosauro, della prima volta in cui un uomo primitivo è riuscito ad accendere un fuoco, della nascita e della crocifissione di Cristo, della fase finale della battaglia di Waterloo. In uno dei film potreste rivivere tutti i sogni che avete fatto nelle ultime notti (e tutti gli altri sogni della vostra vita sono sicuramente custoditi in altri dischi). In un altro ci sono le puntate di Goldrake che io ho visto in TV in un pomeriggio del 1979: nei fotogrammi si vede non solo il cartone animato, ma anche il televisore che c'era a casa mia allora e parte della stanza, e la colonna sonora è la registrazione originale delle parole che Giulio Cesare pronunciò quando fu aggredito e accoltellato a morte.
Tranquilli, in un disco c'è anche il film della vostra morte: in sovraimpressione è riportata la data e l'ora in cui essa avverrà. Però c'è un numero incalcolabile di altri film che mostrano versioni alternative della vostra morte: a voi indovinare qual è il film "giusto". Ed esiste una sequenza di dischi (l'unico problema è trovarli e metterli in ordine) che documentano in ogni dettaglio tutta la vostra vita, tutto quello che i vostri occhi e le vostre orecchie hanno percepito da quando siete nati fino a ora e anche nel futuro. La stessa cosa vale per tutti gli altri abitanti del mondo, anche quelli che non ci sono più, quelli che non ci sono ancora e perfino quelli che non ci saranno mai.
Insomma, tutta la vita di ogni possibile essere umano (o non umano), ogni fatto accaduto (o non accaduto) nell'universo in ogni epoca passata, presente e futura: tutto, proprio tutto è custodito in questa incredibile Biblioteca.
Mi fermo qui perché continuare potrebbe far girare la testa, sia a voi che a me, e concludo con un caloroso grazie all'amico Giorgio Chini.

La matematica di Gianni Rodari #1: Conway e il "Game of Life"

Gianni Rodari (1920-1980)

Qualche giorno fa ci ha lasciati il grande matematico inglese John Horton Conway, tra i più brillanti degli ultimi decenni.
Conway è stato anche un gigante della matematica ricreativa e inventore di numerosi geniali giochi matematici.
Che Conway vanti molte citazioni su articoli specialistici di matematica o in saggi scientifici divulgativi, non sorprende nessuno.
Credo tuttavia che una citazione risulti, per molte persone, sconosciuta e anche piuttosto sorprendente: il nome di Conway compare nientemeno che nel celebre saggio di Gianni Rodari "Grammatica della fantasia. Introduzione all'arte di inventare storie" (Einaudi, 1973).
Il riferimento all'accademico inglese è contenuto in una delle diciassette brevi "schede" che Rodari mise in fondo al volume, a integrazione dei quarantaquattro capitoli dell'opera.
Perché questa citazione?

Parto da un dato di fatto: Rodari era un grande appassionato di scienza, come traspare dalla sua opera letteraria, e leggeva regolarmente riviste come "Le Scienze".
Qualche anno fa un ottimo giornalista scientifico come Pietro Greco ha esplorato le incursioni rodariane nel mondo della scienza in un libro intitolato "L'universo a dondolo. La scienza nell'opera di Gianni Rodari" (Springer, 2011). Greco ha osservato che Rodari studiava "con sistematicità il rapporto complesso e bidirezionale tra scienza e fantasia. Nella convinzione che non solo la scienza serve alla fantasia, ma che la fantasia serve alla scienza".

La "Grammatica della fantasia",
capolavoro di Rodari

A Rodari questo mutuo legame stava molto a cuore. Se esploriamo il mondo della scrittura e delle trame, possiamo scoprirvi innumerevoli spunti di carattere scientifico, talvolta inseriti intenzionalmente, altre volte no. In questo senso la scienza serve alla fantasia. Più in particolare, Rodari ha spesso individuato nelle narrazioni di altri autori, e inserito nelle proprie, richiami di tipo matematico, legati per esempio alla logica, alla teoria degli insiemi, alla geometria.
Nel capitolo 37 della "Grammatica", intitolato significativamente "La matematica delle storie", Rodari si occupa proprio di mostrare come le strutture logico-matematiche ricorrono frequentemente nelle trame delle storie.

La scheda "Le storie della matematica" si apre con una di quelle frasi che da sole aprono alla mente sconfinati universi:

Accanto a una "matematica delle storie" (vedi cap. 37) ci sono anche delle "storie della matematica".

Ecco, Rodari suggerisce ora di capovolgere il punto di vista e di cercare non più la matematica nelle narrazioni, ma le narrazioni all'interno della matematica. Più in generale, come osserva Greco, "la fantasia serve alla scienza".

È una riflessione acuta e modernissima, questa di Rodari.
Fondamentale per chi, come me, fa il divulgatore e il docente, e deve ideare forme e modalità adatte per veicolare argomenti e concetti che spesso sono oggettivamente difficili per la gran parte del pubblico. Saper trasformare in narrazione ciò che solitamente viene pensato in una forma totalmente diversa, astratta e formale, può rappresentare un'arma vincente, uno strumento comunicativo di enorme efficacia.
In classe io l'ho constatato molte volte: quando riesco a proporre un argomento matematico sotto forma di storia, ottengo sempre risultati apprezzabili, a volte ottimi. La narrazione attiva nella mente di chi ascolta meccanismi emotivi che innalzano di molto l'attenzione e l'interesse.
Ecco allora che, anziché introdurre i numeri irrazionali con un approccio formale, lo si può fare raccontando la vicenda dei pitagorici alle prese con la scoperta dell'incommensurabilità tra le lunghezze del lato e della diagonale del quadrato. Invece di spiegare il calcolo combinatorio attraverso le definizioni tradizionali, si può partire dalla copertina di "Help!" dei Beatles, come ho fatto in "Matematica rock". E così via.
Ma naturalmente Rodari non si riferiva soltanto a un atteggiamento "narrativo" della trasmissione della scienza. Intendeva, più in generale, che la scienza e la matematica possono racchiudere, al loro interno, germi di storie: che questi vengano portati in superficie e sfruttati da insegnanti e divulgatori, è un'altra questione.
Si tratta, in fin dei conti, della stessa tesi che è stata sviluppata nel bellissimo "Matematica come narrazione" di Gabriele Lolli (Il Mulino, 2018), in cui si mostra come (cito dal risvolto di copertina) "nei programmi di grandi matematici i concetti sono i protagonisti di una fiaba che combina nuove idee in moduli ricorrenti, quelle tecniche del ragionamento che sono nate dalla retorica e dalla poesia greca".

L'autore delle "Favole al telefono" ha insistito più volte sulla bidirezionalità storie-fantasia, declinandola spesso in chiave matematica: per esempio, nel capitolo 44 della "Grammatica", troviamo una delle sue frasi più famose:

Le fiabe servono alla matematica come la matematica serve alle fiabe.

John H. Conway (1937-2020)

L'esempio di storie utili alla matematica che Rodari propone nella scheda chiama direttamente in causa John Conway:

Chi segue la rubrica Giochi matematici di Martin Gardner nella rivista "Scienze" (edizione italiana dello "Scientific American") mi ha già capito. I "giochi" che i matematici inventano per esplorare i loro territori, o scoprirne di nuovi, assumono spesso la caratteristica di "fictions" che stanno a un passo dall'invenzione narrativa. Ecco per esempio il gioco denominato "Vita", creato da John Norton Conway, un matematico di Cambridge ("Scienze", maggio 1971). 

Come lettore de "Le Scienze", il grande scrittore di Omegna apprezzava in particolare la rubrica "Giochi matematici", curata dal 1957 al 1980 (e anche successivamente, ma in modo non regolare) dal grande Martin Gardner. Se Rodari non fosse scomparso nel 1980, ancora cinquantanovenne, avrebbe sicuramente trovato illuminanti anche i "Metamagical Themas" (1981-1983) di Douglas Hofstadter e le "Computer/Mathematical recreations" di Alexander Dewdney (1984-1991).

La copertina del "Scientific American "
di ottobre 1970

Nel numero 223/4 (ottobre 1970) del "Scientific American", la rubrica "Mathematical Games" proponeva un articolo intitolato "The fantastic combinations of John Conway's new solitaire game 'Life'". "Le Scienze" pubblicò la traduzione italiana nel numero di maggio 1971, citato da Rodari.
Il "Game of Life" creato da Conway è il più celebre degli automi cellulari: la semplicità delle sue regole, combinata alla meravigliosa complessità delle strutture che riesce a generare, lo rendono uno degli esempi più stupefacenti di bellezza matematica.
In questo vecchio post avevo brevemente parlato di alcune delle sue proprietà.

Che cosa c'entrano le storie con il gioco di Conway? Lo stesso Rodari lo chiarisce benissimo subito dopo:

Esso consiste nel simulare sul calcolatore la nascita, la trasformazione e il declino di una società di organismi viventi. In questo gioco le configurazioni inizialmente asimmetriche tendono a diventare simmetriche. Il professor Conway le chiama: "l'alveare", "il semaforo", "lo stagno", "il serpente", "la chiatta", "la barca", "l'aliante", "l'orologio", "il rospo", ecc. Egli assicura che esse costituiscono "un meraviglioso spettacolo da osservare sullo schermo del calcolatore": uno spettacolo in cui, in fin dei conti, l'immaginazione contempla se stessa e le proprie strutture.

Io me lo immagino, il grande Rodari, a casa sua, nel maggio del 1971, intento a leggere l'articolo di Gardner e fantasticare sui pattern del "Game of Life". Chissà se per un attimo ha anche pensato di ambientare uno dei suoi racconti nel meraviglioso automa cellulare di Conway, facendo muovere rospi, barche, semafori e alianti in una delle sue storie geniali.

Quest'anno si celebra il centenario della nascita di Gianni Rodari. Lo scorso 14 aprile è stato il quarantennale della sua morte.
Ho deciso di offrire un piccolo contributo alla memoria di questo nostro grande autore pubblicando, con cadenza all'incirca settimanale (l'idea è di uscire ogni venerdì), un post dedicato alla "Matematica di Gianni Rodari". Questo è il primo.
L'ultimo coinciderà con il giorno del centenario, il 23 ottobre.
Spero che vi piaceranno.

Il fascino dei grandi numeri

Dopo "La formula più bella del mondo", trasformata qualche giorno fa in un video, è il turno di un'altra mia conferenza, dedicata al tema dei grandi numeri: la tenni due anni fa al "Dolomiti in Scienza", rassegna organizzata dal Gruppo Divulgazione Scientifica Dolomiti di Belluno, associazione della quale faccio parte da ormai più di un decennio.

Spero che questo video possa piacervi e appassionarvi: è un tentativo di mostrare quanto la matematica contenga elementi sorprendenti e offra connessioni con molte altre discipline, per esempio la letteratura e addirittura i fumetti.

Buona visione!

 

L'amore breve e il lungo oblio: Neruda e le funzioni bi-esponenziali

"È così breve l'amore, e così lungo l'oblio."

Così scriveva Pablo Neruda in "Poema 20", una delle sue poesie più celebri, compresa nella raccolta "Veinte poemas de amor y una canción desesperada" del 1924.
Cinque ricercatori del MIT Media Lab, della Northeastern University di Boston e della UDD di Santiago in Cile, hanno utilizzato questa toccante citazione all'inizio di un articolo pubblicato il mese scorso sulla rivista Nature Human Behavior, con il quale hanno proposto alcune interessanti novità sullo studio matematico delle dinamiche della memoria collettiva e dell'attenzione.

I risultati della ricerca sono stati sintetizzati in questo video:

Gli studiosi hanno analizzato in particolare come varia nel tempo il grado di attenzione e di considerazione collettiva nei confronti dei prodotti culturali, come possono essere canzoni, film, romanzi biografici, articoli scientifici e brevetti.

Gli scienziati hanno trovato una legge universale, che descrive il calo di attenzione e di memoria in modo molto simile a quello descritto poeticamente da Neruda: una prima fase (l'"amore breve"), che è caratterizzata da un'attenzione collettiva molto intensa e da un decadimento molto rapido dell'attenzione, e una seconda fase (il "lungo oblio"), in cui l'attenzione è più bassa ma decade molto più lentamente. I matematici chiamano questo tipo di andamento "bi-esponenziale".

Due sono i canali che, secondo i ricercatori, sostengono la memoria collettiva e l'attenzione: la comunicazione orale (ovvero la memoria comunicativa) e la registrazione fisica delle informazioni (ovvero la memoria culturale). La memoria comunicativa è dominante nella prima fase, per intenderci quella dell'amore romantico intenso e breve cantato da Neruda, mentre la memoria culturale è determinante nella seconda fase, quella che irrimediabilmente e lentamente conduce verso l'oblio.

La citazione matematica del sabato (#2)

Dico loro che se si occuperanno dello studio della matematica troveranno in essa il miglior rimedio contro la concupiscenza della carne.

Thomas Mann, "La montagna incantata"

La citazione matematica del sabato (#1)

Qualche anno prima, nel 1886, quando era occupato con il problema della quadratura del cerchio, era venuto a sapere dell’esistenza di un numero calcolato con relativo grado di precisione da essere di grandezza tale e di così tante cifre, ad esempio la nona potenza della nona potenza di nove, che una volta ottenuto il risultato, sarebbero stati necessari 33 volumi stampati strettamente di 1.000 pagine, ciascuna ottenuta da innumerevoli risme di carta India, per contenere il racconto completo delle sue cifre stampate di unità, decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia, centinaia di migliaia, milioni, decine di milioni, centinaia di milioni, miliardi, il nucleo della nebulosa di ogni cifra di ogni serie contenendo in breve la potenzialità dell'essere elevata all'estrema elaborazione cinetica di qualsiasi potenza di qualsiasi delle sue potenze.

James Joyce, "Ulysses" (capitolo 17, "Ithaca")

Come costruire un libro infinito (seconda parte)

Nella prima parte di questo post (uscita ormai più d'un mese fa: perdonatemi il ritardo con cui esce questa sezione finale), riportavo l'"assioma dei libri infiniti" così come formulato da Jean Paul Delahaye:

ogni sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1] dei numeri reali compresi fra 0 e 1 determina un libro infinito anch'esso chiamato E. A ciascun elemento x di E corrisponde un foglio x del libro E. Se x e y sono due elementi di E e x<y, allora il foglio associato a x si trova, nel libro E, davanti al foglio associato a y.

Ciascuno dei libri infiniti che rispettano l'assioma di Delahaye è quindi associato a un sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1].
Ovviamente questa ipotesi è piuttosto difficile da immaginare, perché stiamo parlando di sottoinsieme infiniti, e ciò significa che dobbiamo figurarci nella mente fogli infinitamente sottili, cosa non certo intuitiva.
D'altra parte, fa notare Delahaye nel suo libro (che, per inciso, non è infinito), non si capisce perché  fogli di spessore infinitesimale debbano essere più assurdi rispetto a istanti di tempo di durata infinitesimale, che in fisica sono del tutto normali.

Come la mettiamo però con il fatto che ogni foglio ha due facce, cioè due pagine? È presto detto. Se x è il numero reale appartenente all'intervallo [0,1], la pagina anteriore, cioè il recto, sarà associata a un numero indicato come x^_, mentre la pagina posteriore, cioè il retro, sarà legata a un numero denotato come x⁺.

Prendiamo ora E oppure una sua parte (ovvero un plico di fogli del nostro libro infinito). Tale insieme avrà un estremo inferiore inf(E) e un estremo superiore sup(E). Può accadere che l'estremo inferiore appartenga a E, oppure no. E analogamente per l'estremo superiore.
Per esempio, consideriamo il libro infinito associato all'insieme A = {..., 1/n, ..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1}. L'estremo superiore di questo insieme è uguale a 1: dato che esso appartiene all'insieme A stesso, lo chiamiamo massimo di A.
L'estremo inferiore è invece 0, ma questo numero non fa parte di A, e quindi possiamo dire che A non ha un minimo.
Quali sono le conseguenze per il nostro libro infinito? Visto da sopra, il libro non presenta una pagina specifica, cosa che accadrebbe se invece l'insieme A avesse un minimo. Per convenzione, Delahaye immagina che il plico di fogli appaia completamente nero, o, più poeticamente, nero-abisso, come se l'insieme infinito di fogli sottostanti producesse, a causa della trasparenza della carta, una sorta di infinita sovrapposizione del contenuto nero stampato.
In altre parole, nessuna pagina è la prima pagina di questo mostruoso libro infinito. Un'ultima pagina, invece, ce l'ha, ed è la pagina associata al numero 1⁺.

Delahaye suggerisce che, quando il lettore trova, in un punto qualsiasi del libro, una pagina stampata, sulla sinistra o sulla destra, può sempre umettarsi leggermente il dito e voltare la pagina: all'indietro se si tratta di una pagina sulla sinistra, o in avanti se si tratta di una pagina sulla destra. Detto altrimenti, il lettore può staccare la pagina dal plico cui appartiene, osservandone la parte opposta.
Torniamo al nostro libro A. Umettando ripetutamente il dito e andando dall'ultima pagina a ritroso verso l'inizio, si sfilano in sequenza le pagine 1⁺ , 1^_ , 1/2⁺, 1/2^_, 1/3⁺, 1/3^_, ... Tutte queste pagine appaiono stampate, cioè non sono nero-abisso. Solo la copertina iniziale è completamente nera: possiamo immaginare che le pagine, mano a mano che ci si avvicina all'inizio, diventino sempre più sottili, tendendo all'infinitamente sottile!

Il libro A sembra quindi un supporto perfetto per una storia che ha un finale ma che non ha un inizio preciso.
Viceversa, un libro complementare ad A è un libro che inizia ma non finisce: per esempio il libro infinito associato all'insieme B ={1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}, che ha come unica pagina nero-abisso la sua ultima pagina.
Il libro A può essere modificato aggiungendo, davanti alla copertina, una pagina corrispondente allo 0: otteniamo così il libro associato a A' = {0} U {..., 1/n, ..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1}. Il primo foglio di questo libro può essere voltato inumidendo il dito, ma dopo aver compiuto questa operazione il lettore si troverà davanti la pagina 0⁺ a sinistra e una pagina nero-abisso a destra. Questa vertiginosa pagina nera nasconde in realtà l'insieme di fogli corrispondente all'insieme dei numeri reali A.

Un interessante libro infinito è quello associato all'insieme C ={..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1- 1/3, 1-1/4, 1-1/5, ...}, che presenta le due copertine completamente nere, ma nessun'altra pagina in questo volume è nero-abisso. Il foglio 1/2 si trova a metà tra un'infinità di pagine e un'altra infinità di pagine.
Come osserva Delahaye, tutto sommato si tratta di un libro infinito dalla struttura abbastanza semplice.
Un libro certamente più affascinante è quello legato all'insieme D = {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...} U {..., 1/2+1/5, .1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}. Questa volta, al centro del libro c'è un doppio accumulo di fogli: se il lettore riuscisse ad aprirlo esattamente nel mezzo, troverebbe a sinistra un plico nero-abisso corrispondente all'insieme privo di massimo {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...}, e a destra un altro plico nero-abisso corrispondente all'insieme privo di minimo {..., 1/2+1/5, .1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}.
Finché il lettore non riesce a operare questa delicata e precisissima apertura del volume, potrebbe pensare di avere a che fare con il libro corrispondente all'insieme D' = {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...} U {1/2} U {..., 1/2+1/5, 1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}.

I due libri D e D' sono topologicamente diversi, mentre può accadere che diversi insiemi infiniti corrispondano in realtà a libri indistinguibili tra loro, in quanto perfettamente equivalenti dal punto di vista topologico. Tanto per fare un esempio banale, {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...} e {2, 4, 6, ..., 2n, ...} generano libri infiniti indistinguibili l'uno dall'altro.

Il libro R è il libro infinito associato all'insieme di tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. Com'è fatto questo volume? Possedendo un minimo, 0,  e un massimo, 1, le copertine sono entrambe stampate. Tuttavia, girando la prima pagina, troveremo sulla sinistra una pagina stampata e sulla destra una pagina nero-abisso, dato che non esiste il minimo dei numeri reali positivi. In modo analogo, partendo dall'ultima pagina e tornando indietro, ci imbattiamo subito in una pagina leggibile sulla destra, e in una pagina nero-abisso sulla sinistra.
In generale, aprendo il libro a caso, scopriremo sempre, sui due lati, una pagina nero-abisso e una pagina leggibile. Il fatto che la pagina nera si trovi a sinistra o a destra dipende dal tipo di separazione che operiamo aprendo il libro casualmente. La separazione può infatti essere del tipo [0, x[ e [x, 1] oppure del tipo [0, x] e ]x, 1]. Nel primo caso troveremo la pagina nera sulla sinistra, mentre nel secondo caso la osserveremo sulla destra.

Un altro libro infinito descritto da Delahaye è quello Q, associato all'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 e 1. Com'è noto, i numeri razionali sono quelli della forma p/q, dove p e q sono numeri interi, con p compreso strettamente tra 0 e q, e q diverso da zero. 

Come accade per il libro R, anche Q ha le due copertine stampate, e quando si gira il primo foglio, oppure l'ultimo all'indietro, si trova una pagina completamente nera. Però, sfogliando il libro Q, può accadere a un certo punto di trovare entrambe le pagine di color nero-abisso. Perché? Per il fatto che alcuni sottoinsiemi superiormente limitati dell'insieme dei numeri razionali non hanno l'estremo superiore.
Questo può apparire un paradosso: il libro Q sembra presentare più pagine nere del libro R, quasi come se il libro Q fosse più infinito del libro R (cosa paradossale visto che l'insieme dei reali, che ha la potenza del continuo, è in realtà più "numeroso" dell'insieme dei razionali, che è "soltanto" numerabile).

Non solo: abbiamo visto che aprendo a caso il libro R, ci troviamo sempre a che fare con una pagina leggibile e una pagina nero-abisso. Cosa accade se invece apriamo a caso il libro Q?

Per rispondere a questa domanda, dobbiamo definire rigorosamente l'operazione di apertura a caso di un libro infinito. Tale operazione equivale a estrarre a caso un numero reale x compreso tra 0 e 1, e mettere a sinistra tutti i fogli il cui numero è minore di x, e a destra tutti i fogli il cui numero è maggiore di x. Se x stesso corrisponde a un foglio presente nel libro, si fa testa o croce per decidere se il foglio x deve essere posizionato a destra o a sinistra.

Ora, visto che i numeri razionali costituiscono una porzione trascurabile nell'insieme dei numeri reali, se apriamo a caso il libro Q, sorteggeremo con una probabilità del 100% un numero x irrazionale, il che significa che sia a destra che a sinistra vedremo il mostruoso colore nero-abisso.

Bene. Per adesso può bastare. La terza parte del post concluderà questo strano viaggio attraverso i libri senza fine: oggetti vertiginosi e paradossali, che soltanto due cose meravigliosamente folli come la matematica e la letteratura potevano concepire.

Come costruire un libro infinito (prima parte)

Da insularomana.wordpress.com

Sarà di certo capitato anche a voi di immergervi rapiti nelle pagine di un libro, divorarle con avidità e godimento e, una volta giunti alla fine, pensare: “L’unico difetto di questo libro è che è troppo breve”. Oppure: “Avrei desiderato che l’ultima pagina non arrivasse mai”. O semplicemente: “Peccato che sia finito”.

Già, perché se un libro viene finito, cioè terminato, vuol dire che è finito, cioè che non è infinito. D’altra parte, credo che né io né voi abbiamo mai avvistato libri infiniti.

Eppure, l’idea di un libro senza fine è talmente forte e densa di implicazioni affascinanti e vertiginose che molti l’hanno in qualche modo affrontata. Ma come realizzare un libro infinito?

Libri ciclici (infinito metaforico)

Esiste un trucco per farlo in modo molto semplice: con qualche artificio si fa in modo che il lettore, arrivato in fondo al libro, riparta dall’inizio. Una struttura ciclica, quindi. O, se preferite, un’applicazione libresca dei corsi e ricorsi storici di Gianbattista Vico o del concetto nietzschiano dell’eterno ritorno.
Solo che in questo modo non si realizza veramente un libro infinito, ma piuttosto un libro illimitato, un po’ come una circonferenza, che non ha inizio né fine, ma nemmeno una lunghezza infinita.
L’artificio del libro ciclico fu realmente utilizzato dallo scrittore irlandese James Joyce nella sua ultima e più complessa opera, pubblicata nel 1939 con il titolo Finnegans wake: il testo si apre infatti con la frase

riverrun, past Eve and Adam's...

che in realtà è la seconda parte della frase che conclude il libro:

A way a lone a last a loved a long the

Un altro esempio di libro ciclico lo troviamo nel romanzo La storia infinita, pubblicato nel 1979 dallo scrittore tedesco Michael Ende. Il libro ha una struttura molto complessa e una trama estremamente intricata e suggestiva. La versione cinematografica del 1984, diretta da Wolfgang Petersen, sebbene molto coinvolgente, piena di magnifici effetti speciali e impreziosita da una bella colonna sonora, sacrificava molto della ricchezza e della profondità del testo originale. Per la cronaca, Ende si inferocì dopo aver visto la pellicola, e affermò: "Auguro la peste ai produttori. M'hanno ingannato. Quello che mi hanno fatto è una sozzura a livello umano, un tradimento a livello artistico."

Nel romanzo, La storia infinita è il titolo di tre libri diversi:
1. il libro scritto da Ende, nel quale sono narrate, in color rosso rubino, le vicende del mondo reale e, in color verde-azzurro, quelle del regno di Fantàsia;
2. il libro rubato dal ragazzino Bastiano in un negozio di antiquariato, in cui sono raccontate soltanto le vicende di Fantàsia;
3. il libro scritto dal Vecchio della Montagna Vagante, in cui sono descritte, in color verde-azzurro, le vicende del mondo reale e, in color rosso rubino, quelle del regno di Fantàsia.

Michael Ende (1929-1995)
Da http://alleszeichnen.blogspot.it

Come in un gioco di scatole cinesi, il primo libro contiene il secondo, e il secondo contiene il terzo. Il terzo libro sarebbe identico al primo, se non fosse per l'inversione speculare dei colori in cui sono scritte le vicende reali e quelle del regno di Fantàsia. Verso la fine della fantasiosa e affascinante vicenda del romanzo, l'Infanta Imperatrice trova, sulla sommità di un'alta torre, la dimora del Vecchio, il quale è intento nella stesura del terzo libro.
L'Imperatrice chiede al Vecchio di leggere il libro.
Lui, pur riluttante, esegue l'ordine, innescando così la Fine Infinita, un vertiginoso ciclo ricorsivo senza fine:  tutti gli avvenimenti della Storia Infinita si ripetono, a partire dal furto del libro da parte di Bastiano.
Il ragazzino, allora, comprendendo di essere rimasto intrappolato in un loop senza fine, pronuncia il nome "Fiordiluna", che magicamente funziona come condizione di terminazione del ciclo infinito: qualcosa di analogo all'"ordine di procedere a un risveglio" nell'Abate cruento di Elio.

Anche lo scrittore argentino Jorge Luis Borges ha immaginato spesso libri pseudo-infiniti dalla struttura ciclica. Nel celebre racconto La biblioteca di Babele descrive un libro fisicamente ciclico: un gran libro circolare dalla costola continua, che gira tutto attorno alla parete di una stanza di forma circolare. Successivamente si apprenderà che questo libro ciclico è Dio.
L’immagine del volume circolare ritorna anche in un altro racconto famoso, Il giardino dei sentieri che si biforcano, che ho già citato in un vecchio post riguardante la computazione quantistica.
La vicenda narrata è quella del professore cinese Yu Tsun, spia in Inghilterra al servizio della Germania durante la prima guerra mondiale. Yu Tsun è il discendente di Ts'ui Pen, noto per avere scritto un enorme romanzo e per avere costruito un labirinto infinito, che nessuno è mai riuscito a ritrovare. Stephen Albert, uno studioso di letteratura cinese gli svela la verità, contenuta in una lettera vergata dallo stesso antenato di Yu Tsun:

Prima di ritrovare questa lettera, m'ero chiesto in che modo un libro potesse essere infinito.
Non potrei pensare che a un volume ciclico, circolare: un volume la cui ultima pagina fosse identica alla prima, con la possibilità di continuare indefinitamente.
Mi rammentai anche della notte centrale delle Mille e una notte, dove la regina Shahrazad (per una magica distrazione del copista) si mette a raccontare testualmente la storia delle Mille e una notte, a rischio di tornare un'altra volta alla notte in cui racconta, e così all'infinito. Pensai anche a un'opera platonica, ereditaria, da trasmettersi di padre in figlio, e alla quale ogni nuovo individuo avrebbe aggiunto un capitolo, emagari corretto, con zelo pietoso, le pagine dei padri. Queste congetture mi attrassero; ma nessuna sembrava corrispondere, sia pure in modo remoto, ai contraddittori capitoli di Ts'ui Pen.

Raymond Queneau (1903 – 1976)

Libri combinatori (infinito potenziale)

Alla fine Albert svela la verità a Yu Tsun: libro e labirinto sono in realtà la stessa cosa, e costituiscono il "giardino dei sentieri che si biforcano" del titolo. Non un labirinto infinito nello spa
zio, quindi, ma un romanzo labirintico che cerca di descrivere tutte le conseguenze future di un evento a più livelli, in una ramificazione vertiginosa e potenzialmente infinita.

Potenzialmente, appunto. Potrei soffermarmi sulle molte complesse strutture combinatorie esplorate nel Novecento da alcuni scrittori, primi fra tutti Raymond Queneau nei suoi Cent mille milliards de poèmes: un insieme di dieci sonetti ciascuno dei quali occupa una pagina ed è formato da 14 versi. Ogni pagina è tagliata in strisce orizzontali, ciascuna delle quali contiene un verso: le combinazioni che si vengono a creare sono quindi 10¹⁴, appunto i centomila miliardi del titolo.


Libri veramente infiniti (infinito attuale)

Se la ciclicità è poco più di un trucco per rappresentare l'infinito, anche le strutture combinatorie, per quanto ardite e mostruosamente ramificate, non possono che tendere all'infinito, senza mai raggiungerlo davvero.
Per forza, direte voi: mica vorrai costruire un libro veramente infinito!
Non fisicamente, certo, ma almeno concettualmente forse una strada esiste, e a questo proposito il solito Borges ha indicato alcuni spunti interessanti.
Il racconto La biblioteca di Babele termina con la seguente vertiginosa visione:

Letizia Alvarez de Toledo ha osservato che la vasta Biblioteca è inutile: a rigore, basterebbe un solo volume, di formato comune, stampato in corpo nove o dieci, e composto d’un numero infinito di fogli infinitamente sottili (Cavalieri, al principio del secolo XVII, affermò che in ogni corpo solido è la sovrapposizione di un numero infinito di piani). Il maneggio di questo serico vademecum non sarebbe comodo: ogni foglio apparente si sdoppierebbe in altri simili; l’inconcepibile foglio centrale non avrebbe rovescio.

Il principio di Cavalieri, cui Borges fa riferimento, attribuisce una astratta plausibilità a un’idea di libro infinito che ovviamente rimane impossibile dal punto di vista concreto: come sarebbe possibile, infatti, realizzare un volume di spessore finito costituito da un numero infinito di pagine infinitamente sottili?
Ammettendo comunque che l’operazione sia possibile, è chiaro che un siffatto libro sarebbe un vero libro infinito, e potrebbe quindi raccogliere in sé l’intero contenuto di una biblioteca infinita come quella descritta da Borges nella prima parte del racconto.

Jorge Luis Borges (1899 - 1986) - da http://quadernodizaffiro.blogspot.it

L’idea del libro infinito deve avere ossessionato a lungo il grande scrittore argentino, e non dobbiamo stupirci di ritrovarla anche in un’altra storia, scritta qualche anno più tardi, e significativamente intitolata Il libro di sabbia.
Il racconto fa parte della raccolta omonima del 1975, che contiene anche il racconto Tigri blu.
Nella vicenda raccontata da Borges, il protagonista riceve uno strano libro da un venditore di bibbie:

Mi disse che il suo libro si chiamava il Libro di Sabbia, perché quel libro e la sabbia non hanno né principio né fine. Mi disse di cercare la prima pagina.

Con la mano sinistra sopra il frontespizio, cercai la prima pagina con il pollice quasi incollato all'indice. Tutto fu inutile: tra il frontespizio e la mano si interponevano sempre nuovi fogli. Era come se sorgessero dal libro.

«Adesso cerchi la fine.»

Fallii di nuovo; riuscii appena a balbettare con una voce che non era la mia:

«Non è possibile.»

Sempre sottovoce, il venditore di bibbie mi disse:
«Non è possibile, ma è. Il numero di pagine di questo libro è esattamente infinito. Nessuna è la prima, nessuna è l'ultima. Non so perché siano numerate in questo modo arbitrario. Forse per suggerire che i termini di una serie infinita ammettono qualsiasi numero.

Ben presto il libro diviene un tormento insostenibile per il protagonista, il quale decide alla fine di disfarsene abbandonandolo sugli scaffali di una biblioteca.

Verso la fine dell'estate capii che il libro era mostruoso. A nulla valse considerare che non meno mostruoso ero io, che lo percepivo con occhi e lo palpavo con dieci dita provviste di unghie. Sentii che era un oggetto da incubo, una cosa oscena che infamava e corrompeva la realtà.

Pensai al fuoco, ma ebbi paura che la combustione di un libro infinito fosse altrettanto infinita e soffocasse con il fumo il pianeta.
Ricordai di avere letto che il luogo migliore per nascondere una foglia è un bosco. Prima di andare in pensione lavoravo nella Biblioteca Nazionale, che conserva novecentomila libri; so che a destra del vestibolo una scala curva si immerge nello scantinato, dove si trovano i periodici e le carte geografiche. Approfittai di una distrazione degli impiegati per perdere il Libro di Sabbia in uno di quegli umidi scaffali. Cercai di non osservare né a che altezza né a che distanza dalla porta.
Provo un po' di sollievo, ma non voglio nemmeno passare per via México.

Libri come quelli sognati da Borges nella Biblioteca di Babele e nel Libro di sabbia sono, per così dire, veramente infiniti, nel senso che la nozione di infinito che racchiudono non è soltanto una metafora, come nel caso dei libri ciclici, o una potenzialità, come nei libri combinatori alla Queneau. Qui ci si confronta invece con un infinito matematico "attuale".
Si direbbe che l'infinito del primo libro descritto da Borges abbia la potenza del continuo (come i numeri reali), mentre il secondo sembra essere numerabile (come i numeri interi).
Nel bellissimo saggio Jeux finis et infinis del 2010 (edito in Italia da Dedalo nel 2012 col titolo Giochi finiti e infiniti), il matematico francese Jean Paul Delahaye ha fornito una definizione rigorosa di un libro infinito alla Borges.
Quello che Delahaye chiama l'"assioma dei libri infiniti" stabilisce infatti che:

ogni sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1] dei numeri reali compresi fra 0 e 1 determina un libro infinito anch'esso chiamato E. A ciascun elemento x di E corrisponde un foglio x del libro E. Se x e y sono due elementi di E e x<y, allora il foglio associato a x si trova, nel libro E, davanti al foglio associato a y.

Questo principio consente di immaginare una grande varietà di libri infiniti, dato che a ogni sottoinsieme infinito dell'insieme dei reali compresi tra 0 e 1 corrisponde un libro infinito ben preciso, con proprie caratteristiche legate alle peculiarità del sottoinsieme stesso.
Vedremo nella seconda parte di questo post come sono fatti questi strani, affascinanti e mostruosi libri infiniti.

Buon compleanno, Calvino!

Devo farcela. Entro mezzanotte. Un post magari breve, pochi concetti senza troppi fronzoli: ma un post deve uscire, entro mezzanotte. Già, perché quando un amico compie gli anni, non è tanto bello fargli gli auguri in ritardo. È brutto dare l'impressione di esserci dimenticati, o di aver dato la precedenza ad altre cose.
Quando poi l'amico non è uno qualsiasi, ma Italo Calvino, bè, diventa decisamente fondamentale rispettare i tempi. Già scrivere adesso, a ridosso della fine della giornata, non mi fa onore. Ma tant'è: mica si può essere perfetti. E comunque, in un blog che ruba il nome al titolo di uno dei libri più belli (a mio parere) del grande scrittore, tacere la ricorrenza di oggi, 15 ottobre, sarebbe una colpa imperdonabile.
Quindi lo dico: buon compleanno, Italo Calvino. Avrebbe novant'anni oggi: mica tanti, in fondo. Da quel triste 19 settembre del 1985 sono passati quasi trent'anni: chissà quanti e quali libri meravigliosi avrebbe potuto scrivere, se la sua vita non si fosse interrotta così prematuramente.

Il quesito non ha risposta, ovviamente. Eppure, siamo a conoscenza di un romanzo che Calvino avrebbe voluto scrivere e che invece non scrisse mai. Di quest'opera mai realizzata conosciamo anche il titolo: "L'ordine nel delitto". Si tratta di un romanzo poliziesco, che Calvino aveva concepito come sviluppo dell'idea presente nel racconto "L'incendio della casa abominevole", pubblicato nel 1973 sull'edizione italiana di Playboy. Grazie a questo racconto, Calvino fu ammesso nel celebre gruppo dell'OuLiPo (Ouvroir de Littérature Potentielle).
Secondo alcune testimonianze, proprio nel 1985 il narratore sanremese progettava di riprendere in mano quel suo vecchio racconto, ma la morte rese la cosa impossibile (così come impedì a Calvino di ricevere, proprio alla fine di quell'anno, il Nobel per la letteratura che, secondo alcuni, gli accademici svedesi avevano già deciso di consegnargli).

Il racconto dal quale sarebbe dovuto derivare "L'ordine nel delitto" è un sorprendente esempio dell'interesse che Calvino nutriva per la matematica, e addirittura per l'informatica. Si tratta infatti di una intricata storia poliziesca dalla struttura combinatoria: trovare la soluzione del caso rappresenta un problema computazionale molto complesso, che può essere affrontato soltanto utilizzando un computer. Non a caso, per realizzare il racconto originario, Calvino si servì della consulenza di un programmatore, tale William Skyvington. 
La storia prende le mosse dal ritrovamento di un diario quasi distrutto contenente la testimonianza di dodici  atti abominevoli compiuti in una casa devastata da un incendio: accoltellare, diffamare, drogare, indurre al suicidio, legare e imbavagliare, minacciare con pistola, prostituire, ricattare, sedurre, spiare, strozzare, violentare.
Quattro sono le persone che hanno abitato la casa, e che sono morte nell‘incendio: una affittacamere, un giovane diseredato, una fotomodella, un ex campione di catch.
Un programmatore (guarda caso) viene incaricato di sbrogliare la matassa, cioè capire di chi era il diario e chi è il colpevole.
Calvino descrive esplicitamente l'idea combinatoria e quindi fortemente matematica:

Anche ammettendo che ognuna delle dodici azioni sia stata compiuta da una sola persona ai danni d'una sola altra persona, ricostruire gli avvenimenti è un compito arduo: se i personaggi in questione sono quattro, presi a due a due possono configurare dodici relazioni diverse per ciascuno dei dodici tipi di relazione elencati. Le soluzioni possibili sono dunque dodici alla dodicesima potenza, cioè occorre scegliere tra un numero di soluzioni che ammonta a ottomilaottocentosettantaquattro miliardi, duecentonovantasei milioni, seicentosettantaduemiladuecentocinquantasei. Non c'è da stupirsi se la nostra troppo indaffarata polizia ha preferito archiviare l'inchiesta, con la buona ragione che, per quanti delitti possano esser stati commessi, certo i rei sono morti insieme alle vittime. 

Per un informatico come me, questo è davvero meravigliosamente interessante. Quindi, a maggior ragione: tanti auguri, Italo.

Nomi di numeri - Parte terza (e imprevista)

A proposito di "nomi di numeri", mi sono reso conto di aver tralasciato una citazione deliziosa e quanto mai pertinente, che non posso fare a meno di riportare.
Nel racconto "A inventare i numeri", tratto da "Favole al telefono" (Einaudi, 1962), l'inarrivabile Gianni Rodari ci mostra come sia possibile inventare nuovi e fantasiosi nomi per le quantità numeriche.

Ne riporto qualche frammento: il resto del racconto e delle altre favole lo potete trovare in libreria o in biblioteca.

- Inventiamo dei numeri?
- Inventiamoli, comincio io. Quasi uno, quasi due, quasi tre, quasi quattro, quasi cinque, quasi sei.
- È troppo poco. Senti questi: uno stramilione di biliardoni, un ottone di millantoni, un meravigliardo e un meraviglione.
- Io allora inventerò una tabellina:
   tre per uno Trento e Belluno
   tre per due bistecca di bue
   tre per tre latte e caffè
   tre per quattro cioccolato
   tre per cinque malelingue
   tre per sei patrizi e plebei
   tre per sette torta a fette
   tre per otto piselli e risotto
   tre per nove scarpe nuove
   tre per dieci pasta e ceci.
(...)
 - Allora inventiamo in fretta altri numeri per finire. Li dico io, alla maniera di Modena: unci dunci trinci, quara quarinci, miri miminci, un fan dès.
- E io li dico alla maniera di Roma: unzi donzi tenzi, quale qualinzi, mele melinzi, riffe raffe e dieci.

Dino Buzzati e i numeri primi

Dino Buzzati

Le apparizioni di tematiche scientifiche negli scritti di Dino Buzzati sono molto più rare di quanto accada nell'opera di altri scrittori, come ad esempio Italo Calvino.
Eppure, soprattutto nel corpus degli articoli che il grande scrittore e giornalista firmò per il Corriere della Sera, emergono alcune perle di straordinario interesse.
Tra il 1958 e il 1971, ad esempio, Buzzati scrisse alcuni meravigliosi pezzi riguardanti le imprese spaziali dell'epoca, raccontando in particolare la conquista americana della Luna grazie al programma Apollo.
Mi direte che questa non è proprio scienza pura, e meno che meno matematica. Ok, volete la matematica in Buzzati? Subito serviti. Nella raccolta "Cronache terrestri", pubblicata nel 1972, l'anno della morte dello scrittore, si trova un articolo intitolato "Un affascinante enigma matematico", nel quale Buzzati riferisce un curioso episodio accaduto nel 1911.
Lasciamolo raccontare allo stesso autore.

Il signor Luigi Poletti, di 47 anni, da Pontremoli, impiegato di banca, va a trovare un vecchio amico di famiglia, il professor Gino Loria, insegnante di storia della matematica. Siamo a Genova, nel 1911.
Seduto nello studio, mentre parla di cose indifferenti, distrattamente Poletti tira a sé un libro rilegato, largo e basso, una specie di atlante. Lo apre a caso: le pagine sono tutte piene di numeri, disposti in caselle regolari. Lo apre ancora più avanti: ancora numeri.
"Che cos'è?" chiede Poletti tanto per dire qualche cosa.
"Mi è arrivato proprio oggi" dice Loria. "È un lavoro americano. Immagina: l'elenco di tutti i numeri primi compresi nei primi dieci milioni."
"Numeri primi?"
"Eh, se non sbaglio, tu hai fatto due anni di matematica all'Università, dovresti saperne qualche cosa."

A questo punto Buzzati, da grande scrittore qual era, regala una gustosissima spiegazione di cosa siano i numeri primi al lettore che avesse dimenticato completamente la matematica imparata a scuola.

I numeri primi che si possono dividere soltanto per se stessi o per l'unità, i numeri per dire così tutti di un pezzo insolubili.
L'1, il 3, il 7, l'11, il 13, il 17, il 19, il 23 e così via. Paragonabili a quello che nel campo della chimica sono i corpi semplici.
Prendete per esempio il 29: provate un po' a scomporlo, a dividerlo. Niente, rimane duro come un blocco di granito. Sì, potete dividerlo per 1, scomporlo in unità. Ma l'unità non è veramente un divisore, è la particella elementare di cui sono fatti tutti i numeri, primi e non primi, così come di elettroni, protoni, neutroni, eccetera, sono fatti tutti i corpi che esistono in natura, semplici e non semplici.
Considerate invece il successivo: il 30, apparentemente più bello e sodo. Ahimé, basta toccarlo che si sfalda in tanti pezzi. Lo si può dividere per 2, lo si può dividere per 3, e poi per 5, per 6, per 10, per 15. Insomma un numero fatto di tanti altri numeri più piccoli, un numero senza personalità.

Derrick Norman Lehmer

Questa storia di Luigi Poletti e Gino Loria è, ovviamente, un fatto vero. In gioventù Luigi Poletti aveva studiato matematica all'università, ma non aveva portato a termine gli studi. Ma quelle tavole di numeri primi scoperte a casa dell'amico Loria riaccesero qualcosa in lui, come un antico amore che torna a vivere.

Gino Benedetto Loria, invece, nato a Mantova nel 1862, godeva di buona fama nel'ambiente matematico, soprattutto per i suoi interessi nel campo della geometria e per le sue ricerche di storia della matematica.
Le tavole che si trovavano a casa sua e che attirarono l'attenzione dell'amico erano state redatte nel 1909 da Derrick Norman Lehmer, matematico statunitense nato nel 1867.
Il lavoro di Lehmer era più che un elenco di numeri primi, perché conteneva la fattorizzazione di tutti i numeri minori di 10.017.000.

"Ma perché tanto lavoro?" chiede Poletti con una curiosità sempre maggiore. Non c'è una formula che possa dirci se un dato numero è primo o no? No, una formula di questa fatta non esiste. Non solo: i numeri primi sono una famiglia strana. Più si sale, più si rarefanno, ma tra l'uno e l'altro gli intervalli sono irregolari e imprevedbili. Possono essercene tre vicinissimi e poi per scovarne un altro bisogna magari percorrere delle distanze immense. 

Dino Buzzati

Dietro queste poche righe di Buzzati sembra quasi di vederli, i tanti matematici che si sono affannati intorno all'enigma più formidabile di tutta la matematica, quello della distribuzione dei numeri primi: da Gauss a Riemann, da Hadamard a de la Vallée-Poussin, da von Koch a Selberg ed Erdős.
La successiva riflessione dello scrittore bellunese è un importante richiamo all'importanza della ricerca pura, anche se (apparentemente) priva di applicazioni pratiche: un ragionamento molto simile Buzzati lo faceva ripetutamente anche nei suoi articoli sulle imprese spaziali e sulle fatiche dei ciclisti dei suoi tempi.
A che servono veramente queste sfide? A nulla, ma non per questo non devono essere sostenute; anzi, a maggior ragione vanno incoraggiate, perché inseguire ciò che è impossibile e ciò che sembra inutile è poesia.
La stessa poesia che Buzzati ravvisava spesso nelle immani fatiche dei ciclisti e nelle conquiste degli alpinisti, tra i quali era lui stesso.

E lo scopo? A che cosa serve sapere se un numero è primo o no? Ebbene, per certi calcoli è un dato indispensabile. Ma questo non succede tutti i giorni. Il motivo vero è un altro; ed è quel disinteressato desiderio di capire e di conoscere che sta alla base di ogni scienza. Si proponeva forse un uso pratico Einstein quando fondava la dottrina della relatività? Gli studiosi della struttura atomica pensavano forse alla bomba di Hiroscima? 

È curioso che solo quattro anni dopo la morte di Buzzati si cominciò a comprendere quanto i numeri primi potessero diventare importanti anche in pratica, grazie alle applicazioni in crittografia.
Buzzati, sorprendentemente, sembra presagirlo:


Come escludere che un giorno i numeri primi si riveleranno importanti anche agli effetti pratici? La loro natura misteriosa, apparentata in certo modo ai corpi semplici, non lascia confusamente presagire una futura rivelazione clamorosa quale oggi non possiamo sospettare?

Luigi Poletti

Dopo quell'incontro a casa di Loria, insomma, la vita di Poletti cambiò radicalmente.

D'improvviso si fa in lui una decisione che può apparire ingenua, assurda, temeraria: "Mi metterò al lavoro io, sarò io l'esploratore dei numeri primi al di là del decimo milione".


E non lo disse per dire: lo fece davvero. Alla bella età di 47 anni si rimise a studiare matematica, e si dedicò per molti anni ad espandere la tavola di Lehmer, arrivando persino a ideare una nuova variante del crivello di Eratostene, denominata "neocribrum".
I suoi successi gli valsero molti riconoscimenti da parte della comunità scientifica: e pensare che non si era nemmeno laureato e fino a 47 anni non si era mai veramente dedicato alla matematica.
Come scrive Buzzati: era un ignobile dilettante, ora è un autorevole maestro.
Fu anche poeta, quasi a confermare la vicinanza che Buzzati riconosceva tra la ricerca scientifica e la poesia.
Pubblicò molti elenchi di numeri primi e parecchie opere specialistiche. Nel 1946 fu membro di una commissione internazionale alla quale fu affidato il compito di ampliare la tavola di Lehmer, e che dopo cinque anni produsse un elenco contenente tutti i primi minori di 11 milioni.
Successivamente Poletti si spinse fino alle vertiginose altezze dei 12 e poi dei 13 milioni. È comprensibile che Buzzati, provetto alpinista e innamorato delle Dolomiti, sia stato attratto da questa figura di matematico delle cime inviolate.
Poletti morì nel 1967 all'età di 103 anni. Molti lo ricordano ancora, ultracentenario, passeggiare per le vie di Pontremoli, sempre attento e pronto a intrattenersi con i concittadini.
Buzzati lo descrive così:

A passi intrepidi prosegue sempre più avanti nell'allucinante ignota selva dei numeri che si ergono ormai come giganti, tanto alti che non si riesce a scorgerne la vetta. Immaginate un intrico di ciclopiche colonne serrate l'una addosso all'altra, e una formica coraggiosa che vi si insinua in mezzo. La formica è Poletti: col suo neocribrum egli le saggia ad una ad una ed ecco i paurosi picchi sgretolarsi, crollare silenziosamente in polvere. Ma ogni tanto, al tocco sapiente, la pietra dà un suono metallico, non trema, non si sfalda: è un numero di razza buona, è un NP, un monolite, un K2, un Everest, che intatto durerà in eterno.