domenica 12 luglio 2020

La matematica di Gianni Rodari #9: Più uno!

Nella puntata precedente di questa serie ho parlato dei numeri fantastici introdotti da Rodari nel classico "A inventare i numeri". Tra i nomi inventati, alcuni erano presumibilmente da associare a quantità grandi, forse gigantesche (mi riferisco ovviamente allo "stramilione di biliardoni", all'"ottone di millantoni", al "meravigliardo" e al "meraviglione").

Quando si parla di numeri grandi, inevitabilmente si finisce per parlare anche di un concetto matematico tanto suggestivo quanto scivoloso: l'infinito.
Questo perché salendo sempre più alto nell'ascensore dei numeri grandi, ci si dirige verso l'infinito, e si crede anche di avvicinarsi a questa "meta", quando ovviamente essa rimane sempre lontana e irraggiungibile.
In un video che trovate qui avevo sfiorato la questione citando un racconto di Cesare Zavattini del 1931: il famoso giornalista e sceneggiatore descriveva una surreale "gara di matematica" che premiava chi diceva il numero più alto. A un certo punto della competizione, il padre del narratore prende il largo declamando un numero che sembra non finire mai: "Un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi..."
Ma alla fine (attenzione, spoiler - ma il finale l'avevo già svelato qui) uno degli avversari urla "Più uno", e si aggiudica il premio, tra i singhiozzi del protagonista.

Rodari riprende l'idea di Zavattini nella poesia "Più uno", che riporto di seguito:

C’era una volta un tale
che voleva trovare
il numero più grande del mondo.

Comincia a contare
e mai si stanca:
gli viene la barba grigia,
gli viene la barba bianca,
ma lui conta, conta sempre
milioni di milioni
di miliardi di miliardi
di strabilioni
di meraviglioni
di meravigliardi…
In punto di morte scrisse un numero
lungo dalla Terra a Nettuno.
Ma un bimbo gridò: “Più uno!”.

E il grande calcolatore
ammise, un poco triste,
che il numero più grande
del mondo non esiste!

Avrete notato che anche qui Rodari cita i suoi amati meraviglioni e meravigliardi già presenti in "A inventare i numeri", e gli strabilioni parenti dello stramilione ivi menzionato.
La storiella del tipo (un signore beffardo per Zavattini, uno spiazzante bambino in Rodari) che aggiunge uno a un numero e vince la gara, benché accattivante per chi non l'ha mai sentita prima, potrebbe sembrare scontata a molti altri.

Giuseppe Peano
Un elemento d'interesse dal punto di vista squisitamente matematico è la nozione di numero "successore" che sottende quella fatidica aggiunta dell'unità. Giuseppe Peano la utilizzò per formulare i celebri assiomi che definiscono i numeri naturali:
1) esiste un numero naturale detto zero;
2) ogni numero naturale ha un numero naturale successore;
3) numeri naturali diversi hanno successori diversi;
4) lo zero non è il successore di alcun numero naturale;
5) ogni sottoinsieme A di numeri naturali contenente lo zero e il successore di ogni elemento contenuto in A coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione).

Il bambino che nel racconto di Rodari grida "più uno!" non fa altro che applicare gli assiomi di Giuseppe Peano.
Il secondo assioma, infatti, ci assicura che il grido del bambino produrrà un numero naturale, e non una mostruosità senza capo né coda.
Il terzo assioma ci garantisce che questo numero naturale è diverso da tutti i precedenti, in quanto successore di un numero diverso dai precedenti.
Il quarto assioma ci toglie il pensiero di essere caduti in un loop e di esserci accartocciati sullo zero di partenza.
Nel primo capitolo di "Matematica rock", che proprio oggi compie un anno dalla sua uscita, avevo fatto notare come il mondo aritmetico evocato dal testo della celebre canzone "Rock Around the Clock" sia una perfetta incarnazione del secondo e del terzo assioma di Peano.
Mancando lo zero, vengono ignorati il primo, il quarto e il quinto assioma, cosicché dopo il 12 si è autorizzati a ritornare sull'1, dando vita a una sequenza numerica che cicla all'infinito tra 1 e 12 e ci fa pensare all'aritmetica modulare (o dell'orologio) ideata da Gauss.

A ben vedere, quel grido "più uno" mi sembra anche un magnifico grido di libertà, di certezza di poter sempre salire di un gradino sulla "scala verso il Paradiso" dei numeri naturali: proprio in virtù del suo carattere discreto, numerabile. Come dire: non sarà bello non poter mai arrivare a destinazione, ma è rassicurante poter avanzare sempre senza ostacoli, avere sempre un successore diverso verso il quale approdare, consapevoli di essersi innalzati un pochino rispetto a prima.

martedì 7 luglio 2020

Cicerone, i dadi e la scimmia

Nella sua opera teologica "De divinatione", del 44 a. C., Cicerone espone una riflessione che, seppure in modo superficiale e incompiuto, anticipa di molti secoli non soltanto gli studi sulla teoria della probabilità ma anche i calcoli che portarono Borel al teorema della scimmia instancabile:
Perché stai a domandare, Carneade, per qual motivo queste cose avvengano o con quale arte possano essere comprese? Io confesso di non saperlo, ma affermo che tu stesso devi riconoscere che avvengono. "Per caso", dici tu. Ma davvero può accadere per caso ciò che ha in sé tutti i caratteri della verità? Quattro dadi, lanciati a caso, danno il "colpo di Venere"; ma se lancerai quattrocento dadi, e otterrai il colpo di Venere per tutte e cento le volte, crederai che ciò sia dovuto al caso? Dei colori schizzati a caso su una tavola possono produrre i lineamenti di un volto; ma crederai che schizzando colori a caso si possa ottenere la bellezza della Venere di Coo? Se una scrofa col suo grifo avrà tracciato sul terreno la lettera A, la crederai per questo capace di scrivere l'Andromaca di Ennio? Carneade immaginava che nelle cave di pietra di Chio, in seguito alla spaccatura di un macigno, fosse venuta in luce per caso la testa di un piccolo Pan: sono disposto a credere che si trattasse di una qualche forma somigliante, ma certamente non tale da potere essere giudicata opera di Scopa. Le cose, non c'è dubbio, stanno così: il caso non può mai imitare perfettamente la verità.
Come dire: la famosa scimmia di Borel, messa davanti a un computer, produrrebbe sequenze di caratteri totalmente insensate oppure, con un po' di fortuna, testi simili a brani noti o parzialmente dotati di un qualche barlume di significato: non certo, dice Cicerone, qualcosa di perfettamente sensato o identico all'originale.
Cicerone sbagliava perché non considerava l'eventualità che il tentativo potesse durare per un tempo infinito: ma questa è un'altra storia.

venerdì 3 luglio 2020

La matematica di Gianni Rodari #8: Quasi-numeri, meravigliardi, fanta-tabelline, unci dunci trinci

Quasi sette anni fa pubblicai un trittico di post: dopo la prima e la seconda parte, l'ultima riportava un celebre e delizioso brano di Rodari, intitolato "A inventare i numeri" e tratto dalle "Favole al telefono":

- Inventiamo dei numeri?
- Inventiamoli, comincio io. Quasi uno, quasi due, quasi tre, quasi quattro, quasi cinque, quasi sei.
- È troppo poco. Senti questi: uno stramilione di biliardoni, un ottone di millantoni, un meravigliardo e un meraviglione.
- Io allora inventerò una tabellina:
   tre per uno Trento e Belluno
   tre per due bistecca di bue
   tre per tre latte e caffè
   tre per quattro cioccolato
   tre per cinque malelingue
   tre per sei patrizi e plebei
   tre per sette torta a fette
   tre per otto piselli e risotto
   tre per nove scarpe nuove
   tre per dieci pasta e ceci.
(...)
 - Allora inventiamo in fretta altri numeri per finire. Li dico io, alla maniera di Modena: unci dunci trinci, quara quarinci, miri miminci, un fan dès.
- E io li dico alla maniera di Roma: unzi donzi tenzi, quale qualinzi, mele melinzi, riffe raffe e dieci.

Il pezzo è interessante perché propone una gustosa collezione di nomi di numeri, ma ogni parte del brano evoca considerazioni diverse dal punto di vista matematico.

I nomi introdotti all'inizio (quasi uno, quasi due, quasi tre, quasi quattro, quasi cinque, quasi sei) mi fanno pensare ai limiti: "quasi uno" mi sembra un modo meravigliosamente naif per indicare una funzione che tende a 1 quando la variabile indipendente si avvicina a un qualche valore. Come dire: quando la variabile indipendente è molto vicina a quel valore, la funzione vale "quasi uno".

La parte successiva, invece, fino a pasta e ceci, suggerisce riflessioni di tutt'altro genere.
Come scrivevo nelle prime due parti del trittico del 2013, dare dei nomi ai numeri è lo scopo principale dei sistemi di numerazione. Non è un esercizio fine a se stesso: è l'essenza del meccanismo che ci permette di contare, usare i numeri in modo efficiente, fare calcoli e avere una matematica che si rispetti.
L'idea del sistema posizionale, concepita già dai Sumeri e perfezionata (con la base decimale) dagli Indiani e dagli Arabi, rappresenta un marchingegno geniale in base al quale ogni possibile quantità intera viene automaticamente associata sia a una sequenza di cifre (scelte da un insieme finito), sia a una parola o in generale un'espressione costituita da parole (che ovviamente varia a seconda delle lingue).
Per esempio, la quantità di anni trascorsi tra la fine della seconda guerra mondiale e oggi viene espressa, nel nostro sistema posizionale in base 10, con la sequenza 75, che significa 7 decine più 5 unità. In base alle convenzioni vigenti nella lingua italiana, la parola corrispondente è "settantacinque".
Per completezza, occorre dire che per alcuni numeri grandi non esiste una sola "espressione" linguistica, ma più possibili espressioni equivalenti: per esempio, 10.000.000.000 possiamo indicarlo con "dieci miliardi" ma anche con "diecimila milioni".
Tutto questo ci può sembrare scontato e banale, ma non lo è. In un racconto di Borges, "Funes, o della memoria", il protagonista inventa un sistema di numerazione in cui ogni quantità è espressa da una parola, ma senza alcuna logica che permetta di automatizzare il meccanismo in modo generale:

In luogo di settemilatredici diceva (per esempio) «Máximo Perez»; in luogo di settemilaquattordici, «La Ferrovia»; altri numeri erano «Luis Melián Lanifur, Olimar, zolfo, il trifoglio, la balena, il gas, la caldaia, Napoleone, Agustín de Vedia». In luogo di cinquecento diceva «nove». 

Come potete immaginare, un sistema del genere non è esattamente semplice da utilizzare. Dal punto di vista narrativo è molto affascinante, ma matematicamente è una pessima idea.
Se però i nomi vengono assegnati sovrapponendoli a un sistema di numerazione vigente, allora il discorso è diverso. Ci sono numeri che hanno uno o più nomi ufficiali (una volta stabilita la lingua) e, in più, una specie di "soprannome": il numero 10 elevato alla 100 può essere denominato in modo ortodosso dicendo "10" e poi concatenando un serie opportunamente lunga di "miliardi di", ma per gli amici è noto anche come "googol".

Cosa possiamo dire allora dei numeri di Rodari? Sullo stramilione di biliardoni, sul meravigliardo e sui loro fratelli, ovviamente, non ha senso farsi troppe domande: il gioco è bello proprio perché non sappiamo, ed è giusto non sapere, se queste strane quantità corrispondano a ben precisi numeri reali.
Rodari stesso parla di "inventare i numeri". Un po' come se fossero quantità che trascendono le categorie numeriche attualmente note, come se si trattasse di estensioni analoghe a quelle ottenute, nel corso della storia, con l'introduzione dei numeri irrazionali, dei numeri negativi, dei numeri immaginari, e così via.
Un fondato sospetto però esiste: che si tratti semplicemente di soprannomi di numeri interi molto grandi, un po' come il fantastilione e il fantastiliardo di Paperon de' Paperoni, su cui avevo scritto qualcosa nella prima parte della trilogia, e su cui Gianluigi Filippelli ha scritto un interessantissimo pezzo due anni e mezzo fa.

La porzione successiva, quella della tabellina del tre alternativa, sembra invece improntata sulla stessa idea stravagante di Borges-Funes. Ovvero: il numero 3 lo chiamo "Trento e Belluno", il numero 6 "Bistecca di bue", il numero 9 "Latte e caffè", e così via.

E per finire, la parte finale sembra una divertita variazione sul tema delle locuzioni regionali dei numeri. I primi tre, unci dunci trinci, mi fanno tornare in mente un brano di Elio e le Storie Tese di qualche anno fa, con il quale concludo questo ottavo episodio della serie sulla matematica rodariana.
A presto!



venerdì 26 giugno 2020

La matematica di Gianni Rodari #7: Operazioni aritmetiche

In questa settima puntata della serie dedicata alla matematica di Gianni Rodari vi proporrò un breve viaggio attraverso le incursioni del grande scrittore nel territorio delle operazioni aritmetiche.
Un accenno lo troviamo nel già più volte citato capitolo 14 della "Grammatica della fantasia", quello dedicato alla "matematica delle storie". Ci sono storie, è questa la tesi di Rodari, che ricalcano strutture logiche, e che quindi possono essere utilizzate dagli insegnanti per aiutare i bambini a familiarizzare con le basi del ragionamento, con i concetti elementari della matematica. L'emozione che deriva dall'esperienza narrativa rappresenta un benefico rafforzamento dell'operazione logica e cognitiva. Tra i concetti che possono animare la logica di una storia, spiega Rodari, ci può essere perfino la proprietà commutativa di alcune operazioni aritmetiche:

Un'operazione mentale più difficile è quella che porta a capire che "a più b è uguale a b più a". Non tutti i bambini ci arrivano prima dei sei anni.

La commutatività dell'addizione e della moltiplicazione è comunque una nozione che impariamo molto presto a scuola. Precisamente scopriamo che, dati due numeri reali a e b qualsiasi, si ha:


Più tardi ci potremmo accorgere che questa proprietà non è un'esclusiva dell'addizione e della moltiplicazione, ma riguarda anche altre operazioni, per esempio il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore tra due numeri interi positivi, le operazioni di minimo e di massimo applicate a coppie di numeri reali, l'addizione tra vettori, l'intersezione e l'unione tra insiemi, e altre ancora.
Ancora più tardi, potremmo imparare che ci sono particolari insiemi di elementi, detto gruppi, in cui viene definita una particolare operazione, e che se questa operazione gode della proprietà commutativa, il gruppo viene detto commutativo, o abeliano, dal nome di Niels Henrik Abel (1802-1829), matematico norvegese che nella sua breve vita conseguì alcuni importanti risultati connessi allo studio dei gruppi commutativi di polinomi.

Sempre nel fatidico capitolo 14, Rodari cita di nuovo le addizioni:

Una storia in cui un poveretto, caduto in città da chissà dove, dovendo prendere per arrivare in piazza del Duomo prima il tram numero tre e poi il tram numero uno, immagina che risparmierà un biglietto prendendo invece il tram numero quattro ("tre più uno") potrà invece aiutare i bambini a distinguere tra addizioni corrette e addizioni impossibili. Prima di tutto, naturalmente, li divertirà.

Ma gli spunti più gustosi inerenti alle operazioni aritmetiche arrivano da due delle celebri "Favole al telefono", del 1962. In "Abbasso il nove", Rodari ci avverte che i numeri possono essere permalosi e indurci a commettere errori:

Uno scolaro faceva le divisioni:
- Il tre nel tredici sta quattro volte con l’avanzo di uno. Scrivo quattro al quoto. Tre per quattro dodici, al tredici uno. Abbasso il nove…
- Ah, no, - gridò a questo punto il nove.
- Come? – domandò lo scolaro.
- Tu ce l’hai con me: perché hai gridato «abbasso il nove»? Che cosa ti ho fatto di male? Sono forse un pericolo pubblico?
- Ma io...
- Ah, lo immaginavo bene, avrai la scusa pronta. Ma a me non mi va giù lo stesso. Grida: «abbasso il brodo di dadi», «abbasso lo sceriffo», e magari anche «abbasso l’aria fritta», ma perché proprio «abbasso il nove»?
- Scusi, ma veramente…
- Non interrompere, è cattiva educazione. Sono una semplice cifra, e qualsiasi numero di due cifre mi può mangiare il risotto in testa, ma anch'io ho la mia dignità e voglio essere rispettato. Prima di tutto dai bambini che hanno ancora il moccio al naso. Insomma, abbassa il tuo naso, abbassa gli avvolgibili, ma lasciami stare.
Confuso e intimidito, lo scolaro non abbassò il nove, sbagliò la divisione e si prese un brutto voto. Eh, qualche volta non è proprio il caso di essere troppo delicati.

Un altro esempio da "Promosso più due", fiaba tratta dalla stessa raccolta:

- Aiuto, aiuto, - grida fuggendo un povero Dieci.
- Che c’è? Che ti succede?
- Ma non vedete? Sono inseguito da una Sottrazione. Se mi raggiunge sarà un disastro.
- Eh, via, addirittura un disastro …
Ecco, è fatta: la Sottrazione ha acchiappato il Dieci, gli balza addosso menando fendenti con la sua spada affilatissima. Il povero Dieci perde un dito, ne perde un altro. Per sua fortuna passa una macchina straniera lunga così, la Sottrazione si volta un momento a guardare se è il caso di accorciarla e il buon Dieci può svignarsela, scomparire in un portone. Ma intanto non è più un Dieci, è soltanto un Otto, e per giunta perde sangue dal naso.
- Poverino, che ti hanno fatto? Ti sei picchiato con i tuoi compagni, vero?
Misericordia, si salvi chi può: la vocina è dolce e compassionevole, ma la sua proprietaria è la Divisione in persona. Lo sventurato Otto bisbiglia «buonasera», con un filo di voce, e cerca di riguadagnare la strada, ma la Divisione è più svelta, e con un solo colpo di forbici, zac, ne fa due pezzi: Quattro e Quattro. Uno se lo mette in tasca, l’altro ne approfitta per scappare, torna in strada di corsa, sale su un tram.
- Un momento fa ero un Dieci, - piange, - e adesso guardate qua! Un Quattro! Gli scolari si scansano frettolosamente, non vogliono avere niente a che fare con lui. Il tranviere borbotta: - Certa gente dovrebbe almeno avere il buon senso di andare a piedi.
- Ma non è colpa mia! – grida tra i singhiozzi l’ex Dieci.
- Sì, è colpa del gatto. Dicono tutto così.
Il Quattro scende alla prima fermata, rosso come una poltrona rossa.
Ahi, ne ha fatta un’altra delle sue: ha schiacciato i piedi a qualcuno.
- Scusi, scusi tanto, signorina!
- Ma la Signora non si è arrabbiata, anzi, sorride. Guarda, guarda, guarda, è nientemeno che la Moltiplicazione! Ha un cuore grosso così, lei, e non può sopportare la vista delle persone infelici: seduta stante moltiplica il Quattro per tre, ed ecco un magnifico Dodici, pronto per contare un’intera dozzina d’uova.
- Evviva, - grida il Dodici, - sono promosso! Promosso più due.

In entrambe le storie, Rodari assegna ai numeri ruoli di protagonisti sensibili, a tratti suscettibili, nonché di vittime di operazioni aritmetiche capricciose.
Sono numeri che cercano serenità, rispetto, riconoscimento. E interlocutori (cioè operazioni) altruisti. Insomma, sono molto simili a noi umani.
Al di là del divertimento causato dalle situazioni simpaticamente surreali, è interessante l'idea di antropomorfizzare i numeri, attribuendo loro sentimenti e difetti tipicamente umani: può senz'altro costituire una mossa vincente per rendere la matematica più digeribile, soprattutto ai bambini.

La tecnica narrativa potrebbe essere estesa a concetti matematici più avanzati.
Potremmo immaginare fiabe in cui una moltiplicazione serial killer si serve di uno zero per rendere zero tutti gli altri numeri che incontra. Nel frattempo, una sua cugina dai modi più morbidi impiega un uno, ottenendo risultati inconcludenti. E ancora, potremmo ideare storie in cui ci sono funzioni al posto di numeri, e derivate o integrali anziché operazioni aritmetiche.
Forse qualcuno l'ha anche fatto. Ma, probabilmente, non con l'inimitabile genialità di Rodari.

giovedì 25 giugno 2020

Matematica e COVID-19: la collezione completa!

Da febbraio a oggi ho pubblicato su questo blog sei post relativi ad alcuni punti di contatto tra la matematica e la pandemia da COVID-19.
Alcuni di questi sono stati molto apprezzati e condivisi.
Ho pensato di raccoglierli in un agile PDF e di offrirveli, per ringraziarvi dell'attenzione con cui seguite il mio lavoro. 
Attenzione: alcune delle cose scritte sono molto legate ai giorni in cui gli articoli sono usciti, e oggi potrebbero suonare superate. Ma anche per questo motivo credo che la lettura sia interessante, per capire come molte cose siano cambiate rapidamente in questi mesi incredibili.
Buona lettura!

Ecco la lista dei post inclusi nel PDF:
1) "La matematica delle epidemie" - parte prima 
2) "La matematica delle epidemie" - parte seconda 

martedì 23 giugno 2020

Distanziamento sociale e distanza matematica

Alzi la mano chi aveva già sentito l'espressione distanziamento sociale (o distanziamento fisico) prima dell'introduzione del lockdown. Pochi di noi, credo, se si eccettuano forse le persone coinvolte nel settore sanitario. E con ogni probabilità la versione nota era quella inglese, ovvero social  distancing (o physical distancing).
Ora, a lockdown concluso, è invece un'espressione sulla bocca di tutti. Con questa dicitura, è ben noto, si intende l'accorgimento di mantenere una certa distanza tra le persone e di ridurre il numero di persone contemporaneamente presenti in un certo luogo, allo scopo di evitare o ridurre la diffusione di un agente infettivo, per esempio un virus nel corso di una pandemia.
L'utilizzo di questa misura di sicurezza è antichissimo: se ne parla anche nella Bibbia, in relazione all'isolamento di lebbrosi o appestati.

Se si parla di distanziamento sociale, si parla essenzialmente di distanza tra una persona e l'altra. E, come è facile immaginare, si tratta innanzitutto di un concetto matematico.
Immaginiamo che in una stanza ci siano due persone, Andrea e Beatrice, che parlano tra di loro. Come possiamo misurare la distanza che le separa? Presto detto: prendiamo un metro, magari di quelli da sarto, lo stendiamo per terra in modo da creare un segmento che parte da Andrea e arriva a Beatrice, e leggiamo sul metro il numero di centimetri corrispondenti al punto in cui si trova Beatrice.

Se formalizziamo il procedimento in modo più astratto, ci riportiamo a quanto abbiamo imparato a scuola: se sul piano cartesiano abbiamo due punti A e B, ciascuno contraddistinto da una coppia di coordinate, la distanza tra A e B è la lunghezza del segmento che congiunge i due punti. Nel caso più generale, questa lunghezza può essere facilmente calcolata a partire dalle coordinate dei punti ricorrendo al teorema di Pitagora, come è illustrato nella figura a fianco.

Ma il concetto di distanza, in matematica, è molto più generale. Rappresenta, per così dire, un'astrazione della nozione di lontananza che sussiste tra due oggetti qualsiasi.
La definizione che solitamente viene data è la seguente: la distanza su un qualsiasi insieme M è una funzione d che mappa il prodotto cartesiano M × M sull'insieme dei numeri reali  e che soddisfa le seguenti tre proprietà:
La prima proprietà formalizza il fatto che l'unico caso in cui due oggetti abbiano distanza reciproca nulla è che i due oggetti siano in realtà lo stesso oggetto.
La seconda proprietà è la simmetria: la distanza tra x e y è uguale alla distanza tra y e x.
Infine, la terza è la cosiddetta proprietà triangolare: la distanza tra due elementi x e y non può essere maggiore della somma tra la distanza tra x e un terzo punto z e la distanza tra questo terzo punto z e y. Considerate un triangolo: la lunghezza di qualsiasi suo lato è sicuramente minore o uguale della somma delle lunghezze degli altri due. Detto altrimenti: se io devo andare da Milano a Torino, ci impiego meno se prendo una strada diretta anziché fare una tappa intermedia a Genova.

Da queste tre proprietà (anzi, dalle ultime due) se ne può dedurre una quarta, molto semplice, che stabilisce che la distanza tra due elementi dell'insieme M può essere un numero positivo oppure uguale a zero, ma non può essere un numero negativo (avete mai visto un segmento di lunghezza negativa?)

Una funzione d che soddisfa tutte e tre le proprietà fondamentali può essere legittimamente chiamata distanza. Ma il bello è che, preso un insieme qualsiasi, non esiste necessariamente una sola funzione con queste caratteristiche. 
Se per esempio l'insieme M è l'insieme dei punti del piano, la distanza che abbiamo imparato a calcolare mediante il teorema di Pitagora (e che viene chiamata distanza euclidea) è la più semplice e intuitiva, ma non è certo l'unica che soddisfa le tre proprietà.

Ne esistono molte altre, per esempio la distanza di Manhattan, introdotta da Hermann Minkowski, secondo la quale la distanza tra due punti del piano cartesiano è la somma del valore assoluto delle differenze delle loro coordinate. In altre parole, per misurare quanto dista un punto da un altro, non posso tracciare una linea obliqua che congiunga direttamente i due punti, ma sono autorizzato a utilizzare soltanto linee orizzontali e verticali.
Guardate la figura a fianco. Per congiungere i due punti indicati come pallini neri, si possono scegliere diversi percorsi formati da segmenti orizzontali e verticali: la figura ne mostra tre (in rosso, blu e giallo), ma ce ne sono molti altri. Tutti, comunque, hanno la stessa lunghezza complessiva (12). Misurare la distanza lungo la linea verde, obliqua e diretta, è invece proibito.

In sostanza, mentre nella geometria euclidea dobbiamo calcolare le differenze tra le coordinate, e poi calcolare la radice quadrata della somma dei quadrati di tali differenze, a Manhattan è più facile: basta sommare direttamente le differenze.
Il sistema basato sulla distanza di Manhattan viene anche detto "geometria del taxi", ed è particolarmente realistico in città dove le principali strade sono perpendicolari tra di loro (per esempio Manhattan, appunto, ma anche Torino). Talvolta questa metrica viene definita anche "geometria degli scacchi", perché è secondo questo sistema che la torre misura la distanza tra due caselle della scacchiera.

Attenzione, nel definire il concetto di distanza ho parlato di insieme M qualsiasi, non necessariamente di un insieme di punti nel piano o nello spazio. Potrebbe trattarsi di un insieme di note musicali (la distanza potrebbe essere allora la formalizzazione del concetto di intervallo musicale), di immagini (allora potremmo entrare in considerazioni computazionali relative alla somiglianza tra immagini, rilevanti nell'ambito dei software di riconoscimento di oggetti), e perfino di parole.
In quest'ultimo caso, si può usare per esempio la distanza di Hamming: date due parole, la loro distanza di Hamming è il numero di sostituzioni (un enigmista direbbe "cambi di lettera") che devono essere eseguite per trasformare una parola nell'altra. Ne avevo parlato in un post della serie dei premi Turing, perché l'inventore di questa importante funzione distanza tra stringhe di caratteri, il matematico americano Richard Hamming, fu insignito del prestigioso riconoscimento nel 1968.



In generale, una volta che abbiamo definito una funzione distanza su un insieme M, possiamo anche definire il concetto matematico di palla: la palla di raggio r centrata in un certo elemento z di M non è altro che l'insieme degli elementi di M la cui distanza da z è minore di r (per la precisione, questa è una palla aperta, mentre per definire la corrispondente palla chiusa dobbiamo scrivere "minore o uguale" al posto di "minore").
Come si vede nella figura a fianco, la palla è il concetto matematico perfetto per rappresentare l'idea del distanziamento sociale!

venerdì 19 giugno 2020

La matematica di Gianni Rodari #6: Sistemi di disequazioni, affermazioni vere e numeri

Prendete un sistema di disequazioni come questo:
Per risolverlo basta risolvere separatamente ciascuna delle disequazioni (in realtà sono già risolte) e rappresentare le tre soluzioni su uno schema tabellare. Da questo possiamo quindi ricavare l'intersezione delle soluzioni, che corrisponde alla soluzione dell'ultima disequazione (la più restrittiva), cioè all''intervallo


Immaginate ora di dover trasformare il sistema in una poesia per bambini.
Non ve lo aspettavate, eh?
Be', un sospetto potevate averlo, visto che siamo nella serie di post dedicati alla matematica di Gianni Rodari.
Ebbene, ecco come il nostro poeta risolse il problema:


Tre pescatori di Livorno 
disputarono un anno e un giorno 
per stabilire e sentenziare 
quanti pesci ci sono nel mare. 
Disse il primo: “Ce n’è più di sette, 
senza contare le acciughette”. 
Disse il secondo: ” Ce n’è più di mille, 
senza contare scampi ed anguille”. 
Il terzo disse:”Più di un milione!” 
E tutti e tre avevano ragione.


La poesia si intitola "Quanti pesci ci sono nel mare?" ed è inclusa nella già citata raccolta "Filastrocche in cielo e in terra" (Einaudi, 1960).

Lo so, non è affatto dimostrato che Rodari sia partito dall'idea sistema di disequazioni. Anzi, direi che è molto improbabile.
Però è plausibile che la sua intenzione fosse di mostrare poeticamente che esistono verità alle quali si può alludere sostenendo affermazioni diverse ma tutte vere. Noi possiamo dire che il numero di pesci del mare è maggiore di sette, maggiore di mille e maggiore di un milione: tutte e tre le proposizioni sono vere, perché compatibili con il numero "vero" di pesci nel mare (che non conosciamo, ma che è sicuramente maggiore di un milione).

Lasciando da parte i sistemi di disequazioni e le affermazioni vere, la filastrocca parla comunque, molto più semplicemente, di numeri. I tre numeri chiave, sette, mille, un milione, sono scelti ovviamente per motivi di rima, ma sono anche disposti in modo da creare una specie di climax che scala rapidamente gli ordini di grandezza.
Nella prossima puntata parleremo ancora di numeri, piccoli e grandi, e di nomi di numeri.

mercoledì 17 giugno 2020

"Matematica rock" su YouTube

Per chi fosse interessato, nel mio canale YouTube c'è una playlist interamente dedicata al mio libro "Matematica rock".
Vi trovate cose di varia natura: i video di lancio del libro, il video della premiazione del Premio Galileo 2020 (durante la quale il libro ha ricevuto una menzione ed è entrato nel gruppo finale di candidati), alcuni spezzoni e filmati presi dalle mie conferenze-spettacolo dedicate al libro, lo streaming che CNR Comunicazione ha organizzato per presentare il volume, e varie interviste e recensioni video.
Buona visione e buona lettura a tutti!

domenica 14 giugno 2020

Carnevale della Matematica #141

"Il merlo tenebroso"



Benvenuti all'edizione 141 del Carnevale della Matematica!
Questo è l'ottavo Carnevale ospitato da Mr. Palomar. L'anno scorso nessuna edizione era stata pubblicata su queste pagine, ed era decisamente ora di interrompere questa lunga assenza. 

Com'è tradizione, qualche parola sulle proprietà matematiche del numero 141. 
Innanzitutto è (in base 10) un numero ondulante, cioè è formato da due sole cifre che si alternano secondo un pattern del tipo ABABAB... Prima di lui ci sono solo tre numeri ondulanti: 101, 121 e 131.
E' anche un numero pentagonale centrato: in altre parole è possibile (in modo, diciamo così, "pitagorico") disporre 141 puntini in modo da formare un pentagono, mettendo un puntino al centro e tanti puntini disposti attorno al centro in successivi strati di forma pentagonale (i numeri precedenti a 141 che godono di questa prerogativa sono 1, 6, 16, 31, 51, 76 e 106).
Il 141 è anche un numero endecagonale.
Se consideriamo i primi 13 numeri naturali e per ciascuno calcoliamo la somma dei divisori, la somma di tutte le 13 somme ottenute è uguale proprio a 141.
Non è un numero primo, ma i matematici lo definiscono "semiprimo", perché è il prodotto di due numeri primi, 3 e 47.
Fa parte di alcune terne pitagoriche, per esempio (141, 188, 235) e (141, 1100, 1109).
E' persino un numero "malvagio", secondo la definizione di Conway.

Prima di iniziare con la carrellata dei contributi, ecco la cellula melodica gentilmente prodotta, come ogni mese, da Flavio "Dioniso" Ubaldini. Dopo l'esperimento della scorsa edizione ospitata dalle Notiziole di .mau., credo che questa sia la prima volta in cui la cellula viene fin dal'inizio pubblicata in una versione armonizzata a più voci (sempre grazie a Dioniso).

   

Il tema che ho scelto per questo Carnevale è una singola parola: storie.
Come sempre, non è un tema obbligatorio: qualcuno l'ha seguito, qualcun altro no.

Partiamo da Annalisa Santi e dal suo blog "Matetango".
Il suo contributo, "Caccioppoli e Hardy, gossip matematico" è perfettamente in linea con il tema "Storie"
Come mi scrive la stessa Annalisa, è un gossip matematico perché racconta di "storie curiose legate a due personaggi quasi contemporanei, un italiano e un inglese, ricordati per i loro grandi contributi matematici, ma che sono stati protagonisti anche di fatti curiosi, a volte forse fantasiosi, riportati dalle cronache dell'epoca e uniti da un tragico destino".


Roberto Zanasi, dal suo blog "Gli studenti di oggi", mi segnala un suo articolo nel quale viene preso in considerazione il calcolo della quantità di informazione contenuta in una curiosa "moneta a tre facce", o, come dice lo stesso autore, in un flip-flap-flop.

Il contributo di Flavio Ubaldini, in arte Dioniso, pubblicato su "Pitagora e dintorni", si intitola "Zenone, Achille, la tartaruga e... Pitagora":
"Pitagora fu nel corpo di Zenone di Elea e sotto quelle spoglie investigò il problema della...”
Così si chiudeva “Il mistero del suono senza numero”. E così si apre il suo seguito a cui Dioniso ha cominciato a lavorare e che probabilmente vedrà la luce nel 2021.
Colgo l'occasione per augurare a Flavio buon lavoro e in bocca al lupo per il suo nuovo progetto!


Leonardo Petrillo invia un articolo pubblicato sul suo blog "Scienza e Musica", che cerca di introdurre nel modo più semplice l'equazione fondamentale alla base della meccanica quantistica: l'equazione di Schrödinger.


Il padre fondatore del Carnevale, Maurizio Codogno, è come al solito molto generoso con i suoi contributi.
Sul "Post" ha scritto i seguenti articoli:
Quando semplificare peggiora le cose, dove prende spunto dall'infelice spiegazione dell’assessore lombardo Giulio Gallera sull'indice di contagio e spiega quali sono i problemi di un'eccessiva semplificazione;
Come fare più test per il coronavirus, che spiega un metodo non convenzionale con tutti i suoi pregi e difetti per accelerare i tempi;
Sorteggi e quote rosa, che commenta il previsto sorteggio pilotato per la classe di matematica al liceo Talete, un sorteggio che probabilmente era inutile;
- Il coronavirus e i modelli matematici "inadeguati", in cui Codogno cerca di spiegare perché i modelli non sono la realtà anche quando sono fatti molto bene.

Sulle "Notiziole" c'è il solito giro di quizzini: Somme vicineDoppia uguaglianzaGrandi potenze e Correttori di bozze.

Per quanto riguarda le recensioni, .mau. propone:
Great Book of Math Puzzles, un vecchio libro che non vale però molto; 
La matematica dei virus, un instant ebook ben fatto ma probabilmente un po' costoso per la quantità di materiale; 
Humble Pi, in cui Matt Parker si mette a raccontare degli errori matematici nella vita reale (c'è anche la traduzione italiana, se siete diversamente anglofoni); 
One Hundred Problems in Elementary Mathematics, problemi scelti da Hugo Steinhaus (e dite nulla!), molto belli anche se tradotti in un inglese un po' farraginoso.



Non ci potrebbe essere Carnevale della Matematica senza gli ineffabili Rudi Mathematici, che mi riferiscono di "combattere la sempiterna sfida che ci vede impegnati a mandare contributi al Carnevale entro i limiti temporali possibili, ma a mo’ di asintoto, insomma il più possibile vicino alla scadenza". Subito dopo, i Rudi giungono ad affermare che "il povero anfitrione di turno si può liberamente inquietare e altrettanto liberamente maledirci e augurarci ammaloramenti di vario genere e natura". Lungi dal pensare a simili ingiustificati anatemi, elenco invece i contributi che giungono dal loro blog "Rudi Matematici" sul sito delle Scienze, corredandoli con le stesse descrizioni fornitemi dagli autori.
- Restare in equilibrio, un post della famiglia dei Paraphernalia Mathematica e come tale scritto dal Gran Capo in persona. Il titolo preannuncia correttamente che ivi si disquisisce della geometria solida connessa a quei corpi che non hanno intenzione di sfracellarsi per terra, e i meno giovani (o meglio: i vecchi bacucchi come noi) si allieteranno nel vedere  citato il leggendario Ercolino Sempreinpiedi (chi non lo ricorda si rallegri e si goda la sua giovinezza).
- China Great Walls e Pere Pere è un post dal titolo non troppo chiarificatore, ma sono cose che succedono, quando si presentano giochi strambi e fantasiosi. E beh, sì, certo: se si parla di presentazioni di giochi, gli è perché questo è un post della serie Zugzwang!, per l’appunto la rubrica che popolarizza strambi giochi da scacchiera.
- Alta velocità, bassa prenotazione è invece il post istituzionale di soluzione al problema pubblicato su “Le Scienze”  di maggio. Persistono indomiti dei problemi nella ricezione dei lettori, cosicché anche stavolta ci siamo limitati a pubblicare una scarna e poco creativa soluzione redazionale, ahimè.
- L’orologio di Kant fa parte della categoria “Quick&Dirty”, ovvero di quei problemi “Sporchi&Veloci” che assai spesso sono molto più sporchi che veloci: parecchia gente ha cercato di capire come abbia fatto il vecchio Immanuel a rimettere la sua vecchia pendola, e il creatore delle tre “Critiche” è stato sommerso da ipotesi (e naturalmente, da altre critiche).
- Buon compleanno Nora! è – come facilmente su può dedurre – un “compleanno” che a suo tempo è uscito sull’e-zine con il titolo “Carta e Punzone”. Chi sarà mai la festeggiata, Eleanor Pairman o Nora Brown? Domanda trabocchetto, visto che si tratta della stessa persona: probabilmente troppo poco nota sia con il primo che con il secondo nome, l’intraprendente Nora è stata una pioniera coraggiosa e indefessa nel suo intento di far arrivare la matematica anche ai non vedenti.
Infine, per quanto riguarda la gloriosa e-zine dei Rudi, il numero di giugno deve ancora uscire, ma è disponibile quello di maggio, che porta il bel numero 256 (2 alla 2 alla 3).



Anche Gianluigi Filippelli e il suo storico blog DropSea collabora al Carnevale con una notevole abbondanza di contributi.
Due contributi arrivano dalla rubrica "Particelle musicali" (serie di post che prende come spunto titoli e testi di canzoni di vario genere per approfondire argomenti scientifici):
Un epico principio olografico, in cui si discute dell'ipotesi teorica del principio olografico a partire da "The Holographic principle" degli Epica;
- In the line of fire, che parte da "The Center of the Universe" dei Kamelot per affrontare il concetto fisico e matematico del centro dell'universo, partendo da Copernico fino ad Einstein.
Doppio appuntamento anche con i "Rompicapi di Alice":
- Misure (an)alcoliche, su una particolare miscela di acqua e brandy;- L'ambiguo cilindro, su una particolare figura geometrica scoperta da Kokichi Sugihara.
Per "Le grandi domande della vita", Gianluigi propone Un po' di luce in questo grigio in cui si esamina, tra gli altri, il paradosso dei gemelli e il concetto di infinito.
Altri articoletti sparsi proposti da Dropsea sono i seguenti:
- La scimmia instancabile , scritto in occasione del towel day di quest'anno, riguarda il paradosso logico-matematico della scimmia che batte a caso i tasti di una macchina da scrivere;
- Condominio microscopico, dedicato alla statistica di Bose-Einstein e al principio di esclusione di Pauli.
Da Edu INAF Gianluigi segnala infine la videopillola Keplero, le orbite e la materia oscura di Sandro Bardelli, in cui i concetti riassunti nel titolo vengono approfonditi utilizzando la matematica delle scuole superiori.


Come al solito, Maddmaths! partecipa al Carnevale con una valanga di contributi, tutti di grande interesse.
Per cominciare, nell'ultimo periodo MaddMaths! ha ospitato un certo numero di interventi sul Covid-19 da un punto di vista matematico. Eccoli:
Ilaria Dorigatti e le previsioni dei modelli matematici del Covid-19. Ilaria Dorigatti, 37 anni, dottorato in matematica all’Università di Trento, sposata con due bambini piccoli, da quasi dieci anni lavora a Londra presso il Centro per l’analisi globale delle malattie infettive globali dell’Imperial College, dove si occupa di modelli matematici della trasmissione delle malattie infettive. In questi mesi è stata molto impegnata ad elaborare modelli di analisi e previsione del Covid-19. L’intervista è a cura di Roberto Natalini.
Intervista video con Alfio Quarteroni su matematica e Covid-19. In questa videointervista, realizzata in collaborazione con la Società Italiana di Matematica Applicata e Industriale, Alfio Quarteroni, professore di Analisi Numerica presso il Politecnico di Milano, ci racconta di come lui e il suo gruppo abbiano sviluppato alcuni progetti a sostegno della lotta contro il Covid-19. Intervista raccolta da Roberto Natalini.
Intervista video con il prof. Marino Gatto, ecologo, sui modelli di propagazione del Covid-19. In questo video, realizzato con la collaborazione della Società Italiana di Matematica Applicata e Industriale, Marino Gatto, Professore di Ecologia presso il Politecnico di Milano, ci racconta la sua esperienza con i modelli matematici per descrivere l’evoluzione del Covid-19 in Italia. Intervista raccolta da Roberto Natalini.

Poi però, mi racconta Roberto Natalini, anima di MaddMaths!, è successo qualcosa a livello pubblico. L'8 giugno il web, anche siti come quello de La Stampa o de Il Fatto Quotidiano, si popola improvvisamente di titoli tipo 'I modelli matematici hanno fallito' (guardate ad esempio una piccola ricerca su Google relativa all'ultima settimana). Questi articoli traevano ispirazione, a volte con virgolettati estemporanei, da un post apparso sulla pagina Facebook del virologo Guido Silvestri.
Il 10 giugno l'Unione Matematica decideva di rispondere, sulla base dei titoli dei giornali, con un comunicato apparso contemporaneamente sulle pagine del sito UMI e su MaddMaths!Su modelli matematici e Covid – comunicato dell’Unione Matematica Italiana
Il comunicato si concludeva con questo paragrafo:
Un modello matematico non è una sfera di cristallo. È uno strumento che permette di calcolare in modo obiettivo le conseguenze di quello che ci è noto sulla trasmissione del virus; sicuramente c’è un forte margine di incertezza legato alla stima dei dati reali e a tutto quello che non conosciamo, ma i modelli, a saperli leggere, forniscono anche stime su quale possa essere il proprio margine di errore. E sicuramente tutti i modelli, per definizione, possono essere migliorati. Tuttavia rinunciare al loro uso per affidarsi totalmente alle sensazioni degli esperti (spesso in contraddizione tra loro, fra l’altro) o magari ad aruspici non ci sembra sia proprio una grande idea.

A questo punto il Prof. Guido Silvestri rispondeva commentando e ne usciva fuori questo articolo: Risposta di Guido Silvestri al comunicato dell’UMI: “Non ho mai detto che tutti i modelli matematici sono sbagliati” Il professor Guido Silvestri ha risposto su MaddMaths! al comunicato dell’UMI su Modelli matematici e Covid, precisando di non aver mai detto quanto attribuitogli da vari siti tra cui La Stampa. Infine è apparsa una risposta del responsabile di questo famoso rapporto sulla fase 2, il matematico Stefano Merler della Fondazione Bruno Kessler: Il modello perfetto non esiste, ma ci sono alternative? Stefano Merler risponde a Guido Silvestri Negli ultimi giorni la stampa e i social hanno puntato la loro attenzione sull’efficacia dei modelli matematici utilizzati per prevedere l’evolversi del Covid-19. Alcune critiche molto forti sono state indirizzate dal virologo Guido Silvestri al rapporto relativo agli scenari della Fase 2  preparato per il governo dal team del matematico Stefano Merler della Fondazione Bruno Kessleri.Di seguito lo stesso Stefano Merler chiarisce alcuni punti specifici riguardo alle critiche ricevute.
Proseguendo con i contributi di MaddMaths!, in questi mesi Luca Lamanna, studente magistrale di matematica, ha portato avanti, con la supervisione di Laura Branchetti e Pietro Di Martino, "L'intervallo didattico", un progetto di interviste con i maggiori esperti italiani di didattica della matematica. Ecco le ultime puntate:
puntata 9: Paolo Boero
puntata 10: Rosetta Zan
puntata 11: Samuele Antonini
puntata 12: Bruno D’Amore
puntata 13: Pier Luigi Ferrari
puntata 14: Silvia Sbaragli
puntata 15: Anna Baccaglini-Frank

Alberto Saracco propone i video della serie “Un matematico prestato alla Disney“, in cui fa divulgazione della matematica traendo spunto da storie di paperi e topi:
Episodio 9 – I ponti di Quackenberg – I ponti di Königsberg
Episodio 10 – L’antipatica matematica – Cosa (non) è la matematica
Episodio 11 – Il cavatappi quadridimensionale – La quarta dimensione
Episodio 12: Missione matematica – Le gare matematiche (a squadre)


Altri post pubblicati su MaddMaths! nell'ultimo mese sono stati i seguenti:
Evento UMI: Festa delle Donne Matematiche – streaming il 27 maggio – ore 17
Il cammello siberiano (quest’anno il premio Wolf è andato a Yakov Eliashberg e Simon Donaldson;  Nicola Ciccoli ci racconta ora qualcosa in più su Yakov Eliashberg e il cammello simplettico)
A che serve la matematica? Da Lorenz al Covid-19 (spesso la realtà sembra sfuggire ad una descrizione matematica, ma è la matematica stessa che ce ne rivela in modo più profondo la complessità; da Lorenz al Covid-19, Marco Menale, dottorando in matematica presso l’Università degli Studi della Campania “Luigi Vanvitelli”, riflette sulla difficoltà di predire in modo affidabile l’evoluzione dei fenomeni complessi)
Scorciatoie matematiche: l’idea di una studentessa per superare la noia dei lunghi calcoli (Dalia Somekh, una studentessa di V liceo scientifico della Scuola ebraica di Milano, ci racconta come, per fare meno fatica e superare la noia, ha trovato un’idea semplice per ridurre i passaggi di risoluzione di integrali indefiniti di funzioni fratte)
Matematica a distanza, andrà tutto bene? (un contributo di Giorgio Ottaviani, Professore ordinario di Geometria presso l’Università di Firenze, sul tema della didattica a distanza a livello universitario, pubblicato nella speranza di aprire un dibattito nella nostra comunità accademica)
22/05/2010 Martin Gardner (dieci anni fa moriva Martin Gardner, considerato da molti il più grande promotore a livello mondiale della matematica ricreativa: MaddMaths! lo ha ricordato pubblicando in italiano, con il permesso dell’autore, un ricordo di Colin Wright apparso a suo tempo sul suo blog)
Attenzione! Poteri anti-psichici! (Davide Palmigiani ci racconta i divertenti esperimenti con le carte dei matematici Matt Parker e James Grime e ci spiega anche il trucco)
TEEN: un progetto di empowerment (un gruppo interdisciplinare composto da ricercatori del Dipartimento di Matematica e del Dipartimento di Architettura e Studi Urbani del Politecnico di Milano ha condotto una ricerca sulla Teen Immigration, ovvero il fenomeno migratorio che ha portato negli ultimi anni in Italia decine di migliaia di minori non accompagnati)
Il linguaggio matematico nella forma delle foglie acquatiche (in uno studio pubblicato di recente da Physical Review Letters, Water Affects Morphogenesis of Growing Aquatic Plant Leaves, di Fan Xu, Chenbo Fu, e Yifan Yang della Fudan University di Shanghai, è stato dimostrato come la forma di diverse varietà di foglie acquatiche sia principalmente controllata dalla geometria di contatto con il bacino d’acqua sottostante).


Per concludere, anche Mr. Palomar ha pubblicato qualche post nell'ultimo mese.
Per la serie dedicata alla matematica di Gianni Rodari, sono uscite tre puntate:
- La matematica di Gianni Rodari #3 - Logica e fantastica, in cui, partendo da una citazione di Novalis che Rodari riporta nell'antefatto della sua "Grammatica della fantasia", rifletto sull'importanza che l'autore di Omegna ha sempre attribuito alla logica e, più in generale, alla matematica e alla scienza;
- La matematica di Gianni Rodari #4 - Relazioni, che riferisce di alcune incursioni di Rodari nel concetto matematico delle relazioni e nelle loro proprietà (simmetria, riflessività, transitività);
- La matematica di Gianni Rodari #5 - Zero, in cui cito la celebre poesia "Il trionfo dello zero", tratta da "Filastrocche in cielo e in terra" del 1960, una delle più sfruttate dagli insegnanti della scuola primaria per la sua felice combinazione tra elemento poetico e significato aritmetico.
Un post estraneo alla serie rodariana è Lo strano epistolario tra Mick Jagger e M. C. Escher, costituito da un video in cui leggo un curioso passaggio aneddotico del mio libro "Matematica rock".

Credo sia tutto. A meno di novità imprevedibili, nei prossimi mesi di luglio e agosto il Carnevale si prenderà una vacanza. Appuntamento quindi a settembre, non sappiamo ancora su quale blog e con quale tema.
Grazie a tutti i partecipanti e buona estate a tutti!

venerdì 5 giugno 2020

La matematica di Gianni Rodari #5: Zero

Chiudete gli occhi. Non pensate a nulla. Ci siete riusciti?
Bene. Adesso la sfida si fa più difficile: pensate al nulla. Impossibile?
Che cos’è il nulla? Se posso pensarlo, non è già qualcosa? Com’è possibile pensare qualcosa che non è?
In matematica, il niente è davvero qualcosa e corrisponde al numero zero. Un numero sospeso tra l’esistenza e la non esistenza, alter ego dell’infinito e, al pari di questo, paradossale e sconvolgente.
Lo zero fu inventato tre volte: prima dai Sumeri,  forse già due millenni prima di Cristo, poi dai Maya e infine dagli Indiani.
Furono questi ultimi, intorno al VII secolo d.C., a utilizzarlo per primi non soltanto come mero segnaposto per indicare una cifra nulla in un numero costruito mediante un sistema posizionale, ma come numero vero e proprio.
Il grande matematico Brahmagupta fu il primo a studiare come lo zero si comportava una volta messo insieme agli altri numeri. Si accorse così che è un numero del tutto speciale: per esempio non sortisce effetti se un numero qualsiasi viene sommato a lui, mentre fa diventare uguale a lui ogni numero che osasse moltiplicarsi per lui.
In Europa lo zero (e nel suo complesso la numerazione posizionale) arrivò molto tardi, nel Duecento, grazie al pisano Fibonacci che durante i suoi viaggi in Oriente lo aveva appreso dagli Arabi (questi, a loro volta, lo avevano imparato dagli Indiani).

Gianni Rodari ha dedicato allo zero la poesia "Il trionfo dello zero", tratta da "Filastrocche in cielo e in terra" (1960).
Nella filastrocca, Rodari rappresenta in modo narrativamente molto gustoso anche il concetto di sistema di numerazione posizionale, intuito già sulle rive del Tigri e dell'Eufrate e, duemila anni dopo, al di là dell'Oceano Atlantico, prima di essere riscoperto in India.
L'idea è che ogni cifra assume un valore diverso a seconda della posizione che occupa nel numero: lo zero, per esempio, che da solo gioca il ruolo del numero immediatamente precedente all'unità e quindi del valore nullo, può partecipare (come qualsiasi altra cifra) alla costruzione di numeri più complessi, per esempio il 10 che si compone di una decina e nessuna unità.
Non è un caso che questa filastrocca sia una delle più sfruttate dagli insegnanti della scuola primaria per la sua felice combinazione tra elemento poetico e significato aritmetico.



C'era una volta
un povero Zero
tondo come un o,
tanto buono ma però
contava proprio zero
e nessuno lo voleva in compagnia
per non buttarsi via.
Una volta, per caso,
trovò il numero Uno
di cattivo umore perché
non riusciva a contare
fino a tre.
Vedendolo così nero
il piccolo Zero
si fece coraggio,
sulla sua macchina
gli offerse un passaggio,
e schiacciò l'acceleratore,
fiero assai dell'onore
di avere a bordo
un simile personaggio.
D'un tratto chi si vede
fermo sul marciapiede?
Il signor Tre che si leva il cappello
e fa un inchino
fino al tombino...
e poi, per Giove,
il Sette, l'Otto, il Nove
che fanno lo stesso.
Ma cosa era successo?
Che l'Uno e lo Zero,
seduti vicini, 
uno qua, l'altro là,
formavano un gran Dieci:
nientemeno, un'autorità!
Da quel giorno lo Zero
fu molto rispettato,
anzi da tutti i numeri
ricercato e corteggiato:
gli cedevano la destra
con zelo e premura,
(di tenerlo a sinistra
avevano paura),
lo invitavano a cena,
gli pagavano il cinemà,
per il piccolo Zero
fu la felicità.

La matematica di Gianni Rodari #9: Più uno!

Nella puntata precedente di questa serie ho parlato dei numeri fantastici introdotti da Rodari nel classico "A inventare i numeri&qu...