Geometrie pallonare da Uruguay 1930 a Russia 2018

Vi serve un'idea per ingannare il tempo nell'attesa delle semifinali e della finale di Russia 2018? Eccovi accontentati: un post sulla geometria dei palloni di calcio, in particolare sul pallone che in questi giorni viene preso a calci sui rettangoli di gioco russi.
Più volte, su queste pagine (ad esempio qui, qui e qui), ho parlato della geometria dei palloni di calcio, in particolare dei modelli utilizzati durante i Mondiali o in occasione degli Europei.
L'ormai quasi secolare vicenda dei "palloni mondiali" è una storia affascinante, che prende le mosse dal torneo uruguayano del 1930 e si snoda fino ad arrivare al Telstar 18 del torneo in corso. Qui trovate un video che racconta questo lungo percorso. In questo sito e in quest'altro trovate altre interessanti informazioni a riguardo.

Il "Modello T" del 1930

Mentre oggi è tutto organizzato fino al minimo dettaglio, la prima edizione del 1930 dovette scontare alcuni inconvenienti imbarazzanti: le due finaliste, ovvero Uruguay e Argentina, non riuscirono a mettersi d'accordo su quale pallone sarebbe stato usato, cosicché all'ultimo minuto decisero di usare nel primo tempo il "Modello T", preferito dai padroni di casa, e nel secondo la "pelota" argentina. Il primo era formato da dodici pannelli di cuoio a "T" uniti tra loro attorno a un nucleo di gomma, e presentava una vistosa cucitura a laccio, necessaria per il gonfiaggio. La pelota era simile, ma i pezzi di cuoio erano rettangolari e non a "T".
Il "Federale" usato ai Mondiali italiani del 1938 era simile alla pelota argentina, ma aveva tredici pannelli anziché dodici. Anche l'Allen, impiegato nel torneo transalpino del 1938, riprendeva sostanzialmente il modello argentino della prima edizione.

Il "Crack" del 1962

Dopo la pausa bellica, nel 1950 venne adoperato per la prima volta un pallone privo della cucitura col laccio: era stata inventato il gonfiaggio moderno, con la valvola. Il modello svizzero del 1954 fu il primo a essere formato da diciotto pannelli invece che dodici o tredici: inoltre era giallo e non marrone come i suoi predecessori.
Il "Top Start" del 1958 era praticamente identico al pallone di quattro anni prima, mentre ai Mondiali cileni del 1962 fece la sua apparizione il "Crack", che finalmente introduceva una variazione geometrica rilevante. Era infatti formato da diciotto pezzi di cuoio di tre diverse forme poligonali curve: rettangolari, esagonali e ottagonali.
Nell'edizione britannica del 1966 venne usato il "Challenge", che non differiva dal "Crack" se non per il colore: arancione, anziché giallo.

Il "Telstar" del 1970

All'edizione messicana del 1970 arrivò la rivoluzione: la Adidas inaugurò la sua egemonia, che dura indiscussa anche oggi, sulle sfere mondiali, e presentò il mitico "Telstar", la cui forma a icosaedro troncato con pentagoni neri ed esagoni bianchi è presto divenuta un'icona classica del pallone da calcio.
Sull'icosaedro troncato ho parlato in abbondanza sui post già citati e anche sull'e-book "La matematica nel pallone", che potrebbe essere una lettura azzeccata sotto l'ombrellone, tra una partita e l'altra.
Tutti i modelli ufficiali dei tornei dal 1974 al 2002 sono stati icosaedri troncati: le variazioni da un'edizione all'altra riguardavano solo aspetti decorativi o i materiali, ma non la geometria di fondo.

Il modello del 1974 era del tutto identico a quella del 1970. Il "Tango" di "Argentina 78", pur essendo il solito icosaedro troncato, introduceva quel motivo grafico a sette cerchi che sarebbe rimasto in voga fino al 1998, attraverso il "Tango Espana" del 1982, l'"Azteca" del 1986, l'"Etrusco" di "Italia '90", il "Questra" di "USA 1994" e il "Tricolore" dell'edizione francese del 1998.
Nel 2002 rimase la geometria classica del Telstar ma scomparve il motivo a sette cerchi, per far posto a una grafica ispirata al disegno di uno shuriken, un tipo di dardo giapponese.

Il "Teamgeist" del 2006

Ma fu solo con la competizione del 2006, vinta dall'Italia, che la musica, anzi la geometria, cambiò radicalmente. Il "Teamgeist" era costituito da 14 pannelli curvi incollati insieme e non più cuciti. La forma geometrica di questo pallone non corrispondeva più a un icosaedro troncato, ma a un ottaedro troncato: ancora un solido archimedeo, comunque.

L'edizione del 2010 fu "funestata" dal pallone più criticato della storia dei Mondiali: con lo "Jabulani" l'Adidas abbandonava le geometrie archimedee e si spingeva in territori inesplorati, sfornando un modello che era stato presentato come il più rotondo di sempre ma che si rivelò invece l'incubo di tutti i calciatori del torneo. Era formato da otto pannelli uniti tra di loro a plasmare una pseudosfera. La sua complessa geometria è descritta ad esempio qui.

Il "Telstar 18"

Il Mundial brasileiro del 2014 vide rotolare sui campi di gioco il "Brazuca", di cui ho parlato diffusamente nei post già citati. Il pallone di quattro anni fa era topologicamente un cubo, e la sua ideazione fu un geniale capolavoro di matematica e ingegneria.
E quest'anno? Il pallone usato in Russia si chiama "Telstar 18". Se il suo nome ci riporta indietro di 48 anni, le sue caratteristiche guardano invece al futuro: al suo interno è presente un chip NFC ("Near-Field Communication") che è in grado di scambiare informazioni con dispositivi abilitati, come smartphone o tablet.

I cosmonauti russi giocano a calcio sulla ISS con il "Telstar 18"

Il 21 marzo scorso il "Telstar 18" è diventato il primo pallone mondiale a volare nello spazio: i due cosmonauti russi Anton Shkaplerov e Oleg Artemyev portarono la palla nella Stazione Spaziale Internazionale e lo collaudarono in una insolita partita a gravità zero. In quell'occasione Artemyev ha dichiarato: "Lo restituiremo alla Terra in tempo per il fischio d’inizio della prima partita della competizione". E così è stato.

Quali sono le caratteristiche geometriche del "Telstar 18"? La palla è formata da sei pannelli incollati insieme. Similmente al Brazuca, quindi, anche il "Telstar 18" è topologicamente assimilabile a un cubo. La forma dei sei pezzi è completamente nuova, ma la possibilità di metterli insieme a plasmare una sorta di sfera è ancora una volta assicurata dal teorema di Pogorelov, di cui avevo parlato nel già menzionato e-book e in questo articolo.


Nella figura a fianco sono messe a confronto le forme dei pannelli del "Brazuca" e del "Telstar 18": come vedete, il pallone brasileiro era formato da pezzi dalla foggia più semplice ma anche più arrotondata, mentre il pallone di quest'anno nasce dall'unione di forme più elaborate e appuntite. Se volete approfondire la questione, in questa pagina viene spiegato in dettaglio come realizzare un modello virtuale del pallone di "Russia 2018".
Ed ora, buon divertimento con le semifinali e le finali dei Mondiali!

Il teorema della palla pelosa

Ogni tanto capita. Ti alzi dal letto con la sensazione di esserti trasformato non in un enorme insetto immondo, come il povero Gregorio Samsa, ma in una specie di porcospino, o in un gatto dal pelo arruffato appena uscito da un selvaggio duello con un altro gatto.
Ti guardi allo specchio e hai conferma del tuo presentimento: i capelli non vogliono saperne di stare al loro posto, e assomigli più a Barbabarba che a te stesso.
In questi difficili momenti non ti abbattere più del dovuto, e pensa che la matematica può esserti di conforto. In particolare, esiste un teorema che stabilisce l'impossibilità di pettinare perfettamente una sfera: il cosiddetto "teorema della palla pelosa", dimostrato nel 1912 dal matematico olandese Luitzen Egbertus Jan Brouwer (che, ironicamente, almeno stando alle fotografie che si trovano in rete, era parecchio stempiato).

Brouwer è passato alla storia della matematica per avere dimostrato due importanti teoremi (oltre a questo della palla pelosa, il famoso teorema del punto fisso), ma anche alla storia della filosofia matematica per essere stato il vero iniziatore della scuola matematica intuizionistica (secondo la quale la matematica è essenzialmente un insieme di costruzioni mentali).
Tornando al teorema della palla pelosa, una sua enunciazione più rigorosa afferma che, data una ipersfera S a n dimensioni (con n pari oppure uguale a 3), e un campo vettoriale f che associa ad un ogni punto P della ipersfera un vettore n-dimensionale f(P) tangente alla ipersfera stessa nel punto P, esiste almeno un punto Q della ipersfera in cui f(Q) = 0.
Se la ipersfera, per semplicità, viene ridotta ad una innocua sfera a 3 dimensioni, e i vettori tangenti f(P) vengono considerati i "capelli" spuntati sulla superficie della sfera, il teorema dice che ci sarà almeno un punto della sfera privo di capelli, oppure con un capello ritto e sparato in aria.

Per la verità, il teorema non è rigorosamente applicabile al caso della pettinatura dei capelli, perché la nostra testa non è una sfera completamente capelluta (anche se in alcuni casi ci si avvicina a tale condizione): se tuttavia vogliamo stiracchiare il fondamentale risultato di Brouwer, ed applicarlo al lavoro del parrucchiere, il concetto è che non si può pettinare una testa senza creare da qualche parte una chierica o un ciuffo ribelle.
A differenza della sfera, il toro, cioè una superficie a forma di ciambella, è invece perfettamente pettinabile.

Il teorema ha una suggestiva applicazione in meteorologia: se approssimiamo la superficie terrestre a una sfera, e consideriamo la circolazione atmosferica con una funzione che assegna a ogni punto della superficie terrestre il vettore, tangente alla superficie stessa, che indica la direzione del vento, il teorema afferma che esiste almeno un punto della Terra in cui non c'è vento.
Questi punti sono gli "occhi" dei cicloni.  In pratica il teorema della palla pelosa applicato alla superficie terrestre ci assicura che in qualche parte del mondo c'è sempre un ciclone in azione (o un anticiclone).
Per la verità, questa conclusione parte dal presupposto di trascurare la componente verticale del "vettore vento", e di considerare solo quella tangente alla superficie: approssimazione accettabile, dato che il diametro terrestre è molto maggiore dello spessore dell'atmosfera.

Il teorema di Brouwer è stato applicato con successo anche ad altri ambiti, come la scienza dei materiali: nel 2007 lo scienziato italiano Francesco Stellacci si è servito del teorema della palla pelosa per ottenere una particolare struttura formata da una catena di nanoparticelle, utilizzabile come speciali nano-fili in dispositivi elettronici.