Platone, Archimede e i palloni da calcio

Si fa presto a dire "sfera". Molti telecronisti calcistici usano disinvoltamente questo termine nel riferirsi al pallone di cuoio preso a calci da ventidue baldi e giovani milionari. 
Ma il pallone da calcio è davvero una sfera? No, anche perché fabbricare palle perfettamente sferiche non è cosa facile. La natura è abilissima nel creare oggetti sferici, ma noi umani troviamo più agevole approssimare questa forma perfetta con solidi dotati di molti lati cuciti insieme.

In alcuni sport, peraltro, la palla deve essere perfettamente sferica: è ad esempio il caso del ping pong. Le palline usate in questo sport vengono costruite fondendo assieme due semisfere di celluloide, in un processo industriale che comporta anche il 95% di palline riuscite male e quindi da scartare. Nel suo bel libro "L'equazione da un milione di dollari", Marcus du Sautoy spiega che le palline così fabbricate vengono sparate in aria da un cannone: quelle  difettose deviano verso destra e sinistra, mentre quelle buone procedono dritte, in una zona del poligono di tiro dove vengono raccolte e inscatolate.

I palloni da calcio, invece, non sono mai esattamente sferici. Se osserviamo da vicino un pallone, ci accorgiamo che di solito esso è formato da diversi esagoni e pentagoni regolari cuciti tra di loro.
Nella sua opera Timeo, il filosofo Platone descrisse i solidi regolari, che oggi chiamiamo "platonici". Per "regolare" si intende che il solido deve essere delimitato da un certo numero di poligoni uguali tra di loro e deve avere spigoli e angoli tutti equivalenti tra di loro. Euclide dimostrò che esistono soltanto cinque solidi che godono di queste proprietà: il tetraedro, il cubo (o esaedro), l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro. Platone associò ciascuno di questi solidi ad uno degli elementi fondamentali: il tetraedro al fuoco, il cubo alla terra, l'ottaedro all'aria, l'icosaedro all'acqua, il dodecaedro all'universo nel suo complesso.
Se andate in uno di quei negozi che vendono giochi di ruolo e articoli collegati, troverete facilmente confezioni di dadi dalla forma platonica, come quelli nella figura seguente:

Potremmo utilizzare qualcuno dei dadi platonici come pallone da calcio? Bè, forse taluni fantasisti del football riuscirebbero a giocare anche con una palla tetraedrica, cubica o ottaedrica, ma non si tratta certo delle forme ideali per giocare a calcio (o a qualsiasi altro sport). Rimangono il dodecaedro e l'icosaedro.
Chiaramente, tanto più numerosi sono i lati del solido, meglio ci si approssima alla figura della sfera perfetta, e non stupisce quindi che il solido platonico dal quale dobbiamo partire per arrivare a fabbricare il nostro pallone da calcio è quello col maggior numero di facce: l'icosaedro, delimitato da 20 triangoli equilateri.
Certo, si potrebbe provare a giocare una partita di calcio con un pallone icosaedrico: ma non è che smussando ulteriormente gli spigoli di questo solido si possa ottenere qualcosa di ancora più vicino alla sfera?
Questo è probabilmente il ragionamento che fece un altro gigante dell'antichità, Archimede di Siracusa: non che il grande matematico fosse interessato a brevettare la palla perfetta per i Mondiali di calcio (che ancora non esistevano), ma certamente il suo intento era quello di "perfezionare" i solidi platonici, e vedere cosa accadeva utilizzando come facce del solido due o più poligoni regolari, anziché uno soltanto.
L'impresa di Archimede non era delle più facili: prima di tutto le facce, benché di tipi diversi, dovevano potersi cucire perfettamente tra di loro (e quindi avere la stessa lunghezza); inoltre il solido doveva mantenere  complessivamente una certa simmetria (e ciò significava che i vertici dovevano essere tra di loro identici).
Alla fine Archimede trovò che esistevano 13 solidi di questo tipo.
Uno di questi, l'icosaedro troncato, ottenuto dall'icosaedro platonico smussando i vertici e sostituendoli con dei pentagoni regolari, è il modello utilizzato per fabbricare la maggior parte dei palloni da calcio.  Il solito ottenuto ha complessivamente 32 facce: classicamente le 12 facce pentagonali sono colorate in nero, e le 20 facce esagonali in bianco. Quante cuciture sono necessarie? I lati dei poligoni sono in tutto 12 x 5 + 20 x 6 = 180, ma dato che ciascuna cucitura congiunge due lati, le cuciture sono in tutto 90 (come i minuti di una partita).


L'icosaedro troncato è un'ottima approssimazione della sfera. Il suo volume è circa l'86,74% di quello della sfera circoscritta, ma quando il pallone viene gonfiato le facce si curvano e la percentuale di approssimazione supera il 95%.
Esistono solidi archimedei che, essendo forniti di un numero maggiore di lati rispetto all'icosaedro troncato, potrebbero costituire approssimazioni migliori della sfera: ad esempio il rombicosidodecaedro, oppure il dodecaedro camuso, ma in questi casi il numero di cuciture necessarie renderebbero il processo di fabbricazione troppo complicato.

Pirlo e compagni si accontentino quindi dell'icosaedro troncato, che peraltro è stato il modello dei più famosi palloni della storia del calcio: dal mitico Telstar, usato nei Mondiali del Messico del 1970 al celebre Tango, protagonista in Argentina nel 1978 e in Spagna nel 1982.

Ai Mondiali tedeschi del 2006, invece, fu utilizzato un pallone che fu presentato come il più sferico della storia del calcio. Era formato da 14 pezzi curvi, e prendeva spunto da un altro dei solidi archimedei: l'ottaedro troncato.
Onore quindi a Platone e ad Archimede, che possono essere a ragione considerati come i veri progettisti dei moderni palloni da calcio.