La matematica dei Pink Floyd

Fino a poco tempo fa, se qualcuno mi avesse chiesto di confessare un mio grande sogno, probabilmente gli avrei risposto: "scrivere un libro".
E si sa, i sogni della vita sono desideri che, quando li fai, mica ti aspetti che si realizzino il giorno dopo, così, facilmente. Anzi, quasi quasi pensi che siano impossibili: se no, non sarebbero sogni davvero grandi.
Eppure, oggi questo mio sogno si è realizzato.
Qualche mese fa, mentre ero in treno, mi è arrivato uno di quei messaggi che valgono da soli una vita, o meglio, appunto un sogno: mi proponevano di scrivere un librino sulla matematica dei Pink Floyd, prendendo spunto (ma approfondendo e allargando) da alcuni miei post scritti tempo fa.

Eccolo qui, il librino. Uscito oggi. È la terza uscita di una bella collana di e-book che si intitola Altramatematica, e che, ormai lo sapete, è pubblicata da 40k Unofficial.
Lo potete trovare su tutti i migliori store, per esempio su Amazon e su BookRepublic, all'imbattibile prezzo di un caffè: 0,99 euro.


Riporto qui la quarta di copertina:
Se pensate che la matematica sia fatta soltanto di aride formule e noiosi calcoli con polinomi e frazioni, vi sbagliate di grosso. La matematica, quella vera, è ovunque: perfino nei testi delle canzoni e nelle copertine dei dischi. E il bello è che è pure divertente. Però prima bisogna saperla scovare. Questa è una piccola guida alla scoperta della matematica nascosta negli album e nei brani di una delle rock band più famose di sempre, i Pink Floyd: dai bit dal sapore orientale in "The piper at the gates of dawn" fino al prisma di "The dark side of the moon", passando dai giochi autoreferenziali di "Ummagumma".

Ecco qua. Se non sopportate la musica rock ma vi piace la matematica, dovete comprarlo, perché i Pink Floyd sono alla fine un pretesto per parlare di matematica. Se detestate tutto ciò che è matematica ma siete affascinati dalla psichedelia e dal prog, non ve lo potete perdere, perché la matematica di cui si parla è molto pop. Anzi, decisamente rock.
Ah, dimenticavo: quel giorno che ero in treno, a propormi di scrivere il libro era Maurizio Codogno, che non ha bisogno di presentazioni. Lo ringrazio di cuore per aver creduto in me.
Un ringraziamento specialissimo va anche all'amico Popinga, perché in questa cosa c'entra molto anche lui.
E dato che sono in tema, un grazie anche a mia moglie, perché in progetti come questo mi dà sempre ottimi consigli: e senza di lei i sogni sarebbero più difficili da realizzare.
Buona lettura a tutti!

Il grande quadrato di Perec

Nel mio vecchio post "La matematica di Ummagumma (Parte 2)" citavo il celebre romanzo "La vita istruzioni per l'uso" di Georges Perec, costruito sopra un quadrato greco-latino 10x10.
Riprendo l'argomento dopo più di un anno e mezzo perché recentemente ho ripreso in mano il libro, e leggendo le sue pagine l'urgenza di fare chiarezza sui suoi presupposti combinatori si faceva sempre più impellente. Sapevo che Perec stesso aveva spiegato le basi matematiche del romanzo nei suoi appunti di lavoro, e in effetti il libro "Specie di spazi", edito da Bollati Boringhieri, raccoglie, tra il resto, anche queste note; ma dopo avere scovato questo volume, mi sono imbattuto anche in un sito (francese, ovviamente) che mi ha ulteriormente aiutato a soddisfare le mie curiosità.
Ma procediamo un passo alla volta.
Perec pubblicò il libro nel 1978, dedicandolo alla memoria di Raymond Queneau. Italo Calvino apprezzò grandemente l'opera di Perec, considerandola come un punto di svolta nella storia del romanzo, e indicandola anzi come notevole esempio di "iperromanzo". Anche molti altri autori italiani accolsero il romanzo di Perec come un vero capolavoro.

Come già ricordavo nel post dell'anno scorso, il libro è costituito da 99 capitoli, ognuno dei quali rappresenta l'istantanea di una stanza di un condominio di dieci piani. Perec stesso scrisse:
Immagino uno stabile parigino cui sia stata tolta la facciata... in modo che, dal pianterreno alle soffitte, tutte le stanze che si trovano sulla parte anteriore dell'edificio siano immediatamente e simultaneamente visibili.

Perec descrive ogni stanza in modo estremamente particolareggiato, soffermandosi spesso su dettagli legati ai suoi inquilini di oggi e di ieri, alle loro storie, alle loro passioni, alle loro vite.
Quella che può apparire, all'inizio della lettura, come maniacale pedanteria, diviene ben presto uno stile necessario, piacevole, irrinunciabile, funzionale al graduale dipanarsi della complessa trama.


Ma non temete: non vi parlerò dell'intricato puzzle dei personaggi e delle loro storie, un po' per non guastarvi la sorpresa e un po' perché non basterebbero dieci post per dare una pallida idea della trama.

Riprenderò invece il tema del quadrato greco-latino, che nel vecchio post avevo soltanto accennato: chi volesse intraprendere la lettura di questa monumentale opera senza trascurare i suoi aspetti matematici troverà probabilmente molto utile il sito francese e le chiavi di lettura che mi accingo a fornire.

Nella pagina dedicata ai contraintes (vincoli) sono riportati i 42 elenchi di 10 elementi ciascuno che Perec compose per utilizzarli come "vincoli narrativi". Come potete vedere, ci sono due elenchi di autori che possono essere citati (citation 1 e citation 2), un elenco di epoche (époque), uno di animali (animaux), uno di sentimenti (sentiments), e così via.  In ognuno degli elenchi gli elementi sono identificati dalle lettere a, b, c, ..., j.
Ogni elenco è contrassegnato da un codice, riportato nella colonna id e formato da una lettera (A oppure B oppure C) e da una cifra (da 0 a 9). Se trascuriamo la differenza tra lettere maiuscole e minuscole, gli elenchi risultano riuniti in 21 coppie: ad esempio, i primi due elenchi, rispettivamente contenenti posizioni (position) e attività (activité), sono accoppiati e contrassegnati dal codice 1A/1a.

E' a questo punto che entra in scena il quadrato greco-latino 10x10: esso è rappresentato nella pagina l'immeuble, e le sue caselle corrispondono alle stanze del condominio parigino (e quindi ai capitoli del romanzo).
Come i miei lettori probabilmente già sanno, un quadrato greco-latino è una scacchiera quadrata che contiene, in ogni casella, una coppia di simboli, in modo tale che ogni simbolo compaia esattamente una volta in ogni riga e in ogni colonna, e che ogni coppia compaia esattamente una volta nell'intera scacchiera.
Originariamente era consuetudine usare coppie formate da una lettera greca e una lettera latina, da cui il nome di questo oggetto matematico.
Esistono quadrati greco-latini di lato n per ogni n maggiore di 2 e diverso da 6. Quello che Perec impiegò è descritto dallo stesso scrittore, in "Specie di spazi, come un "bi-quadrato latino ortogonale d'ordine 10 (quello di cui Eulero congetturò la non esistenza, ma che fu scoperto nel 1960 da Bose, Parker e Shrikhande)."

Ogni casella del quadrato greco-latino 10x10 corrisponde ad una delle stanze del condominio, e quindi a uno dei capitoli del romanzo.
Ora, per ciascuna delle coppie di elenchi definite sopra (ad esempio l'elenco di posizioni e quello di attività), Perec si servì di questo quadrato latino per assegnare ad ogni stanza (e quindi ad ogni capitolo) una coppia di valori tra quelli ammessi dagli elenchi.
Ad esempio, consideriamo la casella associata al capitolo 58, intitolato Réol,1: se vi clicchiamo sopra, troviamo il dettaglio relativo a questo capitolo, e scopriamo che il quadrato ha stabilito "inginocchiato" (agenouillé) come posizione, e "leggere, scrivere" (lire, écrire) come attività.
Ecco allora che il capitolo 12 del libro contiene,in effetti, riferimenti all'essere inginocchiato e alle attività del leggere e dello scrivere:
"Olivier Gratiolet è seduto davanti a un tavolino pieghevole coperto da un drappo verde, sta leggendo. La figlia Isabelle, che ha tredici anni, è inginocchiata sul pavimento di legno..."

Lo stesso procedimento va ripetuto per tutte le altre coppie di elenchi, così da riempire le caselle del quadrato greco-latino con coppie di valori estratti dagli elenchi predefiniti e utilizzarle poi nei rispettivi capitoli come vincoli narrativi.
Perec ha allestito il suo enorme puzzle narrativo vincolando la scrittura tramite questo vertiginoso macchinario combinatorio, studiato in modo tale da distribuire i vincoli in modo equilibrato.
Ho descritto il funzionamento solo in superficie: studiando più a fondo la macchina di Perec si scoprono altre particolarità, eccezioni e raffinatezze che non potrebbero essere descritte in queste poche righe.

Anche il modo in cui i capitoli del libro sono distribuiti sulle caselle del quadrato 10x10 non è casuale, e costituisce un ulteriore vincolo: se guardate ancora la pagina l'immeuble, vi accorgete che si passa sempre da un capitolo al successivo compiendo una spostamento che nel gioco degli scacchi corrisponde la mossa del cavallo (due caselle in avanti e una a lato).
La ricerca di un percorso che visita tutte le caselle della matrice, ciascuna una e una sola volta, utilizzando ad ogni passo la mossa del cavallo, è un problema classico di topologia, noto come problema del "giro di cavallo", che di fatto è un caso particolare del problema del cammino hamiltoniano.
Perec ha utilizzato in questo caso una delle innumerevoli soluzioni esistenti su una scacchiera 10x10, ma ha commesso (volutamente o no?) un errore nel passaggio dalla casella 65 alla casella 66, come potete facilmente constatare nella pagina l'immeuble.
In questa pagina trovate una possibile correzione al giro di cavallo di Perec.

Con queste poche note ho soltanto scalfito la superficie dell'intricato mondo combinatorio di Perec.
Non vorrei che queste considerazioni sugli aspetti matematici del romanzo fossero prese come unica o principale chiave di lettura dell'opera di Perec, che rimane, principalmente, un'opera letteraria di altissimo livello.  I numerosi appigli matematici non fanno del romanzo di Perec un arido puzzle senza anima: al contrario rendono ancora più affascinante ed enigmatica un'opera che viene considerata tra i massimi capolavori del Novecento.

La matematica di Ummagumma (Parte 2)

Quale altra meraviglia matematica emerge dalla copertina di "Ummagumma" dei Pink Floyd?
Osserviamo ancora una volta l'immagine del disco (basta scendere un attimo alla prima parte di questo "multi-post"): al primo "livello" di ricorsività, cioè nella prima delle matrioske, troviamo in primo piano, seduto, il chitarrista David Gilmour; dietro di lui riconosciamo il bassista Roger Waters, seduto appena fuori della soglia di casa; il batterista Nick Mason è in piedi nel prato; e sullo sfondo, nella posizione della candela, scorgiamo il tastierista Rick Wright.
Per spostare la nostra attenzione al secondo dei livelli di ricorsività dobbiamo osservare la fotografia appesa al muro; balza subito all'occhio che qui le posizioni occupate dai musicisti e le pose da loro assunte sono le stesse del primo livello: anche qui uno dei membri della band è seduto sulla sedia in primo piano, un altro è seduto per terra fuori della porta, un terzo membro è in piedi nel prato, e l'ultimo sta a testa in giù sullo sfondo.
Ma si nota altrettanto subito che gli stessi posti non sono occupati dalle stesse persone: la successione Gilmour-Waters-Mason-Wright del primo livello è infatti diventata ora Waters-Mason-Wright-Gilmour.
Detto diversamente, il chitarrista, che nella prima scena appariva in primo piano, ora si trova laggiù in fondo a fare yoga, mentre gli altri tre sono avanzati ciascuno di un posto: in particolare il paroliere-bassista si trova ora davanti a tutti.
Spingendoci nei livelli più profondi del ciclo ricorsivo, cosa che ci richiede uno sforzo visivo non indifferente per scavare nell'immagine, la permutazione si ripete altre due volte con la stessa logica. Al terzo livello la successione diventa, ormai prevedibilmente, Mason-Wright-Gilmour-Waters, mentre all'ultimo livello è Wright-Gilmour-Waters-Mason: è a questo punto che la copertina di "A saucerful of secrets" appesa al muro interrompe il loop.


La tabella precedente illustra la situazione che emerge dalla copertina.
I livelli della ricorsione sono associati alle righe della tabella, e le posizioni (o pose) corrispondono alle sue colonne; nelle caselle intermedie viene indicato quale musicista occupa una certa posizione ad un certo livello.
Non è difficile notare che su ogni riga e su ogni colonna della tabella i quattro componenti del gruppo appaiono ciascuno esattamente una volta.
Ciò equivale a dire che ad ogni livello sono presenti i quattro musicisti, ciascuno dei quali associato ad una delle posizioni standard, e ognuno degli accoppiamenti musicista-posizione è unico, cioè non compare mai in più di un livello.
Una struttura matematica di questo tipo, in cui un certo numero di oggetti (in questo caso i quattro musicisti) sono associati ad altrettanti oggetti (le posizioni) in altrettanti modi tra loro completamente diversi (i livelli) viene chiamata "quadrato latino".


Chiaramente, se a realizzare "Ummagumma" fossero stati, anziché i Pink Floyd, gli Emerson Lake & Palmer, che erano in tre, il gioco si sarebbe dovuto sviluppare su tre livelli e tre posizioni, e non su quattro; analogamente, i Genesis della formazione classica avrebbero dovuto spaziare su cinque livelli e cinque posizioni.
In altre parole, questi gruppi avrebbero creato quadrati latini con lati di tre o cinque caselle, e non di quattro.

A scanso di equivoci, un quadrato latino non ha necessariamente a che fare con la ricorsività: accidentalmente nella copertina di "Ummagumma" intervengono entrambi questi concetti, intrecciati tra di loro (e questa straordinaria coincidenza mi ha ispirato questo doppio post), ma solitamente i quadrati latini non c'entrano nulla con strutture ricorsive.

Un semplice quadrato latino estraneo a questioni di ricorsività lo possiamo realizzare in casa con un mazzo di carte da gioco. Immaginiamo di estrarre i quattro re, le quattro regine, i quattro fanti e i quattro assi, e di voler disporre queste 16 carte in un quadrato 4x4, in modo che su ogni riga e su ogni colonna si trovino tutti i quattro diversi tipi di carte, senza ripetizioni. Vogliamo insomma che sulla prima riga ci siano un re, una regina, un fante e un asso, non importa in che ordine, e lo stesso deve accadere su ciascuna delle altre righe e su ciascuna delle colonne.
Una configurazione che soddisfi questi vincoli (come quella illustrata nella figura a lato) è ovviamente un quadrato latino: in questo caso, infatti, al posto dei quattro Pink Floyd abbiamo le quattro figure (re, regina, fante, asso), mentre le quattro colonne del quadrato giocano il ruolo delle quattro pose della copertina di "Ummagumma".

Il modo più semplice e comune di compilare un quadrato latino di lato N è quello di disporre nella griglia NxN i numeri da 1 a N, facendo attenzione che in ogni riga e in ogni colonna non si abbiano ripetizioni.
Chi si diletta a giocare a sudoku si sarà già reso conto che quel rompicapo altro non è che la ricerca di un quadrato latino 9x9: l'unica complicazione consiste nel fatto che, oltre alle righe e alle colonne, occorre considerare anche le sottogriglie interne 3x3.

Naturalmente nessuno ci impedisce di usare, al posto dei numeri, altri simboli: ad esempio colori (come nel quadrato latino qui a lato), lettere o quello che volete voi.

Ma torniamo al nostro quadrato di carte di gioco, complicando un po' le cose.
Ora non vogliamo soltanto che su ogni riga e su ogni colonna si trovino tutti i quattro tipi di carte, senza ripetizioni, ma anche che su ogni riga e su ogni colonna si trovino tutti i quattro semi, anche loro senza ripetizioni.
Quello che otterremo sarà una specie di sovrapposizione tra due quadrati latini: i matematici la chiamano "quadrato greco-latino".
Come comporre una simile struttura di carte da gioco? Semplice, anzi ce l'abbiamo già! Se andate a controllare, infatti, il quadrato latino che abbiamo creato poco fa con le figure delle carte da gioco, è anche un quadrato greco-latino, se in esso teniamo in considerazione anche i semi delle carte.

Perché queste strutture matematiche vengono chiamate "quadrati latini" e "quadrati greco-latini"? Leonhard Euler, il grande matematico svizzero del Settecento, noto in Italia come Eulero, fu il primo a usare questi reticoli, e introdusse la convenzione di usare, per i primi, lettere dell'alfabeto latino (nello stesso ruolo delle figure del nostro mazzo di carte), e, per i secondi, coppie formate da lettere latine e lettere greche (nel ruolo delle figure e dei semi).
In un post futuro parlerò delle applicazioni dei quadrati latini e greco-latini, soprattutto nella progettazione di esperimenti in biologia, medicina e sociologia, e di come i matematici e gli informatici si siano cimentati a lungo nel problema di ricercare quadrati latini e greco-latini di dimensioni sempre più grandi.

Se la copertina di "Ummagumma", uscita nel 1969, incasellava i quattro Pink Floyd in un sorprendente quadrato latino 4x4, nove anni dopo lo scrittore francese Georges Perec (nella foto sotto) scrisse addirittura un intero romanzo, il celebre "La vita, istruzioni per l'uso", basandosi su un quadrato greco-latino 10x10 (Eulero aveva ipotizzato che non esistessero quadrati greco-latini di tale dimensione, ma si era sbagliato: nel 1959 i matematici Bose, Parker e Shrikhande ne scoprirono uno).
Il blog Popinga ha parlato di questo argomento in un suo post di circa due anni fa (mi scuso quindi se ripeterò qui alcune delle cose scritte in quel post).

Il libro di Perec descrive un condominio parigino costituito da 99 stanze disposte su dieci piani. Ogni capitolo è ambientato in una stanza, ragione per cui il romanzo è composto da 99 capitoli.
Cosa c'entra il quadrato greco-latino 10x10 scoperto nel 1959? E' presto detto.
Perec compilò 42 elenchi (esercizio assai di moda ultimamente), ciascuno formato da dieci elementi che potevano essere utilizzati come "vincoli narrativi". Ad esempio, compose un elenco di citazioni letterarie, uno di località geografiche, uno di animali, e così via.
Divise quindi gli elenchi in 21 coppie, e utilizzò 21 volte il quadrato greco-latino 10x10, riempendone ogni volta le caselle con coppie di elementi presi dai due elenchi, esattamente come noi avevamo disposto, poco fa, coppie di figure e semi in un quadrato greco-latino 4x4.
Ovviamente ogni casella del quadrato 10x10 corrispondeva ad una delle stanze, e quindi a uno dei capitoli del romanzo. Il quadrato greco-latino ebbe quindi l'effetto di far corrispondere ad ogni stanza 21 coppie di elementi presi dai 42 elenchi. Questi elementi furono utilizati da Perec come "vincoli narrativi": ad esempio, una delle coppie associate ad una stanza poteva prescrivere di menzionare, nella narrazione del capitolo corrispondente, una certa citazione letteraria e una particolare località geografica.