La Top 5 dei miei video - #2 Misteri matematici - Il mistero dell'ultimo teorema di Fermat

Al secondo posto della Top 5 del mio canale "Paolo Alessandrini - Matematica", troviamo un video relativamente recente, e cioè il primo episodio della serie "Misteri matematici", dedicato al'ultimo teorema di Fermat.

Il video è stato pubblicato circa un anno fa, l'11 aprile 2021.

Poco tempo fa si è aggiunto un secondo video a questa serie, riguardante il quinto postulato di Euclide e le geometrie non euclidee, ma il video su Fermat sembra al momento imbattibile in termini di visualizzazioni e like: ad oggi le prime sono infatti ben 1723, e i "Mi piace" 78!

Ecco l'inizio della descrizione su YouTube:

Con questo video prende vita la serie "Misteri matematici".
In che cosa consiste il cosiddetto "ultimo teorema di Fermat", ipotizzato dal grande matematico francese nel 1637?
Perché Fermat lo appuntò sullo spazio bianco di una pagina di un antico trattato e vi scrisse a fianco la celebre frase "Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina"?
Il matematico aveva davvero trovato una dimostrazione, oppure stava bluffando? E perché questa ipotesi ha ossessionato per secoli i migliori matematici, fino alla grande impresa compiuta nel 1994 da Andrew Wiles, che finalmente individuò una dimostrazione? 
Scopri tutto nel video!

Appuntamento a tra qualche giorno, per svelare la testa della classifica, cioè il mio video più visto!

Numeri coprimi, ritardi e... stomp-stomp-clap!

Ho deciso di scrivere questo post invogliato dall'imminente Carnevale della Matematica di febbraio, come da tradizione ospitato dai magnifici Rudi Mathematici. Il tema scelto è il "ritardo", declinato in tutte le sue possibili accezioni.
Gli amici Rudi ironizzano spesso sul ritardo con cui la loro celebre e-zine mensile tende a uscire: tuttavia, per quanto ne so, mai hanno perso un colpo, il che dimostra che i loro ritardi sono in realtà cosa trascurabile rispetto alla magnificenza della loro ormai più che ventennale opera divulgativa. Se c’è un colpevole e recidivo ritardatario, invece, questo è proprio Mr. Palomar, che spesso e volentieri scompare per mesi dai radar. Per questo, mi è sembrato particolarmente significativo raccogliere il guanto di sfida dei Rudi e proporre una mia variazione sul tema del “ritardo”.
Per declinare questo concetto in chiave matematica, ho deciso di prenderla larga, e di partire dai numeri coprimi. Ma che c’azzecca, chiederete voi. Abbiate pazienza e provate a seguire il mio filo logico (se ne esiste uno...).

Chiudete gli occhi e pensate a due numeri interi e positivi qualsiasi. Fatto? Bene, adesso controllate se questi due numeri hanno almeno un fattore primo in comune, oppure nessuno. Per esempio, se avete scelto il 9 e il 21, c’è un fattore primo comune a entrambi, ed è 3. Questo perché sia 9 che 21 sono divisibili per 3. Se invece avete pensato, poniamo, a 12 e 35, non c’è alcun fattore primo comune. In questo secondo caso si dice che i numeri scelti sono coprimi oppure primi fra loro. Due numeri coprimi non hanno alcun divisore comune a parte il numero 1. Detto altrimenti, due numeri sono coprimi se il loro massimo comune divisore è 1.

Un'interpretazione molto suggestiva del concetto di coppia di numeri coprimi è collegata al piano cartesiano. Immaginate che il piano cartesiano sia disseminato di paletti, posti in maniera regolare in tutti i punti di coordinate intere. Dati due numeri a e b,consideriamo il punto P le cui coordinate sono proprio a e b: se P è "visibile" dall'origine, cioè nessun "paletto" si frappone tra l'origine e il punto stesso, allora a e b sono numeri coprimi. Per esempio, nella Figura 1 si vede che i numeri 9 e 4 sono coprimi.

Figura 1 - L'interpretazione "cartesiana" delle coppie di numeri coprimi

Il concetto di numeri coprimi, come potrebbe far intuire il termine utilizzato, è legato all'idea di numero primo? In parte sì. È facile comprendere che due numeri primi sono sicuramente anche primi fra loro. Comunque, affinché due numeri siano primi fra loro non è necessario che essi siano numeri primi.

Qual è la probabilità che due numeri interi positivi scelti a caso siano coprimi? Non è facilissimo calcolare questa probabilità. Potremmo farci un’idea grossolana utilizzando un approccio statistico, cioè eseguendo una serie di prove. Prepariamo una certa quantità di bigliettini, per esempio cento, sui quali scriviamo i numeri interi compresi tra 1 e 100. Poi estraiamo a caso una coppia di bigliettini e verifichiamo se i due numeri estratti sono coprimi o no. Se ripetiamo l’operazione per un numero abbastanza elevato di volte, ci accorgeremo che le coppie sono coprime circa nel 60% dei casi. In base alla legge dei grandi numeri, questo ci autorizza a ipotizzare che la probabilità cercata sia all'incirca uguale a 60%, cioè a 0,6.
Ma questa è una dimostrazione empirica, non rigorosa dal punto di vista matematico. Proviamo allora a ragionare in modo diverso. Qual è la probabilità che, preso a caso un numero intero positivo, questo sia divisibile per un certo numero primo p? Per esempio, estraendo a caso un numero intero compreso tra 1 e 100, qual è la probabilità che esso sia divisibile per 7? Be’, i numeri divisibili per 7 sono 7, 14, 21, 28, 35, e così via. Uno su sette. Il fatto che stiamo considerando i numeri fino a 100 è irrilevante. La probabilità cercata è quindi, in generale, uguale a 1/p.
E se invece di un solo numero ne estraiamo due, a caso? Qual è la probabilità che entrambi siano divisibili per il numero primo p? Trattandosi dell’intersezione di due eventi indipendenti, essa è uguale al prodotto delle singole probabilità, cioè a

È un po’ come la probabilità di ottenere 2 lanciando due dadi: equivale alla probabilità di ottenere 1 su entrambi i dadi, cioè

 
La probabilità che nessuno dei due numeri estratti a caso sia divisibile per il numero primo p, a
questo punto, è la probabilità dell’evento complementare, cioè è uguale a

È analogo a determinare la probabilità di non ottenere 2 lanciando due dadi: è uguale a

I due numeri scelti a caso sono coprimi se entrambi non sono divisibili per qualsiasi numero primo. Anche in questo caso siamo di fronte all'intersezione di eventi indipendenti: la probabilità che questo avvenga è quindi uguale al prodotto

Figura 2 - Eulero in un
francobollo svizzero

Lo so, probabilmente starete pensando: adesso che abbiamo espresso la nostra agognata probabilità in questo strano modo, cosa ci abbiamo guadagnato? Apparentemente non è facile calcolare il valore di quella produttoria e nemmeno stimare se esso si aggira intorno a 0,6 come ipotizzato mediante le prove empiriche.
Eppure, a chi ha qualche familiarità con l’analisi e con la teoria analitica dei numeri sarà forse venuta in mente la celebre formula del "prodotto di Eulero": 

con x reale maggiore di 1.


Da questa formula deriva che la nostra probabilità è uguale a

cioè all'inverso della funzione zeta calcolata in 2. Ora, dobbiamo dirci fortunati, perché lo stesso Eulero ci viene in soccorso nuovamente, questa volta con la sua famosa soluzione del “problema di Basilea”, risalente al 1735: la zeta di Riemann calcolata in 2 vale esattamente

per cui possiamo esultare: la probabilità che due numeri interi positivi scelti a caso siano coprimi è uguale all'inverso di quel numero, ovvero a

Quanto vale questo numero? Circa 0,608: e questo conferma i risultati delle prove empiriche di cui parlavo prima.
Un'avvertenza per il lettore curioso e desideroso di approfondimento: in un mio post di otto anni fa avevo parlato di questi due risultati di Eulero. In quel post sottolineavo la sorprendente presenza di π in un teorema che nulla ha a che vedere con la geometria, ma che scaturisce da una serie formata dagli inversi dei quadrati dei numeri interi positivi. Anche in questo caso non possiamo trattenere un’esclamazione di meraviglia nel constatare come la celebre costante dei cerchi salti fuori anche in questo calcolo di probabilità relativa a coppie di numeri coprimi.

Benissimo. Vi starete però chiedendo cosa c’entra tutto questo con l’idea di ritardo. Chi ha letto il mio libro “Matematica rock. Storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin” (Hoepli, 2019) sa che il capitolo 2 è dedicato alla celebre base ritmica di "We Will Rock You" dei Queen (sì, proprio quella: "stomp-stomp-clap! stomp-stomp-clap!") e in particolare a come l’autore Brian May riuscì a rivestirla di un effetto di riverbero basato appunto su numeri coprimi.

Come ben sa chi si occupa di musica, il riverbero si verifica quando un’onda sonora viene riflessa, anche più volte, da superfici poste lungo il proprio cammino: l’ascoltatore percepisce così non soltanto l’onda originaria, ma una miscela formata da questa e dalle onde riflesse.
Per simulare artificialmente un effetto di riverbero, il suono originale viene sovrainciso assieme a sue copie “ritardate” di qualche millisecondo (ms), in modo da imitare l’effetto del rimbalzo su una superficie riflettente (per la verità l’intensità dei suoni ritardati viene anche attenuata, così come nella realtà gli echi sono sempre meno forti del suono originale, avendo perduto parte della loro intensità nel corso del loro cammino).
Più precisamente, il chitarrista dei Queen prese ciascuno degli "stomp" e dei "clap" (registrati dai quattro della band in una chiesa sconsacrata alla periferia di Londra) e lo sovraincise più volte, introducendo ritardi diversi e, una volta misurati in millisecondi, primi fra loro.
Per esempio, come indicato nella Figura 3, potrebbe aver scelto 4 ms, 9 ms e 25 ms.

Figura 3 - Una possibile scelta di ritardi coprimi nel riverbero di "We Will Rock You"

Perché questa singolare scelta? Supponiamo che May non avesse scelto ritardi coprimi: ci sarebbe stato allora almeno un divisore comune ad alcuni di questo ritardi. Per fissare le idee, poniamo che tra i ritardi introdotti sul nostro "stomp", vi sia un divisore comune uguale a 10 ms.
L’onda sonora associata al nostro "stomp" è la somma delle sue armoniche, ciascuna caratterizzata da una frequenza multipla di quella del suono fondamentale (o, in modo equivalente, da un periodo che è divisore del periodo del suono fondamentale): se tra queste armoniche ve n’è una con periodo pari a 10 ms, essa presenterà i propri picchi di massima intensità intervallati da una distanza temporale di 10 ms.
In altri termini, se all'istante zero l’onda presenta un picco nel punto A, essa presenterà nello stesso punto un picco di uguale intensità all'istante 10 ms, all'istante 20 ms, all'istante 30 ms, e così via.

Figura 4 - La copertina di "Matematica rock"

Poiché 10 ms è divisore comune tra i ritardi scelti per il riverbero, in almeno due di questi istanti cominceranno a sommarsi anche alcune ripetizioni del nostro "stomp" perfettamente in fase con l’onda originaria, dando origine a un’onda complessiva più intensa di quella iniziale.
L’effetto finale sarà un’amplificazione selettiva delle componenti armoniche caratterizzate da periodi uguali o multipli rispetto ai ritardi scelti per il riverbero. In modo analogo, altre frequenze risulteranno fortemente attenuate, se non cancellate del tutto, come risultato della somma tra picchi e valli.
Qual è la conseguenza di tutto questo? Un’alterazione sgradevole e poco realistica del suono riverberato. Insomma, qualcosa da evitare assolutamente.
Scegliendo ritardi coprimi, Brian May evitò questo rischio.
Se volete approfondire la questione complessiva della matematica di "We Will Rock You", potete trovare pane per i vostri denti nel mio libro "Matematica rock".
Se la base ritmica del famoso pezzo dei Queen è, ancora oggi dopo più di quarant'anni, così potente, irresistibile e trascinante, un po’ di merito lo dobbiamo riconoscere  alla matematica, in particolare ai numeri coprimi, e anche ai ritardi. Vedete? Il ritardo non viene sempre per nuocere.
Delay will rock you!

I ponti di Eulero

Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero, era un costruttore di ponti. Non mi riferisco ai sette ponti che scavalcano il fiume Pregel nella città prussiana di Konigsberg, legati al famoso problema topologico che Eulero risolse nel 1736, ma alle innovative connessioni che il geniale matematico svizzero riuscì a stabilire tra molti rami diversi della matematica.
I ponti scoperti da Eulero collegarono tra loro, in modo spesso sorprendente, settori come la teoria dei numeri, l’analisi, lo studio dei numeri complessi, la topologia, la geometria analitica.
Uno di questi ponti è la celebre identità scoperta da Eulero nel 1748:






Questa formula viene spesso considerata “la più bella di tutta la matematica” perché raccoglie in una meravigliosa sintesi alcuni degli operatori e dei numeri fondamentali della matematica: l'addizione, l'esponenziale, lo zero, l'uno, il numero di Nepero e, la costante immaginaria i e il celebre π.
A proposito di π, uno dei legami più interessanti che Eulero esplorò, sotto molteplici punti di vista, è quello tra il fatidico rapporto geometrico e i numeri primi.
Che cosa lega tra loro queste due nozioni matematiche? Apparentemente nulla. π è un numero irrazionale, addirittura trascendente, come ho accennato in questo mio post, mentre i numeri primi sono i numeri naturali refrattari alla divisione.
Prima del Settecento, π era ritenuto una costante d'interesse esclusivamente geometrico. Eulero fu il primo a comprendere che alcuni strani nessi congiungevano π ai numeri primi, passando attraverso concetti non banali come le serie convergenti e le funzioni.
Ad esempio, modificando opportunamente il segno di alcuni termini della celebre serie armonica, Eulero ottenne questa sorprendente equazione:

dove i segni dei termini, a parte i primi due, si determinano in questo modo:
- segno positivo se il denominatore è un numero primo del tipo (4m – 1);
- segno negativo se il denominatore è un numero primo del tipo (4m + 1);
- prodotto dei segni dei singoli fattori se il denominatore è un numero composto.
Mentre, com'è ben noto, la serie armonica non converge, cioè tende verso un valore infinito, questa particolare serie converge verso π molto lentamente: per arrivare alla scadente approssimazione 3,01 occorrono 500 termini, per determinare l'1 come prima cifra decimale ne servono 5000, e per arrivare a 3,14 bisogna utilizzarne ben 3.000.000.
Nonostante la scarsa utilizzabilità pratica, tuttavia, questa identità è una delle più notevoli della matematica, soprattutto per l'inatteso coinvolgimento del concetto di numero primo.

Un altro dei ponti euleriani tra π e i numeri primi è legato al celebre problema di Basilea e alla famosa formula prodotto di Eulero.
Il problema era stato proposto quasi un secolo prima dal matematico bolognese Pietro Mengoli, il quale aveva inutilmente cercato di calcolare una formula (o, come dicono i matematici, una "forma chiusa") che esprimesse il valore al quale tende la somma degli inversi dei quadrati di tutti i numeri naturali, cioè:

Ancora una volta si trattava di una serie imparentata con la serie armonica: in questo caso la differenza non stava nei segni dei termini, ma nella presenza dei quadrati al denominatore di ogni termine.
I quadrati al denominatore rendono i termini più piccoli e fanno sì che la serie converga. Non è difficile calcolare empiricamente che il valore al quale tende si aggira intorno a 1,64493: tuttavia nessuno fino al 1735 riuscì a determinare una forma chiusa per questo valore.
La trovò in quell'anno il nostro Eulero, il quale dimostrò che: 

 

Dividendo per 6 il quadrato di π si ottiene proprio quel fatidico valore 1,64493...
Eulero si accorse anche che il risultato poteva essere elegantememente generalizzato a tutti i casi in cui, al posto dei quadrati, compaiono potenze pari.
Ma questa volta cosa c'entrano i numeri primi? C'entrano, perché Eulero scoprì che, manipolando opportunamente quella somma degli inversi dei quadrati, si poteva ricavare la seguente formulazione alternativa:

dove il prodotto al secondo membro coinvolge tutti i numeri p primi.
Ad esempio, con s=2 si otteneva il caso particolare con il valore pari al quadrato di π diviso per 6.
Ecco quindi un nuovo strano ponte euleriano tra π e i numeri primi. Inoltre, ancora una volta π saltava fuori a sorpresa da un teorema che univa l'analisi matematica (le serie) e la teoria dei numeri (i numeri primi), ma che nulla c'entrava con cerchi e altre figure geometriche, i tradizionali luoghi nei quali ci si aspetta di trovare π.

Il teorema racchiuso nell'equazione esposta sopra prende il nome di "formula prodotto di Eulero", e riveste una grande importanza nella storia della matematica, soprattutto perché aprì la strada a molte fondamentali scoperte successive.
Il divulgatore inglese John Derbyshire, nel suo bel saggio "L'ossessione dei numeri primi", pubblicato in Italia da Bollati Boringhieri, ha ribattezzato questo teorema come la "Chiave d'Oro", sottolineando la sua rilevanza e la sua utilità.
Il primo membro dell'equazione non è altro che la definizione della celeberrima funzione zeta, che Bernhard Riemann esplorò a fondo più di un secolo dopo Eulero, introducendo le metodologie dell'analisi complessa e comprendendo meglio i suoi legami con i numeri primi.
Il ponte gettato da Eulero nel 1735 rappresentò il primo passo di un cammino appassionante, che portò alla formulazione dell'ipotesi di Riemann e alla definizione di una serie di misteri tuttora irrisolti.