Da Cher al Festival di Sanremo 2021: la matematica dell'Auto-Tune

Se la settimana scorsa avete seguito il Festival di Sanremo, e magari avete anche prestato attenzione all'immancabile contorno di gossip e polemiche, vi sarete accorti che si è parlato spesso di una diavoleria algoritmica chiamata Auto-Tune, oggi utilizzata da molti cantanti per correggere intonazioni difettose e ottenere particolari effetti.

Andy Hildebrand, inventore dell'Auto-Tune
(fonte: priceonomics.com)

La storia dell'Auto-Tune ebbe inizio esattamente un quarto di secolo fa, e fu il frutto di una intuizione matematica. Il suo inventore, lo statunitense Andy Hildebrand, non era esattamente uno studente modello negli anni delle elementari e delle medie. Al liceo Andy fu finalmente folgorato dalla passione per la scienza e cominciò a studiare intensamente, laureandosi dapprima in scienza dei sistemi all'Università del Michigan, e conseguendo poi un master e un dottorato in ingegneria elettrica all'Università dell'Illinois.

Terminati gli studi nel 1976, Hildebrand fu assunto dalla multinazionale petrolifera Exxon. Il delicato incarico che gli fu subito assegnato riguardava un serio problema rilevato in uno strumento di monitoraggio sismico. Il giovane ingegnere escogitò una brillante soluzione attingendo dalle sue conoscenze di matematica avanzata, e l'accaduto lo convinse a intraprendere un percorso imprenditoriale autonomo dove avrebbe potuto mettere a frutto il suo talento. Così, nel 1979 fondò una sua società e si buttò nel business delle mappe sismiche a beneficio dell'industria petrolifera. 

Dopo un decennio di successi e di ingenti guadagni, decise di ritirarsi e di tornare a una delle sue passioni giovanili: la musica. Cominciò a studiare composizione musicale alla Rice University di Houston e qualche anno dopo fondò una nuova società, la Antares Audio Technology, dedicata allo sviluppo di software di elaborazione delle tracce audio.

Nel 1995, Hildebrand si trovava a pranzo con alcuni colleghi dopo una conferenza. A un certo punto, lui stesso lanciò una domanda insolita: "Che cosa servirebbe inventare?" La moglie di uno dei colleghi rispose scherzosamente: "Perché non crei una macchina che mi permetta di cantare intonata?"

La proposta cadde nel vuoto: pochi minuti dopo il gruppo di amici stava già parlando d'altro. Lo stesso Hildebrand se ne dimenticò: ma evidentemente l'idea si era insediata in un angolino della sua testa, se è vero che mesi dopo gli tornò in mente e gli sembrò improvvisamente un'opportunità interessante.

Andy Hildebrand (fonte: priceonomics.com)

Hildebrand si mise al lavoro e cercò di ragionare su come potesse essere affrontato il problema. 

Le fasi dell'algoritmo risolutivo erano necessariamente tre.

La prima consisteva nell'analizzare la traccia vocale e identificare tutte le note cantate.

La seconda era il confronto tra ogni nota rilevata e la nota "giusta", ovvero quella che sarebbe stata eseguita da un cantante perfettamente intonato.

La terza fase era costituita dalla correzione di ogni nota imprecisa, nella misura determinata nella seconda fase (mentre le note riconosciute come già intonate potevano restare invariate).

La parte più difficile era la prima: identificare le note della melodia, ovvero risolvere il problema di pitch detection, è cosa piuttosto facile per un essere umano, soprattutto se ha ricevuto una certa educazione musicale, ma rappresenta uno scoglio molto oneroso per un algoritmo informatico. 

Hildebrand si ricordò che, quando faceva l'ingegnere petrolifero, aveva risolto problemi abbastanza analoghi, anche se non in ambito musicale, su set di dati giganteschi, e la chiave del successo era stata l'utilizzo di un particolare attributo dei segnali chiamato autocorrelazione.

L'autocorrelazione di un segnale (per esempio una traccia audio) è uno strumento matematico fondamentale nella teoria dei segnali, in grado di indicare quanto siano tra loro "somiglianti", o dipendenti l'uno dall'altro, i diversi valori assunti da un certo segnale f(t) per diversi valori del tempo t.

Se un segnale varia molto lentamente nel tempo, è probabile che, considerati due valori f(t) e f(t+Δt), questi saranno abbastanza simili tra di loro, per cui l'autocorrelazione assumerà un valore positivo (relativamente alto). Se invece un segnale varia molto rapidamente, i due valori saranno molto diversi e l'autocorrelazione assumerà un valore prossimo a zero. Capite bene che, se l'autocorrelazione riesce a rilevare valori che si ripetono simili nell'evoluzione di un segnale, essa può aiutare a individuare eventuali componenti periodiche presenti all'interno di un segnale "rumoroso": questo equivale a rilevare le frequenze dominanti presenti in questo segnale, ovvero le note che con ogni probabilità sono state suonate o cantate nella traccia musicale.

Hildebrand progettò un algoritmo che riusciva a identificare le note di una melodia sfruttando l'autocorrelazione, ma si imbatté in un ostacolo: l'algoritmo risultava estremamente complesso.

Tenendo conto che il tipico set di dati da elaborare, contenente le informazioni contenute nella traccia audio di un brano musicale, era tipicamente molto grande, la conseguenza era un allungamento inaccettabile dei tempi richiesti per portare a termine l'elaborazione.

A Hildebrand questo non piaceva, perché non era compatibile con il suo ambizioso obiettivo: riuscire a correggere un'esecuzione canora imperfetta anche "in diretta", cioè mentre il cantante sta offrendo la sua performance.

L'ingegnere americano si rimboccò le maniche e scoprì che l'algoritmo poteva essere reso drasticamente più efficiente. Anni dopo, Hildebrand raccontò:

Mi resi conto che la maggior parte della matematica contenuta era ridondante e poteva essere semplificata. La mia versione semplificata prevedeva quattro moltiplicazioni anziché un milione. Era un trucco, un trucco matematico.

La prima versione dell'Auto-Tune fu rilasciata il 19 settembre 1997 e funzionava originariamente solo su Apple Macintosh. Circa un anno dopo, questa tecnologia rivoluzionaria venne utilizzata per la prima volta in un disco, e l'impatto commerciale fu assolutamente strepitoso. 

Sto parlando del singolo "Believe", pubblicato nell'ottobre 1998 dalla cantante americana Cher: in questo caso l'intento non era di correggere eventuali difetti di intonazione (non credo che la cantante in questione ne avesse bisogno), ma di ottenere un particolare effetto artificiale nel timbro vocale di Cher.

Il singolo ebbe un successo gigantesco: più di 11 milioni di copie vendute, premi e primati in classifica ovunque nel mondo.

Ve la ricordate la canzone-tormentone, vero? Riascoltatela qui:

Personalmente ricordo ancora lo sbalordimento che provai, ventitre anni fa, al primo ascolto di questo brano. Già in alcuni versi della prima strofa ("And I can't break through" e "It's so sad") la voce di Cher ci arriva come "metallica" e "robotizzata". Quei versi sconvolsero per sempre il mondo della musica pop: da "Believe" in avanti, nulla sarebbe più stato lo stesso.

La domanda che sorge spontanea, però, è la seguente: perché l'Auto-Tune, nato per aggiustare l'intonazione di cantanti mediocri, è diventato subito anche uno strumento per creare effetti speciali? Che cosa lega la correzione delle altezze delle note con il timbro robotico che ascoltiamo in "Believe"?

Nella figura successiva è illustrata la porzione di una traccia vocale registrata e visualizzata dall'applicazione Auto-Tune di Antares. Il grafico ha il tempo sull'asse delle ascisse e l'altezza delle note sull'asse delle ordinate.

Come vedete, il saliscendi delle voce del cantante assomiglia a una specie di montagna russa: le parti più in alto corrispondono alle note più acute, quelle più in basso alle note più gravi.

In alcuni tratti il profilo si stabilizza per qualche istante su una sequenza pressoché orizzontale (salvo lievi oscillazioni). Questi "pianerottoli", rilevati dall'applicazione ed evidenziati mediante rettangoli, corrispondono alle note "ferme" delle melodia e costituiscono la stragrande maggioranza della curva rilevata, mentre le rampe che congiungono tra di loro i rettangoli si riferiscono ai rapidi glissati (o, ricorrendo a un termine musicale tecnico, i "portamenti") che, inevitabilmente, un cantante esegue per passare da una nota all'altra.

Il risultato principale dell'Auto-Tune è di determinare con precisione le altezze dei pianerottoli e confrontarle con le frequenze convenzionali previste dal temperamento equabile: se il programma decide che una di queste altezze è imprecisa, essa viene spostata verso l'alto oppure verso il basso.

Come fa l'Auto-Tune a prendere queste decisioni?

Solitamente, prima di avviare il processo, viene richiesto di settare la tonalità del brano musicale: sulla base di questa indicazione il programma riesce poi a capire se una nota è corretta oppure no.

Per esempio, se la canzone è in do maggiore, ci si aspetta che le note della melodia rientrino tra quelle della scala di do maggiore: do, re, mi, fa, sol, la e si. Se uno dei "pianerottoli" corrisponde a una frequenza vicina al sol# (sol diesis), l'Auto-Tune concluderà che si tratti di un difetto di intonazione, e sposterà il rettangolo più in alto (la) oppure più in basso (sol), a seconda della distanza minore.

In alternativa, anziché selezionare una tonalità precisa, è anche possibile impostare una scala cromatica di 12 suoni: in questo modo l'Auto-Tune considererà accettabile una qualsiasi delle 12 note (do, do#, re, re#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, si) e sposterà ogni eventuale nota imprecisa verso la più vicina tra queste 12.

Ma un'impostazione forse ancora più importante, cruciale per comprendere la risposta alla domanda di prima, è quella relativa alla durata dei portamenti tra una nota e l'altra.

Se per questa durata viene ammesso un valore alto, si concede che tra una nota e l'altra possa trascorrere un tempo relativamente lungo. Le note ferme vengono così corrette dal programma (se necessario), ma le rampe di congiunzione restano invariate, sia nella forma del loro profilo che nella durata. Il risultato finale sarà una traccia corretta nell'intonazione, ma senza artificiose distorsioni timbriche.

Se invece viene settata una durata bassa, i portamenti vengono quasi eliminati e si ottengono bruschi passaggi tra una nota corretta e l'altra, con la conseguenza di creare il fatidico "effetto Cher".

I produttori che utilizzano l'Auto-Tune per elaborare le loro tracce audio si trovano spesso a dover scegliere tra una versione morbida e naturale, che si limita a correggere i difetti di intonazione, e una versione aggressiva, che può portare a effetti robotici molto marcati. 

Da "Believe" in poi, l'invenzione di Hildebrand è diventata sempre più popolare negli studi di registrazione e produzione musicale.

Il critico musicale inglese Simon Reynolds ha scritto nel 2018 un'accurata e interessante "storia definitiva" dell'Auto-Tune, in cui il celebre brano di Cher viene definito "un assaggio del pop che sarebbe arrivato negli anni successivi".

All'inizio gli effetti speciali creati dall'Auto-Tune venivano spesso scambiati per quelli prodotti dal vocoder, glorioso sistema di sintesi sonora in grado di attribuire a una voce umana le caratteristiche timbriche di un altro strumento, creando un'onda sonora avente la voce come segnale modulante e il secondo strumento come segnale portante. Il vocoder era stato utilizzato diffusamente negli anni Settanta da band come i Pink Floyd, i Kraftwerk, i Rockets, The Alan Parsons Project, e conobbe un nuovo momento di successo dagli anni Novanta soprattutto grazie ai francesi Daft Punk e agli italiani Eiffel 65.

Ma torniamo all'Auto-Tune. Dopo Cher, molti altri artisti lo hanno impiegato, soprattutto nell'ambito della musica hip hop. Il rapper americano T-Pain ne ha fatto un uso così ampio che il cosiddetto "effetto Cher" viene spesso denominato "effetto T-Pain". Altri artisti hip hop come Snoop Dogg, Lil Wayne, Kanye West, Black Eyed Peas, Future, Playboi Carti, Travis Scott, Lil Uzi Vert lo hanno impiegato nelle loro produzioni.

Anche una grande rock band come i Radiohead ha utilizzato l'Auto-Tune: nel loro album Amnesiac del 2001 è stata usata nel brano "Pulk/Pull Revolving Doors", per trasformare alcuni passaggi parlati in frasi melodiche, mentre in "Packt Like Sardines in a Crushd Tin Box" l'algoritmo è stato impiegato per creare "un sound nasale e spersonalizzato".

Come spesso accade per le invenzioni influenti, anche l'Auto-Tune è al tempo stesso osannato e odiato. Il suo creatore, Andy Hildebrand, lo ha definito un prodotto incredibilmente complesso, frutto di anni di studio rigoroso e di conoscenze matematiche sofisticate. La stessa Cher ha spesso ritenuto un vanto essere stata la prima pop star a usarlo. 

Ancora più numerose, oggi più che mai, sono però le voci contrarie: l'Auto-Tune è spesso visto come un motivo di disonore, una vergogna da nascondere in quanto indice di probabile mediocrità vocale. La rivista Time lo ha definito "una delle 50 peggiori invenzioni del Novecento".

Al Festival di Sanremo della settimana scorsa, molti cantanti in gara lo hanno utilizzato: per esempio Fedez, Fasma e Madame. Orietta Berti (ehi, mai avrei pensato di citare Orietta Berti su queste pagine: ma si sa, la matematica ci porta ovunque), intervistata nei giorni della kermesse sanremese, ha affermato:

Noi non usiamo dei mezzi sofisticati. Siamo all’antica. Vogliamo le spie, l’auricolare, il microfono normale. Così uno se sa fare, sa fare. Se non sa fare va a casa.

In molti casi è probabile che l'obiettivo principale sia l'ottenimento dell'effetto Cher, ma non escludo che questo possa essere anche un pretesto per guadagnare, con l'occasione, anche l'aggiustamento dell'intonazione.

Per quanto mi riguarda, le mie orecchie trovano questo effetto ormai decisamente usurato: eppure sembra che molti giovani lo apprezzino e lo considerino quasi indispensabile per rendere ascoltabile una canzone.

Solo il tempo ci dirà se si tratta di una tendenza passeggera o di qualcosa di più. Nel frattempo, io provo piacere nel constatare che anche lì dentro c'è la matematica: e anche parecchia.

La matematica delle scale musicali: la storia continua

Molti anni fa, agli albori di questo blog, pubblicai tre post che trattavano un argomento che considero molto attraente: la storia delle scale musicali viste da una prospettiva prevalentemente matematica.
Ecco i titoli e i link di quegli articoli:
Pitagora e la scoperta della musica
Pitagora e il cerchio che non si chiude
La scala "naturale" da Tolomeo a Zarlino

Gli articoli riscossero un notevole entusiasmo (per il primo ricevetti addirittura i complimenti della celebre cantante Antonella Ruggiero, che si disse attenta lettrice di questo blog). Tuttavia, per vari motivi la serie non proseguì oltre il terzo episodio.
In anni successivi, avevo però ripreso l'argomento della matematica delle scale musicali in un'altra serie di articoli, questa volta pubblicata sul sito di XlaTangente, un'iniziativa curata da Matematita, il Centro Interuniversitario di Ricerca per la Comunicazione e l'Apprendimento Informale della Matematica, con sede principale presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Milano.
Gli articoli andarono a confluire in una rubrica, intitolata "Matematica e... musica". Riporto qui i riferimenti ai sette articoli, sperando di fare cosa gradita ai miei lettori:
Parte 1: dal monocordo agli intervalli musicali
Parte 2: la costruzione della scala Pitagorica
Parte 3: tono, limma e... logaritmi
Parte 4: un cerchio che non si chiude
Parte 5: Zarlino e la scala naturale
Parte 6: La scala naturale e i suoni armonici
Parte 7: Largo alle terze e alle seste!

Ebbene, dato che è sempre un peccato lasciare una cosa a metà, e anche se è passato molto tempo, riprenderò la saga della matematica delle scale musicali e pubblicherò su questo blog alcuni nuovi post.
Attendevi, quindi, cari lettori, un quarto capitolo riguardante i difetti della scala naturale tolemaico-zarliniana. A presto!

Matematica e... musica

Molti di voi conoscono già il sito Xlatangente, noto per realizzare una bellissima rivista online di divulgazione matematica. Oltre alla rivista, il sito offre una ricchissima varietà di contenuti e rubriche, tutti inerenti al mondo della matematica.
Ho apprezzato fin da subito il taglio leggero e giocoso, eppure sempre rigoroso, che costituisce il marchio di fabbrica di Xlatangente. Inutile dire che il giorno in cui i responsabili di questo progetto, principalmente Anna Betti e Gilberto Bini, mi hanno contattato per propormi di collaborare al sito, è stato per me un giorno di felicità.

Già molti mesi fa era uscita una intervista al sottoscritto intorno a "La matematica dei Pink Floyd", che poi è stata inserita nel numero 3 della prestigiosa rivista.
Da oggi parte la rubrica "Matematica e... musica", nella quale racconterò, senza cadenza fissa, le mie esplorazioni nel mondo dei legami tra la scienza dei numeri e l'arte dei suoni (o, se preferite, tra l'arte dei numeri e la scienza dei suoni).

Come scrivo nella breve presentazione della rubrica:

Il filosofo tedesco G. W. von Leibniz affermò che la musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza essere conscia di contare.
La musica, in effetti, non è soltanto un'arte, ma anche una disciplina profondamente permeata di aspetti scientifici, e in particolare matematici.
In questa rubrica cercheremo di esplorare questi collegamenti: ciò ci aiuterà a scoprire come la cultura non sia formata da compartimenti stagni, ma, piuttosto, da facce appartenenti a un unico poliedro.

Il primo articolo, "La matematica delle scale musicali (parte I)" è già online.
Ringrazio la redazione di Xlatangente per l'opportunità offertami.
Buona lettura a tutti!

La matematica di Messiaen

Uno dei più grandi compositori del Novecento è stato il francese Olivier Messiaen. 
Nato ad Avignone nel 1908, entrò al conservatorio di Parigi all'età di undici anni, ed ebbe insegnanti come Paul Dukas (il celebre autore del poema sinfonico L'apprendista stregone), Marcel Dupré e Charles-Marie Widor.
Lo stile compositivo di Messiaen era estremamente interessante.
Interessato alle tradizioni musicali orientali, in particolare a quella indiana, a quella giapponese e, seguendo le orme di Claude Debussy, al gamelan indonesiano, fu anche un attento studioso della musica dell'antica Grecia.  Fu un entusiasta sperimentatore delle "onde Martenot", uno dei primi strumenti elettronici della storia, presentato al pubblico nel 1928.
Più che un compositore amava considerarsi un ornitologo, ed era fermamente convinto che gli uccelli fossero i più grandi musicisti della Terra. Nel corso dei suoi molti viaggi in giro per il mondo, registrò il canto di molte specie di volatili, e ne realizzò trascrizioni, come per esempio quelle del suo Catalogue d'oiseaux per pianoforte, completato del 1958.
Era in grado di sperimentare fenomeni di sinestesia, cioè percepiva spontaneamente particolari colori quando ascoltava determinati accordi musicali, e sfruttò questa sua capacità nella sua attività di compositore.
Cosa curiosa, Messiaen era profondamente cattolico, il che si riflette nel carattere sacro di molte delle sue opere.
Nel 1940, quando la Francia venne invasa dai nazisti, Messiaen fu catturato e trasportato come prigionero nel campo di concentramento Stalag VIII-A, nei pressi della città di Görlitz. Pur nella sventura, due circostanze furono favorevoli al compositore francese: il responsabile del campo era appassionato di musica, e, cosa ancor più sorprendente, tra i propri compagni di prigionia Messiaen trovò altri tre musicisti, il violinista Jean le Boulaire, il violoncellista Etienne Pasquier e il clarinettista Henri Akoka.
Il compositore non si lasciò sfuggire l'opportunità, e d'accordo con i suoi tre compagni, compose un quartetto per pianoforte, violino, violoncello e clarinetto. Il Quatuor pour la fin du Temps (in italiano Quartetto per la fine del Tempo) fu eseguito per la prima volta il 15 gennaio 1941, davanti a quattrocento persone tra guardie e prigionieri. Messiaen stesso per l'occasione suonò il pianoforte.
Pochi mesi dopo Messiaen fu liberato, e fu nominato professore di armonia al conservatorio di Parigi. Dal 1966 al 1978, nello stesso conservatorio, fu insegnante di composizione. Molti tra i suoi allievi divennero celebri: per esempio Pierre Boulez (che prima di dedicarsi alla musica aveva intrapreso studi di matematica), George Benjamin, Iannis Xenakis, Alexander Goehr e Karlheinz Stockhausen.

Il Quatuor è oggi considerato uno dei pezzi di musica da camera più importanti di tutto il Novecento: e come gran parte dell'opera di Messiaen, contiene in sè molta matematica.
Nel sesto degli otto movimenti del brano, intitolata Danse de la fureur, pour les sept trompettes, Messiaen sperimenta l’utilizzo dei cosiddetti ritmi additivi. La tecnica è abbastanza semplice: si prende un ritmo che di per sé sarebbe regolare, e lo si scompagina aggiungendo al suo interno una breve nota, ad esempio una semicroma.
Un ritmo additivo consiste, in sostanza, nell’alternanza di celle ritmiche diverse, ad esempio binarie e ternarie, o più in generale nella sovrapposizione di ritmi diversi tra di loro, a creare ciò che Messiaen chiamava “politempo”.
Il compositore avignonese ideò questo concetto ispirandosi ai “tala”, irregolari strutture ritmiche comuni nella musica indiana, e lo ritrovò in un’opera da lui molto amata: la celebre Sagra della primavera di Igor Stravinsky.

L’utilizzo di ritmi irregolari è uno dei marchi di fabbrica più caratteristici dell’opera di Messiaen.
Lo studio della musica medievale e le suggestioni orientali ed elleniche lo avevano infatti condotto a proseguire l’opera iniziata da Claude Debussy: esplorare l’utilizzo di strutture ritmiche complesse e comporre musiche che i musicisti definiscono “ametriche”. Come a dire: abbiamo a che fare con ritmi talmente irregolari che ci sentiamo autorizzati ad affermare che di ritmo, almeno quello tradizionale al quale siamo abituati, non ce n’è proprio.
Nel 1944 l’ex prigioniero del campo di concentramento Stalag VIII-A descrisse nel trattato Technique de mon langage musical come riuscì ad affrancarsi dalla prigionia della battuta musicale classica.
Secondo Messiaen, niente in natura è veramente regolare. I rami di un albero, le onde del mare, affermò il musicista francese, non sono modellati su pattern regolari, ma su strutture complesse, imprevedibili. Così deve fare anche la musica: evitare i ritmi troppo ripetitivi e ricercare schemi più insoliti.
Non so a voi, ma a me questo fa venire in mente la geometria frattale. “Messiaen, il Mandelbrot della musica”, verrebbe da titolare.

Parlando di matematica nella ricerca ritmica di Messiaen, non possiamo tralasciare l’utilizzo di simmetrie e sistemi combinatori.
Già in un’opera giovanile come gli Huit préludes per pianoforte del 1929 il compositore francese sperimentò i cosiddetti ritmi non retrogradabili: pattern palindromi, e per questo non invertibili.
Nel lavoro orchestrale Chronochromie del 1960, Messiaen utilizzò una base di 32 durate diverse, le quali, sottoposte a un sistema di permutazioni, danno origine a diversi pattern ritmici. Ogni pattern viene assegnato, nei vari punti del pezzo, a uno strumento singolo o a più strumenti insieme, in modo da creare effetti inattesi e affascinanti complessità.
Messiaen affermò che scrivere musica su base combinatoria non doveva condurre all’estremo di una totale assenza di intervento umano nel processo compositivo. Nelle Chronochromie, ad esempio, mantenne soltanto le permutazioni che lui ritenne "interessanti”.

Da bachtrack.com

Nella sua ricerca di un ritmo il più possibile naturale, ametrico e imprevedibile, Messiaen ideò un'altra tecnica combinatoria, molto simile a quella usata nelle Chronochromie, ma basata sui numeri primi.
La procedura consiste nel sovrapporre tra loro melodie caratterizzate da lunghezze uguali a diversi numeri primi: il risultato è la creazione di ritmi imprevedibili.
Il musicista di Avignone era letteralmente ossessionato da questi numeri. Li vedeva come un simbolo dell'indivisibilità di Dio, ma era affascinato anche dal loro mistero: un mistero correlato a quello "strano fascino dell'impossibilità" che secondo lui doveva contribuire a generare l'"arcobaleno teologico", fine ultimo del linguaggio musicale.

In Les Anges, sesto movimento della Nativité du Seigneur, pezzo organistico del 1935, una delle melodie base, che riproduce un canto di uccelli, è fondata su numeri primi di crome e semicrome.
Nel 1950 Messiaen completò i Quatre études de rythme, composizioni per pianoforte. Nel terzo di questi studi, intitolato Neumes rythmiques, vengono utilizzati quattro motivi lunghi rispettivamente 41, 43, 47 e 53 semicrome: ovviamente numeri primi.

Ma l'utilizzo più celebre dei numeri non divisibili lo troviamo nel già citato Quatuor. Nel primo movimento, intitolato Liturgie de cristal, il pianoforte e il violoncello suonano ripetutamente un tema, mentre il clarinetto e il violino ne suonano un altro, che vuole rappresentare un canto di uccelli. I due temi sono formati rispettivamente da 17 e 29 note. Dato che entrambi i numeri sono primi, le due melodie torneranno a sovrapporsi nello stesso modo soltanto dopo 17 x 29 = 493 note.
Lo scopo di tutto questo è piuttosto evidente: riprodurre in musica l'idea di eternità, di sospensione del tempo.
Avrete fatto caso a questa strana connessione tra i numeri primi e il canto degli uccelli. Be', questo non deve stupire, se pensiamo alla considerazione che Messiaen aveva per i numeri primi, e al fatto che il musicista legava spesso gli uccelli alla sfera divina.
D'altra parte, anche nell'apertura di Réveil des oiseaux, pezzo del 1953 per pianoforte e orchestra, la durata di ogni strofa del canto d'uccelli è pari a un numero primo.

Molta altra matematica si cela nella musica di Messiaen. Ad esempio, in quelle particolari scale che lui stesso chiamò "modi a trasposizione limitata". Ma qui mi fermo, riservandomi eventualmente di ritornare sul tema in successivi post.

La scala "naturale" da Tolomeo a Zarlino

I miei diciannove lettori (mi perdoni il buon .mau. per questa "citazione", o furto di idea: se Manzoni ne aveva 25, Guareschi 23 e Codogno 21, non posso certo attribuirmene più di 19), dicevo, i miei pochi lettori si saranno chiesti che fine ha fatto il progetto di quella serie di post dedicati alla storia delle scale musicali da Pitagora ai giorni nostri.
Tranquilli, non me ne sono dimenticato: è solo che impegni e accadimenti vari hanno fatto sì che nelle ultime settimane la frequenza dei miei post sia un po' diminuita. Ma prometto di riprendere con il consueto ritmo (uhm, ritmo? bene, sono già entrato nell'atmosfera musicale...).

Chi ha avuto la pazienza di leggere i due atti iniziali di questa lenta storia a puntate, avrà constatato che il protagonista assoluto è stato finora Pitagora.
Il filosofo di Samo fu probabilmente il primo costruttore di scale musicali della storia. Partendo dal postulato che un intervallo di note è tanto più consonante quanto più semplice è il rapporto numerico al quale corrisponde, Pitagora concluse che i migliori intervalli non potevano che essere l'ottava (corrispondente al rapporto 2:1) e la quinta (3:2), e costruì quindi la sua scala muovendosi tra le note per quinte e ottave.
Il risultato fu una scala diatonica, cioè formata da sette note che si susseguono secondo uno schema che fa uso di due tipi di intervallo tra una nota e la sua successiva: il "tono", corrispondente al rapporto 9:8 o a 203,91 cent (ad esempio tra do e re), e la "limma", corrispondente al rapporto 256:243 o a 90,22 cent (ad esempio tra mi e fa).

I pregi della scala pitagorica sono evidenti. Prima di tutto, abbiamo soltanto questi due tipi di intervalli, e non è cosa da poco. Il salto esistente tra do e re è lo stesso che c'è tra re e mi, o tra fa e sol e tra la e si, mentre la distanza tra mi e fa è pari a quella tra si e do.
Inoltre, avendo costruito la scala sulla base degli intervalli di quinta e di ottava, Pitagora ha mantenuto questi intervalli associati ai rapporti semplici di 3:2 e 2:1, e quindi perfettamente consonanti.
Infine, questa scala consentì ai Greci di esplorare per primi le grandi potenzialità espressive della musica: si accorsero cioè che cambiando la nota di partenza della scala (ad esempio dal do al fa) e mantenendo la posizione relativa dei due intervalli di limma all'interno della scala, l'"atmosfera" musicale restava pressoché invariata, mentre collocando i due intervalli di limma in posizioni diverse da quella originaria si ottenevano "sapori" sorprendentemente diversi, che i Greci chiamarono "modi" musicali.
A fronte di questi punti di forza, la scala pitagorica mostra anche alcuni gravi difetti.
Il primo problema è quello del "cerchio che non si chiude", descritto ampiamente nel post precedente.
Un'altra lacuna è quella che ha condotto alla nascita della cosiddetta "scala naturale". Se gli intervalli di quinta e di ottava sono consonanti, quelli di terza e di sesta non lo sono, essendo espressi da rapporti non semplici (rispettivamente 81:64 e 27:16). Il rapporto pitagorica di terza, 81:64, è però molto vicino al rapporto semplice 5:4: era quindi inevitabile che ben presto cantanti e musicisti cominciassero a intonare la voce e gli strumenti in modo appunto "naturale", con la terza accordata secondo il rapporto di 5:4.
Infine, la scala pitagorica è affetta da un problema legato al cambio di tonalità: se uno strumento è accordato pitagoricamente in una certa tonalità, è probabile che diventi scordato se suonato in una tonalità diversa.

Nel 1558 il teorico musicale veneziano Gioseffo Zarlino, nel suo trattato "Le istituzioni harmoniche", costruì una scala nella quale risultavano basate su rapporti numerici semplici non soltanto l'ottava (2:1) e la quinta (3:2), ma anche la terza (5:4).
In realtà la teoria di Zarlino non era una novità assoluta, ma rappresentava la formalizzazione di idee che erano state proposte già nell'antichità, quindi ben prima dell'imporsi della tonalità sulla scena musicale.
Già nel quarto secolo a.C., infatti, il filosofo e scienziato tarantino Archita, che fu anche uomo di stato e stratega militare, abbozzò i principi della cosiddetta "intonazione naturale"; ma fu soprattutto Claudio Tolomeo, astronomo e geografo dell'età ellenistica, autore del celebre "Almagesto", fu il primo ad ammettere gli intervalli di terza e di sesta nel club esclusivo degli intervalli consonanti.

Rispetto al sistema pitagorico, il sistema "naturale" tolemaico-zarliniano conferma i rapporti semplici 2:1 per l'ottava, 3:2 per la quinta e 4:3 per la quarta, ma introduce il rapporto 5:4 per l'intervallo di terza.
Gli altri intervalli necessari per costruire la scala vengono ricavati di conseguenza.
L'intervallo di seconda maggiore (che sussiste ad esempio tra il do e il re) viene ricavato come differenza tra una quinta e una quarta, cioè (3:2):(4:3) = 9:8, che è lo stesso valore che aveva trovato Pitagora.
L'intervallo di sesta maggiore (che sussiste ad esempio tra il do e il la) è calcolato come somma di una quarta e una terza, cioè (4:3)*(5:4) = 5:3: qui Pitagora aveva invece trovato il rapporto 27:16, certamente meno semplice.
L'intervallo di settima maggiore (che sussiste ad esempio tra il do e il si) è ricavato come somma di una quinta e di una terza, cioè (3:2)*(5:4) = 15/8: anche in questo caso il sistema pitagorico prevedeva invece una frazione più complessa, e cioè 243:128.

L'appellativo di "naturale" che viene attribuito alla scala tolemaico-zarliniana ha sicuramente a che fare con la "semplicità" di questi rapporti, e quindi con la consonanza dei corrispondenti intervalli musicali, ma è anche giustificato da una connessione con la fisica, in particolare con il fenomeno degli armonici.
Supponiamo di suonare il tasto del do centrale su un pianoforte. L'onda sonora che viene emessa avrà una forma che è legata al timbro particolare del pianoforte: se producessimo la stessa nota con una tromba, o con una chitarra, o con la voce di un cantante, emetteremmo una forma d'onda diversa. Com'è possibile? L'onda generata è in realtà la somma di diverse onde "elementari", dette armonici, tutte caratterizzate dalla stessa semplicissima forma matematica (detta sinusoidale) e intonate sulle frequenze multiple della nota fondamentale; i timbri caratteristici dei vari strumenti, e quindi le diverse forma d'onda, dipendono unicamente dai diversi pesi attribuiti ai diversi armonici.
Torniamo al nostro do centrale del pianoforte,cioè il do₃. Chiamiamo F la sua frequenza, che vale circa 261,6 hertz. I suoi armonici avranno frequenze multiple di F, cioè rispettivamente 2F = 523,2 hertz, 3F = 784,8 hertz, 4F = 1046,4 hertz, e così via. Ovviamente man mano che si sale nella successione degli armonici, l'ampiezza dell'onda corrispondente, cioè la sua intensità sonora, diminuirà rapidamente: se così non fosse, il nostro orecchio non percepirebbe la nota fondamentale come nettamente dominante rispetto agli armonici, il cui "compito" principale è contribuire al colore timbrico dell'insieme.

I primi cinque armonici del do₃ sono i seguenti:

• il primo armonico ha frequenza 2F, cioè dista un'ottava dalla nota fondamentale, ed è quindi un do₄; 
• il secondo armonico ha frequenza 3F =  2(3/2)F, cioè dista un'ottava più una quinta dalla nota fondamentale, ed è quindi un sol₄; 
• il terzo armonico ha frequenza 4F = 2*2F, cioè dista due ottave dalla nota fondamentale, ed è quindi un do₅;
• il quarto armonico ha frequenza 5F = 2*2(5/4)F, cioè dista due ottave più una terza dalla nota fondamentale, ed è quindi un mi₅;
• il quinto armonico ha frequenza 6F = 2*2*(3/2)F, cioè dista due ottave più una quinta dalla nota fondamentale, ed è quindi un sol₅.

Come si può vedere, dalla struttura degli armonici emergono gli intervalli di quinta e di terza come fondamentali, e si può dire che in qualche modo la scala naturale di Tolomeo e Zarlino attinge i propri suoni dalla serie degli armonici naturali di una nota fondamentale. Nonostante tutta questa "naturalità", tuttavia, anche la scala di Tolomeo e Zarlino aveva le sue belle magagne, che analizzeremo per bene nel prossimo post di questa serie.

Pitagora e il cerchio che non si chiude

Come scrive il fisico Andrea Frova nel suo bel libro "Armonia celeste e dodecafonia" (Rizzoli, 2006), "in un'ottava si hanno infinite frequenze e in linea di principio si potrebbe far musica usandole tutte. Per varie ragioni - se non altro per il fatto che un gran numero di strumenti sono a note fisse - occorre porsi il problema di suddividere l'ottava in un certo numero di gradi discreti."
Questa esigenza fu sentita già dai Greci, e nel post "Pitagora e la scoperta della musica", avevo mostrato come il filosofo di Samo, procedendo per intervalli di quinta, caratterizzati quindi da un rapporto di 3/2 tra le altezze delle due note, aveva costruito una scala di sette suoni diversi, che abbiamo battezzato con i nomi delle note musicali: do, re, mi, fa, sol, la, si.

Nel corso del procedimento, sfruttando il fatto che l'intervallo di ottava è caratterizzato da un rapporto di 2:1 tra le altezze delle due note, Pitagora aveva diviso più volte le altezze ottenute per 2, allo scopo di riportare i suoni via via costruiti all'interno di una unica ottava. La scala risultante conteneva così le note che vanno dal do₁ al do₂.
La quinta e l'ottava sono quindi i due intervalli fondamentali nella costruzione della scala pitagorica. Un altro intervallo che emerge da questo schema è quello di quarta, caratterizzato da un rapporto di 4:3. Questo intervallo lo troviamo ad esempio tra il primo e il quarto grado della scala (nel nostro esempio basato sul do, tra do₁ e fa₁), oppure tra il quinto e l'ottavo (tra sol₁ e do₂), e in generale tra due note qualsiasi separate da quattro gradi.
Perché Pitagora si basò sugli intervalli di quinta e di ottava (e conseguentemente, di quarta) per costruire la sua scala? Evidentemente perché già nella tradizione musicale greca questi intervalli erano considerati consonanti, cioè era ritenuta piacevole la sensazione che si provava nell'ascoltare simultaneamente due note separate tra loro da uno di questi intervalli.  Basando la costruzione della scala su questi intervalli, Pitagora voleva far sì che suonando insieme più note della scala l'effetto uditivo fosse gradevole.
La grande scoperta che Pitagora ritenne di avere compiuto era la corrispondenza tra la sensazione di consonanza tra note e i rapporti numerici semplici tra le altezze delle note stesse.

I numeri coinvolti nei rapporti che caratterizzano i tre intervalli di ottava, quinta e quarta (2:1, 3:2; 4:3) sono infatti semplicemente i primi quattro numeri naturali: 1, 2, 3 e 4.  Questo non può far pensare alla cosidetta tetraktýs, il "quartetto" sacro che veniva rappresentato graficamente sotto forma di triangolo equilatero di lato quattro e che riconduceva alla somma magica 1+2+3+4 = 10.
All'interno della setta pitagorica, l'importanza di questo simbolo era tale che su di essa i discepoli prestavano giuramento e la scuola stessa era intitolata al sacro triangolo.
I quattro livelli venivano collegati ai quattro elementi che i presocratici consideravano i principi cosmici fondamentali: Fuoco, Aria, Acqua, Terra.

La connotazione religiosa di questo simbolo triangolare non era limitata ai pitagorici, ma si ritrova anche in molti culti orientali.
Vale la pena ricordare anche come il triangolo sacro ai pitagorici sia strettamente collegato ad un quadrato latino come quello indicato nella figura a fianco: oltre ad essere un quadrato latino, cioè ad avere su ogni riga e su ogni colonna tutti i numeri da 1 a 4, è anche simile ad un quadrato magico, perché la somma dei numeri su ogni riga, su ogni colonna e su ciascuna delle due diagonali dà come risultato 10 (a rigore, non si tratta di un vero quadrato magico perché le cifre utilizzate non sono distinte, ma ognuna si ripete quattro volte).

Ma torniamo alla scala musicale pitagorica. In "Pitagora e la scoperta della musica" avevo osservato che le note della scala risultano disposte in modo piuttosto uniforme. Ciò equivale a dire che gli intervalli tra due note consecutive sono di due soli tipi: il tono, che corrisponde al rapporto 9:8, e la limma, che corrisponde al rapporto 256:243.
Per sommare tra loro due intervalli è necessario moltiplicare tra loro i rapporti corrispondenti ai due intervalli: ad esempio, un intervallo pari a due limme corrisponde al rapporto (256:243) x (256:243) ≈ 1,1099, che è diverso dal rapporto associato al tono, pari a 9/8 ≈ 1,125.

Per poter trattare gli intervalli mediante addizioni anziché moltiplicazioni, qualcuno (precisamente il matematico inglese Alexander Ellis nel 1885) ha pensato di usare i logaritmi, dato che il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei rispettivi logaritmi. Introducendo una unità chiamata cent, e fissando convenzionalmente a 1200 cent l'ampiezza di una ottava, il numero di cent legato a un certo intervallo è uguale a 1200 * log₂R, dove R è il rapporto corrispondente all'intervallo considerato.

In questo modo, si ottiene che il tono è pari a 1200 * log₂(9/8) ≈ 203,91 cent e la limma è pari a 1200 * log₂(256:243) ≈ 90,22 cent. Il fatto che un intervallo di un tono non eguagli un intervallo di due limme si traduce a questo punto nel fatto che i 203,91 cent che formano un tono non sono il doppio dei 90,22 cent della limma.
La definizione logaritmica degli intervalli musicali è più facile da comprendere, in quanto consente di comporre gli intervalli in modo additivo anziché moltiplicativo. Ma non è questo l'unico motivo per preferire i cent ai rapporti: la nostra percezione delle altezze sonore è approssimativamente logaritmica, allo stesso modo della risposta del nostro orecchio alle intensità sonore.

Mi piace allora riproporre l'ultima tabellina del post "Pitagora e la scoperta della musica" esprimendo gli intervalli non solo come rapporti ma anche con l'indicazione (approssimata) dei cent.
Come si vede dalla tabella, una quinta corrisponde a circa 702 cent, e una quarta a circa 498 cent.

NOTE	do1	re1	mi1	fa1	sol1	la1	si1	do2
RAPPORTI	1	9:8 = 1,125	81:64 = 1,266	4:3 = 1,333	3:2 = 1,5	27:16 = 1,687	243:128 = 1,898	2:1 = 2
CENT	0	203,91	407,82	498,04	701,95	905,86	1109,77	1200

Scrivevo poco fa che due limme non fanno esattamente un tono. Due limme equivalgono a circa 180,44 cent, e la differenza dai circa 203,91 che compongono un tono equivale approssimativamente a 23,47 cent: questo intervallo, percepibile da un orecchio musicalmente sensibile, viene detto comma pitagorico.
Questo errore è lo stesso che si ottiene ad esempio salendo di dodici quinte e scendendo poi di sette ottave.
Infatti, secondo il sistema pitagorico, dodici quinte equivalgono a 12*701,95 = 8423,4 cent, mentre sette ottave sono 7 * 1200 = 8400 cent: ritroviamo come differenza quei 23,4 cent che costituiscono il comma pitagorico.
In sostanza, non riusciamo a chiudere il cerchio delle quinte, almeno dopo 12 passi.
Forse ce la possiamo fare con un numero più alto di passi? Ad esempio, intorno al 40 a.C. il cinese King Fang si accorse che un intervallo di 53 quinte è molto vicino ad un intervallo di 31 ottave: ma anche in questo caso si ha un errore, pari a 53*701,95 - 31*1200 = 37203,35 - 37200 = 3,35 cent.
In generale, il cerchio non si chiuderà mai, semplicemente perché non esistono due numeri interi m e n tali per cui:

Più che un cerchio delle quinte, quindi, nella scala pitagorica abbiamo una "spirale delle quinte", che non si chiude mai in entrambe le direzioni.

Se fissiamo m=1 e risolviamo l'equazione precedente in n, otteniamo n = log₂3 - 1 ≈ 0,585, che è ovviamente un numero irrazionale: curiosamente il grande incubo di Pitagora, l'esistenza dei numeri irrazionali, è alla base del fenomeno del comma, cioè del principale difetto della sua scala musicale.

Il perfido comma pitagorico salta fuori ovunque quando si analizza la scala del filosofo di Samo. Torniamo al famoso cerchio delle quinte che abbiamo usato per costruire la scala: di quinta in quinta avevamo attraversato le note fa, do, sol, re, la, mi e si. Partendo dal si e procedendo ancora per quinte, si cominciano a toccare delle note che i musicisti chiamano di solito "accidentate", cioè le note con il segno del diesis.

Dopo il si, otteniamo una nota compresa tra il fa e il sol, che chiamiamo fa^# (fa diesis); poi, successivamente, otteniamo do^#, sol^#, re^#, la^#, mi^#, e così via.

Ma facciamo i conti per vedere cosa succede di preciso. Se aggiungiamo i 701,95 cent tipici di una quinta ai 1109,77 cent del si₁, abbiamo 1811,77 cent. Sottraendo 1200 cent per scendere di un'ottava, otteniamo una nota di 611,77 cent, che si trova tra il fa e il sol e chiamiamo quindi fa^#.  Precisamente, l'intervallo tra il fa e il fa^# è pari a 113,73 cent, che non è la stessa cosa dei 90,22 cent che caratterizzano la limma.

Qual è la differenza tra i due intervalli? Guarda un po', sono sempre quei 23 cent che formano il famigerato comma pitagorico.

La morale della favola è che la limma interviene nella scala pitagorica come intervallo di separazione tra note che formano la scala stessa, ad esempio tra mi e fa e tra si e do, e per questo viene chiamata anche "semitono diatonico".  Invece,  gli intervalli tra una nota e la propria versione alterata con un diesis (ad esempio tra fa e fa^#, oppure tra do e do^#) sono più grandi, e vengono detti "semitoni cromatici".

La differenza tra i due tipi di semitoni è uguale a un comma pitagorico.

Lo stesso intervallo che esiste tra una nota e la propria versione con diesis lo ritroviamo, a ritroso, tra la nota stessa e la propria versione alterata con un bemolle. Ad esempio, tra un sol^b e un sol abbiamo un intervallo pari a un semitono cromatico, cioè 113,73 cent.  La nota sol^b, in particolare, corrisponde a 588,22 cent.
Cosa comporta questo fatto? Ad esempio, che sol^b e fa^# non sono la stessa nota (588,22 cent ≠ 611,77 cent), e in particolare il fa^# risulta più acuto del sol^b.  Ancora una volta, l'intervallo tra le due note è pari a un comma pitagorico.

La scala pitagorica con diesis e bemolli, quindi, richiederebbe 21 note, disposte nell'ordine seguente:

do^b-si, re^b-do^#, re, mi^b-re^#, fa^b-mi, fa-mi^#, sol^b-fa^#, sol, la^b-sol^#, la, si^b-la^#, do^b-si.

E' come se sulla tastiera di un pianoforte, venissero sdoppiati non soltanto tutti i tasti neri, che come è noto corrispondono alle note alterate, ma anche i tasti bianchi che distano di un semitono: complicatissime tastiere "enarmoniche" di questo tipo vennero realmente costruite nel Cinquecento, come illustrato nella figura sopra.