Le Biblioteche Totali

Il racconto "La biblioteca di Babele" di Jorge Luis Borges è una delle miniere d'oro più generose per ogni divulgatore matematico.
Anch'io, nel mio piccolo, non ho saputo resistere al fascino del claustrofobico, vertiginoso e bellissimo universo descritto dallo scrittore argentino e ne ho parlato spesso, per esempio in questa video-conferenza.

L'attrazione fatale della Biblioteca non ha conquistato solo matematici, critici letterari e scrittori, ma anche filosofi, architetti, scienziati, informatici e illustratori. Per esempio c'è un problema aperto relativo alla forma della Biblioteca, sul quale molte menti brillanti si sono interrogate. E questo si ripercuote sul problema di rappresentarla graficamente: tra i tentativi più brillanti quello di un programmatore americano, Jamie Zawinski. Ho utilizzato alcune delle sue immagini per impreziosire questo post.

La Biblioteca è formata da un numero indefinito di sale esagonali, ciascuna delle quali ospita 4 pareti adibite a librerie. Ogni parete è composta da 5 scaffali e ogni scaffale contiene 32 libri. I libri hanno tutti lo stesso formato: 410 pagine, ciascuna delle quali si compone di 40 righe, e ogni riga contiene irrimediabilmente 80 lettere di colore nero.
Ciascun libro risulta così formato da una successione di 410 ∙ 40 ∙ 80 = 1.312.000 caratteri. Ogni esagono contiene 4 ∙ 5 ∙ 32 = 640 libri, che corrispondono quindi a 640 ∙ 1.312.000 = 839.680.000 simboli.
Ma quanti libri e quanti simboli ci sono in tutta la Biblioteca? Non lo sappiamo, perché non è noto il numero degli esagoni che la compongono.

Tuttavia, possiamo dire quanti libri diversi del formato indicato da Borges possono esistere: basta applicare le formule del calcolo combinatorio e determinare il numero di diverse sequenze di 1.312.000 simboli esistenti. Visto che i caratteri diversi utilizzati nei libri della Biblioteca sono 25 (22 lettere più lo spazio, il punto e la virgola), è facile dedurre che esistono in tutto 25^1.312.000 diversi libri di quel formato. Questo numero equivale a circa 10^1.834.097, cioè a 1 seguito da circa un milione e ottocentomila zeri. Una quantità finita ma spaventosamente grande, non c'è che dire. Se anche un libro avesse le dimensioni di un atomo, non ci sarebbe spazio a sufficienza nell'intero universo per ospitare tutti questi volumi: il numero di atomi contenuti nell'universo conosciuto si aggira intorno a 10⁸⁰, che è un numero incomparabilmente minore. Insomma, occorrerebbe una quantità mostruosamente grande di universi per contenere i libri possibili!

Nonostante sia fisicamente assurdo, nel corso del racconto Borges ci informa che la Biblioteca è totale, cioè comprende sicuramente tutti quei 10^1.834.097 libri possibili (ma è possibile che di un libro esistano più copie, forse persino infinite copie). Il passo del racconto in cui viene fornita questa informazione è particolarmente intenso e drammatico:

Da queste premesse incontrovertibili dedusse che la Biblioteca è Totale, e che i suoi scaffali registrano tutte le possibile combinazioni dei venticinque simboli ortografici (numero anche se vastissimo, non infinito) cioè tutto ciò che è dato di esprimere in tutte le lingue. Tutto: la storia minuziosa dell’avvenire, le autobiografie degli arcangeli, il catalogo fedele della biblioteca, migliaia e migliaia di cataloghi falsi, la dimostrazione delle falsità di questi cataloghi, la dimostrazione della falsità del catalogo fedele, l'evangelo gnostico di Basilide, il commento del commento di questo vangelo, il resoconto veridico della tua morte, la traduzione di ogni libro in tutte le lingue, le interpolazioni di ogni libro in tutti i libri. 

Qualche settimana fa ho avuto il piacere di conoscere una persona con la quale ho riscontrato una singolare convergenza di interessi intellettuali. Giorgio Chini, questo il suo nome, è un ingegnere elettronico dalle vaste e profonde frequentazioni culturali. Dopo aver letto il mio libro "Matematica rock", ha voluto farmi notare l'analogia tra un passaggio del capitolo dedicato a pi greco, in cui mi soffermavo sui numeri normali, e un articolo (si veda figura a lato) che lui stesso scrisse intorno al 1985 traendo ispirazione proprio dalla "Biblioteca di Babele" di Borges.
L'intuizione centrale dell'articolo di Chini è quella di immaginare un equivalente "musicale" della Biblioteca di Babele. Fin da subito l'ho trovata estremamente suggestiva, al punto da indurmi a scrivere questo post e suscitare nella mia mente ulteriori idee, domande e approfondimenti.
All'epoca della stesura dell'articolo di Giorgio, il CD (Compact Disc) rappresentava una tecnologia di recente introduzione: come tale, costituiva l'ideale punto di riferimento per consentire una trasposizione del concetto borgesiano di Biblioteca Totale dal mondo della parola scritta a quello dei suoni.

Com'è spiegato nell'articolo, il segnale musicale viene campionato a intervalli di tempo regolari, precisamente 44100 volte al secondo. Ogni campione è costituito da un numero binario di 16 bit, mediante il quale viene codificata l'informazione relativa al segnale sonoro nell'istante in esame. Partendo da questi dati, è possibile intraprendere un ragionamento analogo a quello suggerito dal racconto di Borges: fissando per semplicità a un'ora la durata convenzionale di un CD, si calcola un totale di 60 ∙ 60 ∙ 44100 ∙ 16 = 2.540.160.000 bit contenuti in un disco. Il numero dei CD possibili è allora uguale a 2^2540160000, che equivale a circa 10^750.000.000: un numero finito, certo, ma spaventosamente maggiore del numero dei libri borgesiani possibili.

A maggior ragione rispetto alla Biblioteca di Babele, questa gigantesca Biblioteca Totale dei Suoni non potrebbe nemmeno lontanamente starci nel nostro universo, anche immaginando di poter ridurre ogni CD alle dimensioni di un atomo.
Che cosa si troverebbe in questa smisurata biblioteca sonora? Ritorna il tema vertiginoso, già esplorato da Borges, della totalità della Biblioteca: in questo caso troverebbe posto qualsiasi successione dei fatidici 10^750.000.000 bit, cioè ogni sequenza sonora della durata di un'ora. Chini illustra il concetto in questo bellissimo passo:

La maggior parte dei dischi conterrà un rumoraccio fastidioso e indecifrabile ma sempre diverso, così come nella Biblioteca c'è un sol libro che è, da cima a fondo, la ripetizione delle lettere MCV. Ma tanti dischi invece avranno senso: conterranno ad esempio il Requiem di Mozart in tutte le possibili esecuzioni, compresa quella che ho io in casa che è su un disco di vinile con un graffio, e anche quelle con tutte le possibili stecche di ogni orchestrale. Ci sarà l'Inverno come lo ha suonato Vivaldi appena lo ha composto, e un'esecuzione del Tannhauser dove la noia è interrotta dall'oboista che, al posto della sua parte, comincia a suonare "Space Oddity"; ci sarà la musica che Stockhausen non ha ancora scritto, e quella che Claudio Baglioni purtroppo ha già scritto.
Ma non solo la musica fa parte dei suoni. Se qualcuno di voi ha mai dormito in un prato, quando si è svegliato avrà sentito un rumore di un grillo; nella Biblioteca dei Suoni c'è: c'è anche il dischetto in cui quel dolce trillo è proprio nel mezzo al fragore della bomba di Hiroshima. C'è anche il rumore del caffè che passa in tutte le caffettiere possibili e quello dei passi di ognuno di noi su qualunque terreno, facile o duro che sia al nostro piede.
E poi tra i suoni ci sono le voci: quella di me stesso che leggo questo articolo, tutte le gaffe di Ronald Reagan, le parole dette da Dio a Mosè sul Sinai. Se Dio non esiste, come io penso, non importa: qualunque cosa avrebbe potuto dire, in qualsiasi lingua, nella Biblioteca c'è. Tutto quello che hanno detto tutti gli uomini, vissuti e non, è presente.
La voce tremante di chiunque dica "Io ti amo", quella che risponde "Io no", e quella di chi invece, felice tanto da piangere, dice "Anche io", sono tutte nella Biblioteca. Là ognuno può trovare il disco che lo condanna alla disperazione e quello in cui il proprio amore è ricambiato, però non potrà sapere su quale dei due è registrata la realtà.

A distanza di 35 anni, l'idea di Chini ne ha generata un'altra nella mia testa: perché non pensare anche a una Biblioteca Totale dei Film possibili?
Anche in questo caso dobbiamo fissare qualche parametro convenzionale, perché gli standard video e audio utilizzati in ambito cinematografico e televisivo costituiscono un mondo molto complesso e variegato. Ricorrendo alle specifiche emesse dal consorzio "Digital Cinema Initiatives" (DCI), diciamo di adottare i seguenti parametri:
1) per il video, una velocità di 24 fotogrammi al secondo, con un formato immagine di 2048 per 1080 pixel, e 36 bit per codificare l'informazione del colore di un singolo pixel;
2) per l'audio, 48.000 campioni al secondo e 24 bit per codificare un singolo campione.
Inoltre fissiamo una durata di due ore per ogni film della nostra Biblioteca.

Quanti sono i film possibili? Eseguendo un calcolo analogo ai precedenti si trova che:
1) per racchiudere l'informazione video di un intero film servono 2 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 36 ∙ 2048 ∙ 1080 = 13.759.414.272.000 bit;
2) per quanto riguarda l'audio, sono necessari 2 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 48.000 ∙ 24 = 8.294.400.000 bit.
Complessivamente ci servono circa 13.767 Gbit (ovviamente il video la fa da padrona).
I miei lettori si staranno certamente chiedendo perché non faccio alcuna menzione della possibilità di comprimere il pacchetto di informazioni: ebbene, è chiaro che questo è concretamente possibile (e fondamentale ai fini dell'efficienza del sistema), ma da un punto di vista concettuale non impatta sul conteggio dei distinti film possibili (d'altra parte, è facile dimostrare che qualsiasi algoritmo di compressione rimpicciolisce alcuni tipi di file - ovviamente quelli statisticamente più frequenti - ma ne ingrandisce altri)
Quanti sono in definitiva i film possibili? Il calcolo è sempre lo stesso: dobbiamo elevare 2 a 13.767 miliardi, ottenendo qualcosa come 10^{414.427.995.031}.
Prevedibilmente, il numero che risulta è molto maggiore di quello trovato per la Biblioteca Totale dei Suoni: è una quantità inconcepibile e spaventosamente colossale.

Anche in questa Biblioteca Totale dei Film c'è tutto. Come al solito, nella maggior parte dei dischi ci sono sequenze video incomprensibili e insensate, accoppiate a colonne sonore fatte unicamente di rumori senza significato. Ma da qualche parte ci sono anche tutti i film di Chaplin, Kubrick, Allen, Antonioni e di tutti i registi della storia del cinema. Ci sono i film che loro avrebbero voluto realizzare ma non hanno realizzato e tutte le varianti possibili, comprese le più assurde, dei loro film. Per esempio c'è "2001 Odissea nello spazio" con la colonna sonora costituita da pezzi metal al posto dei valzer di Strauss, c'è "Il grande dittatore" con le scene girate su Marte, c'è "Zabriskie Point" doppiato in lingua klingon, c'è "C'era una volta in America" con Aristotele in carne e ossa al posto di Robert De Niro, e così via.
Ovviamente non ci sarebbero soltanto film in senso stretto, ma anche combinazioni qualsiasi di video e audio. Ci sono le vere registrazioni della formazione della Terra, della morte dell'ultimo dinosauro, della prima volta in cui un uomo primitivo è riuscito ad accendere un fuoco, della nascita e della crocifissione di Cristo, della fase finale della battaglia di Waterloo. In uno dei film potreste rivivere tutti i sogni che avete fatto nelle ultime notti (e tutti gli altri sogni della vostra vita sono sicuramente custoditi in altri dischi). In un altro ci sono le puntate di Goldrake che io ho visto in TV in un pomeriggio del 1979: nei fotogrammi si vede non solo il cartone animato, ma anche il televisore che c'era a casa mia allora e parte della stanza, e la colonna sonora è la registrazione originale delle parole che Giulio Cesare pronunciò quando fu aggredito e accoltellato a morte.
Tranquilli, in un disco c'è anche il film della vostra morte: in sovraimpressione è riportata la data e l'ora in cui essa avverrà. Però c'è un numero incalcolabile di altri film che mostrano versioni alternative della vostra morte: a voi indovinare qual è il film "giusto". Ed esiste una sequenza di dischi (l'unico problema è trovarli e metterli in ordine) che documentano in ogni dettaglio tutta la vostra vita, tutto quello che i vostri occhi e le vostre orecchie hanno percepito da quando siete nati fino a ora e anche nel futuro. La stessa cosa vale per tutti gli altri abitanti del mondo, anche quelli che non ci sono più, quelli che non ci sono ancora e perfino quelli che non ci saranno mai.
Insomma, tutta la vita di ogni possibile essere umano (o non umano), ogni fatto accaduto (o non accaduto) nell'universo in ogni epoca passata, presente e futura: tutto, proprio tutto è custodito in questa incredibile Biblioteca.
Mi fermo qui perché continuare potrebbe far girare la testa, sia a voi che a me, e concludo con un caloroso grazie all'amico Giorgio Chini.

La matematica di Gianni Rodari #10: Calcolo combinatorio

Dai post che ho finora pubblicato, qualcuno avrà forse pensato di poter dedurre una facile conclusione: le questioni e le nozioni matematiche di cui Rodari si serve nelle proprie opere appartengono tutte all'aritmetica o alla geometria di base, insomma a quel bagaglio di conoscenze che viene insegnato nelle classi della scuola primaria.
Questo sarebbe anche coerente con la fama di gigante della letteratura per l'infanzia di cui gode Rodari.
Ma sarebbe una conclusione affrettata.
Lo scrittore di Omegna ha scritto anche poesie e racconti rivolti agli adulti e nel secondo articolo della serie avevo mostrato anche un esempio significativo: la poesia "Insiemi" pubblicata nel 1968.
In questi pezzi, dato il carattere più maturo e smaliziato del pubblico di riferimento, Rodari si concede alcune libertà che nei brani per bambini sono ovviamente assenti: argomenti  più "adulti", toni allusivi e ironici, un lessico più ricercato. E perché no, una matematica più elevata.
Già, perché in uno di questi brani per lettori "cresciuti", il racconto "Il discorso inaugurale" (pubblicato il 16 settembre 1960 su "Paese sera" e nel 1982 nella raccolta postuma "Il cane di Magonza"), Rodari arriva a fondare l'intera narrazione su un problema di calcolo combinatorio.
Il racconto inizia così:

- Signor presidente - esordì il ministro.
- Signore - aggiunse il ministro.
- Signori - concluse per il momento il ministro. Quasi tutti fecero silenzio e alcuni si misero anche le dita nel naso. Il ministro proseguì.
- Mi era stato rispettosamente suggerito da taluno dei miei segretari di premettere al discorso che andrò a pronunciare l'efficacissimo preambolo della allocuzione con cui, il 27 gennaio 1932, inaugurai la storica fiera dei polli di Massafiscaglia, mentre persone a me legate da lunga ed affettuosa parentela avrebbero preferito vedermi scegliere i primi due periodi dell'orazione da me detta, or fanno tre anni, nella nobile città di Ascoli Piceno, scoprendovisi il busto dell'entomologo di chiarissima fama, professor N. H. Gualtiero Pisanti-Pisanetti, nel cinquantenario della morte della sua balia.
- Vi confesserò signori, che non ho tenuto conto alcuno di tali consigli. I numerosi lustri di ininterrotta permanenza nei governativi Gabinetti mi hanno consentito di accumulare nei miei archivi trentatré discorsi completamente dattiloscritti a spazio doppio, ognuno dei quali è divisibile in diciotto elementi autonomi e automobili, per un totale di cinquecentonovantaquattro elementi liberamente componibili come i frammenti di una tenia per formare nuovi discorsi. Quante diverse combinazioni di diciotto elementi cadauna sono possibili con la suddetta disponibilità di elementi numero cinquecentonovantaquattro? 

Eccolo, il problema. Riassumiamolo. Nell'archivio del ministro ci sono 594 "elementi" diversi. Un discorso è composto da 18 di questi elementi. Il problema è quindi determinare in quanti modi possiamo scegliere 18 oggetti da un insieme di 594 oggetti.
Chi mastica un po' di calcolo combinatorio sa che il termine usato da Rodari, combinazioni, è proprio quello tecnicamente corretto.
Più precisamente, in questo caso si tratta di determinare il numero di "combinazioni semplici di 594 oggetti di classe 18" ("semplici" perché non sono ammesse le ripetizioni del medesimo elemento, altrimenti parleremmo di combinazioni "con ripetizione").
Se fosse rilevante l'ordine con il quale compaiono i 18 elementi nel discorso, si potrebbe fare un ragionamento di questo tipo: il primo elemento viene scelto tra tutti i 594 elementi; il secondo, dovendo essere diverso, tra 593; il terzo tra 592 e così via. Quindi il numero di modi di accodare 18 elementi sarebbe uguale a 594 · 593 · ... · 579 · 578 · 577 (si arriva fino a 577 perché il prodotto deve comprendere 18 fattori).
Ma nel nostro problema il modo in cui i 18 elementi sono ordinati non conta: quindi dobbiamo dividere quel prodotto per il numero di diversi possibili ordinamenti di una sequenza di 18 oggetti.
Questo numero equivale al prodotto 18 · 17 · 16 · ... · 3 · 2 · 1, altrimenti detto fattoriale di 18.
La formula diventa quindi:

Per indicare questo quoziente in modo più compatto, i matematici utilizzano la seguente scrittura:

e indicano il quoziente come coefficiente binomiale "594 su 18".
Non è difficile rendersi conto che questo numero può diventare molto grande: basta che il numero complessivo di oggetti a disposizione (che compare in alto nel coefficiente binomiale) sia significativamente maggiore del numero di oggetti da estrarre per costruire le combinazioni (che compare in basso).

Ma vediamo come il racconto prosegue.
Attenzione: a un certo punto c'è un errore. Cercate di individuarlo!

Al sottile quesito il mio segretario particolare si sforzò di dare una risposta applicando la formula:

n x (n-a) più l'on. Togni Giuseppe

----------------------------------------

    18 x l'on. Pella Giuseppe

con la quale ottenne l'ambiguo totale di antamilasettecentoanta, che mi lasciò notevolmente freddo.
- Il gabinetto di analisi matematica di Settecamini, da me all'uopo interpellato, applicò invece la formula:

           n fattoriale
a)        ---------------------------------
           c fattoriale (n-c) fattoriale

- Dando gratuitamente e generosamente a "n", che mi era stato raccomandato dal mio sottosegretario, a nome di monsignor Fiorenzo Mattoni, il valore di 594 e a "c" il valore di 18, si ottenne con estrema facilità, e senza colpo ferire:

             594 fattoriale
b)        ---------------------------------------
           18 fattoriale (594-18) fattoriale

- Questo primo successo, oltre a galvanizzare le energie dei ricercatori, permise di togliere di mezzo un gran numero di fattoriali, che furono abbandonati al loro squallido destino. Nessuno li degnò di una lagrima.
(Voci: Bene!)
- L'iter della pratica si presentava ora alla nostra mente con chiarezza solare, anzi oserei dire, nel quadro delle nostre migliori tradizioni mediterranee: 

             577 x 578 x 579 x ... x 592 x 593 x 594
           ------------------------------------------------
           1 x 2 x 3 x ... x 16 x 17 x 18

Il citato gabinetto, purtroppo, non disponeva né di una calcolatrice elettronica né di un efficiente pallottoliere. Le operazioni dovevano essere eseguite tutte a mano e a matita, su carta vergatina formato 18x24. Si assunsero il delicato incarico sette allievi dell'esimio professor Rodolfo Caprini-Capretti-Cerotti di San Babaleo. Fedeli al motto dei padri, divide et impera, gli audaci si divisero tra loro le moltiplicazioni: conquistarono d'assalto le trincee dei prodotti parziali, li sommarono tra loro con grande sprezzo del pericolo, e all'alba di una smagliante domenica di primavera, carica di auspici per i destini della patria e della fede, ottennero il risultato finale.
- In cifre, signori: 79.450.745.379.459.
- In lettere: settantanove trilioni, quattrocentocinquanta miliardi, settecentoquarantacinque milioni, trecentosettanovemilaquattrocentocinquantanove. Trascuro i decimali: li lascio all'opposizione.
(Applausi scroscianti. Voci: - Così si difende l'Occidente dal comunismo!)

Il racconto prosegue poi senza più particolari riferimenti matematici, ma amplificando la componente di arguta satira verso le storture retoriche di certa politica.
Ma... avete trovato l'errore commesso da Rodari?
No, non ve lo svelo qui, non voglio rovinarvi il piacere della scoperta.
Chi lo dovesse trovare me lo faccia sapere, attraverso i commenti al post o tramite la pagina Facebook o via mail. Il vincitore della sfida sarà certamente ricordato negli annali di Mr. Palomar!
Buona caccia, cari lettori, e appuntamento alla prossima puntata!

La matematica di Gianni Rodari #9: Più uno!

Nella puntata precedente di questa serie ho parlato dei numeri fantastici introdotti da Rodari nel classico "A inventare i numeri". Tra i nomi inventati, alcuni erano presumibilmente da associare a quantità grandi, forse gigantesche (mi riferisco ovviamente allo "stramilione di biliardoni", all'"ottone di millantoni", al "meravigliardo" e al "meraviglione").

Quando si parla di numeri grandi, inevitabilmente si finisce per parlare anche di un concetto matematico tanto suggestivo quanto scivoloso: l'infinito.

Questo perché salendo sempre più alto nell'ascensore dei numeri grandi, ci si dirige verso l'infinito, e si crede anche di avvicinarsi a questa "meta", quando ovviamente essa rimane sempre lontana e irraggiungibile.

In un video che trovate qui avevo sfiorato la questione citando un racconto di Cesare Zavattini del 1931: il famoso giornalista e sceneggiatore descriveva una surreale "gara di matematica" che premiava chi diceva il numero più alto. A un certo punto della competizione, il padre del narratore prende il largo declamando un numero che sembra non finire mai: "Un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi..."

Ma alla fine (attenzione, spoiler - ma il finale l'avevo già svelato qui) uno degli avversari urla "Più uno", e si aggiudica il premio, tra i singhiozzi del protagonista.

Rodari riprende l'idea di Zavattini nella poesia "Più uno", che riporto di seguito:

C’era una volta un tale

che voleva trovare

il numero più grande del mondo.

Comincia a contare

e mai si stanca:

gli viene la barba grigia,

gli viene la barba bianca,

ma lui conta, conta sempre

milioni di milioni

di miliardi di miliardi

di strabilioni

di meraviglioni

di meravigliardi…

In punto di morte scrisse un numero

lungo dalla Terra a Nettuno.

Ma un bimbo gridò: “Più uno!”.

E il grande calcolatore

ammise, un poco triste,

che il numero più grande

del mondo non esiste!

Avrete notato che anche qui Rodari cita i suoi amati meraviglioni e meravigliardi già presenti in "A inventare i numeri", e gli strabilioni parenti dello stramilione ivi menzionato.
La storiella del tipo (un signore beffardo per Zavattini, uno spiazzante bambino in Rodari) che aggiunge uno a un numero e vince la gara, benché accattivante per chi non l'ha mai sentita prima, potrebbe sembrare scontata a molti altri.

Giuseppe Peano

Un elemento d'interesse dal punto di vista squisitamente matematico è la nozione di numero "successore" che sottende quella fatidica aggiunta dell'unità. Giuseppe Peano la utilizzò per formulare i celebri assiomi che definiscono i numeri naturali:
1) esiste un numero naturale detto zero;
2) ogni numero naturale ha un numero naturale successore;
3) numeri naturali diversi hanno successori diversi;
4) lo zero non è il successore di alcun numero naturale;
5) ogni sottoinsieme A di numeri naturali contenente lo zero e il successore di ogni elemento contenuto in A coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione).

Il bambino che nel racconto di Rodari grida "più uno!" non fa altro che applicare gli assiomi di Giuseppe Peano.
Il secondo assioma, infatti, ci assicura che il grido del bambino produrrà un numero naturale, e non una mostruosità senza capo né coda.
Il terzo assioma ci garantisce che questo numero naturale è diverso da tutti i precedenti, in quanto successore di un numero diverso dai precedenti.
Il quarto assioma ci toglie il pensiero di essere caduti in un loop e di esserci accartocciati sullo zero di partenza.

Nel primo capitolo di "Matematica rock", che proprio oggi compie un anno dalla sua uscita, avevo fatto notare come il mondo aritmetico evocato dal testo della celebre canzone "Rock Around the Clock" sia una perfetta incarnazione del secondo e del terzo assioma di Peano.
Mancando lo zero, vengono ignorati il primo, il quarto e il quinto assioma, cosicché dopo il 12 si è autorizzati a ritornare sull'1, dando vita a una sequenza numerica che cicla all'infinito tra 1 e 12 e ci fa pensare all'aritmetica modulare (o dell'orologio) ideata da Gauss.

A ben vedere, quel grido "più uno" mi sembra anche un magnifico grido di libertà, di certezza di poter sempre salire di un gradino sulla "scala verso il Paradiso" dei numeri naturali: proprio in virtù del suo carattere discreto, numerabile. Come dire: non sarà bello non poter mai arrivare a destinazione, ma è rassicurante poter avanzare sempre senza ostacoli, avere sempre un successore diverso verso il quale approdare, consapevoli di essersi innalzati un pochino rispetto a prima.

Cicerone, i dadi e la scimmia

Nella sua opera teologica "De divinatione", del 44 a. C., Cicerone espone una riflessione che, seppure in modo superficiale e incompiuto, anticipa di molti secoli non soltanto gli studi sulla teoria della probabilità ma anche i calcoli che portarono Borel al teorema della scimmia instancabile:

Perché stai a domandare, Carneade, per qual motivo queste cose avvengano o con quale arte possano essere comprese? Io confesso di non saperlo, ma affermo che tu stesso devi riconoscere che avvengono. "Per caso", dici tu. Ma davvero può accadere per caso ciò che ha in sé tutti i caratteri della verità? Quattro dadi, lanciati a caso, danno il "colpo di Venere"; ma se lancerai quattrocento dadi, e otterrai il colpo di Venere per tutte e cento le volte, crederai che ciò sia dovuto al caso? Dei colori schizzati a caso su una tavola possono produrre i lineamenti di un volto; ma crederai che schizzando colori a caso si possa ottenere la bellezza della Venere di Coo? Se una scrofa col suo grifo avrà tracciato sul terreno la lettera A, la crederai per questo capace di scrivere l'Andromaca di Ennio? Carneade immaginava che nelle cave di pietra di Chio, in seguito alla spaccatura di un macigno, fosse venuta in luce per caso la testa di un piccolo Pan: sono disposto a credere che si trattasse di una qualche forma somigliante, ma certamente non tale da potere essere giudicata opera di Scopa. Le cose, non c'è dubbio, stanno così: il caso non può mai imitare perfettamente la verità.

Come dire: la famosa scimmia di Borel, messa davanti a un computer, produrrebbe sequenze di caratteri totalmente insensate oppure, con un po' di fortuna, testi simili a brani noti o parzialmente dotati di un qualche barlume di significato: non certo, dice Cicerone, qualcosa di perfettamente sensato o identico all'originale.
Cicerone sbagliava perché non considerava l'eventualità che il tentativo potesse durare per un tempo infinito: ma questa è un'altra storia.

La matematica di Gianni Rodari #8: Quasi-numeri, meravigliardi, fanta-tabelline, unci dunci trinci

Quasi sette anni fa pubblicai un trittico di post: dopo la prima e la seconda parte, l'ultima riportava un celebre e delizioso brano di Rodari, intitolato "A inventare i numeri" e tratto dalle "Favole al telefono":

- Inventiamo dei numeri?
- Inventiamoli, comincio io. Quasi uno, quasi due, quasi tre, quasi quattro, quasi cinque, quasi sei.
- È troppo poco. Senti questi: uno stramilione di biliardoni, un ottone di millantoni, un meravigliardo e un meraviglione.
- Io allora inventerò una tabellina:
   tre per uno Trento e Belluno
   tre per due bistecca di bue
   tre per tre latte e caffè
   tre per quattro cioccolato
   tre per cinque malelingue
   tre per sei patrizi e plebei
   tre per sette torta a fette
   tre per otto piselli e risotto
   tre per nove scarpe nuove
   tre per dieci pasta e ceci.
(...)
 - Allora inventiamo in fretta altri numeri per finire. Li dico io, alla maniera di Modena: unci dunci trinci, quara quarinci, miri miminci, un fan dès.
- E io li dico alla maniera di Roma: unzi donzi tenzi, quale qualinzi, mele melinzi, riffe raffe e dieci.

Il pezzo è interessante perché propone una gustosa collezione di nomi di numeri, ma ogni parte del brano evoca considerazioni diverse dal punto di vista matematico.

I nomi introdotti all'inizio (quasi uno, quasi due, quasi tre, quasi quattro, quasi cinque, quasi sei) mi fanno pensare ai limiti: "quasi uno" mi sembra un modo meravigliosamente naif per indicare una funzione che tende a 1 quando la variabile indipendente si avvicina a un qualche valore. Come dire: quando la variabile indipendente è molto vicina a quel valore, la funzione vale "quasi uno".

La parte successiva, invece, fino a pasta e ceci, suggerisce riflessioni di tutt'altro genere.
Come scrivevo nelle prime due parti del trittico del 2013, dare dei nomi ai numeri è lo scopo principale dei sistemi di numerazione. Non è un esercizio fine a se stesso: è l'essenza del meccanismo che ci permette di contare, usare i numeri in modo efficiente, fare calcoli e avere una matematica che si rispetti.
L'idea del sistema posizionale, concepita già dai Sumeri e perfezionata (con la base decimale) dagli Indiani e dagli Arabi, rappresenta un marchingegno geniale in base al quale ogni possibile quantità intera viene automaticamente associata sia a una sequenza di cifre (scelte da un insieme finito), sia a una parola o in generale un'espressione costituita da parole (che ovviamente varia a seconda delle lingue).
Per esempio, la quantità di anni trascorsi tra la fine della seconda guerra mondiale e oggi viene espressa, nel nostro sistema posizionale in base 10, con la sequenza 75, che significa 7 decine più 5 unità. In base alle convenzioni vigenti nella lingua italiana, la parola corrispondente è "settantacinque".
Per completezza, occorre dire che per alcuni numeri grandi non esiste una sola "espressione" linguistica, ma più possibili espressioni equivalenti: per esempio, 10.000.000.000 possiamo indicarlo con "dieci miliardi" ma anche con "diecimila milioni".
Tutto questo ci può sembrare scontato e banale, ma non lo è. In un racconto di Borges, "Funes, o della memoria", il protagonista inventa un sistema di numerazione in cui ogni quantità è espressa da una parola, ma senza alcuna logica che permetta di automatizzare il meccanismo in modo generale:

In luogo di settemilatredici diceva (per esempio) «Máximo Perez»; in luogo di settemilaquattordici, «La Ferrovia»; altri numeri erano «Luis Melián Lanifur, Olimar, zolfo, il trifoglio, la balena, il gas, la caldaia, Napoleone, Agustín de Vedia». In luogo di cinquecento diceva «nove». 

Come potete immaginare, un sistema del genere non è esattamente semplice da utilizzare. Dal punto di vista narrativo è molto affascinante, ma matematicamente è una pessima idea.
Se però i nomi vengono assegnati sovrapponendoli a un sistema di numerazione vigente, allora il discorso è diverso. Ci sono numeri che hanno uno o più nomi ufficiali (una volta stabilita la lingua) e, in più, una specie di "soprannome": il numero 10 elevato alla 100 può essere denominato in modo ortodosso dicendo "10" e poi concatenando un serie opportunamente lunga di "miliardi di", ma per gli amici è noto anche come "googol".

Cosa possiamo dire allora dei numeri di Rodari? Sullo stramilione di biliardoni, sul meravigliardo e sui loro fratelli, ovviamente, non ha senso farsi troppe domande: il gioco è bello proprio perché non sappiamo, ed è giusto non sapere, se queste strane quantità corrispondano a ben precisi numeri reali.
Rodari stesso parla di "inventare i numeri". Un po' come se fossero quantità che trascendono le categorie numeriche attualmente note, come se si trattasse di estensioni analoghe a quelle ottenute, nel corso della storia, con l'introduzione dei numeri irrazionali, dei numeri negativi, dei numeri immaginari, e così via.
Un fondato sospetto però esiste: che si tratti semplicemente di soprannomi di numeri interi molto grandi, un po' come il fantastilione e il fantastiliardo di Paperon de' Paperoni, su cui avevo scritto qualcosa nella prima parte della trilogia, e su cui Gianluigi Filippelli ha scritto un interessantissimo pezzo due anni e mezzo fa.

La porzione successiva, quella della tabellina del tre alternativa, sembra invece improntata sulla stessa idea stravagante di Borges-Funes. Ovvero: il numero 3 lo chiamo "Trento e Belluno", il numero 6 "Bistecca di bue", il numero 9 "Latte e caffè", e così via.

E per finire, la parte finale sembra una divertita variazione sul tema delle locuzioni regionali dei numeri. I primi tre, unci dunci trinci, mi fanno tornare in mente un brano di Elio e le Storie Tese di qualche anno fa, con il quale concludo questo ottavo episodio della serie sulla matematica rodariana.
A presto!