La matematica di Gianni Rodari #2: la teoria degli insiemi

Un diagramma che mostra l'intersezione tra due insiemi

Chi di voi lettori non ha mai sentito parlare di teoria degli insiemi? Pochi, credo. Fin dai primi anni della scuola elementare, gli insiemi sono stati presentati a molti di noi come una delle colonne portanti della matematica. Probabilmente, chi è andato a scuola prima degli anni Sessanta del secolo scorso non ricorda di aver mai affrontato questo argomento della matematica, mentre chi  ha cominciato il proprio percorso d'istruzione dopo gli anni Ottanta ha incontrato gli insiemi ma non li ha studiati a fondo come avevano fatto i loro genitori.

Il fatto è che anche nella didattica della matematica ci sono le mode. E la questione della teoria degli insiemi, o insiemistica, come si diceva spesso qualche decennio fa, è uno dei casi più eclatanti in questo senso.

Quando, nel 1957, i russi lanciarono lo Sputnik e misero a segno il primo punto nella partita per il predominio nello spazio, il governo degli Stati Uniti decise che si doveva correre subito ai ripari per cercare di raddrizzare le sorti del confronto con il nemico. 

Ci si rese conto che si doveva partire dalla scuola: in particolare era avvertita l'urgenza di migliorare e aggiornare i programmi scolastici delle materie scientifiche. L'incarico della riforma fu affidato alla National Science Foundation, agenzia governativa che sostiene la formazione di base nei campi scientifici non medici, la quale promosse un ambizioso progetto di riforma dei curricoli di fisica, biologia, chimica e matematica. Per quest'ultima il risultato fu il cosiddetto "New Math", un nuovo corso dell'insegnamento della matematica che prevedeva argomenti mai visti prima sui libri scolastici: l'aritmetica modulare, le disequazioni, le basi diverse da 10, le matrici, la logica simbolica, l'algebra booleana, l'algebra astratta e, appunto, la teoria degli insiemi.

Libri sul "New Math"

Il vento del cambiamento cominciò a soffiare negli stessi anni anche in Europa. Nel 1959 si tenne vicino a Parigi un convegno sul tema "Le nuove matematiche", promosso dall'OCSE, durante il quale il matematico francese Jean Dieudonné, portavoce del gruppo Bourbaki, lanciò il celebre grido "Abbasso Euclide!", sostenendo che gli insegnanti di matematica dovevano smetterla di puntare tutto sull'algebra classica e sulla geometria euclidea, e dovevano invece aprirsi a nuovi percorsi, includendo in primis la teoria degli insiemi.
La nuova matematica (molto influenzata dagli indirizzi bourbakisti) attecchì, in America come in Europa, nel corso degli anni Sessanta, raggiunse il culmine nel decennio successivo, e declinò negli anni Ottanta: nel 1985 i nuovi programmi della scuola elementare italiana indicavano esplicitamente che lo studio degli insiemi non doveva più essere considerato essenziale in matematica.

Visto che la produzione poetica di Gianni Rodari si colloca, in gran parte, nel periodo compreso tra il 1960 e il 1980, non deve stupire che la teoria degli insiemi, proprio in quegli anni divenuta popolarissima e reputata "moderna", faccia capolino più volte nelle sue opere.

Un primo esempio lo troviamo nel (già citato nella prima puntata di questa serie) capitolo 37 della "Grammatica della fantasia". Rodari lo apre così:

Un'illustrazione ispirata al "Brutto anatroccolo"
di Andersen

La famosa novella del Brutto anatroccolo di Andersen - cioè del cigno capitato per errore in un branco di anatre - può essere tradotta in termini matematici nell'"avventura di un elemento A, capitato per errore nell'insieme degli elementi B, che non trova pace fino a quando non rientra nel suo insieme naturale, quello degli elementi A..."

A Rodari interessa soprattutto mostrare come una storia apparentemente lontana anni luce dalla matematica, come può essere la fiaba di Andersen o qualsiasi altra narrazione, possa racchiudere insospettate strutture logiche, insiemistiche o aritmetiche. Poco più avanti, Rodari si pone una domanda: è lecito eseguire l'operazione opposta, cioè partire da una struttura logica, da un'idea insiemistica, e costruirvi una storia attorno? Certo, si risponde, ed ecco alcuni possibili giochi che scaturiscono da questa idea: per esempio chiedere a un bambino di enumerare gli insiemi dei quali lui fa parte e farli diventare mattoni per costruire racconti.
Ecco, questo gioco di snocciolare gli insiemi di cui facciamo parte evidentemente piaceva molto a Rodari, tanto è vero che vi fa riferimento in almeno altre due occasioni. La prima, davvero geniale, è una poesia rivolta a un pubblico adulto e intitolata appunto "Insiemi", che fu pubblicata nel 1968 dalla rivista letteraria "Il caffè" e riproposta nel 1984 nella raccolta "Il cavallo saggio".
La poesia inizia così:

Lo consolava la matematica degli insiemi.
Riflettendo sui suoi casi facilmente scopriva
di far parte di numerosi insiemi così catalogabili:
l’insieme degli uomini nati nel 1920,
l’insieme degli uomini nati nel 1920 tutt’ora viventi,
l’insieme di tutti i nati,
l’insieme di tutti i mancini,
l’insieme degli epatopatici,
l’insieme degli addetti al commercio,
l’insieme degli addetti al lavoro,
l’insieme delle persone che portano l’orologio al polso,
l’insieme dei mammiferi,
l’insieme dei bipedi
(di questi due insiemi egli occupava saldamente l’intersezione
senza l’imbarazzo di chi tiene il piede in due scarpe),
l’insieme degli abitanti della via Lattea,
la cui tabulazione sarà possibile
solo a completamento della sua esplorazione,
l’insieme di coloro che hanno schifo dei ragni,
l’insieme degli utenti della strada,
l’insieme degli italiani sopravvissuti alla seconda guerra mondiale,
l’insieme degli italiani che temono la terza,
l’insieme degli europei che abitano a sud di Francoforte sul Reno ma a nord del Busento,
a ovest di Saint-Tropez ma a est di Salonicco (...)

E avanti così, con una elencazione strepitosa e divertentissima, che fa uso anche di una terminologia tecnica appropriata, come in questo passaggio che tratta di "corrispondenza biunivoca":

l’insieme dei compratori di cravatte
(che non sta in corrispondenza biunivoca
con l’insieme dei portatori di cravatte,
stanteché molte mogli comprano cravatte ma non le portano
e molti mariti portano cravatte ma non le comprano)

oppure nel successivo frammento, dove si parla anche di insiemi infiniti, di sottoinsiemi, di insiemi disgiunti, di insiemi complementari, di insiemi vuoti (in questi ultimi Rodari inserisce anche un bell'esempio numerico e uno geometrico):

Col tempo si rese conto, non senza un sentimento di orgoglio,
di essere un elemento di un insieme infinito
quale è certamente al di là di ogni meschino dubbio
l’insieme degli uomini reali e degli uomini immaginari.
Scoprì con gioia di far parte di numerosi sottoinsiemi,
di insiemi universali,
di insiemi disgiunti,
di insiemi complementari.
Lo entusiasmò la certezza che mai, per soffiar di venti,
sarebbe precipitato in un insieme vuoto,
quale l’insieme degli uomini alti diciotto metri,
l’insieme dei presidenti della R. I. eletti prima del 1940,
l’insieme dei numeri pari divisori di tredici,
l’insieme dei ramarri parlanti, l’insieme dei rettangoli con cinque angoli,
l’insieme delle chitarre che fumano la pipa
e quello delle pipe che suonano la chitarra.

Rodari riesce addirittura a toccare il pericoloso concetto di "insieme di insiemi":

La celebre reinterpretazione in chiave "cinematografica"
del confronto tra Frege e Russell, realizzata da
Marco Fulvio Barozzi detto Popinga

Come avrebbe potuto sentirsi mai solo,
o temere per le sue difese personali,
contemplando l’insieme di tutti i suoi insiemi,
vedendolo crescere a vista d’occhio,
docile ai suoi comandi?

La possibilità di un qualsiasi insieme di insiemi fu implicitamente ammessa dal grande logico tedesco Gottlob Frege mediante il suo "principio di comprensione" (esso postulava che è lecito definire un insieme come aggregato di tutti e soli gli elementi che godono di una certa proprietà). Nel 1902 il filosofo e matematico inglese Bertrand Russell inviò a Frege una lettera con la quale mostrava che in base al principio di comprensione sarebbe stato possibile definire un insieme formato da tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elementi, e se ci chiediamo se questo insieme contiene se stesso oppure no, ci accorgiamo che entrambe le possibili risposte generano una contraddizione. La scoperta di questo "bug" nel principio di di comprensione gettò Frege in una profonda costernazione.

La trovata della lista degli insiemi viene riproposta da Rodari nel 1978 nel romanzo breve "C'era due volte il barone Lamberto". Nel poscritto 1, alla fine del primo capitolo, Rodari annota:

Rileggendo l'elenco delle collezioni del barone Lamberto mi accorgo di aver dimenticato: la collezione di carta igienica, quella dei fischietti da capostazione, quella delle cravatte per giraffa...
Ho conosciuto un tale di Massafiscaglia che faceva collezione di insiemi. "Stia bene attento, - mi spiegò una volta; - riflettendo sui miei casi ho scoperto di far parte dei seguenti insiemi: l'insieme degli uomini nati nel 1918, l'insieme degli uomini nati nel 1918 e tuttora viventi, l'insieme di tutti i nati, l'insiemi di tutti i mancini (...)

e avanti così, riutilizzando alcuni degli insiemi della poesia di dieci anni prima, in versione semplificata e adatta a un pubblico di ragazzi, fino a terminare in questo modo:

Ogni giorno aggiungo alla mia collezione nuovi insiemi e numerosi sottoinsiemi. Potrò mai sentirmi solo? Eserciti innumerevoli corrono al mio soccorso da tutte le parti del cosmo... Purtroppo non potrò mai far parte dell'insieme dei miei mobili. Da due settimane mi sforzo invano di far parte dell'insieme dei fiori finti. Mi potrebbe dare una mano?