Geometrie pallonare da Uruguay 1930 a Russia 2018

Vi serve un'idea per ingannare il tempo nell'attesa delle semifinali e della finale di Russia 2018? Eccovi accontentati: un post sulla geometria dei palloni di calcio, in particolare sul pallone che in questi giorni viene preso a calci sui rettangoli di gioco russi.
Più volte, su queste pagine (ad esempio qui, qui e qui), ho parlato della geometria dei palloni di calcio, in particolare dei modelli utilizzati durante i Mondiali o in occasione degli Europei.
L'ormai quasi secolare vicenda dei "palloni mondiali" è una storia affascinante, che prende le mosse dal torneo uruguayano del 1930 e si snoda fino ad arrivare al Telstar 18 del torneo in corso. Qui trovate un video che racconta questo lungo percorso. In questo sito e in quest'altro trovate altre interessanti informazioni a riguardo.

Il "Modello T" del 1930

Mentre oggi è tutto organizzato fino al minimo dettaglio, la prima edizione del 1930 dovette scontare alcuni inconvenienti imbarazzanti: le due finaliste, ovvero Uruguay e Argentina, non riuscirono a mettersi d'accordo su quale pallone sarebbe stato usato, cosicché all'ultimo minuto decisero di usare nel primo tempo il "Modello T", preferito dai padroni di casa, e nel secondo la "pelota" argentina. Il primo era formato da dodici pannelli di cuoio a "T" uniti tra loro attorno a un nucleo di gomma, e presentava una vistosa cucitura a laccio, necessaria per il gonfiaggio. La pelota era simile, ma i pezzi di cuoio erano rettangolari e non a "T".
Il "Federale" usato ai Mondiali italiani del 1938 era simile alla pelota argentina, ma aveva tredici pannelli anziché dodici. Anche l'Allen, impiegato nel torneo transalpino del 1938, riprendeva sostanzialmente il modello argentino della prima edizione.

Il "Crack" del 1962

Dopo la pausa bellica, nel 1950 venne adoperato per la prima volta un pallone privo della cucitura col laccio: era stata inventato il gonfiaggio moderno, con la valvola. Il modello svizzero del 1954 fu il primo a essere formato da diciotto pannelli invece che dodici o tredici: inoltre era giallo e non marrone come i suoi predecessori.
Il "Top Start" del 1958 era praticamente identico al pallone di quattro anni prima, mentre ai Mondiali cileni del 1962 fece la sua apparizione il "Crack", che finalmente introduceva una variazione geometrica rilevante. Era infatti formato da diciotto pezzi di cuoio di tre diverse forme poligonali curve: rettangolari, esagonali e ottagonali.
Nell'edizione britannica del 1966 venne usato il "Challenge", che non differiva dal "Crack" se non per il colore: arancione, anziché giallo.

Il "Telstar" del 1970

All'edizione messicana del 1970 arrivò la rivoluzione: la Adidas inaugurò la sua egemonia, che dura indiscussa anche oggi, sulle sfere mondiali, e presentò il mitico "Telstar", la cui forma a icosaedro troncato con pentagoni neri ed esagoni bianchi è presto divenuta un'icona classica del pallone da calcio.
Sull'icosaedro troncato ho parlato in abbondanza sui post già citati e anche sull'e-book "La matematica nel pallone", che potrebbe essere una lettura azzeccata sotto l'ombrellone, tra una partita e l'altra.
Tutti i modelli ufficiali dei tornei dal 1974 al 2002 sono stati icosaedri troncati: le variazioni da un'edizione all'altra riguardavano solo aspetti decorativi o i materiali, ma non la geometria di fondo.

Il modello del 1974 era del tutto identico a quella del 1970. Il "Tango" di "Argentina 78", pur essendo il solito icosaedro troncato, introduceva quel motivo grafico a sette cerchi che sarebbe rimasto in voga fino al 1998, attraverso il "Tango Espana" del 1982, l'"Azteca" del 1986, l'"Etrusco" di "Italia '90", il "Questra" di "USA 1994" e il "Tricolore" dell'edizione francese del 1998.
Nel 2002 rimase la geometria classica del Telstar ma scomparve il motivo a sette cerchi, per far posto a una grafica ispirata al disegno di uno shuriken, un tipo di dardo giapponese.

Il "Teamgeist" del 2006

Ma fu solo con la competizione del 2006, vinta dall'Italia, che la musica, anzi la geometria, cambiò radicalmente. Il "Teamgeist" era costituito da 14 pannelli curvi incollati insieme e non più cuciti. La forma geometrica di questo pallone non corrispondeva più a un icosaedro troncato, ma a un ottaedro troncato: ancora un solido archimedeo, comunque.

L'edizione del 2010 fu "funestata" dal pallone più criticato della storia dei Mondiali: con lo "Jabulani" l'Adidas abbandonava le geometrie archimedee e si spingeva in territori inesplorati, sfornando un modello che era stato presentato come il più rotondo di sempre ma che si rivelò invece l'incubo di tutti i calciatori del torneo. Era formato da otto pannelli uniti tra di loro a plasmare una pseudosfera. La sua complessa geometria è descritta ad esempio qui.

Il "Telstar 18"

Il Mundial brasileiro del 2014 vide rotolare sui campi di gioco il "Brazuca", di cui ho parlato diffusamente nei post già citati. Il pallone di quattro anni fa era topologicamente un cubo, e la sua ideazione fu un geniale capolavoro di matematica e ingegneria.
E quest'anno? Il pallone usato in Russia si chiama "Telstar 18". Se il suo nome ci riporta indietro di 48 anni, le sue caratteristiche guardano invece al futuro: al suo interno è presente un chip NFC ("Near-Field Communication") che è in grado di scambiare informazioni con dispositivi abilitati, come smartphone o tablet.

I cosmonauti russi giocano a calcio sulla ISS con il "Telstar 18"

Il 21 marzo scorso il "Telstar 18" è diventato il primo pallone mondiale a volare nello spazio: i due cosmonauti russi Anton Shkaplerov e Oleg Artemyev portarono la palla nella Stazione Spaziale Internazionale e lo collaudarono in una insolita partita a gravità zero. In quell'occasione Artemyev ha dichiarato: "Lo restituiremo alla Terra in tempo per il fischio d’inizio della prima partita della competizione". E così è stato.

Quali sono le caratteristiche geometriche del "Telstar 18"? La palla è formata da sei pannelli incollati insieme. Similmente al Brazuca, quindi, anche il "Telstar 18" è topologicamente assimilabile a un cubo. La forma dei sei pezzi è completamente nuova, ma la possibilità di metterli insieme a plasmare una sorta di sfera è ancora una volta assicurata dal teorema di Pogorelov, di cui avevo parlato nel già menzionato e-book e in questo articolo.


Nella figura a fianco sono messe a confronto le forme dei pannelli del "Brazuca" e del "Telstar 18": come vedete, il pallone brasileiro era formato da pezzi dalla foggia più semplice ma anche più arrotondata, mentre il pallone di quest'anno nasce dall'unione di forme più elaborate e appuntite. Se volete approfondire la questione, in questa pagina viene spiegato in dettaglio come realizzare un modello virtuale del pallone di "Russia 2018".
Ed ora, buon divertimento con le semifinali e le finali dei Mondiali!

La geometria degli Europei di calcio

I miei lettori si saranno chiesti, nelle ultime settimane, che fine avesse fatto questo blog, tristemente abbandonato da un paio di mesi. Ebbene, inconvenienti e progetti diversi lo hanno frenato per un tempo molto lungo, ma state sereni: ancora per molti anni, Mr. Palomar non intende buttare la spugna, costi quel che costi. E allora beccatevi anche questo nuovo post, di sapore pallonaro.
Da qualche giorno sono in corso gli Europei di calcio, ospitati dai cugini francesi. La nostra Nazionale è riuscita perfino a portare a casa un paio di vittorie, assicurandosi in anticipo l'accesso agli ottavi di finale.
Ma perché parlare di calcio in un blog di matematica? Come sapete, il legame tra queste due realtà mi è molto caro. L'anno scorso 40K ha pubblicato  "La matematica nel pallone", il mio libro sugli aspetti matematici del gioco del calcio.
Uno dei principali temi trattati riguarda la geometria dei palloni da calcio.
"La palla è rotonda", cantava Mina nel 2014, nelle serate del Mondiale brasileiro.

Ma questo non è poi così vero. Tutti i palloni da calcio sono fabbricati cucendo o incollando insieme pezzi di cuoio poligonali ritagliati da un pannello piatto. Il poliedro ottenuto viene poi gonfiato d'aria, facendolo assomigliare il più possibile a una sfera. Ma sfera non è, né può esserlo. Il più classico dei palloni da calcio, per capirci quello fatto a esagoni bianchi e pentagoni neri, altro non è che un icosaedro troncato, come avevo mostrato ampiamente in un vecchio post di 4 anni fa. Da ormai 46 anni, il progresso tecnologico nel settore del pallone è un'esclusiva dell'Adidas, che in occasione di ogni edizione dei Mondiali di calcio sforna un nuovo modello di poliedro pseudo-sferico.

Il "Brazuca" dei Mondiali 2014

Il tradizionale icosaedro troncato bianco e nero fu adoperato per la prima volta in un Mondiale nel 1970, nell'edizione messicana rimasta celebre per "Italia-Germania 4-3". Fino al 2002 tutti i palloni mondiali non si sono discostati granché da quel modello di riferimento.
Nell'edizione del 2006 vinta dall'Italia, in quella sudafricana del 2010 e in quella di due anni fa, sono stati invece impiegati palloni sostanzialmente diversi. In particolare, il "Brazuca" del 2014 era ottenuto cucendo insieme sei pezzi di cuoio uguali tra loro e dalla forma molto particolare. Un po' come un cubo, che notoriamente si costruisce unendo tra di loro sei quadrati uguali. Il "Brazuca" è dunque un pallone cubico? In un certo senso sì. D'altra parte, la possibilità di fabbricare palle come queste trova un solido fondamento matematico in un teorema dimostrato dall'ucraino Aleksei Pogorelov, di cui ho parlato nel mio ebook. Se ritagliate da un "foglio" di cuoio due forme uguali, oppure anche diverse ma caratterizzate da contorni della medesima lunghezza, riuscirete a cucirle insieme e a ottenere un oggetto tridimensionale convesso senza dover fare strappi o pieghe. Sotto particolari condizioni, la cosa funziona anche se le forme sono più di due. Il "Brazuca" ne è un meraviglioso esempio. Qui le forme sono sei: la loro forma non è quadrata, eppure su ogni forma ci sono quattro punti che giocano il ruolo di "pseudo-vertici" del "pseudo-quadrato". Una volta assemblato il pallone, gli pseudo-vertici si sovrapporranno a tre a tre, un po' come in ogni vertice di un cubo si incontrano tre facce quadrate.

Il "Telstar" del 1968

E gli Europei? Le prime due edizioni, quella del 1960 ospitata dalla Francia e quella del 1964 organizzata dalla Spagna, videro l'utilizzo di palloni ben diversi dai moderni e raffinati manufatti Adidas. Queste palle erano molto pesanti e pericolose: non era raro vedere giocatori dell'epoca sanguinanti dopo aver colpito di testa il pallone: la colpa era dei lacci che legavano insieme le strisce di cuoio.
La multinazionale tedesca entrò in scena nel torneo del 1968, ospitata nel nostro Paese: fu in questa edizione che venne lanciato per la prima volta il mitico pallone "Telstar", ovvero l'icosaedro troncato a esagoni e pentagoni.

Il protagonista del Mundial messicano del 1970 venne infatti sperimentato due anni prima in Italia, prima di diventare l'indiscusso modello di riferimento nell'immaginario collettivo e il pallone più famoso della storia del calcio.
Da qui in avanti lo schema di invertì: in ocsasione di ogni edizione dei Mondiali la Adidas avrebbe presentato un nuovo modello di pallone, che sarebbe stato riproposto due anni dopo agli Europei, identico oppure con variazioni trascurabili.
Fu così che alle edizioni 1972 e 1976 degli Europei, organizzate rispettivamente dal Belgio e dalla Jugoslavia, si giocò ancora con varianti del "Telstar".

L'"Europass" del 2008

Nel 1980 gli stadi italiani, nuovamente scelti come location del campionato europeo, videro volare il glorioso pallone "Tango", già testato ad Argentina '78. Ma anche il "Tango" era di fatto il solito icosaedro troncato.
Il nome "Tango" fu adottato per i palloni europei fino al 1988. Nel 1992 fu la volta di "Etrusco Unico", fratello del pallone di Italia '90. Tra il 1996 e il 2004 le palle ufficiali ebbero nomi particolari: "Questra Europa", "Terrestra Silverstream", "Roteiro". Ma geometricamente si trattava sempre di palloni in stile "Telstar": nè più nè meno.
Il pallone "Europass" dell'edizione austro-svizzera 2008 si basava invece sul "Teamgeist" utilizzato ai Mondiali tedeschi del 2006. Questa volta il modello geometrico era un ottaedro troncato.

Il "Tango 12" del 2012

Ancora una volta si adottava un solido archimedeo, variazione di un poliedro platonico, ma non più l'icosaedro troncato: per la prima volta il lungo dominio del "Telstar" e discendenti veniva interrotto.

Nel 2012 la regola del riciclo del pallone mundial conobbe un'eccezione: il famigerato "Jabulani", protagonista dell'edizione ospitata dal Sudafrica, venne decisamente accantonato in seguito alle aspre critiche che lo avevano colpito, e la Adidas sfornò un pallone battezzato "Tango 12" perché esteticamente simile al vecchio "Tango" degli anni Ottanta, ma in realtà geometricamente inedito, in quanto formato non da pezzi esagonali e pentagonali, ma da pannelli quasi-triangolari.

Il "Beau Jeu" del 2016

Ed eccoci arrivati all'edizione di quest'anno.
Il pallone che corre sui campi francesi di Euro 2016 si chiama "Beau Jeu", ovvero "Bel Gioco", ed è una rivisitazione del Brazuca di due anni fa.
Il rosso e il blu che lo adornano richiamano il tricolore transalpino.

Molti esperti di calcio hanno affermato che il "Beau Jeu" si comporta in modo superlativo in termini di grip, stabilità e controllo di palla, grazie alle caratteristiche geometriche del "Brazuca" per l'occasione ulteriormente perfezionate anche grazie alla collaborazione tra Adidas e Covestro, azienda che produce il poliuretano di cui è fatto il pallone.
Buoni Europei a tutti, dunque. E non dimenticate che c'è molta geometria e molta matematica dietro le traiettorie magiche che vi entusiasmeranno in queste serate europee.

La matematica nel pallone

Ne ho fatto un altro. Parlo di libri, ovviamente.
Questa volta, però, niente più suggestioni orientaleggianti e psichedeliche alla Syd Barrett, niente LP con copertina-matrioska, niente prismi newtoniani o quadrati latini.
No, questa volta sono di scena personaggi come Messi e Recoba, per non parlare di Trapattoni e Boškov, luoghi come il Santiago Bernabéu di Madrid o il Maracanà di Rio, oggetti come il pallone da calcio.

Così recita la quarta di copertina:
È possibile prevedere scientificamente i risultati delle partite di calcio? Gli allenatori possono sfruttare la matematica per vincere di più? Come si fa a organizzare un perfetto calendario di partite per un campionato? Cosa c’entra con la matematica lo stadio “Santiago Bernabeu” di Madrid? È vero che la palla è rotonda? Ai Mondiali del 2014 si è giocato davvero con un pallone cubico? A queste e a molte altre domande risponde questo piccolo libro sulle relazioni tra la scienza dei numeri e il calcio. Perché in fin dei conti la matematica si trova anche lì, nello sport più amato del mondo: ed è più divertente di quanto possiate immaginare. 

Come il mio precedente, anche questo libro è pubblicato da 40K, l'iniziativa editoriale di Bookrepublic, e rientra nella collana Altramatematica.
È disponibile come e-book, al prezzo imbattibile di 1,99 euro, su tutti i negozi online, per esempio  Bookrepublic e Amazon.
Mi sono divertito molto a scrivere questo librino: spero che anche voi possiate trascorrere un paio di ore piacevoli in sua compagnia.

Platone, Archimede e i palloni da calcio

Si fa presto a dire "sfera". Molti telecronisti calcistici usano disinvoltamente questo termine nel riferirsi al pallone di cuoio preso a calci da ventidue baldi e giovani milionari. 
Ma il pallone da calcio è davvero una sfera? No, anche perché fabbricare palle perfettamente sferiche non è cosa facile. La natura è abilissima nel creare oggetti sferici, ma noi umani troviamo più agevole approssimare questa forma perfetta con solidi dotati di molti lati cuciti insieme.

In alcuni sport, peraltro, la palla deve essere perfettamente sferica: è ad esempio il caso del ping pong. Le palline usate in questo sport vengono costruite fondendo assieme due semisfere di celluloide, in un processo industriale che comporta anche il 95% di palline riuscite male e quindi da scartare. Nel suo bel libro "L'equazione da un milione di dollari", Marcus du Sautoy spiega che le palline così fabbricate vengono sparate in aria da un cannone: quelle  difettose deviano verso destra e sinistra, mentre quelle buone procedono dritte, in una zona del poligono di tiro dove vengono raccolte e inscatolate.

I palloni da calcio, invece, non sono mai esattamente sferici. Se osserviamo da vicino un pallone, ci accorgiamo che di solito esso è formato da diversi esagoni e pentagoni regolari cuciti tra di loro.
Nella sua opera Timeo, il filosofo Platone descrisse i solidi regolari, che oggi chiamiamo "platonici". Per "regolare" si intende che il solido deve essere delimitato da un certo numero di poligoni uguali tra di loro e deve avere spigoli e angoli tutti equivalenti tra di loro. Euclide dimostrò che esistono soltanto cinque solidi che godono di queste proprietà: il tetraedro, il cubo (o esaedro), l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro. Platone associò ciascuno di questi solidi ad uno degli elementi fondamentali: il tetraedro al fuoco, il cubo alla terra, l'ottaedro all'aria, l'icosaedro all'acqua, il dodecaedro all'universo nel suo complesso.
Se andate in uno di quei negozi che vendono giochi di ruolo e articoli collegati, troverete facilmente confezioni di dadi dalla forma platonica, come quelli nella figura seguente:

Potremmo utilizzare qualcuno dei dadi platonici come pallone da calcio? Bè, forse taluni fantasisti del football riuscirebbero a giocare anche con una palla tetraedrica, cubica o ottaedrica, ma non si tratta certo delle forme ideali per giocare a calcio (o a qualsiasi altro sport). Rimangono il dodecaedro e l'icosaedro.
Chiaramente, tanto più numerosi sono i lati del solido, meglio ci si approssima alla figura della sfera perfetta, e non stupisce quindi che il solido platonico dal quale dobbiamo partire per arrivare a fabbricare il nostro pallone da calcio è quello col maggior numero di facce: l'icosaedro, delimitato da 20 triangoli equilateri.
Certo, si potrebbe provare a giocare una partita di calcio con un pallone icosaedrico: ma non è che smussando ulteriormente gli spigoli di questo solido si possa ottenere qualcosa di ancora più vicino alla sfera?
Questo è probabilmente il ragionamento che fece un altro gigante dell'antichità, Archimede di Siracusa: non che il grande matematico fosse interessato a brevettare la palla perfetta per i Mondiali di calcio (che ancora non esistevano), ma certamente il suo intento era quello di "perfezionare" i solidi platonici, e vedere cosa accadeva utilizzando come facce del solido due o più poligoni regolari, anziché uno soltanto.
L'impresa di Archimede non era delle più facili: prima di tutto le facce, benché di tipi diversi, dovevano potersi cucire perfettamente tra di loro (e quindi avere la stessa lunghezza); inoltre il solido doveva mantenere  complessivamente una certa simmetria (e ciò significava che i vertici dovevano essere tra di loro identici).
Alla fine Archimede trovò che esistevano 13 solidi di questo tipo.
Uno di questi, l'icosaedro troncato, ottenuto dall'icosaedro platonico smussando i vertici e sostituendoli con dei pentagoni regolari, è il modello utilizzato per fabbricare la maggior parte dei palloni da calcio.  Il solito ottenuto ha complessivamente 32 facce: classicamente le 12 facce pentagonali sono colorate in nero, e le 20 facce esagonali in bianco. Quante cuciture sono necessarie? I lati dei poligoni sono in tutto 12 x 5 + 20 x 6 = 180, ma dato che ciascuna cucitura congiunge due lati, le cuciture sono in tutto 90 (come i minuti di una partita).


L'icosaedro troncato è un'ottima approssimazione della sfera. Il suo volume è circa l'86,74% di quello della sfera circoscritta, ma quando il pallone viene gonfiato le facce si curvano e la percentuale di approssimazione supera il 95%.
Esistono solidi archimedei che, essendo forniti di un numero maggiore di lati rispetto all'icosaedro troncato, potrebbero costituire approssimazioni migliori della sfera: ad esempio il rombicosidodecaedro, oppure il dodecaedro camuso, ma in questi casi il numero di cuciture necessarie renderebbero il processo di fabbricazione troppo complicato.

Pirlo e compagni si accontentino quindi dell'icosaedro troncato, che peraltro è stato il modello dei più famosi palloni della storia del calcio: dal mitico Telstar, usato nei Mondiali del Messico del 1970 al celebre Tango, protagonista in Argentina nel 1978 e in Spagna nel 1982.

Ai Mondiali tedeschi del 2006, invece, fu utilizzato un pallone che fu presentato come il più sferico della storia del calcio. Era formato da 14 pezzi curvi, e prendeva spunto da un altro dei solidi archimedei: l'ottaedro troncato.
Onore quindi a Platone e ad Archimede, che possono essere a ragione considerati come i veri progettisti dei moderni palloni da calcio.

La sezione aurea e le regole del giuoco del calcio

Come tutti gli sport, anche il gioco (anzi, il giuoco, come insegnavano i maestri e i dizionari di qualche decennio fa) del calcio ha le sue regole, codificate in un Regolamento ufficiale costituito da 17 norme principali.
La prima di queste regole si intitola "Il terreno di gioco", e descrive le caratteristiche del rettangolo delimitato dalle linee di porta e dalle linee laterali e nel quale i calciatori possono condurre il gioco.
L'incipit della Regola 1 recita testualmente:

Regola 1: il terreno di giuoco
Dimensioni
Il terreno di giuoco deve essere rettangolare. La lunghezza delle linee laterali deve essere, in ogni caso, superiore alla lunghezza delle linee di porta.
Lunghezza: minimo m. 90 massimo m. 120
Larghezza: minimo m. 45 massimo m. 90
Gare internazionali
Lunghezza: minimo m. 100 massimo m. 110
Larghezza: minimo m. 64 massimo m. 75





Insomma, per incontri non internazionali, secondo le regole ufficiali sarebbe in teoria ammissibile anche un campo lungo, ad esempio, 91 metri e largo 90 (un campo esattamente quadrato con il lato di 90 metri sembrerebbe escluso dalla frase iniziale "Il terreno di giuoco deve essere rettangolare", anche se un quadrato è pur sempre un caso particolare di rettangolo).
Nella maggior parte dei casi, i terreni di gioco (pardon, di giuoco) tendono ad assumere proporzioni "meno quadrate", con lunghezze e larghezze che si pongono circa a metà dei rispettivi intervalli ammessi, cioè intorno a 105 metri per 67,5 metri.

Le indicazioni che il regolamento prescrive per le partite internazionali sono più rigide, ma solitamente sono considerate uno standard de facto anche per gare a livelli più bassi. Analogamente, nel "calcio che conta" viene consigliata o talvolta imposta una misura ben precisa, che, guarda caso, corrisponde quasi esattamente al formato "medio" di cui parlavo poco fa: 105 x 68 metri.
Sono queste, infatti, le dimensioni che la FIFA raccomanda per i tornei internazionali, e che in Italia le Leghe di Serie A e B stabiliscono obbligatoriamente per le partite di campionato (tollerando al limite una dimensione minima di 65 metri per il lato corto, in caso di comprovate difficoltà tecniche dell'impianto).

Se diamo un'occhiata alle dimensioni del terreno di gioco (ops...) dei principali stadi italiano e stranieri, il formato standard 105 x 68 metri la fa da padrone: lo ritroviamo, tanto per fare alcuni esempi, all'Olimpico di Roma e all'Olimpico di Torino, al San Siro di Milano, al San Paolo di Napoli, al Bentegodi di Verona (permettetemi questa piccola menzione campanilistica...), al Campo Nou di Barcellona, al Lužniki di Mosca, allo Stadio del Centenario di Montevideo, all'Azteca di Città del Messico, e moltissimi altri.


Il rapporto tra i lati di un rettangolo 105 x 68 è pari a 105/68 = 1,54412: un valore non molto vicino al rapporto aureo, che è uguale a:

In un rettangolo aureo, il rapporto tra il lato maggiore e quello minore è uguale a quello tra il lato minore e la differenza tra lato maggiore e lato minore.
E' forse superfluo ricordare qui l'importanza che le proporzioni auree hanno rivestito nella storia dell'arte: mi limito a sottolineare che il rettangolo aureo è stato a lungo considerato il rettangolo più armonioso e "bello" da vedere, e non è un caso se lo ritroviamo, ad esempio, nelle comuni carte di pagamento o nei moderni badge aziendali.
E' quindi un vero peccato che gli organismi supremi del calcio non abbiano scelto come standard per i campi di calcio un formato aureo: avrebbero benissimo potuto raccomandare, per esempio, una lunghezza di 110 metri e una larghezza di 68 metri , dimensioni che rientrano nell'intervallo accettato dalla Regola 1 (anche per gare internazionali) e che disegnano un rettangolo quasi perfettamente aureo.
Le dimensioni raccomandate dalla FIFA prevedono un lato lungo troppo corto, o, se preferite, un lato corto troppo lungo.

Fortunatamente non tutti gli stadi sono così ligi rispetto agli standard internazionali, e alcuni presentano dimensioni diverse dal solito rettangolo 105 x 68 metri .
In alcuni di questi, però, il rapporto tra lato lungo e lato corto è ancora meno aureo di quello standard: ad esempio lo Stadio Olimpico di Atene e il mitico Wembley di Londra hanno un rapporto di 1,5 (105 x 70 metri), mentre il leggendario Maracanà di Rio de Janeiro raggiunge addirittura un rapporto di 1,466 (110 x 75 metri).
Uno stadio più vicino alla divina proporzione è il famoso Estadio Monumental di Buenos Aires, utilizzato dal River Plate: il rapporto tra lato lungo e lato corto è di 1,571, ma siamo ancora lontani dal fatidico numero di Fidia.

Un possibile candidato al titolo di stadio più aureo del mondo è il Santiago Bernabeu di Madrid: lo stadio del Real Madrid, dove la Nazionale italiana vinse il campionato del mondo nel 1982.
Purtroppo, le dimensioni esatte del campo madrileno sono piuttosto controverse: la versione inglese di Wikipedia indica 107 × 72 metri, quella spagnola si pronuncia per lo standard 105 x 68 metri, altre fonti propongono 106 x 70 metri.
Il sito dell'UEFA dichiara però che le dimensioni del Santiago Bernabeu sono di 106 x 66 metri: se questa è la versione corretta, il rapporto sarebbe di 1,606, molto vicino alla proporzione aurea.
Credo che, nonostante queste curiose voci discordanti, ai quarantenni come me piaccia pensare che il record di "aureità" spetti di diritto allo stadio di Madrid, quasi a nobilitare ulteriormente il ricordo nostalgico di quella notte di trent'anni fa.

Il problema del campionato - Parte 3 (con un algoritmo originale dell'autore)

Lasciamo quindi da parte tutte le complicate questioni sulla colorazione dei grafi, anche perché non sono poi così utili per affrontare praticamente la questione del calendario di un girone all'italiana. Vediamo invece alcune tecniche che possiamo davvero utilizzare.
Avevo accennato ad un algoritmo che avevo ideato nel 1996, e che sembra in grado di trovare sempre un calendario valido, con l'unica condizione che il numero di squadre sia pari.
L'idea mi venne, dopo una serie di infruttuosi tentativi, pasticciando sulla matrice di cui abbiamo ampiamente parlato nei post precedenti. Ricordo che la matrice viene riempita con numeri che corrispondono al numero della giornata in cui è programmata la partita tra le due squadre corrispondenti alla riga e alla colonna.
Pensai subito, tuttavia, di semplificare la questione trascurando una delle due sezioni triangolari, cioè considerando soltanto la sezione in alto a destra della diagonale principale: i gironi di andata e di ritorno, infatti, sono una la ripetizione dell'altro, per cui è sufficiente programmarne uno per avere automaticamente anche l'altro.
L'algoritmo parte quindi con la matrice vuota, o meglio con degli zeri nelle caselle che dovremo riempire (supponiamo sempre N=4).


A questo punto ha inizio il ciclo principale dell'algoritmo.
Prenderemo, una dopo l'altra, alcune "coppie" formate da una riga e da una colonna della matrice, dove la riga e la colonna corrispondono alla stessa squadra. Per ciascuna di queste coppie, possiamo immaginare di scendere dall'alto verso il basso lunga la colonna, "rimbalzare" sulla diagonale principale, e dirigerci verso destra lungo la riga gemella.
A cosa serve questo "cammino" lungo colonne e righe? Ovvio: a riempire le caselle che troviamo ancora a zero lungo il nostro cammino.
E come eseguire questo riempimento? Per ogni coppia, la prima volta che troviamo una casella da riempire, proviamo a metterci un 1, se lungo il cammino sulla "coppia" non abbiamo trovato che zeri, altrimenti proviamo con il numero successivo all'ultimo trovato prima della casella da riempire: se il numero può starci, nel senso che su nessuna riga o colonna della matrice si creano ripetizioni, e inoltre il numero inserito non era già stato scritto sulla stessa "coppia", allora passiamo alla prossima casella da riempire, altrimenti tentiamo con il numero successivo, e così via. Ovviamente quando arriviamo a N-1, il numero successivo da provare sarà di nuovo 1.
Eseguendo questo procedimento sulla coppia formata dalla prima colonna e dalla prima riga, si ottiene la matrice seguente:



Proseguendo con altre due passate, si ottiene il risultato finale:


Gli incontri della prima giornata saranno quindi A-B e C-D, quelli della seconda A-C e B-D, mentre nella terza e ultima giornata si disputerranno le partite A-D e B-C.



Un altro algoritmo, sicuramente più famoso del mio, in grado di risolvere il problema, è quello cui accennavo nella prima parte di questo ormai estenuante post (pazientate, siamo ormai alla fine!). A inventarlo fu un maestro di scacchi austro-ungarico, Johann Nepomuk Berger.
Prendiamo le nostre N=4 squadre: A, B, C e D, e scriviamole in una tabellina così strutturata:


La prima giornata sarà allora costituita dagli incontri A-B e C-D.
Ora manteniamo fissa la squadra in alto a sinistra, mentre nella colonna "CASA" facciamo scorrere le squadre verso l'alto e nella colonna "TRASFERTA" facciamo scorrere le squadre verso il basso. Le squadre che fuoriescono da una colonna passeranno nell'altra colonna. Otteniamo la tabella seguente, corrispondente alla seconda giornata:


Ripetendo per un'ultima volta lo stesso procedimento di rotazione in senso orario, si ottiene la terza giornata:



Guarda caso, abbiamo ottenuto la stessa programmazione generata dal mio algoritmo.
Provate con un numero maggiore di squadre, ad esempio 6, oppure 8, o anche di più: con ogni probabilità otterrete con i due algoritmi calendari diversi.
Buon divertimento!

Il problema del campionato - Parte 2

Una delle meraviglie (meravigliosa per me, s'intende) presenti nel mitico almanacco del calcio (vedi Parte 1 di questo multi-post) era che venivano riportati i risultati di tutte le partite di tutti i campionati italiani di serie A, dalle lontane ottocentesche origini fino alla stagione in corso; ma la vera meraviglia per i miei occhi era che queste informazioni erano pubblicate in un modo estremamente compatto: una paginetta per ogni campionato, cioè per ogni anno.
Com'è possibile? Venivano usati caratteri microscopici, da leggere con la lente d'ingrandimento? No, semplicemente avevano escogitato un semplice ma ingegnoso metodo per risparmiare molto spazio, che a me piacque molto.

Solitamente i risultati delle partite di un torneo vengono riportati in una forma come la seguente (tratta da Wikipedia):


Nell'almanacco, invece, per ogni stagione veniva presentata una matrice quadrata con un numero di righe (e di colonne) pari al numero di squadre partecipanti, e nelle caselle interne venivano riportati i risultati delle partite che avevano visto in campo le due squadre corrispondenti alla riga e alla colonna di riferimento.
Per convenzione, in ogni incontro la squadra di casa era quella corrispondente alla riga, e quella ospite era quella corrispondente alla colonna. In questo modo, la diagonale principale della matrice restava vuota per l'ovvio motivo che una squadra non può giocare contro se stessa.
Presa una qualsiasi casella (quindi una partita) in una o nell'altra delle sezioni triangolari divise dalla diagonale principale, la casella speculare rispetto alla diagonale stessa risulta corrispondere alla ripetizione della stessa partita nell'altro girone della stagione (se la prima partita appartiene al girone di andata, la seconda appartiene al girone di ritorno, e viceversa).
Se N è il numero di squadre del torneo (si ipotizza che N sia sempre pari), la matrice quadrata avrà lato N per costruzione; le partite complessivamente presenti sono quindi N² - N (occorre infatti togliere la diagonale principale vuota), quindi N(N-1).
In effetti le giornate del campionato sono N-1, perché ogni squadra deve giocare contro tutte le squadre tranne se stessa (d'altra parte, N-1 è il numero di caselle compilate in ogni riga e in ogni colonna); e in ogni giornata vengono disputate N/2 partite. Quindi le partite complessive in un girone di andata sono 1/2 N(N-1), numero che va raddoppiato per tener conto del girone di ritorno: viene così confermato il risultato N(N-1) ottenuto sopra.
(Nelle figure seguenti, per semplificare un po', ho posto N=4).


Il trucco della matrice per risparmiare spazio è piuttosto banale e ovvio, direte voi. Certo, ma all'undicenne che ero allora ingenuamente sembrò geniale.
Quando, anni dopo, mi cimentai nel problema della generazione del calendario, tema centrale di questi post, mi tornarono subito alla mente le magiche matrici dell'almanacco del calcio.
Immaginai che all'interno delle caselle, anziché i risultati degli incontri, fossero scritti i numeri delle giornate in cui tali incontri sono programmati (o già disputati).
Ad esempio, la partita tra la Squadra A e la Squadra B è programmata per la giornata n. 1, la partita tra la Squadra B e la Squadra C è programmata per la giornata n. 3, e così via.


Ora apportiamo una nuova leggera variazione alla matrice: trascuriamo la differenza tra andata e ritorno, e di conseguenza nelle due caselle corrispondenti all'andata e al ritorno di un certo incontro tra due squadre (due caselle speculari nel senso spiegato prima), mettiamo lo stesso numero, relativo, per convenzione, alla giornata del girone di andata in cui si disputa la prima delle due gare.
Otteniamo una matrice come quella seguente:


Osservando la matrice ottenuta, notiamo che essa gode di due interessanti proprietà:
1) è simmetrica rispetto alla diagonale principale;
2) tralasciando le caselle vuote sulla diagonale, su ogni riga e su ogni colonna sono presenti tutti i numeri da 1 a N-1, senza ripetizioni.
Per la verità, queste due condizioni sono necessarie e sufficienti affinché la matrice rappresenti un calendario valido per un campionato. Infatti, se su una stessa riga o colonna ci fossero due caselle con lo stesso numero, vorrebbe dire che una squadra dovrebbe giocare due partite nella stessa giornata (e, corrispondentemente, un'altra squadra non giocherebbe alcuna partita): situazione questa ovviamente non ammessa.

Vi viene in mente qualche famoso rompicapo in cui accade qualcosa di simile?
Risposta esatta: il sudoku!


Anche il sudoku si gioca su una matrice quadrata, precisamente con N=9.
Su ogni riga e colonna devono essere posti tutti i numeri da 1 a 9, senza ripetizioni: lo stesso termine "sudoku", in giapponese, significa proprio qualcosa come "i numeri devono comparire una sola volta".
Le uniche due differenze, rispetto alla matrice del campionato, sono le seguenti:
1. anche le caselle sulla diagonale vanno riempite regolarmente, come le altre;
2. esiste un ulteriore vincolo, relativo ai 9 sotto-quadrati 3x3 evidenziati all'interno dello schema complessivo: anche in ciascuno di essi, tutti i numeri da 1 a 9 devono essere presenti senza ripetizioni.

Sia per giocare a sudoku sia per stilare il calendario del campionato, quindi, si tratta di risolvere un problema vincolato in cui occorre assegnare dei numeri ad alcune caselle.
Prendiamo in esame la matrice del campionato, di lato N, e trasformiamo ogni casella in un nodo di un grafo, mettendo in ogni casella l'indicazione della partita corrispondente.
Poi colleghiamo tra loro, mediante archi, gli N nodi che appartengono alla stessa riga, e poi facciamo lo stesso con i nodi che appartengono alla stessa colonna.
Usiamo però l'accortezza di accorpare tra loro i nodi che contengono una partita tra le stesse due squadre: andata e ritorno per noi, ora, sono la stessa cosa.
Il grafo che si ottiene alla fine di questo procedimento è il seguente:


Il nostro problema iniziale consisteva nell'assegnare un numero (da 1 a N) a ciascuna delle caselle della matrice. Il corrispondente problema sul grafo è assegnare un numero (da 1 a N) ad ogni nodo del grafo ottenuto.
In questo grafo, infatti, ogni nodo corrisponde a due caselle della matrice originaria. Sappiamo che queste due caselle conterranno lo stesso numero, corrispondente alla giornata in cui si disputerà la gara di andata tra le squadre in questione: per determinare la giornata della gara di ritorno basterà aggiungere N-1.

Se ci viene dato un grafo come quello della figura precedente, come possiamo procedere per assegnare un numero da 1 a N a ciascun nodo?
L'unico vincolo che dobbiamo rispettare è che a due nodi collegati tra loro non può essere assegnato lo stesso numero.
Spesso, per rendere il problema più... vivace, anziché assegnare un numero da 1 a N a ciascun nodo del grafo, si assegna un colore, preso da una gamma di N colori.
Il vincolo diventa allora che due nodi contigui non possono condividere lo stesso colore (a volte si descrive questo vincolo dicendo che "non possono esistere archi monocromatici").
E' chiaro che usando colori invece che numeri, il problema non muta minimamente la sua struttura matematica.
I matematici chiamano questo problema graph coloring, cioè colorazione dei grafi.
Si tratta di un problema molto noto nell'ambito della ricerca operativa, cioè di quella parte della matematica e dell'informatica che si occupa di formalizzare problemi complessi di ottimizzazione attraverso modelli matematici, allo scopo di trovare soluzioni ottime, se possibile, o approssimate.
Tornerò sull'argomento in altri post; qui mi limito a sottolineare che colorare i grafi (ovviamente rispettando la condizione degli archi monocromatici) non è per niente affare da poco, anzi il più delle volte rappresenta un problema molto difficile.
Nella prossima parte, quindi, vedremo come il problema del campionato convenga che sia risolto utilizzando altri metodi, molto più semplici.
Valeva la pena, però, fare questa deviazione: anche se non fruttuosa sul piano della ricerca di tecniche risolutive, per lo meno interessante e, spero, divertente.

Il problema del campionato - Parte 1

Ricordo, come fosse ieri, una mattina negli ultimi mesi del 1982: avevo 11 anni ed ero a casa da scuola con l'influenza. Suonò il campanello: era il postino, con un pacco da consegnare. Scese la mamma a prenderlo, e poi me lo portò. Era il mitico "Almanacco illustrato del calcio", che mi ero conquistato grazie ai "buoni" raccolti con le ancor più mitiche figurine Panini.
Se il concetto di felicità può essere associato ad alcuni particolari giorni della vita, quel giorno fu uno di questi. Ricordo la gioia con cui sfogliai avidamente le pagine, navigando tra campionati d'anteguerra, statistiche, schede dei calciatori, e l'esaltante copertina in cui campeggiava il compianto Enzo Bearzot che alzava al cielo la coppa del mondo appena vinta.
Ora il calcio mi interessa meno di allora, ma allora lo seguivo con entusiasmo (in particolare il Verona, che tre anni dopo avrebbe vinto lo scudetto), e certo uno degli aspetti che mi divertivano maggiormente era il lato statistico, combinatorio dei campionati: insomma mi incuriosiva scoprire come, all'interno di un campionato (ad esempio una stagione di campionato italiano di serie A), si succedessero le giornate, ciascuna costituita da un insieme di partite che, ovviamente, non potevano ripetersi nello stesso torneo, salve le ripetizioni nel girone di ritorno.
Mi sovviene ora un altro ricordo: con un amichetto vicino di casa, compagno di innumerevoli partite a pallone nei cortili di casa, ci eravamo ad un certo punto cimentati nello stilare il calendario di un nostro immaginario campionato. Le partite programmate, poi, le disputavamo noi due e altri amici, non virtualmente ma davvero, nel cortile, con le felpe ammonticchiate a fare da pali per le porte.
Precursori del fantacalcio? Può darsi, ma certamente potete immaginare le difficoltà che due ragazzini di 11 anni potevano trovare nel risolvere a mano, senza computer (era il 1982) e senza sofisticate cognizioni algoritmiche (avevamo 11 anni) un problema complicato come quello della creazione del calendario di un campionato con un numero di squadre non banale.

Naturalmente avevamo inconsapevolmente adottato un approccio che potrei definire di "backtracking": provavamo cioè a stilare, una dopo l'altra, le giornate di campionato, finché incontravamo un ostacolo insormontabile, vale a dire finché ci accorgevamo che le ultime due squadre non ancora accoppiate in una certa giornata si erano già incontrate in una giornata precedente. Allora dovevamo tornare indietro ("backtrack", appunto), ovviamente non si sa bene quanto indietro, e cambiare qualcosa nella speranza di non incontrare più ostacoli del genere.
Non ricordo, francamente, se fossimo a un certo punto riusciti ad arrivare in fondo nella titanica impresa di stilare un calendario completo: mi pare di no (con un numero di squadre realistico, diciamo 16, e con un approccio naif come quello descritto sarebbe stato, credo, quasi impossibile).
Ma mi pare di ricordare di aver escogitato, stremato dai tentativi infruttuosi, un volgare barbatrucco per aggirare l'ostacolo. Avevo preso un calendario reale, ad esempio quello del campionato di serie A in corso, che immaginavo generato da chissà quali fumanti elucubrazioni di fantascientifici cervelloni elettronici; tanto per confondere un po' le acque, l'avevo sottoposto ad una permutazione casuale delle giornate, e infine avevo fatto corrispondere ciascuna squadra del campionato reale con una squadra del nostro campionato immaginario. In questo modo avevo ottenuto un calendario, per le nostre partite in cortile, apparentemente nuovo, ma che in realtà celava la stessa struttura combinatoria di quello reale preso come modello. Furbizie da undicenni.

Il problema del calendario del campionato mi rimase sempre caro, a maggior ragione negli anni successivi quando cominciai a conoscere il mondo dell'informatica e degli algoritmi.
Nei primi anni Novanta scrissi vari programmi in Pascal che affrontavano il problema per via euristica o di backtracking (insomma, per tentativi).
Nel 1996 trovai un algoritmo esatto, cioè che trovava sempre una soluzione ammissibile non per tentativi, ma seguendo una propria logica diretta e andando dritto al risultato. Conservo il codice Pascal di quell'idea, e tornerò sull'argomento.

Per la verità, pare che esista un algoritmo molto vecchio in grado di risolvere il problema (io appresi di ciò piuttosto tardi), e che venne escogitato da uno scacchista austriaco, Johann Berger, vissuto tra il 1845 e il 1933.
Nelle prossime parti di questo "multi-post" toccherò anche questo argomento.
Vi lascio con un'anticipazione della seconda parte: il problema può essere modellato matematicamente anche ricorrendo alla teoria dei grafi, e il rompicapo che ne deriva assomiglia molto al gioco del sudoku.