William Shanks, ovvero il calcolatore umano

In questo blog ho citato due volte la canzone "Pi", scritta e interpretata da Kate Bush in onore del numero più famoso di tutti: π, cioè pi greco. Nel testo di questa canzone viene descritta la figura di un matematico ossessionato da questo numero e vengono elencate 116 delle sue cifre decimali.
Nel primo di questi post accostavo questo brano pop al personaggio del procuratore Paravant nella "Montagna incantata" di Thomas Mann, e nel secondo lo collegavo all'impresa del cinese Lu Chao che nel 2005 ha recitato a mente 67.890 cifre della famosa costante.
Non tutti sanno, però, che le 116 cifre cantate da Kate Bush non sono tutte giuste. Precisamente, gli errori commessi sono due: come cifra n. 54, al posto di uno zero, la celebre cantautrice inglese canta inspiegabilmente "21", e più avanti, salta in blocco le cifre comprese tra le n. 79 e la n. 100, riprendendo dalla n. 101, per terminare alla n. 137.
Non ha molto senso stabilire se questa variazione debba essere considerata un errore grossolano, oppure una licenza artistica, o ancora, come qualcuno ha fantasiosamente ipotizzato, un misterioso messaggio cifrato.
Nel 2009, durante una trasmissione radiofonica della BBC intitolata “More or less”, è stata proposta una tesi che ironicamente qualcuno ha ribattezzato “congettura di Kate Bush”: nulla ci vieta di supporre che i 116 decimali cantati si trovino non all’inizio ma in un'altra posizione nell’infinito sviluppo di π.

Anche se certamente non è così, a me piace invece pensare che l'errore nel testo di "Pi" sia stato volutamente commesso per rendere omaggio al matematico dilettante inglese William Shanks, che nel 1873 annunciò di avere trovato ben 707 decimali di π.
Piccolo particolare: in quell'epoca non c'erano computer, ragion per cui Shanks eseguì tutti i calcoli con carta e penna.
William Shanks era nato nel 1812 a Corsenside, nel Northumberland. A 34 anni si era sposato a Londra, e l'anno dopo si era trasferito a Houghton-le-Spring, un paese della contea del Tyne and Wear, non lontano da Sunderland, dove aveva trovato lavoro prima come insegnante di materie letterarie e matematiche, e successivamente come preside di un collegio scolastico privato.
Questo incarico gli lasciava molto tempo libero, al punto che, per non annoiarsi, aveva deciso di dedicare le numerose ore buche al suo passatempo preferito: il calcolo di π. Aveva deciso di organizzarsi in questo modo: al mattino determinava nuove cifre decimali, e al pomeriggio ripercorreva i calcoli eseguiti per correggere eventuali errori.
Nel 1853 presentò i primi risultati delle sue fatiche in un libro, intitolato "Contributions to mathematics, comprising chiefly the rectification of the circle to 607 decimals etc.".
Sebbene 607 cifre rappresentassero già un record eccezionale (l'unico degno concorrente di Shanks era William Rutherford, che nello stesso anno si era però fermato a 440 cifre), Shanks non era soddisfatto, e continuò a lavorare senza tregua per altri vent’anni per aggiungere altre cento posizioni decimali alla sua approssimazione, finché nel 1873 pubblicò la sua celebre tavola con 707 cifre.

Per eseguire i suoi calcoli, Shanks aveva deciso di utilizzare una formula scoperta dal matematico inglese John Machin nel 1706:

π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)

Nel corso della sua vita, Shanks si dedicò anche al calcolo delle cifre decimali della costante di Nepero e e della costante di Eulero-Mascheroni γ.
Pubblicò anche una tavola dei numeri primi fino a 60.000, calcolò i logaritmi naturali di 2, 3, 5 e 10 fino a 137 decimali, e i valori di 2^12m+1 per m = 1, 2, 3, ..., 60.

Ma il nome di William Shanks rimane legato alla colossale impresa del calcolo delle cifre di π: nessuno mai fece meglio di lui servendosi soltanto di carta e penna. 
Quando Shanks morì, nel 1882, i computer erano ancora lungi dall'apparire sulla terra: soltanto una cinquantina di anni dopo, con l'avvento dei primi calcolatori meccanici si cominciò a conoscere π più in profondità.
E fu proprio grazie ad un calcolatore che nel 1944 D. F. Ferguson si accorse di un errore nel calcolo di Shanks: la cifra n. 528 calcolata dal matematico ottocentesco era diversa da quella corretta, calcolata con un calcolatore meccanico e servendosi della formula alternativa

π/4 = 3 arctan(1/4) + arctan(1/20) + arctan(1/1985)

In definitiva, ricontrollando tutto il procedimento di Shanks, Ferguson stabilì che soltanto le prime 527 posizioni erano corrette, un po' come le cifre salmodiate da Kate Bush in "Pi".

Oggi, utilizzando un qualsiasi pacchetto di software matematico, basta premere un bottone per fare apparire tutte le prime 707 cifre di π, e anche per spingersi ben oltre, fino alle migliaia o ai milioni di cifre decimali.
William Shanks dedicò invece la gran parte della sua vita a questo calcolo: e anche se esso conteneva un errore, del quale peraltro lui non ebbe mai consapevolezza, la sua impresa rimane irripetibile e meravigliosamente romantica.