La top ten dei miei video su Youtube (6° posto)

Proseguiamo la scalata alla classifica dei video più popolari del mio canale "Paolo Alessandrini - Matematica".

Al sesto posto scopriamo "Numeri straordinari - Il numero di Joyce", del 12 febbraio 2021, con 6591 visualizzazioni. 

Curiosamente, come avete notato, i tre video finora realizzati per la serie "Numeri straordinari" si trovano tutti vicini nella classifica: questo, al momento, è il più visto dei tre (ma è anche vero che è il più vecchio dei tre, quindi ha avuto più tempo degli altri per essere visto).

Tengo molto anche a questo video, perché come nel caso del video su Buzzati si tratta di un esempio interessante di collegamento tra matematica e letteratura: e come tale potrebbe interessare anche agli insegnanti, per il suo valore didattico.

Numeri straordinari e #meganumeropreferito

Oggi è un giorno molto speciale: innanzitutto è una data palindroma. Ma che dico, doppiamente palindroma: si legge in entrambi i senso sia se la scriviamo in forma breve, cioè "12/2/21", sia se la scriviamo per esteso, come "12/02/2021".

In un giorno così matematicamente straordinario, non poteva non verificarsi un evento straordinario nel mondo della divulgazione matematica. Ci ha pensato l'amico Alberto Saracco, professore di geometria all'Università di Parma ed editor del sito MaddMaths, a organizzare l'evento: ha chiamato a raccolta un ardito manipolo di divulgatori matematici e ha chiesto loro di pubblicare su YouTube un video con l'hashtag #meganumeropreferito, in cui viene descritto il proprio numero preferito maggiore di un milione.

Il fatto straordinario è che Alberto ha ritenuto di coinvolgere anche il sottoscritto in questo club esclusivo (gli altri sono tutti illustri e bravissimi divulgatori): e così ho avuto il piacere e l'onore di partecipare a questa divertente avventura.

Ho deciso di parlare di un numero davvero speciale: il numero di Joyce. Si chiama così perché ne parla il celebre scrittore irlandese nel suo capolavoro, il romanzo "Ulisse". E' un meganumero perché corrisponde a 9 elevato alla nona potenza di 9: uno spaventoso gigante formato da più di 340 milioni di cifre!

Non vi svelo altro: trovate il video sul mio canale. A rendere ancora più speciale la giornata si aggiunge il fatto che questo video costituisce la prima uscita di una nuova serie, che ho intitolato "Numeri straordinari" e che vedrà nuovi video prossimamente.

Tornando all'iniziativa #meganumeropreferito, da oggi la sfida è aperta a tutti: chiunque potrà arricchire la playlist creando il proprio video, nel quale viene raccontato il proprio meganumero preferito.

Buona visione, buon #meganumeropreferito e buoni #numeristraordinari a tutti!

Le Biblioteche Totali

Il racconto "La biblioteca di Babele" di Jorge Luis Borges è una delle miniere d'oro più generose per ogni divulgatore matematico.
Anch'io, nel mio piccolo, non ho saputo resistere al fascino del claustrofobico, vertiginoso e bellissimo universo descritto dallo scrittore argentino e ne ho parlato spesso, per esempio in questa video-conferenza.

L'attrazione fatale della Biblioteca non ha conquistato solo matematici, critici letterari e scrittori, ma anche filosofi, architetti, scienziati, informatici e illustratori. Per esempio c'è un problema aperto relativo alla forma della Biblioteca, sul quale molte menti brillanti si sono interrogate. E questo si ripercuote sul problema di rappresentarla graficamente: tra i tentativi più brillanti quello di un programmatore americano, Jamie Zawinski. Ho utilizzato alcune delle sue immagini per impreziosire questo post.

La Biblioteca è formata da un numero indefinito di sale esagonali, ciascuna delle quali ospita 4 pareti adibite a librerie. Ogni parete è composta da 5 scaffali e ogni scaffale contiene 32 libri. I libri hanno tutti lo stesso formato: 410 pagine, ciascuna delle quali si compone di 40 righe, e ogni riga contiene irrimediabilmente 80 lettere di colore nero.
Ciascun libro risulta così formato da una successione di 410 ∙ 40 ∙ 80 = 1.312.000 caratteri. Ogni esagono contiene 4 ∙ 5 ∙ 32 = 640 libri, che corrispondono quindi a 640 ∙ 1.312.000 = 839.680.000 simboli.
Ma quanti libri e quanti simboli ci sono in tutta la Biblioteca? Non lo sappiamo, perché non è noto il numero degli esagoni che la compongono.

Tuttavia, possiamo dire quanti libri diversi del formato indicato da Borges possono esistere: basta applicare le formule del calcolo combinatorio e determinare il numero di diverse sequenze di 1.312.000 simboli esistenti. Visto che i caratteri diversi utilizzati nei libri della Biblioteca sono 25 (22 lettere più lo spazio, il punto e la virgola), è facile dedurre che esistono in tutto 25^1.312.000 diversi libri di quel formato. Questo numero equivale a circa 10^1.834.097, cioè a 1 seguito da circa un milione e ottocentomila zeri. Una quantità finita ma spaventosamente grande, non c'è che dire. Se anche un libro avesse le dimensioni di un atomo, non ci sarebbe spazio a sufficienza nell'intero universo per ospitare tutti questi volumi: il numero di atomi contenuti nell'universo conosciuto si aggira intorno a 10⁸⁰, che è un numero incomparabilmente minore. Insomma, occorrerebbe una quantità mostruosamente grande di universi per contenere i libri possibili!

Nonostante sia fisicamente assurdo, nel corso del racconto Borges ci informa che la Biblioteca è totale, cioè comprende sicuramente tutti quei 10^1.834.097 libri possibili (ma è possibile che di un libro esistano più copie, forse persino infinite copie). Il passo del racconto in cui viene fornita questa informazione è particolarmente intenso e drammatico:

Da queste premesse incontrovertibili dedusse che la Biblioteca è Totale, e che i suoi scaffali registrano tutte le possibile combinazioni dei venticinque simboli ortografici (numero anche se vastissimo, non infinito) cioè tutto ciò che è dato di esprimere in tutte le lingue. Tutto: la storia minuziosa dell’avvenire, le autobiografie degli arcangeli, il catalogo fedele della biblioteca, migliaia e migliaia di cataloghi falsi, la dimostrazione delle falsità di questi cataloghi, la dimostrazione della falsità del catalogo fedele, l'evangelo gnostico di Basilide, il commento del commento di questo vangelo, il resoconto veridico della tua morte, la traduzione di ogni libro in tutte le lingue, le interpolazioni di ogni libro in tutti i libri. 

Qualche settimana fa ho avuto il piacere di conoscere una persona con la quale ho riscontrato una singolare convergenza di interessi intellettuali. Giorgio Chini, questo il suo nome, è un ingegnere elettronico dalle vaste e profonde frequentazioni culturali. Dopo aver letto il mio libro "Matematica rock", ha voluto farmi notare l'analogia tra un passaggio del capitolo dedicato a pi greco, in cui mi soffermavo sui numeri normali, e un articolo (si veda figura a lato) che lui stesso scrisse intorno al 1985 traendo ispirazione proprio dalla "Biblioteca di Babele" di Borges.
L'intuizione centrale dell'articolo di Chini è quella di immaginare un equivalente "musicale" della Biblioteca di Babele. Fin da subito l'ho trovata estremamente suggestiva, al punto da indurmi a scrivere questo post e suscitare nella mia mente ulteriori idee, domande e approfondimenti.
All'epoca della stesura dell'articolo di Giorgio, il CD (Compact Disc) rappresentava una tecnologia di recente introduzione: come tale, costituiva l'ideale punto di riferimento per consentire una trasposizione del concetto borgesiano di Biblioteca Totale dal mondo della parola scritta a quello dei suoni.

Com'è spiegato nell'articolo, il segnale musicale viene campionato a intervalli di tempo regolari, precisamente 44100 volte al secondo. Ogni campione è costituito da un numero binario di 16 bit, mediante il quale viene codificata l'informazione relativa al segnale sonoro nell'istante in esame. Partendo da questi dati, è possibile intraprendere un ragionamento analogo a quello suggerito dal racconto di Borges: fissando per semplicità a un'ora la durata convenzionale di un CD, si calcola un totale di 60 ∙ 60 ∙ 44100 ∙ 16 = 2.540.160.000 bit contenuti in un disco. Il numero dei CD possibili è allora uguale a 2^2540160000, che equivale a circa 10^750.000.000: un numero finito, certo, ma spaventosamente maggiore del numero dei libri borgesiani possibili.

A maggior ragione rispetto alla Biblioteca di Babele, questa gigantesca Biblioteca Totale dei Suoni non potrebbe nemmeno lontanamente starci nel nostro universo, anche immaginando di poter ridurre ogni CD alle dimensioni di un atomo.
Che cosa si troverebbe in questa smisurata biblioteca sonora? Ritorna il tema vertiginoso, già esplorato da Borges, della totalità della Biblioteca: in questo caso troverebbe posto qualsiasi successione dei fatidici 10^750.000.000 bit, cioè ogni sequenza sonora della durata di un'ora. Chini illustra il concetto in questo bellissimo passo:

La maggior parte dei dischi conterrà un rumoraccio fastidioso e indecifrabile ma sempre diverso, così come nella Biblioteca c'è un sol libro che è, da cima a fondo, la ripetizione delle lettere MCV. Ma tanti dischi invece avranno senso: conterranno ad esempio il Requiem di Mozart in tutte le possibili esecuzioni, compresa quella che ho io in casa che è su un disco di vinile con un graffio, e anche quelle con tutte le possibili stecche di ogni orchestrale. Ci sarà l'Inverno come lo ha suonato Vivaldi appena lo ha composto, e un'esecuzione del Tannhauser dove la noia è interrotta dall'oboista che, al posto della sua parte, comincia a suonare "Space Oddity"; ci sarà la musica che Stockhausen non ha ancora scritto, e quella che Claudio Baglioni purtroppo ha già scritto.
Ma non solo la musica fa parte dei suoni. Se qualcuno di voi ha mai dormito in un prato, quando si è svegliato avrà sentito un rumore di un grillo; nella Biblioteca dei Suoni c'è: c'è anche il dischetto in cui quel dolce trillo è proprio nel mezzo al fragore della bomba di Hiroshima. C'è anche il rumore del caffè che passa in tutte le caffettiere possibili e quello dei passi di ognuno di noi su qualunque terreno, facile o duro che sia al nostro piede.
E poi tra i suoni ci sono le voci: quella di me stesso che leggo questo articolo, tutte le gaffe di Ronald Reagan, le parole dette da Dio a Mosè sul Sinai. Se Dio non esiste, come io penso, non importa: qualunque cosa avrebbe potuto dire, in qualsiasi lingua, nella Biblioteca c'è. Tutto quello che hanno detto tutti gli uomini, vissuti e non, è presente.
La voce tremante di chiunque dica "Io ti amo", quella che risponde "Io no", e quella di chi invece, felice tanto da piangere, dice "Anche io", sono tutte nella Biblioteca. Là ognuno può trovare il disco che lo condanna alla disperazione e quello in cui il proprio amore è ricambiato, però non potrà sapere su quale dei due è registrata la realtà.

A distanza di 35 anni, l'idea di Chini ne ha generata un'altra nella mia testa: perché non pensare anche a una Biblioteca Totale dei Film possibili?
Anche in questo caso dobbiamo fissare qualche parametro convenzionale, perché gli standard video e audio utilizzati in ambito cinematografico e televisivo costituiscono un mondo molto complesso e variegato. Ricorrendo alle specifiche emesse dal consorzio "Digital Cinema Initiatives" (DCI), diciamo di adottare i seguenti parametri:
1) per il video, una velocità di 24 fotogrammi al secondo, con un formato immagine di 2048 per 1080 pixel, e 36 bit per codificare l'informazione del colore di un singolo pixel;
2) per l'audio, 48.000 campioni al secondo e 24 bit per codificare un singolo campione.
Inoltre fissiamo una durata di due ore per ogni film della nostra Biblioteca.

Quanti sono i film possibili? Eseguendo un calcolo analogo ai precedenti si trova che:
1) per racchiudere l'informazione video di un intero film servono 2 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 36 ∙ 2048 ∙ 1080 = 13.759.414.272.000 bit;
2) per quanto riguarda l'audio, sono necessari 2 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 48.000 ∙ 24 = 8.294.400.000 bit.
Complessivamente ci servono circa 13.767 Gbit (ovviamente il video la fa da padrona).
I miei lettori si staranno certamente chiedendo perché non faccio alcuna menzione della possibilità di comprimere il pacchetto di informazioni: ebbene, è chiaro che questo è concretamente possibile (e fondamentale ai fini dell'efficienza del sistema), ma da un punto di vista concettuale non impatta sul conteggio dei distinti film possibili (d'altra parte, è facile dimostrare che qualsiasi algoritmo di compressione rimpicciolisce alcuni tipi di file - ovviamente quelli statisticamente più frequenti - ma ne ingrandisce altri)
Quanti sono in definitiva i film possibili? Il calcolo è sempre lo stesso: dobbiamo elevare 2 a 13.767 miliardi, ottenendo qualcosa come 10^{414.427.995.031}.
Prevedibilmente, il numero che risulta è molto maggiore di quello trovato per la Biblioteca Totale dei Suoni: è una quantità inconcepibile e spaventosamente colossale.

Anche in questa Biblioteca Totale dei Film c'è tutto. Come al solito, nella maggior parte dei dischi ci sono sequenze video incomprensibili e insensate, accoppiate a colonne sonore fatte unicamente di rumori senza significato. Ma da qualche parte ci sono anche tutti i film di Chaplin, Kubrick, Allen, Antonioni e di tutti i registi della storia del cinema. Ci sono i film che loro avrebbero voluto realizzare ma non hanno realizzato e tutte le varianti possibili, comprese le più assurde, dei loro film. Per esempio c'è "2001 Odissea nello spazio" con la colonna sonora costituita da pezzi metal al posto dei valzer di Strauss, c'è "Il grande dittatore" con le scene girate su Marte, c'è "Zabriskie Point" doppiato in lingua klingon, c'è "C'era una volta in America" con Aristotele in carne e ossa al posto di Robert De Niro, e così via.
Ovviamente non ci sarebbero soltanto film in senso stretto, ma anche combinazioni qualsiasi di video e audio. Ci sono le vere registrazioni della formazione della Terra, della morte dell'ultimo dinosauro, della prima volta in cui un uomo primitivo è riuscito ad accendere un fuoco, della nascita e della crocifissione di Cristo, della fase finale della battaglia di Waterloo. In uno dei film potreste rivivere tutti i sogni che avete fatto nelle ultime notti (e tutti gli altri sogni della vostra vita sono sicuramente custoditi in altri dischi). In un altro ci sono le puntate di Goldrake che io ho visto in TV in un pomeriggio del 1979: nei fotogrammi si vede non solo il cartone animato, ma anche il televisore che c'era a casa mia allora e parte della stanza, e la colonna sonora è la registrazione originale delle parole che Giulio Cesare pronunciò quando fu aggredito e accoltellato a morte.
Tranquilli, in un disco c'è anche il film della vostra morte: in sovraimpressione è riportata la data e l'ora in cui essa avverrà. Però c'è un numero incalcolabile di altri film che mostrano versioni alternative della vostra morte: a voi indovinare qual è il film "giusto". Ed esiste una sequenza di dischi (l'unico problema è trovarli e metterli in ordine) che documentano in ogni dettaglio tutta la vostra vita, tutto quello che i vostri occhi e le vostre orecchie hanno percepito da quando siete nati fino a ora e anche nel futuro. La stessa cosa vale per tutti gli altri abitanti del mondo, anche quelli che non ci sono più, quelli che non ci sono ancora e perfino quelli che non ci saranno mai.
Insomma, tutta la vita di ogni possibile essere umano (o non umano), ogni fatto accaduto (o non accaduto) nell'universo in ogni epoca passata, presente e futura: tutto, proprio tutto è custodito in questa incredibile Biblioteca.
Mi fermo qui perché continuare potrebbe far girare la testa, sia a voi che a me, e concludo con un caloroso grazie all'amico Giorgio Chini.

Il fascino dei grandi numeri

Dopo "La formula più bella del mondo", trasformata qualche giorno fa in un video, è il turno di un'altra mia conferenza, dedicata al tema dei grandi numeri: la tenni due anni fa al "Dolomiti in Scienza", rassegna organizzata dal Gruppo Divulgazione Scientifica Dolomiti di Belluno, associazione della quale faccio parte da ormai più di un decennio.

Spero che questo video possa piacervi e appassionarvi: è un tentativo di mostrare quanto la matematica contenga elementi sorprendenti e offra connessioni con molte altre discipline, per esempio la letteratura e addirittura i fumetti.

Buona visione!

 

Mr. Palomar su Radio24

In queste settimane estive il blog si riposerà un poco, anzi, a dire il vero ha già cominciato a farlo da qualche giorno. Ripartirà con le consuete rubriche e con nuovi post verso fine agosto.
Volevo però ricordarvi che, se qualcuno ha voglia di sentir parlare di numeri e di matematica anche in estate, lo potrà fare sintonizzandosi su Radio24 venerdì 17 agosto alle ore 21.45: sentirà il sottoscritto parlare di numeri grandi e smisurati nella trasmissione "Due pesi due misure" condotta da Federico Pedrocchi e Chiara Albicocco.
Non mancate all'appuntamento, mi raccomando!

La citazione matematica del sabato (#1)

Qualche anno prima, nel 1886, quando era occupato con il problema della quadratura del cerchio, era venuto a sapere dell’esistenza di un numero calcolato con relativo grado di precisione da essere di grandezza tale e di così tante cifre, ad esempio la nona potenza della nona potenza di nove, che una volta ottenuto il risultato, sarebbero stati necessari 33 volumi stampati strettamente di 1.000 pagine, ciascuna ottenuta da innumerevoli risme di carta India, per contenere il racconto completo delle sue cifre stampate di unità, decine, centinaia, migliaia, decine di migliaia, centinaia di migliaia, milioni, decine di milioni, centinaia di milioni, miliardi, il nucleo della nebulosa di ogni cifra di ogni serie contenendo in breve la potenzialità dell'essere elevata all'estrema elaborazione cinetica di qualsiasi potenza di qualsiasi delle sue potenze.

James Joyce, "Ulysses" (capitolo 17, "Ithaca")

Come costruire un libro infinito (terza parte)

Jean Paul Delahaye

Per chi si fosse perso le prime due puntate di questo blog multiplo sui libri infiniti, ecco la prima e la seconda. Nella seconda parte accennavo alle caratteristiche paradossali di alcuni dei libri descritti da Jean Paul Delahaye.

Per esempio, aprendo a caso il libro Q, legato all'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 e 1, troviamo con certezza due pagine nere a sinistra e a destra: questo volume sembra possedere più pagine nere-abisso del libro R, associato all'insieme dei numeri reali inclusi nello stesso intervallo.

Possiamo costruire un altro libro alquanto bizzarro togliendo al libro Q la prima e l'ultima pagina: il libro Q' che otteniamo sembra non contenere alcuna pagina stampata, quando invece ne contiene infinite.
D'altro canto, un libro infinito non può essere privo di pagine leggibili: anzi, per definizione, ne deve contenere in quantità infinita. Le pagine stampate del libro Q', infatti, ci sono, e sono appunto infinite, ma non è possibile trovarle aprendo il libro: sono, paradossalmente, pagine segrete, del tutto impenetrabili ai nostri occhi.

Anche il libro R è, a modo suo, paradossale. Aprendolo a caso, come abbiamo già visto, troviamo una pagina nero-abisso e una pagina leggibile. Ogni pagina stampata, in effetti, è sempre preceduta e seguita da pagine nere: i testi del libro sono tutti isolati e sconnessi gli uni dagli altri.

Una versione tridimensionale dell'insieme di Cantor

Un altro libro infinito paradossale riflette la struttura del frattale noto come "insieme di Cantor". Partendo dall'intervallo [0, 1], lo si divide in tre parti uguali e si scarta quella centrale. Quindi, per ciascuno degli intervalli rimasti, si ripete il procedimento, e così via ad infinitum.
Questo processo di eliminazione continua produce, al limite, un insieme che si dimostra essere di misura nulla e tuttavia formato da un'infinità di numeri. Non solo: si tratta di un'infinità non numerabile.
Detto diversamente: le pagine del libro di Cantor, che chiamiamo C, sono infinite  quanto i numeri reali, e non soltanto come i numeri interi. Aprendo il libro a caso, si trovano sempre due pagine stampate, ma subito prima e subito dopo vi sono pagine nere. Il libro è molto strano: sembra essere composto da coppie di pagine leggibili, isolate e circondate da pagine nere-abisso. Come il libro R, con la differenza che ogni pagina isolata è stata, per così dire, sdoppiata. Ma anche questo è paradossale, perché in realtà C ha meno pagine di R.

Questa ubriacatura di libri paradossali fa venire alla mente il paradosso del bibliotecario. In una grande biblioteca venivano prodotti molti cataloghi del posseduto: uno elencava i libri in italiano, un altro quelli in inglese, un altro ancora i volumi di matematica, e così via. I cataloghi venivano classificati dal bibliotecario come libri ordinari, e come tali erano disposti sui normali scaffali della biblioteca e catalogati al pari degli altri volumi.
Un giorno il bibliotecario si accorse che alcuni dei cataloghi erano elencati in se stessi (per esempio l'elenco dei volumi in italiano e quello dei volumi stampati nell'anno in corso), e altri (per esempio quello dei libri in inglese e quello dei libri di matematica) non lo erano. Per approfondire la curiosa questione, il bibliotecario decise allora di stilare due ulteriori cataloghi: quello dei cataloghi  elencati in se stessi e quello dei cataloghi non elencati in se stessi. I problemi del bibliotecario iniziarono non appena si domandò se quest'ultimo volume dovesse o no includere se stesso.
Infatti, supponiamo che il catalogo dei cataloghi non elencati in se stessi contenga anche se stesso: ma allora il catalogo stesso è elencato in se stesso, e come tale non dovrebbe comparire nella sua stessa lista. Viceversa, supponiamo che questo elenco non contenga se stesso: se ciò accade, si tratta di un catalogo che dovrebbe comparire nella lista dei cataloghi non elencati in se stessi, quindi l'elenco dovrebbe autoincludersi.
Non c'è via d'uscita: siamo di fronte a un paradosso, un po' come quello del famoso barbiere di Russell o quello del mentitore cretese.

A parte il carattere paradossale, cosa c'entra la storiella del bibliotecario con i libri infiniti? Nella versione classica, che è quella che ho raccontato, nulla. Ma esiste una versione alternativa della storia ambientata in una biblioteca che comprende tutti i libri possibili: anche quelli mai esistiti, impossibili, impensabili. In una simile vertiginosa e infinita biblioteca, anche il fatidico catalogo dei cataloghi non elencati in se stessi, per quanto contraddittorio, deve essere presente.

Da http://www.vallesabbianews.it

Qui a essere infinito non è il singolo libro, ma la biblioteca, e parlando di biblioteche infinite non può non tornare in mente La biblioteca di Babele. Non a caso, in questo racconto Borges allude un paio di volte al paradosso del bibliotecario:

Come tutti gli uomini della Biblioteca, in gioventù io ho viaggiato; ho peregrinato in cerca di un libro, forse del catalogo dei cataloghi; ora che i miei occhi quasi non possono decifrare ciò che scrivo, mi preparo a morire a poche leghe dall'esagono in cui nacqui.

Non vi sono, nella vasta Biblioteca, due soli libri identici. (…) i suoi scaffali registrano tutte le possibili combinazioni dei venticinque simboli ortografici (numero, anche se vastissimo, non infinito), cioè tutto ciò che è dato di esprimere in tutte le lingue. Tutto: la storia minuziosa dell’avvenire, le autobiografie degli arcangeli, il catalogo fedele della Biblioteca, migliaia e migliaia di cataloghi falsi, la dimostrazione della falsità di questi cataloghi, la dimostrazione della falsità del catalogo autentico, (…)

D'accordo, nella Biblioteca di Babele si parla di una biblioteca infinita, ma, come già ricordato nella prima parte di questo post, è Borges stesso a osservare come una biblioteca infinita sia perfettamente equivalente a un unico libro infinito, formato da un numero infinito di fogli infinitamente sottili.
Anche un libro infinito, come quelli descritti da Delahaye, potrebbe ospitare in sè tutti i libri della Biblioteca di Babele, i suoi cataloghi, i cataloghi dei cataloghi, e così via.
La questione interessante, sostiene il matematico francese, consiste casomai nell'analizzare i diversi modi in cui un libro infinito può contenere informazione. Da questo punto di vista, Delahaye individua quattro diverse tipologie di libro infinito:
1. libri infiniti in cui ogni pagina contiene un numero fisso di caratteri (o pixel di immagini);
2. libri infiniti in cui ogni pagina contiene un numero finito ma variabile di caratteri (o pixel di immagini);
3. libri infiniti in cui ogni pagina contiene una infinità numerabile di caratteri (o pixel di immagini);
4. libri infiniti in cui ogni pagina è assimilabile a una porzione del piano cartesiano, sulla quale si possono disegnare testi e immagini in modo infinitamente fine.
Ciascuna di queste famiglie di libro infinito è caratterizzata da situazioni e conseguenze diverse, che Delahaye sviscera in dettaglio.
E qui mi fermo, stavolta definitivamente. Il lettore troverà senz'altro ulteriori spunti di approfondimento sul citato libro di Delahay, e ovviamente anche sui testi letterari da me citati in questi tre post.
Ve lo posso assicurare: sono tutti libri finiti, quindi li potete leggere dall'inizio alla fine tranquillamente, senza pericolo di perdervi nei vertiginosi meandri dell'infinito.

Come costruire un libro infinito (seconda parte)

Nella prima parte di questo post (uscita ormai più d'un mese fa: perdonatemi il ritardo con cui esce questa sezione finale), riportavo l'"assioma dei libri infiniti" così come formulato da Jean Paul Delahaye:

ogni sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1] dei numeri reali compresi fra 0 e 1 determina un libro infinito anch'esso chiamato E. A ciascun elemento x di E corrisponde un foglio x del libro E. Se x e y sono due elementi di E e x<y, allora il foglio associato a x si trova, nel libro E, davanti al foglio associato a y.

Ciascuno dei libri infiniti che rispettano l'assioma di Delahaye è quindi associato a un sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1].
Ovviamente questa ipotesi è piuttosto difficile da immaginare, perché stiamo parlando di sottoinsieme infiniti, e ciò significa che dobbiamo figurarci nella mente fogli infinitamente sottili, cosa non certo intuitiva.
D'altra parte, fa notare Delahaye nel suo libro (che, per inciso, non è infinito), non si capisce perché  fogli di spessore infinitesimale debbano essere più assurdi rispetto a istanti di tempo di durata infinitesimale, che in fisica sono del tutto normali.

Come la mettiamo però con il fatto che ogni foglio ha due facce, cioè due pagine? È presto detto. Se x è il numero reale appartenente all'intervallo [0,1], la pagina anteriore, cioè il recto, sarà associata a un numero indicato come x^_, mentre la pagina posteriore, cioè il retro, sarà legata a un numero denotato come x⁺.

Prendiamo ora E oppure una sua parte (ovvero un plico di fogli del nostro libro infinito). Tale insieme avrà un estremo inferiore inf(E) e un estremo superiore sup(E). Può accadere che l'estremo inferiore appartenga a E, oppure no. E analogamente per l'estremo superiore.
Per esempio, consideriamo il libro infinito associato all'insieme A = {..., 1/n, ..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1}. L'estremo superiore di questo insieme è uguale a 1: dato che esso appartiene all'insieme A stesso, lo chiamiamo massimo di A.
L'estremo inferiore è invece 0, ma questo numero non fa parte di A, e quindi possiamo dire che A non ha un minimo.
Quali sono le conseguenze per il nostro libro infinito? Visto da sopra, il libro non presenta una pagina specifica, cosa che accadrebbe se invece l'insieme A avesse un minimo. Per convenzione, Delahaye immagina che il plico di fogli appaia completamente nero, o, più poeticamente, nero-abisso, come se l'insieme infinito di fogli sottostanti producesse, a causa della trasparenza della carta, una sorta di infinita sovrapposizione del contenuto nero stampato.
In altre parole, nessuna pagina è la prima pagina di questo mostruoso libro infinito. Un'ultima pagina, invece, ce l'ha, ed è la pagina associata al numero 1⁺.

Delahaye suggerisce che, quando il lettore trova, in un punto qualsiasi del libro, una pagina stampata, sulla sinistra o sulla destra, può sempre umettarsi leggermente il dito e voltare la pagina: all'indietro se si tratta di una pagina sulla sinistra, o in avanti se si tratta di una pagina sulla destra. Detto altrimenti, il lettore può staccare la pagina dal plico cui appartiene, osservandone la parte opposta.
Torniamo al nostro libro A. Umettando ripetutamente il dito e andando dall'ultima pagina a ritroso verso l'inizio, si sfilano in sequenza le pagine 1⁺ , 1^_ , 1/2⁺, 1/2^_, 1/3⁺, 1/3^_, ... Tutte queste pagine appaiono stampate, cioè non sono nero-abisso. Solo la copertina iniziale è completamente nera: possiamo immaginare che le pagine, mano a mano che ci si avvicina all'inizio, diventino sempre più sottili, tendendo all'infinitamente sottile!

Il libro A sembra quindi un supporto perfetto per una storia che ha un finale ma che non ha un inizio preciso.
Viceversa, un libro complementare ad A è un libro che inizia ma non finisce: per esempio il libro infinito associato all'insieme B ={1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}, che ha come unica pagina nero-abisso la sua ultima pagina.
Il libro A può essere modificato aggiungendo, davanti alla copertina, una pagina corrispondente allo 0: otteniamo così il libro associato a A' = {0} U {..., 1/n, ..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1}. Il primo foglio di questo libro può essere voltato inumidendo il dito, ma dopo aver compiuto questa operazione il lettore si troverà davanti la pagina 0⁺ a sinistra e una pagina nero-abisso a destra. Questa vertiginosa pagina nera nasconde in realtà l'insieme di fogli corrispondente all'insieme dei numeri reali A.

Un interessante libro infinito è quello associato all'insieme C ={..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1- 1/3, 1-1/4, 1-1/5, ...}, che presenta le due copertine completamente nere, ma nessun'altra pagina in questo volume è nero-abisso. Il foglio 1/2 si trova a metà tra un'infinità di pagine e un'altra infinità di pagine.
Come osserva Delahaye, tutto sommato si tratta di un libro infinito dalla struttura abbastanza semplice.
Un libro certamente più affascinante è quello legato all'insieme D = {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...} U {..., 1/2+1/5, .1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}. Questa volta, al centro del libro c'è un doppio accumulo di fogli: se il lettore riuscisse ad aprirlo esattamente nel mezzo, troverebbe a sinistra un plico nero-abisso corrispondente all'insieme privo di massimo {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...}, e a destra un altro plico nero-abisso corrispondente all'insieme privo di minimo {..., 1/2+1/5, .1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}.
Finché il lettore non riesce a operare questa delicata e precisissima apertura del volume, potrebbe pensare di avere a che fare con il libro corrispondente all'insieme D' = {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...} U {1/2} U {..., 1/2+1/5, 1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}.

I due libri D e D' sono topologicamente diversi, mentre può accadere che diversi insiemi infiniti corrispondano in realtà a libri indistinguibili tra loro, in quanto perfettamente equivalenti dal punto di vista topologico. Tanto per fare un esempio banale, {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...} e {2, 4, 6, ..., 2n, ...} generano libri infiniti indistinguibili l'uno dall'altro.

Il libro R è il libro infinito associato all'insieme di tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. Com'è fatto questo volume? Possedendo un minimo, 0,  e un massimo, 1, le copertine sono entrambe stampate. Tuttavia, girando la prima pagina, troveremo sulla sinistra una pagina stampata e sulla destra una pagina nero-abisso, dato che non esiste il minimo dei numeri reali positivi. In modo analogo, partendo dall'ultima pagina e tornando indietro, ci imbattiamo subito in una pagina leggibile sulla destra, e in una pagina nero-abisso sulla sinistra.
In generale, aprendo il libro a caso, scopriremo sempre, sui due lati, una pagina nero-abisso e una pagina leggibile. Il fatto che la pagina nera si trovi a sinistra o a destra dipende dal tipo di separazione che operiamo aprendo il libro casualmente. La separazione può infatti essere del tipo [0, x[ e [x, 1] oppure del tipo [0, x] e ]x, 1]. Nel primo caso troveremo la pagina nera sulla sinistra, mentre nel secondo caso la osserveremo sulla destra.

Un altro libro infinito descritto da Delahaye è quello Q, associato all'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 e 1. Com'è noto, i numeri razionali sono quelli della forma p/q, dove p e q sono numeri interi, con p compreso strettamente tra 0 e q, e q diverso da zero. 

Come accade per il libro R, anche Q ha le due copertine stampate, e quando si gira il primo foglio, oppure l'ultimo all'indietro, si trova una pagina completamente nera. Però, sfogliando il libro Q, può accadere a un certo punto di trovare entrambe le pagine di color nero-abisso. Perché? Per il fatto che alcuni sottoinsiemi superiormente limitati dell'insieme dei numeri razionali non hanno l'estremo superiore.
Questo può apparire un paradosso: il libro Q sembra presentare più pagine nere del libro R, quasi come se il libro Q fosse più infinito del libro R (cosa paradossale visto che l'insieme dei reali, che ha la potenza del continuo, è in realtà più "numeroso" dell'insieme dei razionali, che è "soltanto" numerabile).

Non solo: abbiamo visto che aprendo a caso il libro R, ci troviamo sempre a che fare con una pagina leggibile e una pagina nero-abisso. Cosa accade se invece apriamo a caso il libro Q?

Per rispondere a questa domanda, dobbiamo definire rigorosamente l'operazione di apertura a caso di un libro infinito. Tale operazione equivale a estrarre a caso un numero reale x compreso tra 0 e 1, e mettere a sinistra tutti i fogli il cui numero è minore di x, e a destra tutti i fogli il cui numero è maggiore di x. Se x stesso corrisponde a un foglio presente nel libro, si fa testa o croce per decidere se il foglio x deve essere posizionato a destra o a sinistra.

Ora, visto che i numeri razionali costituiscono una porzione trascurabile nell'insieme dei numeri reali, se apriamo a caso il libro Q, sorteggeremo con una probabilità del 100% un numero x irrazionale, il che significa che sia a destra che a sinistra vedremo il mostruoso colore nero-abisso.

Bene. Per adesso può bastare. La terza parte del post concluderà questo strano viaggio attraverso i libri senza fine: oggetti vertiginosi e paradossali, che soltanto due cose meravigliosamente folli come la matematica e la letteratura potevano concepire.

Come costruire un libro infinito (prima parte)

Da insularomana.wordpress.com

Sarà di certo capitato anche a voi di immergervi rapiti nelle pagine di un libro, divorarle con avidità e godimento e, una volta giunti alla fine, pensare: “L’unico difetto di questo libro è che è troppo breve”. Oppure: “Avrei desiderato che l’ultima pagina non arrivasse mai”. O semplicemente: “Peccato che sia finito”.

Già, perché se un libro viene finito, cioè terminato, vuol dire che è finito, cioè che non è infinito. D’altra parte, credo che né io né voi abbiamo mai avvistato libri infiniti.

Eppure, l’idea di un libro senza fine è talmente forte e densa di implicazioni affascinanti e vertiginose che molti l’hanno in qualche modo affrontata. Ma come realizzare un libro infinito?

Libri ciclici (infinito metaforico)

Esiste un trucco per farlo in modo molto semplice: con qualche artificio si fa in modo che il lettore, arrivato in fondo al libro, riparta dall’inizio. Una struttura ciclica, quindi. O, se preferite, un’applicazione libresca dei corsi e ricorsi storici di Gianbattista Vico o del concetto nietzschiano dell’eterno ritorno.
Solo che in questo modo non si realizza veramente un libro infinito, ma piuttosto un libro illimitato, un po’ come una circonferenza, che non ha inizio né fine, ma nemmeno una lunghezza infinita.
L’artificio del libro ciclico fu realmente utilizzato dallo scrittore irlandese James Joyce nella sua ultima e più complessa opera, pubblicata nel 1939 con il titolo Finnegans wake: il testo si apre infatti con la frase

riverrun, past Eve and Adam's...

che in realtà è la seconda parte della frase che conclude il libro:

A way a lone a last a loved a long the

Un altro esempio di libro ciclico lo troviamo nel romanzo La storia infinita, pubblicato nel 1979 dallo scrittore tedesco Michael Ende. Il libro ha una struttura molto complessa e una trama estremamente intricata e suggestiva. La versione cinematografica del 1984, diretta da Wolfgang Petersen, sebbene molto coinvolgente, piena di magnifici effetti speciali e impreziosita da una bella colonna sonora, sacrificava molto della ricchezza e della profondità del testo originale. Per la cronaca, Ende si inferocì dopo aver visto la pellicola, e affermò: "Auguro la peste ai produttori. M'hanno ingannato. Quello che mi hanno fatto è una sozzura a livello umano, un tradimento a livello artistico."

Nel romanzo, La storia infinita è il titolo di tre libri diversi:
1. il libro scritto da Ende, nel quale sono narrate, in color rosso rubino, le vicende del mondo reale e, in color verde-azzurro, quelle del regno di Fantàsia;
2. il libro rubato dal ragazzino Bastiano in un negozio di antiquariato, in cui sono raccontate soltanto le vicende di Fantàsia;
3. il libro scritto dal Vecchio della Montagna Vagante, in cui sono descritte, in color verde-azzurro, le vicende del mondo reale e, in color rosso rubino, quelle del regno di Fantàsia.

Michael Ende (1929-1995)
Da http://alleszeichnen.blogspot.it

Come in un gioco di scatole cinesi, il primo libro contiene il secondo, e il secondo contiene il terzo. Il terzo libro sarebbe identico al primo, se non fosse per l'inversione speculare dei colori in cui sono scritte le vicende reali e quelle del regno di Fantàsia. Verso la fine della fantasiosa e affascinante vicenda del romanzo, l'Infanta Imperatrice trova, sulla sommità di un'alta torre, la dimora del Vecchio, il quale è intento nella stesura del terzo libro.
L'Imperatrice chiede al Vecchio di leggere il libro.
Lui, pur riluttante, esegue l'ordine, innescando così la Fine Infinita, un vertiginoso ciclo ricorsivo senza fine:  tutti gli avvenimenti della Storia Infinita si ripetono, a partire dal furto del libro da parte di Bastiano.
Il ragazzino, allora, comprendendo di essere rimasto intrappolato in un loop senza fine, pronuncia il nome "Fiordiluna", che magicamente funziona come condizione di terminazione del ciclo infinito: qualcosa di analogo all'"ordine di procedere a un risveglio" nell'Abate cruento di Elio.

Anche lo scrittore argentino Jorge Luis Borges ha immaginato spesso libri pseudo-infiniti dalla struttura ciclica. Nel celebre racconto La biblioteca di Babele descrive un libro fisicamente ciclico: un gran libro circolare dalla costola continua, che gira tutto attorno alla parete di una stanza di forma circolare. Successivamente si apprenderà che questo libro ciclico è Dio.
L’immagine del volume circolare ritorna anche in un altro racconto famoso, Il giardino dei sentieri che si biforcano, che ho già citato in un vecchio post riguardante la computazione quantistica.
La vicenda narrata è quella del professore cinese Yu Tsun, spia in Inghilterra al servizio della Germania durante la prima guerra mondiale. Yu Tsun è il discendente di Ts'ui Pen, noto per avere scritto un enorme romanzo e per avere costruito un labirinto infinito, che nessuno è mai riuscito a ritrovare. Stephen Albert, uno studioso di letteratura cinese gli svela la verità, contenuta in una lettera vergata dallo stesso antenato di Yu Tsun:

Prima di ritrovare questa lettera, m'ero chiesto in che modo un libro potesse essere infinito.
Non potrei pensare che a un volume ciclico, circolare: un volume la cui ultima pagina fosse identica alla prima, con la possibilità di continuare indefinitamente.
Mi rammentai anche della notte centrale delle Mille e una notte, dove la regina Shahrazad (per una magica distrazione del copista) si mette a raccontare testualmente la storia delle Mille e una notte, a rischio di tornare un'altra volta alla notte in cui racconta, e così all'infinito. Pensai anche a un'opera platonica, ereditaria, da trasmettersi di padre in figlio, e alla quale ogni nuovo individuo avrebbe aggiunto un capitolo, emagari corretto, con zelo pietoso, le pagine dei padri. Queste congetture mi attrassero; ma nessuna sembrava corrispondere, sia pure in modo remoto, ai contraddittori capitoli di Ts'ui Pen.

Raymond Queneau (1903 – 1976)

Libri combinatori (infinito potenziale)

Alla fine Albert svela la verità a Yu Tsun: libro e labirinto sono in realtà la stessa cosa, e costituiscono il "giardino dei sentieri che si biforcano" del titolo. Non un labirinto infinito nello spa
zio, quindi, ma un romanzo labirintico che cerca di descrivere tutte le conseguenze future di un evento a più livelli, in una ramificazione vertiginosa e potenzialmente infinita.

Potenzialmente, appunto. Potrei soffermarmi sulle molte complesse strutture combinatorie esplorate nel Novecento da alcuni scrittori, primi fra tutti Raymond Queneau nei suoi Cent mille milliards de poèmes: un insieme di dieci sonetti ciascuno dei quali occupa una pagina ed è formato da 14 versi. Ogni pagina è tagliata in strisce orizzontali, ciascuna delle quali contiene un verso: le combinazioni che si vengono a creare sono quindi 10¹⁴, appunto i centomila miliardi del titolo.


Libri veramente infiniti (infinito attuale)

Se la ciclicità è poco più di un trucco per rappresentare l'infinito, anche le strutture combinatorie, per quanto ardite e mostruosamente ramificate, non possono che tendere all'infinito, senza mai raggiungerlo davvero.
Per forza, direte voi: mica vorrai costruire un libro veramente infinito!
Non fisicamente, certo, ma almeno concettualmente forse una strada esiste, e a questo proposito il solito Borges ha indicato alcuni spunti interessanti.
Il racconto La biblioteca di Babele termina con la seguente vertiginosa visione:

Letizia Alvarez de Toledo ha osservato che la vasta Biblioteca è inutile: a rigore, basterebbe un solo volume, di formato comune, stampato in corpo nove o dieci, e composto d’un numero infinito di fogli infinitamente sottili (Cavalieri, al principio del secolo XVII, affermò che in ogni corpo solido è la sovrapposizione di un numero infinito di piani). Il maneggio di questo serico vademecum non sarebbe comodo: ogni foglio apparente si sdoppierebbe in altri simili; l’inconcepibile foglio centrale non avrebbe rovescio.

Il principio di Cavalieri, cui Borges fa riferimento, attribuisce una astratta plausibilità a un’idea di libro infinito che ovviamente rimane impossibile dal punto di vista concreto: come sarebbe possibile, infatti, realizzare un volume di spessore finito costituito da un numero infinito di pagine infinitamente sottili?
Ammettendo comunque che l’operazione sia possibile, è chiaro che un siffatto libro sarebbe un vero libro infinito, e potrebbe quindi raccogliere in sé l’intero contenuto di una biblioteca infinita come quella descritta da Borges nella prima parte del racconto.

Jorge Luis Borges (1899 - 1986) - da http://quadernodizaffiro.blogspot.it

L’idea del libro infinito deve avere ossessionato a lungo il grande scrittore argentino, e non dobbiamo stupirci di ritrovarla anche in un’altra storia, scritta qualche anno più tardi, e significativamente intitolata Il libro di sabbia.
Il racconto fa parte della raccolta omonima del 1975, che contiene anche il racconto Tigri blu.
Nella vicenda raccontata da Borges, il protagonista riceve uno strano libro da un venditore di bibbie:

Mi disse che il suo libro si chiamava il Libro di Sabbia, perché quel libro e la sabbia non hanno né principio né fine. Mi disse di cercare la prima pagina.

Con la mano sinistra sopra il frontespizio, cercai la prima pagina con il pollice quasi incollato all'indice. Tutto fu inutile: tra il frontespizio e la mano si interponevano sempre nuovi fogli. Era come se sorgessero dal libro.

«Adesso cerchi la fine.»

Fallii di nuovo; riuscii appena a balbettare con una voce che non era la mia:

«Non è possibile.»

Sempre sottovoce, il venditore di bibbie mi disse:
«Non è possibile, ma è. Il numero di pagine di questo libro è esattamente infinito. Nessuna è la prima, nessuna è l'ultima. Non so perché siano numerate in questo modo arbitrario. Forse per suggerire che i termini di una serie infinita ammettono qualsiasi numero.

Ben presto il libro diviene un tormento insostenibile per il protagonista, il quale decide alla fine di disfarsene abbandonandolo sugli scaffali di una biblioteca.

Verso la fine dell'estate capii che il libro era mostruoso. A nulla valse considerare che non meno mostruoso ero io, che lo percepivo con occhi e lo palpavo con dieci dita provviste di unghie. Sentii che era un oggetto da incubo, una cosa oscena che infamava e corrompeva la realtà.

Pensai al fuoco, ma ebbi paura che la combustione di un libro infinito fosse altrettanto infinita e soffocasse con il fumo il pianeta.
Ricordai di avere letto che il luogo migliore per nascondere una foglia è un bosco. Prima di andare in pensione lavoravo nella Biblioteca Nazionale, che conserva novecentomila libri; so che a destra del vestibolo una scala curva si immerge nello scantinato, dove si trovano i periodici e le carte geografiche. Approfittai di una distrazione degli impiegati per perdere il Libro di Sabbia in uno di quegli umidi scaffali. Cercai di non osservare né a che altezza né a che distanza dalla porta.
Provo un po' di sollievo, ma non voglio nemmeno passare per via México.

Libri come quelli sognati da Borges nella Biblioteca di Babele e nel Libro di sabbia sono, per così dire, veramente infiniti, nel senso che la nozione di infinito che racchiudono non è soltanto una metafora, come nel caso dei libri ciclici, o una potenzialità, come nei libri combinatori alla Queneau. Qui ci si confronta invece con un infinito matematico "attuale".
Si direbbe che l'infinito del primo libro descritto da Borges abbia la potenza del continuo (come i numeri reali), mentre il secondo sembra essere numerabile (come i numeri interi).
Nel bellissimo saggio Jeux finis et infinis del 2010 (edito in Italia da Dedalo nel 2012 col titolo Giochi finiti e infiniti), il matematico francese Jean Paul Delahaye ha fornito una definizione rigorosa di un libro infinito alla Borges.
Quello che Delahaye chiama l'"assioma dei libri infiniti" stabilisce infatti che:

ogni sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1] dei numeri reali compresi fra 0 e 1 determina un libro infinito anch'esso chiamato E. A ciascun elemento x di E corrisponde un foglio x del libro E. Se x e y sono due elementi di E e x<y, allora il foglio associato a x si trova, nel libro E, davanti al foglio associato a y.

Questo principio consente di immaginare una grande varietà di libri infiniti, dato che a ogni sottoinsieme infinito dell'insieme dei reali compresi tra 0 e 1 corrisponde un libro infinito ben preciso, con proprie caratteristiche legate alle peculiarità del sottoinsieme stesso.
Vedremo nella seconda parte di questo post come sono fatti questi strani, affascinanti e mostruosi libri infiniti.

Nomi di numeri - Parte seconda

D'accordo, "fantastiliardo" è una parola (scherzosa) che indica un particolare numero naturale, uno degli infiniti numeri naturali esistenti, e che non appartiene alla serie delle parole istituite "ufficialmente" per denominare queste quantità. L'espressione italiana ufficiale per indicare questo numerone è infatti "cento milioni di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi", e potremmo dire che fantastiliardo è un soprannome di questa espressione, un modo alternativo per scrivere questa quantità in parole.
D'altra parte, questo non è l'unico caso di nome "ufficioso" utilizzabile per indicare un numero.

Anche escludendo taluni casi speciali di numeri non interi, ad esempio π, e, φ, e così via, sono almeno tre i numeri che meritano una particolare menzione in questo senso.

In tutti e tre i casi si tratta di numeri grandi. Anzi, grandissimi. Ma che dico? Giganteschi.

Ma andiamo per ordine. In un giorno del 1938, il matematico americano Edward Kasner, docente alla Columbia University, porta i suoi due nipotini, Edwin e Milton, a fare una passeggiata al parco delle New Jersey's Palisades, vicino a  New York. 

Kasner ha bisogno di un nome simpatico per un numero che ha in mente, e del quale vuole parlare nel libro che sta scrivendo: un numero davvero enorme, corrispondente a 10 elevato alla 100, cioè 1 seguito da 100 zeri. In termini ufficiali: 10 miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi!

Un numero più grande del fantastiliardo, quindi: solo che in quel lontano 1938 Paperon de' Paperoni non era ancora nato, e quindi non esistevano nemmeno i fantastiliardi.

Lo zio Edward chiede ai nipotini se hanno qualche nome da suggerire. Il piccolo Milton, di nove anni, propone il primo nome che gli salta in mente: googol. 

Allo zio questa parola piace subito, e decide di utilizzarla nel suo libro. Ma, si sa, l'appetito vien mangiando, e subito dopo Kasner si inventa un numero ancora più grande: 10 elevato a un googol, cioè 1 seguito da un numero di zeri pari a un googol, e decide di chiamarlo googolplex.
Il googolplex è un numero molto più grande del googol: è praticamente impossibile non soltanto immaginarlo, ma perfino scriverlo, perché in tutto l’universo non ci sarebbe abbastanza spazio per scrivere tutte le sue cifre!

Facciamo un salto dalla East Coast alla West Coast, e dal 1938 al 1997: in un'aula della Stanford University, due studenti ventiquattrenni di informatica, Larry Page e Sergey Brin, stanno discutendo con altri compagni sul progetto di un nuovo motore di ricerca, basato su caratteristiche molto innovative. Il nome provvisorio del software è "BackRub", ma i due vorrebbero un nome più accattivante, che evochi l’immensità della rete che il motore di ricerca è in grado di esplorare.
Uno degli studenti presenti alla riunione, Sean Anderson, si ricorda a un tratto del libro di Edward Kasner, e suggerisce il nome "Googolplex”.  L’idea conquista Page e Brin, ma non del tutto: alla fine si opta per il fratello minore, cioè "Googol" (il nome "Googolplex" verrà poi adottato per indicare il quartier generale dell'azienda, a Mountain View).

Anderson viene incaricato di andare a registrare il dominio, ma al momento di compilare il modulo di registrazione commette un errore di ortografia, digitando "google.com" anziché "googol.com".

Nacque così, per un felice errore, il nome del motore di ricerca più famoso del mondo, nonché il sito più visitato dell’intera rete: dietro questa parola si nasconde quindi il fascino di un numero grandissimo, al tempo stesso vicino e lontano dall’infinito. E, come accennavo alla fine della prima parte del post, mi piace pensare che la fortuna commerciale conseguita da Page e Brin debba molto anche a questa parola, scaturita dalla felice intuizione di un bambino di nove anni in gita con lo zio.
(Certo, i due bravi ragazzi californiani non sono diventati proprio fantastiliardari, prerogativa riservata a zio Paperone, ma miliardari decisamente sì).

Googol e googolplex sono quindi, come fantastiliardo, esempi di nomi (o soprannomi) non ufficiali di numeri.

Si possono costruire numeri più grandi del googol o del googolplex? Ovviamente sì.

Un esempio famoso, al quale è stato ovviamente attribuito un altro suggestivo nomignolo, è il megistone.

Questo numero è mostruosamente gigantesco, immensamente maggiore di qualsiasi fantastiliardo, googol o googolplex che possiate immaginare. Come si costruisce un megistone? 

Presto detto: prendiamo un numero n elevato alla potenza di se stesso, cioè nⁿ, e indichiamolo come n dentro un triangolo:

Poi prendiamo questo numero che abbiamo ottenuto, ed eleviamolo alla potenza di se stesso: ma ripetiamo questo elevamento a potenza tante volte quanto indicato dal numero stesso, e indichiamo il risultato come n dentro un quadrato:

Ora ripetiamo la stessa operazione, cioè prendiamo il numero ottenuto fin qui ed eleviamolo alla potenza di se stesso tante volte quanto indicato dal numero stesso, e indichiamo il risultato come n dentro un cerchio:

Siamo arrivati in fondo: se poniamo n=10, il numero ⑩ è il megistone. Se anziché un 10 mettiamo dentro un cerchio un 2, otteniamo un numero un po' più piccolo ma comunque gigantesco, chiamato mega.

Non siete ancora contenti? Volete salire ancora più in alto con l'ascensore dei numeri naturali, fino a quasi sfiorare il cielo dell'infinito (peraltro irraggiungibile, come potete immaginare)?
Bene, beccatevi allora un numero inconcepibilmente grande che dal 1980 vanta una menzione sul Guinness dei Primati: il numero di Graham, così chiamato in onore del matematico americano Ronald Graham.

Per costruirlo, viene di solito utilizzata una particolare notazione a frecce inventata dal celebre scienziato informatico Donald Knuth.
Il simbolo a↑x indica un semplice elevamento a potenza, cioè a elevato alla potenza di x.

Il simbolo a↑↑x indica invece una tetrazione o potenza ricorsiva, cioè a elevato x volte alla potenza di a stesso:

Ad esempio, per calcolare 2↑↑3 occorre calcolare una prima volta 2 elevato alla 2; il risultato 4 viene quindi usato come esponente ancora per la base 2, ottenendo 16.
Il simbolo a↑↑↑x indica poi una tetrazione ricorsiva, cioè una ripetizione di una ripetizione di una potenza, e così via.

A questo punto possiamo costruire il numero di Graham G. Il formalismo seguente sintetizza il procedimento:

Il primo passo (corrispondente al “primo piano” della “torre” illustrata sopra) consiste nel calcolare il numero 3↑↑↑↑3, già di per sé spaventosamente grande, molto più del megistone.
E siamo solo al primo piano, cioè al primo passo del calcolo del numero di Graham: il numero computato al piano immediatamente sovrastante è ancora del tipo 3↑…↑3, ma il numero di frecce corrisponde all’immenso numero calcolato al piano di sotto.
Avete il capogiro? Io sì. E siamo solo al secondo piano.
I piani successivi non fanno altro che ripetere l’operazione, con il risultato che il fatidico numero di Graham che ci ritroveremo al sessantaquattresimo piano sarà una creatura che definire mostruosa è decisamente insufficiente.

Il numero di Graham è il numero più grande al quale sia stato dato un nome (non ufficiale). Perché ha meritato questo onore? Perché questo mostro aritmetico salta fuori dalla dimostrazione di un teorema di teoria di grafi: in un ipercubo di n dimensioni uniamo tutti i vertici tra loro, senza tralasciare alcuno dei possibili collegamenti, e poi coloriamo ogni spigolo di rosso o di blu, a caso. Il teorema in questione afferma che, se n è grande almeno quanto il numero di Graham, allora da qualche parte nell'ipercubo colorato ritroveremo certamente 4 vertici sullo stesso piano, colorati con lo stesso colore e collegati tra loro in modo completo.

Questo non significa che non esistano numeri più grandi, è ovvio.
Banalmente, basta aggiungere uno al numero di Graham per ottenere un numero più grande. Oppure possiamo usare un numero più grande di 3 come ingrediente base, o ancora usare 100 piani anziché 64, e così via.

Il numero di Graham, in definitiva, non è nulla in confronto all'infinito, come ci suggerisce l'indimenticato Cesare Zavattini.

Nel suo libro "Parliamo tanto di me" del 1931, lo sceneggiatore e giornalista racconta ironicamente una gara in cui vince chi pronuncia il numero più grande:

"Un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi …", proseguendo così finché l’ultimo fievole "…di miliardi" gli uscì dalle labbra con un sospiro, quindi si abbatté sfinito sulla sedia, fra il delirio della folla che riempiva il salone in cui si svolgeva la Gara. Ma quando il principe Ottone stava per appuntargli la medaglia sul petto ecco spuntare il temuto avversario, Gianni Binacchi, che con un urlo, "Più uno!", gli rubò il primato”.
Il nostro protagonista, affranto, tornò a casa e si buttò singhiozzando fra le braccia della moglie che lo attendeva sulla porta: "Se avessi detto più due avrei vinto io".