Come costruire un libro infinito (terza parte)

Jean Paul Delahaye

Per chi si fosse perso le prime due puntate di questo blog multiplo sui libri infiniti, ecco la prima e la seconda. Nella seconda parte accennavo alle caratteristiche paradossali di alcuni dei libri descritti da Jean Paul Delahaye.

Per esempio, aprendo a caso il libro Q, legato all'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 e 1, troviamo con certezza due pagine nere a sinistra e a destra: questo volume sembra possedere più pagine nere-abisso del libro R, associato all'insieme dei numeri reali inclusi nello stesso intervallo.

Possiamo costruire un altro libro alquanto bizzarro togliendo al libro Q la prima e l'ultima pagina: il libro Q' che otteniamo sembra non contenere alcuna pagina stampata, quando invece ne contiene infinite.
D'altro canto, un libro infinito non può essere privo di pagine leggibili: anzi, per definizione, ne deve contenere in quantità infinita. Le pagine stampate del libro Q', infatti, ci sono, e sono appunto infinite, ma non è possibile trovarle aprendo il libro: sono, paradossalmente, pagine segrete, del tutto impenetrabili ai nostri occhi.

Anche il libro R è, a modo suo, paradossale. Aprendolo a caso, come abbiamo già visto, troviamo una pagina nero-abisso e una pagina leggibile. Ogni pagina stampata, in effetti, è sempre preceduta e seguita da pagine nere: i testi del libro sono tutti isolati e sconnessi gli uni dagli altri.

Una versione tridimensionale dell'insieme di Cantor

Un altro libro infinito paradossale riflette la struttura del frattale noto come "insieme di Cantor". Partendo dall'intervallo [0, 1], lo si divide in tre parti uguali e si scarta quella centrale. Quindi, per ciascuno degli intervalli rimasti, si ripete il procedimento, e così via ad infinitum.
Questo processo di eliminazione continua produce, al limite, un insieme che si dimostra essere di misura nulla e tuttavia formato da un'infinità di numeri. Non solo: si tratta di un'infinità non numerabile.
Detto diversamente: le pagine del libro di Cantor, che chiamiamo C, sono infinite  quanto i numeri reali, e non soltanto come i numeri interi. Aprendo il libro a caso, si trovano sempre due pagine stampate, ma subito prima e subito dopo vi sono pagine nere. Il libro è molto strano: sembra essere composto da coppie di pagine leggibili, isolate e circondate da pagine nere-abisso. Come il libro R, con la differenza che ogni pagina isolata è stata, per così dire, sdoppiata. Ma anche questo è paradossale, perché in realtà C ha meno pagine di R.

Questa ubriacatura di libri paradossali fa venire alla mente il paradosso del bibliotecario. In una grande biblioteca venivano prodotti molti cataloghi del posseduto: uno elencava i libri in italiano, un altro quelli in inglese, un altro ancora i volumi di matematica, e così via. I cataloghi venivano classificati dal bibliotecario come libri ordinari, e come tali erano disposti sui normali scaffali della biblioteca e catalogati al pari degli altri volumi.
Un giorno il bibliotecario si accorse che alcuni dei cataloghi erano elencati in se stessi (per esempio l'elenco dei volumi in italiano e quello dei volumi stampati nell'anno in corso), e altri (per esempio quello dei libri in inglese e quello dei libri di matematica) non lo erano. Per approfondire la curiosa questione, il bibliotecario decise allora di stilare due ulteriori cataloghi: quello dei cataloghi  elencati in se stessi e quello dei cataloghi non elencati in se stessi. I problemi del bibliotecario iniziarono non appena si domandò se quest'ultimo volume dovesse o no includere se stesso.
Infatti, supponiamo che il catalogo dei cataloghi non elencati in se stessi contenga anche se stesso: ma allora il catalogo stesso è elencato in se stesso, e come tale non dovrebbe comparire nella sua stessa lista. Viceversa, supponiamo che questo elenco non contenga se stesso: se ciò accade, si tratta di un catalogo che dovrebbe comparire nella lista dei cataloghi non elencati in se stessi, quindi l'elenco dovrebbe autoincludersi.
Non c'è via d'uscita: siamo di fronte a un paradosso, un po' come quello del famoso barbiere di Russell o quello del mentitore cretese.

A parte il carattere paradossale, cosa c'entra la storiella del bibliotecario con i libri infiniti? Nella versione classica, che è quella che ho raccontato, nulla. Ma esiste una versione alternativa della storia ambientata in una biblioteca che comprende tutti i libri possibili: anche quelli mai esistiti, impossibili, impensabili. In una simile vertiginosa e infinita biblioteca, anche il fatidico catalogo dei cataloghi non elencati in se stessi, per quanto contraddittorio, deve essere presente.

Da http://www.vallesabbianews.it

Qui a essere infinito non è il singolo libro, ma la biblioteca, e parlando di biblioteche infinite non può non tornare in mente La biblioteca di Babele. Non a caso, in questo racconto Borges allude un paio di volte al paradosso del bibliotecario:

Come tutti gli uomini della Biblioteca, in gioventù io ho viaggiato; ho peregrinato in cerca di un libro, forse del catalogo dei cataloghi; ora che i miei occhi quasi non possono decifrare ciò che scrivo, mi preparo a morire a poche leghe dall'esagono in cui nacqui.

Non vi sono, nella vasta Biblioteca, due soli libri identici. (…) i suoi scaffali registrano tutte le possibili combinazioni dei venticinque simboli ortografici (numero, anche se vastissimo, non infinito), cioè tutto ciò che è dato di esprimere in tutte le lingue. Tutto: la storia minuziosa dell’avvenire, le autobiografie degli arcangeli, il catalogo fedele della Biblioteca, migliaia e migliaia di cataloghi falsi, la dimostrazione della falsità di questi cataloghi, la dimostrazione della falsità del catalogo autentico, (…)

D'accordo, nella Biblioteca di Babele si parla di una biblioteca infinita, ma, come già ricordato nella prima parte di questo post, è Borges stesso a osservare come una biblioteca infinita sia perfettamente equivalente a un unico libro infinito, formato da un numero infinito di fogli infinitamente sottili.
Anche un libro infinito, come quelli descritti da Delahaye, potrebbe ospitare in sè tutti i libri della Biblioteca di Babele, i suoi cataloghi, i cataloghi dei cataloghi, e così via.
La questione interessante, sostiene il matematico francese, consiste casomai nell'analizzare i diversi modi in cui un libro infinito può contenere informazione. Da questo punto di vista, Delahaye individua quattro diverse tipologie di libro infinito:
1. libri infiniti in cui ogni pagina contiene un numero fisso di caratteri (o pixel di immagini);
2. libri infiniti in cui ogni pagina contiene un numero finito ma variabile di caratteri (o pixel di immagini);
3. libri infiniti in cui ogni pagina contiene una infinità numerabile di caratteri (o pixel di immagini);
4. libri infiniti in cui ogni pagina è assimilabile a una porzione del piano cartesiano, sulla quale si possono disegnare testi e immagini in modo infinitamente fine.
Ciascuna di queste famiglie di libro infinito è caratterizzata da situazioni e conseguenze diverse, che Delahaye sviscera in dettaglio.
E qui mi fermo, stavolta definitivamente. Il lettore troverà senz'altro ulteriori spunti di approfondimento sul citato libro di Delahay, e ovviamente anche sui testi letterari da me citati in questi tre post.
Ve lo posso assicurare: sono tutti libri finiti, quindi li potete leggere dall'inizio alla fine tranquillamente, senza pericolo di perdervi nei vertiginosi meandri dell'infinito.