Il pifferaio alle porte dell'oracolo - Parte 3

Nella seconda parte di questo post vi parlavo di una procedura ricorsiva in grado di generare tutti i numeri da 0 a 63 come stringhe binarie, oppure, il che è la stessa cosa, tutti i 64 esagrammi dell'I Ching, cioè tutte le combinazioni di 6 linee, intere e spezzate.
Ecco un esempio, in linguaggio Java.

package iching;

public class IChing {

    public static void main(String[] args)
    {
        String[] iching;
        int length = 6;
        iching = create_string(length);
        for (int i = 0; i <= (int)Math.pow(2,length)-1; i++)
        {
            System.out.println(i+1 + " - " + iching[i]);
        }
    }
   
    public static String[] create_string(int length)
    {
        String[] substr = new String[(int)Math.pow(2,length-1)];
        String[] str = new String[(int)Math.pow(2,length)];
       
        if (length==1)
        {
            str[0] = ":";
            str[1] = "|";
            return str;         
        }
        else
        {  
            substr = create_string(length-1);
            for (int i = 0; i <= (int)Math.pow(2,length-1)-1; i++)
            {
                 str[i] = ":" + substr[i];
                 str[i+(int)Math.pow(2,length-1)] = "|" + substr[i];
            }
            return str;
        }  
    }
}

Se avete la possibilità di eseguire questo programmino Java, provate: il risultato che otterrete saranno i 64 esagrammi dell'I Ching, nell'ordine di Shao Yung, e rappresentati con i due simboli ":" e "|", che corrispondono rispettivamente alla linea spezzata e alla linea continua. Se nel codice del programma sostituite i due simboli rispettivamente con lo zero e l'uno, l'output sarà costituito dai numeri da 0 a 63 in notazione binaria.
Non mi soffermo sui dettagli del codice. Per chi conosce Java non sarà difficile orientarsi tra le istruzioni. Chi non lo conosce non si perderà granché: un programma è molto meno importante dell'algoritmo di cui esso rappresenta la traduzione in uno specifico linguaggio. E dell'algoritmo che crea queste combinazioni abbiamo già discusso abbastanza nelle prime due parti: se ne parlassi ancora diventerei davvero noioso.

Come ho cercato di dimostrare in questi post, i rapporti tra l'I Ching e la matematica sono molto stretti, e numerosi articoli e libri sono stati scritti per esplorare questo connubio: è davvero sorprendente constatare quanto questo antichissimo testo sia intriso di matematica a tutti i livelli.
Sempre Gardner racconta che nel 1934, in un libro scritto da un certo Z.D. Sung, venne proposto un modo interessante per associare gli 8 trigrammi agli angoli di un cubo.

Notiamo che in questa figura viene utilizzata una convenzione opposta a quella che avevamo fin qui proposto: alla linea intera è infatti associato lo zero, e a quella spezzata è associato l'uno. Ma si tratta appunto di una semplice convenzione: l'una o l'altra sono ugualmente valide.
Ciò che conta è che alle 3 dimensioni del cubo corrispondono le cifre di un numero binario di 3 cifre: ad esempio all'asse X corrisponde la terza cifra, quella più a sinistra.
Poiché si tratta di cifre appunto binarie, esse possono assumere solo due valori. Ad esempio, se ci spostiamo nella direzione dell'asse X, la terza cifra passa dal valore 0 al valore 1.
Notate anche che i trigrammi reciprocamente complementari sono disposti agli angoli diametralmente opposti del cubo: ad esempio il trigramma costituito da tre linee intere, associato all'angolo del cubo etichettato con il numero 111, si trova nella posizione opposta al trigramma dalle tre linee spezzate, cioè all'angolo del cubo contraddistinto dal numero 000.

D'accordo, abbiamo imparato che un cubo può dare ospitalità agli otto trigrammi. E se volessimo fare altrettanto con combinazioni più lunghe, ad esempio tetragrammi? Il principio è del tutto analogo. Se un cubo, che è una figura tridimensionale, è adatto a rappresentare combinazioni di tre linee (o bit), allora per raffigurare sequenze di 4 cifre binarie abbiamo bisogno di un cubo nello spazio a 4 dimensioni, cioè di un ipercubo.

Se potessimo immaginare una simile figura, scopriremmo che i suoi angoli sono 16, esattamente come le possibili combinazioni di 4 bit.
Nel 1954, il grande pittore spagnolo Salvador Dalí realizzò un dipinto che raffigura una crocifissione, intitolato "Corpus Hypercubus" (vedi figura a lato).
Nel dipinto, Cristo non appare inchiodato ad una tradizionale croce, ma sospeso in aria e come appoggiato ad una strana struttura che vuole rappresentare lo "sviluppo" tridimensionale di un ipercubo a quattro dimensioni, così come un normale cubo può essere sviluppato su un piano nel modo raffigurato qui sotto.

Passando da 4 a 6 dimensioni, il cubo diventa un iper-iper-iper-cubo, con ben 64 angoli, che possono essere utilizzati per ospitare tutti i 64 esagrammi dell'I Ching.



Anche se è al di fuori delle nostre possibilità immaginare, anche lontanamente, una simile mostruosità geometrica, possiamo tuttavia provare a figurarci di spostarci da un iper-iper-iper-angolo all'altro di questo iper-iper-iper-cubo, muovendoci sui suoi iper-iper-iper-spigoli, così come possiamo fare con il normale cubo dei trigrammi di Z.D. Sung. Il nostro spostamento corrisponde al passaggio da un esagramma ad un altro, che differisce dal primo per una sola delle sue 6 cifre binarie: esattamente ciò che accade quando, interrogando l'oracolo cinese, viene sorteggiato un esagramma con una linea "mutante".
Che cosa intendiamo per linea mutante? Ogni linea dell'I Ching, indipendentemente dal fatto che sia intera o spezzata, può essere fissa oppure mutante. In quest'ultimo caso essa tende al suo opposto: in altri termini, se è intera, essa "tende" ad una linea spezzata, e viceversa. Un esagramma che contenga una linea mutante, di conseguenza, "tende" a trasformarsi in un altro esagramma che differisce dal primo per una sola delle 6 linee.
Ovviamente, quando l'oracolo risponde ad un nostro quesito proponendoci un esagramma, questo potrebbe presentare soltanto linee fisse, oppure una sola mutante, ma anche più d'una: allora l'esagramma tende ad un altro esagramma con più di una linea invertita rispetto al primo esagramma. In questo caso è come se ci si muovesse sull'iper-iper-iper-cubo su attraversando più di un iper-iper-iper-spigolo, cioè facendo variare più di una cifra binaria.

Se volessimo rappresentare sull'albero di Shao Yung un analogo tipo di passaggio da un esagramma con linee mutanti agli esagrammi "destinazione", dovremmo progettare spostamenti un po' più complicati. Lascio ai miei lettori l'ingrato (ma non troppo) compito di capire come funzionano questi "viaggi arborei".

Se in ogni esagramma ognuna delle 6 linee può mutare oppure no, non è difficile calcolare il numero degli esagrammi diversi che possono essere "raggiunti": è ovviamente 2⁶ = 64. Questo significa che attraverso il mutamento delle linee possiamo passare da un esagramma ad uno qualsiasi degli altri esagrammi, oppure restare nello stesso esagramma (se nessuna linea è mutante).
Se però ci limitiamo a considerare il caso in cui una e una sola delle sei linee muta, allora gli esagrammi "raggiungibili" sono soltanto 6, uno per ogni linea. Sulla base di questa limitazione, il testo classico dell'I Ching si riferisce spesso ad una "catena" di esagrammi, in cui la linea che muta sale di una posizione esagramma dopo esagramma. Partendo, ad esempio, dall'esagramma 1 che corrisponde a sei linee yang, cioè intere, e facendo mutare la sua linea inferiore, otteniamo l'esagramma 44, che ha la prima linea spezzata e le altre intere.

Apro qui una parentesi, per puntualizzare un fatto importante. Abbiamo visto come l'ordinamento "naturale" degli esagrammi non può che essere quello legato alla rappresentazione "binaria" di Shao Yung, che poi corrisponde esattamente a quello che esce dal programmino proposto all'inizio di questo post; sfortunatamente, però, questa sequenza non è la stessa adottata dall'I Ching, il quale, infatti, elenca gli esagrammi in un ordine "strano", apparentemente casuale e probabilmente privo di una regolarità e di un significato matematico.
E' un vero peccato! Ma tant'è: dobbiamo farcene una ragione. Se adottiamo la convenzione che interpreta la linea intera come uno e le spezzata come zero, e che associa la prima linea dell'esagramma, cioè quella più in basso, alla cifra meno significativa del numero binario, allora l'esagramma 1, ad esempio, non corrisponde alla rappresentazione binaria del numero 1, ma a quella del numero 63, e l'esagramma 44 corrisponde al numero 62.

Ma torniamo alla nostra "catena" di esagrammi. L'esagramma 1 viene associato al mese di maggio, quindi alla primavera inoltrata, in cui siamo adesso: è questo, nella concezione cinese, il periodo dell'anno più pienamente vicino al principio yang. Nell'esagramma 44, invece, la presenza della prima linea spezzata viene interpretata come l'inizio della penetrazione del principio yin, che si manifesta nel mese di giugno. Potrebbe sembrare naturale fare coincidere questo periodo dell'anno, in cui si compie il solstizio estivo, con la fase di yang estremo (per così dire il principio "estivo"), rimandando al mese successivo l'inizio dell'entrata dello yin (il principio "invernale"); invece, in perfetto accordo con la visione cosmica taoista, è proprio nel mese del solstizio d'estate che, paradossalmente, comincia a farsi sentire l'inverno, un po' come nel simbolo del Taijitu la parte yang (bianca) più "piena" contiene già in sè un seme di principio yin (nero).
Proseguendo il ciclo dei mutamenti, l'esagramma 44 si trasforma nell'esagramma 33, costituito dalle prime due linee spezzate e dalle successive quattro intere: esso è associato al mese di luglio. E così via, attraversando di seguito gli esagrammi 12 (agosto), 20 (settembre), 23 (ottobre), 2 (novembre).
Quest'ultimo è formato da sei linee spezzate. Rappresenta il culmine del principio yin, che precede di un mese il solstizio invernale. Da questo esagramma in poi, si ricomincia a far mutare le linee partendo da quella più in basso.
Ecco allora l'esagramma 24, nel quale la prima linea è yang e tutte le altre sono yin: è facile comprendere, a questo punto, che si tratta dell'esagramma speculare rispetto al 44. Nell'esagramma 24, legato al periodo del solstizio invernale, il principio yang, estivo, torna a fare sentire la propria timida influenza (ecco perché l'esagramma è associato, nell'interpretazione dell' I Ching, al "Ritorno"); nel corso dei mesi successivi questa crescerà gradualmente, attraversando uno alla volta gli esagrammi 19 (gennaio), 11 (febbraio), 34 (marzo), 43 (aprile) e alla fine di nuovo l'esagramma 1, corrispondente al mese di maggio.

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per comprendere il significato dei versi di Syd Barrett nel brano "Chapter 24". Prima di tutto, a quale esagramma dell'I Ching faceva riferimento il Pifferaio? Ovvio, all'esagramma n. 24: il "Ritorno".

Consultando una qualsiasi edizione dell'I Ching nella sezione dedicata a questo esagramma, troviamo frasi del tipo:

Sentenza: Il Ritorno. Riuscita. Uscire e rientrare senza male. Amici arrivano. Nessuna sfortuna. La stessa è la via dell'andare e del tornare e al settimo giorno viene il ritorno. Propizio quando c'è un luogo in cui andare.
Immagine: Il Tuono sotto la Terra: questa è l'immagine del Ritorno. Ispirandosi ad essa, gli antichi Re nel giorno del solstizio invernale facevano chiudere le porte della città, impedendo l'ingresso ai mercanti e agli stranieri, mentre i sovrani quel giorno non ispezionavano i lori territori.

La spiegazione fornita dal testo dell'I Ching fa riferimento al già descritto ciclo semestrale che parte dall'esagramma 44 (primo del ciclo) e, mutando una linea alla volta, giunge all'esagramma 2 (sesto del ciclo), associato all'oscurità yin del mese di novembre.

A movement is accomplished in six stages

(Un movimento si compie in sei stadi)

Il mutamento di quest'ultimo esagramma genera il settimo esagramma del ciclo, appunto l'esagramma 24, il "Ritorno", nel quale una giovane luce yang fa capolino anticipando il prossimo avvento delle stagioni calde:

...And the seventh brings return.
The seven is the number of the young light

(...E il settimo riconduce al principio.
Il sette è il numero della luce giovane)

E' interessante notare che l'esagramma che precede il 24, e che rappresenta l'oscurità yin del mese di novembre, è l'esagramma 2. Nella nostra rappresentazione binaria "naturale", esso codifica il numero 0, mentre l'esagramma 24 corrisponde, come già detto, al numero 1. Barrett esprime perfettamente questo fatto con il verso

It forms when darkness is increased by one

(Si forma quando l'oscurità è aumentata di uno)


I successivi versi sono:

Change returns success
Going and coming without error
Action brings good fortune
Sunset

The time is with the month of winter solstice
When the change is due to come
Thunder in the other course of heaven
Things cannot be destroyed once and for all
Change returns success
Going and coming without error
Action brings good fortune
Sunset, sunrise

(Il cambiamento porta al successo,
Andare e venire senza errore.
L'azione porta buona sorte.
Tramonto.

Il tempo è quello del mese del solstizio invernale
Quando il cambiamento è destinato ad avvenire.
Tuono nell'altra rotta del cielo
Le cose non si distruggono una volta per tutte.
Il cambiamento porta al successo,
Andare e venire senza errore.
L'azione porta buona sorte.
Tramonto, alba.)


e si riferiscono ad aspetti legati all'interpretazione divinatoria dell'esagramma, che a noi interessa meno. Da notare però il corretto riferimento al periodo del solstizio invernale.
Finisce qui questa avventura all'interno delle meraviglie matematiche dell'I Ching. Ringrazio il Pifferaio, Syd Barrett per avermi guidato in questo mondo misterioso e fatato: senza di lui non sarei riuscito a orientarmi, e mi sarei perso nella selva oscura degli esagrammi.