Il pifferaio alle porte dell'oracolo - Parte 2

Nella prima parte del post ho tracciato una linea immaginaria (e forse improbabile) che congiunge il fondatore dei Pink Floyd, Syd Barrett, pifferaio alle porte dell'oracolo, e il fondatore dell'analisi matematica, Gottfried Wilhelm Leibniz, anche lui, e molto prima di Barrett, folgorato sulla via dell'I Ching.
In realtà il fascino di questo antichissimo libro, certamente tra i più celebri e importanti della storia della letteratura mondiale, ha conquistato intellettuali e artisti di ogni epoca.

Tra questi va ricordato lo psichiatra svizzero Carl Gustav Jung (nella foto accanto), continuatore e poi oppositore della teoria di Sigmund Freud. Jung scrisse tra l'altro una celebre prefazione alla versione inglese dell'I Ching, che ancora oggi troviamo in molte edizioni del libro. L'opera di divulgazione di Jung rese famoso in Occidente il testo sapienziale cinese, e legò la sua interpretazione alle sue teorie sulla sincronicità.
Interpretazione, appunto. Fin qui ho parlato dell'I Ching in termini matematici, ma non del suo significato divinatorio. Come si interroga il Libro? In estrema sintesi, il procedimento canonico consiste nel porre un quesito all'oracolo, il quale risponderà indicando uno dei 64 esagrammi: le tecniche utilizzate per sorteggiare l'esagramma fanno uso di lanci di monete oppure di estrazioni di steli di achillea.
I testi associati all'esagramma prescelto dovranno quindi essere interpretati per trarne la risposta al quesito. Ma non è nemmeno di questo che voglio parlarvi.
Si diceva della fortuna che l'I Ching riscosse in Occidente a partire dallo scorso secolo. Ma tutte le cose divenute molte famose, si sa, possono essere soltanto amate o odiate:

I don't believe in magic.
I don't believe in I Ching.
I don't believe in bible.
I don't believe in tarot.
(John Lennon, "God", 1970)

Nonostante le diffidenze lennoniane sul Libro dei Mutamenti, pare che il suo ex collega George Harrison, noto cultore delle culture orientali, si fosse ispirato all'I Ching, pochi anni prima, nel comporre il testo della celebre “While My Guitar Gently Weeps”.
Più sofisticato e strutturato fu il progetto che il compositore statunitense John Cage (nella foto sotto) condusse a partire dal 1951: Cage realizzò diverse composizioni lasciandosi guidare dall'aleatorietà dell'I Ching, utilizzato come oracolo.
Torneremo in futuri post sulle bizzarre tecniche compositive di Cage basate su criteri combinatori.
Più recentemente, il musicista danese Per Nørgård, famoso per la colonna sonora del film "Il pranzo di Babette", nel 1982 dedicò all’I Ching una sua composizione per percussioni; solo due anni fa Vittorio Nocenzi, fondatore e tastierista del Banco del Mutuo Soccorso, ha pubblicato un intero disco di pezzi pianistici ispirati ad altrettanti esagrammi dell'I Ching.

Anche lo scrittore di fantascienza Philip K. Dick fu conquistato dal mistero del Libro dei Mutamenti: i personaggi della sua opera più famosa, "La svastica del sole", parlano spesso dell'I Ching e ne fanno continuamente uso; pare che lo stesso Dick avesse interrogato l'oracolo per compiere alcune fondamentali scelte narrative durante la stesura del romanzo. Tra l'altro il capolavoro di Dick nasconde una struttura che definirei ricorsiva, o gödeliana, ma questa è un'altra storia (materiale per un futuro post).

Tutto questo per sfiorare solo in superficie i legami tra l'antico testo cinese, la musica, la letteratura. Ma questo è soprattutto un blog di matematica, quindi ancora una volta mi richiamo all'ordine per non divagare, e ritorno a parlare del buon Leibniz (nell'immagine sotto).
Fu un gesuita missionario, padre Joachim Bouvet, di ritorno da uno dei suoi viaggi in Cina, a mostrare al grande matematico quegli antichi e strani disegni che noi chiamiamo esagrammi.
A Leibniz le linee intere e spezzate che componevano gli esagrammi apparvero subito per quello che effettivamente sono: cifre binarie. La linea spezzata, ad esempio, poteva essere assimilata allo zero, e quella intera all'uno.
Leibniz stava già studiando la possibilità di costruire sistemi di numerazione non decimali, e la geniale intuizione celata dietro quelle antiche linee lo affascinò all'istante.
Che cosa c'è di meraviglioso nella numerazione binaria? Il fatto che con due soli principi fondamentali (lo yang e lo yin, per usare la terminologia cinese) si riesce ad esprimere qualsiasi cosa.
Il significato filosofico di questa possibilità è molto profondo. Nella logica classica aristotelica, il principio di non contraddizione e il principio del terzo escluso sembrano suggerire una visione "binaria" del mondo, in cui un'affermazione può essere o vera o falsa, e non può essere entrambe le cose né può darsi una terza possibilità. La numerazione binaria, tuttavia, va ben oltre queste regole logiche, in quanto non ci si ferma ai due principi fondamentali ("yang" e "yin", o, come direbbe Aristotele, "vero" e "falso"): attraverso il procedimento ricorsivo introdotto nella prima parte di questo post, i due "semi" iniziali, mescolandosi tra di loro a più livelli, fanno germogliare un universo di combinazioni potenzialmente infinito, e certamente molto più espressivo e sfumato del rigido dualismo logico aristotelico.
Nella visione cosmogonica suggerita dall'I Ching, dal caos primordiale, dall’universo "vuoto e senza forma", simboleggiato dal simbolo del Taijitu, deriva il dualismo dello yang e dello yin; quindi, per successive ramificazioni binarie, tutte le infinite sfumature permesse dalle combinazioni possibili. Dopo soli sei livelli di ricorsione, abbiamo già 2⁶ = 64 esagrammi, sufficienti a descrivere un universo divinatorio estremamente complesso ed espressivo, e di riflettere la complessità del mondo reale (che non è certo soltanto yang o soltanto yin).

Passando dall'ambito filosofico alla prospettiva matematica, l'essenza del discorso non varia, ed è esattamente questo il senso della numerazione binaria, così come quello di tutti i sistemi di numerazione.
Questi, infatti, si fanno carico di esprimere tutte le quantità possibili utilizzando un alfabeto limitato di simboli, appunto due nel caso binario, dieci nel caso decimale, e così via.
Il modo in cui i simboli si combinano è precisamente lo stesso meccanismo usato nell'I Ching per creare gli esagrammi.

Come abbiamo visto nella prima parte di questo post, le ramificazioni binarie ripetute ricorsivamente per sei livelli danno origine agli esagrammi, cioè alle combinazioni di sei linee (intere o spezzate), cioè, per usare una terminologia informatica, a stringhe di sei bit.
In un articolo del 1974, il grande Martin Gardner, indimenticato e non raggiunto maestro di tutti i divulgatori matematici, racconta che intorno all'anno Mille alcuni studiosi cinesi, tra i quali il pensatore Shao Yung, intuirono l'idea dell'albero binario e la applicarono agli esagrammi dell'I Ching.
Ripercorrendo, livello dopo livello, l'algoritmo ricorsivo descritto nella prima parte, si ottiene un diagramma come quello indicato nella seguente figura.


In questo diagramma la radice dell'albero è in basso, nella striscia bianca che rappresenta il "livello 0" e che corrisponde al Taijitu (o T'ai Chi). Da questo caos indifferenziato germogliano, al livello 1, i principi primi dello yin (nero) e dello yang (bianco). Al livello 2 lo yin di suddivide a sua volta in yin e yang, e così fa lo yang. Una volta completati sei livelli di questa suddivisione binaria, lo schema rivela automaticamente la struttura di tutti i 64 esagrammi. Come?
Osservate il sesto ed ultimo livello: è suddiviso in 64 caselle. Se immaginiamo di dividere l'intero schema (dal livello 1 al livello 6) in 64 colonne, e di rimpiazzare in ciascuna parte il nero con la una linea spezzata ed il bianco con una linea intera, le colonne rappresentano i 64 esagrammi!
Ma non è tutto. Se ci fermiamo a 5 livelli, osserviamo che al quinto livello ci sono 32 caselle: se consideriamo lo schema che si ottiene considerando i livelli dal primo al quinto, e lo suddividiamo nelle 32 colonne, esse corrispondono alle 32 combinazioni costruibili con 5 linee (potremmo forse chiamarli pentagrammi?). E così via, analogamente, per i 16 "tetragrammi", per gli 8 trigrammi, per i 4 bigrammi, e, limitandoci al primo livello, per i due principi cosmici dello yin e dello yang.

Se sostituiamo uno zero ad ogni linea spezzata, e un uno ad ogni linea intera, gli esagrammi nell'ordine di Shao Yung si trasformano in una sequenza di stringhe binarie: 000000, 000001, 000010, 000011, ..., 111111.
Che sequenza è? Ovviamente si tratta dei numeri da 0 a 64 espressi in notazione binaria!
Dato che, come abbiamo visto, il procedimento per ottenere queste combinazioni di bit è, nella sua essenza, ricorsivo, non dovremmo stupirci del fatto che possiamo scrivere una procedura di natura ricorsiva che genera tutti i numeri da 1 a 64 come stringhe binarie.
Appuntamento allora alla terza ed ultima parte del post, per vedere un esempio di tale procedura, e per continuare l'esplorazione nel meraviglioso mondo matematico dell'I Ching: senza dimenticare i misteriosi versi di Syd Barrett, che finalmente troveranno una spiegazione.