Il pifferaio alle porte dell'oracolo - Parte 1

A quanto pare, tra i post che ho pubblicato su questo blog, quello che ha riscosso i maggiori favori è stato quello sulla "Matematica di Ummagumma".
Per ringraziare i miei lettori dei complimenti e degli apprezzamenti su questo articolo, vorrei ancora una volta parlare di matematica e di informatica partendo da uno spunto "floydiano".
Il primo disco dei Pink Floyd uscì nel 1967, e venne realizzato nei mitici studi londinesi di Abbey Road, negli stessi giorni in cui i Beatles registravano l'epocale "Sgt. Pepper's Lonely Hearts Club Band".
Il suggestivo titolo, "The piper at the gates of dawn" ("Il pifferaio alle porte dell'alba"), fu copiato da quello di un capitolo del classico della letteratura per ragazzi "Il vento tra i salici", di Kenneth Grahame.

Quest'opera di esordio del famoso gruppo inglese fu quasi un lavoro personale di Syd Barrett. E' un esempio emblematico del rock psichedelico, pieno di sperimentazioni musicali e sonore, testi grotteschi e bizzarri, i cui protagonisti sono gnomi, biciclette, stelle e pianeti, spaventapasseri.
Tra le canzoni incluse nel disco, una delle meno note è "Chapter 24", il cui testo inizia con versi apparentemente molto misteriosi:








A movement is accomplished in six stages,
And the seventh brings return.
The seven is the number of the young light,
It forms when darkness is increased by one.
Change returns success,
Going and coming without error.
Action brings good fortune.
Sunset.

Un movimento si compie in sei stadi,
E il settimo riconduce al principio.
Il sette è il numero della luce giovane,
Si forma quando l'oscurità è aumentata di uno.
Il cambiamento porta al successo,
Andare e venire senza errore.
L'azione porta buona sorte.
Tramonto.

A cosa diavolo si riferiscono questi versi ermetici di Barrett?
Sarebbe dura, probabilmente impossibile, orientarsi tra queste parole se non fosse noto che la canzone trae ispirazione da uno dei libri più antichi della storia del pensiero cinese, noto come "I Ching", o "Libro dei Mutamenti".
Nel corpus dei testi classici della saggezza compilato da Confucio, l'I Ching rappresenta il testo più antico.
E' formato da una prima parte "classica" e da un "commentario". Entrambe le sezioni sono suddivise in 64 capitoli, uno per ciascuno dei possibili esagrammi.
Un esagramma è una combinazione di sei linee, ciascuna delle quali può essere continua (e legata al principio yang) oppure spezzata (e legata al principio yin). Disponendo di due tipi di linea, ci sono 2⁶ = 64 possibili combinazioni di sei linee: ecco spiegati i sessantaquattro esagrammi descritti nell'I Ching.

Nell'antica filosofia cinese, la contrapposizione tra lo yang e lo yin riflette la dialettica degli opposti che si completano reciprocamente e che si trasformano l'uno nell'altro, in una alternanza naturale ed eterna: dialettica che si riscontra, ad esempio, nelle contrapposizioni giorno - notte, maschio - femmina, sole - luna, caldo - freddo, secco - umido, estate - inverno, sud - nord, est - ovest, cielo - terra, attività - passività, movimento - riposo, durezza - morbidezza, forza - cedevolezza, e così via.
L'antico simbolo del Taijitu, centrale in tutta la filosofia e la cultura dell'Estremo Oriente, vuole proprio raffigurare la contrapposizione, la complementarietà e la reciproca trasformazione tra i due principi yang e yin.

Il principio yang, associato all'idea di forza, viene anche raffigurato, come già detto, dalla linea continua, mentre il principio yin, legato alla cedevolezza, è simboleggiato dalla linea interrotta, o spezzata.
Combinando due linee tra di loro, si possono creare 2² = 4 combinazioni, che possiamo chiamare bigrammi, e che nella tradizione cinese sono associate alle quattro fasi del ciclo delle stagioni, dei punti cardinali e dei momenti della giornata.
Guardiamo la figura sotto, in cui, seguendo il senso orario, si completa il ciclo formato dai quattro bigrammi: ciascuno di essi trova una propria corrispondenza con le quattro aree del Taijitu.
Ad esempio, combinando insieme una linea yang e una linea yin (la convenzione prevede di partire dal basso e salire verso l'alto), si ottiene il bigramma legato alla primavera, al mattino, all'est, cioè allo yang minore e al concetto di sorgente, di inizio; la fase successiva è associata alla combinazione di due linee yang, che simboleggiano l'estate, il mezzogiorno, il sud, cioè lo yang estremo e la crescita; ad esso segue il bigramma formato dalla sequenza yin-yang, che si associa all'autunno, alla sera, all'ovest, cioè allo yin minore e alla raccolta; e infine il bigramma formato da due linee yin, simbolo dell'inverno, della notte, del nord, cioè dello yin estremo e della prova da affrontare.

E mettendo insieme tre linee?
Si ottengono i trigrammi, che sono, ovviamente, 2³ = 8.


I trigrammi vengono messi in relazione, secondo la filosofia cinese, con gli otto principi cosmici simboleggiati dal Tuono, dal Fuoco, dallo Stagno, dal Cielo, dal Vento, dall'Acqua, dal Monte e dalla Terra.
La mitologia cinese narra di un mitico re Fu Hsi, vissuto intorno al 2900 a.C., dotato di quattro occhi e di una coda di serpente:a questo sovrano sarebbe stato rivelato, in modo soprannaturale, il significato profondo dei trigrammi.
Secondo l'interpretazione di Fu Hsi, i trigrammi vengono disposti in un ordine ciclico, strutturato in modo tale che trigrammi reciprocamente complementari (ad esempio il Cielo e la Terra, oppure il Tuono e il Vento) si trovino in posizioni opposte.
La complementarietà dei trigrammi ha un significato metafisico e simbolico, ma anche matematico: ogni trigramma si trasforma nel suo complementare sostituendo le linee yang con linee yin, e viceversa.

La disposizione di Fu Hsi viene spesso chiamata "cielo anteriore", oppure "disposizione primaria". In Estremo Oriente viene considerata come un simbolo di buona fortuna, e viene spesso associata con il simbolo del Taijitu.

Passando dalle linee yang e yin ai quattro bigrammi, e da questi agli otto trigrammi, abbiamo compiuto due passi tra loro analoghi: abbiamo essenzialmente moltiplicato per due, cioè abbiamo duplicato, ramificato.
Partendo dai trigrammi potremmo ripetere lo stesso procedimento, in modo ricorsivo (ricordate Ummagumma e le matrioske?), per ottenere le 16 combinazioni di 4 linee, le 32 combinazioni di 5 linee, e infine i 64 esagrammi dell'I Ching.
Ogni esagramma può essere visto anche come una coppia di trigrammi: d'altra parte 8x8 = 64.
Ma seguendo l'interpretazione ricorsiva di cui parlavo prima, non è difficile immaginare un albero la cui radice rappresenta il principio cosmico unitario del Taijitu:
1) da questo tronco di dipartono i due rami principali dello yang e dello yin, cioè della linea intera e della linea spezzata;
2) da ciascuno di questi rami partono altri due rami, che danno origine ai quattro trigrammi del ciclo delle stagioni;
3) al terzo livello hanno origine, per ulteriore biforcazione, gli otto trigrammi di Fu Hsi;
e così via, per arrivare ai 64 esagrammi e, se vogliamo, anche oltre, indefinitamente, creando combinazioni formate da un numero qualsiasi di linee.
Quella che abbiamo descritto è una struttura molto familiare agli informatici, che viene chiamata albero binario.
Com'è possibile? I cinesi di 3000 anni fa avevano già compreso l'essenza della numerazione binaria? Bè, pare proprio di sì.
Non è un caso che nel 1679 il filosofo e matematico tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz, nel suo trattato "De Progressione Dyadica", descrisse il sistema di numerazione binaria, oggi alla base di tutta l'informatica, citando esplicitamente l'I Ching come sua fonte di ispirazione.
Successivamente fu George Boole, verso la metà dell'Ottocento, a riprendere gli studi di Leibniz, e a costruire in modo strutturato la logica binaria, oggi chiamata anche, in suo onore, booleana.
Nelle prossime parti di questo post (che si preannuncia articolato e ricco di sorprese), ritorneremo agli esagrammi, agli alberi binari, e soprattutto ai misteriosi versi di Syd Barrett, pifferaio alle porte dell'oracolo.