Le Biblioteche Totali

Il racconto "La biblioteca di Babele" di Jorge Luis Borges è una delle miniere d'oro più generose per ogni divulgatore matematico.
Anch'io, nel mio piccolo, non ho saputo resistere al fascino del claustrofobico, vertiginoso e bellissimo universo descritto dallo scrittore argentino e ne ho parlato spesso, per esempio in questa video-conferenza.

L'attrazione fatale della Biblioteca non ha conquistato solo matematici, critici letterari e scrittori, ma anche filosofi, architetti, scienziati, informatici e illustratori. Per esempio c'è un problema aperto relativo alla forma della Biblioteca, sul quale molte menti brillanti si sono interrogate. E questo si ripercuote sul problema di rappresentarla graficamente: tra i tentativi più brillanti quello di un programmatore americano, Jamie Zawinski. Ho utilizzato alcune delle sue immagini per impreziosire questo post.

La Biblioteca è formata da un numero indefinito di sale esagonali, ciascuna delle quali ospita 4 pareti adibite a librerie. Ogni parete è composta da 5 scaffali e ogni scaffale contiene 32 libri. I libri hanno tutti lo stesso formato: 410 pagine, ciascuna delle quali si compone di 40 righe, e ogni riga contiene irrimediabilmente 80 lettere di colore nero.
Ciascun libro risulta così formato da una successione di 410 ∙ 40 ∙ 80 = 1.312.000 caratteri. Ogni esagono contiene 4 ∙ 5 ∙ 32 = 640 libri, che corrispondono quindi a 640 ∙ 1.312.000 = 839.680.000 simboli.
Ma quanti libri e quanti simboli ci sono in tutta la Biblioteca? Non lo sappiamo, perché non è noto il numero degli esagoni che la compongono.

Tuttavia, possiamo dire quanti libri diversi del formato indicato da Borges possono esistere: basta applicare le formule del calcolo combinatorio e determinare il numero di diverse sequenze di 1.312.000 simboli esistenti. Visto che i caratteri diversi utilizzati nei libri della Biblioteca sono 25 (22 lettere più lo spazio, il punto e la virgola), è facile dedurre che esistono in tutto 25^1.312.000 diversi libri di quel formato. Questo numero equivale a circa 10^1.834.097, cioè a 1 seguito da circa un milione e ottocentomila zeri. Una quantità finita ma spaventosamente grande, non c'è che dire. Se anche un libro avesse le dimensioni di un atomo, non ci sarebbe spazio a sufficienza nell'intero universo per ospitare tutti questi volumi: il numero di atomi contenuti nell'universo conosciuto si aggira intorno a 10⁸⁰, che è un numero incomparabilmente minore. Insomma, occorrerebbe una quantità mostruosamente grande di universi per contenere i libri possibili!

Nonostante sia fisicamente assurdo, nel corso del racconto Borges ci informa che la Biblioteca è totale, cioè comprende sicuramente tutti quei 10^1.834.097 libri possibili (ma è possibile che di un libro esistano più copie, forse persino infinite copie). Il passo del racconto in cui viene fornita questa informazione è particolarmente intenso e drammatico:

Da queste premesse incontrovertibili dedusse che la Biblioteca è Totale, e che i suoi scaffali registrano tutte le possibile combinazioni dei venticinque simboli ortografici (numero anche se vastissimo, non infinito) cioè tutto ciò che è dato di esprimere in tutte le lingue. Tutto: la storia minuziosa dell’avvenire, le autobiografie degli arcangeli, il catalogo fedele della biblioteca, migliaia e migliaia di cataloghi falsi, la dimostrazione delle falsità di questi cataloghi, la dimostrazione della falsità del catalogo fedele, l'evangelo gnostico di Basilide, il commento del commento di questo vangelo, il resoconto veridico della tua morte, la traduzione di ogni libro in tutte le lingue, le interpolazioni di ogni libro in tutti i libri. 

Qualche settimana fa ho avuto il piacere di conoscere una persona con la quale ho riscontrato una singolare convergenza di interessi intellettuali. Giorgio Chini, questo il suo nome, è un ingegnere elettronico dalle vaste e profonde frequentazioni culturali. Dopo aver letto il mio libro "Matematica rock", ha voluto farmi notare l'analogia tra un passaggio del capitolo dedicato a pi greco, in cui mi soffermavo sui numeri normali, e un articolo (si veda figura a lato) che lui stesso scrisse intorno al 1985 traendo ispirazione proprio dalla "Biblioteca di Babele" di Borges.
L'intuizione centrale dell'articolo di Chini è quella di immaginare un equivalente "musicale" della Biblioteca di Babele. Fin da subito l'ho trovata estremamente suggestiva, al punto da indurmi a scrivere questo post e suscitare nella mia mente ulteriori idee, domande e approfondimenti.
All'epoca della stesura dell'articolo di Giorgio, il CD (Compact Disc) rappresentava una tecnologia di recente introduzione: come tale, costituiva l'ideale punto di riferimento per consentire una trasposizione del concetto borgesiano di Biblioteca Totale dal mondo della parola scritta a quello dei suoni.

Com'è spiegato nell'articolo, il segnale musicale viene campionato a intervalli di tempo regolari, precisamente 44100 volte al secondo. Ogni campione è costituito da un numero binario di 16 bit, mediante il quale viene codificata l'informazione relativa al segnale sonoro nell'istante in esame. Partendo da questi dati, è possibile intraprendere un ragionamento analogo a quello suggerito dal racconto di Borges: fissando per semplicità a un'ora la durata convenzionale di un CD, si calcola un totale di 60 ∙ 60 ∙ 44100 ∙ 16 = 2.540.160.000 bit contenuti in un disco. Il numero dei CD possibili è allora uguale a 2^2540160000, che equivale a circa 10^750.000.000: un numero finito, certo, ma spaventosamente maggiore del numero dei libri borgesiani possibili.

A maggior ragione rispetto alla Biblioteca di Babele, questa gigantesca Biblioteca Totale dei Suoni non potrebbe nemmeno lontanamente starci nel nostro universo, anche immaginando di poter ridurre ogni CD alle dimensioni di un atomo.
Che cosa si troverebbe in questa smisurata biblioteca sonora? Ritorna il tema vertiginoso, già esplorato da Borges, della totalità della Biblioteca: in questo caso troverebbe posto qualsiasi successione dei fatidici 10^750.000.000 bit, cioè ogni sequenza sonora della durata di un'ora. Chini illustra il concetto in questo bellissimo passo:

La maggior parte dei dischi conterrà un rumoraccio fastidioso e indecifrabile ma sempre diverso, così come nella Biblioteca c'è un sol libro che è, da cima a fondo, la ripetizione delle lettere MCV. Ma tanti dischi invece avranno senso: conterranno ad esempio il Requiem di Mozart in tutte le possibili esecuzioni, compresa quella che ho io in casa che è su un disco di vinile con un graffio, e anche quelle con tutte le possibili stecche di ogni orchestrale. Ci sarà l'Inverno come lo ha suonato Vivaldi appena lo ha composto, e un'esecuzione del Tannhauser dove la noia è interrotta dall'oboista che, al posto della sua parte, comincia a suonare "Space Oddity"; ci sarà la musica che Stockhausen non ha ancora scritto, e quella che Claudio Baglioni purtroppo ha già scritto.
Ma non solo la musica fa parte dei suoni. Se qualcuno di voi ha mai dormito in un prato, quando si è svegliato avrà sentito un rumore di un grillo; nella Biblioteca dei Suoni c'è: c'è anche il dischetto in cui quel dolce trillo è proprio nel mezzo al fragore della bomba di Hiroshima. C'è anche il rumore del caffè che passa in tutte le caffettiere possibili e quello dei passi di ognuno di noi su qualunque terreno, facile o duro che sia al nostro piede.
E poi tra i suoni ci sono le voci: quella di me stesso che leggo questo articolo, tutte le gaffe di Ronald Reagan, le parole dette da Dio a Mosè sul Sinai. Se Dio non esiste, come io penso, non importa: qualunque cosa avrebbe potuto dire, in qualsiasi lingua, nella Biblioteca c'è. Tutto quello che hanno detto tutti gli uomini, vissuti e non, è presente.
La voce tremante di chiunque dica "Io ti amo", quella che risponde "Io no", e quella di chi invece, felice tanto da piangere, dice "Anche io", sono tutte nella Biblioteca. Là ognuno può trovare il disco che lo condanna alla disperazione e quello in cui il proprio amore è ricambiato, però non potrà sapere su quale dei due è registrata la realtà.

A distanza di 35 anni, l'idea di Chini ne ha generata un'altra nella mia testa: perché non pensare anche a una Biblioteca Totale dei Film possibili?
Anche in questo caso dobbiamo fissare qualche parametro convenzionale, perché gli standard video e audio utilizzati in ambito cinematografico e televisivo costituiscono un mondo molto complesso e variegato. Ricorrendo alle specifiche emesse dal consorzio "Digital Cinema Initiatives" (DCI), diciamo di adottare i seguenti parametri:
1) per il video, una velocità di 24 fotogrammi al secondo, con un formato immagine di 2048 per 1080 pixel, e 36 bit per codificare l'informazione del colore di un singolo pixel;
2) per l'audio, 48.000 campioni al secondo e 24 bit per codificare un singolo campione.
Inoltre fissiamo una durata di due ore per ogni film della nostra Biblioteca.

Quanti sono i film possibili? Eseguendo un calcolo analogo ai precedenti si trova che:
1) per racchiudere l'informazione video di un intero film servono 2 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 36 ∙ 2048 ∙ 1080 = 13.759.414.272.000 bit;
2) per quanto riguarda l'audio, sono necessari 2 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 48.000 ∙ 24 = 8.294.400.000 bit.
Complessivamente ci servono circa 13.767 Gbit (ovviamente il video la fa da padrona).
I miei lettori si staranno certamente chiedendo perché non faccio alcuna menzione della possibilità di comprimere il pacchetto di informazioni: ebbene, è chiaro che questo è concretamente possibile (e fondamentale ai fini dell'efficienza del sistema), ma da un punto di vista concettuale non impatta sul conteggio dei distinti film possibili (d'altra parte, è facile dimostrare che qualsiasi algoritmo di compressione rimpicciolisce alcuni tipi di file - ovviamente quelli statisticamente più frequenti - ma ne ingrandisce altri)
Quanti sono in definitiva i film possibili? Il calcolo è sempre lo stesso: dobbiamo elevare 2 a 13.767 miliardi, ottenendo qualcosa come 10^{414.427.995.031}.
Prevedibilmente, il numero che risulta è molto maggiore di quello trovato per la Biblioteca Totale dei Suoni: è una quantità inconcepibile e spaventosamente colossale.

Anche in questa Biblioteca Totale dei Film c'è tutto. Come al solito, nella maggior parte dei dischi ci sono sequenze video incomprensibili e insensate, accoppiate a colonne sonore fatte unicamente di rumori senza significato. Ma da qualche parte ci sono anche tutti i film di Chaplin, Kubrick, Allen, Antonioni e di tutti i registi della storia del cinema. Ci sono i film che loro avrebbero voluto realizzare ma non hanno realizzato e tutte le varianti possibili, comprese le più assurde, dei loro film. Per esempio c'è "2001 Odissea nello spazio" con la colonna sonora costituita da pezzi metal al posto dei valzer di Strauss, c'è "Il grande dittatore" con le scene girate su Marte, c'è "Zabriskie Point" doppiato in lingua klingon, c'è "C'era una volta in America" con Aristotele in carne e ossa al posto di Robert De Niro, e così via.
Ovviamente non ci sarebbero soltanto film in senso stretto, ma anche combinazioni qualsiasi di video e audio. Ci sono le vere registrazioni della formazione della Terra, della morte dell'ultimo dinosauro, della prima volta in cui un uomo primitivo è riuscito ad accendere un fuoco, della nascita e della crocifissione di Cristo, della fase finale della battaglia di Waterloo. In uno dei film potreste rivivere tutti i sogni che avete fatto nelle ultime notti (e tutti gli altri sogni della vostra vita sono sicuramente custoditi in altri dischi). In un altro ci sono le puntate di Goldrake che io ho visto in TV in un pomeriggio del 1979: nei fotogrammi si vede non solo il cartone animato, ma anche il televisore che c'era a casa mia allora e parte della stanza, e la colonna sonora è la registrazione originale delle parole che Giulio Cesare pronunciò quando fu aggredito e accoltellato a morte.
Tranquilli, in un disco c'è anche il film della vostra morte: in sovraimpressione è riportata la data e l'ora in cui essa avverrà. Però c'è un numero incalcolabile di altri film che mostrano versioni alternative della vostra morte: a voi indovinare qual è il film "giusto". Ed esiste una sequenza di dischi (l'unico problema è trovarli e metterli in ordine) che documentano in ogni dettaglio tutta la vostra vita, tutto quello che i vostri occhi e le vostre orecchie hanno percepito da quando siete nati fino a ora e anche nel futuro. La stessa cosa vale per tutti gli altri abitanti del mondo, anche quelli che non ci sono più, quelli che non ci sono ancora e perfino quelli che non ci saranno mai.
Insomma, tutta la vita di ogni possibile essere umano (o non umano), ogni fatto accaduto (o non accaduto) nell'universo in ogni epoca passata, presente e futura: tutto, proprio tutto è custodito in questa incredibile Biblioteca.
Mi fermo qui perché continuare potrebbe far girare la testa, sia a voi che a me, e concludo con un caloroso grazie all'amico Giorgio Chini.

Vita di Pi (greco)

Lo scorso weekend ho visto al cinema, finalmente, "Vita di Pi". Un film straordinariamente spettacolare, una vera delizia (3D, per giunta) per gli occhi, confezionata con grande maestria dal regista Ang Lee sulla base dall'omonimo romanzo di Yann Martel.
Il film racconta la storia di un ragazzo indiano cresciuto nello zoo di famiglia il cui "pezzo forte" è una tigre del Bengala. Al grosso felino, per un errore di trascrizione, è stato attribuito il nome del cacciatore che l'aveva catturata, Richard Parker.
Il ragazzo è deriso dai compagni di scuola per via del suo nome, che è quello di una piscina di Parigi: Piscine Molitor Patel. Ben presto il ragazzo decide di abbreviare il proprio nome in "Pi": e per dare maggiore significato a questo diminutivo, impara a memoria migliaia di cifre di π, e le trascrive alla lavagna davanti agli sguardi allibiti dei compagni.
Un giorno le difficoltà economiche inducono il padre di Pi a vendere lo zoo e trasportare gli animali in Canada in cerca di maggior fortuna. Ma durante il lungo viaggio la nave fa naufragio, e Pi è l'unico a sopravvivere, a bordo di una scialuppa di salvataggio. Sulla stessa imbarcazione si rifugiano alcuni degli animali, ma la fame sfoltisce ben presto il gruppo, lasciando soltanto Pi e Richard Parker.
Non vi dico come la storia continua, per non guastarvi il piacere di vedere il film. Mi limito a dire che "Vita di Pi" è anche, e forse soprattutto, un film su Dio, e sulla religione. Da ragazzo Pi si mostra molto affascinato dalle religioni, e arriva a professarne tre insieme. Per la visione razionale del padre prova al tempo stesso un senso di attrazione e di rifiuto. Semplificando un po', questi aspetti contrastanti che si agitano in lui mi sono sembrati molto indiani: una specie di ibrido tra Ramanujan e Gandhi, insomma.

A proposito di Ramanujan, la scena in cui Pi riempie la lavagna con le cifre di π imparate a memoria fa venire in mente l'impresa del cinese Lu Chao, attuale detentore del record dicifre di π recitate a memoria: nel novembre 2005 ha ripetuto a mente 67.890 cifre esatte, impiegando 24 ore e 4 minuti.
Pare che tre anni prima il giapponese Akira Haraguchi avesse recitato a memoria ben 83.431 cifre, ma per qualche motivo il suo record non è stato ufficialmente omologato.
Dopo avere ripetuto correttamente le prime 67.890 cifre, il buon Lu Chao ha commesso un errore dicendo 5 anziché 0. Una gran disdetta, perché, se dobbiamo credergli, si era preparato per un anno intero e aveva mandato a mente addirittura centomila cifre, utilizzando particolari tecniche cinese di memorizzazione.
Alla performance di Lu Chao erano presenti 8 testimoni ufficiali, assistiti da alcuni professori di matematica e da una ventina di studenti. Le regole della competizione imponevano di non lasciar passare più di 15 secondi tra una cifra e l'altra: questo significa che durante la sua recitazione Lu Chao non potè interrompersi né per mangiare né per andare al bagno.

In un mio post del 2011, raccontavo di come la popstar inglese Kate Bush avesse cantato le meraviglie della costante di Archimede nella sua canzone "Pi", descrivendo la figura di un "uomo dolce, gentile e sensibile dalla natura ossessiva e profondamente affascinato dai numeri e completamente infatuato del calcolo di π".
Nel testo di "Pi", Kate Bush snocciola una sequenza di "sole" 116 cifre, commettendo tra l'altro alcune strane inesattezze: nulla in confronto alla straordinaria fatica di Lu Chao, senza pensare che, per quel che so, la cantautrice britannica non ha mai eseguito "Pi" dal vivo!

Audrey Hepburn, la Bocca della Verità e il filosofo ostinato

Mr. Palomar e il suo amico Mr. Wilson sono appassionati di cinema, e amano soprattutto i vecchi film americani degli anni Cinquanta.
Una delle ultime sere si sono trovati per rivedere insieme "Vacanze romane", celebre film del 1953 con Audrey Hepburn e Gregory Peck. In una delle scene della pellicola, ovviamente girata nella Città Eterna, Peck accompagna la Hepburn alla Bocca della Verità, e la invita a provare l'esperienza che ogni turista in visita a Roma ha sperimentato: introdurre la mano per qualche secondo nel temibile buco, sperando di poterla tirar fuori sana e salva. Audrey supera indenne la prova, e pretende poi che anche il suo amico si sottoponga allo stesso esame.
Alla fine del film, Mr. Palomar e Mr. Wilson discutono sulla scena della Bocca della Verità. A un certo punto, Mr. Wilson ipotizza una bizzarra variante alla scena.


- Immagina che Audrey Hepburn, nell'atto di introdurre la mano nella Bocca, avesse detto "Non riuscirò mai a tirar fuori la mia mano!"
- Perché mai dovrei immaginare questo? - ribatte Mr. Palomar.
- Bè, tu immaginalo.
- Va bene, lo immagino. E allora?
- Sai bene che, secondo la leggenda, l'antico mascherone punisce i bugiardi e gli adulteri, mordendo loro la mano.
- Sì, lo so. E con questo? Dove vuoi arrivare?
- Se dobbiamo credere alla leggenda, cosa possiamo dedurre dalla scena modificata?
Mr. Palomar riflette per qualche minuto. E' ormai abituato agli enigmi di logica inventati seduta stante dal suo amico, e tutto sommato non gli dispiace stare al gioco.
- Se Audrey dice che non riuscirà a tirar fuori la mano, significa che è una bugiarda! - risponde alla fine della sua riflessione.
- Esatto. Ma se è bugiarda, anche quello che ha appena detto è una bugia - puntualizza Mr. Wilson.
- Già. Quindi non è vero che non riuscirà a tirar fuori la mano!
- E allora, come la mettiamo?
- Se non è vero che non riuscirà a tirar fuori la mano, vuol dire che la tirerà fuori - deduce Mr. Palomar.
- Di conseguenza, non è più bugiarda! - conclude Mr. Wilson.
- Com'è possibile? - replica Mr. Palomar, sconcertato - é bugiarda o no?
- Siamo caduti in un circolo vizioso. Se non è più bugiarda, ciò che aveva affermato all'inizio è vero, e quindi è vero che non riuscirà a tirar fuori la mano, e quindi è di nuovo bugiarda, e allora...
- Ho capito - lo interrompe Mr. Palomar - Non è possubile uscire da questo cerchio infinito. Gli informatici direbbero che siamo finiti in un loop.
- Non è altro che un paradosso. E anche famoso. Già gli antichi greci lo conoscevano, e lo chiamavano il paradosso del mentitore. Pare che sull'epitaffio di un filosofo greco, un certo Fileta di Cos, ci fosse scritto "Fu il Mentitore a farmi morire, con le cattive notti che mi procurò". Insomma sembra che questo Fileta, nello sforzo ostinato di risolvere questo paradosso, si fosse così spremuto le meningi da rimanerci secco!
- Fatica sprecata, direi. Abbiamo capito facilmente che non c'è via d'uscita.
- Già, ma evidentemente per lui era diventata una questione di orgoglio.
- Oppure semplicemente non aveva avuto la possibilità di vedere il film che abbiamo visto noi. Per cui non aveva capito bene il paradosso.
- Già, e non aveva mai visto Audrey Hepburn. Cosa si sono persi, questi antichi greci.