I miei ultimi video: "Il mistero dell'accordo di 'A Hard Day's Night'"

Continuo la carrellata degli ultimi video del mio canale YouTube "Paolo Alessandrini - Matematica": è il turno del video che ho pubblicato lo scorso 1° marzo, con il titolo "Il mistero dell'accordo di 'A Hard Day's Night'".

Questo video ha avuto quasi da subito un enorme successo: con le sue quasi 18.000 visualizzazioni è saldamente al quarto posto dei miei top video.
Il video è anche il primo di una serie che continuerà nei prossimi mesi e che si intitola "Matematica rock - I misteri del rock svelati dalla matematica",. Lo scopo di questa playlist è raccontare alcune delle numerose storie protagoniste del mio libro "Matematica rock. Storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin":  in ognuna di queste storie è presente un mistero, che viene risolto e svelato grazie alla matematica!
Restate quinti in contatto: troverete ben presto nuovi contenuti su questo affascinante argomento.

In questo primo video racconto la straordinaria storia del celebre accordo iniziale di "A Hard Day's Night" dei Beatles: un accordo misterioso e affascinante, che ancora oggi, dopo 60 anni, fa ancora parlare di sè gli appassionati.

E la matematica, che cosa c'entra? Be', c'entra eccome: guardate il video per scoprire perché!
Buona visione!

La matematica delle scale musicali: la storia continua

Molti anni fa, agli albori di questo blog, pubblicai tre post che trattavano un argomento che considero molto attraente: la storia delle scale musicali viste da una prospettiva prevalentemente matematica.
Ecco i titoli e i link di quegli articoli:
Pitagora e la scoperta della musica
Pitagora e il cerchio che non si chiude
La scala "naturale" da Tolomeo a Zarlino

Gli articoli riscossero un notevole entusiasmo (per il primo ricevetti addirittura i complimenti della celebre cantante Antonella Ruggiero, che si disse attenta lettrice di questo blog). Tuttavia, per vari motivi la serie non proseguì oltre il terzo episodio.
In anni successivi, avevo però ripreso l'argomento della matematica delle scale musicali in un'altra serie di articoli, questa volta pubblicata sul sito di XlaTangente, un'iniziativa curata da Matematita, il Centro Interuniversitario di Ricerca per la Comunicazione e l'Apprendimento Informale della Matematica, con sede principale presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Milano.
Gli articoli andarono a confluire in una rubrica, intitolata "Matematica e... musica". Riporto qui i riferimenti ai sette articoli, sperando di fare cosa gradita ai miei lettori:
Parte 1: dal monocordo agli intervalli musicali
Parte 2: la costruzione della scala Pitagorica
Parte 3: tono, limma e... logaritmi
Parte 4: un cerchio che non si chiude
Parte 5: Zarlino e la scala naturale
Parte 6: La scala naturale e i suoni armonici
Parte 7: Largo alle terze e alle seste!

Ebbene, dato che è sempre un peccato lasciare una cosa a metà, e anche se è passato molto tempo, riprenderò la saga della matematica delle scale musicali e pubblicherò su questo blog alcuni nuovi post.
Attendevi, quindi, cari lettori, un quarto capitolo riguardante i difetti della scala naturale tolemaico-zarliniana. A presto!

Pitagora e il cerchio che non si chiude

Come scrive il fisico Andrea Frova nel suo bel libro "Armonia celeste e dodecafonia" (Rizzoli, 2006), "in un'ottava si hanno infinite frequenze e in linea di principio si potrebbe far musica usandole tutte. Per varie ragioni - se non altro per il fatto che un gran numero di strumenti sono a note fisse - occorre porsi il problema di suddividere l'ottava in un certo numero di gradi discreti."
Questa esigenza fu sentita già dai Greci, e nel post "Pitagora e la scoperta della musica", avevo mostrato come il filosofo di Samo, procedendo per intervalli di quinta, caratterizzati quindi da un rapporto di 3/2 tra le altezze delle due note, aveva costruito una scala di sette suoni diversi, che abbiamo battezzato con i nomi delle note musicali: do, re, mi, fa, sol, la, si.

Nel corso del procedimento, sfruttando il fatto che l'intervallo di ottava è caratterizzato da un rapporto di 2:1 tra le altezze delle due note, Pitagora aveva diviso più volte le altezze ottenute per 2, allo scopo di riportare i suoni via via costruiti all'interno di una unica ottava. La scala risultante conteneva così le note che vanno dal do₁ al do₂.
La quinta e l'ottava sono quindi i due intervalli fondamentali nella costruzione della scala pitagorica. Un altro intervallo che emerge da questo schema è quello di quarta, caratterizzato da un rapporto di 4:3. Questo intervallo lo troviamo ad esempio tra il primo e il quarto grado della scala (nel nostro esempio basato sul do, tra do₁ e fa₁), oppure tra il quinto e l'ottavo (tra sol₁ e do₂), e in generale tra due note qualsiasi separate da quattro gradi.
Perché Pitagora si basò sugli intervalli di quinta e di ottava (e conseguentemente, di quarta) per costruire la sua scala? Evidentemente perché già nella tradizione musicale greca questi intervalli erano considerati consonanti, cioè era ritenuta piacevole la sensazione che si provava nell'ascoltare simultaneamente due note separate tra loro da uno di questi intervalli.  Basando la costruzione della scala su questi intervalli, Pitagora voleva far sì che suonando insieme più note della scala l'effetto uditivo fosse gradevole.
La grande scoperta che Pitagora ritenne di avere compiuto era la corrispondenza tra la sensazione di consonanza tra note e i rapporti numerici semplici tra le altezze delle note stesse.

I numeri coinvolti nei rapporti che caratterizzano i tre intervalli di ottava, quinta e quarta (2:1, 3:2; 4:3) sono infatti semplicemente i primi quattro numeri naturali: 1, 2, 3 e 4.  Questo non può far pensare alla cosidetta tetraktýs, il "quartetto" sacro che veniva rappresentato graficamente sotto forma di triangolo equilatero di lato quattro e che riconduceva alla somma magica 1+2+3+4 = 10.
All'interno della setta pitagorica, l'importanza di questo simbolo era tale che su di essa i discepoli prestavano giuramento e la scuola stessa era intitolata al sacro triangolo.
I quattro livelli venivano collegati ai quattro elementi che i presocratici consideravano i principi cosmici fondamentali: Fuoco, Aria, Acqua, Terra.

La connotazione religiosa di questo simbolo triangolare non era limitata ai pitagorici, ma si ritrova anche in molti culti orientali.
Vale la pena ricordare anche come il triangolo sacro ai pitagorici sia strettamente collegato ad un quadrato latino come quello indicato nella figura a fianco: oltre ad essere un quadrato latino, cioè ad avere su ogni riga e su ogni colonna tutti i numeri da 1 a 4, è anche simile ad un quadrato magico, perché la somma dei numeri su ogni riga, su ogni colonna e su ciascuna delle due diagonali dà come risultato 10 (a rigore, non si tratta di un vero quadrato magico perché le cifre utilizzate non sono distinte, ma ognuna si ripete quattro volte).

Ma torniamo alla scala musicale pitagorica. In "Pitagora e la scoperta della musica" avevo osservato che le note della scala risultano disposte in modo piuttosto uniforme. Ciò equivale a dire che gli intervalli tra due note consecutive sono di due soli tipi: il tono, che corrisponde al rapporto 9:8, e la limma, che corrisponde al rapporto 256:243.
Per sommare tra loro due intervalli è necessario moltiplicare tra loro i rapporti corrispondenti ai due intervalli: ad esempio, un intervallo pari a due limme corrisponde al rapporto (256:243) x (256:243) ≈ 1,1099, che è diverso dal rapporto associato al tono, pari a 9/8 ≈ 1,125.

Per poter trattare gli intervalli mediante addizioni anziché moltiplicazioni, qualcuno (precisamente il matematico inglese Alexander Ellis nel 1885) ha pensato di usare i logaritmi, dato che il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei rispettivi logaritmi. Introducendo una unità chiamata cent, e fissando convenzionalmente a 1200 cent l'ampiezza di una ottava, il numero di cent legato a un certo intervallo è uguale a 1200 * log₂R, dove R è il rapporto corrispondente all'intervallo considerato.

In questo modo, si ottiene che il tono è pari a 1200 * log₂(9/8) ≈ 203,91 cent e la limma è pari a 1200 * log₂(256:243) ≈ 90,22 cent. Il fatto che un intervallo di un tono non eguagli un intervallo di due limme si traduce a questo punto nel fatto che i 203,91 cent che formano un tono non sono il doppio dei 90,22 cent della limma.
La definizione logaritmica degli intervalli musicali è più facile da comprendere, in quanto consente di comporre gli intervalli in modo additivo anziché moltiplicativo. Ma non è questo l'unico motivo per preferire i cent ai rapporti: la nostra percezione delle altezze sonore è approssimativamente logaritmica, allo stesso modo della risposta del nostro orecchio alle intensità sonore.

Mi piace allora riproporre l'ultima tabellina del post "Pitagora e la scoperta della musica" esprimendo gli intervalli non solo come rapporti ma anche con l'indicazione (approssimata) dei cent.
Come si vede dalla tabella, una quinta corrisponde a circa 702 cent, e una quarta a circa 498 cent.

NOTE	do1	re1	mi1	fa1	sol1	la1	si1	do2
RAPPORTI	1	9:8 = 1,125	81:64 = 1,266	4:3 = 1,333	3:2 = 1,5	27:16 = 1,687	243:128 = 1,898	2:1 = 2
CENT	0	203,91	407,82	498,04	701,95	905,86	1109,77	1200

Scrivevo poco fa che due limme non fanno esattamente un tono. Due limme equivalgono a circa 180,44 cent, e la differenza dai circa 203,91 che compongono un tono equivale approssimativamente a 23,47 cent: questo intervallo, percepibile da un orecchio musicalmente sensibile, viene detto comma pitagorico.
Questo errore è lo stesso che si ottiene ad esempio salendo di dodici quinte e scendendo poi di sette ottave.
Infatti, secondo il sistema pitagorico, dodici quinte equivalgono a 12*701,95 = 8423,4 cent, mentre sette ottave sono 7 * 1200 = 8400 cent: ritroviamo come differenza quei 23,4 cent che costituiscono il comma pitagorico.
In sostanza, non riusciamo a chiudere il cerchio delle quinte, almeno dopo 12 passi.
Forse ce la possiamo fare con un numero più alto di passi? Ad esempio, intorno al 40 a.C. il cinese King Fang si accorse che un intervallo di 53 quinte è molto vicino ad un intervallo di 31 ottave: ma anche in questo caso si ha un errore, pari a 53*701,95 - 31*1200 = 37203,35 - 37200 = 3,35 cent.
In generale, il cerchio non si chiuderà mai, semplicemente perché non esistono due numeri interi m e n tali per cui:

Più che un cerchio delle quinte, quindi, nella scala pitagorica abbiamo una "spirale delle quinte", che non si chiude mai in entrambe le direzioni.

Se fissiamo m=1 e risolviamo l'equazione precedente in n, otteniamo n = log₂3 - 1 ≈ 0,585, che è ovviamente un numero irrazionale: curiosamente il grande incubo di Pitagora, l'esistenza dei numeri irrazionali, è alla base del fenomeno del comma, cioè del principale difetto della sua scala musicale.

Il perfido comma pitagorico salta fuori ovunque quando si analizza la scala del filosofo di Samo. Torniamo al famoso cerchio delle quinte che abbiamo usato per costruire la scala: di quinta in quinta avevamo attraversato le note fa, do, sol, re, la, mi e si. Partendo dal si e procedendo ancora per quinte, si cominciano a toccare delle note che i musicisti chiamano di solito "accidentate", cioè le note con il segno del diesis.

Dopo il si, otteniamo una nota compresa tra il fa e il sol, che chiamiamo fa^# (fa diesis); poi, successivamente, otteniamo do^#, sol^#, re^#, la^#, mi^#, e così via.

Ma facciamo i conti per vedere cosa succede di preciso. Se aggiungiamo i 701,95 cent tipici di una quinta ai 1109,77 cent del si₁, abbiamo 1811,77 cent. Sottraendo 1200 cent per scendere di un'ottava, otteniamo una nota di 611,77 cent, che si trova tra il fa e il sol e chiamiamo quindi fa^#.  Precisamente, l'intervallo tra il fa e il fa^# è pari a 113,73 cent, che non è la stessa cosa dei 90,22 cent che caratterizzano la limma.

Qual è la differenza tra i due intervalli? Guarda un po', sono sempre quei 23 cent che formano il famigerato comma pitagorico.

La morale della favola è che la limma interviene nella scala pitagorica come intervallo di separazione tra note che formano la scala stessa, ad esempio tra mi e fa e tra si e do, e per questo viene chiamata anche "semitono diatonico".  Invece,  gli intervalli tra una nota e la propria versione alterata con un diesis (ad esempio tra fa e fa^#, oppure tra do e do^#) sono più grandi, e vengono detti "semitoni cromatici".

La differenza tra i due tipi di semitoni è uguale a un comma pitagorico.

Lo stesso intervallo che esiste tra una nota e la propria versione con diesis lo ritroviamo, a ritroso, tra la nota stessa e la propria versione alterata con un bemolle. Ad esempio, tra un sol^b e un sol abbiamo un intervallo pari a un semitono cromatico, cioè 113,73 cent.  La nota sol^b, in particolare, corrisponde a 588,22 cent.
Cosa comporta questo fatto? Ad esempio, che sol^b e fa^# non sono la stessa nota (588,22 cent ≠ 611,77 cent), e in particolare il fa^# risulta più acuto del sol^b.  Ancora una volta, l'intervallo tra le due note è pari a un comma pitagorico.

La scala pitagorica con diesis e bemolli, quindi, richiederebbe 21 note, disposte nell'ordine seguente:

do^b-si, re^b-do^#, re, mi^b-re^#, fa^b-mi, fa-mi^#, sol^b-fa^#, sol, la^b-sol^#, la, si^b-la^#, do^b-si.

E' come se sulla tastiera di un pianoforte, venissero sdoppiati non soltanto tutti i tasti neri, che come è noto corrispondono alle note alterate, ma anche i tasti bianchi che distano di un semitono: complicatissime tastiere "enarmoniche" di questo tipo vennero realmente costruite nel Cinquecento, come illustrato nella figura sopra.

Pitagora e la scoperta della musica

In un mio vecchio post senza parole, intitolato semplicemente "Pitagora", Antonella Ruggiero suona un curioso strumento ispirato al celebre "monocordo" del filosofo di Samo. Questo strumento fu inventato e utilizzato da Pitagora per i suoi studi di teoria musicale. Come il suo stesso nome suggerisce, era composto da una sola corda, tesa tra due ponticelli sopra una cassa armonica; sotto la corda un terzo ponticello intermedio e mobile consentiva di dividere la corda stessa a piacere, dando origine a suoni diversi. Pitagora fu il primo a fondare lo studio della musica su basi matematiche.

Dalle sue sperimentazioni sul monocordo capì che una corda messa in vibrazione produce un suono la cui “altezza” percepita dall’orecchio umano è in stretta relazione con la lunghezza della corda stessa.
Certo, Pitagora non poteva arrivare a concepire il legame tra l’altezza di un suono e la frequenza dell’onda sonora associata; più semplicemente si accorse che più la corda è lunga, più la nota prodotta viene avvertita come “bassa” o “grave”; al contrario una corda più corta produce una nota che viene riconosciuta come più “alta” o “acuta”.
Ma il grande matematico greco non si fermò a questa elementare considerazione. Ebbe infatti l’idea di associare ogni nota ad un numero, precisamente l’inverso della lunghezza della corda responsabile della generazione del suono stesso. Ad esempio, associò al numero 1 la nota prodotta da una corda lunga 1 metro, e al numero 2 la nota prodotta da una corda lunga mezzo metro.
Grazie a questo utilizzo dell’inverso della lunghezza, note più acute risultano associate a numeri più grandi, in modo da conciliare l'altezza della nota con l’altezza del numero che la rappresenta.
Inoltre, adoperando questo metodo, ogni nota risulta contraddistinta da un numero che è di fatto proporzionale alla propria frequenza.

Una volta ideato questo sistema di numerazione dei suoni, Pitagora considerò diverse “coppie” di note (che a questo punto potevano essere tradotte in coppie di numeri), e scoprì che le note che “stanno bene insieme” sono legate tra di loro da un rapporto numerico semplice.  Ad esempio, se facciamo vibrare una corda che produce una nota legata al numero 1, e poi un’altra corda che genera un suono associato al numero 2 (in questo caso, quindi, la prima corda è lunga il doppio della seconda), otteniamo due suoni che l’orecchio umano, istintivamente, classifica come “simili”, o addirittura “uguali”. Questo intervallo musicale è quello che noi chiamiamo "ottava" (il motivo di questo nome diventerà chiaro più avanti). Le due note suonano all'orecchio così "uguali" che nella tradizione musicale vengono chiamate con lo stesso nome: ad esempio due do.
Quando non sono impegnato con il lavoro o con le mie corbellerie divulgative, mi onoro di far parte di un pregevole coro, alle cui performance contribuisco con una mediocre voce di basso. Ebbene, i brani che cantiamo prevedono, nella maggior parte dei casi, quattro voci, che corrispondono ai quattro registri di soprano, contralto, tenore e basso; normalmente le quattro parti portano avanti altrettante linee melodiche indipendenti, che però si intrecciano reciprocamente generando un contrappunto che fa del coro un vero gruppo polifonico. In alcuni casi, però, ad esempio quando cantiamo brani della tradizione gregoriana, le voci sono soltanto due: soprani e contralti cantano all'unisono, mentre tenori e bassi cantano esattamente la stessa melodia ma traslata in basso di un'ottava. Questo è un esempio di canto corale monodico, in cui se due note vengono "suonate" insieme, si tratta di due note separate tra loro da un rapporto numerico pari a 2:1. In altre parole, se volessimo riprodurre con una corda la nota intonata da soprani e contralti (quella all'ottava superiore, insomma), servirebbe una corda lunga esattamente la metà di quella necessaria per imitare la nota cantata dai  bassi e dai tenori.
Il rapporto numerico semplice tra le lunghezze delle corde si riflette (anche se Pitagora questo non lo sapeva) nel rapporto tra le frequenze dei suoni fondamentali: se, ad esempio, le donne del coro intonano un la centrale (quello del diapason, per intenderci), pari a una frequenza di 440 hertz, gli uomini del coro rispondono con un la all'ottava sotto, pari a una frequenza di 220 hertz.
Un altro intervallo di note che "suonano bene insieme", notò Pitagora, è quello associato al rapporto 3:2: in questo caso non avvertiamo quel senso di "uguaglianza" di note, ma universalmente la combinazione sonora è percepita come gradevole, armoniosa, o, come dicono i musicisti, "consonante".
Partendo dalla nota associata al numero 1, quindi, invece di passare alla nota legata al numero 2 (cioè prodotta da una corda lunga la metà), passiamo a una nota legata al numero 3:2 = 1,5 (quindi prodotta da una corda lunga due terzi rispetto alla prima).
Così come l'intervallo collegato al rapporto 2:1 viene chiamato dai musicisti "ottava", quello connesso al rapporto 3:2 è detto "quinta" (ancora una volta, non preoccupiamoci del motivo: apparirà chiaro più avanti).
Sulla base di questa semplice matematica, possiamo ripercorrere il metodo attraverso il quale Pitagora costruì la prima scala musicale (per la verità, prima di lui furono matematici cinesi a inventare il procedimento, ma la tradizione occidentale attribuisce la scoperta al filosofo di Samo).
Partendo da una nota convenzionalmente associata al numero 1, saltiamo avanti di una ottava, arrivando alla nota contraddistinta dal numero 2:1 = 2. Le due note così ottenute, come abbiamo visto, suonano come "la stessa nota". E' quindi naturale assegnare loro lo stesso nome, ad esempio "do", ma abbiamo anche la necessità di distinguerle in qualche modo: utilizziamo per questo motivo la convenzione di chiamare "do₁" la nota iniziale, più bassa, e "do₂" la seconda, all'ottava superiore.

Se facciamo altri salti di un'ottava, raddoppiando ad ogni salto il numero della nota, otteniamo via via altri do: il do₃, associato al numero 4, il do₄, associato al numero 8, il do₅, associato al numero 16, e così via. Partendo sempre dal do₁ e tornando indietro di un'ottava, otteniamo invece il do₀, il cui numero associato è 1:2 = 0,5.

do0	do1	do2	do3	do4	do5	…
1:2 = 0,5	1	2:1 = 2	2 * 2:1 = 4	4* 2:1 = 8	8 * 2:1 = 16	…

In questo modo, i pedici aggiunti ai nomi delle note servono ad indicare l'ottava di appartenenza della nota stessa.   Il nostro obiettivo, però, è quello di concentrarci su una sola delle ottave, ad esempio quella contenente le note associate a numeri compresi tra 1 e 2, e determinare l'altezza numerica di queste singole note: vogliamo, in altre parole, costruire una semplice scala musicale che copre l'ottava compresa tra il do₁ e il do₂. Ripartiamo allora dal do₁, e andiamo avanti di una quinta, ottenendo una nota legata al numero 3:2 = 1,5. Essendo questo numero compreso tra 1 e 2, deduciamo che questa nota è compresa tra il do₁ e il do₂, (com'è ovvio che sia, dato che l'intervallo di quinta è più piccolo di quello di ottava), e la chiamiamo "sol₁".
Partendo sempre dal do₁, ma andando indietro di una quinta, costruiamo una nota che risulta associata al rapporto 2:3 = 0,666.  In questo caso ci troviamo sopra il numero 0,5 associato al do_0, per cui battezzeremo la nota ottenuta come "fa₀". Sappiamo però che la nostra meta è riempire l'ottava compresa tra il do₁ e il do₂, mentre questo fa₀ si trova fuori di tale intervallo. Niente paura: basta avanzare di una ottava, cioè raddoppiare il rapporto 2:3, ottenendo 4:3. Ecco a voi il "fa₁", corrispondente al numero 4:3 = 1,333.
Dato che con tutte queste note rischiamo di perderci, aggiorniamo la situazione con un nuovo schema, questa volta limitato all'ottava compresa tra il do₁ e il do₂.

do1	…	fa1	…	sol1	…	do2	…
1	…	4:3 = 1,333	…	3:2 = 1,5	…	2:1 = 2	…

Ho volutamente lasciato degli spazi tra una nota e l'altra, perché ancora non sappiamo quali altre note riusciremo a costruire grazie al metodo pitagorico e quali spazi ancora vuoti della scala andranno a riempire.  Ripartendo dal sol₁, proseguiamo avanti sempre considerando intervalli di quinta: la prima volta raggiungiamo la nota corrispondente al numero (3:2) * (3:2) = 9:4 = 2,25, che si trova fuori dalla nostra ottava di riferimento. Abbiamo quindi bisogno di abbassarci di un'ottava, dividendo per 2: abbiamo così creato la nota associata al numero 9:8 = 1,125, che chiameremo "re₁".
Salendo ancora di una quinta, giungiamo al suono legato al numero (9:8) * (3:2) = 27:16 = 1,6875, che si trova nel nostro intervallo: questa nota la chiameremo "la₁".
Da questa nota si arriva, con un altro salto di quinta, al numero (27:16) * (3:2) = 81:32 = 2,53125, che è sopra il do_2, e quindi necessita di un abbassamento di ottava. Così facendo, cioè dimezzando il numero, otteniamo 81:64 = 1,265625, e diamo il nome "mi₁" alla nota che abbiamo generato.
L'ultimo passo ci serve per arrivare alla nota contraddistinta dal numero (81:64) * (3:2) = 243:128 = 1,8984375, che appartiene ancora all'ottava considerata e che chiameremo "si₁".
Non ci resta che mettere in ordine le note che abbiamo costruito grazie a questo procedimento. Ciò che otteniamo è la scala pitagorica:

do1	re1	mi1	fa1	sol1	la1	si1	do2
1	9:8 = 1,125	81:64 = 1,266	4:3 = 1,333	3:2 = 1,5	27:16 = 1,687	243:128 = 1,898	2:1 = 2

Il risultato al quale giunse Pitagora è molto elegante dal punto di vista matematico. Per prima cosa, procedendo per intervalli di quinta (eventualmente corretti per ottava), abbiamo ottenuto una scala formata da note che vanno dal do₁ al do₂: precisamente sette note (senza considerare la ripetizione del do).
Il fatto che le note siano sette, più l'ottava che è uguale alla nota di partenza, ci chiarisce finalmente il motivo del termine "ottava", che avevamo dato per scontato all'inizio.
Anche la parola "quinta" diventa ora ovvia: si tratta di un intervallo che spazia tra cinque note della scala.

Inoltre, e qui sta il bello, le note della scala che abbiamo costruito risultano disposte in modo piuttosto uniforme; in altre parole gli intervalli tra due note consecutive sono di soli due tipi:
1) un intervallo detto tono, corrispondente a 9:8 = 1,125, esistente tra il do e il re (infatti (9:8)/1 = 9:8), tra il re e il mi (infatti (81:64)/(9:8) = 9:8), tra il fa e il sol (infatti (3:2)/(4:3) = 9:8), tra il sol e il la (infatti (27:16)/(3:2) = 9:8) e tra il la e il si (infatti (243:128)/(27:16) = 9:8);
2) un intervallo detto limma, corrispondente a 256:243 ≈ 1,053, esistente tra il mi e il fa (infatti (4:3)/(81:64) = 256:243) e tra il si e il do (infatti 2/(243:128) = 256:243).

Il fatto negativo è che questi due diversi intervalli non sono imparentati l'uno con l'altro. Sicuramente Pitagora sarebbe stato molto felice se avesse potuto constatare che la limma era esattamente la metà del tono: ma così purtroppo non è.
La limma risulta uguale a circa il 44,25% del tono: insomma, non c'è una relazione semplice tra le due quantità. Ne consegue che l'ottava non può essere divisa in parti proporzionali (per evitare di dover modificare l'intonazione delle singole note al cambiare della tonalità), e questo costituisce il più grave difetto della scala pitagorica appena costruita. Nelle prossime puntate di questa nuova serie di post, vedremo come questo problema fu affrontato e infine risolto.