Martedì prossimo uscirà in libreria "Rodari. A-Z": un'enciclopedia dedicata al grande scrittore Gianni Rodari. L'uscita chiude simbolicamente quello che è stato l'anno del Centenario di Rodari. Il volume è edito da Electa Mondadori e curato da Vanessa Roghi e Pino Boero. Si tratta di un'opera a più voci: non soltanto perché si tratta di un'enciclopedia e quindi è normale che contenga molte voci (84 per la precisione), ma anche perché è il risultato di uno sforzo collettivo e polifonico: 56 autori, appartenenti ad ambiti molto disparati.
Come si legge nella presentazione dell'editore:
Artefici dell’esplorazione sono maestri, professori, pedagogisti, giornalisti, intellettuali ed accademici; ognuno si è mosso lungo una rete di coordinate che, intrecciandosi, passano dai suoi personaggi fantastici, ai colleghi e maestri, dal mondo dell’editoria e dell’infanzia, a quello della militanza politica, dai luoghi della vita e del lavoro, alle passioni per i libri e le riviste.
Perché vi parlo di questo libro? Perché, e lo dico con profonda emozione e con grande orgoglio, uno di quei 56 autori sono io e una delle voci, quella dedicata alla Matematica, è uscita dalla mia penna. Sono molto riconoscente ai curatori per avermi coinvolto in questa magnifica avventura. E, innanzitutto, li ringrazio per aver pensato alla matematica come una delle sfaccettature rodariane degne di essere analizzata nel libro.
"Rodari A-Z" è un doveroso omaggio a un uomo che non fu soltanto un autore di letteratura per l'infanzia, ma anche uno dei più grandi intellettuali del Novecento. Da "Alice" a "Zoo", in questo prezioso volume scoprirete un sacco di cose sorprendenti: ed è bello che in queste pagine si parli anche della matematica, che Rodari amava molto. Potete acquistare il volume anche adesso, su tutti i negozi online (per esempio Amazon) e da martedì prossimo nelle librerie. Buona lettura!
È stata una grandissima emozione parlare in televisione, ieri pomeriggio, delle connessioni tra la matematica e Gianni Rodari. Parlarne proprio ai ragazzi, in una trasmissione frizzante e intelligente come "La banda dei fuoriclasse", e proprio ieri, nel giorno del centenario dello scrittore, ha reso l'emozione ancora maggiore.
Grazie alla RAI, a tutti gli autori e i curatori del programma, al "capobanda" Mario Acampa e a tutti gli spettatori che mi hanno visto e ascoltato.
Se volete rivedermi, vi basta andare su RaiPlay e guardare il video della puntata dal minuto 39 in poi.
Ancora buon compleanno, Gianni. E grazie di tutto.
C'è una frase del matematico Ennio De Giorgi che mi piace molto:
"Un bel problema, anche se non lo risolvi, ti fa compagnia se ci pensi ogni tanto".
Come a dire: non importa veramente se il problema lo risolviamo, quel che conta è passare dei bei momenti a ragionare, a cercare di risolverlo, a inventare strategie promettenti. Tra l'altro De Giorgi dice "un bel problema": la bellezza, appunto, parola che apparentemente sembra impossibile poter mettere nella stessa frase insieme a "matematica", ma impossibile non è.
L'attrazione fatale che "un bel problema" può esercitare su una persona viene ben descritta da Gianni Rodari in un passaggio del racconto natalizio “Il pianeta degli alberi di Natale”, pubblicato nel 1962. Il capo del "governo che-non-c'è" a un certo punto confessa che l'amore per la matematica, e in particolare per un problema matematico, ha definitivamente prevalso sulle sue ambizioni di potere:
- Stavo recandomi a una seduta, - continuò la voce, - quando mi è venuto in mente un magnifico problema di matematica. E allora, seduta per seduta, mi sono seduto qui per risolverlo. Qui c’è tanta quiete! E così mi è passata la voglia di andare alla riunione. Mi dispiace per i miei colleghi, ma dovranno eleggere un altro capo del governo. Mi considero dimissionario per ragioni matematiche.
Questo brano è significativo perché rivela in modo chiaro la simpatia che Rodari nutriva nei confronti della matematica. Quanti scrittori potrebbero definire "magnifico" un problema di matematica? Quanti letterati potrebbero associare a un problema di matematica una sensazione di serenità e l'idea di un passatempo divertente?
L'amore di Rodari per la matematica emerge, quasi come un lapsus freudiano, da un'intervista rilasciata il 3 gennaio 1979 alla televisione svizzera. Allo scrittore fu chiesto di dare un consiglio a un ragazzo desideroso di diventare uno scrittore. La prima risposta di Rodari, spiazzante, fu: "studiare la matematica!"
Prima di lasciarvi al video dell'intervista, desidero ringraziare tutti voi per la calorosa attenzione che avete voluto riservare a questi miei articoli dedicati ai punti di contatto tra Rodari e la matematica. L'idea mi era nata per gioco, ma ha riscosso un grande successo. Col tempo è diventata per me un appuntamento piacevolissimo e anche utile, visto che ho scoperto moltissime cose che non conoscevo su Rodari e perfino alcune cose nuove inerenti la matematica. Mi mancherà molto. Oggi Gianni Rodari compirebbe cento anni: questa serie è stata il mio modestissimo omaggio a uno dei giganti della cultura del Novecento.
Vi ricordo che proprio oggi, giorno del centenario, sarò in diretta su RAI Gulp alla trasmissione "La banda dei fuoriclasse" per parlare di matematica e Gianni Rodari. Buona visione!
Sono molto felice di annunciarvi che venerdì 23 ottobre, tra le 15 e le 16, interverrò in diretta nella trasmissione "La banda dei fuoriclasse" su Rai Gulp (canale 42), per parlare delle connessioni tra la matematica e l’opera di Gianni Rodari!
Proprio venerdì sarà il giorno del centenario della nascita del grande scrittore. Per me questo rappresenta un ulteriore motivo di emozione: sarà fantastico parlare in TV di numeri e di matematica proprio in quel giorno e proprio ai bambini e ai ragazzi, veri destinatari dell’opera di Rodari.
Per chi non potesse assistere alla diretta, dopo venerdì la puntata sarà ovviamente disponibile su RaiPlay. Vi ricordo che proprio venerdì uscirà anche l'ultimo post (il n. 17) della serie dedicata alla matematica di Gianni Rodari.
Molti dei concetti basilari dell'analisi matematica possono essere meglio compresi se rappresentati in forma grafica.
Due nozioni di questo tipo sono la continuità e la derivabilità.
Una funzione f si dice continua in un punto p del suo dominio se il suo limite per x tendente a p è uguale al valore della funzione in x = p. In termini più informali, questo accade se il grafico della funzione nei dintorni del punto in questione può essere tracciato senza mai staccare la matita dal foglio.
Nella figura seguente si vedono due esempi di funzione: la prima è discontinua in un punto, la seconda è sempre continua.
Se consideriamo una funzione continua in un punto, possiamo chiederci se sia anche derivabile in quel punto, cioè se esista la derivata prima della funzione in quel punto.
La derivabilità è una condizione più forte della continuità: se una funzione è derivabile in un punto, è sicuramente continua in quel punto, ma il viceversa non è garantito. Una funzione continua potrebbe non essere derivabile se si verificano situazioni particolari che impediscono il calcolo della derivata in un punto. Queste condizioni "patologiche" sono le cuspidi, i punti angolosi, i flessi a tangente verticale, i punti isolati del grafico.
Nel 1872 il matematico tedesco Karl Weierstrass, uno dei padri della moderna definizione di limite (assieme a Cauchy) scoprì una funzione mostruosa: continua ovunque ma in nessun punto derivabile! Insomma, una funzione senza salti o buchi, ma completamente fatta di punte. Si tratta inoltre di uno dei primi esempi di oggetto frattale scoperto nella storia della matematica.
Vi starete chiedendo: ma che c'entra Gianni Rodari con tutto questo? Ebbene, in "Il paese senza punta", una delle "Favole al telefono", il grande scrittore descrive "un paese dove gli spigoli delle case erano rotondi, e i tetti non finivano a punta ma con una gobba dolcissima". Insomma, un paese senza punti angolosi e senza cuspidi, un mondo del tutto continuo e derivabile: l'esatto contrario della ovunque aguzza funzione di Weierstrass. Il vero paradiso dei matematici!
Una questione matematica molto cara a Rodari è il concetto di misura. Nel capitolo 37 della "Grammatica della fantasia", significativamente intitolato "La matematica delle storie", Rodari sottolinea quanto sia importante che i bambini imparino a misurare il mondo attorno a loro, preferibilmente attribuendo un connotato ludico a questa atttività:
Fondamento di ogni attività scientifica è la misurazione. Esiste un gioco per bambini che dev'essere stato inventato da un grande matematico: il gioco dei passi. Il bambino che domanda il gioco ordina ai suoi compagni, di volta in volta, di fare "tre passi da leone", "un passo da formica", "un passo da gambero", "tre passi da elefante"... Così lo spazio del gioco è continuamente misurato e rimisurato, creato e ricreato da capo secondo diverse unità di misura fantastiche. Da questo gioco possono prendere spunto esercizi matematici molto divertenti, per scoprire "quante scarpe è lunga l'aula scolastica", "quanti cucchiai è alto Carletto", "quanti cavaturaccioli ci sono dalla tavola alla stufa...". Dal gioco alla storia il passo è breve.
Ecco, ancora una volta, la Fantastica che si sostituisce alla Logica: non sopprimendo completamente lo spirito scientifico e razionale, ma sovrapponendovi i colori della fantasia per creare una "nuova logica", più libera ma non certo priva di una sua razionalità. E questo mondo logico-fantastico è un terreno estremamente fertile per ambientarvi storie. Ci sono due brani (già citati in puntate precedenti di questa serie) in cui questo processo è molto evidente.
Il primo è il racconto "Pesa-di-più e Pesa-di-meno", in cui si gioca sui paradossi legati alla misurazione del peso.
Il secondo esempio proviene dalla celebre filastrocca "A inventare i numeri" (dalle "Favole al telefono"):
"Quanto c’è da qui a Milano?" "Mille chilometri nuovi, un chilometro usato e sette cioccolatini". "Quanto pesa una lagrima?" "Secondo: la lagrima di un bambino capriccioso pesa meno del vento, quella di un bambino affamato pesa più di tutta la terra". "Quanto è lunga questa favola?" "Troppo".
E non è finita.
In una delle storie tratte da "Il tamburino magico", il malvagio dottor Terribilis cerca di spostare la Luna dalla sua orbita celeste, ma fallisce nel suo intento proprio perché non è molto bravo in matematica, in particolare nelle misure e nelle equivalenze:
Il grande supercrick sprigionava invano tutta la sua diabolica potenza. La Luna non si spostava di un millimetro dalla sua strada di sempre. Bisogna sapere che il dottor Terribilis, dotto e ingegnosissimo in ogni campo, era piuttosto debole nel calcolo dei pesi e delle misure del sistema metrico decimale. Nel calcolare il peso della Luna egli aveva sbagliato l’equivalenza per ridurre le tonnellate in quintali. Il supercrick era fabbricato per una Luna dieci volte più piccola e leggera della nostra. Il dottor Terribilis ruggì per il dispetto, rimontò sulla navicella spaziale e si sprofondò nello spazio...
In questa breve puntata della serie su Rodari e la matematica vorrei, per una volta, citare non direttamente il Maestro ma due degli innumerevoli autori che di lui hanno scritto.
Mi riferisco a Gianni Sarcone e Marie-Jo Waeber, esperti di matematica e gioco nonché autori di numerosi libri sul tema.
D'altra parte, in un sito come questo, che si autodefinisce "blog di matematica giocosa", il connubio tra gioco e matematica non può certo restare in disparte, soprattutto se si parla di un autore come Rodari.
"La matematica è per i pigri", affermano Sarcone e Waeber in un testo scritto per "La Settimana dei Bambini del Mediterraneo" e riportato sul sito Archimede's Laboratory (lic.)
È per i pigri, perché non serve contare quante uova ci sono in due dozzine: per fortuna abbiamo imparato le tabelline a scuola e sappiamo che ce ne sono 24. Così come per misurare il perimetro della Terra il pigro Eratostene risparmiò scarpe, sudore, tempo e metri da sarta e si limitò a usare due bastoncini e una formula matematica.
Insomma, la matematica è una costruzione mentale, una proiezione della nostra creatività che può tranquillamente fare a meno della realtà e, inevitabilmente, assomiglia molto al gioco. Un mind game, direbbe John Lennon.
Condivido in pieno il concetto espresso da Sarcone e Waeber: è evidente che nella matematica Rodari vedeva uno spazio di libertà, un territorio in cui l'immaginazione poteva esprimersi liberamente nello stesso modo in cui la fantasia di un bambino si esprime nel gioco.
In conclusione lascio la parola ai due autori:
Ve lo dico io, essere pigri e sognatori è una grande qualità, e ciò che fa avanzare il mondo. “E cosa c’entra il poeta Gianni Rodari?”. Rodari è un matematico della parola... Uno di quelli che conosce i congegni che muovono l’immaginazione, uno che ama le cose semplici come il gioco. E vedi, il gioco è per i pigri... Ci fa inventare, sperimentare con la fantasia tante situazioni della vita senza aver bisogno di viverle tutte! Rodari è il re dei pigri, e quindi un matematico.
Matematica, gioco, parole, fantasia, immaginazione sono perline della stessa collana, intercambiabili: il gioco può prendere il posto della matematica, la matematica quello delle parole, e così via... Solo i pigri possono portare questa collana; per gli altri, quelli che non hanno tempo da perdere, la collana stringe al collo, è troppo stretta, non c’è spazio per la fantasia, per giocare, per matematicare o parolare. Non c’è spazio per sbagliare.
Nella puntata n. 8 di questa serie, intitolata "Quasi numeri, meravigliardi, fanta-tabelline, unci dunci trinci", mi sono soffermato su alcune deliziose invenzioni rodariane tratte da una delle "Favole al telefono", la celebre "A inventare i numeri". Cose come:
uno stramilione di biliardoni, un ottone di millantoni, un meravigliardo e un meraviglione.
In quell'occasione, però, ho dimenticato di citare altre due favole della stessa raccolta, anch'esse contenenti analoghe invenzioni numeriche. Con questo post, breve e per una volta "poco matematico", cerco di rimediare alla dimenticanza.
Il primo brano dimenticato si intitola "Il palazzo da rompere". L'antefatto della storia è presto detto:
Una volta, a Busto Arsizio, la gente era preoccupata perché i bambini rompevano tutto.
Ma una soluzione viene trovata:
Per fortuna da quelle parti ci sono molti ragionieri. Ce n'è uno ogni tre persone e tutti ragionano benissimo. Meglio di tutti ragionava il ragionier Gamberoni, un vecchio signore che aveva molti nipoti e quindi in fatto di cocci aveva una vasta esperienza. Egli prese carta e matita e fece il conto dei danni che i bambini di Busto Arsizio cagionavano fracassando tanta bella e buona roba a quel modo. Risultò una somma spaventevole: millanta tamanta quattordici e trentatre.
Ecco quindi altri strani numeri creati da Rodari. Ma le presenze numeriche proseguono ancora:
Con la metà. di questa somma, - dimostro il ragionier Gamberoni, - possiamo costruire un palazzo da rompere e obbligare i bambini a farlo a pezzi: se non guariscono con questo sistema non guariscono più. La proposta fu accettata, il palazzo fu costruito in quattro e quattro otto e due dieci. Era alto sette piani, aveva novantanove stanze (...)
Effettivamente l'idea di Gamberoni funziona. I bambini distruggono l'intero palazzo ma poi risultano completamente guariti dalla loro sindrome vandalica. Ed ecco che nel computo dei risparmi compare un numero inventato già presente in "A inventare i numeri":
Il Rag. Gamberoni fece i conti e dimostrò che la città di Busto Arsizio aveva realizzato un risparmio di due stramilioni e sette centimetri.
In un'altra delle "Favole al telefono", precisamente "Il naso che scappa", accade qualcosa di molto simile alla celebre vicenda narrata da Gogol: un naso fugge dalla faccia di un signore, finisce nella rete di un pescatore del Lago Maggiore e poi al mercato, tra tinche e lucci, dove viene avvistato dalla domestica del legittimo proprietario del naso.
La domestica corse a informare il suo padrone. “Dagli quello che domanda! Voglio il mio naso!”. La domestica fece il conto che ci voleva un sacco di denaro, perchè il naso era piuttosto grosso: ci volevano tremendamila lire, tredici tredicioni e mezzo.
Ecco qui. Evidentemente il divertimento nell'inventare parole dal significato numerico era per Rodari così irresistibile da ricorrere spesso nella sua produzione. Mi sembrava davvero un peccato tralasciare queste due perle, così vi chiedo perdono per essere tornato per un attimo sui miei passi a recuperarle. Alla prossima puntata!
Nelle già citate "Filastrocche in cielo e in terra" si trova la poesia "Il mercante di diametri", con la quale restiamo anche questa settimana in ambito geometrico:
Un cerchio ragionò: Con tanti diametri che ho, perché non ne vendo un po’? Così si fece mercante e andava per i mercati a vendere diametri sigillati. A chi ne comprava tre dava in omaggio un raggio. Tutto questo succedeva in un paese nebbioso, dove anche un raggio di cerchio sembra tanto luminoso.
In un articolo pubblicato l'anno scorso su Repubblica, Sandra Lucente afferma giustamente che questa poesia "starebbe bene tanto per introdurre una conferenza di matematica sull'ipotesi del continuo quanto una lezione di astrofisica sulla curvatura dei raggi di luce".
In effetti, l'idea dalla quale parte Rodari è l'infinità dei diametri di un cerchio: questione apparentemente scontata, ma sulla quale vale invece la pena di soffermarsi almeno un attimo.
Euclide in una statua posta
presso l'Università di Oxford.
Secondo Euclide, il punto, ente fondamentale della geometria, è "ciò che non ha parti". La concezione del punto privo di dimensione è molto più avanzata di quella pitagorica, che vedeva nel punto un elemento granulare dotato di misura, per quanto piccola. Per i pitagorici ogni segmento era formato da un numero finito di punti messi in fila: la misura del punto era quindi un divisore comune a tutti i segmenti possibili, cioè tutti i segmenti erano tra di loro commensurabili.
Quando i pitagorici, con loro sommo orrore, scoprirono invece che esistono segmenti tra di loro incommensurabili (per esempio il lato e la diagonale del quadrato), si resero conto che la loro visione granulare del punto geometrico non poteva stare in piedi. Fu in quel momento di drammatica crisi della matematica antica che prese piede la concezione euclidea del punto senza misura e senza parti.
Quanti punti di questo tipo possono stare in un segmento? Infiniti, ovviamente. Ma Euclide si guardò bene dall'usare lo scivoloso concetto dell'infinito: per lui alla domanda precedente si rispondeva (in modo equivalente) affermando che tra due punti qualunque di una retta si può sempre inserire almeno un
punto intermedio.
Da qui a stabilire che su una circonferenza ci sono infiniti punti il passo è abbastanza breve.
La circonferenza goniometrica
D'altra parte, se pensiamo in termini "goniometrici", ogni punto della circonferenza può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'intervallo dei numeri reali compresi tra 0 e 2π.
Ogni punto P sulla circonferenza, infatti, corrisponde a un angolo θ
che, misurato in radianti, può valere da zero (quando P coincide con A) fino a 2π (passando per B, C, D e tornando ad A dopo un giro completo).
Ora, dato che 0 è minore di 2π, l'intervallo reale [0, 2π] contiene una quantità di numeri che non solo è infinita, ma addirittura non può nemmeno essere messa in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. In altre parole, non possiamo metterci a elencare tutti i numeri da 0 a 2π uno per uno, proprio per il fatto che tra uno e l'altro potremmo sempre infilarcene un altro ancora, e questo processo non avrebbe mai fine.
Georg Cantor definì come "continuo" e indicò con c questo livello di infinito superiore a quello dei numeri naturali. Se i punti sulla circonferenza sono infiniti (e che infinito!), è evidente che lo sono anche i suoi diametri. Ed ecco il cerchio di Rodari che, divenuto commerciante, decide di venderli.
Tanto, come mostrò lo stesso Cantor, togliendo a c un numero finito si ottiene ancora c.
Un affarone, non c'è che dire, per il furbo cerchio!
Per questa breve e leggera puntata ferragostana della serie dedicata a Rodari e alla matematica, mi sembra appropriato parlare di estate, di vacanze e quindi di... compiti per le vacanze.
Qualche anno fa si era parlato molto di un professore (credo di lettere) di un liceo di Fermo, che aveva assegnato ai suoi studenti una lista di compiti molto insolita e suggestiva: anziché versioni di latino o analisi di testi letterari, il prof aveva raccomandato ai ragazzi di essere allegri, liberi, felici.
Ebbene, in "Problemi di stagione", brano incluso nelle "Filastrocche in cielo e in terra" pubblicate nel 1960 (molti, molti anni prima della lista del prof di Fermo), Gianni Rodari propose qualcosa di molto simile: ma condì il tutto con un pizzico di geometria, in modo da far assomigliare davvero il poetico invito a un difficile problema matematico.
«Signor maestro, che le salta in mente?
Questo problema è un'astruseria,
non ci si capisce niente:
trovate il perimetro dell'allegria,
la superficie della libertà,
il volume della felicità…
Quest'altro poi
è un po’ troppo difficile per noi:
Quanto pesa una corsa in mezzo ai prati?
Saremo certo bocciati!»
Ma il maestro che ci vede sconsolati:
«Son semplici problemi di stagione.
Durante le vacanze
troverete la soluzione».
Buon Ferragosto a tutti, e mi raccomando: risolvete anche voi i problemi di Rodari!
Dai post che ho finora pubblicato, qualcuno avrà forse pensato di poter dedurre una facile conclusione: le questioni e le nozioni matematiche di cui Rodari si serve nelle proprie opere appartengono tutte all'aritmetica o alla geometria di base, insomma a quel bagaglio di conoscenze che viene insegnato nelle classi della scuola primaria.
Questo sarebbe anche coerente con la fama di gigante della letteratura per l'infanzia di cui gode Rodari.
Ma sarebbe una conclusione affrettata.
Lo scrittore di Omegna ha scritto anche poesie e racconti rivolti agli adulti e nel secondo articolo della serie avevo mostrato anche un esempio significativo: la poesia "Insiemi" pubblicata nel 1968.
In questi pezzi, dato il carattere più maturo e smaliziato del pubblico di riferimento, Rodari si concede alcune libertà che nei brani per bambini sono ovviamente assenti: argomenti più "adulti", toni allusivi e ironici, un lessico più ricercato. E perché no, una matematica più elevata.
Già, perché in uno di questi brani per lettori "cresciuti", il racconto "Il discorso inaugurale" (pubblicato il 16 settembre 1960 su "Paese sera" e nel 1982 nella raccolta postuma "Il cane di Magonza"), Rodari arriva a fondare l'intera narrazione su un problema di calcolo combinatorio.
Il racconto inizia così:
- Signor presidente - esordì il ministro. - Signore - aggiunse il ministro. - Signori - concluse per il momento il ministro. Quasi tutti fecero silenzio e alcuni si misero anche le dita nel naso. Il ministro proseguì. - Mi era stato rispettosamente suggerito da taluno dei miei segretari di premettere al discorso che andrò a pronunciare l'efficacissimo preambolo della allocuzione con cui, il 27 gennaio 1932, inaugurai la storica fiera dei polli di Massafiscaglia, mentre persone a me legate da lunga ed affettuosa parentela avrebbero preferito vedermi scegliere i primi due periodi dell'orazione da me detta, or fanno tre anni, nella nobile città di Ascoli Piceno, scoprendovisi il busto dell'entomologo di chiarissima fama, professor N. H. Gualtiero Pisanti-Pisanetti, nel cinquantenario della morte della sua balia. - Vi confesserò signori, che non ho tenuto conto alcuno di tali consigli. I numerosi lustri di ininterrotta permanenza nei governativi Gabinetti mi hanno consentito di accumulare nei miei archivi trentatré discorsi completamente dattiloscritti a spazio doppio, ognuno dei quali è divisibile in diciotto elementi autonomi e automobili, per un totale di cinquecentonovantaquattro elementi liberamente componibili come i frammenti di una tenia per formare nuovi discorsi. Quante diverse combinazioni di diciotto elementi cadauna sono possibili con la suddetta disponibilità di elementi numero cinquecentonovantaquattro?
Eccolo, il problema. Riassumiamolo. Nell'archivio del ministro ci sono 594 "elementi" diversi. Un discorso è composto da 18 di questi elementi. Il problema è quindi determinare in quanti modi possiamo scegliere 18 oggetti da un insieme di 594 oggetti.
Chi mastica un po' di calcolo combinatorio sa che il termine usato da Rodari, combinazioni, è proprio quello tecnicamente corretto.
Più precisamente, in questo caso si tratta di determinare il numero di "combinazioni semplici di 594 oggetti di classe 18" ("semplici" perché non sono ammesse le ripetizioni del medesimo elemento, altrimenti parleremmo di combinazioni "con ripetizione").
Se fosse rilevante l'ordine con il quale compaiono i 18 elementi nel discorso, si potrebbe fare un ragionamento di questo tipo: il primo elemento viene scelto tra tutti i 594 elementi; il secondo, dovendo essere diverso, tra 593; il terzo tra 592 e così via. Quindi il numero di modi di accodare 18 elementi sarebbe uguale a 594 · 593 · ... · 579 · 578 · 577 (si arriva fino a 577 perché il prodotto deve comprendere 18 fattori).
Ma nel nostro problema il modo in cui i 18 elementi sono ordinati non conta: quindi dobbiamo dividere quel prodotto per il numero di diversi possibili ordinamenti di una sequenza di 18 oggetti.
Questo numero equivale al prodotto 18 · 17 · 16 · ... · 3 · 2 · 1, altrimenti detto fattoriale di 18.
La formula diventa quindi:
Per indicare questo quoziente in modo più compatto, i matematici utilizzano la seguente scrittura:
e indicano il quoziente come coefficiente binomiale "594 su 18".
Non è difficile rendersi conto che questo numero può diventare molto grande: basta che il numero complessivo di oggetti a disposizione (che compare in alto nel coefficiente binomiale) sia significativamente maggiore del numero di oggetti da estrarre per costruire le combinazioni (che compare in basso).
Ma vediamo come il racconto prosegue.
Attenzione: a un certo punto c'è un errore. Cercate di individuarlo!
Al sottile quesito il mio segretario particolare si sforzò di dare una risposta applicando la formula:
n x (n-a) più l'on. Togni Giuseppe
----------------------------------------
18 x l'on. Pella Giuseppe
con la quale ottenne l'ambiguo totale di antamilasettecentoanta, che mi lasciò notevolmente freddo. - Il gabinetto di analisi matematica di Settecamini, da me all'uopo interpellato, applicò invece la formula:
n fattoriale
a) ---------------------------------
c fattoriale (n-c) fattoriale
- Dando gratuitamente e generosamente a "n", che mi era stato raccomandato dal mio sottosegretario, a nome di monsignor Fiorenzo Mattoni, il valore di 594 e a "c" il valore di 18, si ottenne con estrema facilità, e senza colpo ferire:
594 fattoriale
b) ---------------------------------------
18 fattoriale (594-18) fattoriale
- Questo primo successo, oltre a galvanizzare le energie dei ricercatori, permise di togliere di mezzo un gran numero di fattoriali, che furono abbandonati al loro squallido destino. Nessuno li degnò di una lagrima. (Voci: Bene!)
- L'iter della pratica si presentava ora alla nostra mente con chiarezza solare, anzi oserei dire, nel quadro delle nostre migliori tradizioni mediterranee:
577 x 578 x 579 x ... x 592 x 593 x 594
------------------------------------------------
1 x 2 x 3 x ... x 16 x 17 x 18
Il citato gabinetto, purtroppo, non disponeva né di una calcolatrice elettronica né di un efficiente pallottoliere. Le operazioni dovevano essere eseguite tutte a mano e a matita, su carta vergatina formato 18x24. Si assunsero il delicato incarico sette allievi dell'esimio professor Rodolfo Caprini-Capretti-Cerotti di San Babaleo. Fedeli al motto dei padri, divide et impera, gli audaci si divisero tra loro le moltiplicazioni: conquistarono d'assalto le trincee dei prodotti parziali, li sommarono tra loro con grande sprezzo del pericolo, e all'alba di una smagliante domenica di primavera, carica di auspici per i destini della patria e della fede, ottennero il risultato finale.
- In cifre, signori: 79.450.745.379.459.
- In lettere: settantanove trilioni, quattrocentocinquanta miliardi, settecentoquarantacinque milioni, trecentosettanovemilaquattrocentocinquantanove. Trascuro i decimali: li lascio all'opposizione.
(Applausi scroscianti. Voci: - Così si difende l'Occidente dal comunismo!)
Il racconto prosegue poi senza più particolari riferimenti matematici, ma amplificando la componente di arguta satira verso le storture retoriche di certa politica.
Ma... avete trovato l'errore commesso da Rodari?
No, non ve lo svelo qui, non voglio rovinarvi il piacere della scoperta.
Chi lo dovesse trovare me lo faccia sapere, attraverso i commenti al post o tramite la pagina Facebook o via mail. Il vincitore della sfida sarà certamente ricordato negli annali di Mr. Palomar!
Buona caccia, cari lettori, e appuntamento alla prossima puntata!
Nella puntata precedente di questa serie ho parlato dei numeri fantastici introdotti da Rodari nel classico "A inventare i numeri". Tra i nomi inventati, alcuni erano presumibilmente da associare a quantità grandi, forse gigantesche (mi riferisco ovviamente allo "stramilione di biliardoni", all'"ottone di millantoni", al "meravigliardo" e al "meraviglione").
Quando si parla di numeri grandi, inevitabilmente si finisce per parlare anche di un concetto matematico tanto suggestivo quanto scivoloso: l'infinito.
Questo perché salendo sempre più alto nell'ascensore dei numeri grandi, ci si dirige verso l'infinito, e si crede anche di avvicinarsi a questa "meta", quando ovviamente essa rimane sempre lontana e irraggiungibile.
In un video che trovate qui avevo sfiorato la questione citando un racconto di Cesare Zavattini del 1931: il famoso giornalista e sceneggiatore descriveva una surreale "gara di matematica" che premiava chi diceva il numero più alto. A un certo punto della competizione, il padre del narratore prende il largo declamando un numero che sembra non finire mai: "Un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi..."
Ma alla fine (attenzione, spoiler - ma il finale l'avevo già svelato qui) uno degli avversari urla "Più uno", e si aggiudica il premio, tra i singhiozzi del protagonista.
Rodari riprende l'idea di Zavattini nella poesia "Più uno", che riporto di seguito:
C’era una volta un tale
che voleva trovare
il numero più grande del mondo.
Comincia a contare
e mai si stanca:
gli viene la barba grigia,
gli viene la barba bianca,
ma lui conta, conta sempre
milioni di milioni
di miliardi di miliardi
di strabilioni
di meraviglioni
di meravigliardi…
In punto di morte scrisse un numero
lungo dalla Terra a Nettuno.
Ma un bimbo gridò: “Più uno!”.
E il grande calcolatore
ammise, un poco triste,
che il numero più grande
del mondo non esiste!
Avrete notato che anche qui Rodari cita i suoi amati meraviglioni e meravigliardi già presenti in "A inventare i numeri", e gli strabilioni parenti dello stramilione ivi menzionato.
La storiella del tipo (un signore beffardo per Zavattini, uno spiazzante bambino in Rodari) che aggiunge uno a un numero e vince la gara, benché accattivante per chi non l'ha mai sentita prima, potrebbe sembrare scontata a molti altri.
Giuseppe Peano
Un elemento d'interesse dal punto di vista squisitamente matematico è la nozione di numero "successore" che sottende quella fatidica aggiunta dell'unità. Giuseppe Peano la utilizzò per formulare i celebri assiomi che definiscono i numeri naturali:
1) esiste un numero naturale detto zero;
2) ogni numero naturale ha un numero naturale successore;
3) numeri naturali diversi hanno successori diversi;
4) lo zero non è il successore di alcun numero naturale;
5) ogni sottoinsieme A di numeri naturali contenente lo zero e il successore di ogni elemento contenuto in A coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione).
Il bambino che nel racconto di Rodari grida "più uno!" non fa altro che applicare gli assiomi di Giuseppe Peano.
Il secondo assioma, infatti, ci assicura che il grido del bambino produrrà un numero naturale, e non una mostruosità senza capo né coda.
Il terzo assioma ci garantisce che questo numero naturale è diverso da tutti i precedenti, in quanto successore di un numero diverso dai precedenti.
Il quarto assioma ci toglie il pensiero di essere caduti in un loop e di esserci accartocciati sullo zero di partenza.
Nel primo capitolo di "Matematica rock", che proprio oggi compie un anno dalla sua uscita, avevo fatto notare come il mondo aritmetico evocato dal testo della celebre canzone "Rock Around the Clock" sia una perfetta incarnazione del secondo e del terzo assioma di Peano.
Mancando lo zero, vengono ignorati il primo, il quarto e il quinto assioma, cosicché dopo il 12 si è autorizzati a ritornare sull'1, dando vita a una sequenza numerica che cicla all'infinito tra 1 e 12 e ci fa pensare all'aritmetica modulare (o dell'orologio) ideata da Gauss.
A ben vedere, quel grido "più uno" mi sembra anche un magnifico grido di libertà, di certezza di poter sempre salire di un gradino sulla "scala verso il Paradiso" dei numeri naturali: proprio in virtù del suo carattere discreto, numerabile. Come dire: non sarà bello non poter mai arrivare a destinazione, ma è rassicurante poter avanzare sempre senza ostacoli, avere sempre un successore diverso verso il quale approdare, consapevoli di essersi innalzati un pochino rispetto a prima.
Quasi sette anni fa pubblicai un trittico di post: dopo la prima e la seconda parte, l'ultima riportava un celebre e delizioso brano di Rodari, intitolato "A inventare i numeri" e tratto dalle "Favole al telefono":
- Inventiamo dei numeri? - Inventiamoli, comincio io. Quasi uno, quasi due, quasi tre, quasi quattro, quasi cinque, quasi sei. - È troppo poco. Senti questi: uno stramilione di biliardoni, un ottone di millantoni, un meravigliardo e un meraviglione. - Io allora inventerò una tabellina: tre per uno Trento e Belluno tre per due bistecca di bue tre per tre latte e caffè tre per quattro cioccolato tre per cinque malelingue tre per sei patrizi e plebei tre per sette torta a fette tre per otto piselli e risotto tre per nove scarpe nuove tre per dieci pasta e ceci. (...) - Allora inventiamo in fretta altri numeri per finire. Li dico io, alla maniera di Modena: unci dunci trinci, quara quarinci, miri miminci, un fan dès. - E io li dico alla maniera di Roma: unzi donzi tenzi, quale qualinzi, mele melinzi, riffe raffe e dieci.
Il pezzo è interessante perché propone una gustosa collezione di nomi di numeri, ma ogni parte del brano evoca considerazioni diverse dal punto di vista matematico.
I nomi introdotti all'inizio (quasi uno, quasi due, quasi tre, quasi quattro, quasi cinque, quasi sei) mi fanno pensare ai limiti: "quasi uno" mi sembra un modo meravigliosamente naif per indicare una funzione che tende a 1 quando la variabile indipendente si avvicina a un qualche valore. Come dire: quando la variabile indipendente è molto vicina a quel valore, la funzione vale "quasi uno".
La parte successiva, invece, fino a pasta e ceci, suggerisce riflessioni di tutt'altro genere.
Come scrivevo nelle prime due parti del trittico del 2013, dare dei nomi ai numeri è lo scopo principale dei sistemi di numerazione. Non è un esercizio fine a se stesso: è l'essenza del meccanismo che ci permette di contare, usare i numeri in modo efficiente, fare calcoli e avere una matematica che si rispetti.
L'idea del sistema posizionale, concepita già dai Sumeri e perfezionata (con la base decimale) dagli Indiani e dagli Arabi, rappresenta un marchingegno geniale in base al quale ogni possibile quantità intera viene automaticamente associata sia a una sequenza di cifre (scelte da un insieme finito), sia a una parola o in generale un'espressione costituita da parole (che ovviamente varia a seconda delle lingue).
Per esempio, la quantità di anni trascorsi tra la fine della seconda guerra mondiale e oggi viene espressa, nel nostro sistema posizionale in base 10, con la sequenza 75, che significa 7 decine più 5 unità. In base alle convenzioni vigenti nella lingua italiana, la parola corrispondente è "settantacinque".
Per completezza, occorre dire che per alcuni numeri grandi non esiste una sola "espressione" linguistica, ma più possibili espressioni equivalenti: per esempio, 10.000.000.000 possiamo indicarlo con "dieci miliardi" ma anche con "diecimila milioni".
Tutto questo ci può sembrare scontato e banale, ma non lo è. In un racconto di Borges, "Funes, o della memoria", il protagonista inventa un sistema di numerazione in cui ogni quantità è espressa da una parola, ma senza alcuna logica che permetta di automatizzare il meccanismo in modo generale:
In luogo di settemilatredici diceva (per esempio) «Máximo Perez»; in luogo di settemilaquattordici, «La Ferrovia»; altri numeri erano «Luis Melián Lanifur, Olimar, zolfo, il trifoglio, la balena, il gas, la caldaia, Napoleone, Agustín de Vedia». In luogo di cinquecento diceva «nove».
Come potete immaginare, un sistema del genere non è esattamente semplice da utilizzare. Dal punto di vista narrativo è molto affascinante, ma matematicamente è una pessima idea.
Se però i nomi vengono assegnati sovrapponendoli a un sistema di numerazione vigente, allora il discorso è diverso. Ci sono numeri che hanno uno o più nomi ufficiali (una volta stabilita la lingua) e, in più, una specie di "soprannome": il numero 10 elevato alla 100 può essere denominato in modo ortodosso dicendo "10" e poi concatenando un serie opportunamente lunga di "miliardi di", ma per gli amici è noto anche come "googol".
Cosa possiamo dire allora dei numeri di Rodari? Sullo stramilione di biliardoni, sul meravigliardo e sui loro fratelli, ovviamente, non ha senso farsi troppe domande: il gioco è bello proprio perché non sappiamo, ed è giusto non sapere, se queste strane quantità corrispondano a ben precisi numeri reali.
Rodari stesso parla di "inventare i numeri". Un po' come se fossero quantità che trascendono le categorie numeriche attualmente note, come se si trattasse di estensioni analoghe a quelle ottenute, nel corso della storia, con l'introduzione dei numeri irrazionali, dei numeri negativi, dei numeri immaginari, e così via.
Un fondato sospetto però esiste: che si tratti semplicemente di soprannomi di numeri interi molto grandi, un po' come il fantastilione e il fantastiliardo di Paperon de' Paperoni, su cui avevo scritto qualcosa nella prima parte della trilogia, e su cui Gianluigi Filippelli ha scritto un interessantissimo pezzo due anni e mezzo fa.
La porzione successiva, quella della tabellina del tre alternativa, sembra invece improntata sulla stessa idea stravagante di Borges-Funes. Ovvero: il numero 3 lo chiamo "Trento e Belluno", il numero 6 "Bistecca di bue", il numero 9 "Latte e caffè", e così via.
E per finire, la parte finale sembra una divertita variazione sul tema delle locuzioni regionali dei numeri. I primi tre, unci dunci trinci, mi fanno tornare in mente un brano di Elio e le Storie Tese di qualche anno fa, con il quale concludo questo ottavo episodio della serie sulla matematica rodariana.
A presto!
In questa settima puntata della serie dedicata alla matematica di Gianni Rodari vi proporrò un breve viaggio attraverso le incursioni del grande scrittore nel territorio delle operazioni aritmetiche.
Un accenno lo troviamo nel già più volte citato capitolo 37 della "Grammatica della fantasia", quello dedicato alla "matematica delle storie". Ci sono storie, è questa la tesi di Rodari, che ricalcano strutture logiche, e che quindi possono essere utilizzate dagli insegnanti per aiutare i bambini a familiarizzare con le basi del ragionamento, con i concetti elementari della matematica. L'emozione che deriva dall'esperienza narrativa rappresenta un benefico rafforzamento dell'operazione logica e cognitiva. Tra i concetti che possono animare la logica di una storia, spiega Rodari, ci può essere perfino la proprietà commutativa di alcune operazioni aritmetiche:
Un'operazione mentale più difficile è quella che porta a capire che "a più b è uguale a b più a". Non tutti i bambini ci arrivano prima dei sei anni.
La commutatività dell'addizione e della moltiplicazione è comunque una nozione che impariamo molto presto a scuola. Precisamente scopriamo che, dati due numeri reali a e b qualsiasi, si ha:
Più tardi ci potremmo accorgere che questa proprietà non è un'esclusiva dell'addizione e della moltiplicazione, ma riguarda anche altre operazioni, per esempio il minimo comune multiplo e il massimo comune divisore tra due numeri interi positivi, le operazioni di minimo e di massimo applicate a coppie di numeri reali, l'addizione tra vettori, l'intersezione e l'unione tra insiemi, e altre ancora.
Ancora più tardi, potremmo imparare che ci sono particolari insiemi di elementi, detto gruppi, in cui viene definita una particolare operazione, e che se questa operazione gode della proprietà commutativa, il gruppo viene detto commutativo, o abeliano, dal nome di Niels Henrik Abel (1802-1829), matematico norvegese che nella sua breve vita conseguì alcuni importanti risultati connessi allo studio dei gruppi commutativi di polinomi.
Sempre nel fatidico capitolo 37, Rodari cita di nuovo le addizioni:
Una storia in cui un poveretto, caduto in città da chissà dove, dovendo prendere per arrivare in piazza del Duomo prima il tram numero tre e poi il tram numero uno, immagina che risparmierà un biglietto prendendo invece il tram numero quattro ("tre più uno") potrà invece aiutare i bambini a distinguere tra addizioni corrette e addizioni impossibili. Prima di tutto, naturalmente, li divertirà.
Ma gli spunti più gustosi inerenti alle operazioni aritmetiche arrivano da due delle celebri "Favole al telefono", del 1962. In "Abbasso il nove", Rodari ci avverte che i numeri possono essere permalosi e indurci a commettere errori:
Uno scolaro faceva le divisioni:
- Il tre nel tredici sta quattro volte con l’avanzo di uno. Scrivo quattro al quoto. Tre per quattro dodici, al tredici uno. Abbasso il nove…
- Ah, no, - gridò a questo punto il nove.
- Come? – domandò lo scolaro.
- Tu ce l’hai con me: perché hai gridato «abbasso il nove»? Che cosa ti ho fatto di male? Sono forse un pericolo pubblico?
- Ma io...
- Ah, lo immaginavo bene, avrai la scusa pronta. Ma a me non mi va giù lo stesso. Grida: «abbasso il brodo di dadi», «abbasso lo sceriffo», e magari anche «abbasso l’aria fritta», ma perché proprio «abbasso il nove»?
- Scusi, ma veramente…
- Non interrompere, è cattiva educazione. Sono una semplice cifra, e qualsiasi numero di due cifre mi può mangiare il risotto in testa, ma anch'io ho la mia dignità e voglio essere rispettato. Prima di tutto dai bambini che hanno ancora il moccio al naso. Insomma, abbassa il tuo naso, abbassa gli avvolgibili, ma lasciami stare.
Confuso e intimidito, lo scolaro non abbassò il nove, sbagliò la divisione e si prese un brutto voto. Eh, qualche volta non è proprio il caso di essere troppo delicati.
Un altro esempio da "Promosso più due", fiaba tratta dalla stessa raccolta:
- Aiuto, aiuto, - grida fuggendo un povero Dieci. - Che c’è? Che ti succede? - Ma non vedete? Sono inseguito da una Sottrazione. Se mi raggiunge sarà un disastro. - Eh, via, addirittura un disastro … Ecco, è fatta: la Sottrazione ha acchiappato il Dieci, gli balza addosso menando fendenti con la sua spada affilatissima. Il povero Dieci perde un dito, ne perde un altro. Per sua fortuna passa una macchina straniera lunga così, la Sottrazione si volta un momento a guardare se è il caso di accorciarla e il buon Dieci può svignarsela, scomparire in un portone. Ma intanto non è più un Dieci, è soltanto un Otto, e per giunta perde sangue dal naso. - Poverino, che ti hanno fatto? Ti sei picchiato con i tuoi compagni, vero? Misericordia, si salvi chi può: la vocina è dolce e compassionevole, ma la sua proprietaria è la Divisione in persona. Lo sventurato Otto bisbiglia «buonasera», con un filo di voce, e cerca di riguadagnare la strada, ma la Divisione è più svelta, e con un solo colpo di forbici, zac, ne fa due pezzi: Quattro e Quattro. Uno se lo mette in tasca, l’altro ne approfitta per scappare, torna in strada di corsa, sale su un tram. - Un momento fa ero un Dieci, - piange, - e adesso guardate qua! Un Quattro! Gli scolari si scansano frettolosamente, non vogliono avere niente a che fare con lui. Il tranviere borbotta: - Certa gente dovrebbe almeno avere il buon senso di andare a piedi. - Ma non è colpa mia! – grida tra i singhiozzi l’ex Dieci. - Sì, è colpa del gatto. Dicono tutto così. Il Quattro scende alla prima fermata, rosso come una poltrona rossa. Ahi, ne ha fatta un’altra delle sue: ha schiacciato i piedi a qualcuno. - Scusi, scusi tanto, signorina! - Ma la Signora non si è arrabbiata, anzi, sorride. Guarda, guarda, guarda, è nientemeno che la Moltiplicazione! Ha un cuore grosso così, lei, e non può sopportare la vista delle persone infelici: seduta stante moltiplica il Quattro per tre, ed ecco un magnifico Dodici, pronto per contare un’intera dozzina d’uova. - Evviva, - grida il Dodici, - sono promosso! Promosso più due.
In entrambe le storie, Rodari assegna ai numeri ruoli di protagonisti sensibili, a tratti suscettibili, nonché di vittime di operazioni aritmetiche capricciose.
Sono numeri che cercano serenità, rispetto, riconoscimento. E interlocutori (cioè operazioni) altruisti. Insomma, sono molto simili a noi umani.
Al di là del divertimento causato dalle situazioni simpaticamente surreali, è interessante l'idea di antropomorfizzare i numeri, attribuendo loro sentimenti e difetti tipicamente umani: può senz'altro costituire una mossa vincente per rendere la matematica più digeribile, soprattutto ai bambini.
La tecnica narrativa potrebbe essere estesa a concetti matematici più avanzati.
Potremmo immaginare fiabe in cui una moltiplicazione serial killer si serve di uno zero per rendere zero tutti gli altri numeri che incontra. Nel frattempo, una sua cugina dai modi più morbidi impiega un uno, ottenendo risultati inconcludenti. E ancora, potremmo ideare storie in cui ci sono funzioni al posto di numeri, e derivate o integrali anziché operazioni aritmetiche.
Forse qualcuno l'ha anche fatto. Ma, probabilmente, non con l'inimitabile genialità di Rodari.
Per risolverlo basta risolvere separatamente ciascuna delle disequazioni (in realtà sono già risolte) e rappresentare le tre soluzioni su uno schema tabellare. Da questo possiamo quindi ricavare l'intersezione delle soluzioni, che corrisponde alla soluzione dell'ultima disequazione (la più restrittiva), cioè all''intervallo
Immaginate ora di dover trasformare il sistema in una poesia per bambini.
Non ve lo aspettavate, eh?
Be', un sospetto potevate averlo, visto che siamo nella serie di post dedicati alla matematica di Gianni Rodari.
Ebbene, ecco come il nostro poeta risolse il problema:
Tre pescatori di Livorno
disputarono un anno e un giorno
per stabilire e sentenziare
quanti pesci ci sono nel mare.
Disse il primo: “Ce n’è più di sette,
senza contare le acciughette”.
Disse il secondo: ” Ce n’è più di mille,
senza contare scampi ed anguille”.
Il terzo disse:”Più di un milione!”
E tutti e tre avevano ragione.
La poesia si intitola "Quanti pesci ci sono nel mare?" ed è inclusa nella già citata raccolta "Filastrocche in cielo e in terra" (Einaudi, 1960).
Lo so, non è affatto dimostrato che Rodari sia partito dall'idea sistema di disequazioni. Anzi, direi che è molto improbabile.
Però è plausibile che la sua intenzione fosse di mostrare poeticamente che esistono verità alle quali si può alludere sostenendo affermazioni diverse ma tutte vere. Noi possiamo dire che il numero di pesci del mare è maggiore di sette, maggiore di mille e maggiore di un milione: tutte e tre le proposizioni sono vere, perché compatibili con il numero "vero" di pesci nel mare (che non conosciamo, ma che è sicuramente maggiore di un milione).
Lasciando da parte i sistemi di disequazioni e le affermazioni vere, la filastrocca parla comunque, molto più semplicemente, di numeri. I tre numeri chiave, sette, mille, un milione, sono scelti ovviamente per motivi di rima, ma sono anche disposti in modo da creare una specie di climax che scala rapidamente gli ordini di grandezza.
Nella prossima puntata parleremo ancora di numeri, piccoli e grandi, e di nomi di numeri.
Chiudete gli occhi. Non pensate a nulla. Ci siete riusciti?
Bene. Adesso la sfida si fa più difficile: pensate al nulla. Impossibile?
Che cos’è il nulla? Se posso pensarlo, non è già qualcosa? Com’è possibile pensare qualcosa che non è?
In matematica, il niente è davvero qualcosa e corrisponde al numero zero. Un numero sospeso tra l’esistenza e la non esistenza, alter ego dell’infinito e, al pari di questo, paradossale e sconvolgente.
Lo zero fu inventato tre volte: prima dai Sumeri, forse già due millenni prima di Cristo, poi dai Maya e infine dagli Indiani.
Furono questi ultimi, intorno al VII secolo d.C., a utilizzarlo per primi non soltanto come mero segnaposto per indicare una cifra nulla in un numero costruito mediante un sistema posizionale, ma come numero vero e proprio.
Il grande matematico Brahmagupta fu il primo a studiare come lo zero si comportava una volta messo insieme agli altri numeri. Si accorse così che è un numero del tutto speciale: per esempio non sortisce effetti se un numero qualsiasi viene sommato a lui, mentre fa diventare uguale a lui ogni numero che osasse moltiplicarsi per lui.
In Europa lo zero (e nel suo complesso la numerazione posizionale) arrivò molto tardi, nel Duecento, grazie al pisano Fibonacci che durante i suoi viaggi in Oriente lo aveva appreso dagli Arabi (questi, a loro volta, lo avevano imparato dagli Indiani).
Gianni Rodari ha dedicato allo zero la poesia "Il trionfo dello zero", tratta da "Filastrocche in cielo e in terra" (1960).
Nella filastrocca, Rodari rappresenta in modo narrativamente molto gustoso anche il concetto di sistema di numerazione posizionale, intuito già sulle rive del Tigri e dell'Eufrate e, duemila anni dopo, al di là dell'Oceano Atlantico, prima di essere riscoperto in India.
L'idea è che ogni cifra assume un valore diverso a seconda della posizione che occupa nel numero: lo zero, per esempio, che da solo gioca il ruolo del numero immediatamente precedente all'unità e quindi del valore nullo, può partecipare (come qualsiasi altra cifra) alla costruzione di numeri più complessi, per esempio il 10 che si compone di una decina e nessuna unità.
Non è un caso che questa filastrocca sia una delle più sfruttate dagli insegnanti della scuola primaria per la sua felice combinazione tra elemento poetico e significato aritmetico.
La parola "relazione" è ricca di significati in molti ambiti: rapporto tra più persone, collegamento tra fatti o concetti, resoconto di un'esperienza o un argomento, e così via.
In matematica, una relazione tra due insiemi A e B si definisce solitamente come un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B. Alla maggior parte delle persone una simile definizione può sembrare piuttosto misteriosa. Detto in modo equivalente, una relazione tra A e B non è altro che un elenco qualsiasi di coppie ordinate di tipo (a, b), dove a è un elemento dell'insieme A e b è un elemento dell'insieme B. Per esempio, se A è l'insieme formato dai numeri -9, -5, 1 e 7, e B è l'insieme formato dai numeri 1, 4, 5 e 8, possiamo definire (si veda la figura a fianco) una relazione R costituita dalle coppie (-9, 1), (-5, 5), (1, 8), (7, 1) e (7, 4). Per mostrare un esempio dotato di un significato più concreto, immaginiamo un insieme A costituito dalle persone che leggono libri e un insieme B formato dai libri. Una relazione che lega i due insiemi è la collezione delle coppie ordinate (lettore, libro) che vengono stabilite quando l'elemento "lettore" ha letto l'elemento "libro". Così, io sono un elemento di A e sono presente in tante coppie ordinate della relazione quanti sono i libri che ho letto. Nella relazione ci sarà, per esempio, una coppia (Paolo Alessandrini, "Grammatica della fantasia"). Ma ci saranno tantissime altre coppie ordinate aventi la "Grammatica della fantasia" come secondo elemento: tante quante sono le persone che hanno letto quel libro. Cosa c'entra tutto questo discorso sulle relazioni con Gianni Rodari (a parte l'esempio sopra)? C'entra perché, nel più volte citato capitolo 37 della "Grammatica", Rodari mostra diversi esempi di relazioni.
Ecco un esempio divertente:
Il direttore didattico Giacomo Santucci, di Perugia, domanda regolarmente agli scolari di prima classe: - Tu hai un fratello? - Sì- - E tuo fratello ha un fratello? - No, è la bellissima e recisa risposta, nove volte su dieci.
In questo caso A e B sono lo stesso insieme, ovvero l'insieme delle persone. La relazione descritta è il legame di fraternità: la coppia (Anna, Giovanni) vi appartiene se i due elementi Anna e Giovanni sono fratelli. È evidente che si tratta di una relazione simmetrica, perché se Anna ha Giovanni come fratello, allora Giovanni ha Anna come sorella.
Invece, per esempio la relazione "sono figlio/a di" non è simmetrica.
È curioso notare come la simmetria, intesa in senso più generico, caratterizzi persino le date di nascita e morte di Rodari: 1920 e 1980, anni posti in modo simmetrico rispetto alla metà del Novecento. Ma qui rischio di scadere nella numerologia e quindi la smetto subito.
Altre due proprietà che una relazione può possedere sono la riflessività (che si ha quando qualsiasi elemento a è in relazione con se stesso) e la transitività (che si ha quando dal fatto che a è in relazione con b e b è in relazione con c, consegue che a è in relazione con c).
Quando una relazione è simmetrica, riflessiva e transitiva prende il nome di relazione d'equivalenza.
Se invece una relazione possiede le proprietà riflessiva e transitiva, ma anziché essere simmetrica è antisimmetrica (cioè se a è in relazione con b, allora bnon è in relazione con a, a meno che i due elementi non siano uguali tra di loro), la relazione viene chiamata relazione d'ordine.
I classici esempi sono offerti dalle relazioni "minore o uguale di" e "maggiore o uguale di"(il lettore potrà divertirsi a verificare che queste relazioni soddisfano davvero le tre proprietà riflessiva, transitiva e antisimmetrica).
Rodari, sempre nel fatidico capitolo 37, allude alle relazioni d'ordine più volte, parlando di confronti di natura quantitativa tra oggetti, persone o luoghi ("a è più piccolo di b", "x è più basso di y", "m è più grasso di n" e così via). Anche nella fiaba "Pesa-di-più e Pesa-di-meno", tratta dalla raccolta "Venti storie più una" del 1969, si utilizzano relazioni d'ordine, questa volta legate al peso delle persone.
Tutto questo ha a che vedere anche con il concetto di misura, ma su questo tornerò più avanti, riprendendo anche la fiaba che ho appena citato.
Questa terza puntata della serie dedicata alla matematica di Rodari sarà più breve delle precedenti.
D'altra parte, la mia idea iniziale era quella di scrivere una serie di "pillole" brevi, non di articoli lunghi: altrimenti, dovendo arrivare fino a ottobre, vi annoierei per bene!
Vorrei partire questa volta da una frase che Rodari scrive nell'"antefatto" della "Grammatica della fantasia":
Un giorno, nei Frammenti di Novalis (1772-1801), trovai quello che dice: "Se avessimo anche una Fantastica, come una Logica, sarebbe scoperta l'arte di inventare". Era molto bello. Quasi tutti i Frammenti di Novalis lo sono, quasi tutti contengono illuminazioni straordinarie.
Il poeta romantico tedesco Novalis
Rodari racconta di aver trovato quel frammento quando, ancora adolescente, già insegnava italiano ai bambini, e nel tempo libero leggeva Dostoevskij e studiava tedesco. Anni dopo, insegnante alle elementari, cominciò a prendere nota in un "Quaderno di Fantastica" i meccanismi attraverso i quali gli nascevano in testa le storie che raccontava ai bambini, i trucchi che scopriva "per mettere in movimento parole e immagini". Quel quaderno, a quanto pare, fu il primo embrione di una serie di riflessioni, progetti, avvenimenti che portarono Rodari, molti anni dopo, a concepire l'idea di scrivere la "Grammatica della fantasia", ovvero una descrizione di alcuni modi in cui si possono inventare storie per bambini. Rodari lo nega, ma la Grammatica era di fatto un tentativo di fondare quella "Fantastica" di cui parlava Novalis.
Ora, il ruolo decisivo e simbolico che Rodari attribuisce a quel frammento di Novalis riflette a mio parere, l'importanza concessa dall'autore di Omegna alla logica e, più in generale, alla matematica e alla scienza.
Viviamo in un mondo in cui molti intellettuali si vantano di non capire nulla di matematica e dimostrano (in questo periodo più che mai) di non avere alcuna cognizione di cosa sia la scienza. La lezione di Rodari costituisce un grande insegnamento: il suo ragionamento era più o meno "se possiamo descrivere il mondo reale così bene usando la logica, la matematica e la scienza, potremmo descrivere il mondo della fantasia enunciando regole che non dovrebbero essere troppo diverse, almeno concettualmente, da quelle della logica, della matematica e della scienza".
In fin dei conti è un concetto molto simile a quello espresso nel capitolo 37 della Grammatica:
La novella, a sua insaputa, è anche un esercizio di logica. Ed è difficile rintracciare un confine tra le operazioni della logica fantastica e quelle della logica senza aggettivi.
Ed è anche il concetto che sta dietro un po' tutto il capitolo 37 e che viene ribadito spesso nelle opere di Rodari.
Forse è proprio per questo che trovo così stimolante parlare di matematica partendo dagli spunti offerti da Rodari: anziché allontanarsi nettamente dal mondo scientifico e matematico (come spesso molti narratori o "umanisti" si sentono autorizzati a fare), Rodari sente invece il bisogno di avvicinarsi a quel mondo, per attingere da esso ciò di cui ha bisogno per costruire le sue storie.
Logica e Fantastica, insomma, vivono pacificamente insieme.
O forse sono quasi la stessa cosa.
Un diagramma che mostra l'intersezione tra due insiemi
Chi di voi lettori non ha mai sentito parlare di teoria degli insiemi? Pochi, credo. Fin dai primi anni della scuola elementare, gli insiemi sono stati presentati a molti di noi come una delle colonne portanti della matematica. Probabilmente, chi è andato a scuola prima degli anni Sessanta del secolo scorso non ricorda di aver mai affrontato questo argomento della matematica, mentre chi ha cominciato il proprio percorso d'istruzione dopo gli anni Ottanta ha incontrato gli insiemi ma non li ha studiati a fondo come avevano fatto i loro genitori.
Il fatto è che anche nella didattica della matematica ci sono le mode. E la questione della teoria degli insiemi, o insiemistica, come si diceva spesso qualche decennio fa, è uno dei casi più eclatanti in questo senso.
Quando, nel 1957, i russi lanciarono lo Sputnik e misero a segno il primo punto nella partita per il predominio nello spazio, il governo degli Stati Uniti decise che si doveva correre subito ai ripari per cercare di raddrizzare le sorti del confronto con il nemico.
Ci si rese conto che si doveva partire dalla scuola: in particolare era avvertita l'urgenza di migliorare e aggiornare i programmi scolastici delle materie scientifiche. L'incarico della riforma fu affidato alla National Science Foundation, agenzia governativa che sostiene la formazione di base nei campi scientifici non medici, la quale promosse un ambizioso progetto di riforma dei curricoli di fisica, biologia, chimica e matematica. Per quest'ultima il risultato fu il cosiddetto "New Math", un nuovo corso dell'insegnamento della matematica che prevedeva argomenti mai visti prima sui libri scolastici: l'aritmetica modulare, le disequazioni, le basi diverse da 10, le matrici, la logica simbolica, l'algebra booleana, l'algebra astratta e, appunto, la teoria degli insiemi.
Libri sul "New Math"
Il vento del cambiamento cominciò a soffiare negli stessi anni anche in Europa. Nel 1959 si tenne vicino a Parigi un convegno sul tema "Le nuove matematiche", promosso dall'OCSE, durante il quale il matematico francese Jean Dieudonné, portavoce del gruppo Bourbaki, lanciò il celebre grido "Abbasso Euclide!", sostenendo che gli insegnanti di matematica dovevano smetterla di puntare tutto sull'algebra classica e sulla geometria euclidea, e dovevano invece aprirsi a nuovi percorsi, includendo in primis la teoria degli insiemi.
La nuova matematica (molto influenzata dagli indirizzi bourbakisti) attecchì, in America come in Europa, nel corso degli anni Sessanta, raggiunse il culmine nel decennio successivo, e declinò negli anni Ottanta: nel 1985 i nuovi programmi della scuola elementare italiana indicavano esplicitamente che lo studio degli insiemi non doveva più essere considerato essenziale in matematica.
Visto che la produzione poetica di Gianni Rodari si colloca, in gran parte, nel periodo compreso tra il 1960 e il 1980, non deve stupire che la teoria degli insiemi, proprio in quegli anni divenuta popolarissima e reputata "moderna", faccia capolino più volte nelle sue opere.
Un primo esempio lo troviamo nel (già citato nella prima puntata di questa serie) capitolo 37 della "Grammatica della fantasia". Rodari lo apre così:
Un'illustrazione ispirata al "Brutto anatroccolo"
di Andersen
La famosa novella del Brutto anatroccolo di Andersen - cioè del cigno capitato per errore in un branco di anatre - può essere tradotta in termini matematici nell'"avventura di un elemento A, capitato per errore nell'insieme degli elementi B, che non trova pace fino a quando non rientra nel suo insieme naturale, quello degli elementi A..."
A Rodari interessa soprattutto mostrare come una storia apparentemente lontana anni luce dalla matematica, come può essere la fiaba di Andersen o qualsiasi altra narrazione, possa racchiudere insospettate strutture logiche, insiemistiche o aritmetiche. Poco più avanti, Rodari si pone una domanda: è lecito eseguire l'operazione opposta, cioè partire da una struttura logica, da un'idea insiemistica, e costruirvi una storia attorno? Certo, si risponde, ed ecco alcuni possibili giochi che scaturiscono da questa idea: per esempio chiedere a un bambino di enumerare gli insiemi dei quali lui fa parte e farli diventare mattoni per costruire racconti.
Ecco, questo gioco di snocciolare gli insiemi di cui facciamo parte evidentemente piaceva molto a Rodari, tanto è vero che vi fa riferimento in almeno altre due occasioni. La prima, davvero geniale, è una poesia rivolta a un pubblico adulto e intitolata appunto "Insiemi", che fu pubblicata nel 1968 dalla rivista letteraria "Il caffè" e riproposta nel 1984 nella raccolta "Il cavallo saggio".
La poesia inizia così:
Lo consolava la matematica degli insiemi. Riflettendo sui suoi casi facilmente scopriva di far parte di numerosi insiemi così catalogabili: l’insieme degli uomini nati nel 1920, l’insieme degli uomini nati nel 1920 tutt’ora viventi, l’insieme di tutti i nati, l’insieme di tutti i mancini, l’insieme degli epatopatici, l’insieme degli addetti al commercio, l’insieme degli addetti al lavoro, l’insieme delle persone che portano l’orologio al polso, l’insieme dei mammiferi, l’insieme dei bipedi (di questi due insiemi egli occupava saldamente l’intersezione senza l’imbarazzo di chi tiene il piede in due scarpe), l’insieme degli abitanti della via Lattea, la cui tabulazione sarà possibile solo a completamento della sua esplorazione, l’insieme di coloro che hanno schifo dei ragni, l’insieme degli utenti della strada, l’insieme degli italiani sopravvissuti alla seconda guerra mondiale, l’insieme degli italiani che temono la terza, l’insieme degli europei che abitano a sud di Francoforte sul Reno ma a nord del Busento, a ovest di Saint-Tropez ma a est di Salonicco (...)
E avanti così, con una elencazione strepitosa e divertentissima, che fa uso anche di una terminologia tecnica appropriata, come in questo passaggio che tratta di "corrispondenza biunivoca":
l’insieme dei compratori di cravatte (che non sta in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei portatori di cravatte, stanteché molte mogli comprano cravatte ma non le portano e molti mariti portano cravatte ma non le comprano)
oppure nel successivo frammento, dove si parla anche di insiemi infiniti, di sottoinsiemi, di insiemi disgiunti, di insiemi complementari, di insiemi vuoti (in questi ultimi Rodari inserisce anche un bell'esempio numerico e uno geometrico):
Col tempo si rese conto, non senza un sentimento di orgoglio, di essere un elemento di un insieme infinito quale è certamente al di là di ogni meschino dubbio l’insieme degli uomini reali e degli uomini immaginari. Scoprì con gioia di far parte di numerosi sottoinsiemi, di insiemi universali, di insiemi disgiunti, di insiemi complementari. Lo entusiasmò la certezza che mai, per soffiar di venti, sarebbe precipitato in un insieme vuoto, quale l’insieme degli uomini alti diciotto metri, l’insieme dei presidenti della R. I. eletti prima del 1940, l’insieme dei numeri pari divisori di tredici, l’insieme dei ramarri parlanti, l’insieme dei rettangoli con cinque angoli, l’insieme delle chitarre che fumano la pipa e quello delle pipe che suonano la chitarra.
Rodari riesce addirittura a toccare il pericoloso concetto di "insieme di insiemi":
La celebre reinterpretazione in chiave "cinematografica"
del confronto tra Frege e Russell, realizzata da Marco Fulvio Barozzi detto Popinga
Come avrebbe potuto sentirsi mai solo, o temere per le sue difese personali, contemplando l’insieme di tutti i suoi insiemi, vedendolo crescere a vista d’occhio, docile ai suoi comandi?
La possibilità di un qualsiasi insieme di insiemi fu implicitamente ammessa dal grande logico tedesco Gottlob Frege mediante il suo "principio di comprensione" (esso postulava che è lecito definire un insieme come aggregato di tutti e soli gli elementi che godono di una certa proprietà). Nel 1902 il filosofo e matematico inglese Bertrand Russell inviò a Frege una lettera con la quale mostrava che in base al principio di comprensione sarebbe stato possibile definire un insieme formato da tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elementi, e se ci chiediamo se questo insieme contiene se stesso oppure no, ci accorgiamo che entrambe le possibili risposte generano una contraddizione. La scoperta di questo "bug" nel principio di di comprensione gettò Frege in una profonda costernazione.
La trovata della lista degli insiemi viene riproposta da Rodari nel 1978 nel romanzo breve "C'era due volte il barone Lamberto". Nel poscritto 1, alla fine del primo capitolo, Rodari annota:
Rileggendo l'elenco delle collezioni del barone Lamberto mi accorgo di aver dimenticato: la collezione di carta igienica, quella dei fischietti da capostazione, quella delle cravatte per giraffa... Ho conosciuto un tale di Massafiscaglia che faceva collezione di insiemi. "Stia bene attento, - mi spiegò una volta; - riflettendo sui miei casi ho scoperto di far parte dei seguenti insiemi: l'insieme degli uomini nati nel 1918, l'insieme degli uomini nati nel 1918 e tuttora viventi, l'insieme di tutti i nati, l'insiemi di tutti i mancini (...)
e avanti così, riutilizzando alcuni degli insiemi della poesia di dieci anni prima, in versione semplificata e adatta a un pubblico di ragazzi, fino a terminare in questo modo:
Ogni giorno aggiungo alla mia collezione nuovi insiemi e numerosi sottoinsiemi. Potrò mai sentirmi solo? Eserciti innumerevoli corrono al mio soccorso da tutte le parti del cosmo... Purtroppo non potrò mai far parte dell'insieme dei miei mobili. Da due settimane mi sforzo invano di far parte dell'insieme dei fiori finti. Mi potrebbe dare una mano?
