La matematica di Gianni Rodari #16: Derivabilità

Molti dei concetti basilari dell'analisi matematica possono essere meglio compresi se rappresentati in forma grafica. 

Due nozioni di questo tipo sono la continuità e la derivabilità.

Una funzione f si dice continua in un punto p del suo dominio se il suo limite per x tendente a p è uguale al valore della funzione in x = p. In termini più informali, questo accade se il grafico della funzione nei dintorni del punto in questione può essere tracciato senza mai staccare la matita dal foglio. 

Nella figura seguente si vedono due esempi di funzione: la prima è discontinua in un punto, la seconda è sempre continua.

Se consideriamo una funzione continua in un punto, possiamo chiederci se sia anche derivabile in quel punto, cioè se esista la derivata prima della funzione in quel punto.

La derivabilità è una condizione più forte della continuità: se una funzione è derivabile in un punto, è sicuramente continua in quel punto, ma il viceversa non è garantito. Una funzione continua potrebbe non essere derivabile se si verificano situazioni particolari che impediscono il calcolo della derivata in un punto.
Queste condizioni "patologiche" sono le cuspidi, i punti angolosi, i flessi a tangente verticale, i punti isolati del grafico.

Nel 1872 il matematico tedesco Karl Weierstrass, uno dei padri della moderna definizione di limite (assieme a Cauchy) scoprì una funzione mostruosa: continua ovunque ma in nessun punto derivabile! Insomma, una funzione senza salti o buchi, ma completamente fatta di punte. Si tratta inoltre di uno dei primi esempi di oggetto frattale scoperto nella storia della matematica.

Vi starete chiedendo: ma che c'entra Gianni Rodari con tutto questo?
Ebbene, in "Il paese senza punta", una delle "Favole al telefono", il grande scrittore descrive "un paese dove gli spigoli delle case erano rotondi, e i tetti non finivano a punta ma con una gobba dolcissima".
Insomma, un paese senza punti angolosi e senza cuspidi, un mondo del tutto continuo e derivabile: l'esatto contrario della ovunque aguzza funzione di Weierstrass.
Il vero paradiso dei matematici!