Gigi Proietti, il Cavaliere Nero, la crescita esponenziale e... diciotto!

Siamo rimasti tutti molto addolorati per la scomparsa di Gigi Proietti, grande mattatore dalla inarrivabile presenza scenica.
Uno dei suoi cavalli di battaglia più amati dal pubblico, la barzelletta del Cavaliere Nero, è una splendida ed esilarante esemplificazione narrativa del concetto di crescita esponenziale.
In questi tempi questa nozione matematica ci evoca purtroppo immagini tragiche legate all'esplosivo avanzare della pandemia di COVID-19: associarla, almeno per un attimo, a qualcosa di più divertente e giocoso non può che farci bene.

Un'altra celebre barzelletta di Proietti è quella del "diciotto". Anche in questo caso esiste un riferimento matematico, o forse numerologico, che qualcuno ha fatto notare in questi giorni: l'attore è scomparso nel giorno esatto del suo ottantesimo compleanno, e la data comune di nascita e morte è il 2 novembre, ovvero il 2/11.

Ora, se voi interpretate questa data come una divisione, il risultato è il numero periodico 0,181818181818...

Se avete già ascoltato la barzelletta del "diciotto" avete già capito la curiosa coincidenza. Se non l'avete mai sentita, be', cosa aspettate? Eccola qui. 

E grazie di tutto, Gigi Proietti.

Coronavirus e crescita esponenziale

Quanto velocemente si sta propagando l'infezione da coronavirus?
Non essendo un virologo né un epidemiologo, posso soltanto affidarmi a quanto affermano gli esperti sulla base delle loro ricerche. In queste pagine cerco soltanto di proporre un po' di matematica e, anche in tema di epidemia, mostrare come i numeri ci possono aiutare a descrivere quanto sta accadendo attorno a noi.
Parlando appunto di velocità di propagazione del virus, un articolo reso noto pochi giorni fa (il 28 febbraio) da un team di ricercatori italiani dell'Università Statale di Milano (Alessia Lai, Annalisa Bergna, Carla Acciarri, Massimo Galli e Gianguglielmo Zehende), e accettato per la pubblicazione dal “Journal of Medical Virology”, ci fornisce alcune informazioni interessanti.
Innanzitutto, lo studio stima che l'epidemia abbia avuto origine tra la seconda metà di ottobre e la prima metà di novembre. Soltanto quando in Cina i ricoveri per polmonite hanno cominciato ad aumentare in maniera anomala si è compreso che ci si trovava di fronte a un nuovo e preoccupante virus. Per quanto riguarda l'Italia, l'infezione era probabilmente già presente prima di Natale (come ha scritto il direttore de "Le Scienze" Marco Cattaneo, "scordatevi la caccia all'untore, che il paziente zero ormai è come l'ago nel pagliaio").

Ricordate il famoso numero R₀, o tasso medio di riproduzione, di cui parlavo nel mio post sulla matematica delle epidemie (parti prima e seconda)? Ebbene, secondo i calcoli dei cinque scienziati il nuovo coronavirus mostra un R₀ globale uguale a circa 2,6 (il range possibile è compreso tra 2,1 e 5,1). In altre parole, ogni singola persona già contagiata dal virus infetta, in media, altre 2,6 persone, ipotizzando che tutta la popolazione sia esposta al contagio.

Come risulta chiaro se avete letto i miei post precedenti, con un un R₀ attestato su questi valori, decisamente maggiori di 1, il numero di individui infettivi non può che crescere in modo esponenziale, almeno finché il numero di guarigioni non comincia a diventare superiore al numero di contagi.

Questa deduzione è in linea con l'altra conclusione dello studio degli scienziati italiani: il tempo di raddoppio dell'epidemia è compreso fra 3,6 e 4,1 giorni.
Che cosa significa? In pratica, il numero di persone infettate raddoppia nel giro di quattro giorni circa.
Immaginiamo, ovviamente semplificando un po' (e utilizzando dati non del tutto corrispondenti alla realtà), che il tempo di raddoppio sia diventato, il giorno di Capodanno, uguale a 4 giorni esatti, e che da allora non sia più cambiato. Supponiamo anche che il primo gennaio i contagiati fossero 10 in tutto il mondo. Possiamo dedurre che il 5 gennaio erano diventati all'incirca 20, il 9 gennaio 40, il 13 gennaio 80, e così via.
In generale, se si potesse viaggiare a ritroso nel tempo e approdare al giorno in cui vi era una persona infettata dal virus (il famigerato "paziente zero"), occorrerebbe contare poi il numero di giorni trascorsi da quella data iniziale e dividerlo per 4. Il numero ottenuto è il numero di volte per cui dobbiamo raddoppiare l'1 originario, per calcolare il numero attuale di contagiati (questo vale però nell'ipotesi, per nulla realistica, in cui il tempo di raddoppio si sia mantenuto costante nel tempo: gli epidemiologi ci insegnano che in realtà esso varia abbastanza spesso, soprattutto nelle fasi iniziali del contagio).
Raddoppiare 1 per x volte significa elevare 2 alla x. Per esempio, raddoppiarlo 3 volte significa calcolare

La funzione in gioco, quindi, è del tipo

e si tratta della ben nota funzione esponenziale. Qui la base è stata presa uguale a 2 perché siamo partiti dall'idea del raddoppio. Avremmo potuto parlare, anziché di raddoppio, di triplicazione, e avremmo ottenuto una funzione del tipo

ma la sostanza del ragionamento non sarebbe per nulla cambiata, e la funzione sarebbe rimasta una funzione esponenziale, soltanto con base 3 anziché 2.
In generale, quando ci troviamo di fronte a un fenomeno che può essere descritto con una funzione esponenziale la cui base è maggiore di 1, abbiamo a che fare con qualcosa che cresce in modo accelerato, e che quindi tenderà a diventare molto grande se la legge con cui varia continuerà a essere di tipo esponenziale per molto tempo.

Ricordate la leggenda della scacchiera e dei chicchi di grano? La racconto sempre ai miei studenti quando parlo di funzioni esponenziali, o anche semplicemente quando in prima rinfresco loro la memoria sulle proprietà delle potenze. Secondo questa leggenda, l'inventore del gioco degli scacchi si presentò un giorno al palazzo del re per mostrargli la sua creazione. Il sovrano si appassionò tanto al nuovo gioco che si disse disposto a ricompensare l'inventore con qualunque cosa egli avesse desiderato. L'inventore disse che gli sarebbero bastati un chicco di grano sulla prima casella della scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro chicchi sulla terza, e così via, fino a raggiungere l'ultima casella. Dato che la scacchiera ha 64 caselle, il numero di chicchi sulla x-esima casella risulta uguale a

e per calcolare il numero totale di chicchi è necessario sommare tutte le potenze di questo tipo, con x che varia da 0 (la prima casella, dove 2 elevato alla zero è uguale a 1) a 63 (l'ultima casella della scacchiera). Il risultato del calcolo è più o meno uguale a 18 miliardi di miliardi di chicchi di grano: decisamente troppi, anche per il reame più sconfinato che possiamo concepire.

La leggenda rende l'idea del rapidissimo aumento che una crescita di tipo esponenziale può comportare. Ma non dobbiamo cadere nell'equivoco che un incremento esponenziale debba per forza essere più rapido di un incremento di tipo lineare.
Lo ha spiegato anche, riferendosi proprio alla crescita degli infettati dal nuovo coronavirus, il prof. Pier Luigi Lopalco, noto epidemiologo dell'Università di Pisa, in una intervista rilasciata il primo marzo a RAI News. Secondo Lopalco, è possibile che anche in alcune zone dell'Italia sia iniziata la fase della diffusione esponenziale del contagio. Ma, come afferma l'epidemiologo, questo non deve necessariamente preoccuparci.
Crescita esponenziale, infatti, significa che il numero di infettati raddoppia in un numero costante di giorni, ma se questo numero è molto grande, la diffusione potrebbe non essere esplosiva da subito: se poi la fase esponenziale del contagio termina in un tempo breve, l'aumento complessivo potrebbe non essere così marcato (già, perché, come ho mostrato nei due post precedenti, la fase esponenziale prima o poi deve finire).

Nel diagramma qui sotto, vediamo il grafico di una funzione esponenziale (in rosso) messo a confronto con un grafico lineare, cioè con una retta (in blu). Immaginiamo che sull'asse orizzontale (cioè delle x) ci sia il tempo, misurato in giorni, e sull'asse verticale (y) il numero di contagiati in due epidemie diverse.



La base della funzione esponenziale è maggiore di 1 (altrimenti non ci sarebbe nemmeno una crescita), ma è appena maggiore di 1 (precisamente, vale 1,05). Questo significa che il tempo di raddoppio dei contagi è piuttosto lungo: per l'esattezza, è uguale a più di 14 giorni. Esponenziale sì, quindi, ma moderata.
La retta, invece, ha un coefficiente angolare pari a 3, il che significa che gli infettati aumentano di 3 ogni giorno. Non è una crescita esponenziale, certo, ma è una progressione che inizialmente risulta più rapida dell'altra, che diviene esplosiva tardi.
Come si vede subito dal diagramma, non c'è storia: la curva blu si impenna in modo da distanziare decisamente la curva rossa: se le epidemie terminano in tempi brevi, diciamo non molto oltre i 120 giorni, quella ad aumento lineare avrà fatto danni ben maggiori di quella a diffusione esponenziale. Tutto dipende dall'orizzonte temporale: alla lunga, l'esponenziale vince sempre sulle rette, ma se la base è di poco superiore a 1, potrebbe servire molto, troppo tempo per il sorpasso.

Questo ragionamento rende evidente una verità che spesso sfugge a molte persone: parlare di crescita esponenziale non significa parlare genericamente di crescita rapida. Questo sia perché, come ho appena mostrato, un aumento esponenziale potrebbe essere tutt'altro che rapido, sia perché, al contrario, una grandezza può crescere rapidamente ma senza che il fenomeno sia di tipo esponenziale. Purtroppo molto spesso, nei titoli dei giornali, nelle trasmissioni televisive e nei social network, si sente usare l'espressione "crescita esponenziale" in modo improprio, intendendo appunto un aumento genericamente molto veloce.
Tanto per fare uno dei moltissimi possibili esempi, date un'occhiata a questo articolo apparso nel maggio del 2019: si parla nel titolo di "crescita esponenziale del mercato dei green bond", ma nel pezzo si ammette che c'è stato soltanto un aumento del 42% tra il primo trimestre del 2018 e il primo trimestre del 2019. Decisamente poco per poter definire la crescita "esponenziale"!
Insomma, questo è un esempio di come un termine matematico dal significato molto ben delimitato si è esteso al linguaggio comune perdendo la sua accezione precisa. Ma anche a questo, strano a dirsi, serve la matematica: a usare le parole in modo più appropriato.

In conclusione, riportando le nostre considerazioni al caso del nuovo coronavirus: è molto probabile che in Italia il contagio sia all'inizio della fase esponenziale crescente, ma ciò non deve essere motivo di ansia e pessimismo. Il tasso di riproduzione R₀ è stato stimato a livello globale, come ho detto all'inizio di questo post, attorno a 2,6: ma nel nostro Paese potrebbe anche avere un valore più basso, rendendo la curva esponenziale più prudente nelle sue fasi iniziali. Se poi l'epidemia dovesse raggiungere il picco, e quindi cominciare a diminuire, in tempi relativamente brevi, tutto tornerebbe alla normalità senza che siano stati rilevati danni particolarmente importanti. Vedremo nei prossimi giorni come evolverà la situazione.

L'amore breve e il lungo oblio: Neruda e le funzioni bi-esponenziali

"È così breve l'amore, e così lungo l'oblio."

Così scriveva Pablo Neruda in "Poema 20", una delle sue poesie più celebri, compresa nella raccolta "Veinte poemas de amor y una canción desesperada" del 1924.
Cinque ricercatori del MIT Media Lab, della Northeastern University di Boston e della UDD di Santiago in Cile, hanno utilizzato questa toccante citazione all'inizio di un articolo pubblicato il mese scorso sulla rivista Nature Human Behavior, con il quale hanno proposto alcune interessanti novità sullo studio matematico delle dinamiche della memoria collettiva e dell'attenzione.

I risultati della ricerca sono stati sintetizzati in questo video:

Gli studiosi hanno analizzato in particolare come varia nel tempo il grado di attenzione e di considerazione collettiva nei confronti dei prodotti culturali, come possono essere canzoni, film, romanzi biografici, articoli scientifici e brevetti.

Gli scienziati hanno trovato una legge universale, che descrive il calo di attenzione e di memoria in modo molto simile a quello descritto poeticamente da Neruda: una prima fase (l'"amore breve"), che è caratterizzata da un'attenzione collettiva molto intensa e da un decadimento molto rapido dell'attenzione, e una seconda fase (il "lungo oblio"), in cui l'attenzione è più bassa ma decade molto più lentamente. I matematici chiamano questo tipo di andamento "bi-esponenziale".

Due sono i canali che, secondo i ricercatori, sostengono la memoria collettiva e l'attenzione: la comunicazione orale (ovvero la memoria comunicativa) e la registrazione fisica delle informazioni (ovvero la memoria culturale). La memoria comunicativa è dominante nella prima fase, per intenderci quella dell'amore romantico intenso e breve cantato da Neruda, mentre la memoria culturale è determinante nella seconda fase, quella che irrimediabilmente e lentamente conduce verso l'oblio.

La ragazza che piegava la carta

Prendete un foglio di giornale, e piegatelo in due.
Facile? Sì, certo, ma adesso piegatelo a metà una seconda volta, e poi una terza, e una quarta.
Fatto? Ora, prendete della colla vinilica, e....  No, niente colla, e niente forbici: solo piegature.
Quante volte siete riusciti a piegare il foglio? Probabilmente sei, o, se siete particolarmente abili, forse sette. Quasi certamente non siete riusciti a fare di meglio.
- Bè - direte voi - il problema è che il foglio di giornale non è molto grande, e, dato che ad ogni piegatura l'area si dimezza, ci si ritrova ben presto con un oggetto così piccolo che non è possibile piegarlo ulteriormente.
Se la pensate così, procuratevi un foglio più grande, e ripetete l'operazione.

Se potessimo piegare una quarantina di volte un foglio di carta, riusciremmo a coprire la distanza tra la Terra e la Luna.
Ma è sufficiente disporre di un foglio abbastanza grande per riuscire a piegarlo per una tale quantità di volte?
Se vi siete procurati un foglio molto più grande di quello che avete utilizzato per il primo esperimento, potete provare voi stessi a verificare.

Tuttavia, molto probabilmente non riuscirete ad andare oltre le sette pieghe.
Perché? Semplicemente perché la difficoltà non risiede nell'ampiezza del foglio, ma nello spessore che si viene a creare dopo poche piegature. Ad ogni piega, infatti, così come l'area si dimezza, lo spessore raddoppia. Inoltre, piega dopo piega aumenta esponenzialmente il materiale che si "perde" a causa dell'arrotondamento in corrispondenza dell'estremità della piega.

Se utilizziamo carta dallo spessore di 0,3 mm, dopo appena 5 pieghe avremo ottenuto 2⁵ = 32 strati, per uno spessore complessivo di 32 x 0,3 mm = 9,6 mm.  Dopo un'altra piega si hanno 64 strati e uno spessore di quasi 2 cm, mentre alla settima piega abbiamo ben 128 strati e quasi 4 cm. Spessori di questo tipo, indipendentemente dalla grandezza iniziale del foglio, ostacolano parecchio le operazioni di piegatura, fino a renderle praticamente impossibili.

Ma si sa, le cose impossibili rappresentano, per le persone audaci, sfide allettanti: nel gennaio 2002 una diciassettenne californiana, Britney Gallivan, per ottenere qualche credito in più a scuola, riuscì a piegare una striscia di carta stagnola per ben 12 volte. Ripeté poi l'impresa con una striscia di carta igienica, come possiamo vedere nella figura a lato.
La tecnica impiegata da Britney prevedeva di piegare la carta secondo direzioni alternate.

Britney fu la prima persona a comprendere i motivi profondi delle difficoltà insite nel piegare molte volte un foglio di carta, e dimostrò alcune formule che stabiliscono lo spessore iniziale della carta necessario per riuscire a ottenere un certo numero di piegature, tenendo conto della densità della carta e della tecnica utilizzata per la piegatura (direzioni alternate o direzione unica).

La storica impresa di Britney Gallivan è diventata famosa in tutto il mondo, almeno nella comunità scientifica. Nell'aprile 2005 la storia della ragazza che piegò un foglio di carta per dodici volte è stata menzionata in un episodio della serie "Numb3rs".
Lo so, state già armeggiando con un rotolo di carta igienica per riuscire a piegarlo tredici volte e battere il record di Britney. Bè, che dire? In bocca al lupo, e buone piegature!