"Nota a margine": post d'estate

Continua la mia collaborazione con "Prisma": nei mesi estivi sono usciti due nuovi articoli per la mia rubrica "Nota a margine".

Il primo, "La formula dei tormentoni", è apparso nel numero di luglio-agosto e racconta come alcuni ricercatori abbiano cercato di comprendere scientificamente la ricetta per scrivere una canzone di successo: pare che il segreto sia ricorrere ad armonie insolite, ma... con moderazione!

Scoprite anche voi il segreto: non si sa mai che diventiate popstar di grande successo... grazie alla matematica!

Il secondo articolo, "Il rock di Escher", uscito nel numero di settembre, tratta del curioso nesso che verso la fine degli anni Sessanta si creò tra l'arte del celebre incisore olandese Maurits Cornelis Escher e la comunità dei musicisti rock. Scoprirete un paio di divertenti aneddoti riguardanti i Pink Floyd e Mick Jagger. 

Cambiando un attimo discorso, sullo stesso numero settembrino troverete molti articoli dedicati a un grande scrittore italiano, Italo Calvino, del quale quest'anno si celebra il centenario della nascita. 

Come sapete, il nome di questo blog è legato a una delle opere di Calvino, e i collegamenti tra l'autore ligure e la matematica sono numerosi e interessanti: scopriteli su Prisma! (nel prossimo post vi parlerò di una piccola cosa che farò in ottobre e che riguarda proprio questa affascinante intersezione tra la matematica e la letteratura).

Da Cher al Festival di Sanremo 2021: la matematica dell'Auto-Tune

Se la settimana scorsa avete seguito il Festival di Sanremo, e magari avete anche prestato attenzione all'immancabile contorno di gossip e polemiche, vi sarete accorti che si è parlato spesso di una diavoleria algoritmica chiamata Auto-Tune, oggi utilizzata da molti cantanti per correggere intonazioni difettose e ottenere particolari effetti.

Andy Hildebrand, inventore dell'Auto-Tune
(fonte: priceonomics.com)

La storia dell'Auto-Tune ebbe inizio esattamente un quarto di secolo fa, e fu il frutto di una intuizione matematica. Il suo inventore, lo statunitense Andy Hildebrand, non era esattamente uno studente modello negli anni delle elementari e delle medie. Al liceo Andy fu finalmente folgorato dalla passione per la scienza e cominciò a studiare intensamente, laureandosi dapprima in scienza dei sistemi all'Università del Michigan, e conseguendo poi un master e un dottorato in ingegneria elettrica all'Università dell'Illinois.

Terminati gli studi nel 1976, Hildebrand fu assunto dalla multinazionale petrolifera Exxon. Il delicato incarico che gli fu subito assegnato riguardava un serio problema rilevato in uno strumento di monitoraggio sismico. Il giovane ingegnere escogitò una brillante soluzione attingendo dalle sue conoscenze di matematica avanzata, e l'accaduto lo convinse a intraprendere un percorso imprenditoriale autonomo dove avrebbe potuto mettere a frutto il suo talento. Così, nel 1979 fondò una sua società e si buttò nel business delle mappe sismiche a beneficio dell'industria petrolifera. 

Dopo un decennio di successi e di ingenti guadagni, decise di ritirarsi e di tornare a una delle sue passioni giovanili: la musica. Cominciò a studiare composizione musicale alla Rice University di Houston e qualche anno dopo fondò una nuova società, la Antares Audio Technology, dedicata allo sviluppo di software di elaborazione delle tracce audio.

Nel 1995, Hildebrand si trovava a pranzo con alcuni colleghi dopo una conferenza. A un certo punto, lui stesso lanciò una domanda insolita: "Che cosa servirebbe inventare?" La moglie di uno dei colleghi rispose scherzosamente: "Perché non crei una macchina che mi permetta di cantare intonata?"

La proposta cadde nel vuoto: pochi minuti dopo il gruppo di amici stava già parlando d'altro. Lo stesso Hildebrand se ne dimenticò: ma evidentemente l'idea si era insediata in un angolino della sua testa, se è vero che mesi dopo gli tornò in mente e gli sembrò improvvisamente un'opportunità interessante.

Andy Hildebrand (fonte: priceonomics.com)

Hildebrand si mise al lavoro e cercò di ragionare su come potesse essere affrontato il problema. 

Le fasi dell'algoritmo risolutivo erano necessariamente tre.

La prima consisteva nell'analizzare la traccia vocale e identificare tutte le note cantate.

La seconda era il confronto tra ogni nota rilevata e la nota "giusta", ovvero quella che sarebbe stata eseguita da un cantante perfettamente intonato.

La terza fase era costituita dalla correzione di ogni nota imprecisa, nella misura determinata nella seconda fase (mentre le note riconosciute come già intonate potevano restare invariate).

La parte più difficile era la prima: identificare le note della melodia, ovvero risolvere il problema di pitch detection, è cosa piuttosto facile per un essere umano, soprattutto se ha ricevuto una certa educazione musicale, ma rappresenta uno scoglio molto oneroso per un algoritmo informatico. 

Hildebrand si ricordò che, quando faceva l'ingegnere petrolifero, aveva risolto problemi abbastanza analoghi, anche se non in ambito musicale, su set di dati giganteschi, e la chiave del successo era stata l'utilizzo di un particolare attributo dei segnali chiamato autocorrelazione.

L'autocorrelazione di un segnale (per esempio una traccia audio) è uno strumento matematico fondamentale nella teoria dei segnali, in grado di indicare quanto siano tra loro "somiglianti", o dipendenti l'uno dall'altro, i diversi valori assunti da un certo segnale f(t) per diversi valori del tempo t.

Se un segnale varia molto lentamente nel tempo, è probabile che, considerati due valori f(t) e f(t+Δt), questi saranno abbastanza simili tra di loro, per cui l'autocorrelazione assumerà un valore positivo (relativamente alto). Se invece un segnale varia molto rapidamente, i due valori saranno molto diversi e l'autocorrelazione assumerà un valore prossimo a zero. Capite bene che, se l'autocorrelazione riesce a rilevare valori che si ripetono simili nell'evoluzione di un segnale, essa può aiutare a individuare eventuali componenti periodiche presenti all'interno di un segnale "rumoroso": questo equivale a rilevare le frequenze dominanti presenti in questo segnale, ovvero le note che con ogni probabilità sono state suonate o cantate nella traccia musicale.

Hildebrand progettò un algoritmo che riusciva a identificare le note di una melodia sfruttando l'autocorrelazione, ma si imbatté in un ostacolo: l'algoritmo risultava estremamente complesso.

Tenendo conto che il tipico set di dati da elaborare, contenente le informazioni contenute nella traccia audio di un brano musicale, era tipicamente molto grande, la conseguenza era un allungamento inaccettabile dei tempi richiesti per portare a termine l'elaborazione.

A Hildebrand questo non piaceva, perché non era compatibile con il suo ambizioso obiettivo: riuscire a correggere un'esecuzione canora imperfetta anche "in diretta", cioè mentre il cantante sta offrendo la sua performance.

L'ingegnere americano si rimboccò le maniche e scoprì che l'algoritmo poteva essere reso drasticamente più efficiente. Anni dopo, Hildebrand raccontò:

Mi resi conto che la maggior parte della matematica contenuta era ridondante e poteva essere semplificata. La mia versione semplificata prevedeva quattro moltiplicazioni anziché un milione. Era un trucco, un trucco matematico.

La prima versione dell'Auto-Tune fu rilasciata il 19 settembre 1997 e funzionava originariamente solo su Apple Macintosh. Circa un anno dopo, questa tecnologia rivoluzionaria venne utilizzata per la prima volta in un disco, e l'impatto commerciale fu assolutamente strepitoso. 

Sto parlando del singolo "Believe", pubblicato nell'ottobre 1998 dalla cantante americana Cher: in questo caso l'intento non era di correggere eventuali difetti di intonazione (non credo che la cantante in questione ne avesse bisogno), ma di ottenere un particolare effetto artificiale nel timbro vocale di Cher.

Il singolo ebbe un successo gigantesco: più di 11 milioni di copie vendute, premi e primati in classifica ovunque nel mondo.

Ve la ricordate la canzone-tormentone, vero? Riascoltatela qui:

Personalmente ricordo ancora lo sbalordimento che provai, ventitre anni fa, al primo ascolto di questo brano. Già in alcuni versi della prima strofa ("And I can't break through" e "It's so sad") la voce di Cher ci arriva come "metallica" e "robotizzata". Quei versi sconvolsero per sempre il mondo della musica pop: da "Believe" in avanti, nulla sarebbe più stato lo stesso.

La domanda che sorge spontanea, però, è la seguente: perché l'Auto-Tune, nato per aggiustare l'intonazione di cantanti mediocri, è diventato subito anche uno strumento per creare effetti speciali? Che cosa lega la correzione delle altezze delle note con il timbro robotico che ascoltiamo in "Believe"?

Nella figura successiva è illustrata la porzione di una traccia vocale registrata e visualizzata dall'applicazione Auto-Tune di Antares. Il grafico ha il tempo sull'asse delle ascisse e l'altezza delle note sull'asse delle ordinate.

Come vedete, il saliscendi delle voce del cantante assomiglia a una specie di montagna russa: le parti più in alto corrispondono alle note più acute, quelle più in basso alle note più gravi.

In alcuni tratti il profilo si stabilizza per qualche istante su una sequenza pressoché orizzontale (salvo lievi oscillazioni). Questi "pianerottoli", rilevati dall'applicazione ed evidenziati mediante rettangoli, corrispondono alle note "ferme" delle melodia e costituiscono la stragrande maggioranza della curva rilevata, mentre le rampe che congiungono tra di loro i rettangoli si riferiscono ai rapidi glissati (o, ricorrendo a un termine musicale tecnico, i "portamenti") che, inevitabilmente, un cantante esegue per passare da una nota all'altra.

Il risultato principale dell'Auto-Tune è di determinare con precisione le altezze dei pianerottoli e confrontarle con le frequenze convenzionali previste dal temperamento equabile: se il programma decide che una di queste altezze è imprecisa, essa viene spostata verso l'alto oppure verso il basso.

Come fa l'Auto-Tune a prendere queste decisioni?

Solitamente, prima di avviare il processo, viene richiesto di settare la tonalità del brano musicale: sulla base di questa indicazione il programma riesce poi a capire se una nota è corretta oppure no.

Per esempio, se la canzone è in do maggiore, ci si aspetta che le note della melodia rientrino tra quelle della scala di do maggiore: do, re, mi, fa, sol, la e si. Se uno dei "pianerottoli" corrisponde a una frequenza vicina al sol# (sol diesis), l'Auto-Tune concluderà che si tratti di un difetto di intonazione, e sposterà il rettangolo più in alto (la) oppure più in basso (sol), a seconda della distanza minore.

In alternativa, anziché selezionare una tonalità precisa, è anche possibile impostare una scala cromatica di 12 suoni: in questo modo l'Auto-Tune considererà accettabile una qualsiasi delle 12 note (do, do#, re, re#, mi, fa, fa#, sol, sol#, la, la#, si) e sposterà ogni eventuale nota imprecisa verso la più vicina tra queste 12.

Ma un'impostazione forse ancora più importante, cruciale per comprendere la risposta alla domanda di prima, è quella relativa alla durata dei portamenti tra una nota e l'altra.

Se per questa durata viene ammesso un valore alto, si concede che tra una nota e l'altra possa trascorrere un tempo relativamente lungo. Le note ferme vengono così corrette dal programma (se necessario), ma le rampe di congiunzione restano invariate, sia nella forma del loro profilo che nella durata. Il risultato finale sarà una traccia corretta nell'intonazione, ma senza artificiose distorsioni timbriche.

Se invece viene settata una durata bassa, i portamenti vengono quasi eliminati e si ottengono bruschi passaggi tra una nota corretta e l'altra, con la conseguenza di creare il fatidico "effetto Cher".

I produttori che utilizzano l'Auto-Tune per elaborare le loro tracce audio si trovano spesso a dover scegliere tra una versione morbida e naturale, che si limita a correggere i difetti di intonazione, e una versione aggressiva, che può portare a effetti robotici molto marcati. 

Da "Believe" in poi, l'invenzione di Hildebrand è diventata sempre più popolare negli studi di registrazione e produzione musicale.

Il critico musicale inglese Simon Reynolds ha scritto nel 2018 un'accurata e interessante "storia definitiva" dell'Auto-Tune, in cui il celebre brano di Cher viene definito "un assaggio del pop che sarebbe arrivato negli anni successivi".

All'inizio gli effetti speciali creati dall'Auto-Tune venivano spesso scambiati per quelli prodotti dal vocoder, glorioso sistema di sintesi sonora in grado di attribuire a una voce umana le caratteristiche timbriche di un altro strumento, creando un'onda sonora avente la voce come segnale modulante e il secondo strumento come segnale portante. Il vocoder era stato utilizzato diffusamente negli anni Settanta da band come i Pink Floyd, i Kraftwerk, i Rockets, The Alan Parsons Project, e conobbe un nuovo momento di successo dagli anni Novanta soprattutto grazie ai francesi Daft Punk e agli italiani Eiffel 65.

Ma torniamo all'Auto-Tune. Dopo Cher, molti altri artisti lo hanno impiegato, soprattutto nell'ambito della musica hip hop. Il rapper americano T-Pain ne ha fatto un uso così ampio che il cosiddetto "effetto Cher" viene spesso denominato "effetto T-Pain". Altri artisti hip hop come Snoop Dogg, Lil Wayne, Kanye West, Black Eyed Peas, Future, Playboi Carti, Travis Scott, Lil Uzi Vert lo hanno impiegato nelle loro produzioni.

Anche una grande rock band come i Radiohead ha utilizzato l'Auto-Tune: nel loro album Amnesiac del 2001 è stata usata nel brano "Pulk/Pull Revolving Doors", per trasformare alcuni passaggi parlati in frasi melodiche, mentre in "Packt Like Sardines in a Crushd Tin Box" l'algoritmo è stato impiegato per creare "un sound nasale e spersonalizzato".

Come spesso accade per le invenzioni influenti, anche l'Auto-Tune è al tempo stesso osannato e odiato. Il suo creatore, Andy Hildebrand, lo ha definito un prodotto incredibilmente complesso, frutto di anni di studio rigoroso e di conoscenze matematiche sofisticate. La stessa Cher ha spesso ritenuto un vanto essere stata la prima pop star a usarlo. 

Ancora più numerose, oggi più che mai, sono però le voci contrarie: l'Auto-Tune è spesso visto come un motivo di disonore, una vergogna da nascondere in quanto indice di probabile mediocrità vocale. La rivista Time lo ha definito "una delle 50 peggiori invenzioni del Novecento".

Al Festival di Sanremo della settimana scorsa, molti cantanti in gara lo hanno utilizzato: per esempio Fedez, Fasma e Madame. Orietta Berti (ehi, mai avrei pensato di citare Orietta Berti su queste pagine: ma si sa, la matematica ci porta ovunque), intervistata nei giorni della kermesse sanremese, ha affermato:

Noi non usiamo dei mezzi sofisticati. Siamo all’antica. Vogliamo le spie, l’auricolare, il microfono normale. Così uno se sa fare, sa fare. Se non sa fare va a casa.

In molti casi è probabile che l'obiettivo principale sia l'ottenimento dell'effetto Cher, ma non escludo che questo possa essere anche un pretesto per guadagnare, con l'occasione, anche l'aggiustamento dell'intonazione.

Per quanto mi riguarda, le mie orecchie trovano questo effetto ormai decisamente usurato: eppure sembra che molti giovani lo apprezzino e lo considerino quasi indispensabile per rendere ascoltabile una canzone.

Solo il tempo ci dirà se si tratta di una tendenza passeggera o di qualcosa di più. Nel frattempo, io provo piacere nel constatare che anche lì dentro c'è la matematica: e anche parecchia.

Le Biblioteche Totali

Il racconto "La biblioteca di Babele" di Jorge Luis Borges è una delle miniere d'oro più generose per ogni divulgatore matematico.
Anch'io, nel mio piccolo, non ho saputo resistere al fascino del claustrofobico, vertiginoso e bellissimo universo descritto dallo scrittore argentino e ne ho parlato spesso, per esempio in questa video-conferenza.

L'attrazione fatale della Biblioteca non ha conquistato solo matematici, critici letterari e scrittori, ma anche filosofi, architetti, scienziati, informatici e illustratori. Per esempio c'è un problema aperto relativo alla forma della Biblioteca, sul quale molte menti brillanti si sono interrogate. E questo si ripercuote sul problema di rappresentarla graficamente: tra i tentativi più brillanti quello di un programmatore americano, Jamie Zawinski. Ho utilizzato alcune delle sue immagini per impreziosire questo post.

La Biblioteca è formata da un numero indefinito di sale esagonali, ciascuna delle quali ospita 4 pareti adibite a librerie. Ogni parete è composta da 5 scaffali e ogni scaffale contiene 32 libri. I libri hanno tutti lo stesso formato: 410 pagine, ciascuna delle quali si compone di 40 righe, e ogni riga contiene irrimediabilmente 80 lettere di colore nero.
Ciascun libro risulta così formato da una successione di 410 ∙ 40 ∙ 80 = 1.312.000 caratteri. Ogni esagono contiene 4 ∙ 5 ∙ 32 = 640 libri, che corrispondono quindi a 640 ∙ 1.312.000 = 839.680.000 simboli.
Ma quanti libri e quanti simboli ci sono in tutta la Biblioteca? Non lo sappiamo, perché non è noto il numero degli esagoni che la compongono.

Tuttavia, possiamo dire quanti libri diversi del formato indicato da Borges possono esistere: basta applicare le formule del calcolo combinatorio e determinare il numero di diverse sequenze di 1.312.000 simboli esistenti. Visto che i caratteri diversi utilizzati nei libri della Biblioteca sono 25 (22 lettere più lo spazio, il punto e la virgola), è facile dedurre che esistono in tutto 25^1.312.000 diversi libri di quel formato. Questo numero equivale a circa 10^1.834.097, cioè a 1 seguito da circa un milione e ottocentomila zeri. Una quantità finita ma spaventosamente grande, non c'è che dire. Se anche un libro avesse le dimensioni di un atomo, non ci sarebbe spazio a sufficienza nell'intero universo per ospitare tutti questi volumi: il numero di atomi contenuti nell'universo conosciuto si aggira intorno a 10⁸⁰, che è un numero incomparabilmente minore. Insomma, occorrerebbe una quantità mostruosamente grande di universi per contenere i libri possibili!

Nonostante sia fisicamente assurdo, nel corso del racconto Borges ci informa che la Biblioteca è totale, cioè comprende sicuramente tutti quei 10^1.834.097 libri possibili (ma è possibile che di un libro esistano più copie, forse persino infinite copie). Il passo del racconto in cui viene fornita questa informazione è particolarmente intenso e drammatico:

Da queste premesse incontrovertibili dedusse che la Biblioteca è Totale, e che i suoi scaffali registrano tutte le possibile combinazioni dei venticinque simboli ortografici (numero anche se vastissimo, non infinito) cioè tutto ciò che è dato di esprimere in tutte le lingue. Tutto: la storia minuziosa dell’avvenire, le autobiografie degli arcangeli, il catalogo fedele della biblioteca, migliaia e migliaia di cataloghi falsi, la dimostrazione delle falsità di questi cataloghi, la dimostrazione della falsità del catalogo fedele, l'evangelo gnostico di Basilide, il commento del commento di questo vangelo, il resoconto veridico della tua morte, la traduzione di ogni libro in tutte le lingue, le interpolazioni di ogni libro in tutti i libri. 

Qualche settimana fa ho avuto il piacere di conoscere una persona con la quale ho riscontrato una singolare convergenza di interessi intellettuali. Giorgio Chini, questo il suo nome, è un ingegnere elettronico dalle vaste e profonde frequentazioni culturali. Dopo aver letto il mio libro "Matematica rock", ha voluto farmi notare l'analogia tra un passaggio del capitolo dedicato a pi greco, in cui mi soffermavo sui numeri normali, e un articolo (si veda figura a lato) che lui stesso scrisse intorno al 1985 traendo ispirazione proprio dalla "Biblioteca di Babele" di Borges.
L'intuizione centrale dell'articolo di Chini è quella di immaginare un equivalente "musicale" della Biblioteca di Babele. Fin da subito l'ho trovata estremamente suggestiva, al punto da indurmi a scrivere questo post e suscitare nella mia mente ulteriori idee, domande e approfondimenti.
All'epoca della stesura dell'articolo di Giorgio, il CD (Compact Disc) rappresentava una tecnologia di recente introduzione: come tale, costituiva l'ideale punto di riferimento per consentire una trasposizione del concetto borgesiano di Biblioteca Totale dal mondo della parola scritta a quello dei suoni.

Com'è spiegato nell'articolo, il segnale musicale viene campionato a intervalli di tempo regolari, precisamente 44100 volte al secondo. Ogni campione è costituito da un numero binario di 16 bit, mediante il quale viene codificata l'informazione relativa al segnale sonoro nell'istante in esame. Partendo da questi dati, è possibile intraprendere un ragionamento analogo a quello suggerito dal racconto di Borges: fissando per semplicità a un'ora la durata convenzionale di un CD, si calcola un totale di 60 ∙ 60 ∙ 44100 ∙ 16 = 2.540.160.000 bit contenuti in un disco. Il numero dei CD possibili è allora uguale a 2^2540160000, che equivale a circa 10^750.000.000: un numero finito, certo, ma spaventosamente maggiore del numero dei libri borgesiani possibili.

A maggior ragione rispetto alla Biblioteca di Babele, questa gigantesca Biblioteca Totale dei Suoni non potrebbe nemmeno lontanamente starci nel nostro universo, anche immaginando di poter ridurre ogni CD alle dimensioni di un atomo.
Che cosa si troverebbe in questa smisurata biblioteca sonora? Ritorna il tema vertiginoso, già esplorato da Borges, della totalità della Biblioteca: in questo caso troverebbe posto qualsiasi successione dei fatidici 10^750.000.000 bit, cioè ogni sequenza sonora della durata di un'ora. Chini illustra il concetto in questo bellissimo passo:

La maggior parte dei dischi conterrà un rumoraccio fastidioso e indecifrabile ma sempre diverso, così come nella Biblioteca c'è un sol libro che è, da cima a fondo, la ripetizione delle lettere MCV. Ma tanti dischi invece avranno senso: conterranno ad esempio il Requiem di Mozart in tutte le possibili esecuzioni, compresa quella che ho io in casa che è su un disco di vinile con un graffio, e anche quelle con tutte le possibili stecche di ogni orchestrale. Ci sarà l'Inverno come lo ha suonato Vivaldi appena lo ha composto, e un'esecuzione del Tannhauser dove la noia è interrotta dall'oboista che, al posto della sua parte, comincia a suonare "Space Oddity"; ci sarà la musica che Stockhausen non ha ancora scritto, e quella che Claudio Baglioni purtroppo ha già scritto.
Ma non solo la musica fa parte dei suoni. Se qualcuno di voi ha mai dormito in un prato, quando si è svegliato avrà sentito un rumore di un grillo; nella Biblioteca dei Suoni c'è: c'è anche il dischetto in cui quel dolce trillo è proprio nel mezzo al fragore della bomba di Hiroshima. C'è anche il rumore del caffè che passa in tutte le caffettiere possibili e quello dei passi di ognuno di noi su qualunque terreno, facile o duro che sia al nostro piede.
E poi tra i suoni ci sono le voci: quella di me stesso che leggo questo articolo, tutte le gaffe di Ronald Reagan, le parole dette da Dio a Mosè sul Sinai. Se Dio non esiste, come io penso, non importa: qualunque cosa avrebbe potuto dire, in qualsiasi lingua, nella Biblioteca c'è. Tutto quello che hanno detto tutti gli uomini, vissuti e non, è presente.
La voce tremante di chiunque dica "Io ti amo", quella che risponde "Io no", e quella di chi invece, felice tanto da piangere, dice "Anche io", sono tutte nella Biblioteca. Là ognuno può trovare il disco che lo condanna alla disperazione e quello in cui il proprio amore è ricambiato, però non potrà sapere su quale dei due è registrata la realtà.

A distanza di 35 anni, l'idea di Chini ne ha generata un'altra nella mia testa: perché non pensare anche a una Biblioteca Totale dei Film possibili?
Anche in questo caso dobbiamo fissare qualche parametro convenzionale, perché gli standard video e audio utilizzati in ambito cinematografico e televisivo costituiscono un mondo molto complesso e variegato. Ricorrendo alle specifiche emesse dal consorzio "Digital Cinema Initiatives" (DCI), diciamo di adottare i seguenti parametri:
1) per il video, una velocità di 24 fotogrammi al secondo, con un formato immagine di 2048 per 1080 pixel, e 36 bit per codificare l'informazione del colore di un singolo pixel;
2) per l'audio, 48.000 campioni al secondo e 24 bit per codificare un singolo campione.
Inoltre fissiamo una durata di due ore per ogni film della nostra Biblioteca.

Quanti sono i film possibili? Eseguendo un calcolo analogo ai precedenti si trova che:
1) per racchiudere l'informazione video di un intero film servono 2 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 24 ∙ 36 ∙ 2048 ∙ 1080 = 13.759.414.272.000 bit;
2) per quanto riguarda l'audio, sono necessari 2 ∙ 60 ∙ 60 ∙ 48.000 ∙ 24 = 8.294.400.000 bit.
Complessivamente ci servono circa 13.767 Gbit (ovviamente il video la fa da padrona).
I miei lettori si staranno certamente chiedendo perché non faccio alcuna menzione della possibilità di comprimere il pacchetto di informazioni: ebbene, è chiaro che questo è concretamente possibile (e fondamentale ai fini dell'efficienza del sistema), ma da un punto di vista concettuale non impatta sul conteggio dei distinti film possibili (d'altra parte, è facile dimostrare che qualsiasi algoritmo di compressione rimpicciolisce alcuni tipi di file - ovviamente quelli statisticamente più frequenti - ma ne ingrandisce altri)
Quanti sono in definitiva i film possibili? Il calcolo è sempre lo stesso: dobbiamo elevare 2 a 13.767 miliardi, ottenendo qualcosa come 10^{414.427.995.031}.
Prevedibilmente, il numero che risulta è molto maggiore di quello trovato per la Biblioteca Totale dei Suoni: è una quantità inconcepibile e spaventosamente colossale.

Anche in questa Biblioteca Totale dei Film c'è tutto. Come al solito, nella maggior parte dei dischi ci sono sequenze video incomprensibili e insensate, accoppiate a colonne sonore fatte unicamente di rumori senza significato. Ma da qualche parte ci sono anche tutti i film di Chaplin, Kubrick, Allen, Antonioni e di tutti i registi della storia del cinema. Ci sono i film che loro avrebbero voluto realizzare ma non hanno realizzato e tutte le varianti possibili, comprese le più assurde, dei loro film. Per esempio c'è "2001 Odissea nello spazio" con la colonna sonora costituita da pezzi metal al posto dei valzer di Strauss, c'è "Il grande dittatore" con le scene girate su Marte, c'è "Zabriskie Point" doppiato in lingua klingon, c'è "C'era una volta in America" con Aristotele in carne e ossa al posto di Robert De Niro, e così via.
Ovviamente non ci sarebbero soltanto film in senso stretto, ma anche combinazioni qualsiasi di video e audio. Ci sono le vere registrazioni della formazione della Terra, della morte dell'ultimo dinosauro, della prima volta in cui un uomo primitivo è riuscito ad accendere un fuoco, della nascita e della crocifissione di Cristo, della fase finale della battaglia di Waterloo. In uno dei film potreste rivivere tutti i sogni che avete fatto nelle ultime notti (e tutti gli altri sogni della vostra vita sono sicuramente custoditi in altri dischi). In un altro ci sono le puntate di Goldrake che io ho visto in TV in un pomeriggio del 1979: nei fotogrammi si vede non solo il cartone animato, ma anche il televisore che c'era a casa mia allora e parte della stanza, e la colonna sonora è la registrazione originale delle parole che Giulio Cesare pronunciò quando fu aggredito e accoltellato a morte.
Tranquilli, in un disco c'è anche il film della vostra morte: in sovraimpressione è riportata la data e l'ora in cui essa avverrà. Però c'è un numero incalcolabile di altri film che mostrano versioni alternative della vostra morte: a voi indovinare qual è il film "giusto". Ed esiste una sequenza di dischi (l'unico problema è trovarli e metterli in ordine) che documentano in ogni dettaglio tutta la vostra vita, tutto quello che i vostri occhi e le vostre orecchie hanno percepito da quando siete nati fino a ora e anche nel futuro. La stessa cosa vale per tutti gli altri abitanti del mondo, anche quelli che non ci sono più, quelli che non ci sono ancora e perfino quelli che non ci saranno mai.
Insomma, tutta la vita di ogni possibile essere umano (o non umano), ogni fatto accaduto (o non accaduto) nell'universo in ogni epoca passata, presente e futura: tutto, proprio tutto è custodito in questa incredibile Biblioteca.
Mi fermo qui perché continuare potrebbe far girare la testa, sia a voi che a me, e concludo con un caloroso grazie all'amico Giorgio Chini.

La matematica delle scale musicali: la storia continua

Molti anni fa, agli albori di questo blog, pubblicai tre post che trattavano un argomento che considero molto attraente: la storia delle scale musicali viste da una prospettiva prevalentemente matematica.
Ecco i titoli e i link di quegli articoli:
Pitagora e la scoperta della musica
Pitagora e il cerchio che non si chiude
La scala "naturale" da Tolomeo a Zarlino

Gli articoli riscossero un notevole entusiasmo (per il primo ricevetti addirittura i complimenti della celebre cantante Antonella Ruggiero, che si disse attenta lettrice di questo blog). Tuttavia, per vari motivi la serie non proseguì oltre il terzo episodio.
In anni successivi, avevo però ripreso l'argomento della matematica delle scale musicali in un'altra serie di articoli, questa volta pubblicata sul sito di XlaTangente, un'iniziativa curata da Matematita, il Centro Interuniversitario di Ricerca per la Comunicazione e l'Apprendimento Informale della Matematica, con sede principale presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Milano.
Gli articoli andarono a confluire in una rubrica, intitolata "Matematica e... musica". Riporto qui i riferimenti ai sette articoli, sperando di fare cosa gradita ai miei lettori:
Parte 1: dal monocordo agli intervalli musicali
Parte 2: la costruzione della scala Pitagorica
Parte 3: tono, limma e... logaritmi
Parte 4: un cerchio che non si chiude
Parte 5: Zarlino e la scala naturale
Parte 6: La scala naturale e i suoni armonici
Parte 7: Largo alle terze e alle seste!

Ebbene, dato che è sempre un peccato lasciare una cosa a metà, e anche se è passato molto tempo, riprenderò la saga della matematica delle scale musicali e pubblicherò su questo blog alcuni nuovi post.
Attendevi, quindi, cari lettori, un quarto capitolo riguardante i difetti della scala naturale tolemaico-zarliniana. A presto!

Le auree sonate per pianoforte di Mozart

Che Mozart sia stato uno dei più grandi compositori di ogni tempo lo sappiamo, e un'affermazione come questa suona quasi ovvia e scontata. Ma che il buon Amadeus fosse un appassionato di matematica quasi patologico, be', questo non tutti lo sanno.
Mi piace pensare che l'amore di Mozart per il pensiero matematico abbia avuto un influsso determinante sulla sublime e inarrivabile grandezza delle sue opere: quasi a certificare che, in fin dei conti, la musica altro non è che matematica sotto mentite spoglie.
L'ossessione di Mozart per la matematica cominciò in tenera età (da un enfant prodige come lui vi aspettavate forse qualcosa di diverso?). La sorella Nannerl riferì che Wolfgang, durante gli anni della scuola, "non pensava e non parlava d'altro che di figure geometriche".
Secondo alcune testimonianze, un giorno il tenero fanciullo ebbe l'idea di scrivere numeri col gesso su tutte le pareti di casa. Passò poi alle sedie, ai tavoli e al pavimento. Una volta riempite tutte le superfici disponibili, fece lo stesso nelle case dei vicini.
In una lettera alla sorella datata 19 maggio 1770, il quattordicenne Wolfgang scrive:
"Vi ringrazio di avermi mandato questi Rechenstorien, e vi prego di mandarmi ancora un poco di questi Kunsten"
Il riferimento è a un libro di aritmetica e algebra di tale Josef Spengler, intitolato “Anfangsgründe der Rechenkunst und Algebra“, ovvero "Rudimenti di aritmetica e algebra". Evidentemente la sorella aveva allegato ad una sua lettera qualcuno degli esercizi proposti dal libro, e il giovane Mozart aveva trovato grande diletto nella loro risoluzione.
L'attrazione di Mozart per la matematica non svanì con l'età adulta. Di questo abbiamo infatti almeno due prove, che sembrano anche indicare un particolare interessamento del grande compositore per il calcolo delle probabilità.
Ecco la prima prova.

I margini (nella figura qui sotto, in basso e a sinistra) del manoscritto di una sua composizione del 1782, la «Fantasia e fuga in do maggiore» K394 sono riempiti di calcoli per trovare la probabilità di vincere una lotteria.

E la seconda? Be', della seconda vi ho parlato in un post dedicato al gioco musicale dei dadi.
Non posso non ricordare come questo gioco, dai risvolti matematici e probabilistici molto interessanti, abbia anche divertito decine di spettatori lo scorso ottobre al Festival della Statistica di Treviso, dove assieme al pianista Giancarlo Panizzo ho raccontato queste e altre amenità musical-matematiche nello spettacolo "Un, due... re! Giocando a dadi con Mozart" (stay tuned: i giochi mozartiani torneranno al Festival in autunno).

Un ulteriore indizio della fascinazione del genio salisburghese per la matematica va in direzione diversa: non più la teoria delle probabilità, ma la sezione aurea.
Cos'è la sezione aurea? In breve: immaginate di prendere due bastoncini, quello più corto di lunghezza A, e quello più lungo di lunghezza B. Supponiamo che A stia a B come B sta alla somma delle lunghezze A+B. Se sussiste questa particolare relazione, il rapporto tra le due lunghezze B e A è uguale a un numero circa uguale a 1,618, che viene indicato solitamente con la lettera greca φ ("phi") e viene chiamato "sezione aurea" o "rapporto aureo" o "numero aureo".

Nemmeno questo interesse mozartiano per il rapporto "divino", già amato dagli antichi e da Leonardo da Vinci, deve stupire. Se una caratteristica emerge con chiarezza dalle composizioni di Mozart, questa ha che fare con l'equilibrio strutturale, con una perfezione della forma che sembra tradursi immediatamente in bellezza ed emozione. Come affermò il critico Hanns Dennerlein, Mozart possedeva un senso innato delle proporzioni.

Un esempio sorprendente di questo lo troviamo nelle sue 19 sonate per pianoforte. La struttura classica, in auge ai tempi di Mozart, prevede tre movimenti: solitamente un allegro come primo movimento, un lento (adagio, andante o qualcosa di simile) come secondo, e un movimento di chiusura che spesso è un allegro o un presto. In questo format standardizzato, ognuno dei movimenti (quasi obbligatoriamente il primo, opzionalmente gli altri due) poteva a sua volta essere strutturato secondo la cosiddetta "forma sonata", che prevedeva tre parti:
1. l'esposizione, in cui viene presentato il tema musicale principale;
2. lo sviluppo, in cui il tema viene espanso e rielaborato;
3. la ripresa, in cui il tema iniziale viene rivisitato in chiave di finale.
Per comodità, farò riferimento a due parti: l'esposizione e l'unione tra sviluppo e ripresa. Ebbene, qualcuno si è preso la briga di analizzare numerosi movimenti delle sonate per pianoforte di Mozart (più o meno quelli strutturati in forma sonata) e per ognuno misurare la durata delle sue due parti.

John F. Putz

Lo studioso che ha eseguito questa ricerca con maggiore accuratezza è stato John F. Putz, un matematico dell'Alma College del Michigan. I suoi risultati furono pubblicati sul numero di ottobre 1995 della rivista Mathematics Magazine, della Mathematical Association of America.
Putz ricorda che un giorno il figlio, musicista, gli parlò della struttura delle sonate per pianoforte di Mozart. Ricordando di aver letto qualcosa sulla propensione del musicista austriaco per l'equilibrio e l'eleganza formale, il matematico si mise al lavoro per verificare se si poteva riscontrare qualche pattern matematico nella suddivisione dei movimenti di queste composizioni.
Nella tabella seguente sono riportati i movimenti analizzati da Putz e, per ognuno, il numero di battute musicali della prima parte e quello della seconda parte. Si noti che il numero di battute è, di solito, un'ottima approssimazione della durata: sotto l'ipotesi che il tempo musicale resti invariato nel corso dello stesso movimento, il numero di battute è proporzionale alla durata in secondi.

Il risultato ottenuto da Putz è molto interessante: il rapporto tra la durata della seconda parte (sviluppo+ripresa) e quello della prima parte (esposizione) è spesso aureo, cioè molto vicino al numero ϕ ≈ 1,618: un po' come il rapporto tra le due dimensioni di una carta di credito.
Per le proprietà della sezione aurea, ciò significa che anche il rapporto tra la durata complessiva di un movimento e la durata della seconda parte è circa aureo.

Prendiamo il caso emblematico del primo movimento della Sonata n. 1 per pianoforte K 279. L'esposizione dura 38 battute, mentre sviluppo e ripresa si estendono per 62 battute. In totale il movimento ha 100 battute. Ora, il modo migliore di dividere in sezione aurea due 100 battute è proprio metterne 38 da una parte e 62 dall'altra. Infatti 62 diviso 38 è circa 1,63 e 100 diviso 62 è circa 1,61. Se Mozart avesse fatto durare l'esposizione una sola battuta in più e la seconda parte una battuta in meno, il risultato sarebbe stato molto meno aureo: 61/39 ≈ 1,56 e 100/61 ≈ 1,64.
Coincidenza? Risultato intenzionale? Non lo sappiamo.

Ma anche gli altri movimenti analizzati mostrano proporzioni simili. Con un software specializzato ho provato a ripercorrere l'analisi effettuata da Putz, ritrovando perfettamente i risultati da lui ottenuti.
Putz provò a rappresentare graficamente la durata (in battute) della seconda parte di ogni movimento in funzione della durata (in battute) dell'intero movimento. Il risultato è illustrato nella figura seguente (in ordinata la durata della seconda parte, in ascissa la durata totale).

Gli statistici chiamano "grafico di dispersione" un diagramma come questo. Il fatto che i punti risultano più o meno concentrati su una linea retta dimostra che esiste una relazione approssimativamente lineare tra le due durate in gioco.
Nella figura seguente è mostrata la linea retta che meglio d'ogni altra rappresenta questa relazione tra durata della seconda parte del movimento e durata totale.

Grafico di dispersione che mostra la relazione tra il numero di battute della seconda parte (sviluppo+ripresa) in ordinata e il numero di battute del movimento complessivo in ascissa

La retta rappresentata si dice retta di regressione.
Le tecniche di regressione sono metodi molto usati dagli statistici per trovare la relazione (lineare o non lineare) che legano due grandezze per le quali abbiamo a disposizione una certa quantità di misurazioni numeriche.
In questo caso le due grandezze (durata della seconda parte e durata totale) risultano legate da una relazione quasi perfettamente lineare.
Questo è in linea con quanto riportato sopra: il rapporto tra la durata totale e la durata della seconda parte è circa costante e circa uguale al numero aureo ϕ ≈ 1,618. Questo rapporto corrisponde all'inverso della pendenza, cioè del coefficiente angolare, della retta di regressione.

Gli statistici sono soliti utilizzare un indicatore, detto coefficiente di correlazione, per misurare la bontà dell'approssimazione lineare individuata. Il coefficiente può variare da un valore 0 (nessuna correlazione lineare tra le due grandezze) e un valore 1 (correlazione lineare perfetta).

Nel caso in esame il coefficiente di correlazione risulta uguale a 0,99.

Sulla base di questi risultati, sembrerebbe lecito concludere che Mozart abbia suddiviso i suoi movimenti utilizzando consapevolmente la sezione aurea. Ma Putz non si accontentò di questo esito, e rappresentò su un altro grafico di dispersione la durata della prima parte (esposizione) in funzione della durata della seconda parte (sviluppo+ripresa).
Il risultato è mostrato nella figura seguente (in ordinata la durata della prima parte, in ascissa la durata della seconda parte).

Com'è facile riconoscere, i punti appaiono questa volta più sparpagliati. La figura seguente mostra la retta di regressione.

Grafico di dispersione che mostra la relazione tra il numero di battute della prima parte (esposizione) in ordinata e il numero di battute della seconda parte (sviluppo+ripresa) in ascissa

In questo caso il coefficiente di correlazione risulta pari a 0,938: ancora alto, ma non altissimo come prima. Come si spiega questa differenza?
Putz ha dimostrato che, quando il rapporto tra due numeri B ed A (con 0 ≤ A ≤ B) è vicino, ma non uguale, alla sezione aurea (come accade in ciascuno dei nostri movimenti mozartiani, in cui i due numeri A e B sono rispettivamente le durate della prima e della seconda parte), si ha necessariamente che il rapporto (A+B)/B è più aureo del rapporto B/A. Per chi è interessato, la dimostrazione può essere trovata su questa pagina.

Alla fine di tutta la discussione, una domanda resta aperta: Mozart ha composto le sue magnifiche sonate per pianoforte adoperando intenzionalmente la sezione aurea, o la proporzione osservata da Putz è un puro caso? Lo stesso studioso americano, a sorpresa, conclude la sua analisi affermando che con ogni probabilità il grande compositore non utilizzò consapevolmente il rapporto divino.
Ma questo è del tutto opinabile. In ogni caso, credo sia ragionevole pensare che la struttura matematica di queste composizioni non sia unicamente frutto del caso, e che l'attrazione fatale che legò Mozart ai numeri rivesta, in questa storia, un ruolo determinante.

Matematica e... musica

Molti di voi conoscono già il sito Xlatangente, noto per realizzare una bellissima rivista online di divulgazione matematica. Oltre alla rivista, il sito offre una ricchissima varietà di contenuti e rubriche, tutti inerenti al mondo della matematica.
Ho apprezzato fin da subito il taglio leggero e giocoso, eppure sempre rigoroso, che costituisce il marchio di fabbrica di Xlatangente. Inutile dire che il giorno in cui i responsabili di questo progetto, principalmente Anna Betti e Gilberto Bini, mi hanno contattato per propormi di collaborare al sito, è stato per me un giorno di felicità.

Già molti mesi fa era uscita una intervista al sottoscritto intorno a "La matematica dei Pink Floyd", che poi è stata inserita nel numero 3 della prestigiosa rivista.
Da oggi parte la rubrica "Matematica e... musica", nella quale racconterò, senza cadenza fissa, le mie esplorazioni nel mondo dei legami tra la scienza dei numeri e l'arte dei suoni (o, se preferite, tra l'arte dei numeri e la scienza dei suoni).

Come scrivo nella breve presentazione della rubrica:

Il filosofo tedesco G. W. von Leibniz affermò che la musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza essere conscia di contare.
La musica, in effetti, non è soltanto un'arte, ma anche una disciplina profondamente permeata di aspetti scientifici, e in particolare matematici.
In questa rubrica cercheremo di esplorare questi collegamenti: ciò ci aiuterà a scoprire come la cultura non sia formata da compartimenti stagni, ma, piuttosto, da facce appartenenti a un unico poliedro.

Il primo articolo, "La matematica delle scale musicali (parte I)" è già online.
Ringrazio la redazione di Xlatangente per l'opportunità offertami.
Buona lettura a tutti!

Quante scale musicali esistono? Post... scriptum

Un paio di precisazioni e una piccola "scoperta" inerenti alla questione delle scale musicali che ha riempito due lunghi post qualche settimana fa.

Prima precisazione: qualcuno mi ha fatto notare che una scala formata da una nota, ma anche da due o tre sole note, si fa fatica a considerarla una vera scala. Verissimo. Non a caso, nella prima parte del post osservavo che una scala costituita da un solo suono è qualcosa di molto strano, noioso e soprattutto inutile. Poco cambierebbe, in effetti, aggiungendo una sola altra nota o anche due: ciò che si ottiene, più che una scala, verrebbe definito da un musicista un intervallo (nel primo caso) o una coppia di intervalli (nel secondo caso). Il tutto poco utilizzabile per costruire composizioni di qualche interesse.

Eppure, volendo analizzare la questione da una prospettiva matematica, il che (non essendo musicista) è ciò che ho cercato di fare nei miei due post precedenti, si pone il dubbio fondamentale: quante devono essere le note per poter parlare legittimamente di scala? Se questa domanda ha una risposta (che potrebbe essere un qualsiasi numero intero compreso tra 1 e 12, anche se i numeri candidati sono, diciamo, certamente inferiori a 6), deve esserci un motivo convincente per scegliere un numero ben definito e non altri. Credo che alla fine l'unica risposta convincente da un punto di vista matematico sia 1, anche se questa scelta impone di includere nel club delle scale musicali anche "cose" che qualsiasi musicista, ragionevolmente, si rifiuterebbe di considerare scale.

Seconda precisazione: in un commento alla seconda parte del post, un lettore obiettava che la mia classificazione non comprende alcune scale molto comuni: ad esempio la scala minore melodica, che è diversa in fase ascendente e in fase discendente.
In realtà stiamo qui parlando di due scale diverse. La scala minore melodica ascendente è infatti una scala eptafonica associata, come le più note scale maggiori e minori (naturale), a una delle 21 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2), precisamente la permutazione (2, 1, 2, 2, 2, 2, 1). La scala minore melodica discendente è una scala eptafonica associata ad un'altra delle 21 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2): la permutazione (2, 1, 2, 2, 1, 2, 2)
Anche qui il punto di vista musicale si distanzia da quello matematico: quello che i musicisti, per motivi assai legittimi, considerano come una medesima scala, declinata nelle sue versioni ascendente e discendente, viene visto matematicamente come una coppia di scale completamente diverse, benché associate alla stessa cardinalità (7) e anche alla stessa partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2).

Ed eccomi alla "piccola "scoperta". Ricordate la tabellina, riportata all'inizio della seconda parte, che restituisce il numero di possibili scale in funzione del numero di note costitutive? Ebbene, passando dal caso "degenere" di una sola nota al caso schönberghiano di 12 note, i numeri che si incontrano sono, rispettivamente, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1.

Già il fatto che in questa sequenza si parta da 1, si salga fino a 462 e poi, in maniera perfettamente speculare, si ridiscenda a 1 appare come una meravigliosa coincidenza.
Ma c'è qualcosa di ancora più sorprendente: i numeri di questa sequenza sono esattamente i numeri che costituiscono la dodicesima riga del famoso "triangolo di Pascal", più noto in Italia come "triangolo di Tartaglia".

Mi sembra di sentire le voci dei miei lettori: "Ah, sì, il triangolo di Tartaglia! Me lo ricordo, l'ho studiato al liceo. Ma non mi ricordo più come si costruisce, e tantomeno a che cosa serve..."
Come si costruisce il triangolo è presto detto. La prima riga è formata dal solo numero 1, mentre ogni numero delle righe inferiori è generato come somma dei due numeri superiori. Se il numero si trova ad uno degli estremi della riga, ed è quindi sovrastato soltanto da un 1, è anch'esso semplicemente un 1.
Ma a cosa serve questo strano triangolo? L'utilizzo più frequente è legato alla determinazione dei coefficienti dello sviluppo di un binomio (a+b) elevato a una potenza qualsiasi.
Se devo calcolare (a+b) elevato alla 12, trovo la dodicesima riga del triangolo (quella che inizia con 1, 11, 55, ...) e leggo i numeri che la formano: ecco, questi sono i coefficienti che mi servono.
Il matematico bresciano Nicolò Fontana, detto il Tartaglia per la sua balbuzie, descrisse il celebre triangolo nel suo General trattato di numeri et misure che uscì nel del 1556: molto prima del Traité du triangle arithmétique di Blaise Pascal, pubblicato nel 1665. Eppure, al di fuori dell'Italia, il triangolo dei coefficienti delle potenze del binomio viene chiamato triangolo di Pascal. La cosa strana è che Pascal fu l'ultimo di una lunga serie di matematici che si interessarono all'argomento: prima di lui ci fu Tartaglia, certo, ma anche il buon bresciano non fu un vero pioniere del triangolo, dato che nei secoli precedenti questo oggetto era stato già descritto e analizzato da matematici indiani, persiani, cinesi e tedeschi.

Tornando alla musica, accennavo poco fa che i numeri che quantificano le possibili scale, in funzione del numero di note costitutive della scala, si trovano disposti in bella evidenza sulla dodicesima riga del triangolo.
Perché proprio la dodicesima? Bè, è evidente: abbiamo ricavato le scale dalle partizioni del numero 12, cioè dai possibili modi di scrivere il 12 come somma di interi positivi. E questo non per un mio sfizio arbitrario, ma per il fatto che il sistema equabile suddivide l'ottava in 12 semitoni uguali. Se i semitoni di un'ottava fossero stati 8, saremmo ricaduti nella nona riga del celebre triangolo: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. E così via.

Non deve stupire che il triangolo di Tartaglia racchiuda in sé questa sequenza numerica di interesse musicale.

Non so se questa connessione tra musica e matematica sia stata già osservata da altri in precedenza. Ma è un dato di fatto che il triangolo di Tartaglia sia una miniera di infinite regolarità e sorprendenti connessioni.
La fascinazione di Tartaglia per il "suo" triangolo, così come quella di Pascal e di molti altri ricercatori, fu proprio legata all'inaspettata ricchezza che si sprigiona dalle righe del triangolo: numeri triangolari, tetraedrici, pentatopici, poligonali, di Fibonacci, di Catalan, si possono trovare tutti all'interno del triangolo (sapendoli cercare, ovvio). E perfino i frattali sono connessi a questa semplice struttura.

Ma non divaghiamo: quando si comincia a navigare tra i numeri del triangolo di Tartaglia il rischio di perdersi, di naufragare e di approdare a chissà quale costa è molto alto, mentre la "piccola "scoperta" di cui volevo parlarvi riguardava soltanto un legame tra le scale musicali e i numeri del triangolo. E' una piccola e semplice connessione, anche se a me pare davvero meravigliosa.

Quante scale musicali esistono? (seconda parte)

Nella prima parte di questo post ho raccontato come sia possibile "contare" le scale musicali possibili. Il conteggio finale è contenuto nella tabella che ho riportato alla fine del post precedente, e che per comodità ripropongo di seguito: le scale in tutto risultano essere 2048.

La "cardinalità" di una scala, cioè il numero di note che essa contiene, può variare tra 1 e 12, perché 12 sono i semitoni di un'ottava, ovvero gli intervalli più piccoli ammessi dal sistema occidentale equabile.
Per ogni possibile cardinalità della scala, come ho mostrato nella prima parte, esiste un certo numero di possibili partizioni del 12, ovvero modi di sommare più numeri per ottenere un totale di 12, il che equivale a dire che esiste un certo numero di modi di suddividere l'ottava in più intervalli, ciascuno formato da uno o più semitoni. Per complicare le cose, da ogni partizione possono derivare, in generale, più note, perché è importante anche l'ordine in cui si succedono gli intervalli che suddividono l'ottava.

Per esempio, abbiamo un'unica scala costituita da una nota, che naturalmente è di ben scarso interesse pratico:

Con due suoni abbiamo invece 6 possibili partizioni, e 11 scale in tutto:

Le scale di tre note sono in tutto 55, e originano da 12 possibili partizioni:

Esistono poi 15 partizioni di cardinalità 4, e le scale possibili sono in tutto 165:

Con un numero di note compreso tra 1 e 4 possiamo costruire scale il cui valore musicale è abbastanza limitato. Potendo invece disporre di cinque suoni possiamo finalmente costruire qualcosa di molto più interessante. In tutto le partizioni sono 13, e le scale possibili 330:

Per esempio la scala pentatonica cinese, caratterizzata dagli intervalli (2, 2, 3, 2, 3), rappresenta una delle 10 permutazioni dell'ultima partizione indicata.

Anche le scale di sei note sono musicalmente molto importanti. In questo caso abbiamo 11 partizioni e 462 scale possibili:

In questa famiglia rientra, per esempio, la scala esatonale di Debussy (di cui ho parlato su Radio 3 Scienza nel 2012): essa corrisponde alla partizione (2, 2, 2, 2, 2, 2), che ammette un'unica permutazione. Anche la scala blues è formata da sei note: essa è caratterizzata dagli intervalli 3, 2, 1, 1, 3, 2, che derivano da una delle 90 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 3, 3).

Le scale eptafoniche, formate cioè da sette note, sono le più usate nella tradizione musicale occidentale moderna. Anche in questo caso abbiamo 462 scale possibili, ma le partizioni di origine sono 7:

Particolare importanza assumono le scale associate alle 21 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2): due di esse, corrispondenti alle permutazioni (2, 2, 1, 2, 2, 2, 1) e (2, 1, 2, 2, 1, 2, 2), prendono rispettivamente il nome di scala diatonica maggiore e scala diatonica minore. Quasi tutta la musica che avete finora ascoltato si basa su queste due scale. Tutte le altre 2046 scale sono di gran lunga meno utilizzate.

Scale formate da otto note sono state impiegate nel Novecento da molti compositori colti e da jazzisti. In tutto abbiamo 5 partizioni e 330 scale possibili:

Una di esse è la cosiddetta scala alternata, associata alla permutazione (2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1), una delle 70 possibili della partizione (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2).

Con nove note le partizioni scendono a 3, per un totale di 165 scale:

Le scale di dieci note sono in tutto 55, derivanti da 2 possibili partizioni:

Con undici note abbiamo una sola partizioni e 11 scale possibili:

Infine, volendo impiegare tutte e 12 le note di un'ottava, abbiamo una sola scala possibile: la scala cromatica o dodecafonica, tanto cara a Shoenberg e ai suoi adepti:

Tuttavia, come facevo notare, il conteggio che ho effettuato, e che ci ha portato al numero complessivo di 2048, non tiene conto del fatto che ogni scala può, a sua volta, essere trasposta da un'ottava di riferimento a un'altra, il che moltiplicherebbe di molto il numero di scale possibili.

Prendiamo una scala qualsiasi, per esempio quella associata alla partizione 12 = 6 + 6, che abbiamo visto essere una soltanto. Supponiamo che la nostra ottava di riferimento sia quella che inizia con il do centrale del pianoforte (che chiamerò Do4, per indicare che appartiene all'ottava del pianoforte convenzionalmente etichettata con il numero 4). La nostra scala di due note sarà quindi formata dal Do4 e dalla nota che si trova 6 semitoni più in alto, cioè il Fa#4.
Cosa succede se l'ottava di riferimento viene traslata di un semitono verso l'acuto? Le due note della scala saranno il Do#4 e il Sol4. E se l'ottava di riferimento fosse invece esattamente un'ottava più in alto rispetto al primo caso? Le note diventerebbero Do5 e Fa#5: i nomi delle note sono gli stessi del primo caso, ma all'ottava superiore.

Quale conclusione possiamo trarre da questi ragionamenti? Ognuna delle 2048 scale può essere agganciata a una arbitraria ottava, ragion per cui il numero reale delle possibili scale dovrebbe essere 2048 moltiplicato per il numero di note possibili, o per lo meno per il numero delle note che possiamo suonare su un pianoforte.
Il numero che otterremmo in questo modo sarebbe davvero molto grande. Per fortuna possiamo ridurre questa quantità assumendo per convenzione che note caratterizzate dallo stesso nome (benché su ottave diverse) vengono considerate la stessa nota: grazie a tale ipotesi, la prima e la seconda scala descritte poco sopra (Do4 - Fa#4 e Do#4 - Sol4) sono effettivamente scale diverse, mentre la terza scala (Do5 - Fa#5) viene considerata equivalente alla prima, anche se traslata di un'ottava.
Questo sembra autorizzarci ad affermare che il numero reale delle possibili scale musicali è dato semplicemente da 2048 moltiplicato per 12 (che sono le note comprese all'interno di una singola ottava), cioè da 24576. Ma siamo certi della correttezza di questa conclusione?

Analizziamo meglio la questione. Riconsideriamo la scala vista prima, corrispondente alla partizione 12 = 6 + 6, cioè la scala Do4 - Fa#4. Se la trasponiamo di 6 semitoni più in alto, otteniamo la scala Fa#4 - Do5. Dato che abbiamo stabilito convenzionalmente che Do5 e Do4 sono la stessa nota, abbiamo in realtà ritrovato la scala di partenza, cioè Do4 - Fa#4.
Questo significa che non necessariamente ognuna delle 2048 scale genera 12 scale distinte, perché in alcuni casi (come quello appena visto) tra le 12 traslazioni si trovano dei doppioni, cioè si incontra più volte la stessa scala.

Il fenomeno matematico che ho descritto è strettamente legato ai "modi a trasposizione limitata" studiati da Olivier Messiaen. In generale, un modo a trasposizione limitata è una scala, cioè un insieme di note di un'ottava, che rimane invariato se le note costitutive vengono tutte trasposte verso l'alto o verso il basso di un certo numero di semitoni.

Si può facilmente dimostrare che questa proprietà viene soddisfatta da una scala se e solo se essa è associata a una partizione dell'ottava in cui gli intervalli sono raggruppati in parti uguali dell'ottava stessa.
Per esempio, la partizione 12 = 6 + 6, come abbiamo visto, dà sicuramente origine a un modo a trasposizione limitata, e in effetti ci troviamo in presenza di due parti uguali dell'ottava.
Ma otteniamo ugualmente modi a trasposizione limitata se al posto di uno o di entrambi i 6 mettiamo un gruppo di intervalli che copre complessivamente sei semitoni, ovvero 1+5, 5+1, 2+4, 4+2, 1+4+1, 1+1+4, 4+1+1, 1+3+2, 3+2+1, 2+1+3, 1+2+3, 2+3+1, 3+1+2, 2+2+1+1, 1+1+2+2, 1+2+2+1, 1+2+1+2, 2+1+2+1, 2+1+1+2, 1+1+3+1, 1+1+1+3, 1+3+1+1, 3+1+1+1, 1+1+1+2+1, 1+1+1+1+2, 1+1+2+1+1, 1+2+1+1+1, oppure 2+1+1+1+1.
Le altre partizioni che generano modi a trasposizione limitata sono le seguenti:

• 12 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1;12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
• 12 = 3 + 3 + 3 + 3, e tutte le altre partizioni che si possono ottenere da questa sostituendo uno o più 3 con 1+2, o con 2+1;
• 12 = 4 + 4 + 4, e tutte le altre partizioni che si possono ottenere da questa sostituendo uno o più 4 con 1+3, o con 3+1, o con 2+1+1, o con 1+2+1, o con 1+1+2;
• 12 = 12.

Tra tutte queste scale, matematicamente a trasposizione limitata, nel suo libro "Technique de mon langage musical", Messiaen evidenziò le sette da lui preferite, che meglio si adattavano alla sua sensibilità compositiva:

• Primo modo: 12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 (2 trasposizioni possibili)

• Secondo modo: 12 = 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 oppure 12 = 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 (3 trasposizioni possibili)

• Terzo modo: 12 = 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 (4 trasposizioni possibili)

• Quarto modo: 12 = 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 (6 trasposizioni possibili)

• Quinto modo: 12 = 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 oppure 12 = 1 + 4 + 1 + 1 + 4 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 (6 trasposizioni possibili)

• Sesto modo: 12 = 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 oppure 12 = 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 oppure 12 = 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 oppure 12 = 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 (6 trasposizioni possibili)

• Settimo modo: 12 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 (6 trasposizioni possibili)

Di seguito i sette modi a trasposizione limitata di Messiaen sono mostrati tramite notazione musicale:

Dalle considerazioni esposte in questi due post, così pure come in quello che pubblicai qualche tempo fa, appare chiaro quanto forte sia stato il legame tra Olivier Messiaen e la matematica. Non sorprenderà quindi scoprire che il compositore francese era amico dei fratelli Cartan, in particolare Jean, anche lui compositore, ed Henri, illustre matematico.

Henri Cartan, uno dei componenti del gruppo di matematici francesi che nel secolo scorso utilizzarono il nome fittizio e illustre di Nicolas Bourbaki, morì nel 2008 alla veneranda età di 104 anni, mentre il fratello Jean ebbe un destino diametralmente opposto: si spense giovanissimo nel 1932, a causa della tubercolosi.

La foto a lato mostra la famiglia Cartan al completo: in piedi il padre dei Cartan, Élie Joseph Cartan, anche lui matematico, quindi Henri Cartan e la madre; in primo piano, il fratelli Louis, Helene (che diventò anche lei matematica) e Jean.