Quante scale musicali esistono? (seconda parte)

Nella prima parte di questo post ho raccontato come sia possibile "contare" le scale musicali possibili. Il conteggio finale è contenuto nella tabella che ho riportato alla fine del post precedente, e che per comodità ripropongo di seguito: le scale in tutto risultano essere 2048.

La "cardinalità" di una scala, cioè il numero di note che essa contiene, può variare tra 1 e 12, perché 12 sono i semitoni di un'ottava, ovvero gli intervalli più piccoli ammessi dal sistema occidentale equabile.
Per ogni possibile cardinalità della scala, come ho mostrato nella prima parte, esiste un certo numero di possibili partizioni del 12, ovvero modi di sommare più numeri per ottenere un totale di 12, il che equivale a dire che esiste un certo numero di modi di suddividere l'ottava in più intervalli, ciascuno formato da uno o più semitoni. Per complicare le cose, da ogni partizione possono derivare, in generale, più note, perché è importante anche l'ordine in cui si succedono gli intervalli che suddividono l'ottava.

Per esempio, abbiamo un'unica scala costituita da una nota, che naturalmente è di ben scarso interesse pratico:

Con due suoni abbiamo invece 6 possibili partizioni, e 11 scale in tutto:

Le scale di tre note sono in tutto 55, e originano da 12 possibili partizioni:

Esistono poi 15 partizioni di cardinalità 4, e le scale possibili sono in tutto 165:

Con un numero di note compreso tra 1 e 4 possiamo costruire scale il cui valore musicale è abbastanza limitato. Potendo invece disporre di cinque suoni possiamo finalmente costruire qualcosa di molto più interessante. In tutto le partizioni sono 13, e le scale possibili 330:

Per esempio la scala pentatonica cinese, caratterizzata dagli intervalli (2, 2, 3, 2, 3), rappresenta una delle 10 permutazioni dell'ultima partizione indicata.

Anche le scale di sei note sono musicalmente molto importanti. In questo caso abbiamo 11 partizioni e 462 scale possibili:

In questa famiglia rientra, per esempio, la scala esatonale di Debussy (di cui ho parlato su Radio 3 Scienza nel 2012): essa corrisponde alla partizione (2, 2, 2, 2, 2, 2), che ammette un'unica permutazione. Anche la scala blues è formata da sei note: essa è caratterizzata dagli intervalli 3, 2, 1, 1, 3, 2, che derivano da una delle 90 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 3, 3).

Le scale eptafoniche, formate cioè da sette note, sono le più usate nella tradizione musicale occidentale moderna. Anche in questo caso abbiamo 462 scale possibili, ma le partizioni di origine sono 7:

Particolare importanza assumono le scale associate alle 21 permutazioni della partizione (1, 1, 2, 2, 2, 2, 2): due di esse, corrispondenti alle permutazioni (2, 2, 1, 2, 2, 2, 1) e (2, 1, 2, 2, 1, 2, 2), prendono rispettivamente il nome di scala diatonica maggiore e scala diatonica minore. Quasi tutta la musica che avete finora ascoltato si basa su queste due scale. Tutte le altre 2046 scale sono di gran lunga meno utilizzate.

Scale formate da otto note sono state impiegate nel Novecento da molti compositori colti e da jazzisti. In tutto abbiamo 5 partizioni e 330 scale possibili:

Una di esse è la cosiddetta scala alternata, associata alla permutazione (2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1), una delle 70 possibili della partizione (1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2).

Con nove note le partizioni scendono a 3, per un totale di 165 scale:

Le scale di dieci note sono in tutto 55, derivanti da 2 possibili partizioni:

Con undici note abbiamo una sola partizioni e 11 scale possibili:

Infine, volendo impiegare tutte e 12 le note di un'ottava, abbiamo una sola scala possibile: la scala cromatica o dodecafonica, tanto cara a Shoenberg e ai suoi adepti:

Tuttavia, come facevo notare, il conteggio che ho effettuato, e che ci ha portato al numero complessivo di 2048, non tiene conto del fatto che ogni scala può, a sua volta, essere trasposta da un'ottava di riferimento a un'altra, il che moltiplicherebbe di molto il numero di scale possibili.

Prendiamo una scala qualsiasi, per esempio quella associata alla partizione 12 = 6 + 6, che abbiamo visto essere una soltanto. Supponiamo che la nostra ottava di riferimento sia quella che inizia con il do centrale del pianoforte (che chiamerò Do4, per indicare che appartiene all'ottava del pianoforte convenzionalmente etichettata con il numero 4). La nostra scala di due note sarà quindi formata dal Do4 e dalla nota che si trova 6 semitoni più in alto, cioè il Fa#4.
Cosa succede se l'ottava di riferimento viene traslata di un semitono verso l'acuto? Le due note della scala saranno il Do#4 e il Sol4. E se l'ottava di riferimento fosse invece esattamente un'ottava più in alto rispetto al primo caso? Le note diventerebbero Do5 e Fa#5: i nomi delle note sono gli stessi del primo caso, ma all'ottava superiore.

Quale conclusione possiamo trarre da questi ragionamenti? Ognuna delle 2048 scale può essere agganciata a una arbitraria ottava, ragion per cui il numero reale delle possibili scale dovrebbe essere 2048 moltiplicato per il numero di note possibili, o per lo meno per il numero delle note che possiamo suonare su un pianoforte.
Il numero che otterremmo in questo modo sarebbe davvero molto grande. Per fortuna possiamo ridurre questa quantità assumendo per convenzione che note caratterizzate dallo stesso nome (benché su ottave diverse) vengono considerate la stessa nota: grazie a tale ipotesi, la prima e la seconda scala descritte poco sopra (Do4 - Fa#4 e Do#4 - Sol4) sono effettivamente scale diverse, mentre la terza scala (Do5 - Fa#5) viene considerata equivalente alla prima, anche se traslata di un'ottava.
Questo sembra autorizzarci ad affermare che il numero reale delle possibili scale musicali è dato semplicemente da 2048 moltiplicato per 12 (che sono le note comprese all'interno di una singola ottava), cioè da 24576. Ma siamo certi della correttezza di questa conclusione?

Analizziamo meglio la questione. Riconsideriamo la scala vista prima, corrispondente alla partizione 12 = 6 + 6, cioè la scala Do4 - Fa#4. Se la trasponiamo di 6 semitoni più in alto, otteniamo la scala Fa#4 - Do5. Dato che abbiamo stabilito convenzionalmente che Do5 e Do4 sono la stessa nota, abbiamo in realtà ritrovato la scala di partenza, cioè Do4 - Fa#4.
Questo significa che non necessariamente ognuna delle 2048 scale genera 12 scale distinte, perché in alcuni casi (come quello appena visto) tra le 12 traslazioni si trovano dei doppioni, cioè si incontra più volte la stessa scala.

Il fenomeno matematico che ho descritto è strettamente legato ai "modi a trasposizione limitata" studiati da Olivier Messiaen. In generale, un modo a trasposizione limitata è una scala, cioè un insieme di note di un'ottava, che rimane invariato se le note costitutive vengono tutte trasposte verso l'alto o verso il basso di un certo numero di semitoni.

Si può facilmente dimostrare che questa proprietà viene soddisfatta da una scala se e solo se essa è associata a una partizione dell'ottava in cui gli intervalli sono raggruppati in parti uguali dell'ottava stessa.
Per esempio, la partizione 12 = 6 + 6, come abbiamo visto, dà sicuramente origine a un modo a trasposizione limitata, e in effetti ci troviamo in presenza di due parti uguali dell'ottava.
Ma otteniamo ugualmente modi a trasposizione limitata se al posto di uno o di entrambi i 6 mettiamo un gruppo di intervalli che copre complessivamente sei semitoni, ovvero 1+5, 5+1, 2+4, 4+2, 1+4+1, 1+1+4, 4+1+1, 1+3+2, 3+2+1, 2+1+3, 1+2+3, 2+3+1, 3+1+2, 2+2+1+1, 1+1+2+2, 1+2+2+1, 1+2+1+2, 2+1+2+1, 2+1+1+2, 1+1+3+1, 1+1+1+3, 1+3+1+1, 3+1+1+1, 1+1+1+2+1, 1+1+1+1+2, 1+1+2+1+1, 1+2+1+1+1, oppure 2+1+1+1+1.
Le altre partizioni che generano modi a trasposizione limitata sono le seguenti:

• 12 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1;12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
• 12 = 3 + 3 + 3 + 3, e tutte le altre partizioni che si possono ottenere da questa sostituendo uno o più 3 con 1+2, o con 2+1;
• 12 = 4 + 4 + 4, e tutte le altre partizioni che si possono ottenere da questa sostituendo uno o più 4 con 1+3, o con 3+1, o con 2+1+1, o con 1+2+1, o con 1+1+2;
• 12 = 12.

Tra tutte queste scale, matematicamente a trasposizione limitata, nel suo libro "Technique de mon langage musical", Messiaen evidenziò le sette da lui preferite, che meglio si adattavano alla sua sensibilità compositiva:

• Primo modo: 12 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 (2 trasposizioni possibili)

• Secondo modo: 12 = 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 oppure 12 = 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 (3 trasposizioni possibili)

• Terzo modo: 12 = 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 (4 trasposizioni possibili)

• Quarto modo: 12 = 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 3 (6 trasposizioni possibili)

• Quinto modo: 12 = 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 oppure 12 = 1 + 4 + 1 + 1 + 4 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 (6 trasposizioni possibili)

• Sesto modo: 12 = 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 oppure 12 = 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 oppure 12 = 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 oppure 12 = 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 (6 trasposizioni possibili)

• Settimo modo: 12 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 oppure 12 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 (6 trasposizioni possibili)

Di seguito i sette modi a trasposizione limitata di Messiaen sono mostrati tramite notazione musicale:

Dalle considerazioni esposte in questi due post, così pure come in quello che pubblicai qualche tempo fa, appare chiaro quanto forte sia stato il legame tra Olivier Messiaen e la matematica. Non sorprenderà quindi scoprire che il compositore francese era amico dei fratelli Cartan, in particolare Jean, anche lui compositore, ed Henri, illustre matematico.

Henri Cartan, uno dei componenti del gruppo di matematici francesi che nel secolo scorso utilizzarono il nome fittizio e illustre di Nicolas Bourbaki, morì nel 2008 alla veneranda età di 104 anni, mentre il fratello Jean ebbe un destino diametralmente opposto: si spense giovanissimo nel 1932, a causa della tubercolosi.

La foto a lato mostra la famiglia Cartan al completo: in piedi il padre dei Cartan, Élie Joseph Cartan, anche lui matematico, quindi Henri Cartan e la madre; in primo piano, il fratelli Louis, Helene (che diventò anche lei matematica) e Jean.