La top ten dei miei video su Youtube (5° posto)

Continua la scalata alla classifica dei video più popolari del mio canale "Paolo Alessandrini - Matematica".

Il quinto posto è occupato da "Misteri matematici - Cantor, l'uomo che svelò il mistero dell'infinito", del 14 marzo 2023, con 7378 visualizzazioni. 

Questo video è al momento l'ultimo arrivato della serie "Misteri matematici": visto che parliamo di un contenuto vecchio ormai di quasi un anno, direi che è urgente che ne realizzi uno nuovo per questa serie!
Aggiungo che questo video ha partecipato alla bella iniziativa @peopleformath ideata e coordinata da Ilaria Fanelli.  

Q

Come costruire un libro infinito (terza parte)

Jean Paul Delahaye

Per chi si fosse perso le prime due puntate di questo blog multiplo sui libri infiniti, ecco la prima e la seconda. Nella seconda parte accennavo alle caratteristiche paradossali di alcuni dei libri descritti da Jean Paul Delahaye.

Per esempio, aprendo a caso il libro Q, legato all'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 e 1, troviamo con certezza due pagine nere a sinistra e a destra: questo volume sembra possedere più pagine nere-abisso del libro R, associato all'insieme dei numeri reali inclusi nello stesso intervallo.

Possiamo costruire un altro libro alquanto bizzarro togliendo al libro Q la prima e l'ultima pagina: il libro Q' che otteniamo sembra non contenere alcuna pagina stampata, quando invece ne contiene infinite.
D'altro canto, un libro infinito non può essere privo di pagine leggibili: anzi, per definizione, ne deve contenere in quantità infinita. Le pagine stampate del libro Q', infatti, ci sono, e sono appunto infinite, ma non è possibile trovarle aprendo il libro: sono, paradossalmente, pagine segrete, del tutto impenetrabili ai nostri occhi.

Anche il libro R è, a modo suo, paradossale. Aprendolo a caso, come abbiamo già visto, troviamo una pagina nero-abisso e una pagina leggibile. Ogni pagina stampata, in effetti, è sempre preceduta e seguita da pagine nere: i testi del libro sono tutti isolati e sconnessi gli uni dagli altri.

Una versione tridimensionale dell'insieme di Cantor

Un altro libro infinito paradossale riflette la struttura del frattale noto come "insieme di Cantor". Partendo dall'intervallo [0, 1], lo si divide in tre parti uguali e si scarta quella centrale. Quindi, per ciascuno degli intervalli rimasti, si ripete il procedimento, e così via ad infinitum.
Questo processo di eliminazione continua produce, al limite, un insieme che si dimostra essere di misura nulla e tuttavia formato da un'infinità di numeri. Non solo: si tratta di un'infinità non numerabile.
Detto diversamente: le pagine del libro di Cantor, che chiamiamo C, sono infinite  quanto i numeri reali, e non soltanto come i numeri interi. Aprendo il libro a caso, si trovano sempre due pagine stampate, ma subito prima e subito dopo vi sono pagine nere. Il libro è molto strano: sembra essere composto da coppie di pagine leggibili, isolate e circondate da pagine nere-abisso. Come il libro R, con la differenza che ogni pagina isolata è stata, per così dire, sdoppiata. Ma anche questo è paradossale, perché in realtà C ha meno pagine di R.

Questa ubriacatura di libri paradossali fa venire alla mente il paradosso del bibliotecario. In una grande biblioteca venivano prodotti molti cataloghi del posseduto: uno elencava i libri in italiano, un altro quelli in inglese, un altro ancora i volumi di matematica, e così via. I cataloghi venivano classificati dal bibliotecario come libri ordinari, e come tali erano disposti sui normali scaffali della biblioteca e catalogati al pari degli altri volumi.
Un giorno il bibliotecario si accorse che alcuni dei cataloghi erano elencati in se stessi (per esempio l'elenco dei volumi in italiano e quello dei volumi stampati nell'anno in corso), e altri (per esempio quello dei libri in inglese e quello dei libri di matematica) non lo erano. Per approfondire la curiosa questione, il bibliotecario decise allora di stilare due ulteriori cataloghi: quello dei cataloghi  elencati in se stessi e quello dei cataloghi non elencati in se stessi. I problemi del bibliotecario iniziarono non appena si domandò se quest'ultimo volume dovesse o no includere se stesso.
Infatti, supponiamo che il catalogo dei cataloghi non elencati in se stessi contenga anche se stesso: ma allora il catalogo stesso è elencato in se stesso, e come tale non dovrebbe comparire nella sua stessa lista. Viceversa, supponiamo che questo elenco non contenga se stesso: se ciò accade, si tratta di un catalogo che dovrebbe comparire nella lista dei cataloghi non elencati in se stessi, quindi l'elenco dovrebbe autoincludersi.
Non c'è via d'uscita: siamo di fronte a un paradosso, un po' come quello del famoso barbiere di Russell o quello del mentitore cretese.

A parte il carattere paradossale, cosa c'entra la storiella del bibliotecario con i libri infiniti? Nella versione classica, che è quella che ho raccontato, nulla. Ma esiste una versione alternativa della storia ambientata in una biblioteca che comprende tutti i libri possibili: anche quelli mai esistiti, impossibili, impensabili. In una simile vertiginosa e infinita biblioteca, anche il fatidico catalogo dei cataloghi non elencati in se stessi, per quanto contraddittorio, deve essere presente.

Da http://www.vallesabbianews.it

Qui a essere infinito non è il singolo libro, ma la biblioteca, e parlando di biblioteche infinite non può non tornare in mente La biblioteca di Babele. Non a caso, in questo racconto Borges allude un paio di volte al paradosso del bibliotecario:

Come tutti gli uomini della Biblioteca, in gioventù io ho viaggiato; ho peregrinato in cerca di un libro, forse del catalogo dei cataloghi; ora che i miei occhi quasi non possono decifrare ciò che scrivo, mi preparo a morire a poche leghe dall'esagono in cui nacqui.

Non vi sono, nella vasta Biblioteca, due soli libri identici. (…) i suoi scaffali registrano tutte le possibili combinazioni dei venticinque simboli ortografici (numero, anche se vastissimo, non infinito), cioè tutto ciò che è dato di esprimere in tutte le lingue. Tutto: la storia minuziosa dell’avvenire, le autobiografie degli arcangeli, il catalogo fedele della Biblioteca, migliaia e migliaia di cataloghi falsi, la dimostrazione della falsità di questi cataloghi, la dimostrazione della falsità del catalogo autentico, (…)

D'accordo, nella Biblioteca di Babele si parla di una biblioteca infinita, ma, come già ricordato nella prima parte di questo post, è Borges stesso a osservare come una biblioteca infinita sia perfettamente equivalente a un unico libro infinito, formato da un numero infinito di fogli infinitamente sottili.
Anche un libro infinito, come quelli descritti da Delahaye, potrebbe ospitare in sè tutti i libri della Biblioteca di Babele, i suoi cataloghi, i cataloghi dei cataloghi, e così via.
La questione interessante, sostiene il matematico francese, consiste casomai nell'analizzare i diversi modi in cui un libro infinito può contenere informazione. Da questo punto di vista, Delahaye individua quattro diverse tipologie di libro infinito:
1. libri infiniti in cui ogni pagina contiene un numero fisso di caratteri (o pixel di immagini);
2. libri infiniti in cui ogni pagina contiene un numero finito ma variabile di caratteri (o pixel di immagini);
3. libri infiniti in cui ogni pagina contiene una infinità numerabile di caratteri (o pixel di immagini);
4. libri infiniti in cui ogni pagina è assimilabile a una porzione del piano cartesiano, sulla quale si possono disegnare testi e immagini in modo infinitamente fine.
Ciascuna di queste famiglie di libro infinito è caratterizzata da situazioni e conseguenze diverse, che Delahaye sviscera in dettaglio.
E qui mi fermo, stavolta definitivamente. Il lettore troverà senz'altro ulteriori spunti di approfondimento sul citato libro di Delahay, e ovviamente anche sui testi letterari da me citati in questi tre post.
Ve lo posso assicurare: sono tutti libri finiti, quindi li potete leggere dall'inizio alla fine tranquillamente, senza pericolo di perdervi nei vertiginosi meandri dell'infinito.

Come costruire un libro infinito (seconda parte)

Nella prima parte di questo post (uscita ormai più d'un mese fa: perdonatemi il ritardo con cui esce questa sezione finale), riportavo l'"assioma dei libri infiniti" così come formulato da Jean Paul Delahaye:

ogni sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1] dei numeri reali compresi fra 0 e 1 determina un libro infinito anch'esso chiamato E. A ciascun elemento x di E corrisponde un foglio x del libro E. Se x e y sono due elementi di E e x<y, allora il foglio associato a x si trova, nel libro E, davanti al foglio associato a y.

Ciascuno dei libri infiniti che rispettano l'assioma di Delahaye è quindi associato a un sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1].
Ovviamente questa ipotesi è piuttosto difficile da immaginare, perché stiamo parlando di sottoinsieme infiniti, e ciò significa che dobbiamo figurarci nella mente fogli infinitamente sottili, cosa non certo intuitiva.
D'altra parte, fa notare Delahaye nel suo libro (che, per inciso, non è infinito), non si capisce perché  fogli di spessore infinitesimale debbano essere più assurdi rispetto a istanti di tempo di durata infinitesimale, che in fisica sono del tutto normali.

Come la mettiamo però con il fatto che ogni foglio ha due facce, cioè due pagine? È presto detto. Se x è il numero reale appartenente all'intervallo [0,1], la pagina anteriore, cioè il recto, sarà associata a un numero indicato come x^_, mentre la pagina posteriore, cioè il retro, sarà legata a un numero denotato come x⁺.

Prendiamo ora E oppure una sua parte (ovvero un plico di fogli del nostro libro infinito). Tale insieme avrà un estremo inferiore inf(E) e un estremo superiore sup(E). Può accadere che l'estremo inferiore appartenga a E, oppure no. E analogamente per l'estremo superiore.
Per esempio, consideriamo il libro infinito associato all'insieme A = {..., 1/n, ..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1}. L'estremo superiore di questo insieme è uguale a 1: dato che esso appartiene all'insieme A stesso, lo chiamiamo massimo di A.
L'estremo inferiore è invece 0, ma questo numero non fa parte di A, e quindi possiamo dire che A non ha un minimo.
Quali sono le conseguenze per il nostro libro infinito? Visto da sopra, il libro non presenta una pagina specifica, cosa che accadrebbe se invece l'insieme A avesse un minimo. Per convenzione, Delahaye immagina che il plico di fogli appaia completamente nero, o, più poeticamente, nero-abisso, come se l'insieme infinito di fogli sottostanti producesse, a causa della trasparenza della carta, una sorta di infinita sovrapposizione del contenuto nero stampato.
In altre parole, nessuna pagina è la prima pagina di questo mostruoso libro infinito. Un'ultima pagina, invece, ce l'ha, ed è la pagina associata al numero 1⁺.

Delahaye suggerisce che, quando il lettore trova, in un punto qualsiasi del libro, una pagina stampata, sulla sinistra o sulla destra, può sempre umettarsi leggermente il dito e voltare la pagina: all'indietro se si tratta di una pagina sulla sinistra, o in avanti se si tratta di una pagina sulla destra. Detto altrimenti, il lettore può staccare la pagina dal plico cui appartiene, osservandone la parte opposta.
Torniamo al nostro libro A. Umettando ripetutamente il dito e andando dall'ultima pagina a ritroso verso l'inizio, si sfilano in sequenza le pagine 1⁺ , 1^_ , 1/2⁺, 1/2^_, 1/3⁺, 1/3^_, ... Tutte queste pagine appaiono stampate, cioè non sono nero-abisso. Solo la copertina iniziale è completamente nera: possiamo immaginare che le pagine, mano a mano che ci si avvicina all'inizio, diventino sempre più sottili, tendendo all'infinitamente sottile!

Il libro A sembra quindi un supporto perfetto per una storia che ha un finale ma che non ha un inizio preciso.
Viceversa, un libro complementare ad A è un libro che inizia ma non finisce: per esempio il libro infinito associato all'insieme B ={1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}, che ha come unica pagina nero-abisso la sua ultima pagina.
Il libro A può essere modificato aggiungendo, davanti alla copertina, una pagina corrispondente allo 0: otteniamo così il libro associato a A' = {0} U {..., 1/n, ..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1}. Il primo foglio di questo libro può essere voltato inumidendo il dito, ma dopo aver compiuto questa operazione il lettore si troverà davanti la pagina 0⁺ a sinistra e una pagina nero-abisso a destra. Questa vertiginosa pagina nera nasconde in realtà l'insieme di fogli corrispondente all'insieme dei numeri reali A.

Un interessante libro infinito è quello associato all'insieme C ={..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1- 1/3, 1-1/4, 1-1/5, ...}, che presenta le due copertine completamente nere, ma nessun'altra pagina in questo volume è nero-abisso. Il foglio 1/2 si trova a metà tra un'infinità di pagine e un'altra infinità di pagine.
Come osserva Delahaye, tutto sommato si tratta di un libro infinito dalla struttura abbastanza semplice.
Un libro certamente più affascinante è quello legato all'insieme D = {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...} U {..., 1/2+1/5, .1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}. Questa volta, al centro del libro c'è un doppio accumulo di fogli: se il lettore riuscisse ad aprirlo esattamente nel mezzo, troverebbe a sinistra un plico nero-abisso corrispondente all'insieme privo di massimo {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...}, e a destra un altro plico nero-abisso corrispondente all'insieme privo di minimo {..., 1/2+1/5, .1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}.
Finché il lettore non riesce a operare questa delicata e precisissima apertura del volume, potrebbe pensare di avere a che fare con il libro corrispondente all'insieme D' = {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...} U {1/2} U {..., 1/2+1/5, 1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}.

I due libri D e D' sono topologicamente diversi, mentre può accadere che diversi insiemi infiniti corrispondano in realtà a libri indistinguibili tra loro, in quanto perfettamente equivalenti dal punto di vista topologico. Tanto per fare un esempio banale, {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...} e {2, 4, 6, ..., 2n, ...} generano libri infiniti indistinguibili l'uno dall'altro.

Il libro R è il libro infinito associato all'insieme di tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. Com'è fatto questo volume? Possedendo un minimo, 0,  e un massimo, 1, le copertine sono entrambe stampate. Tuttavia, girando la prima pagina, troveremo sulla sinistra una pagina stampata e sulla destra una pagina nero-abisso, dato che non esiste il minimo dei numeri reali positivi. In modo analogo, partendo dall'ultima pagina e tornando indietro, ci imbattiamo subito in una pagina leggibile sulla destra, e in una pagina nero-abisso sulla sinistra.
In generale, aprendo il libro a caso, scopriremo sempre, sui due lati, una pagina nero-abisso e una pagina leggibile. Il fatto che la pagina nera si trovi a sinistra o a destra dipende dal tipo di separazione che operiamo aprendo il libro casualmente. La separazione può infatti essere del tipo [0, x[ e [x, 1] oppure del tipo [0, x] e ]x, 1]. Nel primo caso troveremo la pagina nera sulla sinistra, mentre nel secondo caso la osserveremo sulla destra.

Un altro libro infinito descritto da Delahaye è quello Q, associato all'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 e 1. Com'è noto, i numeri razionali sono quelli della forma p/q, dove p e q sono numeri interi, con p compreso strettamente tra 0 e q, e q diverso da zero. 

Come accade per il libro R, anche Q ha le due copertine stampate, e quando si gira il primo foglio, oppure l'ultimo all'indietro, si trova una pagina completamente nera. Però, sfogliando il libro Q, può accadere a un certo punto di trovare entrambe le pagine di color nero-abisso. Perché? Per il fatto che alcuni sottoinsiemi superiormente limitati dell'insieme dei numeri razionali non hanno l'estremo superiore.
Questo può apparire un paradosso: il libro Q sembra presentare più pagine nere del libro R, quasi come se il libro Q fosse più infinito del libro R (cosa paradossale visto che l'insieme dei reali, che ha la potenza del continuo, è in realtà più "numeroso" dell'insieme dei razionali, che è "soltanto" numerabile).

Non solo: abbiamo visto che aprendo a caso il libro R, ci troviamo sempre a che fare con una pagina leggibile e una pagina nero-abisso. Cosa accade se invece apriamo a caso il libro Q?

Per rispondere a questa domanda, dobbiamo definire rigorosamente l'operazione di apertura a caso di un libro infinito. Tale operazione equivale a estrarre a caso un numero reale x compreso tra 0 e 1, e mettere a sinistra tutti i fogli il cui numero è minore di x, e a destra tutti i fogli il cui numero è maggiore di x. Se x stesso corrisponde a un foglio presente nel libro, si fa testa o croce per decidere se il foglio x deve essere posizionato a destra o a sinistra.

Ora, visto che i numeri razionali costituiscono una porzione trascurabile nell'insieme dei numeri reali, se apriamo a caso il libro Q, sorteggeremo con una probabilità del 100% un numero x irrazionale, il che significa che sia a destra che a sinistra vedremo il mostruoso colore nero-abisso.

Bene. Per adesso può bastare. La terza parte del post concluderà questo strano viaggio attraverso i libri senza fine: oggetti vertiginosi e paradossali, che soltanto due cose meravigliosamente folli come la matematica e la letteratura potevano concepire.

Come costruire un libro infinito (prima parte)

Da insularomana.wordpress.com

Sarà di certo capitato anche a voi di immergervi rapiti nelle pagine di un libro, divorarle con avidità e godimento e, una volta giunti alla fine, pensare: “L’unico difetto di questo libro è che è troppo breve”. Oppure: “Avrei desiderato che l’ultima pagina non arrivasse mai”. O semplicemente: “Peccato che sia finito”.

Già, perché se un libro viene finito, cioè terminato, vuol dire che è finito, cioè che non è infinito. D’altra parte, credo che né io né voi abbiamo mai avvistato libri infiniti.

Eppure, l’idea di un libro senza fine è talmente forte e densa di implicazioni affascinanti e vertiginose che molti l’hanno in qualche modo affrontata. Ma come realizzare un libro infinito?

Libri ciclici (infinito metaforico)

Esiste un trucco per farlo in modo molto semplice: con qualche artificio si fa in modo che il lettore, arrivato in fondo al libro, riparta dall’inizio. Una struttura ciclica, quindi. O, se preferite, un’applicazione libresca dei corsi e ricorsi storici di Gianbattista Vico o del concetto nietzschiano dell’eterno ritorno.
Solo che in questo modo non si realizza veramente un libro infinito, ma piuttosto un libro illimitato, un po’ come una circonferenza, che non ha inizio né fine, ma nemmeno una lunghezza infinita.
L’artificio del libro ciclico fu realmente utilizzato dallo scrittore irlandese James Joyce nella sua ultima e più complessa opera, pubblicata nel 1939 con il titolo Finnegans wake: il testo si apre infatti con la frase

riverrun, past Eve and Adam's...

che in realtà è la seconda parte della frase che conclude il libro:

A way a lone a last a loved a long the

Un altro esempio di libro ciclico lo troviamo nel romanzo La storia infinita, pubblicato nel 1979 dallo scrittore tedesco Michael Ende. Il libro ha una struttura molto complessa e una trama estremamente intricata e suggestiva. La versione cinematografica del 1984, diretta da Wolfgang Petersen, sebbene molto coinvolgente, piena di magnifici effetti speciali e impreziosita da una bella colonna sonora, sacrificava molto della ricchezza e della profondità del testo originale. Per la cronaca, Ende si inferocì dopo aver visto la pellicola, e affermò: "Auguro la peste ai produttori. M'hanno ingannato. Quello che mi hanno fatto è una sozzura a livello umano, un tradimento a livello artistico."

Nel romanzo, La storia infinita è il titolo di tre libri diversi:
1. il libro scritto da Ende, nel quale sono narrate, in color rosso rubino, le vicende del mondo reale e, in color verde-azzurro, quelle del regno di Fantàsia;
2. il libro rubato dal ragazzino Bastiano in un negozio di antiquariato, in cui sono raccontate soltanto le vicende di Fantàsia;
3. il libro scritto dal Vecchio della Montagna Vagante, in cui sono descritte, in color verde-azzurro, le vicende del mondo reale e, in color rosso rubino, quelle del regno di Fantàsia.

Michael Ende (1929-1995)
Da http://alleszeichnen.blogspot.it

Come in un gioco di scatole cinesi, il primo libro contiene il secondo, e il secondo contiene il terzo. Il terzo libro sarebbe identico al primo, se non fosse per l'inversione speculare dei colori in cui sono scritte le vicende reali e quelle del regno di Fantàsia. Verso la fine della fantasiosa e affascinante vicenda del romanzo, l'Infanta Imperatrice trova, sulla sommità di un'alta torre, la dimora del Vecchio, il quale è intento nella stesura del terzo libro.
L'Imperatrice chiede al Vecchio di leggere il libro.
Lui, pur riluttante, esegue l'ordine, innescando così la Fine Infinita, un vertiginoso ciclo ricorsivo senza fine:  tutti gli avvenimenti della Storia Infinita si ripetono, a partire dal furto del libro da parte di Bastiano.
Il ragazzino, allora, comprendendo di essere rimasto intrappolato in un loop senza fine, pronuncia il nome "Fiordiluna", che magicamente funziona come condizione di terminazione del ciclo infinito: qualcosa di analogo all'"ordine di procedere a un risveglio" nell'Abate cruento di Elio.

Anche lo scrittore argentino Jorge Luis Borges ha immaginato spesso libri pseudo-infiniti dalla struttura ciclica. Nel celebre racconto La biblioteca di Babele descrive un libro fisicamente ciclico: un gran libro circolare dalla costola continua, che gira tutto attorno alla parete di una stanza di forma circolare. Successivamente si apprenderà che questo libro ciclico è Dio.
L’immagine del volume circolare ritorna anche in un altro racconto famoso, Il giardino dei sentieri che si biforcano, che ho già citato in un vecchio post riguardante la computazione quantistica.
La vicenda narrata è quella del professore cinese Yu Tsun, spia in Inghilterra al servizio della Germania durante la prima guerra mondiale. Yu Tsun è il discendente di Ts'ui Pen, noto per avere scritto un enorme romanzo e per avere costruito un labirinto infinito, che nessuno è mai riuscito a ritrovare. Stephen Albert, uno studioso di letteratura cinese gli svela la verità, contenuta in una lettera vergata dallo stesso antenato di Yu Tsun:

Prima di ritrovare questa lettera, m'ero chiesto in che modo un libro potesse essere infinito.
Non potrei pensare che a un volume ciclico, circolare: un volume la cui ultima pagina fosse identica alla prima, con la possibilità di continuare indefinitamente.
Mi rammentai anche della notte centrale delle Mille e una notte, dove la regina Shahrazad (per una magica distrazione del copista) si mette a raccontare testualmente la storia delle Mille e una notte, a rischio di tornare un'altra volta alla notte in cui racconta, e così all'infinito. Pensai anche a un'opera platonica, ereditaria, da trasmettersi di padre in figlio, e alla quale ogni nuovo individuo avrebbe aggiunto un capitolo, emagari corretto, con zelo pietoso, le pagine dei padri. Queste congetture mi attrassero; ma nessuna sembrava corrispondere, sia pure in modo remoto, ai contraddittori capitoli di Ts'ui Pen.

Raymond Queneau (1903 – 1976)

Libri combinatori (infinito potenziale)

Alla fine Albert svela la verità a Yu Tsun: libro e labirinto sono in realtà la stessa cosa, e costituiscono il "giardino dei sentieri che si biforcano" del titolo. Non un labirinto infinito nello spa
zio, quindi, ma un romanzo labirintico che cerca di descrivere tutte le conseguenze future di un evento a più livelli, in una ramificazione vertiginosa e potenzialmente infinita.

Potenzialmente, appunto. Potrei soffermarmi sulle molte complesse strutture combinatorie esplorate nel Novecento da alcuni scrittori, primi fra tutti Raymond Queneau nei suoi Cent mille milliards de poèmes: un insieme di dieci sonetti ciascuno dei quali occupa una pagina ed è formato da 14 versi. Ogni pagina è tagliata in strisce orizzontali, ciascuna delle quali contiene un verso: le combinazioni che si vengono a creare sono quindi 10¹⁴, appunto i centomila miliardi del titolo.


Libri veramente infiniti (infinito attuale)

Se la ciclicità è poco più di un trucco per rappresentare l'infinito, anche le strutture combinatorie, per quanto ardite e mostruosamente ramificate, non possono che tendere all'infinito, senza mai raggiungerlo davvero.
Per forza, direte voi: mica vorrai costruire un libro veramente infinito!
Non fisicamente, certo, ma almeno concettualmente forse una strada esiste, e a questo proposito il solito Borges ha indicato alcuni spunti interessanti.
Il racconto La biblioteca di Babele termina con la seguente vertiginosa visione:

Letizia Alvarez de Toledo ha osservato che la vasta Biblioteca è inutile: a rigore, basterebbe un solo volume, di formato comune, stampato in corpo nove o dieci, e composto d’un numero infinito di fogli infinitamente sottili (Cavalieri, al principio del secolo XVII, affermò che in ogni corpo solido è la sovrapposizione di un numero infinito di piani). Il maneggio di questo serico vademecum non sarebbe comodo: ogni foglio apparente si sdoppierebbe in altri simili; l’inconcepibile foglio centrale non avrebbe rovescio.

Il principio di Cavalieri, cui Borges fa riferimento, attribuisce una astratta plausibilità a un’idea di libro infinito che ovviamente rimane impossibile dal punto di vista concreto: come sarebbe possibile, infatti, realizzare un volume di spessore finito costituito da un numero infinito di pagine infinitamente sottili?
Ammettendo comunque che l’operazione sia possibile, è chiaro che un siffatto libro sarebbe un vero libro infinito, e potrebbe quindi raccogliere in sé l’intero contenuto di una biblioteca infinita come quella descritta da Borges nella prima parte del racconto.

Jorge Luis Borges (1899 - 1986) - da http://quadernodizaffiro.blogspot.it

L’idea del libro infinito deve avere ossessionato a lungo il grande scrittore argentino, e non dobbiamo stupirci di ritrovarla anche in un’altra storia, scritta qualche anno più tardi, e significativamente intitolata Il libro di sabbia.
Il racconto fa parte della raccolta omonima del 1975, che contiene anche il racconto Tigri blu.
Nella vicenda raccontata da Borges, il protagonista riceve uno strano libro da un venditore di bibbie:

Mi disse che il suo libro si chiamava il Libro di Sabbia, perché quel libro e la sabbia non hanno né principio né fine. Mi disse di cercare la prima pagina.

Con la mano sinistra sopra il frontespizio, cercai la prima pagina con il pollice quasi incollato all'indice. Tutto fu inutile: tra il frontespizio e la mano si interponevano sempre nuovi fogli. Era come se sorgessero dal libro.

«Adesso cerchi la fine.»

Fallii di nuovo; riuscii appena a balbettare con una voce che non era la mia:

«Non è possibile.»

Sempre sottovoce, il venditore di bibbie mi disse:
«Non è possibile, ma è. Il numero di pagine di questo libro è esattamente infinito. Nessuna è la prima, nessuna è l'ultima. Non so perché siano numerate in questo modo arbitrario. Forse per suggerire che i termini di una serie infinita ammettono qualsiasi numero.

Ben presto il libro diviene un tormento insostenibile per il protagonista, il quale decide alla fine di disfarsene abbandonandolo sugli scaffali di una biblioteca.

Verso la fine dell'estate capii che il libro era mostruoso. A nulla valse considerare che non meno mostruoso ero io, che lo percepivo con occhi e lo palpavo con dieci dita provviste di unghie. Sentii che era un oggetto da incubo, una cosa oscena che infamava e corrompeva la realtà.

Pensai al fuoco, ma ebbi paura che la combustione di un libro infinito fosse altrettanto infinita e soffocasse con il fumo il pianeta.
Ricordai di avere letto che il luogo migliore per nascondere una foglia è un bosco. Prima di andare in pensione lavoravo nella Biblioteca Nazionale, che conserva novecentomila libri; so che a destra del vestibolo una scala curva si immerge nello scantinato, dove si trovano i periodici e le carte geografiche. Approfittai di una distrazione degli impiegati per perdere il Libro di Sabbia in uno di quegli umidi scaffali. Cercai di non osservare né a che altezza né a che distanza dalla porta.
Provo un po' di sollievo, ma non voglio nemmeno passare per via México.

Libri come quelli sognati da Borges nella Biblioteca di Babele e nel Libro di sabbia sono, per così dire, veramente infiniti, nel senso che la nozione di infinito che racchiudono non è soltanto una metafora, come nel caso dei libri ciclici, o una potenzialità, come nei libri combinatori alla Queneau. Qui ci si confronta invece con un infinito matematico "attuale".
Si direbbe che l'infinito del primo libro descritto da Borges abbia la potenza del continuo (come i numeri reali), mentre il secondo sembra essere numerabile (come i numeri interi).
Nel bellissimo saggio Jeux finis et infinis del 2010 (edito in Italia da Dedalo nel 2012 col titolo Giochi finiti e infiniti), il matematico francese Jean Paul Delahaye ha fornito una definizione rigorosa di un libro infinito alla Borges.
Quello che Delahaye chiama l'"assioma dei libri infiniti" stabilisce infatti che:

ogni sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1] dei numeri reali compresi fra 0 e 1 determina un libro infinito anch'esso chiamato E. A ciascun elemento x di E corrisponde un foglio x del libro E. Se x e y sono due elementi di E e x<y, allora il foglio associato a x si trova, nel libro E, davanti al foglio associato a y.

Questo principio consente di immaginare una grande varietà di libri infiniti, dato che a ogni sottoinsieme infinito dell'insieme dei reali compresi tra 0 e 1 corrisponde un libro infinito ben preciso, con proprie caratteristiche legate alle peculiarità del sottoinsieme stesso.
Vedremo nella seconda parte di questo post come sono fatti questi strani, affascinanti e mostruosi libri infiniti.

La narrativa di "Altramatematica"

L'estate è per molti una stagione tradizionalmente dedicata a passatempi rilassati, a occupazioni che distolgano la mente, a letture non impegnative. E quando si dice "letture non impegnative", il più delle volte si intendono romanzi e racconti, non saggi. Insomma, narrativa.
Secondo queste premesse, la tanto amata (almeno da me e dagli amici autori) collana Altramatematica si direbbe una collana poco estiva. Ma non è affatto vero. A parte il fatto che (per fortuna) molti lettori prediligono libri di divulgazione anche nella stagione estiva, Altramatematica vanta, tra tanti e-book di saggistica, anche tre titoli di narrativa. Del terzo scriverò più avanti: qui vorrei parlarvi dei primi due.

Il primo, Partition, è, per essere precisi, un testo teatrale, scritto da Ira Hauptman e tradotto da Martha Fabbri per 40K. La trama ruota attorno all'incontro che esattamente un secolo fa, a Cambridge, segnò la storia della matematica del Novecento: il matematico inglese Godfrey Harold Hardy conobbe l'indiano Srinivasa Ramanujan, in quello che il primo definì "l'unico incidente romantico" della sua vita.
La pièce di Hauptman è un bellissimo esempio di teatro matematico, che si legge molto piacevolmente: ai due protagonisti si affiancano Alfred Billington, amico di Hardy; e un Pierre de Fermat in versione del tutto inedita e fantasiosa.

Se al teatro preferite i racconti, ma non volete rinunciare allo sfondo matematico, non potete perdervi Racconti matematici, di Spartaco Mencaroni. Per chi non lo sapesse, Spartaco è un medico specializzato in medicina preventiva, ma la sua grande passione è la scrittura. Il suo blog Il coniglio mannaro è una vera miniera di idee geniali, di storie ricche di perizia compositiva, di fantasia e di grande apertura intellettuale. Fatevi ogni tanto un giro su quel blog: non vi deluderà.
Il librino che Spartaco ha pubblicato per Altramatematica contiene due racconti: il primo, intitolato Sulle fragili ali della bellezza, tratta la vertiginosa idea dell'infinito matematico, osservandola con gli occhi di un professore del Settecento che non riesce a comprendere il nuovo (per l'epoca) concetto degli infinitesimi, e per questo motivo rischia di diventare pazzo. Il secondo racconto è, a mio modesto parere, un piccolo capolavoro: in un contesto simil-fantascientifico, è l'avventurosa storia dell'esplorazione di una struttura frattale, detta spugna di Menger. Detto così sembra cosa noiosa, quando in realtà la storia lascia davvero senza fiato e conquista il lettore con sapiente ritmo e intelligenza narrativa. Come recita il trailer: "Immergiti in un racconto matematico, ma fai attenzione, potresti non trovare più l'uscita!"
Buone letture (matematiche) sotto l'ombrellone!

Si fa presto a dire infinito

Ho promesso di recensire tutti i libri della collana "Altramatematica di 40k, all'interno della quale è uscito anche il mio librino. Dopo il lavoro di Peppe Liberti, è il turno del libro del curatore della collana: "Matematica e infinito" di Maurizio Codogno.
Anche quest'opera è disponibile su tutte le librerie online: Amazon, Bookrepublic e compagnia bella.

Il libro di .mau. è un gran bel libro. Non lo dico perché l'autore è il curatore della collana nonché un amico blogger. Lo dico semplicemente perché è vero.
Nelle sue pagine viene raccontata, con briosa sintesi, la storia di come i matematici abbiano cercato di addomesticare il vertiginoso concetto di infinito e abbiano fronteggiato le sue aspre difficoltà.

Si parte con gli antichi greci: pensatori e scienziati come Zenone o Archimede, che ebbero il loro bel da fare per far quadrare le cose con l'infinito. Si prosegue, molti secoli dopo, con gente come Bonaventura Cavalieri, che cominciò a imbattersi in nuovi problemi mica da ridere. Fino ad arrivare ai paradossi che saltarono fuori da certe diaboliche serie (come 1-1+1-1+1-...), da certi enigmatici oggetti geometrici (come la tromba che scoprì Torricelli o la curva di Peano), e dalla controversa teoria degli infiniti di Georg Cantor.
Leggendo di quest'ultima mi è anche tornato in mente uno dei "Norris facts" che giravano tempo fa sulla rete: "Chuck Norris ha contato fino a infinito. Due volte".

Uno dei passi che più ho apprezzato è quello in cui Codogno spiega con estrema leggerezza e chiarezza il concetto di limite. Insegnanti, leggete quella paginetta agli studenti che faticosamente si accingono a studiare l'analisi matematica: di sicuro quella classica e tipicamente indigesta definizione con dentro gli epsilon e i delta diventerà per loro molto più comprensibile.

"Ti con zero" e l'infinito di Calvino

Nei miei post precedenti ho citato più volte Italo Calvino, per una serie di ragioni diverse: per una mia personale predilezione per le opere del grande narratore, per una ricorrente vicinanza delle stesse con le tematiche scientifiche, e, perché no, per una impalpabile affinità che trae origine dal nome di questo stesso blog.

Ricordo che quando avevo circa vent'anni mi ero ammalato di una specie di "calvinite" acuta: continuavo a comprare libri di Calvino, perché dovevo continuare a leggerne. Tra i volumi che acquistai in quel periodo c'era "Ti con zero", la raccolta di racconti pubblicata nel 1967, quasi come prosecuzione ideale delle "Cosmicomiche" del 1965.

"Ti con zero" non è una lettura facile, per così dire, da ombrellone. Il libro è suddiviso in tre parti, ciascuna formata da alcuni racconti. La prima parte si riallaccia alle atmosfere delle "Cosmicomiche", recuperando il protagonista Qfwfq, palindromo narratore vecchio come l'Universo, che racconta le sue vicende senza tempo e senza spazio. Gli scenari cosmogonici che fanno da sfondo alle avventure di Qfwfq evidenziano il gusto di Calvino per le tematiche scientifiche, in particolare astronomiche e cosmologiche. 

Se la prima parte culmina con la morte di Qfwfq, la sezione centrale del libro è invece una lunga e complessa riflessione sulla vita, affrontata con la prospettiva e il linguaggio della biologia. Il trittico, intitolato “Priscilla”, è costituito dai racconti “Mitosi”, “Meiosi” e “Morte”, e curiosamente introdotto da sette lunghe citazioni, di sapore scientifico (tra biologia, filosofia, cibernetica e cosmologia). Le ultime due sono forse le più sorprendenti: rispettivamente tratte da “The general and logical theory of automata” di John von Neumann e dal “Dialogo sopra i due massimi sistemi” di Galileo Galilei.

Ricordo che quando lessi per la prima volta “Ti con zero” provai piacere misto a sorpresa nel leggere la frase di von Neumann usata per introdurre dei racconti. Mi sembrava insolito e meraviglioso che un discorso letterario potesse accogliere in sé anche il linguaggio matematico e considerazioni sulla teoria della complessità e sugli automi cellulari. In fondo mi possedeva la stessa fissazione che ho oggi: l’urgenza di mescolare prospettive diverse, letterarie e scientifiche.

Nella terza e ultima parte Calvino cambia nuovamente registro: i quattro racconti che concludono la raccolta sono storie paradossali, elucubrazioni filosofiche che sviluppano spunti narrativi minimi e apparentemente insignificanti. Molta matematica si nasconde tra le pieghe di questi racconti: in particolare analisi matematica, se è vero che il concetto che si agita dietro le riflessioni di Calvino è il concetto di infinito.

Nel racconto che dà il nome al libro, il protagonista si trova nell’atto di scagliare una freccia verso un leone pronto a balzargli addosso, e compie una articolata serie di riflessioni che si concentrano temporalmente in un unico, lunghissimo, istante. Calvino stesso, a proposito di questo celebre racconto, affermò: 

“In ‘Ti con zero’ cerco di vedere il tempo con la concretezza con cui si vede lo spazio. Nel racconto, ogni secondo, ogni frazione di tempo è un universo. Ho abolito tutto il prima e il dopo fissandomi così sull’istante nel tentativo di scoprirne l’infinita ricchezza. Vivere il tempo come tempo, il secondo per quello che è, rappresenta il tentativo di sfuggire alla drammaticità del divenire. Quello che riusciamo a vivere nel secondo è sempre qualcosa di particolarmente intenso, che prescinde dall’aspettativa del futuro e dal ricordo del passato, finalmente liberato dalla continua presenza della memoria. ‘Ti con zero’ contiene l’affermazione del valore assoluto in un singolo segmento del vissuto staccato da tutto il resto.”

Anche gli altri tre racconti di questa sezione finale del libro, “L'inseguimento”, “Il guidatore notturno” e “Il Conte di Montecristo” insistono sulle stesse tematiche: il tempo, lo spazio, l’infinito, la causalità, la contrapposizione tra il tutto e le parti.

Nelle “Lezioni americane”, Calvino afferma: 

“Studiare le zone di confine dell’opera letteraria è osservare i modi in cui l’operazione letteraria comporta riflessioni che vanno al di là della letteratura ma che solo la letteratura può esprimere”

Bè, in “Ti con zero” queste zone di confine vengono studiate, eccome. Calvino, unico letterato di una famiglia di scienziati, attinge a piene mani dalle tematiche scientifiche, e sembra arrivare ad una conclusione, per così dire, gödeliana: non è possibile comprendere a fondo la realtà, cioè formulare un modello completo del mondo, senza uscire da esso, adottando un punto di vista metafisico e astratto.  

Qualcuno ha fatto notare che nel racconto “Il conte di Montecristo” i due protagonisti adottano due strategie opposte nel rapportarsi con il mondo: Faria si ostina a scavare gallerie nel tentativo di fuggire dalla prigione dell’isola d’If, mentre il conte di Montecristo osserva gli inutili sforzi dell’abate e si raffigura nella sua testa i mille possibili modi per uscire dalla fortezza, senza metterne in atto alcuno: 

"Lavorando di ipotesi riesco alle volte a costruirmi un’immagine della fortezza talmente persuasiva e minuziosa da potermici muovere a tutto mio agio col pensiero; mentre gli elementi che ricavo da ciò che vedo e ciò che sento sono disordinati, lacunosi e sempre più contraddittori."