La matematica di Gianni Rodari #3: Logica e Fantastica

Questa terza puntata della serie dedicata alla matematica di Rodari sarà più breve delle precedenti.
D'altra parte, la mia idea iniziale era quella di scrivere una serie di "pillole" brevi, non di articoli lunghi: altrimenti, dovendo arrivare fino a ottobre, vi annoierei per bene!

Vorrei partire questa volta da una frase che Rodari scrive nell'"antefatto" della "Grammatica della fantasia":

Un giorno, nei Frammenti di Novalis (1772-1801), trovai quello che dice: "Se avessimo anche una Fantastica, come una Logica, sarebbe scoperta l'arte di inventare". Era molto bello. Quasi tutti i Frammenti di Novalis lo sono, quasi tutti contengono illuminazioni straordinarie.

Il poeta romantico tedesco Novalis

Rodari racconta di aver trovato quel frammento quando, ancora adolescente, già insegnava italiano ai bambini, e nel tempo libero leggeva Dostoevskij e studiava tedesco. Anni dopo, insegnante alle elementari, cominciò a prendere nota in un "Quaderno di Fantastica" i meccanismi attraverso i quali gli nascevano in testa le storie che raccontava ai bambini, i trucchi che scopriva "per mettere in movimento parole e immagini". Quel quaderno, a quanto pare, fu il primo embrione di una serie di riflessioni, progetti, avvenimenti che portarono Rodari, molti anni dopo, a concepire l'idea di scrivere la "Grammatica della fantasia", ovvero una descrizione di alcuni modi in cui si possono inventare storie per bambini. Rodari lo nega, ma la Grammatica era di fatto un tentativo di fondare quella "Fantastica" di cui parlava Novalis.

Ora, il ruolo decisivo e simbolico che Rodari attribuisce a quel frammento di Novalis riflette a mio parere, l'importanza concessa dall'autore di Omegna alla logica e, più in generale, alla matematica e alla scienza.
Viviamo in un mondo in cui molti intellettuali si vantano di non capire nulla di matematica e dimostrano (in questo periodo più che mai) di non avere alcuna cognizione di cosa sia la scienza. La lezione di Rodari costituisce un grande insegnamento: il suo ragionamento era più o meno "se possiamo descrivere il mondo reale così bene usando la logica, la matematica e la scienza, potremmo descrivere il mondo della fantasia enunciando regole che non dovrebbero essere troppo diverse, almeno concettualmente, da quelle della logica, della matematica e della scienza".

In fin dei conti è un concetto molto simile a quello espresso nel capitolo 37 della Grammatica:

La novella, a sua insaputa, è anche un esercizio di logica. Ed è difficile rintracciare un confine tra le operazioni della logica fantastica e quelle della logica senza aggettivi.

Ed è anche il concetto che sta dietro un po' tutto il capitolo 37 e che viene ribadito spesso nelle opere di Rodari.
Forse è proprio per questo che trovo così stimolante parlare di matematica partendo dagli spunti offerti da Rodari: anziché allontanarsi nettamente dal mondo scientifico e matematico (come spesso molti narratori o "umanisti" si sentono autorizzati a fare), Rodari sente invece il bisogno di avvicinarsi a quel mondo, per attingere da esso ciò di cui ha bisogno per costruire le sue storie.
Logica e Fantastica, insomma, vivono pacificamente insieme.
O forse sono quasi la stessa cosa.

Porcelli e paradossi

La recentissima decisione della Corte Costituzionale di dichiarare incostituzionale l'attuale legge elettorale, tristemente nota come Porcellum, genera alcuni paradossi logici interessanti.
Lungi da me affrontare qui il merito del dibattito politico di questi giorni. Non sono nemmeno un costituzionalista, per cui alcune delle ipotesi che proporrò in questo post sono quasi certamente azzardate e prive di fondamento.
Prendetele come un divertito (ma non troppo) esercizio di logica, alla ricerca di paradossi.
Ieri, dopo la sentenza della Consulta, Roberto Calderoli, ideatore della "legge-porcata", ha affermato:
”A questo punto è illegittimo il Parlamento, il presidente della Repubblica e la Corte Costituzionale stessa”.
Il ragionamento del leghista è il seguente: se la Corte Costituzionale dichiara che la legge elettorale è  incostituzionale, allora il Parlamento, che è stato eletto utilizzando tale legge, è esso stesso illegittimo.
E il presidente della Repubblica? Bè, viene eletto dalle Camere in seduta congiunta, per cui se a eleggerlo è un'assemblea abusiva, è da considerarsi illegittimo anche lui.
Infine, la Corte Costituzionale: un terzo dei suoi membri vengono nominati dal Parlamento, un altro terzo dal capo dello Stato, per cui almeno due terzi della Consulta sono illegittimi.
Ecco allora che le decisioni della Corte non possono essere considerate valide. Da ciò discende che lo è anche quella di ieri. E quindi? Qual è allora la conclusione del suino paradosso di Calderoli? A un certo punto del ragionamento sembrava che praticamente tutti gli organi della Repubblica fossero abusivi. Ma se lo diventa anche il punto di partenza, cioè la fonte della delegittimazione, non possiamo più concludere nulla.

Vi propongo ora un'altra ipotesi paradossale. Ripeto: non prendetela alla lettera, perché non sono un esperto di diritto costituzionale. Molto sicuramente il ragionamento da qualche parte scricchiola e non sta in piedi. Però se almeno l'inizio dell'argomentazione calderoliana fosse corretto, e quindi il Parlamento fosse illegittimo, allora esso non avrebbe più nemmeno il potere di emanare leggi, in particolare di cambiare la legge elettorale.
Insomma: il Porcellum è stato macellato dalla Consulta, e non possiamo dotarci di alternative. Questo Parlamento è decaduto, e non possiamo eleggerne di nuovi. L'Italia bloccata definitivamente in un incredibile stallo logico. Il ragionamento è sbagliato? Spero vivamente di sì. Eppure...

Corvi neri, mele rosse

Nel corso dei secoli, i filosofi della scienza hanno a lungo dibattuto sulla questione se il metodo scientifico sia fondato sulla deduzione o sul’induzione. Un ragionamento deduttivo ricava conclusioni particolari partendo da una legge universale. Aristotele sostenne il ruolo fondamentale della deduzione nel pensiero scientifico, e identificò nel sillogismo (un esempio è il classico “Tutti gli uomini sono mortali; Socrate è un uomo; dunque Socrate è mortale”) lo strumento deduttivo per eccellenza.

Con l’avvento della scienza moderna, da Galileo in poi, metodo scientifico divenne sinonimo di metodo sperimentale, e accanto al ragionamento deduttivo acquistò grande importanza l’approccio induttivo.

Al contrario della deduzione, l’induzione ricava conclusioni universali a partire da verità particolari.  In altre parole, l'induzione porta a generalizzare osservazioni particolari.   
Tutti noi facciamo induzioni, continuamente, senza rendercene conto: ad esempio usciamo di casa senza temere per la nostra incolumità, implicitamente inducendo da precedenti esperienze che l’asfalto sosterrà il nostro peso, che il sole non ci ucciderà con il suo calore, che l’aria sarà respirabile, e così via. 
Nell’ambito scientifico, se un fisico osserva che una certa proprietà vale per una certa particella, dopo un certo numero di conferme sperimentali, potrebbe indurre che la proprietà vale per tutti le particelle di quel tipo esistenti nell’universo.

Ma tutti noi sappiamo che generalizzare non porta sempre a conclusioni veritiere. Vediamo una mela rossa, o anche una cassa strapiena di molte mele rosse, ma ciò non ci autorizza a concludere che tutte le mele del mondo siano rosse.
Se il giorno dieci di ottobre è uscito su Mr. Palomar un post che parla di logica e di paradossi, non è detto che ogni giorno dieci del mese esca un post sullo stesso argomento.
In generale, l'induzione è un'arma potentissima che va però maneggiata con cura: oltre ai rischi che derivano da una cattiva applicazione del metodo, esistono sottili problematiche di natura paradossale che sono insite nello stesso approccio.
Il primo a dimostrare l'esistenza di questi problemi fu il filosofo tedesco Karl Hempel, ideatore del famoso "paradosso dei corvi".
Se è vero che indurre un principio generale assoluto da un'osservazione particolare non è sempre possibile, ragionò Hempel, possiamo comunque "rilassare" la portata dell'induzione dicendo che l'osservazione particolare porta una conferma, pur limitata, alla verità del principio generale. 
Ad esempio, se io osservo un corvo nero, non posso concludere che tutti i corvi del mondo sono neri, ma è pur vero che la mia osservazione è una piccola conferma del fatto che i corvi sono in generale neri.
E fin qui nessun problema.

Ma se invece di considerare l'affermazione generale "tutti i corvi sono neri", prendo in esame l'affermazione "tutte le cose non nere non sono corvi", ecco che sorgono le complicazioni. 
Le due affermazioni, da un punto di vista logico, sono perfettamente equivalenti. Se è vero che tutti i corvi sono neri, infatti, è chiaro che se troviamo una cosa che non è nera, non potrà essere un corvo, e viceversa.
Ebbene, come possiamo portare una piccola conferma sperimentale al fatto che "tutte le cose non nere non sono corvi"? Semplicemente osservando una cosa non nera che non è un corvo.

Una mela rossa va bene?  Bè, nessuno può negare che se sto osservando una mela rossa, ho sotto gli occhi una conferma del principio generale "tutte le cose non nere non sono corvi". E dato che questo principio, come abbiamo visto, è perfettamente equivalente alla grande verità "tutti i corvi sono neri", ecco che la mia mela rossa si rivela una prova a sostegno della tesi che i corvi sono tutti neri!
Com'è possibile? Cosa diavolo c'entra la mela rossa con i corvi?
Allora andrebbe bene anche osservare una mela gialla. O un  prato verde. O il cielo azzurro. O qualsiasi cosa.
E' come se in un processo, come prova a favore del fatto che una certa arma è stata usata in un delitto, venisse presentato un cappello: già, perché si tratta di un oggetto che non è un arma e non ha fatto fuoco.
Eppure, come avete potuto constatare, non ho commesso nessun imbroglio logico. Non c'è alcun gioco di prestigio.
Siamo di fronte a un evidente paradosso.

I paradossi, si sa, esigono, se non una soluzione, almeno un tentativo di trovarne una.
E in questo caso, come possiamo fare?  La spiegazione che più frequentemente viene fornita consiste nell'accettare che in realtà un collegamento tra le mele e i corvi esiste, per quanto debole. Osservare una mela rossa è poca cosa, ma immaginiamo di  catalogare molti altri oggetti non neri, annotando ogni volta che non si tratta di corvi: se, teoricamente, potessimo continuare questa strana attività per un tempo estremamente lungo, a un certo punto esauriremmo tutti gli oggetti non neri dell'universo, e potremmo concludere che nessuno di loro è un corvo. La conclusione, questa volta del tutto lecita, sarebbe che i corvi sono tutti neri.
La singola osservazione di una mela rossa, quindi, per quanto di portata infinitesima rispetto all'impresa di catalogazione universale, ha un suo valore di conferma.

Questa proposta è una delle molte che sono state concepite per cercare di spiegare il paradosso di Hempel. Ma, a ben vedere, un altro problema sorge: se l'esistenza della mela rossa serve a sostenere il fatto che i corvi sono tutti neri, perché non usare la stessa mela per confermare anche un'affermazione opposta, ad esempio "tutti i corvi sono bianchi" (cioè "tutte le cose non bianche non sono corvi")?

Nessuno ce lo impedisce, se ci pensate bene. Ma allora l'osservazione della mela rossa può essere usata come prova a favore di due affermazioni logicamente contrastanti!

Questo è un aspetto ancora più paradossale del precedente, che non può essere spiegato altrettanto facilmente. Ma è solo un assaggio dei problemi logici che sorgono quando ci si addentra appena un poco nel terreno minato dell'induzione. Fiumi d'inchiostro sono stati versati su questi temi, e questo mio post non è che un limitatissimo assaggio dell'argomento.

I paradossi del Grande Giocoliere

Come ho talvolta ricordato in questo blog, molti sono gli alti esponenti (ops, ho detto proprio esponenti...) della divulgazione matematica, ma uno è il vero padre di tutti noi: il giocoliere dei numeri, il Maestro, il più grande di tutti.
Sto parlando ovviamente di Martin Gardner, scomparso un anno e mezzo fa all'età di 95 anni, autore di più di 70 libri, e celebre soprattutto per i suoi incantevoli articoli apparsi tra il 1956 e il 1981 nella rubrica "Mathematical Games" dello "Scientific American" ("Giochi matematici" nell'edizione italiana, cioè la rivista "Le Scienze").
Gli inesauribili giochi matematici di Gardner hanno affascinato generazioni di appassionati; e certamente moltissime persone hanno scelto di intraprendere una carriera matematica o scientifica grazie all'influenza dei suoi articoli.

Di Gardner si è detto molto (per la verità non abbastanza, dato che il suo nome non è poi così celebre al grande pubblico): e non mi dilungherò nel tessere le sue lodi, peraltro più che meritate.
La sua grande bravura è stata quella di saper coniugare il senso della bellezza della matematica con il divertimento del gioco.
"La matematica matemagica combina la bellezza della struttura matematica con l'efficacia spettacolare di un trucco da prestigiatore" scrisse in uno dei suoi primi libri (coniando tra l'altro il fortunato termine "matemagica").

Come scrive Maurizio Codogno in un suo post:
"Gardner non aveva una formazione matematica, e si può dire che si è fatto le ossa negli anni, affinando sempre più le sue conoscenze; ma soprattutto il suo grande contributo fu lo sdoganamento della matematica ricreativa, e la possibilità per molti matematici di professione di pubblicare i propri risultati non troppo accademici, rendendoli contemporaneamente noti al pubblico."

I numerosissimi articoli che Gardner scrisse per lo "Scientific American" sono raccolti, in edizione italiana, nei volumi di "Enigmi e giochi matematici": un testo fondamentale che ogni appassionato di matematica dovrebbe possedere.

Avevo quasi deciso di dedicare un post a questa celebre e deliziosa raccolta, e mi stavo già cimentando nella recensione, quando dallo scaffale della mia libreria un altro libretto di Gardner ha fatto capolino. Mi riferisco a "Ah! Ci sono! Paradossi stimolanti e divertenti" (nell'edizione originale "Aha! Gotcha. Paradoxes to puzzle and delight"): anche in questo caso una selezione di articoli usciti su "Scientific American".
Ebbene, alla fine ho scelto proprio questo libro, meno noto degli "Enigmi e giochi matematici", ma ricco della geniale brillantezza che contraddistingue ogni creazione di Gardner.
L'edizione che posseggo è quella della collana "Sfide matematiche" di RBA, uscita tre anni fa (pare che la prima edizione italiana, Zanichelli 1981, sia ormai introvabile)
Il libro è una piacevolissima carrellata di paradossi di ogni tipo, reali e apparenti che siano.
L'argomento è particolarmente accattivante, tanto è vero che sulla scia del libro di Gardner sono apparsi, in anni più recenti, altri testi abbastanza simili, di altri autori.

Nell'introduzione Gardner parafrasa la frase di Desdemona nell'Otello di Shakespeare ("Questi sono vecchi e amati paradossi per far ridere gli sciocchi in birreria") trasformandola in "Questi sono vecchi e amati paradossi per farci ridere all'ora di pranzo", e ci accompagna in un viaggio che inizia dai celebri e antichissimi paradossi logici, passa per l'aritmetica, la geometria, la probabilità e la statistica, per concludersi con gli strani paradossi che hanno a che fare con il tempo e con il moto.
Uno dei pregi del libro è rappresentato da un'infinità di disegnini divertenti che aiutano la comprensione del testo, a tratti non immediata data la difficoltà intrinseca di certe sottili tematiche.

Il lettore potrà quindi spaziare dal paradosso del mentitore a quello del barbiere, dai sogni di Alice e del Re Rosso ai numeri interessanti e non interessanti, dalle bizzarrie dell'hotel infinito alle magie delle matrici, dalla scala impossibile di Penrose alle curve frattali e ai nastri di Moebius, dal principio di indifferenza alla scommessa di Pascal, dal mondo piccolo alle cifre di pi greco, dai paradossi di Zenone alle macchine del tempo, fino ad arrivare alla relatività e a disquisizioni filosofiche sul caso e sul libero arbitrio.
Un affascinante universo tascabile, com'è ogni libro di Gardner.

Audrey Hepburn, la Bocca della Verità e il filosofo ostinato

Mr. Palomar e il suo amico Mr. Wilson sono appassionati di cinema, e amano soprattutto i vecchi film americani degli anni Cinquanta.
Una delle ultime sere si sono trovati per rivedere insieme "Vacanze romane", celebre film del 1953 con Audrey Hepburn e Gregory Peck. In una delle scene della pellicola, ovviamente girata nella Città Eterna, Peck accompagna la Hepburn alla Bocca della Verità, e la invita a provare l'esperienza che ogni turista in visita a Roma ha sperimentato: introdurre la mano per qualche secondo nel temibile buco, sperando di poterla tirar fuori sana e salva. Audrey supera indenne la prova, e pretende poi che anche il suo amico si sottoponga allo stesso esame.
Alla fine del film, Mr. Palomar e Mr. Wilson discutono sulla scena della Bocca della Verità. A un certo punto, Mr. Wilson ipotizza una bizzarra variante alla scena.


- Immagina che Audrey Hepburn, nell'atto di introdurre la mano nella Bocca, avesse detto "Non riuscirò mai a tirar fuori la mia mano!"
- Perché mai dovrei immaginare questo? - ribatte Mr. Palomar.
- Bè, tu immaginalo.
- Va bene, lo immagino. E allora?
- Sai bene che, secondo la leggenda, l'antico mascherone punisce i bugiardi e gli adulteri, mordendo loro la mano.
- Sì, lo so. E con questo? Dove vuoi arrivare?
- Se dobbiamo credere alla leggenda, cosa possiamo dedurre dalla scena modificata?
Mr. Palomar riflette per qualche minuto. E' ormai abituato agli enigmi di logica inventati seduta stante dal suo amico, e tutto sommato non gli dispiace stare al gioco.
- Se Audrey dice che non riuscirà a tirar fuori la mano, significa che è una bugiarda! - risponde alla fine della sua riflessione.
- Esatto. Ma se è bugiarda, anche quello che ha appena detto è una bugia - puntualizza Mr. Wilson.
- Già. Quindi non è vero che non riuscirà a tirar fuori la mano!
- E allora, come la mettiamo?
- Se non è vero che non riuscirà a tirar fuori la mano, vuol dire che la tirerà fuori - deduce Mr. Palomar.
- Di conseguenza, non è più bugiarda! - conclude Mr. Wilson.
- Com'è possibile? - replica Mr. Palomar, sconcertato - é bugiarda o no?
- Siamo caduti in un circolo vizioso. Se non è più bugiarda, ciò che aveva affermato all'inizio è vero, e quindi è vero che non riuscirà a tirar fuori la mano, e quindi è di nuovo bugiarda, e allora...
- Ho capito - lo interrompe Mr. Palomar - Non è possubile uscire da questo cerchio infinito. Gli informatici direbbero che siamo finiti in un loop.
- Non è altro che un paradosso. E anche famoso. Già gli antichi greci lo conoscevano, e lo chiamavano il paradosso del mentitore. Pare che sull'epitaffio di un filosofo greco, un certo Fileta di Cos, ci fosse scritto "Fu il Mentitore a farmi morire, con le cattive notti che mi procurò". Insomma sembra che questo Fileta, nello sforzo ostinato di risolvere questo paradosso, si fosse così spremuto le meningi da rimanerci secco!
- Fatica sprecata, direi. Abbiamo capito facilmente che non c'è via d'uscita.
- Già, ma evidentemente per lui era diventata una questione di orgoglio.
- Oppure semplicemente non aveva avuto la possibilità di vedere il film che abbiamo visto noi. Per cui non aveva capito bene il paradosso.
- Già, e non aveva mai visto Audrey Hepburn. Cosa si sono persi, questi antichi greci.

San Paolo, i cretesi e Benigni

Nella Lettera a Tito (1,10-16), San Paolo scrive:

Uno dei loro, proprio un loro profeta, già aveva detto: "I Cretesi son sempre bugiardi, bestie malvagie, oziosi ghiottoni”. Questa testimonianza è vera. Perciò correggili con fermezza, perché rimangano nella sana dottrina e non diano più retta a favole giudaiche e a precetti di uomini che rifiutano la verità.

A cosa si riferiva il mio illustre omonimo, folgorato sulla via di Damasco?
Ovvio: al celebre paradosso del mentitore, il classico paradosso logico tradizionalmente attribuito alla figura semi-mitica del filosofo cretese Epimenide, il quale un giorno avrebbe affermato:

Tutti i cretesi sono bugiardi.

Se un cretese ci dicesse che tutti i cretesi sono bugiardi, oltre a sospettare della sanità mentale dell'isolano, per seguirlo saremmo costretti a infilarci in un vicolo logico senza uscita: infatti se fosse vero quel che dice, lo status di mentitore dovrebbe applicarsi anche a lui, e quindi non dovremmo credergli, il che ci porterebbe a ritenere che i cretesi sono tutti bugiardi, e di conseguenza... Aiuto, è proprio un circolo vizioso infinito!

Sul paradosso del mentitore sono stati versati fiumi di inchiostro: oltre ad essere un pallino dei logici (anche per il suo collegamento con il teorema di incompletezza di Gödel), è un cavallo di battaglia dei matematici ricreativi, tra i quali il sempre (giustamente) citato Martin Gardner.

Esistono molte versioni alternative di questo paradosso. Una delle forme classiche è la seguente:

Questa frase è falsa.

Il filosofo francese Jean Buridan, italianizzato in Giovanni Buridano o latinizzato in Iohannes Buridanus, vissuto intorno al 1300, famoso per avere precorso alcuni risultati della fisica moderna, come ad esempio il principio d’inerzia, riformulò il paradosso spezzando la frase in due:

Socrate dice "Platone dice il falso"

Platone dice "Socrate dice il vero"

Prendendo le due frasi separatamente, non troviamo alcun paradosso, ma considerate insieme esse provocano il solito disastro. Se ipotizziamo che Socrate sia sincero, allora Platone mente; ma allora Socrate non dice il vero, e ciò confuta la nostra ipotesi iniziale: Socrate è bugiardo, e quindi Platone è sincero. Ma allora Socrate dice il vero, e così via, in una nuova slavina di contraddizioni. Se partiamo con un’assunzione opposta, cioè che Socrate sia bugiardo, ricadiamo nella stessa catena di antinomie e non possiamo stabilire chi tra Socrate e Platone dice il vero e chi dice il falso.

Un’altra versione famosa del paradosso è quella che lo storico Diogene Laerzio attribuisce al filosofo Eubulide di Mileto, vissuto nel IV secolo a.C. L’affermazione paradossale di Eubulide è sintetizzata in una frase di una sola parola (greca):

ψευδόμενος

cioè "io sto mentendo".
La formulazione di Eubulide è più interessante di quella di Epimenide, sia perché egli focalizza la sua affermazione su di sé, cioè enuncia una frase autoreferenziale, sia perché con l'espressione "sto mentendo" anziché "sono bugiardo", Eubulide non lascia spazio all’eventualità che la frase stessa possa essere vera.
Già, perché quando diciamo che una persona è bugiarda, non intendiamo dire che costui dica sempre bugie appena apre bocca. Ogni tanto, anche un uomo bollato come mentitore una piccola verità la dirà pure, o no?.
Come ha detto una volta Roberto Benigni: "Anche Adolf Hitler o Stalin, un ponte, una strada l'avranno fatta. Anche il Mostro di Firenze l'avrà detto 'buongiorno' a qualcuno qualche volta!"
Concedendo allora che di tanto in tanto anche un bugiardo possa asserire il vero, dovremmo ammettere che l’affermazione del cretese Epimenide può essere veritiera: e in questo caso non si genererebbe alcun paradosso.

Comunque, allineiamoci pure all'interpretazione "severa", in base alla quale un bugiardo è un individuo che non dice mai cose vere, e quindi l'affermazione di Epimenide è inevitabilmente paradossale.
In questa prospettiva, non sappiamo se San Paolo, nel riprendere l'affermazione paradossale di Epimenide, fosse consapevole o meno di riprodurne l'assurdità.
Sarebbe infatti assurdo citare proprio un cretese per dare valore alla propria tesi della inaffidabilità dei cretesi.
Voglio invece credere, anche per una questione di simpatia derivante dall'omonimia, che San Paolo avesse compreso perfettamente il paradosso e che il suo intento fosse in realtà ironico.

Capire Gödel

Verso la fine dell'anno scorso ho letto un libro che un giovane logico veneziano, Francesco Berto, ha scritto su uno degli argomenti più citati e tuttavia meno capiti di tutta la logica: il teorema di incompletezza di Gödel.
Capire (veramente) Gödel non è cosa facile.
Ma questo eccellente saggio può aiutare a farlo, a condizione che ci sia davvero la voglia e la pazienza per penetrare nell'argomento.
Berto è stato davvero bravo: ha confezionato un'ottima ed esaustiva esposizione del celebre teorema, affrontandone i diversi aspetti in modo estremamente rigoroso, ma senza allontanrsi troppo da un taglio divulgativo.
Diciamo che il libro si pone a metà strada tra un testo universitario, specialistico, e un saggio divulgativo per tutti.
Grazie a questo libro ho finalmente chiarito le mie idee su alcuni aspetti gödeliani che altri testi non spiegavano bene, o peggio, sui quali vengono spesso diffuse interpretazioni errate.
Il buon Berto non si ferma a spiegare, bene, il teorema dal punto di vista prettamente "logico", ma delinea, in modo molto appassionante e completo, il quadro storico che portò a quel risultato, e soprattutto approfondisce molto le conseguenze che esso ebbe nel dibattito filosofico degli ultimi ottant'anni.
Consiglio questo libro a chiunque sia curioso e desideroso di capire Gödel. Costerà un po' di fatica, ma ne vale la pena.

Mr. Palomar e Doctor Subtilis

Mr. Palomar conosce un tizio che scrive poesie. A dire il vero, sarebbe più giusto dire che questo tale scribacchia delle mostruosità che nemmeno l'uomo più generoso del mondo potrebbe definire lontanamente poesie: ma si dà il caso che questo poetastro si ritiene all'altezza di Dante, Leopardi e Montale.
Mr. Palomar ha capito ben presto che si tratta di megalomania patologica, e ultimamente cerca di stare alla larga da questo conoscente, o perlomeno di evitare in sua presenza l'argomento poesia, per non dovere dirgli in faccia cosa pensa delle sue manie di grandezza. Si sa, coi matti è meglio andare cauti.
Un giorno, però, gliel'ha detto chiaro e tondo: "Se lei è Dante, allora io sono Napoleone!"
Quando ci vuole, ci vuole. Mr. Palomar è un uomo dal cuore tenero: si fa sempre mille problemi a tirar fuori le unghie, e quelle poche volte che lo fa, poi rimugina a lungo sull'avvenuto. Così quel giorno, ripensando alla frase pronunciata, Mr. Palomar ragionava così tra sè e sè:
"Che senso ha veramente dire che se lui è Dante, allora io sono Napoleone?
E' strana la lingua italiana! Certo, capisco bene che si tratta di una iperbole: come a dire che se è vera un'assurdità come quella che mi ha detto il poetastro, allora siamo autorizzati a dire tutte le assurdità che vogliamo. Ma da un punto di vista logico, è vero che c'è proprio questa relazione di causa-effetto?"

Mr. Palomar ha pensato a lungo, ha tirato fuori alcuni libri dalla sua libreria, e si è ricordato di un filosofo scozzese vissuto intorno al 1300, Giovanni Duns Scoto, che a causa delle sue sofisticate argomentazioni logiche (per alcuni cavillose) venne soprannominato "Doctor Subtilis".
A Scoto, ha scoperto Mr. Palomar, viene tradizionalmente attribuita la scoperta di un principio fondamentale della logica, detto anche "principio di esplosione" o "Ex falso sequitur quodlibet" (cioè: "dal falso discende qualsiasi cosa"): ma in realtà questo teorema fu scoperto da qualche altro logico sconosciuto. Cosa dice questo principio?
Che se per assurdo consideriamo vera una contraddizione logica, allora possiamo dedurre come vera qualsiasi affermazione ci venga in mente. Quindi, ha pensato Mr. Palomar con un briciolo di emozione, se è vero che il poetastro è proprio Dante, allora posso davvero concludere che io sono Napoleone.

Come si spiega la legge dello (pseudo)Scoto?
Noi sappiamo che il conoscente di Mr. Palomar non è Dante, eppure vogliamo ammettere che sia vero ciò che lui sostiene, e cioè che lui è Dante. La contraddizione è quindi data dal fatto che ammettiamo come vere entrambe le affermazioni:
1. il tizio è Dante
2. il tizio non è Dante
Allora Mr. Palomar può legittimamente dire:
"il tizio è Dante oppure io sono Napoleone"
Infatti, dato che abbiamo ammesso come vera la prima parte della frase, anche la complessiva frase disgiuntiva deve essere vera.
Mr. Palomar osserva che se una frase disgiuntiva è vera, significa che è vera almeno una delle sue due parti. Ciò equivale a dire che le due parti non possono essere contemporaneamente false, cioè che l'affermazione "il tizio non è Dante e io non sono Napoleone" deve essere falsa (quest'ultima deduzione è nota come "legge di De Morgan").
Però abbiamo ammesso all'inizio che il tizio non è Dante: quindi deve essere l'affermazione "io non sono Napoleone" ad essere falsa.
Perciò il nostro Mr. Palomar, senza più timore di sbagliare, trae dalla contraddizione iniziale la sorprendente e iperbolica conclusione: "io sono Napoleone".