I quadrati magici (Parte 1)

Qualche giorno fa io e mia moglie abbiamo portato ad una festa di compleanno a sorpresa il quadrato magico di tartine immortalato nella figura qui a fianco.
Per chi l'avesse dimenticato, viene detto "magico" un quadrato formato da n righe ed n colonne, le cui caselle sono riempite con i numeri interi positivi da 1 a n², disposti in modo tale che la somma su ogni riga, su ogni colonna e su ognuna delle due diagonali restituisca lo stesso numero.

Tanto per rincarare la dose, insieme alle tartine abbiamo portato alla festa anche degli stuzzichini geometrici, realizzati seguendo la ricetta che Robert Ghattas propone nel suo bel libro "Bricologica".

Il quadrato che ci siamo sbafati con i nostri amici ha una storia millenaria. Narra una leggenda che molti secoli prima di Cristo, al tempo della dinastia Shang, un pescatore (o, secondo altre versioni, un bambino) vide, lungo le rive del fiume cinese Lo, una tartaruga che portava sul guscio degli strani segni. Ad un'analisi più attenta ci si accorse che i segni costituivano un quadrato magico 3x3.  La mirabile struttura matematica venne ribattezzata "Lo Shu", e viene tuttora considerata in Oriente come simbolo sacro di armonia universale nonché come amuleto.
Non esistono altri quadrati magici 3x3 oltre a Lo Shu, se si eccettuano quelli ottenuti da questo per rotazione o riflessione.
Esistono quadrati magici più grandi? Certamente sì: anzi, è dimostrato che dato, un numero qualsiasi n più grande di 2, è sempre possibile costruire un quadrato magico n x n. Inoltre, al crescere di n, aumenta vertiginosamente il numero di quadrati magici che possono essere costruiti. Ad esempio, sempre trascurando rotazioni e immagini speculari, esistono 880 quadrati magici con lato n=4 e 275.305.224 quadrati magici con lato n=5, mentre non è noto quanti siano esattamente quelli con n>5.

La somma ricorrente che si ottiene sulle righe, sulle colonne e sulle diagonali dei quadrati magici si chiama, un po' alla Harry Potter, "costante di magia", e viene calcolata in funzione di n dalla formula

Nel quadrato "Lo Shu", la costante equivale a 15, nei quadrati 4x4 vale 34, in quelli 5x5 è uguale a 65, e così via.

Nei laboratori che realizzo per la scuola primaria, chiedo spesso ai ragazzi di disporre in un quadrato magico 9 tessere quadrate che portavano i numeri da 1 a 9. Il compito non è banale, anche se dopo qualche tentativo, e con qualche piccolo aiuto, l'obiettivo viene di solito raggiunto. Un semplice trucco per realizzare a colpo sicuro la disposizione magica (e non fare brutta figura davanti ai ragazzi) è questo: si dispongano i numeri in ordine da 1 a 9 (figura A), si ruotino i numeri esterni di una posizione, indifferentemente in senso orario o antiorario (figura B), e infine si scambino tra di loro i numeri collocati sugli "spigoli" del quadrato (figura C).

Un celeberrimo quadrato magico di ordine 4 appare nell'incisione a bulino che Albrecht Dürer realizzò nel 1514 e intitolò "Melancolia I". I critici d'arte concordano nel considerare quest'opera come una rappresentazione dello stato di depressione del suo autore. In una scena dall'atmosfera soffusa e lunare, una figura alata e in atteggiamento pensoso è circondata da strani simboli alchemici: una bilancia dai piatti vuoti, una scala a pioli, un levriero magro e dormiente, strumenti di carpenteria, una clessidra che misura il passare del tempo, un putto, una campana, un coltello, e, per finire, una sfera, un interessante tetraedro troncato, che forse meriterebbe da solo un post di argomento geometrico, e appunto un quadrato magico, posto nell'angolo in alto a destra.
Cosa c'entra il quadrato magico con la melanconia di Dürer? Secondo l'interpretazione prevalente, gli astrologi rinascimentali collegavano i quadrati magici all'influenza del pianeta Giove, ritenuta in grado di contrastare l'atteggiamento saturnino, associato all'alchimia e alla melanconia. Insomma, se la tradizione cinesi attribuisce ai quadrati magici proprietà di portafortuna, nel Rinascimento venivano considerati simboli dal potere "antidepressivo".

Il quadrato di Dürer non è un semplice quadrato magico, ma gode di straordinarie ulteriori proprietà.
La costante di magia 34 viene ottenuta non soltanto sommando i numeri sulle righe, sulle colonne e sulle diagonali, ma anche sommando i numeri dei quattro settori quadrati 2x2 in cui si può dividere il quadrato, e anche sommando i quattro numeri centrali e i quattro numeri agli spigoli.
Inoltre, il quadrato è simmetrico, nel senso che sommando ogni numero con il numero simmetricamente opposto rispetto al centro si ottiene 17.


Realizzare un quadrato magico simmetrico a partire da una disposizione iniziale ordinata dei numeri da 1 a 16 è, curiosamente, ancora più semplice del caso 3x3: è sufficiente invertire ciascuna delle due diagonali. Provate per credere! Se seguite le mie istruzioni, otterrete un quadrato simile a quello di Dürer, ma con le due colonne intermedie scambiate tra di loro. L'artista e matematico tedesco operò questo ulteriore scambio in modo da ottenere il colpo di teatro finale: i due numeri centrali dell'ultima riga compongono il numero 1514, anno di realizzazione dell'opera.

I quadrati magici costituiscono un ambito della matematica ricreativa estremamente ricco di sorprese. Ad esempio una delle sfide più entusiasmanti è quella di determinare il numero di quadrati magici di un certo ordine, che, come abbiamo visto, è ad oggi ignoto per ordini superiori al quinto.
Un altro problema molto interessante, soprattutto per i collegamenti con l'informatica, è legato alla costruzione di quadrati magici grandi.
Sono state utilizzate svariate tecniche per raggiungere questo obiettivo. Una delle più notevoli è quella che fa uso degli algoritmi genetici, dei quali ho parlato in un post di quasi due anni fa.
Per vedere l'agoritmo in azione, consultate questa pagina.
Se l'evoluzione biologica riguarda specie viventi, in questo caso ad evolvere sono i quadrati magici. La popolazione iniziale viene costruita introducendo nei quadrati valori casuali, che, nella maggior parte dei casi, non renderanno magico il quadrato. Il punteggio di idoneità (o fitness) viene assegnato ad ogni quadrato tenendo conto della sua "magia", cioè della sua vicinanza alla caratteristiche di magia sulle righe, sulle colonne e sulla diagonali. I quadrati con idoneità minore vengono scartati, mentre i più magici vengono selezionati per la riproduzione, che avviene attraverso scambi di valori tra diversi quadrati e mutazioni casuali.
Sugli individui della generazione successiva viene nuovamente assegnato il punteggio di idoneità, e il processo continua finché non viene raggiunto un limite di tempo o un quadrato non rivela finalmente la sua "magia".