I ponti di Eulero

Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero, era un costruttore di ponti. Non mi riferisco ai sette ponti che scavalcano il fiume Pregel nella città prussiana di Konigsberg, legati al famoso problema topologico che Eulero risolse nel 1736, ma alle innovative connessioni che il geniale matematico svizzero riuscì a stabilire tra molti rami diversi della matematica.
I ponti scoperti da Eulero collegarono tra loro, in modo spesso sorprendente, settori come la teoria dei numeri, l’analisi, lo studio dei numeri complessi, la topologia, la geometria analitica.
Uno di questi ponti è la celebre identità scoperta da Eulero nel 1748:






Questa formula viene spesso considerata “la più bella di tutta la matematica” perché raccoglie in una meravigliosa sintesi alcuni degli operatori e dei numeri fondamentali della matematica: l'addizione, l'esponenziale, lo zero, l'uno, il numero di Nepero e, la costante immaginaria i e il celebre π.
A proposito di π, uno dei legami più interessanti che Eulero esplorò, sotto molteplici punti di vista, è quello tra il fatidico rapporto geometrico e i numeri primi.
Che cosa lega tra loro queste due nozioni matematiche? Apparentemente nulla. π è un numero irrazionale, addirittura trascendente, come ho accennato in questo mio post, mentre i numeri primi sono i numeri naturali refrattari alla divisione.
Prima del Settecento, π era ritenuto una costante d'interesse esclusivamente geometrico. Eulero fu il primo a comprendere che alcuni strani nessi congiungevano π ai numeri primi, passando attraverso concetti non banali come le serie convergenti e le funzioni.
Ad esempio, modificando opportunamente il segno di alcuni termini della celebre serie armonica, Eulero ottenne questa sorprendente equazione:


dove i segni dei termini, a parte i primi due, si determinano in questo modo:
- segno positivo se il denominatore è un numero primo del tipo (4m – 1);
- segno negativo se il denominatore è un numero primo del tipo (4m + 1);
- prodotto dei segni dei singoli fattori se il denominatore è un numero composto.
Mentre, com'è ben noto, la serie armonica non converge, cioè tende verso un valore infinito, questa particolare serie converge verso π molto lentamente: per arrivare alla scadente approssimazione 3,01 occorrono 500 termini, per determinare l'1 come prima cifra decimale ne servono 5000, e per arrivare a 3,14 bisogna utilizzarne ben 3.000.000.
Nonostante la scarsa utilizzabilità pratica, tuttavia, questa identità è una delle più notevoli della matematica, soprattutto per l'inatteso coinvolgimento del concetto di numero primo.

Un altro dei ponti euleriani tra π e i numeri primi è legato al celebre problema di Basilea e alla famosa formula prodotto di Eulero.
Il problema era stato proposto quasi un secolo prima dal matematico bolognese Pietro Mengoli, il quale aveva inutilmente cercato di calcolare una formula (o, come dicono i matematici, una "forma chiusa") che esprimesse il valore al quale tende la somma degli inversi dei quadrati di tutti i numeri naturali, cioè:

Ancora una volta si trattava di una serie imparentata con la serie armonica: in questo caso la differenza non stava nei segni dei termini, ma nella presenza dei quadrati al denominatore di ogni termine.
I quadrati al denominatore rendono i termini più piccoli e fanno sì che la serie converga. Non è difficile calcolare empiricamente che il valore al quale tende si aggira intorno a 1,64493: tuttavia nessuno fino al 1735 riuscì a determinare una forma chiusa per questo valore.
La trovò in quell'anno il nostro Eulero, il quale dimostrò che: 
Dividendo per 6 il quadrato di π si ottiene proprio quel fatidico valore 1,64493...
Eulero si accorse anche che il risultato poteva essere elegantememente generalizzato a tutti i casi in cui, al posto dei quadrati, compaiono potenze pari.
Ma questa volta cosa c'entrano i numeri primi? C'entrano, perché Eulero scoprì che, manipolando opportunamente quella somma degli inversi dei quadrati, si poteva ricavare la seguente formulazione alternativa:
dove il prodotto al secondo membro coinvolge tutti i numeri p primi.
Ad esempio, con s=2 si otteneva il caso particolare con il valore pari al quadrato di π diviso per 6.
Ecco quindi un nuovo strano ponte euleriano tra π e i numeri primi. Inoltre, ancora una volta π saltava fuori a sorpresa da un teorema che univa l'analisi matematica (le serie) e la teoria dei numeri (i numeri primi), ma che nulla c'entrava con cerchi e altre figure geometriche, i tradizionali luoghi nei quali ci si aspetta di trovare π.

Il teorema racchiuso nell'equazione esposta sopra prende il nome di "formula prodotto di Eulero", e riveste una grande importanza nella storia della matematica, soprattutto perché aprì la strada a molte fondamentali scoperte successive.
Il divulgatore inglese John Derbyshire, nel suo bel saggio "L'ossessione dei numeri primi", pubblicato in Italia da Bollati Boringhieri, ha ribattezzato questo teorema come la "Chiave d'Oro", sottolineando la sua rilevanza e la sua utilità.
Il primo membro dell'equazione non è altro che la definizione della celeberrima funzione zeta, che Bernhard Riemann esplorò a fondo più di un secolo dopo Eulero, introducendo le metodologie dell'analisi complessa e comprendendo meglio i suoi legami con i numeri primi.
Il ponte gettato da Eulero nel 1735 rappresentò il primo passo di un cammino appassionante, che portò alla formulazione dell'ipotesi di Riemann e alla definizione di una serie di misteri tuttora irrisolti.

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