lunedì 22 gennaio 2024

"Matematica rock": quattro recensioni speciali (parte terza e ultima)

Ed eccoci arrivati all'ultimo dei tre post dedicati alle recensioni di "Matematica rock" scritte dalle studentesse e dagli studenti del corso di modelli matematici ("Mathematical Models for the Physical Natural and Social Sciences) tenuto dal prof. Luigi Amedeo Bianchi dell'Università di Trento.

Oggi vi presento le ultime due recensioni, che, a differenza delle prime due, indicano anche alcuni aspetti ritenuti non positivi del libro: nonostante questo ho apprezzato molto anche questi lavori che dimostrano una buona capacità di analisi e di scrittura da parte dei giovani studenti.

Buona lettura!



Recensione n. 3 di "Matematica rock"

Nota: il report è pensato come una recensione/articolo in cui il libro viene inquadrato nel contesto della divulgazione della matematica.

Storie di musica rock e... matematica?

Nell'ambito dei libri di divulgazione matematica, l'argomento musica è un grande classico. Le due discipline, apparentemente relegate ad aree ben distinte - quella tecnico-scientifica della matematica e quella umanistico-artistica della musica - sono invece fortemente interconnesse.

Infatti, la musica, nei suoi aspetti più tecnici, si struttura attraverso regole matematiche, e in una prospettiva più ampia, matematicamente e possibile descrivere la fisica del suono; in seconda battuta la matematica presenta poi una certa musicalità, intesa come armonia.

In quest’ottica si muove ad esempio Piergiorgio Odifreddi in "Penna, pennello e bacchetta — Le tre invidie del matematico" (1), che nel capitolo dedicato appunto alla bacchetta spazia dagli intervalli musicali di Pitagora, all’Harmonices Mundi di Keplero, fino alle onde stazionarie e alle serie di Fourier, per arrivare all'estrema sintesi “MUSICA = ARMONIA = MATEMATICA".

Analoghe argomentazioni si trovano anche in "L’armonia è questione di numeri" (2); per un capolavoro di intrecci tra musica, arte e matematica si rimanda invece a "Gödel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante" (3).

Date le premesse, sorge spontanea la curiosità per un libro dal titolo "Matematica rock" (4), nella speranza di imbattersi in un contributo nuovo, originale e più contemporaneo nell’ambito dei rapporti tra musica e matematica, ispirati dalla copertina che reinterpreta quella dell’album "Abbey Road" dei Beatles aggiungendo dei simboli matematici al termine delle strisce pedonali più famose della storia della musica. Il volumetto di circa duecentotrenta pagine, pero, soddisfa le aspettative solo parzialmente.

L’'introduzione contiene una precisa dichiarazione d’intenti rispetto al contenuto del libro: l'autore, ben consapevole dell’esistenza di valide opere sul rapporto tra musica e matematica, sceglie di limitare il proprio punto di vista e di unire due sue grandi passioni, quelle per la matematica e il rock, appunto, in un libro che “non è un volume sulla storia del rock”, “non è nemmeno un saggio di matematica” ma è invece “un libro che racconta storie”. Una descrizione quanto mai calzante. Infatti, il lettore ideale non è certo un addetto ai lavori, piuttosto un appassionato di musica rock o di matematica, per il quale l'autore ha raccolto tutta una serie di storie e aneddoti provenienti dal mondo del rock, ricamati in una cornice matematica più o meno ispirata e pertinente, a seconda dei casi. 

Tutti i capitoli, che sono raggruppati per macro-aree matematiche, sono strutturati allo stesso modo: inizialmente viene raccontata una storia di una band, di un disco, o di un famoso brano rock, che funge da spunto per proporre un problema di natura matematica dal quale poi il discorso viene ampliato con la presentazione di un argomento prettamente matematico, per riunire infine i due fili nella conclusione. Gli aneddoti musicali sono in generale molto interessanti, con abbinamenti matematici però a volte

poco armoniosi, legati in maniera troppo debole o forzata al tema musicale. Ne risultano alcuni capitoli internamente poco coesi e di natura eccessivamente descrittiva, che rischiano di lasciare insoddisfatto sia il lettore ideale - anche perché a volte poco chiari e dispersivi nell’esposizione matematica - sia il lettore più esperto, che si annoierà certamente nel vedersi riproporre argomenti non esattamente originali nell’ambito della divulgazione matematica. Nonostante ciò, non è da ignorare la presenza di capitoli validi e accattivanti con un intreccio più naturale tra musica e matematica. 

Per dare maggiore concretezza a quanto finora detto e permettere uno sguardo d’insieme, e non di meno per aiutare un indeciso potenziale acquirente o eventualmente orientare una più mirata lettura, si propone di seguito una tabella-indice riassuntiva, che delinea per ciascun capitolo gli spunti musicali e i connessi approfondimenti matematici.

Lo schema sembra suggerire di procedere alla lettura con le cuffie sulle orecchie, e di ascoltare i brani di volta in volta proposti per poter apprezzare meglio in seguito anche il contenuto matematico. Una scelta interessante poteva forse essere quella di vendere insieme al libro anche un audiolibro, che alterni alle spiegazioni l’ascolto di almeno una parte dei brani citati. In questa forma I'esperienza di lettura sarebbe risultata senz’altro più godibile.

Purtroppo, però, come già si accennava in precedenza, non in tutti i capitoli gli argomenti di matematica risultano profondamente connessi con i brani musicali associati: viene spesso affrontato un tema esclusivamente perché citato, con o senza cognizione di causa, all'interno del testo di una canzone; da ciò segue un’esposizione dell’argomento matematico fine a sé stessa, a volte superficiale. Ad esempio, nel capitolo dodici si parla brevemente di limiti, funzioni continue e derivate senza approfondire a sufficienza e lasciando quindi confuso un lettore a cui tali concetti siano nuovi, e annoiato uno che ne fa uso quotidianamente. Un discorso analogo vale anche per altri capitoli, come l'uno, il quattro e l'undici.

Molto più interessanti sono invece le storie dove la matematica gioca un ruolo davvero determinante nelle questioni musicali. Ad esempio, è il caso dei capitoli otto e tredici, i quali hanno strettamente a che fare con i modelli matematici. 

Nell'ottavo capitolo, il problema di natura musicale proposto è l'attribuzione della paternità compositiva del testo e della musica di "In My Life" e "The Word", entrambi brani dell’album "Rubber Soul" dei Beatles. Infatti, è risaputo che le canzoni del celeberrimo gruppo britannico venivano scritte a quattro mani o singolarmente in prevalenza da John Lennon e Paul McCartney. Su questi brani in particolare, pero, i due hanno rilasciato testimonianze discordanti; ecco allora entrare in gioco la matematica come strumento di ricerca della verità, non assoluta, ma probabilistica. L’autore riporta il risultato di uno studio del 2018, nel quale alcuni ricercatori americani hanno realizzato un algoritmo in grado di fare luce sul problema. Analizzando un database di brani composti dai due autori, e selezionando una serie di caratteristiche distintive del diverso stile compositivo di Lennon e McCartney, gli studiosi hanno costruito un modello matematico basato sul teorema di Bayes, che fornisca la probabilità a posteriori che un brano sia stato composto da uno o dall’altro musicista, date le sue specifiche caratteristiche. Per fare un esempio, Lennon tendeva a comporre melodie di note vicine tra loro in altezza, mentre McCartney inseriva anche salti importanti. Utilizzando quindi un database di brani all'incirca dello stesso periodo e di cui e certa la paternità, e possibile stimare la probabilità che un brano risulti di Lennon, la probabilità che contenga note ravvicinate, e la probabilità condizionata che contenga note ravvicinate sapendo che è di Lennon. Applicando la formula di Bayes si è quindi in grado di stimare la probabilità che un brano sia stato effettivamente composto da Lennon, sapendo che la melodia è costituita da note ravvicinate. Un ragionamento analogo può essere fatto anche per McCartney. Ovviamente nello studio sono stati presi in considerazione molteplici tratti distintivi dei brani dei due autori per migliorare I'affidabilità del modello.

Protagonista del capitolo tredici è casualmente un altro brano dei Fab Four, "A Hard Day’s Night", che presenta un incisivo quanto brusco accordo di apertura, di cui non si conoscono con precisione tutte le note (ovviamente si fa riferimento alla versione incisa sul disco, dove è possibile sovrapporre più tracce). Ancora una volta le testimonianze discordanti chiamano in causa la matematica, stavolta applicata alla fisica, in particolare all'analisi delle frequenze delle onde sonore. Ecco allora che viene introdotto un argomento molto tecnico, quello dell’analisi di Fourier, descritto però con semplicità e chiarezza. Attraverso un processo di selezione delle frequenze presenti con maggiore intensità nella registrazione, il modello permette di ricostruire con una certa approssimazione le note dell’accordo suonate dai diversi strumenti presenti in traccia. Particolarmente significativa è l'osservazione conclusiva dell’autore, che si sofferma su una curiosa circostanza: 'analisi e stata effettuata indipendentemente da due studiosi, che hanno usato tecniche simili ottenendo però risultati completamente diversi. Viene quindi giustamente fatto notare che i ricercatori hanno formulato ipotesi e operato scelte differenti, introducendo quella “necessaria componente di guesswork” che gioca un ruolo tanto fondamentale nella costruzione di un modello matematico.

In conclusione, nonostante alcuni capitoli meno ispirati e uno stile non sempre coinvolgente, "Matematica rock" contiene spunti interessanti e inusuali sul tema del rapporto tra musica e matematica. I contributi dei due mondi, uniti dall’evidente passione dell’autore, docente di matematica e inguaribile fan della musica rock, danno il meglio di sé quando naturalmente amalgamati in un’unica storia. Il risultato è un atipico libro dal tono leggero nel panorama della divulgazione, di cui vale la pena consigliare la lettura, che sia per aiutare uno studente musicista a meglio apprezzare la tanto temuta disciplina scolastica, o per far riemergere qualche lontano ricordo matematico nella mente di un attempato fan del rock.


Note:

(1) Piergiorgio Odifreddi, Penna, pennello e bacchetta - Le tre invidie del matematico, Laterza, 2005

(2) Javier Arbonès, Pablo Milrud, L'armonia è questione di numeri, RBA [talia, 2011

(3) Douglas R. Hofstadter, Gddel, Escher, Bach: un'Eterna Ghirlanda Brillante, Adelphi, 1984

(4) Paolo Alessandrini, Matematica rock - Storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin, Hoepli, 2019


Recensione n. 4 di "Matematica rock"

Nato a Verona nel 1971, Paolo Alessandrini si è laureato in Ingegneria Informatica presso l'Università di Padova con cui ha poi collaborato a progetti di ricerca di matematica computazionale. E docente di ruolo di matematica presso il Liceo Scientifico e Istituto Tecnico “Max Planck” di Villorba (TV). Dal 2011 è autore del blog “Mr. Palomar”, tra i più noti blog di divulgazione matematica in Italia.

La sua comunicazione si sviluppa anche su altri livelli: dai laboratori didattici per bambini e ragazzi a conferenze-spettacolo come quelle preparate per la presentazione del suo libro “Matematica rock” pubblicato da Hoepli nel 2019 (per il quale propone anche una playlist su Spotify con tutti i brani citati in sequenza di capitoli, come riporta in un’intervista per TGCOM24).

Il libro si apre con un’incalzante introduzione: musica e matematica si completano, ed è tutto un mondo da scoprire. La storia fa da compagna, lega l'evoluzione e lo sviluppo del rock al naturale “filo logico degli argomenti matematici introdotti” come illustra l'autore.

Parlare di assiomi di Peano e aritmetica modulare sulle parole di “Rock Around the Clock” sembra forse un po’ forzato, ma il testo del libro resta comunque piacevole e discorsivo per un pubblico ampio, lasciando notevoli spunti di riflessione. E una coincidenza che nei pezzi più importanti dei primordi del rock’n'roll ci siano riferimenti ai numeri naturali? L’autore non lo nega. Il collegamento più profondo al quale vuole condurre il lettore però resta chiaro: è affascinante come gli elementi fondamentali dell’aritmetica compaiano in pezzi che sarebbero stati la base di un nuovo genere musicale. Analoghe considerazioni si possono fare relativamente all’excursus di brani in cui sono presenti riferimenti ai numeri della successione di Fibonacci, con l'unica differenza che in questo caso non si tratterebbe di una coincidenza.

Il legame tra matematica e musica, che l'autore cerca di sviscerare, si osserva particolarmente nella sua trattazione dei numeri primi. Per registrare il famoso effetto sonoro “stomp-stomp-clap” di “We Will Rock You”, Brian May decise di utilizzare ritardi primi fra loro in modo che non ci fossero divisori comuni tra i diversi delay. L’obiettivo era quello di riprodurre il battito di mani e piedi di migliaia di persone, ovvero l'effetto di riverbero da esse generato. Ed è da qui che si può cominciare ad apprezzarne la potenza. Interessante il collegamento che D.R. Hofstadter nel libro “Gödel, Escher, Bach: un’eterna ghirlanda brillante” fa con l'opera di M.C. Escher “Liberazione” come rappresentazione dell’opposizione tra ciò che è libero e ciò che è formalizzato: “I numeri sono veramente liberi come gli uccelli? Soffrono altrettanto quando vengono cristallizzati in un sistema che ubbidisce a delle regole? Esiste una zona magica di transizione tra i numeri della realtà e quelli scritti sulla carta?”

Da qui ci si introduce agilmente nello step successivo; è infatti nel capitolo intitolato “2+2=5", dal nome della canzone dei Radiohead e dalla sua evidente falsità, che si arriva al concetto di sistema formale, costruito a partire da assiomi e da regole di inferenza. Obiettivo del programma di Hilbert era quello di “dar vita a un sistema formale coerente e completo” che potesse dare una formalizzazione di tutta la matematica. Questo sogno svanirà con il “primo teorema di incompletezza” di Gödel secondo cui coerenza e completezza non possono coesistere in un sistema formale, come dice Hofstadter: “tutte le assiomatizzazioni coerenti dell’aritmetica contengono proposizioni indecidibili, è questa la perla”. Ne risente la solidità dell’edificio della matematica? Sembrerebbe di no, come sembrerebbe che il rock non sia mai morto ma che abbia solo cambiato forma. Hofstadter non è altrettanto sicuro, l'articolo pubblicato da Gödel rivela mancanze importanti nel sistema assiomatico proposto da Russell è Whitehead e di fatto “demolì completamente il programma di Hilbert”.

Nel libro assumono un ruolo interessante e affascinante anche i Coldplay sia per la scelta del nome del loro album “X&Y" che per la sua copertina. Nella matematica la x e la y rievocano Cartesio e l'uso delle ultime lettere dell’alfabeto per indicare i termini incogniti, mentre la copertina dell’album evoca criptici messaggi in codice. L’opposizione che Chris Martin trova tra x è y ritorna, in una veste un po’ diversa, nella complementarietà dello yin e dello yang: i due principi cosmici della filosofia orientale protagonisti dello “I Ching”, testo cinese antichissimo da cui Syd Barrett prese ispirazione per la canzone “Chapter 24". Siamo nell’ambito di un rock psichedelico la cui attenzione si rivolge appunto alla cultura orientale. Ed è dal suo fascino, nelle diverse rappresentazioni dei concetti presenti nello “I Ching” (una linea intera per lo yang e una linea spezzata per lo yin; combinazioni di due linee — bigrammi - per le stagioni; trigrammi per elementi naturali quali fuoco, terra, etc.) che si arriva al significato della canzone di Barrett alla cui base c’è una catena di esagrammi. L'autore nella sua analisi matematica ricerca, forse in modo un po’ forzato, il legame con gli elementi del calcolo combinatorio e della notazione binaria.

In tutta onestà, fin qui mi aspettavo qualcosa di leggermente diverso, penso di aver inconsciamente creduto ci potesse essere una connessione veramente profonda tra matematica e rock, ma è effettivamente tale? Rileggendo l'introduzione l'autore sottolinea infatti come ci siano “richiami” ad argomenti matematici. Ed è nella debolezza della parola “richiami” che prende forza la mia non totale soddisfazione. Credo però che la potenzialità di “Matematica rock” sia nel suo carattere divulgativo: vengono presentati moltissimi argomenti in modo chiaro e conciso. La storia, sia nell’ambito del rock che della matematica, fa da protagonista e penso sia utile, ma anche curioso e affascinante, conoscere il contesto in cui si sono sviluppate idee alquanto geniali.

Ho trovato invece più coinvolgenti le ultime due sezioni del libro. La prima riguarda geometria e topologia: le firme dei Led Zeppelin portano ad introdurre la teoria dei nodi a cui è collegata anche la copertina di “A Head Full of Dreams” dei Coldplay. Si passa poi al concetto di funzione ricorsiva e di frattale, nell’ambito del feedback visivo di “Bohemian Rhapsody” e del feedback sonoro di “I Feel Fine”. Il fatto che l'autore si spinga anche a parlare di Escher e di come Hofstadter lo inserisca, nel già citato “Gödel, Escher e Bach” è coinvolgente, stimolante e completa il quadro aperto nel capitolo “2+2=5": E' infatti la presenza di strutture autoreferenziali che impediscono ad un sistema formale di essere al tempo stesso coerente e completo. Viene infine presentata una sezione sull’analisi che riporta canzoni dal contenuto prettamente matematico come “There Is a Delta for Every Epsilon” di Tom Lehrer e “Mathematics” dei Van der Graaf Generator. Questi brani diventano spunti interessanti per presentare alcuni concetti (limite e continuità, l'identità e^iπ + 1 = 0) in modo tale da inserire anche la matematica, apparentemente lontana, in una forma d’arte quale è la musica.

L’autore sottolinea in due situazioni come l'uso della matematica sia stato fondamentale per risolvere misteri riguardanti il mondo del rock: l'attribuzione di una canzone ad uno specifico artista e la ricomposizione di un accordo per mezzo delle trasformate di Fourier. Senz’altro sono spunti interessanti di cui discutere, ma l'utilità della matematica è indipendente dall’obiettivo dell’autore di presentare un collegamento tra matematica e rock. Personalmente ho preferito i passaggi in cui lo scrittore ha presentato un’analisi verso per verso di alcuni brani della storia del rock, riuscendo a spiegarne in modo preciso e curioso il significato e il nesso matematico.

A questo punto la mia curiosità non può non cadere sull’ultimo titolo particolarmente intrigante, “Bestiario matematico: Mostri e strane creature nel regno dei numeri” (finalista al premio Asimov 2022), di Paolo Alessandrini. Dalle interviste traspare subito l'idea centrale dell’autore di voler raccontare gli elementi più strani, sorprendenti e spaventosi della matematica con l'intento di accompagnare il lettore fuori dall’ordinario. . . di sicuro la trama crea molto hype!

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