Un "mostruoso" fiocco di neve

Lo so, in giorni come questi di torrido sole, afa e zanzare, parlare di fiocchi di neve può sembrare anacronistico. Ma tant'è: non si può essere sempre in linea con la stagione; e poi, volete mettere: nei giorni di canicola è più piacevole parlare di neve piuttosto di climi tropicali, o no?
Ebbene, nel 1904, il matematico Helge van Koch,che non a caso era svedese, inventò una curva, oggi nota come "fiocco di neve di Koch", o anche "merletto di Koch", che i colleghi dell'epoca definirono una mostruosità matematica.
Costruire il fiocco di neve di Koch è molto semplice, almeno in teoria. Per prima cosa prendete un triangolo equilatero: per ognuno dei tre lati, dividete il lato in tre segmenti uguali e sostituite il segmento centrale con due segmenti identici che assieme al segmento eliminato costituirebbero un triangolo equilatero. Avrete ottenuto una sorta di stella di David, con 6 punte e 12 lati. Ripetete l'intera operazione per ciascuno dei lati della stella, ottenendo una stella ancora più frastagliata. Nella figura seguente sono mostrati i primi quattro passi della creazione del "mostro" di Koch; nell'animazione successiva è mostrato un numero maggiore di passi della costruzione.

Questo procedimento, proseguito all'infinito, tende verso quello che viene definito "fiocco di neve di Koch".
Perché la creatura del matematico svedese fu definita mostruosa? Alcune sue caratteristiche sono, a ben vedere, molto strane, se non addirittura paradossali.
In ogni passo della sua costruzione, come abbiamo visto, ciascun lato viene suddiviso in tre segmenti, uno dei quali è sostituito da due segmenti uguali: ciò significa che ad ogni iterazione la lunghezza totale aumenta di un fattore 4/3, e quindi il fiocco limite di Koch non può che avere una lunghezza infinita.
Nonostante la linea sia infinita, essa racchiude un'area ovviamente finita, e ciò può apparire, intuitivamente, una contraddizione in termini.

Altre proprietà esotiche della curva sono legate a considerazioni di analisi matematica più avanzate e meno intuitive: la curva è continua, ma non è derivabile in alcun punto.

Il merletto di Koch gode inoltre della stranissima proprietà dell'autosimilarità: ogni parte contiene infatti il tutto, cioè ingrandendo progressivamente un dettaglio si ritrova ogni volta l’immagine di partenza.
Ricordate il mio vecchio post sulla matematica di Ummagumma? Nella copertina "ricorsiva" di quel disco dei Pink Floyd, la foto appesa al muro si ritrovava l'intera scena della copertina complessiva, e così via, per due livelli successivi di profondità.
Nel merletto di Koch accade qualcosa di molto simile: ricorsione e autosimilarità sono concetti molto vicini.

Un'altra caratteristica esotica della curva di Koch è la sua dimensione.
Che cos'è la dimensione di una curva? La questione, per la verità, è molto profonda e non può essere esaurita in poche righe; cercherò comunque di fornire sull'argomento qualche indicazione intuitiva, non necessariamente rigorosa.
Qual è la dimensione di un segmento? Bè, ovviamente 1. E quella di un quadrato? Certamente 2. E quella di un cubo? Non può che essere 3.
Va bene, ma perché? Come di definisce, in generale, la dimensione di un oggetto geometrico? E qual è la dimensione del fiocco di neve di Koch?
Intuitivamente, qual è il quadrato più piccolo che possiamo usare per racchiudere interamente (o, come direbbero i matematici, "ricoprire") un segmento lungo un metro? Ovviamente un quadrato con la diagonale di un metro. E se disponessimo soltanto di quadrati con diagonale di mezzo metro, cioè pari alla diagonale iniziale divisa per N=2? Avremmo bisogno di M=2 quadrati, perché mettendone uno a fianco dell'altro le due diagonali si sommerebbero a raggiungere il metro di lunghezza del segmento da ricoprire. Analogamente, se avessimo soltanto quadrati con diagonale pari a 25 cm (N in questo caso è uguale a 4), avremmo bisogno di M=4 quadrati.
Ebbene, la dimensione dell'oggetto (in questo caso il nostro segmento) è l'esponente al quale dobbiamo elevare N per ottenere M. In questo caso, al variare della grandezza dei quadrati, N ed M sono sempre uguali tra loro, e l'unico esponente che lascia invariato qualsiasi numero è 1. La dimensione di un segmento è quindi 1, come ci aspettavamo.

Se ripetessimo la stessa operazione con un quadrato, otteremmo una dimensione sempre uguale a 2, com'è in effetti la dimensione che ci aspettiamo di assegnare ad un oggetto bidimensionale. E per un cubo si otterrebbe una dimensione 3, risultato del tutto prevedibile e per nulla sorprendente.

E per il fiocco di neve di Koch? Qui la faccenda diventa più strana, se proprio non vogliamo scomodare l'aggettivo "mostruoso".
Inoltre, prenderò in esame non l'intero fiocco di Koch, ma solo un terzo dell'intera curva chiusa: questa porzione corrisponde alla curva che evolve a partire da uno dei tre lati del triangolo iniziale. Quando si parla genericamente di "curva di Koch", si intende proprio questa porzione aperta dell'intero "fiocco".
La dimensione della curva aperta di Koch, comunque, è identica a quella del fiocco di neve di Koch: non spiegherò perché, ma, se potete, credetemi sulla parola.
Se il lato di partenza è lungo 1 metro, possiamo ricoprire la curva finale di Koch con un quadrato la cui diagonale è lunga 1 metro. Se però disponiamo di quadrati con diametro pari a un terzo di metro, allora avremo bisogno di 4 quadrati, come indicato in figura.

Volendo utilizzare quadrati ricoprenti ancora più piccoli, secondo un fattore di rimpicciolimento 3, dovremo sostituire ogni quadrato grande con 4 quadrati più piccoli, e così via indefinitamente.
Per la curva di Koch, quindi, N ed M stanno tra loro come 3 sta a 4. Ora, l’esponente al quale dobbiamo elevare 3 per ottenere 4 è pari a log(4) / log(3), che è circa uguale a 1,2619.
Quindi, per quanto strano ciò possa essere, non possiamo che concludere che la dimensione del fiocco di neve è D = 1,2619.

Esistono quindi oggetti, e il merletto di Koch ne è un rappresentante emblematico, la cui dimensione non è intera. Per giunta questi oggetti godono di quella diabolica proprietà nota come autosimilarità: prendendone un pezzetto si ritrova l'oggetto completo di partenza. E inoltre, come abbiamo visto, si tratta di curve non derivabili.
Caratteristiche troppo bizzarre perché non fossero giudicate "mostruose" dai matematici di un secolo fa. Il matematico francese Charles Hermite affermò addirittura di "ritrarsi con spavento e orrore da questa piaga lamentevole delle funzioni che non hanno derivata".
Oggi oggetti di questo genere non fanno più paura, e vengono chiamati frattali: il fiocco di Koch è, in effetti, una delle prime curve frattali che siano state descritte.