William Shanks, ovvero il calcolatore umano

In questo blog ho citato due volte la canzone "Pi", scritta e interpretata da Kate Bush in onore del numero più famoso di tutti: π, cioè pi greco. Nel testo di questa canzone viene descritta la figura di un matematico ossessionato da questo numero e vengono elencate 116 delle sue cifre decimali.
Nel primo di questi post accostavo questo brano pop al personaggio del procuratore Paravant nella "Montagna incantata" di Thomas Mann, e nel secondo lo collegavo all'impresa del cinese Lu Chao che nel 2005 ha recitato a mente 67.890 cifre della famosa costante.
Non tutti sanno, però, che le 116 cifre cantate da Kate Bush non sono tutte giuste. Precisamente, gli errori commessi sono due: come cifra n. 54, al posto di uno zero, la celebre cantautrice inglese canta inspiegabilmente "21", e più avanti, salta in blocco le cifre comprese tra le n. 79 e la n. 100, riprendendo dalla n. 101, per terminare alla n. 137.
Non ha molto senso stabilire se questa variazione debba essere considerata un errore grossolano, oppure una licenza artistica, o ancora, come qualcuno ha fantasiosamente ipotizzato, un misterioso messaggio cifrato.
Nel 2009, durante una trasmissione radiofonica della BBC intitolata “More or less”, è stata proposta una tesi che ironicamente qualcuno ha ribattezzato “congettura di Kate Bush”: nulla ci vieta di supporre che i 116 decimali cantati si trovino non all’inizio ma in un'altra posizione nell’infinito sviluppo di π.

Anche se certamente non è così, a me piace invece pensare che l'errore nel testo di "Pi" sia stato volutamente commesso per rendere omaggio al matematico dilettante inglese William Shanks, che nel 1873 annunciò di avere trovato ben 707 decimali di π.
Piccolo particolare: in quell'epoca non c'erano computer, ragion per cui Shanks eseguì tutti i calcoli con carta e penna.
William Shanks era nato nel 1812 a Corsenside, nel Northumberland. A 34 anni si era sposato a Londra, e l'anno dopo si era trasferito a Houghton-le-Spring, un paese della contea del Tyne and Wear, non lontano da Sunderland, dove aveva trovato lavoro prima come insegnante di materie letterarie e matematiche, e successivamente come preside di un collegio scolastico privato.
Questo incarico gli lasciava molto tempo libero, al punto che, per non annoiarsi, aveva deciso di dedicare le numerose ore buche al suo passatempo preferito: il calcolo di π. Aveva deciso di organizzarsi in questo modo: al mattino determinava nuove cifre decimali, e al pomeriggio ripercorreva i calcoli eseguiti per correggere eventuali errori.
Nel 1853 presentò i primi risultati delle sue fatiche in un libro, intitolato "Contributions to mathematics, comprising chiefly the rectification of the circle to 607 decimals etc.".
Sebbene 607 cifre rappresentassero già un record eccezionale (l'unico degno concorrente di Shanks era William Rutherford, che nello stesso anno si era però fermato a 440 cifre), Shanks non era soddisfatto, e continuò a lavorare senza tregua per altri vent’anni per aggiungere altre cento posizioni decimali alla sua approssimazione, finché nel 1873 pubblicò la sua celebre tavola con 707 cifre.

Per eseguire i suoi calcoli, Shanks aveva deciso di utilizzare una formula scoperta dal matematico inglese John Machin nel 1706:

π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)

Nel corso della sua vita, Shanks si dedicò anche al calcolo delle cifre decimali della costante di Nepero e e della costante di Eulero-Mascheroni γ.
Pubblicò anche una tavola dei numeri primi fino a 60.000, calcolò i logaritmi naturali di 2, 3, 5 e 10 fino a 137 decimali, e i valori di 2^12m+1 per m = 1, 2, 3, ..., 60.

Ma il nome di William Shanks rimane legato alla colossale impresa del calcolo delle cifre di π: nessuno mai fece meglio di lui servendosi soltanto di carta e penna. 
Quando Shanks morì, nel 1882, i computer erano ancora lungi dall'apparire sulla terra: soltanto una cinquantina di anni dopo, con l'avvento dei primi calcolatori meccanici si cominciò a conoscere π più in profondità.
E fu proprio grazie ad un calcolatore che nel 1944 D. F. Ferguson si accorse di un errore nel calcolo di Shanks: la cifra n. 528 calcolata dal matematico ottocentesco era diversa da quella corretta, calcolata con un calcolatore meccanico e servendosi della formula alternativa

π/4 = 3 arctan(1/4) + arctan(1/20) + arctan(1/1985)

In definitiva, ricontrollando tutto il procedimento di Shanks, Ferguson stabilì che soltanto le prime 527 posizioni erano corrette, un po' come le cifre salmodiate da Kate Bush in "Pi".

Oggi, utilizzando un qualsiasi pacchetto di software matematico, basta premere un bottone per fare apparire tutte le prime 707 cifre di π, e anche per spingersi ben oltre, fino alle migliaia o ai milioni di cifre decimali.
William Shanks dedicò invece la gran parte della sua vita a questo calcolo: e anche se esso conteneva un errore, del quale peraltro lui non ebbe mai consapevolezza, la sua impresa rimane irripetibile e meravigliosamente romantica.

Carnevale della Matematica #58 su Rudi Matematici

E' con grande ritardo che Mr. Palomar vi segnala l'uscita della nuova edizione del Carnevale della Matematica: ritardo tanto più imperdonabile se si considera che questo mese ad ospitare il prestigioso evento sono i sommi Rudi Matematici, grandi maestri della divulgazione matematica che mi onorano della loro stima.
L'illustre trio ha confezionato una edizione coinvolgente, spassosissima ed egregiamente scritta: ispirate al gustoso tema scelto ("Matematica, che palle!") sono le belle immagini utilizzate per illustrare il memorabile post carnevalizio.
Fareste un grave errore a non leggervi il Carnevale dei Rudi: come è ormai consuetudine hanno saputo distillare una miracolosa ed equilibrata miscela di narrazione e divulgazione scientifica, ricca di ironia e leggerezza.
Quanto agli interessantissimi contributi, i Rudi hanno avuto la bella idea di proporli simpaticamente secondo un inedito ordine alfabetico, cosicché, dopo la N e la O, scartate in quanto portatrici di negatività, hanno posizionato i due post segnalati dal sottoscritto (fuori tema, come ultimamente accade): "Vita di Pi (greco)" e "La scarsità dei numeri primi gemelli".
Complimenti dunque ai Rudi e a tutti i contributori. La prossima edizione del Carnevale sarà ospitata da Gianluigi Filippelli e dal suo blog Dropsea.
Buona lettura a tutti!

La scarsità dei numeri primi gemelli

Nel fortunato bestseller "La solitudine dei numeri primi" di Paolo Giordano, si legge a un certo punto questa digressione di carattere matematico (forse l'unica dell'intero romanzo):

I numeri primi sono divisibili soltanto per 1 e per sè stessi. Se ne stanno al loro posto nell’infinita serie dei numeri naturali, schiacciati come tutti fra due, ma un passo in là rispetto agli altri. Sono numeri sospettosi e solitari e per questo Mattia li trovava meravigliosi. Certe volte pensava che in quella sequenza ci fossero finiti per sbaglio, che vi fossero rimasti intrappolati come perline infilate in una collana. Altre volte, invece, sospettava che anche a loro sarebbe piaciuto essere come tutti, solo dei numeri qualunque, ma che per qualche motivo non ne fossero capaci.In un corso del primo anno Mattia aveva studiato che tra i numeri primi ce ne sono alcuni ancora più speciali. I matematici li chiamano primi gemelli: sono coppie di numeri primi che se ne stanno vicini,anzi,quasi vicini, perchè fra di loro vi è sempre un numero pari che gli impedisce di toccarsi per davvero. Numeri come l’11 e il 13, come il 17 e il 19, il 41 e il 43. Se si ha la pazienza di andare avanti a contare, si scopre che queste coppie via via si diradano. ci si imbatte in numeri primi sempre più isolati, smarriti in quello spazio silenzioso e cadenzato fatto solo di cifre e si avverte il presentimento angosciante che le coppie incontrate fino a lì fossero un fatto accidentale, che il vero destino sia quello di rimanere soli. Poi, proprio quando ci si sta per arrendere, quando non si ha più voglia di contare, ecco che ci si imbatte in altri due gemelli, avvinghiati stretti l’uno all’altro. Tra i matematici è convinzione comune che per quanto si possa andare avanti, ve ne saranno sempre altri due, anche se nessuno può dire dove, finchè non li si scopre.

Giordano parla dei numeri primi gemelli, cioè di quelle coppie di numeri primi che differiscono solo di 2.
I due protagonisti del romanzo vengono associati a una coppia di numeri primi gemelli: la rarità di questi speciali numeri diventa così una suggestiva metafora per rappresentare la peculiarità dei due personaggi, e soprattutto l'ineluttabilità del loro avvicinarsi senza mai incontrarsi veramente.

Nel brano che ho riportato, l'autore pone l'accento su due proprietà di queste coppie di numeri.
La prima proprietà è accertata, e corrisponde al fatto che le coppie di numeri primi gemelli tendono a diventare sempre più rari a mano a mano che i numeri crescono.
Sulla seconda proprietà, invece, non abbiamo certezza, e per questo viene chiamata "congettura dei numeri primi gemelli": si tratta dell'ipotesi secondo la quale esistono infinite coppie di numeri primi gemelli. 

La prima caratteristica, e cioè la "rarità" dei primi gemelli, trova una rappresentazione matematica in un affascinante risultato trovato nel 1919 dal matematico norvegese Viggo Brun.
Brun considerò le successive coppie di numeri primi gemelli, e calcolò la somma dei reciproci di questi numeri:

Quanto pensate valga questo numero B? Se invece di limitarci ai soli primi gemelli considerassimo tutti i numeri primi (ad esempio introducendo nella somma anche il reciproco di 23, che è primo ma non è gemello di nessun altro primo), otterremmo una somma infinita. I numeri primi, infatti, sono relativamente rari, e si diradano a mano a mano che i numeri diventano grandi, eppure sono ancora abbastanza numerosi da rendere infinita la somma dei reciproci.
Invece, se restringiamo la cosa ai primi gemelli, si ottiene un numero finito, e per giunta anche molto piccolo: la cosiddetta costante di Brun, pari a circa 1,90216.
Il fatto che questa somma sia finita (o, come dicono i matematici, che la serie converga) è una dimostrazione della estrema rarità dei numeri primi gemelli.
Se B fosse risultato infinito (cioè se la serie divergesse), avremmo avuto una prova definitiva della prima proprietà descritta da Giordano, cioè il fatto che esistono infinite coppie di numeri primi gemelli: infatti se i numeri coinvolti nella somma fossero in quantità finita, la somma stessa non potrebbe avere un valore infinito.
Ma la scoperta di Brun prova che così non è, e ad oggi nessuno sa se la sequenza di primi gemelli a un certo punto si arresta o se, al contrario, continua all'infinito.

Come si calcola la costante di Brun? Bè, ovviamente prendendo un certo numero di coppie di primi gemelli e calcolando la somma dei loro reciproci. Il problema è che occorre considerare molte coppie per ottenere un'approssimazione accurata della costante: non deve sorprendere, quindi, che in molte università e centri di ricerca sono a tutt'oggi attivi molti cacciatori di numeri primi gemelli molto grandi, e che vengono calcolate approssimazioni sempre più precise della costante di Brun.
Per eseguire questo tipo di calcoli vengono impiegati sofisticati algoritmi euristici, e la migliore approssimazione ad oggi nota è quella ottenuta nel 2002 da Pascal Sebah e Patrick Demichel, che si presero la briga di considerare tutti i primi gemelli fino a 10¹⁶ e produssero l'approssimazione 1,902160583104. 
Qualcuno di voi pensa di poter fare di meglio?

Vita di Pi (greco)

Lo scorso weekend ho visto al cinema, finalmente, "Vita di Pi". Un film straordinariamente spettacolare, una vera delizia (3D, per giunta) per gli occhi, confezionata con grande maestria dal regista Ang Lee sulla base dall'omonimo romanzo di Yann Martel.
Il film racconta la storia di un ragazzo indiano cresciuto nello zoo di famiglia il cui "pezzo forte" è una tigre del Bengala. Al grosso felino, per un errore di trascrizione, è stato attribuito il nome del cacciatore che l'aveva catturata, Richard Parker.
Il ragazzo è deriso dai compagni di scuola per via del suo nome, che è quello di una piscina di Parigi: Piscine Molitor Patel. Ben presto il ragazzo decide di abbreviare il proprio nome in "Pi": e per dare maggiore significato a questo diminutivo, impara a memoria migliaia di cifre di π, e le trascrive alla lavagna davanti agli sguardi allibiti dei compagni.
Un giorno le difficoltà economiche inducono il padre di Pi a vendere lo zoo e trasportare gli animali in Canada in cerca di maggior fortuna. Ma durante il lungo viaggio la nave fa naufragio, e Pi è l'unico a sopravvivere, a bordo di una scialuppa di salvataggio. Sulla stessa imbarcazione si rifugiano alcuni degli animali, ma la fame sfoltisce ben presto il gruppo, lasciando soltanto Pi e Richard Parker.
Non vi dico come la storia continua, per non guastarvi il piacere di vedere il film. Mi limito a dire che "Vita di Pi" è anche, e forse soprattutto, un film su Dio, e sulla religione. Da ragazzo Pi si mostra molto affascinato dalle religioni, e arriva a professarne tre insieme. Per la visione razionale del padre prova al tempo stesso un senso di attrazione e di rifiuto. Semplificando un po', questi aspetti contrastanti che si agitano in lui mi sono sembrati molto indiani: una specie di ibrido tra Ramanujan e Gandhi, insomma.

A proposito di Ramanujan, la scena in cui Pi riempie la lavagna con le cifre di π imparate a memoria fa venire in mente l'impresa del cinese Lu Chao, attuale detentore del record dicifre di π recitate a memoria: nel novembre 2005 ha ripetuto a mente 67.890 cifre esatte, impiegando 24 ore e 4 minuti.
Pare che tre anni prima il giapponese Akira Haraguchi avesse recitato a memoria ben 83.431 cifre, ma per qualche motivo il suo record non è stato ufficialmente omologato.
Dopo avere ripetuto correttamente le prime 67.890 cifre, il buon Lu Chao ha commesso un errore dicendo 5 anziché 0. Una gran disdetta, perché, se dobbiamo credergli, si era preparato per un anno intero e aveva mandato a mente addirittura centomila cifre, utilizzando particolari tecniche cinese di memorizzazione.
Alla performance di Lu Chao erano presenti 8 testimoni ufficiali, assistiti da alcuni professori di matematica e da una ventina di studenti. Le regole della competizione imponevano di non lasciar passare più di 15 secondi tra una cifra e l'altra: questo significa che durante la sua recitazione Lu Chao non potè interrompersi né per mangiare né per andare al bagno.

In un mio post del 2011, raccontavo di come la popstar inglese Kate Bush avesse cantato le meraviglie della costante di Archimede nella sua canzone "Pi", descrivendo la figura di un "uomo dolce, gentile e sensibile dalla natura ossessiva e profondamente affascinato dai numeri e completamente infatuato del calcolo di π".
Nel testo di "Pi", Kate Bush snocciola una sequenza di "sole" 116 cifre, commettendo tra l'altro alcune strane inesattezze: nulla in confronto alla straordinaria fatica di Lu Chao, senza pensare che, per quel che so, la cantautrice britannica non ha mai eseguito "Pi" dal vivo!

Carnevale della Matematica #57 su Matem@ticaMente

Ho ancora in mente il Carnevale della Matematica che il blog Matem@ticaMente di Annarita Ruberto ospitò esattamente un anno fa, con il tema della computazione e della storia dei computer: generosissimo, ricco di spunti, davvero monumentale.
Ebbene, Annarita ha fatto il bis. Anzi, direi che è riuscita a superarsi, regalandoci un'edizione carnevalesca notevolissima: la numero 57, per la precisione, sul tema "matematica e nuove tecnologie", con esaurienti informazioni sulle nuove tecnologie nella didattica della matematica, caleidoscopi interattivi, lavori multimediali realizzati da studenti, addirittura un'intervista ad un'esperta della materia, oltre ad una interminabile carrellata dei "consueti" contributi, a tema e non.
In mezzo a cotanto oceano di informazioni, i contributi di Mr. Palomar sono ben poca cosa: il post "La ragazza che piegava la carta", sul vecchio problema della piegatura di un foglio di carta e sull'impresa memorabile della giovanissima Britney Gallivanm, che stupì il mondo riuscendo a piegare una striscia di carta per ben 12 volte; e l'edizione di gennaio delle "Parole informatiche", dedicata alla multiforme e affascinante parola-mondo "memoria".

Nel ricordare l'appuntamento con la prossima edizione della kermesse, che sarà ospitata nientepopodimeno che dai sommi Rudi Matematici, faccio i miei migliori complimenti ad Annarita e a tutti gli autori dei contributi per l'egregio lavoro. Evviva il Carnevale della Matematica!

Parole informatiche: memoria

Quando un anno muore e un altro muove i primi passi, è inevitabile fare dei bilanci e considerare se gli obiettivi che ci siamo prefissati dodici mesi prima sono stati raggiunti o meno.
Grazie a voi questo blog ha raggiunto livelli di popolarità che non avrei mai immaginato all'inizio dell'avventura: per questo non posso fare altro che ringraziarvi di cuore.
Guardare indietro nel tempo, ripercorrere il cammino compiuto e fare bilanci: questioni di memoria. E quale miglior parola se non memoria potevo scegliere per iniziare l'anno con un nuovo post di "parole informatiche"?
"Memoria" è una parola-mondo: multiforme, affascinante, dalle mille sfaccettature.
Fa venire in mente cose molto diverse: la scatola meravigliosa che abbiamo in testa (e che ci permette, autoreferenzialmente, di pensarla), la giornata del 27 gennaio, le memorie dei computer, e, perché no, la voce di Barbra Streisand nel celebre brano di Andrew Lloyd Webber:

In ambito informatico, la memoria è quella parte del computer che serve a immagazzinare dati e programmi.
La capacità della memoria rappresenta, assieme alla velocità del processore, uno dei fattori fondamentali che consentono al computer di eseguire calcoli in modo più efficiente di quanto possa fare un operatore umano, generalmente più lento e in grado di conservare in testa una quantità di informazioni molto minore.

Ho detto, poco fa, che la memoria conserva sia i dati su cui la computazione opera, sia le istruzioni che indicano quali operazioni devono essere eseguite. Detto così, sembra una banalità, eppure la coesistenza di queste due tipologie di informazioni nello stesso spazio rappresenta il principio chiave dell'architettura di Von Neumann, genialmente concepita negli anni Quaranta del secolo scorso e tuttora fondamento irrinunciabile di quasi tutti i computer.

Già, la memoria. Bè, si fa presto a dire questa parola, ma in realtà c'è memoria e memoria. La principale differenza è quella che riguarda le prestazioni (e quindi i costi), e che permette di distinguere tra memorie cosiddette "centrali" o "primarie" e memorie cosiddette "di massa" o "secondarie".
Le prime sono memorie più pregiate: più veloci, più costose, solitamente collegate al processore in modo molto diretto, attraverso il cosiddetto bus di sistema: la memoria RAM è la porzione più rilevante della memoria centrale. Le memorie secondarie consentono di conservare informazioni in modo persistente, cioè anche dopo che il computer viene spento: tra esse rientrano i dischi ottici (CD, DVD, ecc.), oltre che i dischi e i nastri magnetici, le memorie flash, e così via.

Con questa minima pillola informatica, inizia il nuovo anno di Mr. Palomar: l'auspicio è che il nuovo anno sia brillante e sereno, e che tutte le memorie (soprattutto quelle umane) funzionino meglio di quanto non sia accaduto in passato.

La ragazza che piegava la carta

Prendete un foglio di giornale, e piegatelo in due.
Facile? Sì, certo, ma adesso piegatelo a metà una seconda volta, e poi una terza, e una quarta.
Fatto? Ora, prendete della colla vinilica, e....  No, niente colla, e niente forbici: solo piegature.
Quante volte siete riusciti a piegare il foglio? Probabilmente sei, o, se siete particolarmente abili, forse sette. Quasi certamente non siete riusciti a fare di meglio.
- Bè - direte voi - il problema è che il foglio di giornale non è molto grande, e, dato che ad ogni piegatura l'area si dimezza, ci si ritrova ben presto con un oggetto così piccolo che non è possibile piegarlo ulteriormente.
Se la pensate così, procuratevi un foglio più grande, e ripetete l'operazione.

Se potessimo piegare una quarantina di volte un foglio di carta, riusciremmo a coprire la distanza tra la Terra e la Luna.
Ma è sufficiente disporre di un foglio abbastanza grande per riuscire a piegarlo per una tale quantità di volte?
Se vi siete procurati un foglio molto più grande di quello che avete utilizzato per il primo esperimento, potete provare voi stessi a verificare.

Tuttavia, molto probabilmente non riuscirete ad andare oltre le sette pieghe.
Perché? Semplicemente perché la difficoltà non risiede nell'ampiezza del foglio, ma nello spessore che si viene a creare dopo poche piegature. Ad ogni piega, infatti, così come l'area si dimezza, lo spessore raddoppia. Inoltre, piega dopo piega aumenta esponenzialmente il materiale che si "perde" a causa dell'arrotondamento in corrispondenza dell'estremità della piega.

Se utilizziamo carta dallo spessore di 0,3 mm, dopo appena 5 pieghe avremo ottenuto 2⁵ = 32 strati, per uno spessore complessivo di 32 x 0,3 mm = 9,6 mm.  Dopo un'altra piega si hanno 64 strati e uno spessore di quasi 2 cm, mentre alla settima piega abbiamo ben 128 strati e quasi 4 cm. Spessori di questo tipo, indipendentemente dalla grandezza iniziale del foglio, ostacolano parecchio le operazioni di piegatura, fino a renderle praticamente impossibili.

Ma si sa, le cose impossibili rappresentano, per le persone audaci, sfide allettanti: nel gennaio 2002 una diciassettenne californiana, Britney Gallivan, per ottenere qualche credito in più a scuola, riuscì a piegare una striscia di carta stagnola per ben 12 volte. Ripeté poi l'impresa con una striscia di carta igienica, come possiamo vedere nella figura a lato.
La tecnica impiegata da Britney prevedeva di piegare la carta secondo direzioni alternate.

Britney fu la prima persona a comprendere i motivi profondi delle difficoltà insite nel piegare molte volte un foglio di carta, e dimostrò alcune formule che stabiliscono lo spessore iniziale della carta necessario per riuscire a ottenere un certo numero di piegature, tenendo conto della densità della carta e della tecnica utilizzata per la piegatura (direzioni alternate o direzione unica).

La storica impresa di Britney Gallivan è diventata famosa in tutto il mondo, almeno nella comunità scientifica. Nell'aprile 2005 la storia della ragazza che piegò un foglio di carta per dodici volte è stata menzionata in un episodio della serie "Numb3rs".
Lo so, state già armeggiando con un rotolo di carta igienica per riuscire a piegarlo tredici volte e battere il record di Britney. Bè, che dire? In bocca al lupo, e buone piegature!

Carnevale della Matematica #56 su Scienza e Musica

Con ritardo (ma meglio tardi che mai) vi segnalo l'uscita del cinquantaseiesimo episodio del Carnevale della Matematica, ospitato per questa edizione pre-natalizia dall'ottimo blog "Scienza e Musica", curato da Leonardo Petrillo con il tema "Algebra, algebre e storia dell'algebra".
Leonardo ha fatto un lavoro davvero egregio, o dovrei forse dire monumentale, avendo confezionato un'edizione ricchissima di post e generosa di spunti sul tema del mese.

Mr. Palomar ha partecipato alla kermesse con gli ultimi tre post pubblicati: la terza puntata del ciclo sulle scale musicali e sui rapporti tra musica e matematica, l'edizione dicembrina della rubrica "Parole informatiche", e un piccolo omaggio a Isaac Asimov, tra i massimi maestri della divulgazione scientifica.


Complimenti a tutti i partecipanti e a Leonardo Petrillo, e appuntamento alla prossima edizione del Carnevale, che sarà ospitata da Matem@ticaMente con lo stuzzicante tema "Matematica e Nuove Tecnologie".

La scala "naturale" da Tolomeo a Zarlino

I miei diciannove lettori (mi perdoni il buon .mau. per questa "citazione", o furto di idea: se Manzoni ne aveva 25, Guareschi 23 e Codogno 21, non posso certo attribuirmene più di 19), dicevo, i miei pochi lettori si saranno chiesti che fine ha fatto il progetto di quella serie di post dedicati alla storia delle scale musicali da Pitagora ai giorni nostri.
Tranquilli, non me ne sono dimenticato: è solo che impegni e accadimenti vari hanno fatto sì che nelle ultime settimane la frequenza dei miei post sia un po' diminuita. Ma prometto di riprendere con il consueto ritmo (uhm, ritmo? bene, sono già entrato nell'atmosfera musicale...).

Chi ha avuto la pazienza di leggere i due atti iniziali di questa lenta storia a puntate, avrà constatato che il protagonista assoluto è stato finora Pitagora.
Il filosofo di Samo fu probabilmente il primo costruttore di scale musicali della storia. Partendo dal postulato che un intervallo di note è tanto più consonante quanto più semplice è il rapporto numerico al quale corrisponde, Pitagora concluse che i migliori intervalli non potevano che essere l'ottava (corrispondente al rapporto 2:1) e la quinta (3:2), e costruì quindi la sua scala muovendosi tra le note per quinte e ottave.
Il risultato fu una scala diatonica, cioè formata da sette note che si susseguono secondo uno schema che fa uso di due tipi di intervallo tra una nota e la sua successiva: il "tono", corrispondente al rapporto 9:8 o a 203,91 cent (ad esempio tra do e re), e la "limma", corrispondente al rapporto 256:243 o a 90,22 cent (ad esempio tra mi e fa).

I pregi della scala pitagorica sono evidenti. Prima di tutto, abbiamo soltanto questi due tipi di intervalli, e non è cosa da poco. Il salto esistente tra do e re è lo stesso che c'è tra re e mi, o tra fa e sol e tra la e si, mentre la distanza tra mi e fa è pari a quella tra si e do.
Inoltre, avendo costruito la scala sulla base degli intervalli di quinta e di ottava, Pitagora ha mantenuto questi intervalli associati ai rapporti semplici di 3:2 e 2:1, e quindi perfettamente consonanti.
Infine, questa scala consentì ai Greci di esplorare per primi le grandi potenzialità espressive della musica: si accorsero cioè che cambiando la nota di partenza della scala (ad esempio dal do al fa) e mantenendo la posizione relativa dei due intervalli di limma all'interno della scala, l'"atmosfera" musicale restava pressoché invariata, mentre collocando i due intervalli di limma in posizioni diverse da quella originaria si ottenevano "sapori" sorprendentemente diversi, che i Greci chiamarono "modi" musicali.
A fronte di questi punti di forza, la scala pitagorica mostra anche alcuni gravi difetti.
Il primo problema è quello del "cerchio che non si chiude", descritto ampiamente nel post precedente.
Un'altra lacuna è quella che ha condotto alla nascita della cosiddetta "scala naturale". Se gli intervalli di quinta e di ottava sono consonanti, quelli di terza e di sesta non lo sono, essendo espressi da rapporti non semplici (rispettivamente 81:64 e 27:16). Il rapporto pitagorica di terza, 81:64, è però molto vicino al rapporto semplice 5:4: era quindi inevitabile che ben presto cantanti e musicisti cominciassero a intonare la voce e gli strumenti in modo appunto "naturale", con la terza accordata secondo il rapporto di 5:4.
Infine, la scala pitagorica è affetta da un problema legato al cambio di tonalità: se uno strumento è accordato pitagoricamente in una certa tonalità, è probabile che diventi scordato se suonato in una tonalità diversa.

Nel 1558 il teorico musicale veneziano Gioseffo Zarlino, nel suo trattato "Le istituzioni harmoniche", costruì una scala nella quale risultavano basate su rapporti numerici semplici non soltanto l'ottava (2:1) e la quinta (3:2), ma anche la terza (5:4).
In realtà la teoria di Zarlino non era una novità assoluta, ma rappresentava la formalizzazione di idee che erano state proposte già nell'antichità, quindi ben prima dell'imporsi della tonalità sulla scena musicale.
Già nel quarto secolo a.C., infatti, il filosofo e scienziato tarantino Archita, che fu anche uomo di stato e stratega militare, abbozzò i principi della cosiddetta "intonazione naturale"; ma fu soprattutto Claudio Tolomeo, astronomo e geografo dell'età ellenistica, autore del celebre "Almagesto", fu il primo ad ammettere gli intervalli di terza e di sesta nel club esclusivo degli intervalli consonanti.

Rispetto al sistema pitagorico, il sistema "naturale" tolemaico-zarliniano conferma i rapporti semplici 2:1 per l'ottava, 3:2 per la quinta e 4:3 per la quarta, ma introduce il rapporto 5:4 per l'intervallo di terza.
Gli altri intervalli necessari per costruire la scala vengono ricavati di conseguenza.
L'intervallo di seconda maggiore (che sussiste ad esempio tra il do e il re) viene ricavato come differenza tra una quinta e una quarta, cioè (3:2):(4:3) = 9:8, che è lo stesso valore che aveva trovato Pitagora.
L'intervallo di sesta maggiore (che sussiste ad esempio tra il do e il la) è calcolato come somma di una quarta e una terza, cioè (4:3)*(5:4) = 5:3: qui Pitagora aveva invece trovato il rapporto 27:16, certamente meno semplice.
L'intervallo di settima maggiore (che sussiste ad esempio tra il do e il si) è ricavato come somma di una quinta e di una terza, cioè (3:2)*(5:4) = 15/8: anche in questo caso il sistema pitagorico prevedeva invece una frazione più complessa, e cioè 243:128.

L'appellativo di "naturale" che viene attribuito alla scala tolemaico-zarliniana ha sicuramente a che fare con la "semplicità" di questi rapporti, e quindi con la consonanza dei corrispondenti intervalli musicali, ma è anche giustificato da una connessione con la fisica, in particolare con il fenomeno degli armonici.
Supponiamo di suonare il tasto del do centrale su un pianoforte. L'onda sonora che viene emessa avrà una forma che è legata al timbro particolare del pianoforte: se producessimo la stessa nota con una tromba, o con una chitarra, o con la voce di un cantante, emetteremmo una forma d'onda diversa. Com'è possibile? L'onda generata è in realtà la somma di diverse onde "elementari", dette armonici, tutte caratterizzate dalla stessa semplicissima forma matematica (detta sinusoidale) e intonate sulle frequenze multiple della nota fondamentale; i timbri caratteristici dei vari strumenti, e quindi le diverse forma d'onda, dipendono unicamente dai diversi pesi attribuiti ai diversi armonici.
Torniamo al nostro do centrale del pianoforte,cioè il do₃. Chiamiamo F la sua frequenza, che vale circa 261,6 hertz. I suoi armonici avranno frequenze multiple di F, cioè rispettivamente 2F = 523,2 hertz, 3F = 784,8 hertz, 4F = 1046,4 hertz, e così via. Ovviamente man mano che si sale nella successione degli armonici, l'ampiezza dell'onda corrispondente, cioè la sua intensità sonora, diminuirà rapidamente: se così non fosse, il nostro orecchio non percepirebbe la nota fondamentale come nettamente dominante rispetto agli armonici, il cui "compito" principale è contribuire al colore timbrico dell'insieme.

I primi cinque armonici del do₃ sono i seguenti:

• il primo armonico ha frequenza 2F, cioè dista un'ottava dalla nota fondamentale, ed è quindi un do₄; 
• il secondo armonico ha frequenza 3F =  2(3/2)F, cioè dista un'ottava più una quinta dalla nota fondamentale, ed è quindi un sol₄; 
• il terzo armonico ha frequenza 4F = 2*2F, cioè dista due ottave dalla nota fondamentale, ed è quindi un do₅;
• il quarto armonico ha frequenza 5F = 2*2(5/4)F, cioè dista due ottave più una terza dalla nota fondamentale, ed è quindi un mi₅;
• il quinto armonico ha frequenza 6F = 2*2*(3/2)F, cioè dista due ottave più una quinta dalla nota fondamentale, ed è quindi un sol₅.

Come si può vedere, dalla struttura degli armonici emergono gli intervalli di quinta e di terza come fondamentali, e si può dire che in qualche modo la scala naturale di Tolomeo e Zarlino attinge i propri suoni dalla serie degli armonici naturali di una nota fondamentale. Nonostante tutta questa "naturalità", tuttavia, anche la scala di Tolomeo e Zarlino aveva le sue belle magagne, che analizzeremo per bene nel prossimo post di questa serie.

Parole informatiche: euristico

Tranquillizzo subito i filosofi, gli psicologi e gli studiosi di comunicazione: non intendo considerare il termine "euristico" come un'esclusiva dell'informatica, perché in effetti non lo è.
La parola deriva dal verbo greco εὑρίσκω, che significa "trovare", "scoprire".
Chi non conosce l'aneddoto secondo il quale il grande matematico Archimede si accorse, mentre faceva il bagno, che il volume di un corpo di forma irregolare poteva essere calcolato misurando il volume dell'acqua spostata dal corpo stesso una volta immerso, e per la soddisfazione gridò a squarciagola "eureka!" (in greco εὕρηκα)?
Ebbene, quella strana parola, che ha anche dato il nome ad un asteroide, a due film,  ad un poema di Edgar Allan Poe, ad una serie americana di fantascienza, e addirittura a undici città degli Stati Uniti, altro non è che il perfetto indicativo del sopra citato verbo εὑρίσκω, e significa quindi "ho trovato".

Il termine "euristico", quindi, ha a che fare con il "trovare" e con lo "scoprire".
Si parla infatti di metodo euristico, non solo in informatica, ma anche nell'ambito della filosofia e della psicologia, per indicare un approccio alla soluzione di un problema che non procede secondo un percorso predefinito, "a colpo sicuro", ma che si basa su procedimenti più creativi, innovativi, che di volta in volta si adattano alle circostanze e sono in grado di generare nuova conoscenza.

Su un terreno più specificamente informatico, l'approccio euristico si rivela utile quando il problema da risolvere non può essere affrontato con un metodo di "forza bruta", cioè quando l'esplorazione esaustiva di tutte le possibili soluzioni sarebbe impraticabile dal punto di vista dei tempi di esecuzione.
In questi casi noi informatici ricorriamo ad algoritmi euristici (come ad esempio quello descritto in un mio vecchio post), che, basandosi su una ricerca "intelligente" nello spazio delle soluzioni, riducono enormemente il tempo di calcolo. Siccome, come si sa, a questo mondo nulla è gratis, anche questo vantaggio in qualche modo lo dobbiamo pagare. In che modo? Rinunciando alla pretesa di arrivare necessariamente alla soluzione ottima, cioè la migliore di tutte in assoluto.
I metodi euristici hanno questa caratteristica fondamentale: non è detto che trovino sempre la soluzione migliore (come farebbe un algoritmo esatto, ma magari a costo di impiegarci miliardi di anni per trovarla).

Il desiderio di spiegare

Recentemente mi è capitato tra le mani un bellissimo saggio di Isaac Asimov che avevo letto tanti anni fa.
Già dal suo titolo, "Civiltà extraterrestri", quel libro del 1979 promette al lettore mondi affascinanti e sorprendenti rivelazioni.
E la grandezza di Asimov è che quello che promette, lo mantiene anche.
Sfogliando dopo molto tempo quel volumetto, una frase in particolare, tratta dall'introduzione, ha catturato la mia attenzione:

"Ardo dal desiderio di spiegare, e la mia massima soddisfazione è prendere qualcosa di ragionevolmente intricato e renderlo chiaro passo dopo passo. È il modo più facile per chiarire le cose a me stesso."

E' una specie di manifesto del modo di fare divulgazione di Asimov; ed è anche, per quel poco o nulla che può contare, una perfetta descrizione dell'origine del piacere che io stesso provo nel divulgare la scienza.
Può sembrare egoistico, ma io credo che il vero divulgatore sia, innanzitutto, uno che ha bisogno di spiegare le cose a se stesso, prima ancora che al pubblico.
Leggendo i saggi di Asimov, maestro di tutti i divulgatori scientifici, il lettore percepisce quel sottile piacere nel "prendere qualcosa di ragionevolmente intricato e renderlo chiaro passo dopo passo": ma l'intensità del piacere provato dal lettore è proporzionale alla capacità dell'autore di entusiasmare e appassionare.
E in Asimov (come d'altra parte in altri grandi divulgatori), è facile immaginare che questa passione ha origine proprio dal fatto che la spiegazione della "cosa intricata" ha entusiasmato, prima di qualsiasi lettore o ascoltatore, l'autore stesso.

Galileo scrisse "parlare oscuramente lo sa fare ognuno, ma chiaro pochissimi". Ma la lezione di Asimov è che non basta parlare chiaro per essere buoni divulgatori (benché sia fondamentale): occorre anche avere sperimentato intimamente, dentro di sè, quel desiderio "ardente" di spiegare a se stessi qualcosa di apparentemente difficile, e aver poi provato quella grande soddisfazione che nasce dall'accorgersi di esserci riusciti.

Carnevale della Matematica #55 su MaddMaths!

Devo fare in fretta a scrivere questo post: devo pubblicarlo prima che la mezzanotte giunga a sancire la fine di questo 14 novembre. Perché? Bè, perché il 14 è il giorno che ormai da tempo immemore è dedicato alle celebrazioni carnascialesche e matematiche, e pubblicizzare l'evento il giorno dopo non sarebbe cosa buona e giusta.
Tanto più che questa edizione del Carnevale della Matematica, la numero 55 per la precisione, è stata allestita con grande bravura e leggerezza calviniana dal buon Roberto Natalini di MaddMaths!
Se non fosse che tutti conosciamo le qualità di Roberto, verrebbe da dire che questo Carnevale è una piacevole sorpresa: invece mi limiterò a dire che questa edizione ha proposto molti notevoli contributi sul tema scelto, la "matematica sorprendente", nonché molti non meno interessanti post fuori tema.
Mr. Palomar ha contribuito con due post poco sorprendenti, cioè non a tema: la seconda puntata del ciclo sulle scale musicali, e l'edizione novembrina delle "Parole informatiche".
La prossima edizione del Carnevale della Matematica sarà ospitata dl blog Scienza e Musica di Leonardo Petrillo, con il tema "Algebra, algebre e storia dell'algebra".
Qui mi fermo, non prima di avervi caldamente invitato a leggere il Carnevale. Complimenti ancora a Roberto Natalini e a tutti i partecipanti, e buon Carnevale a tutti!

Parole informatiche: bit (e dintorni)

I termini che, nel linguaggio tecnico informatico, indicano le unità più piccole in cui può essere espressa l'informazione nascondono alcune divertenti curiosità etimologiche.
L'unità più piccola dell'informazione viene indicata con il termine "bit", che può essere considerato una contrazione dell'espressione "binary unit" ("unità binaria") quanto dell'espressione "binary digit" ("cifra binaria").
Questa duplice possibilità di lettura si collega al doppio significato di questa parola informatica.
Un bit è, infatti, prima di tutto, la quantità di informazione necessaria e sufficiente per distinguere tra due eventi possibili che hanno la stessa probabilità di verificarsi: ad esempio, l'esito del lancio di una moneta, che può essere "testa" oppure "croce", oppure lo stato di una lampadina, che può essere accesa o spenta, e così via.  Parlare di questa accezione del termine "bit" vuol dire parlare di teoria di informazione.
Se abbandoniamo questo complicato ambito ingegneristico e passiamo ad occuparci di semplici numeri, potremmo decidere di esprimerli secondo il sistema binario: allora utilizzeremo ancora il termine "bit" per indicare ciascuna delle cifre utilizzate per scrivere i numeri. Perché? Semplicemente perché ogni cifra può essere uno zero o un uno, per cui ritroviamo anche in questo caso il concetto di alternativa tra due possibili eventi (in questo caso valori) di uguale probabilità.
Ma il termine "bit" non è soltanto una contrazione di "binary unit" e "binary digit", visto che in lingua inglese "a bit" significa "un pezzettino", "un poco", come testimonia questa famosa canzone dei Supertramp.

Quale più azzeccato gioco di parola poteva essere scelto per indicare l'unità elementare dell'informazione?
Il primo a utilizzare il termine "bit" con significato informatico fu, nel 1948, il padre della teoria dell'informazione, Claude Shannon, il quale ne attribuì la creazione allo scienziato John Tukey, che pare abbia anche ideato il termine "software". Si racconta che durante un pranzo tra scienziati nell'inverno tra il 1943 e il 1944 vennero proposti vocaboli come "bigit" e "binit", ma alla fine Tukey ebbe l'idea fulminante: "Perché non lo chiamiamo semplicemente bit?".

Ogni informatico sa che una combinazione più bit, ad esempio utilizzabile per codificare un carattere di testo, costituisce un byte.
Ma da dove viene quest'altra parola? Bè, se "bit" significa "pezzettino", da un pezzettino a un boccone il passo e breve, e, guarda caso, in inglese "boccone" si traduce "bite". La stretta somiglianza tra i due termini "bit" e "bite", poi, rappresentò un motivo in più per scegliere questa parola per indicare una combinazione di otto bit.
Dato che tipicamente un byte contiene otto bit, un termine che possiamo considerare più o meno sinonimo di "byte" è "octet" (in italiano "ottetto"): non ci sorprende il fatto che in Francia il termine "byte" sia pressoché inutilizzato, e i colleghi informatici d'oltralpe preferiscano parlare di "octets".
La parola "byte" fu coniata nel 1956 dall'informatico Werner Buchholz, durante la progettazione di Stretch, il primo computer a transistor prodotto dalla IBM.

Se un boccone corrisponde a otto bit, come possiamo chiamare una combinazione di quattro bit? Ovvio: bocconcino. Se la parola "bite" ("boccone") fu volutamente storpiata in "byte", analogamente il termine "nibble" ("bocconcino") venne deformata in "nybble".
Il primo utilizzo della parola "nybble" risale al 1977, da parte di un gruppo di ricerca attivo in Citibank per formulare un protocollo standard di comunicazione.
Un "nybble" (o "nibble", dato che è molto comune anche la dizione con la "i" normale) rappresenta la metà di un byte, ed è spesso utilizzato per codificare una cifra esadecimale oppure una cifra in codice BCD (Binary-Coded Decimal).

Raccogliendo da internet altri vocaboli indicanti combinazioni di bit di varia lunghezza, ho provato a stilare la seguente curiosa tabellina (ho escluso però i termini che indicano combinazioni di bit la cui lunghezza dipende dallo specifico computer sul quale vengono utilizzate).

1 bit	sniff
2 bit	crumb, quad, quarter, tayste, tydbit, morsel, semi-nybble
4 bit	nybble
5 bit	nickle, nickel
10 bit	deckle, dyme
16 bit	playte, plate
32 bit	dynner, dinner, quadlet