Mr Q. #1: Borges, Paperino e il computer quantistico

Nel 1941 il grande scrittore argentino Jorge Luis Borges pubblicava una raccolta di racconti intitolata "Il giardino dei sentieri che si biforcano". L'ultimo racconto, famosissimo, dava il titolo all'intera raccolta, ma anche nel resto del libro comparivano alcuni capolavori dell'opera di Borges, come "La biblioteca di Babele", "Tlön, Uqbar, Orbis Tertius" e "Pierre Menard, autore del Chisciotte".
Tre anni dopo i racconti vennero ripubblicati in una raccolta più ampia, la celebre "Finzioni", nella quale appariva una seconda parte con alcune storie inedite.

Nel "Giardino dei sentieri che si biforcano" sono narrate le vicissitudini di un tale Yu Tsun, professore cinese che fa la spia per i tedeschi durante la prima guerra mondiale. Parlando con Stephen Albert, uno studioso di  letteratura cinese, Yu Tsun ricorda il suo celebre antenato Ts'ui Pen, noto per avere scritto un romanzo contraddittorio e per aver costruito un labirinto che nessuno è mai riuscito a ritrovare. Albert spiega che in realtà libro e labirinto sono la stessa opera: non un labirinto fisico, ma un labirinto simbolico, un romanzo che attraverso una struttura ad albero infinitamente ramificata descrive tutti i futuri possibili di un evento.

- Prima di ritrovare questa lettera, m'ero chiesto in che modo un libro potesse essere infinito. (...) In tutte le opere narrative, ogni volta che s'è di fronte a diverse alternative ci si decide per una e si eliminano le altre; in quella del quasi inestricabile Ts'ui Pên, ci si decide - simultaneamente - per tutte. Si creano, così, diversi futuri, diversi tempi, che a loro volta proliferano e si biforcano. Di qui le contraddizioni del romanzo. 

(...)
- Precisamente , - disse Albert. - Il giardino dei sentieri che si biforcano è un enorme indovinello, o parabola, il cui tema è il tempo. (...) A differenza di Newton e di Schopenhauer, [Ts'ui Pên] non credeva in un tempo uniforme, assoluto. Credeva in infinite serie di tempo, in una rete crescente e vertiginosa di tempi divergenti, convergenti e paralleli. Questa trama di tempi che si accostano, si biforcano, si tagliano o s'ignorano per secoli, comprende tutte le possibilità. Nella maggior parte di questi tempi noi non esistiamo; in alcuni esiste lei e io no; in altri io, e non lei; in altri, entrambi.

Nel saggio "Il programma del'universo" (Einaudi, 2006), il fisico e informatico americano Seth Lloyd racconta che un giorno di primavera del 1983 se ne stava a bere champagne con alcuni compagni di studi nel giardino del Master dell'Emmanuel College, a Cambridge (bè, beato lui: quando studiavo a Padova era già tanto concedersi ogni tanto una birra media). Ad un certo punto si intromise una signora per far notare ai bravi giovincelli che seduto poco più in là c'era niente meno che il più grande scrittore vivente, Jorge Luis Borges, e sarebbe valsa la pena di parlargli. Seth Lloyd si avvicinò all'anziano signore e gli domandò se era consapevole del fatto che "Il giardino dei sentieri che si biforcano" rifletteva la cosiddetta "interpretazione a molti mondi" della meccanica quantistica.  Borges rispose che quando scrisse il racconto non lo fece sotto l'influenza della fisica quantistica, e d'altra parte non era sorpreso del fatto che le leggi della fisica potessero rispecchiare artifici letterari: dopo tutto, anche i fisici leggono libri.

L'"interpretazione a molti mondi" della meccanica quantistica venne proposta dal fisico Hugh Everett nel 1957, una quindicina di anni dopo la pubblicazione del racconto di Borges.

Prima del lavoro di Everett, la meccanica quantistica veniva giustificata unicamente secondo l'interpretazione di Copenaghen, così chiamata perché ispirata ai lavori condotti da Heisenberg e Bohr in Danimarca, negli anni Venti del secolo scorso.
In base a tale visione, quando si effettua la misurazione di un parametro quantistico, come lo spin di una particella, dobbiamo aspettarci di osservare uno dei due valori possibili, up e down, con una certa probabilità per ciascuna delle due alternative (ad esempio la stessa probabilità).  

Finché non viene eseguita la misurazione, il sistema permane in una sorta di sovrapposizione di stati, come avviene nel famoso esperimento mentale del gatto di Schrödinger, in cui prima che qualcuno vada ad aprire la gabbia il felino è al tempo stesso vivo e morto.

Secondo l'interpretazione a molti mondi, invece, quando andiamo a misurare lo spin di una innocua e microscopica particella, succede un fatto di proporzioni addirittura cosmiche: la storia dell'universo si biforca (non si sa bene come faccia a farlo) in due, e in ciascuno dei due universi risultanti si verifica un diverso esito della misurazione.

E' facile comprendere il motivo per cui la proposta di Everett abbia sempre incontrato molti ostacoli: il fatto di dover ricorrere all'esistenza di più universi soltanto per evitare l'aspetto probabilistico dell'interpretazione classica (il celebre "Dio che gioca a dadi") è sembrato a molti un postulato troppo ingombrante e difficile da giusticare.
Più precisamente, secondo l'interpretazione di Copenaghen dobbiamo fare i conti con una realtà intrinsecamente indeterminata e aleatoria, mentre nella visione a molti mondi l'indeterminazione si sposta su un piano soggettivo.

Nonostante le difficoltà, l'interpretazione di Everett ha riscosso negli ultimi decenni il favore di molti studiosi, tra i quali il fisico inglese David Deutsch, autore del famoso saggio divulgativo "La trama della realtà".
Secondo Deutsch, il modo migliore di spiegare la meccanica quantistica non è la visione classica della scuola di Copenaghen, ma è proprio l'interpretazione a molti mondi.

Nel racconto di Borges di cui ho parlato all'inizio di questo post, la storia dell'universo si biforca ogni volta che s'è di fronte a diverse alternative; nella teoria di Everett accade esattamente la stessa cosa, cioè la biforcazione avviene ogni volta che un qualsiasi evento che risente di una indeterminazione di tipo quantistico viene osservato.
D'altra parte, l'interpretazione a molti mondi è il corrispettivo scientifico di un topos largamente utilizzato dalla fantascienza e dalla fiction in generale: il tema degli universi paralleli (o alternativi), o, se preferite, del multiverso.
A parte il racconto di Borges, che peraltro anticipava in modo quasi perfetto la visione di Everett, sono innumerevoli gli esempi narrativi di ogni epoca che sono ambientati in un contesto "multiversale": l'esistenza di più realtà o dimensioni parallele costituisce infatti un espediente di formidabile potenza per giustificare intrecci fantastici dagli infiniti risvolti.
Ad esempio, uno scrittore di fantascienza che volesse ammettere la possibilità dei viaggi del tempo, ma desiderasse anche mantenere un certo rigore logico nelle sue trame, si scontrerebbe contro alcuni noti e fastidiosissimi paradossi temporali, e uno degli escamotage più eleganti è rappresentato dal postulare l'esistenza di infiniti universi (chi volesse approfondire questi temi può trovare spunti interessantissimi nel bel saggio di Renato Giovannoli "La scienza della fantascienza", edito da Bompiani nel 2001).
Il tema degli universi paralelli si ritrova anche in moltissimi film, serie televisive, fumetti e cartoni animati, e perfino nei testi di taluni brani di musica rock. Non ci credete? Eccovi allora un brano intitolato "The multiverse" della band canadese Voivod.



E se al destabilizzante metal trash punk preferite le rassicuranti storie di Topolino, eccovi accontentati: sui numeri 2717, 2718, 2719 e 2720 di Natale 2007 usciva una storia a puntate intitolata "Universi pa(pe)ralleli", nella quale Paperino, Paperina, zio Paperone e Paperoga si ritrovano a viaggiare attraverso diverse Paperopoli alternative a bordo di uno strano ipercubo.
In un numero di una ventina d'anni prima, Topolino e Pippo furono protagonisti di una "storia a bivi", nella quale esistono punti di snodo dai quali la storia può proseguire verso più futuri possibili. In una storia a bivi come quella vissuta da Topolino e Pippo, però, ad ogni bivio il lettore deve scegliere una delle vie possibili, scartando le altre: esattamente come Borges diceva delle opere narrative tradizionali (ogni volta che s'è di fronte a diverse alternative ci si decide per una e si eliminano le altre), e un po' come avveniva nei libri-gioco che andavano di moda qualche anno fa.
Gli universi pa(pe)ralleli di Paperino, invece, assomigliano molto di più al giardino narrativo descritto da Borges, perché ad ogni bivio non si sceglie una sola delle direzioni possibili, ma ci si decide - simultaneamente - per tutte.
La differenza è fondamentale, proprio come la differenza tra l'interpretazione di Copenaghen e quella dei molti mondi di Everett e Deutsch.

Ma tutto questo cosa c'entra con l'informatica e la computazione?
David Deutsch, oltre ad essere uno dei fisici più favorevoli all'ipotesi del multiverso, è considerato uno dei pionieri del computer quantistico.
Nei computer che utilizziamo oggi, l'informazione viene misurata in bit. Un bit (contrazione di "binary digit", cioè cifra digitale) è l'unità elementare dell'informazione, e corrisponde alla scelta tra due valori possibili (ad esempio, 0 oppure 1). Ogni informazione che viene elaborata dai nostri computer è rappresentata come combinazione di molti zeri e uni, così come ogni numero può essere espresso come sequenza di più cifre.
Ragionando in termini quantistici, nulla ci vieta di immaginare un "bit quantistico", o qubit, cioè un bit che può assumere simultaneamente più valori binari. Dobbiamo immaginare un ipotetico registro corrispondente a un qubit come un contenitore nel quale trovano posto, allo stesso tempo, il valore 0 e il valore 1.
Ad implementare fisicamente il registro potrebbe essere, ad esempio, una particella il cui spin che può assumere un valore up oppure un valore down. Secondo la meccanica quantistica, lo stato quantico della particella permane in uno stato di sovrapposizione fintantoché il registro non viene letto.

Ma cosa accade quando il computer va a leggere il valore memorizzato nel registro-particella? Se aderiamo all'interpretazione a molti mondi, dobbiamo immaginare che l'universo si biforchi in infiniti universi: in alcuni di questi il registro conterrà il valore 0, in altri il valore 1.  Secondo l'interpretazione tradizionale, invece, la lettura del registro farà collassare lo stato quantico secondo un meccanismo probabilistico.

Ovviamente, il numero di universi nei quali, secondo l'interpretazione di Everett, il registro assumerà il valore 0 è strettamente imparentato con la probabilità che, secondo l'interpretazione di Copenaghen, lo stato quantico collassi nel valore 0 al momento della misurazione.

In entrambi i casi, potremmo immaginare il nostro registro da un qubit come una cella di memoria che, prima che venga letta, può assumere valori intermedi tra 0 e 1: più vicino il valore è 0, maggiore è la probabilità che la lettura del registro restituisca il valore 0; o, se preferite, maggiore è il numeri di universi paralleli in cui il registro, dopo la lettura, ha il valore 0.
 
Ma attenzione: non dobbiamo commettere l'errore di immaginare un qubit come una sorta di bit analogico, che può assumere un continuum di valori compresi tra 0 e 1: nell'istante in cui il qubit viene osservato, infatti, esso potrà assumere soltanto il valore 0 oppure il valore 1, e nessun altro valore.
Nelle prossime puntate di questa nuova serie di post dedicati alla computazione quantistica, mi addentrerò più da vicino nel significato del qubit e nei possibili utilizzi di un computer quantistico.
Alla prossima!

Come lo scorrere dell'acqua

  - Che cosa mi piace della matematica? - disse Tengo, rivolgendo di nuovo a se stesso la domanda di prima, per distrarre la propria attenzione dalle dita e dal seno della ragazza. - La matematica è come lo scorrere dell'acqua. Naturalmente le teorie sono numerose e abbastanza complicate, ma la logica fondamentale è molto semplice. Come l'acqua che scorre dall'alto verso il basso seguendo il percorso più breve, anche la matematica non ha che un unico flusso. Se lo si osserva a lungo, con attenzione, quel percorso emerge da solo. Basta che ti limiti a guardarlo, senza fare nulla. Se ti concentri e guardi con attenzione, tutto si chiarisce da sè. In questo grande mondo non c'è nessuno che mi tratti con tanta gentilezza, a parte la matematica.
  Fukaeri ci pensò su per un po'.
  - Perché scrive romanzi, - chiese, senza nessun accento nella voce.
  Tengo tradusse la frase in una domanda più lunga.
  - Visto che la matematica per me è così piacevole, perché dovrei sforzarmi di scrivere romanzi? Non farei meglio a occuparmi solo di matematica? E' questo che vorresti sapere?
  Fukaeri annuì.
  - Vediamo... La vita vera è diversa dalla matematica. Nella vita le cose non scorrono scegliendo il percorso più breve. La matematica per me è, come dire, troppo naturale. Assomiglia a un bellissimo paesaggio. Qualcosa che semplicemente sta lì. Non c'è bisogno di sostituire nulla. Nel mondo della matematica, ogni tanto ho la sensazione di stare a poco a poco diventando trasparente. E a volte mi fa paura.
  Fukaeri continuava a guardare in faccia Tengo, senza mai distogliere lo sguardo. Come se spiasse in un appartamento vuoto con il viso incollato al vetro della finestra.
  Tengo disse:
  - Quando scrivo, usando le parole sostituisco il paesaggio che mi circonda con qualcosa che per me è molto più naturale. Cioè lo ricompongo. Solo così riesco ad accertare che questa persona chiamata "io" esiste davvero nel mondo. E' un lavoro molto diverso da quello che faccio quando sono nel mondo della matematica.
  - Verifica che esiste, - disse Fukaeri.
  - Anche se non posso dire di riuscirci ancora bene, - disse Tengo.

(da "1Q84", di Murakami Haruki, Libro 1, Einaudi 2011)

Carnevale della Matematica #48 su Maddmaths!

In concomitanza con il Mese della Consapevolezza Matematica, organizzato annualmente dalle associazioni americane di matematica, Maddmaths! ci offre una bella edizione del Carnevale della Matematica, con il tema "Matematica, statistica e il diluvio dei dati".
Come sempre, complimenti al curatore Roberto Natalini e a tutti i partecipanti!
Mr. Palomar ha contribuito con due post: il primo, "Se l'arrotondamento non quadra", per la verità pubblicato all'inizio di marzo, quindi più di un mese fa, e tuttavia in tema con l'argomento proposto; il secondo, "La sezione aurea e le regole del giuoco del calcio", al contrario fuori tema ma uscito pochi giorni fa.
Buona lettura a tutti!

La sezione aurea e le regole del giuoco del calcio

Come tutti gli sport, anche il gioco (anzi, il giuoco, come insegnavano i maestri e i dizionari di qualche decennio fa) del calcio ha le sue regole, codificate in un Regolamento ufficiale costituito da 17 norme principali.
La prima di queste regole si intitola "Il terreno di gioco", e descrive le caratteristiche del rettangolo delimitato dalle linee di porta e dalle linee laterali e nel quale i calciatori possono condurre il gioco.
L'incipit della Regola 1 recita testualmente:

Regola 1: il terreno di giuoco
Dimensioni
Il terreno di giuoco deve essere rettangolare. La lunghezza delle linee laterali deve essere, in ogni caso, superiore alla lunghezza delle linee di porta.
Lunghezza: minimo m. 90 massimo m. 120
Larghezza: minimo m. 45 massimo m. 90
Gare internazionali
Lunghezza: minimo m. 100 massimo m. 110
Larghezza: minimo m. 64 massimo m. 75





Insomma, per incontri non internazionali, secondo le regole ufficiali sarebbe in teoria ammissibile anche un campo lungo, ad esempio, 91 metri e largo 90 (un campo esattamente quadrato con il lato di 90 metri sembrerebbe escluso dalla frase iniziale "Il terreno di giuoco deve essere rettangolare", anche se un quadrato è pur sempre un caso particolare di rettangolo).
Nella maggior parte dei casi, i terreni di gioco (pardon, di giuoco) tendono ad assumere proporzioni "meno quadrate", con lunghezze e larghezze che si pongono circa a metà dei rispettivi intervalli ammessi, cioè intorno a 105 metri per 67,5 metri.

Le indicazioni che il regolamento prescrive per le partite internazionali sono più rigide, ma solitamente sono considerate uno standard de facto anche per gare a livelli più bassi. Analogamente, nel "calcio che conta" viene consigliata o talvolta imposta una misura ben precisa, che, guarda caso, corrisponde quasi esattamente al formato "medio" di cui parlavo poco fa: 105 x 68 metri.
Sono queste, infatti, le dimensioni che la FIFA raccomanda per i tornei internazionali, e che in Italia le Leghe di Serie A e B stabiliscono obbligatoriamente per le partite di campionato (tollerando al limite una dimensione minima di 65 metri per il lato corto, in caso di comprovate difficoltà tecniche dell'impianto).

Se diamo un'occhiata alle dimensioni del terreno di gioco (ops...) dei principali stadi italiano e stranieri, il formato standard 105 x 68 metri la fa da padrone: lo ritroviamo, tanto per fare alcuni esempi, all'Olimpico di Roma e all'Olimpico di Torino, al San Siro di Milano, al San Paolo di Napoli, al Bentegodi di Verona (permettetemi questa piccola menzione campanilistica...), al Campo Nou di Barcellona, al Lužniki di Mosca, allo Stadio del Centenario di Montevideo, all'Azteca di Città del Messico, e moltissimi altri.


Il rapporto tra i lati di un rettangolo 105 x 68 è pari a 105/68 = 1,54412: un valore non molto vicino al rapporto aureo, che è uguale a:

In un rettangolo aureo, il rapporto tra il lato maggiore e quello minore è uguale a quello tra il lato minore e la differenza tra lato maggiore e lato minore.
E' forse superfluo ricordare qui l'importanza che le proporzioni auree hanno rivestito nella storia dell'arte: mi limito a sottolineare che il rettangolo aureo è stato a lungo considerato il rettangolo più armonioso e "bello" da vedere, e non è un caso se lo ritroviamo, ad esempio, nelle comuni carte di pagamento o nei moderni badge aziendali.
E' quindi un vero peccato che gli organismi supremi del calcio non abbiano scelto come standard per i campi di calcio un formato aureo: avrebbero benissimo potuto raccomandare, per esempio, una lunghezza di 110 metri e una larghezza di 68 metri , dimensioni che rientrano nell'intervallo accettato dalla Regola 1 (anche per gare internazionali) e che disegnano un rettangolo quasi perfettamente aureo.
Le dimensioni raccomandate dalla FIFA prevedono un lato lungo troppo corto, o, se preferite, un lato corto troppo lungo.

Fortunatamente non tutti gli stadi sono così ligi rispetto agli standard internazionali, e alcuni presentano dimensioni diverse dal solito rettangolo 105 x 68 metri .
In alcuni di questi, però, il rapporto tra lato lungo e lato corto è ancora meno aureo di quello standard: ad esempio lo Stadio Olimpico di Atene e il mitico Wembley di Londra hanno un rapporto di 1,5 (105 x 70 metri), mentre il leggendario Maracanà di Rio de Janeiro raggiunge addirittura un rapporto di 1,466 (110 x 75 metri).
Uno stadio più vicino alla divina proporzione è il famoso Estadio Monumental di Buenos Aires, utilizzato dal River Plate: il rapporto tra lato lungo e lato corto è di 1,571, ma siamo ancora lontani dal fatidico numero di Fidia.

Un possibile candidato al titolo di stadio più aureo del mondo è il Santiago Bernabeu di Madrid: lo stadio del Real Madrid, dove la Nazionale italiana vinse il campionato del mondo nel 1982.
Purtroppo, le dimensioni esatte del campo madrileno sono piuttosto controverse: la versione inglese di Wikipedia indica 107 × 72 metri, quella spagnola si pronuncia per lo standard 105 x 68 metri, altre fonti propongono 106 x 70 metri.
Il sito dell'UEFA dichiara però che le dimensioni del Santiago Bernabeu sono di 106 x 66 metri: se questa è la versione corretta, il rapporto sarebbe di 1,606, molto vicino alla proporzione aurea.
Credo che, nonostante queste curiose voci discordanti, ai quarantenni come me piaccia pensare che il record di "aureità" spetti di diritto allo stadio di Madrid, quasi a nobilitare ulteriormente il ricordo nostalgico di quella notte di trent'anni fa.

L‘ultimo post

Non avrei mai desiderato intitolare un mio post come ho fatto con questo. Mr. Palomar chiude i battenti: troppi impegni lavorativi e familiari me lo impongono, purtroppo. Lo comunico ai miei lettori con grande dispiacere e con un po‘ di senso di colpa: auspicavo, per questa bellissima avventura, una vita ben più lunga. Resta il piacere di aver costruito un piccolo spazio di divulgazione scientifica e di avere avuto l'opportunità di conoscere alcuni magnifici compagni di viaggio tra gli altri blogger. Grazie a tutti!

Carnevale dei libri di scienza #6: numeri

Non poteva iniziare meglio, la primavera 2012: in questo giorno equinoziale ecco arrivare la sesta edizione del Carnevale dei libri di scienza, per questo mese allestito da Alice Della Puppa del blog della Libreria Baobab.
Un Carnevale molto interessante, a partire dal tema "Numeri", attorno al quale si sono accumulati contributi particolarmente stimolanti.
La prossima puntata del Carnevale dei libri di Scienza sarà ospitato dal blog di Cristina Sperlari "Il piccolo Friederich", con il tema ”A scuola di scienza: libri di scienza per bambini e ragazzi”. La scadenza per la presentazione dei contributi è fissata al 19 aprile 2012.

L'ossessione dei numeri primi

Se volete capire l'ipotesi di Riemann (e tutto l'insieme di scoperte, teoremi e problemi aperti che sono contigui alla famosa congettura), e desiderate farlo attraverso una spiegazione che sia divulgativa ma al tempo stesso un po' più approfondita di una superficiale introduzione, questo è il libro che fa al caso vostro.
Meno celebre del pur ottimo bestseller "L'enigma dei numeri primi" di Marcus du Sautoy, questo saggio del giornalista e scrittore anglo-americano John Derbyshire, edito nel 2003, riesce nell'intento di spiegare con chiarezza una delle parti più profonde e difficili di tutta la matematica.
Alternando capitoli di carattere storico e capitoli più squisitamente matematici, Derbyshire accompagna il lettore lungo la storia dell'irrisolto enigma della distribuzione dei numeri primi, e racconta le scoperte dei grandi protagonisti di questa vicenda appassionante.
A chi non abbia dimestichezza con i formalismi della matematica, questo testo potrà sembrare indigesto per l'abbondante ricorso a formule; viceversa questa stessa caratteristica sarà molto apprezzata da chi, non temendo equazioni e dimostrazioni, sia curioso di avventurarsi più profondamente nel mondo dei numeri primi.
Il libro è stato ristampato da Bollati Boringhieri per un'edizione speciale distribuita dalla rivista "Le Scienze".

Pi Day e Carnevale della Matematica #47 su DropSea

Nella smorfia napoletana il 47 è il numero del morto. L'edizione n. 47 del Carnevale della Matematica, tuttavia, è tutto fuorchè una cosa morta, perché raramente si sono visti carnevali così ricchi e appassionanti.
Oggi, tra l'altro, non è il solito quattordici del mese buono per l'appuntamento matematico-carnascialesco, ma il padre di tutti i giorni quattordici: il 14 marzo, cioè il 3.14, insomma pi greco!
In altri termini, oggi è il Pi Day! E per celebrarlo degnamente non potete non leggere la magnifica carrellata di post e articoli che Gianluigi Filippelli di DropSea ci ha regalato.

Il prossimo appuntamento del Carnevale sarà ospitato il 14 aprile da MaddMaths!
Buon Pi Day a tutti!

I ponti di Eulero

Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero, era un costruttore di ponti. Non mi riferisco ai sette ponti che scavalcano il fiume Pregel nella città prussiana di Konigsberg, legati al famoso problema topologico che Eulero risolse nel 1736, ma alle innovative connessioni che il geniale matematico svizzero riuscì a stabilire tra molti rami diversi della matematica.
I ponti scoperti da Eulero collegarono tra loro, in modo spesso sorprendente, settori come la teoria dei numeri, l’analisi, lo studio dei numeri complessi, la topologia, la geometria analitica.
Uno di questi ponti è la celebre identità scoperta da Eulero nel 1748:






Questa formula viene spesso considerata “la più bella di tutta la matematica” perché raccoglie in una meravigliosa sintesi alcuni degli operatori e dei numeri fondamentali della matematica: l'addizione, l'esponenziale, lo zero, l'uno, il numero di Nepero e, la costante immaginaria i e il celebre π.
A proposito di π, uno dei legami più interessanti che Eulero esplorò, sotto molteplici punti di vista, è quello tra il fatidico rapporto geometrico e i numeri primi.
Che cosa lega tra loro queste due nozioni matematiche? Apparentemente nulla. π è un numero irrazionale, addirittura trascendente, come ho accennato in questo mio post, mentre i numeri primi sono i numeri naturali refrattari alla divisione.
Prima del Settecento, π era ritenuto una costante d'interesse esclusivamente geometrico. Eulero fu il primo a comprendere che alcuni strani nessi congiungevano π ai numeri primi, passando attraverso concetti non banali come le serie convergenti e le funzioni.
Ad esempio, modificando opportunamente il segno di alcuni termini della celebre serie armonica, Eulero ottenne questa sorprendente equazione:

dove i segni dei termini, a parte i primi due, si determinano in questo modo:
- segno positivo se il denominatore è un numero primo del tipo (4m – 1);
- segno negativo se il denominatore è un numero primo del tipo (4m + 1);
- prodotto dei segni dei singoli fattori se il denominatore è un numero composto.
Mentre, com'è ben noto, la serie armonica non converge, cioè tende verso un valore infinito, questa particolare serie converge verso π molto lentamente: per arrivare alla scadente approssimazione 3,01 occorrono 500 termini, per determinare l'1 come prima cifra decimale ne servono 5000, e per arrivare a 3,14 bisogna utilizzarne ben 3.000.000.
Nonostante la scarsa utilizzabilità pratica, tuttavia, questa identità è una delle più notevoli della matematica, soprattutto per l'inatteso coinvolgimento del concetto di numero primo.

Un altro dei ponti euleriani tra π e i numeri primi è legato al celebre problema di Basilea e alla famosa formula prodotto di Eulero.
Il problema era stato proposto quasi un secolo prima dal matematico bolognese Pietro Mengoli, il quale aveva inutilmente cercato di calcolare una formula (o, come dicono i matematici, una "forma chiusa") che esprimesse il valore al quale tende la somma degli inversi dei quadrati di tutti i numeri naturali, cioè:

Ancora una volta si trattava di una serie imparentata con la serie armonica: in questo caso la differenza non stava nei segni dei termini, ma nella presenza dei quadrati al denominatore di ogni termine.
I quadrati al denominatore rendono i termini più piccoli e fanno sì che la serie converga. Non è difficile calcolare empiricamente che il valore al quale tende si aggira intorno a 1,64493: tuttavia nessuno fino al 1735 riuscì a determinare una forma chiusa per questo valore.
La trovò in quell'anno il nostro Eulero, il quale dimostrò che: 

 

Dividendo per 6 il quadrato di π si ottiene proprio quel fatidico valore 1,64493...
Eulero si accorse anche che il risultato poteva essere elegantememente generalizzato a tutti i casi in cui, al posto dei quadrati, compaiono potenze pari.
Ma questa volta cosa c'entrano i numeri primi? C'entrano, perché Eulero scoprì che, manipolando opportunamente quella somma degli inversi dei quadrati, si poteva ricavare la seguente formulazione alternativa:

dove il prodotto al secondo membro coinvolge tutti i numeri p primi.
Ad esempio, con s=2 si otteneva il caso particolare con il valore pari al quadrato di π diviso per 6.
Ecco quindi un nuovo strano ponte euleriano tra π e i numeri primi. Inoltre, ancora una volta π saltava fuori a sorpresa da un teorema che univa l'analisi matematica (le serie) e la teoria dei numeri (i numeri primi), ma che nulla c'entrava con cerchi e altre figure geometriche, i tradizionali luoghi nei quali ci si aspetta di trovare π.

Il teorema racchiuso nell'equazione esposta sopra prende il nome di "formula prodotto di Eulero", e riveste una grande importanza nella storia della matematica, soprattutto perché aprì la strada a molte fondamentali scoperte successive.
Il divulgatore inglese John Derbyshire, nel suo bel saggio "L'ossessione dei numeri primi", pubblicato in Italia da Bollati Boringhieri, ha ribattezzato questo teorema come la "Chiave d'Oro", sottolineando la sua rilevanza e la sua utilità.
Il primo membro dell'equazione non è altro che la definizione della celeberrima funzione zeta, che Bernhard Riemann esplorò a fondo più di un secolo dopo Eulero, introducendo le metodologie dell'analisi complessa e comprendendo meglio i suoi legami con i numeri primi.
Il ponte gettato da Eulero nel 1735 rappresentò il primo passo di un cammino appassionante, che portò alla formulazione dell'ipotesi di Riemann e alla definizione di una serie di misteri tuttora irrisolti.

Se l'arrotondamento non quadra

Mr. Palomar ha l'abitudine di registrare le sue spese quotidiane su un quaderno a quadretti, suddividendole per settimana e per categoria di spesa.
Un pomeriggio Mr. Wilson va a trovare l'amico e nota il quaderno sul tavolo della cucina.
- Non ti facevo così preciso e minuzioso!
- E' una vecchia abitudine. Non so se serva veramente riempire queste pagine di conti, ma mi dà l'impressione di tenere le mie finanze sotto controllo.
- Vedo che registri tutto, fino all'ultimo centesimo.
- Già. Un giorno ho provato a registrare le spese arrotondandole all'euro, ma mi sono imbattuto in un problema che non sono riuscito a risolvere.
- Posso intuire. Ma sentiamo, che tipo di problema hai avuto?
- Guarda questa tabella. Sono le spese del mese di gennaio, suddivise in 5 categorie e riportate con precisione al centesimo.

- Bene, fin qui mi sembra tutto a posto, o sbaglio?
- Non sbagli. Ma guarda cosa succede in questa tabella. L'ho ricavata dalla precedente arrotondando ogni importo parziale all'euro, e calcolando i totali a partire da questi nuovi importi arrotondati.

Mr. Wilson osserva la tabella.
- Come prevedevo. Alcuni totali sono diversi da prima, e soprattutto sono diversi dal risultato che si sarebbe ottenuto arrotondando anche i totali con lo stesso criterio degli importi parziali.
- Esatto, è proprio questo il problema. I totali incriminati sono quelli che ho segnato in rosso. Ad esempio il totale delle spese della seconda settimana è diventata di 228 euro, mentre arrotondando il totale reale 227,1 si sarebbe dovuto ottenere 227.
- E' ovvio che questo accada: ad esempio se in una riga o in una colonna c'è una maggioranza di importi sopra la soglia del mezzo euro, o viceversa sotto quella soglia.
- Proprio così. E guarda il totale complessivo. E' sballato di quasi 2 euro e mezzo.
- Hai provato a vedere cosa succede se oltre agli importi parziali si arrotondano anche i totali?
- Sì, ho provato. Ed è venuta fuori questa tabella.

- E cos'hai notato?
- Apparentemente sembra risolvere il problema: peccato che stavolta i totali non siano sempre ottenuti come somma degli importi parziali. Ad esempio 90 + 87 + 7 + 44 non fa 227, ma 228.
- Risolvere il problema che hai osservato non è cosa facile. Anzi, è in generale impossibile se ci vincola ad arrotondare gli importi nel modo tradizionale.
- Cosa intendi per "tradizionale"?
- Intendo dire che di solito una somma viene arrotondata per eccesso se eguaglia o supera la soglia dei 50 centesimi, e per difetto se rimane sotto quel limite.
- Certo, mi sembra una scelta ragionevole.
- Ma così facendo ti imbatti sicuramente nel problema che hai notato, e non c'è rimedio.
- Cos'altro posso fare?
- Se accetti che un importo venga arrotondato per eccesso o per difetto indipendentemente dal livello dei centesimi di euro, allora il problema può essere risolto.
- E come?
- Utilizzando particolari algoritmi euristici studiati appositamente per escogitare una combinazione ottimale di arrotondamenti sulle diverse celle della tabella, con l'obiettivo di mantenere corrette le somme sulle righe e sulle colonne. Il problema è noto in letteratura come "problema dell'arrotondamento controllato" (in inglese "controlled rounding problem" o CRP).
- Interessante. Ma mi vuoi dire che altre persone oltre a me si sono imbattute nel problema di arrotondare somme di denaro?
- Sì, certo. Ma la cosa non riguarda soltanto valori economici. Il problema nasce storicamente negli istituti di statistica, soprattutto per esigenze legati alla privacy.
- Privacy?
- Gli istituti di statistica devono elaborare e pubblicare grandi tabelle di dati relativi alle caratteristiche della popolazione. Spesso, però, per evitare che certe informazioni possano violare la privacy delle persone rivelando dati riconducibili a singoli individui, è necessario "perturbare" certi dati arrotondandoli rispetto ad una certa base di riferimento. Così facendo, tuttavia, si va incontro alle difficoltà che hai visto anche tu.
- E quindi gli statistici hanno chiesto aiuto ai matematici.
- Sì, ma soprattutto agli informatici, perché le tecniche di risoluzione del CRP sono raffinati metodi euristici nei quali i ricercatori di informatica hanno dato il meglio di sè.
- Meno male. Mi sa però che continuerò a registrare le mie spese al centesimo.
- Forse ti conviene.  D'altra parte, così gli arrotondamenti quadrano sempre!

Carnevale dei libri di scienza #5: matematica e arte

Fa molto piacere vedere come il Carnevale dei libri di scienza, creatura nata qualche mese fa da una felice idea di Daniele Gouthier di Scienza Express (e che questo blog ha avuto l'onore di ospitare nella sua seconda edizione), sia ormai una realtà ben avviata e consolidata.


Flavio Ubaldini su Pitagora e dintorni ha dato vita alla quinta tappa di questo viaggio, con un tema molto stuzzicante: "matematica e arte". Un sentito grazie a Flavio e a tutti i partecipanti per una edizione che come sempre si rivela molto interessante.

La prossima tappa è ospitata da Alice Della Puppa sul sito della Libreria Baobab. La deadline è fissata al 19 marzo, e il tema è semplice quanto affascinante: numeri.
Partecipate numerosi! E Buon Carnevale a tutti!

Il matematico invidioso

Mi è capitato recentemente, in messaggi o facezie scambiate con amici blogger e divulgatori, di confessare un sentimento di invidia per alcuni post altrui particolarmente brillanti; e a volte la confessione era reciproca.

L’invidia è generalmente considerata un sentimento deplorevole, di cui vergognarsi. Eppure credo che, dove non giunga a eccessi ossessivi e bloccanti, possa spesso rappresentare un costruttivo stimolo a migliorarsi.
Deve pensarla così anche Piergiorgio Odifreddi, se è vero che il suo libro "Penna, pennello e bacchetta. Le tre invidie del matematico", edito da Laterza nel 2006, prende le mosse proprio da questo inconfessabile moto dell’anima, che lui afferma di provare per scrittori, pittori e musicisti.

Il saggio raccoglie i testi di un ciclo di lezioni tenute da Odifreddi nel marzo 2004 nell’Aula Magna dell’Università di Bologna, su un tema a lui molto caro: i legami tra la matematica e le arti.

E’ un indiscutibile merito di Piergiorgio Odifreddi quello di avere spesso raccontato, con profonda competenza e singolare brillantezza, le affascinanti e spesso insospettate connessioni tra la cultura matematica e le altre discipline, in particolare artistiche e letterarie.
In un Paese come l'Italia, che risente tuttora dell'impostazione culturale gentiliana, un'operazione come questa, che contribuisce a ridurre la distanza tra discipline scientifiche e umanistiche proponendo una via moderna alla divulgazione, è senza dubbio meritoria.
Odifreddi non è certo un matematico che snobba la cultura letteraria e artistica: anzi, nelle sue pagine si legge costantemente il suo amore per la musica, per la letteratura, per l'arte: un atteggiamento ben diverso da quello di taluni "umanisti" che ancora oggi si ostinano a rivendicare, in modo più o meno esplicito, una presunta superiorità del sapere umanistico rispetto a quello scientifico, vantandosi, magari, di non aver mai capito nulla di matematica e di scienze.

D’altra parte, se gelosia e invidia sono espressioni dell'amore, il fatto che Odifreddi ammetta di invidiare profondamente gli artisti e i letterati non fa che confermare la sua sincerità di matematico aperto e sensibile.
Con questo libro nelle mani, il lettore affascinato dalla divulgazione rischia di provare lui stesso invidia per l'invidioso autore, e di chiedersi come abbia fatto a tracciare, in modo esemplare, tante affascinanti linee che congiungono il mondo dei numeri con quello della creatività artistica.
Da navigato e brillante narratore matematico, Odifreddi racconta i divertimenti linguistici e matematico-letterari con cui si sono dilettati molti scrittori giocolieri delle parole, esplora le strette parentele che hanno accomunato l’arte e la matematica, e descrive le basi numeriche dell’arte dei suoni.
Il capitolo conclusivo sulla musica è forse quello più convincente. L'autore mostra non soltanto quanta matematica c'è nella musica ma anche quanta musica c'è nella matematica: e i protagonisti di questo affascinante intreccio sono giganti come Pitagora, Galileo, Keplero, Newton, Bach, Eulero, Mozart, Fourier.
Un libro consigliatissimo, soprattutto a chi tende a ragionare per compartimenti stagni o a chi desidera lasciarsi ammaliare e sorprendere dalla bellezza dell'unitarietà del sapere umano.

Carnevale della matematica #46: goto Rudi Matematici

Un Carnevale sontuoso, uno strano anello carnascialesco, una fantasmagoria di contributi sapientemente confezionati da quella forza della natura che sono i Rudi Matematici: ecco il Carnevale della Matematica edizione numero 46. Dalle ventitré coppie di cromosomi nelle nostre cellule a San Valentino, da Valentino Rossi al codice ASCII del punto, i Rudi ci introducono in una carrellata davvero ricca e di alta qualità, fantasiosamente illustrata da fotografie provenienti dallo storico Carnevale di Ivrea.
E' un onore per me trovare, tra cotanti contributi, anche il modesto post palomariano (tra l'altro segnalato in extremis).
Appuntamento all'edizione marzolina del glorioso Carnevale (quella del 3.14), che sarà ospitata da Gianluigi Filippelli nel suo blog DropSea, con tema libero.
Buon Carnevale e... buon San Valentino a tutti! (per i matematici romantici: provate a digitare su Google la stringa "sqrt(cos(x))*cos(300x)+sqrt(abs(x))-0.7)*(4-x*x)^0.01, sqrt(6-x^2), -sqrt(6-x^2) from -4.5 to 4.5")

La formula del carnevale

- Lì ci sono altre frittelle. Serviti pure.
Mr. Palomar è a casa dell'amico Mr. Wilson per uno spuntino carnevalesco.
- Grazie. Ma lo sai che la mia passione sono i galani.
- Detti anche crostoli. Sono in quel piatto.
- Qualcuno li chiama anche frappe.
- O bugie.
- O cenci.
- O chiacchiere.
- Si chiamino come si vuole, ma ne farò una scorpacciata. Hai fatto bene a prepararne un bel po'.
- Fai come se fossi a casa tua.
- Peccato che il Carnevale non dura poi tanto.
- Bè, dipende.
- Certo, dipende dall'anno.
- Sì, oppure no.
- Come sarebbe a dire?
- Secondo la tradizione cattolica, il Carnevale, o meglio il Tempo di Settuagesima, inizia nella domenica che cade esattamente 9 settimane prima della domenica di Pasqua, e che è detta appunto domenica di Settuagesima.
- E finisce il martedì grasso, cioè il giorno prima del mercoledì delle Ceneri.
- Esattamente. Se fai i conti, questo significa che il Carnevale dura sempre esattamente 17 giorni.
- Così poco? Sei sicuro di avere fatto i calcoli giusti?
- Sì. Ad esempio quest'anno durerebbe dal 5 al 21 febbraio. Ma tieni conto che questa è la liturgia cattolica. Pensa che il Tempo di Settuagesima è considerato come una preparazione alla Quaresima, e come tale un periodo di riflessione, penitenza e astinenza dalle carni.
Mr. Palomar guarda di traverso l'amico, e ingurgita in un sol boccone due crostoli (o galani, o bugie...)
- Ben diverso dal Carnevale laico al quale siamo abituati! - dice con la bocca piena
- Già. Al di fuori della tradizione cristiana, spesso si dice che il Carnevale inizia subito dopo l'Epifania, cioè il 7 gennaio.
- E' vero, è questa la versione che conoscevo anch'io.
- In questo modo, il Carnevale ha un inizio fisso e una fine variabile: il mercoledì delle Ceneri, infatti, cade sempre 46 giorni prima della Pasqua. Quindi la durata del Carnevale varia di anno in anno.
- Ovvio. Più avanti cade la Pasqua, più lungo è il Carnevale.
- Bravo. Ti sei meritato altri crostoli e frittelle.
- Troppo gentile. Ma questa faccenda della durata del Carnevale mi incuriosisce. Non si potrebbe scrivere una formula che dato l'anno permetta di determinare il numero di giorni nei quali ci si può ingozzare di dolciumi come questi?
- Certo, si può. Naturalmente si tratterebbe di una formula derivata da quella che Gauss propose per calcolare il giorno della Pasqua.
- Il solito Gauss. Sempre lui.
- Proprio lui. A dire il vero esistono anche altri algoritmi per il calcolo della Pasqua, ma quello di Gauss è particolarmente semplice, e quindi è il più noto di tutti.
- E come funziona?
Mr. Wilson si alza e scompare nella stanza accanto. Ritorna con due fogli in mano, e ne porge uno all'amico.
- Ecco qui. Sono poche formule in tutto.
Il foglio contiene l'intero algoritmo di Gauss. Mr. Wilson lo mostra a Mr. Palomar:

Y = anno di cui si desidera calcolare la data della Pasqua

a = Y mod 19

b = Y mod 4

c = Y mod 7

d = (19a + 24) mod 30

e = (2b + 4c + 6d + 5) mod 7

Se (d + e) < 10, allora la Pasqua cade il giorno d + e + 22 nel mese di marzo, altrimenti cade il giorno d + e – 9 nel mese di aprile. 
Se il risultato è 26 aprile, allora la Pasqua cade il 19 aprile  
Se il risultato è 25 aprile e si ha anche d = 28, e = 6 e a > 10, allora la Pasqua cade il18 aprile.

- Tutti quei mod indicano il calcolo del resto di una divisione, giusto?
- Esatto: ad esempio 2012 mod 19 è uguale a 17, perché 2012 diviso 19 fa 105 con il resto di 17.
- E come si modifica l'algoritmo per trovare la lunghezza del Carnevale?
- Diventa anche più semplice.
Mr. Wilson prende il secondo foglio e mostra le formule all'amico:

Y = anno di cui si desidera calcolare la data della Pasqua

a = Y mod 19

b = Y mod 4

c = Y mod 7

d = (19a + 24) mod 30

e = (2b + 4c + 6d + 5) mod 7

DurataCarnevale = d+e+29
Se DurataCarnevale = 64, allora DurataCarnevale=57
Se d=28, e=6, a>10, allora DurataCarnevale=56

- Non sto a spiegarti nel dettaglio come si passa dalle formule di Gauss a questo mio algoritmo per calcolare quanto dura il Carnevale.
- Va bene, ma mi sembra che sia facile capirlo da solo. Vorrei provare ad applicare la formula per l'anno 2012...
- Prova. Sul retro del foglio ci sono alcuni esempi, relativi agli anni dal 1950 al 2020.
- Vediamo!

La tabella è la seguente:

Buon Carnevale a tutti!

Wislawa Szymborska e la folgorazione della matematica

E' scomparsa poche ore fa una delle maggiori voci poetiche mondiali: Wislawa Szimborska, premiata con il Nobel nel 1996.
Nelle sue opere la Szimborska aveva spesso manifestato la sua fascinazione nei confronti della bellezza della matematica e della scienza in genere.
Proprio per tale motivo era stata citata due volte in questo blog: la prima volta a proposito di una sua frase sulla poesia del teorema di Pitagora, e la seconda per ricordare un suo componimento dedicato al pi greco.

Carnevale dei libri di scienza #4: Fanta-scienza

E' giunto alla quarta edizione il Carnevale dei Libri di Scienza, ospitato questo mese dal blog "Gli studenti di oggi" di Roberto Zanasi.

Il tema proposto era "Fanta-scienza" (per citare Roberto Zanasi: "il nobile miscuglio tra fantasia e scienza che spesso viene considerato letteratura minore"), e le recensioni proposte sono state molto interessanti.

Mr. Palomar è presente con un piccolo ricordo di "Ti con zero", celebre libro di Italo Calvino che certo non può essere liquidato come un "semplice" libro di fantascienza, ma che incorpora anche suggestioni prese a prestito dalla fantascienza.

La prossima edizione del Carnevale dei Libri di Scienza sarà ospitata dal blog "Pitagora e dintorni" di Flavio Ubaldini, con l'accattivante tema "Scienza e arte" (termine ultimo per la consegna dei lavori: 19 febbraio).

Daniele Gouthier di Scienza Express, artefice di questa bella e meritoria iniziativa, invita ognuno a farsi avanti per ospitare le prossime edizioni (a partire da maggio i posti sono liberi).

Complimenti a tutti i partecipanti all'edizione di gennaio e buona lettura a tutti!

"Ti con zero" e l'infinito di Calvino

Nei miei post precedenti ho citato più volte Italo Calvino, per una serie di ragioni diverse: per una mia personale predilezione per le opere del grande narratore, per una ricorrente vicinanza delle stesse con le tematiche scientifiche, e, perché no, per una impalpabile affinità che trae origine dal nome di questo stesso blog.

Ricordo che quando avevo circa vent'anni mi ero ammalato di una specie di "calvinite" acuta: continuavo a comprare libri di Calvino, perché dovevo continuare a leggerne. Tra i volumi che acquistai in quel periodo c'era "Ti con zero", la raccolta di racconti pubblicata nel 1967, quasi come prosecuzione ideale delle "Cosmicomiche" del 1965.

"Ti con zero" non è una lettura facile, per così dire, da ombrellone. Il libro è suddiviso in tre parti, ciascuna formata da alcuni racconti. La prima parte si riallaccia alle atmosfere delle "Cosmicomiche", recuperando il protagonista Qfwfq, palindromo narratore vecchio come l'Universo, che racconta le sue vicende senza tempo e senza spazio. Gli scenari cosmogonici che fanno da sfondo alle avventure di Qfwfq evidenziano il gusto di Calvino per le tematiche scientifiche, in particolare astronomiche e cosmologiche. 

Se la prima parte culmina con la morte di Qfwfq, la sezione centrale del libro è invece una lunga e complessa riflessione sulla vita, affrontata con la prospettiva e il linguaggio della biologia. Il trittico, intitolato “Priscilla”, è costituito dai racconti “Mitosi”, “Meiosi” e “Morte”, e curiosamente introdotto da sette lunghe citazioni, di sapore scientifico (tra biologia, filosofia, cibernetica e cosmologia). Le ultime due sono forse le più sorprendenti: rispettivamente tratte da “The general and logical theory of automata” di John von Neumann e dal “Dialogo sopra i due massimi sistemi” di Galileo Galilei.

Ricordo che quando lessi per la prima volta “Ti con zero” provai piacere misto a sorpresa nel leggere la frase di von Neumann usata per introdurre dei racconti. Mi sembrava insolito e meraviglioso che un discorso letterario potesse accogliere in sé anche il linguaggio matematico e considerazioni sulla teoria della complessità e sugli automi cellulari. In fondo mi possedeva la stessa fissazione che ho oggi: l’urgenza di mescolare prospettive diverse, letterarie e scientifiche.

Nella terza e ultima parte Calvino cambia nuovamente registro: i quattro racconti che concludono la raccolta sono storie paradossali, elucubrazioni filosofiche che sviluppano spunti narrativi minimi e apparentemente insignificanti. Molta matematica si nasconde tra le pieghe di questi racconti: in particolare analisi matematica, se è vero che il concetto che si agita dietro le riflessioni di Calvino è il concetto di infinito.

Nel racconto che dà il nome al libro, il protagonista si trova nell’atto di scagliare una freccia verso un leone pronto a balzargli addosso, e compie una articolata serie di riflessioni che si concentrano temporalmente in un unico, lunghissimo, istante. Calvino stesso, a proposito di questo celebre racconto, affermò: 

“In ‘Ti con zero’ cerco di vedere il tempo con la concretezza con cui si vede lo spazio. Nel racconto, ogni secondo, ogni frazione di tempo è un universo. Ho abolito tutto il prima e il dopo fissandomi così sull’istante nel tentativo di scoprirne l’infinita ricchezza. Vivere il tempo come tempo, il secondo per quello che è, rappresenta il tentativo di sfuggire alla drammaticità del divenire. Quello che riusciamo a vivere nel secondo è sempre qualcosa di particolarmente intenso, che prescinde dall’aspettativa del futuro e dal ricordo del passato, finalmente liberato dalla continua presenza della memoria. ‘Ti con zero’ contiene l’affermazione del valore assoluto in un singolo segmento del vissuto staccato da tutto il resto.”

Anche gli altri tre racconti di questa sezione finale del libro, “L'inseguimento”, “Il guidatore notturno” e “Il Conte di Montecristo” insistono sulle stesse tematiche: il tempo, lo spazio, l’infinito, la causalità, la contrapposizione tra il tutto e le parti.

Nelle “Lezioni americane”, Calvino afferma: 

“Studiare le zone di confine dell’opera letteraria è osservare i modi in cui l’operazione letteraria comporta riflessioni che vanno al di là della letteratura ma che solo la letteratura può esprimere”

Bè, in “Ti con zero” queste zone di confine vengono studiate, eccome. Calvino, unico letterato di una famiglia di scienziati, attinge a piene mani dalle tematiche scientifiche, e sembra arrivare ad una conclusione, per così dire, gödeliana: non è possibile comprendere a fondo la realtà, cioè formulare un modello completo del mondo, senza uscire da esso, adottando un punto di vista metafisico e astratto.  

Qualcuno ha fatto notare che nel racconto “Il conte di Montecristo” i due protagonisti adottano due strategie opposte nel rapportarsi con il mondo: Faria si ostina a scavare gallerie nel tentativo di fuggire dalla prigione dell’isola d’If, mentre il conte di Montecristo osserva gli inutili sforzi dell’abate e si raffigura nella sua testa i mille possibili modi per uscire dalla fortezza, senza metterne in atto alcuno: 

"Lavorando di ipotesi riesco alle volte a costruirmi un’immagine della fortezza talmente persuasiva e minuziosa da potermici muovere a tutto mio agio col pensiero; mentre gli elementi che ricavo da ciò che vedo e ciò che sento sono disordinati, lacunosi e sempre più contraddittori."

Carnevale della matematica #45: goto Matematic@Mente

Il 2012 si è aperto con un Carnevale della Matematica davvero memorabile: enorme, ciclopico, straordinariamente ricco di contributi!
Complimenti a tutti i partecipanti (ben 32, con 84 contributi!), e ad Annarita Ruberto che ha raccolto il materiale e confezionato un'edizione che resterà nella storia.

Il tema proposto, certamente affascinante per me e per molti, era: "Teoria della computazione, storia del pc e dintorni"; molto appropriatamente, Annarita ha introdotto il Carnevale con un breve ricordo del grande matematico inglese Alan Turing, padre dell'informatica teorica e dell'intelligenza artificiale, nonché illustre crittoanalista che tanto contribuì alla vittoria alleata durante la seconda guerra mondiale. 

Quest'anno ricorre il centenario della sua nascita: perseguitato dalla giustizia di Sua Maestà a causa della sua omosessualità, fu indotto al suicidio alla giovane età di 42 anni.
Mr. Palomar non mancherà, nel corso dell'anno da poco iniziato, di celebrare degnamente la memoria di questo genio del Novecento.

Tornando al Carnevale di gennaio, ne raccomando a tutti la lettura: si tratta davvero di una miniera d'oro di spunti e di informazioni.
Quanto al sottoscritto, il contributo del mese è il post "Calcolatori-scacchiera per giocare alla vita", sul tema degli automi cellulari.

La prossima edizione del Carnevale della Matematica sarà ospitata dai Rudi Matematici, che hanno proposto un tema molto accattivante: "La matematica del Carnevale": un argomento che piacerebbe probabilmente a Douglas Hofstadter, per le sue suggestioni gödeliane e strano-anulari...

Calcolatori-scacchiera per giocare alla vita

Se cercate un gioco da fare in gruppo, ve ne propongo uno molto semplice. Disponetevi in una fila, in modo che ciascuno si trovi una persona alla sua sinistra e una alla sua destra: faranno eccezione le due persone alle estremità, ciascuna delle quali si ritroverà un solo vicino e non due.
All'inizio del gioco, ognuno deciderà autonomamente se stare in piedi oppure accovacciato. Successivamente, le persone per terra con entrambi i vicini in piedi dovranno alzarsi; viceversa chi si trova in piedi tra due persone accovacciate dovrà a sua volta abbassarsi. In tutti gli altri casi si deve mantenere invariata la propria posizione.
Anche i due giocatori alle estremità dovranno fingere di avere due vicini: quello all'estrema sinistra, con un pizzico di fantasia, dovrà immaginare che il giocatore dell'estrema destra si trovi alla sua sinistra, e viceversa.

Se il gioco viene orchestrato con un buon sincronismo, immagino possa essere divertente: confesso di non averlo mai sperimentato, quindi non prendetevela con me se provandolo lo troverete una cretinata assoluta.
In ogni caso, cretinata o no, lo definirei di una versione "ludico-sociale" di un sistema dinamico discreto noto in matematica e informatica come automa cellulare. L'aggettivo "cellulare" si riferisce al fatto che la griglia regolare sulla quale viene raffigurato il sistema è costituita da celle (che possiamo immaginare quadrate), ciascuna delle quali può assumere un insieme finito di stati. Gli stati di tutte le celle vengono aggiornati contemporaneamente, in passi discreti, cioè generazione dopo generazione.

Nella nostra esemplificazione ludica, le persone recitano il ruolo delle celle, e gli stati possibili sono soltanto due, rappresentati rispettivamente dallo stare in piedi e accovacciati.
In molte implementazioni software, i diversi stati possibili vengono raffigurati tramite colori, cosa che attribuisce a questi automi un particolare fascino scenografico.
Il nostro esempio, che si svolge su una semplice fila di celle-persone, è evidentemente unidimensionale, ma nulla vieta che l’automa possa essere bidimensionale: in questo caso la fila diventa una scacchiera, o se preferite un foglio a quadretti.

Negli automi ad una sola dimensione ogni cella ha, di solito, due celle vicine, ma in alcuni casi si considera un “vicinato” più esteso: è come se, tornando al nostro esempio iniziale, ogni giocatore dovesse tenere conto non soltanto della posizione dei giocatori immediatamente adiacenti, ma anche dei loro vicini, un po’ più a destra e un po’ più a sinistra. Negli automi su scacchiera, per ogni cella si considerano solitamente le otto celle adiacenti che condividono almeno un punto con la cella stessa; ma non sono rari automi in cui ciascuna il vicinato è formato soltanto dalle quattro celle che hanno in comune almeno un lato con la cella in questione.
Come avrete capito, la scelta del vicinato è fondamentale nella progettazione di un automa cellulare, perché essa determina le variabili che ogni cella deve tenere in considerazione per decidere come evolvere ad ogni passo.
Una volta definito il vicinato di ogni cella, occorre stabilire le regole di evoluzione. Nell’esempio iniziale, dato che ogni cella ha due vicini, si tratta di considerare le otto possibili combinazioni di stati per tre celle, e associare a ciascuna uno stato futuro per la cella centrale. La figura a fianco sintetizza la regola scelta (0 e 1 indicano rispettivamente le due possibili posizioni dei giocatori, in piedi o accovacciati).

È evidente che questa non è l’unica regola possibile. Quante diverse regole esistono, considerando vicinati di tre celle? Le possibili configurazioni di stati di tre celle sono 2³ = 8, e i modi in cui a queste otto configurazioni possono corrispondere stati futuri sono 2⁸ = 256.

Quindi esistono in tutto 256 automi cellulari unidimensionali: essendo tutto sommato pochi, gli studiosi li trattano quasi come dei figli (per dirla alla partenopea, piezz’ e core), al punto che hanno dato un nome a ciascuno di loro.
Un po’ come un appassionato biologo marino che abbia catalogato tutte le specie di cetacei che vivono in un certo arcipelago. Bè, adesso non immaginatevi nomi molto fantasiosi: sono semplicemente i numeri da 1 a 256. Per la cronaca, il divertentissimo gioco che vi ho proposto all’inizio del post utilizza la regola n. 232.

E a due dimensioni? Bè, se consideriamo vicinati “classici” da 8 celle, si ottengono in tutto 2⁹ = 512 combinazioni di stati per vicinato, e quindi 2⁵¹² regole: se lo scrivessimo per esteso sarebbe un numero enorme, di 154 cifre. Un po’ troppe per i miei gusti.

I pionieri degli automi cellulari furono il matematico polacco Stanislaw Ulam e il matematico ungherese naturalizzato statunitense John von Neumann, che vediamo nella foto a lato in compagnia del grande fisico americano Richard Feynman (Ulam è a sinistra, von Neumann a destra).
Subito dopo la fine della seconda guerra mondiale, Ulam e von Neumann (che avevano entrambi avuto un ruolo determinante nel famigerato progetto Manhattan, che portò alla realizzazione delle prime bombe atomiche) si proposero di definire modelli matematici in grado di rappresentare la complessità dei fenomeni biologici, con particolare interesse per i meccanismi di crescita e riproduzione degli esseri viventi.
Con l'avanzare dell'informatica teorica e delle tecnologie di computazione, la teoria degli automi cellulari fiorì e attirò l'attenzione di molti studiosi di primo livello.

Nel 1970 un particolare automa cellulare apparve sulla rivista "Scientific American", nella famosa rubrica "Mathematical Games" di Martin Gardner: era il famoso "Gioco della Vita" ("Game of Life"), ideato dal matematico e grande divulgatore inglese John Conway per rappresentare i meccanismi di sviluppo e auto-organizzazione tipici degli organismi viventi. Ben presto la creazione di Conway divenne l'esempio più celebre di automa cellulare, nonché il capostipite di molti altri automi più o meno complessi e fantasiosi.
Nella sua versione classica, il Gioco della Vita si compone di una scacchiera di celle in cui ogni cella ha 8 vicini e può assumere 2 stati (viva o morta). Le regole sono due: una cella morta con 3 vicini vivi diventa viva, mentre una cella viva con meno di 2 o più di 3 vicini vivi muore (rispettivamente per isolamento o per soffocamento).

Fiumi di inchiostro (e di bit) sono stati versati sul Gioco della Vita: una ricerca sul web vi permetterà di scoprire sorprendenti meraviglie su questo automa.
Chi comincia a trastullarsi con il sistema di Conway scopre ben presto che esistono particolari configurazioni che, in base alle semplici regole del gioco, si comportano in modo speciale: alcune oscillano indefinitamente tra due stati estremi, altre si spostano attraverso la scacchiera, altre ancora sono stabili e immutabili, altre ancora si evolvono per molte generazioni e poi ripetono lo stesso ciclo di trasformazioni. Esistono perfino gruppi di celle stabili che sparano proiettili. E così via, in un fantastico bestiario di strane creature matematiche.

Uno degli aspetti più importanti a livello teorico è il fatto che il Gioco della Vita, dotata delle regole sopra esposte, ha la stessa potenza di calcolo di un qualsiasi computer: detto in altro modo, è Turing-completa, o equivalente ad una macchina di Turing universale.  Qualsiasi calcolo che possa essere eseguito da un algoritmo, insomma, può essere eseguito in qualche modo sulla scacchiera di Conway.

La rivista "Scientific American" è sempre stata particolarmente attenta agli automi cellulari. Conservo ancora un numero del 1989 nel quale un articolo di Alexander Dewdney (nella indimenticata rubrica “(Ri)creazioni al calcolatore”) descriveva un altro bellissimo automa cellulare, ideato da David Griffeath e denominato "spazio ciclico".
L'automa è composto da una griglia di celle che possono assumere un certo numero di stati, rappresentati tipicamente da colori diversi e disposti in una successione ordinata. Gli stati iniziali sono del tutto casuali; successivamente, se una cella ha un vicino il cui stato è il successivo del proprio, allora la cella viene "mangiata" e assume lo stato del vicino. (Si tenga presente che l'aritmetica utilizzata, sia per gli stati che per la geometria delle celle è modulare, cioè è la cosiddetta "aritmetica dell'orologio", in cui il successore dell'ultimo numero disponibile è lo zero).

Ricordo, come fosse ieri, che appena lessi quell'articolo provai subito a implementare l'algoritmo sul mio personal computer (credo in Pascal), e rimasi affascinato (ma dovrei dire forse stregato, o incantato) dal constatare come una regola apparentemente così semplice e banale potesse generare, con il trascorrere delle generazioni, configurazioni di grande bellezza e ordine, come potete vedere nella figura sopra.
Emozioni come quelle segnano irrimediabilmente chi le ha provate (non so se nel bene o nel male). Anzi, adesso che ci penso, devo andare a cercare quel programmino scritto tanti anni fa: chissà che non funzioni ancora dopo tanti anni...