Il "Computus" di Spencer Jones

Domani è Pasqua, e volendo inserire un post di sapore pasquale in un blog di matematica, non potevo che parlare del problema del calcolo della data della Pasqua.
Nei secoli passati si utilizzava la parola latina "computus", senza altre specificazioni, per indicare appunto questo particolare calcolo: prova dell'importanza che veniva attribuita a questo tipo di procedura.
Com'è noto, la Pasqua cristiana cade nella prima domenica successiva al primo plenilunio successivo all'equinozio di primavera. Ad esempio, la prima luna piena della primavera di quest'anno si è verificata lunedì scorso, 16 aprile: quindi per festeggiare la Pasqua dobbiamo aspettare domani. Il plenilunio precedente è stato il 19 marzo, troppo presto per considerarlo un plenilunio di primavera.
Questa curiosa regola per fissare la data in cui celebrare la resurrezione di Cristo fu stabilita al Concilio di Nicea del 325; in base ad essa, la Pasqua non può verificarsi prima del 22 marzo o dopo il 25 aprile. Quest'anno siamo quasi al limite massimo. Un giorno più in là e avremmo celebrato la più importante ricorrenza cristiana insieme alla Liberazione: l'ultima volta che accadde fu nel 1943, quando la seconda guerra mondiale era ancora in corso e il 25 aprile 1945 era di là da venire. La prossima volta sarà nel 2038.
Tre anni fa la Pasqua cadde, al contrario, molto "bassa": il 23 marzo, un solo giorno dopo il limite inferiore. Per vedere una Pasqua festeggiata il 22 marzo si deve risalire addirittura al 1761, e la prossima volta sarà nel 2285!
Come è ragionevole supporre, non tutte le date comprese tra il 22 marzo e il 25 aprile sono ugualmente probabili come date pasquali: ad esempio le Pasque basse sono, come abbiamo visto, piuttosto rare.
La figura seguente illustra la distribuzione statistica: come vedete le date comprese tra il 28 marzo e il 20 aprile sono più o meno equiprobabili, con un curioso picco positivo in corrispondenza del 19 aprile, mentre le date "basse" e "alte" sono progressivamente più rare mano a mano che ci si avvicina ai limiti consentiti.

Come si esegue il "Computus"?
L'algoritmo più famoso è sicuramente quello scoperto dall'onnipresente matematico Carl Friedrich Gauss, ma questa procedura ha il difetto di utilizzare un parametro che varia a seconda dell'intervallo di due secoli che si considera.

Un algoritmo che non presenta questa aspetto "poco elegante" (sono certo che Gauss da lassù mi perdonerà per questa impertinenza) è riportato sul prezioso libro "Astronomical Algorithms" di Jean Meeus (edito da Willmann-Bell), ma venne descritto da Spencer Jones (nella foto accanto) nel suo volume "General Astronomy" del 1922.
Jones fu un illustre astronomo inglese, noto anche per essersi occupato, intorno al 1940, dell'affascinante problema dell'esistenza della vita su altri pianeti.
Il metodo di Jones, valido per il calendario gregoriano e per qualsiasi secolo, richiede, come unico dato di partenza, l'anno X del quale si desidera calcolare la data della Pasqua, e consiste nell'eseguire, in dieci passi, alcune divisioni, per ognuna delle quali occorre annotare quoziente e resto.
La tabella seguente dovrebbe fornire la descrizione completa dell'algoritmo.

       Dividere                 per   quoziente   resto

1)     l'anno X                 19                  a
2)     l'anno X                100        b         c
3)     b                         4        d         e
4)     b + 8                    25        f        
5)     b - f + 1                 3        g        
6)     19a +b -d - g + 15       30                  h
7)     c                         4        i         k
8)     32 + 2e + 2i - h - k      7                  l
9)     a + 11h + 22l           451        m        
10)    h + l -7m + 114          31        n         p

Una volta arrivati in fondo, n indica il mese in cui cade la Pasqua nell'anno X: 3 sta per marzo, 4 per aprile; e p+1 indica il giorno della Pasqua.
Ad esempio, prendiamo X = 2011. Dividendo 2011 per 19 otteniamo il resto a=16 (passo 1), e dividendolo per 100 otteniamo il quoziente b=20 e il resto c=11 (passo 2).
Se dividiamo b=20 per 4 (passo 3), il quoziente è d=5 e il resto è e=0; nel passo 4, b+8=28 va diviso per 25, fornendo il quoziente f=1.
Il passo 5 ci chiede di dividere b - f + 1 = 20 per 3, e otteniamo il quoziente g=6.
Nel passo 6, dividiamo 19a +b -d - g + 15 = 328 per 30, annotandoci il resto h=28.
Dividendo poi c=11 per 4 (passo 7), otteniamo il quoziente i=2 e il resto k=3.
Al passo 8, calcoliamo 32 + 2e + 2i - h - k = 5 diviso 7, e il resto è l=5.
Dividendo a + 11h + 22l = 434 per 451 (passo 9), otteniamo il quoziente m=0, e infine (passo 10), dividiamo h + l -7m + 114 = 147 per 31, ricavando il quoziente n=4 e il resto p=23.
Il valore n=4 ci dice che la Pasqua cadrà in aprile, e p+1=24 ci fornisce il giorno esatto, domani appunto.
Buona Pasqua a tutti i lettori di Mr. Palomar!