Nomi di numeri - Parte seconda

D'accordo, "fantastiliardo" è una parola (scherzosa) che indica un particolare numero naturale, uno degli infiniti numeri naturali esistenti, e che non appartiene alla serie delle parole istituite "ufficialmente" per denominare queste quantità. L'espressione italiana ufficiale per indicare questo numerone è infatti "cento milioni di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi", e potremmo dire che fantastiliardo è un soprannome di questa espressione, un modo alternativo per scrivere questa quantità in parole.
D'altra parte, questo non è l'unico caso di nome "ufficioso" utilizzabile per indicare un numero.

Anche escludendo taluni casi speciali di numeri non interi, ad esempio π, e, φ, e così via, sono almeno tre i numeri che meritano una particolare menzione in questo senso.

In tutti e tre i casi si tratta di numeri grandi. Anzi, grandissimi. Ma che dico? Giganteschi.

Ma andiamo per ordine. In un giorno del 1938, il matematico americano Edward Kasner, docente alla Columbia University, porta i suoi due nipotini, Edwin e Milton, a fare una passeggiata al parco delle New Jersey's Palisades, vicino a  New York. 

Kasner ha bisogno di un nome simpatico per un numero che ha in mente, e del quale vuole parlare nel libro che sta scrivendo: un numero davvero enorme, corrispondente a 10 elevato alla 100, cioè 1 seguito da 100 zeri. In termini ufficiali: 10 miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi!

Un numero più grande del fantastiliardo, quindi: solo che in quel lontano 1938 Paperon de' Paperoni non era ancora nato, e quindi non esistevano nemmeno i fantastiliardi.

Lo zio Edward chiede ai nipotini se hanno qualche nome da suggerire. Il piccolo Milton, di nove anni, propone il primo nome che gli salta in mente: googol. 

Allo zio questa parola piace subito, e decide di utilizzarla nel suo libro. Ma, si sa, l'appetito vien mangiando, e subito dopo Kasner si inventa un numero ancora più grande: 10 elevato a un googol, cioè 1 seguito da un numero di zeri pari a un googol, e decide di chiamarlo googolplex.
Il googolplex è un numero molto più grande del googol: è praticamente impossibile non soltanto immaginarlo, ma perfino scriverlo, perché in tutto l’universo non ci sarebbe abbastanza spazio per scrivere tutte le sue cifre!

Facciamo un salto dalla East Coast alla West Coast, e dal 1938 al 1997: in un'aula della Stanford University, due studenti ventiquattrenni di informatica, Larry Page e Sergey Brin, stanno discutendo con altri compagni sul progetto di un nuovo motore di ricerca, basato su caratteristiche molto innovative. Il nome provvisorio del software è "BackRub", ma i due vorrebbero un nome più accattivante, che evochi l’immensità della rete che il motore di ricerca è in grado di esplorare.
Uno degli studenti presenti alla riunione, Sean Anderson, si ricorda a un tratto del libro di Edward Kasner, e suggerisce il nome "Googolplex”.  L’idea conquista Page e Brin, ma non del tutto: alla fine si opta per il fratello minore, cioè "Googol" (il nome "Googolplex" verrà poi adottato per indicare il quartier generale dell'azienda, a Mountain View).

Anderson viene incaricato di andare a registrare il dominio, ma al momento di compilare il modulo di registrazione commette un errore di ortografia, digitando "google.com" anziché "googol.com".

Nacque così, per un felice errore, il nome del motore di ricerca più famoso del mondo, nonché il sito più visitato dell’intera rete: dietro questa parola si nasconde quindi il fascino di un numero grandissimo, al tempo stesso vicino e lontano dall’infinito. E, come accennavo alla fine della prima parte del post, mi piace pensare che la fortuna commerciale conseguita da Page e Brin debba molto anche a questa parola, scaturita dalla felice intuizione di un bambino di nove anni in gita con lo zio.
(Certo, i due bravi ragazzi californiani non sono diventati proprio fantastiliardari, prerogativa riservata a zio Paperone, ma miliardari decisamente sì).

Googol e googolplex sono quindi, come fantastiliardo, esempi di nomi (o soprannomi) non ufficiali di numeri.

Si possono costruire numeri più grandi del googol o del googolplex? Ovviamente sì.

Un esempio famoso, al quale è stato ovviamente attribuito un altro suggestivo nomignolo, è il megistone.

Questo numero è mostruosamente gigantesco, immensamente maggiore di qualsiasi fantastiliardo, googol o googolplex che possiate immaginare. Come si costruisce un megistone? 

Presto detto: prendiamo un numero n elevato alla potenza di se stesso, cioè nⁿ, e indichiamolo come n dentro un triangolo:

Poi prendiamo questo numero che abbiamo ottenuto, ed eleviamolo alla potenza di se stesso: ma ripetiamo questo elevamento a potenza tante volte quanto indicato dal numero stesso, e indichiamo il risultato come n dentro un quadrato:

Ora ripetiamo la stessa operazione, cioè prendiamo il numero ottenuto fin qui ed eleviamolo alla potenza di se stesso tante volte quanto indicato dal numero stesso, e indichiamo il risultato come n dentro un cerchio:

Siamo arrivati in fondo: se poniamo n=10, il numero ⑩ è il megistone. Se anziché un 10 mettiamo dentro un cerchio un 2, otteniamo un numero un po' più piccolo ma comunque gigantesco, chiamato mega.

Non siete ancora contenti? Volete salire ancora più in alto con l'ascensore dei numeri naturali, fino a quasi sfiorare il cielo dell'infinito (peraltro irraggiungibile, come potete immaginare)?
Bene, beccatevi allora un numero inconcepibilmente grande che dal 1980 vanta una menzione sul Guinness dei Primati: il numero di Graham, così chiamato in onore del matematico americano Ronald Graham.

Per costruirlo, viene di solito utilizzata una particolare notazione a frecce inventata dal celebre scienziato informatico Donald Knuth.
Il simbolo a↑x indica un semplice elevamento a potenza, cioè a elevato alla potenza di x.

Il simbolo a↑↑x indica invece una tetrazione o potenza ricorsiva, cioè a elevato x volte alla potenza di a stesso:

Ad esempio, per calcolare 2↑↑3 occorre calcolare una prima volta 2 elevato alla 2; il risultato 4 viene quindi usato come esponente ancora per la base 2, ottenendo 16.
Il simbolo a↑↑↑x indica poi una tetrazione ricorsiva, cioè una ripetizione di una ripetizione di una potenza, e così via.

A questo punto possiamo costruire il numero di Graham G. Il formalismo seguente sintetizza il procedimento:

Il primo passo (corrispondente al “primo piano” della “torre” illustrata sopra) consiste nel calcolare il numero 3↑↑↑↑3, già di per sé spaventosamente grande, molto più del megistone.
E siamo solo al primo piano, cioè al primo passo del calcolo del numero di Graham: il numero computato al piano immediatamente sovrastante è ancora del tipo 3↑…↑3, ma il numero di frecce corrisponde all’immenso numero calcolato al piano di sotto.
Avete il capogiro? Io sì. E siamo solo al secondo piano.
I piani successivi non fanno altro che ripetere l’operazione, con il risultato che il fatidico numero di Graham che ci ritroveremo al sessantaquattresimo piano sarà una creatura che definire mostruosa è decisamente insufficiente.

Il numero di Graham è il numero più grande al quale sia stato dato un nome (non ufficiale). Perché ha meritato questo onore? Perché questo mostro aritmetico salta fuori dalla dimostrazione di un teorema di teoria di grafi: in un ipercubo di n dimensioni uniamo tutti i vertici tra loro, senza tralasciare alcuno dei possibili collegamenti, e poi coloriamo ogni spigolo di rosso o di blu, a caso. Il teorema in questione afferma che, se n è grande almeno quanto il numero di Graham, allora da qualche parte nell'ipercubo colorato ritroveremo certamente 4 vertici sullo stesso piano, colorati con lo stesso colore e collegati tra loro in modo completo.

Questo non significa che non esistano numeri più grandi, è ovvio.
Banalmente, basta aggiungere uno al numero di Graham per ottenere un numero più grande. Oppure possiamo usare un numero più grande di 3 come ingrediente base, o ancora usare 100 piani anziché 64, e così via.

Il numero di Graham, in definitiva, non è nulla in confronto all'infinito, come ci suggerisce l'indimenticato Cesare Zavattini.

Nel suo libro "Parliamo tanto di me" del 1931, lo sceneggiatore e giornalista racconta ironicamente una gara in cui vince chi pronuncia il numero più grande:

"Un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi …", proseguendo così finché l’ultimo fievole "…di miliardi" gli uscì dalle labbra con un sospiro, quindi si abbatté sfinito sulla sedia, fra il delirio della folla che riempiva il salone in cui si svolgeva la Gara. Ma quando il principe Ottone stava per appuntargli la medaglia sul petto ecco spuntare il temuto avversario, Gianni Binacchi, che con un urlo, "Più uno!", gli rubò il primato”.
Il nostro protagonista, affranto, tornò a casa e si buttò singhiozzando fra le braccia della moglie che lo attendeva sulla porta: "Se avessi detto più due avrei vinto io".

Nomi di numeri - Parte prima

Che cos'è, in definitiva, un sistema di numerazione, se non un modo di dare dei nomi ai numeri?
Secondo un approccio "platonico", i numeri sono concetti astratti che esistono anche "prima" e indipendentemente dalle modalità attraverso le quali li possiamo denotare, ad esempio le parole con cui li nominiamo. Nulla ci vieta, quindi, di inventarci maniere diverse, e magari bizzarre, per denominarli.
Inevitabilmente, esistono sistemi più o meno buoni.
In un certo senso, il sistema più semplice consiste nel partire dal più piccolo dei numeri naturali e salire gradualmente lungo l'infinita sequenza, attribuendo a ciascuno di loro un nome di fantasia.

In un celebre racconto di Jorge Luis Borges (sempre lui), "Funes, o della memoria", incluso nella raccolta "Finzioni", il bizzarro protagonista si inventa un sistema di questo tipo:

«Dall’oscurità, Funes continuava a parlare. Mi disse che verso il 1886 aveva scoperto un sistema originale di numerazione e in pochi giorni aveva superato il ventiquattromila. Non l’aveva scritto, perché d’averlo pensato una sola volta gli bastava per sempre. Il primo stimolo, credo, gli venne dallo scontento che per il 33 in cifre arabe ci volessero due segni e due parole, in luogo di una sola parola e di un solo segno. Applicò subito questo stravagante principio agli altri numeri. In luogo di settemilatredici diceva (per esempio) «Máximo Perez»; in luogo di settemilaquattordici, «La Ferrovia»; altri numeri erano «Luis Melián Lanifur, Olimar, zolfo, il trifoglio, la balena, il gas, la caldaia, Napoleone, Agustín de Vedia». In luogo di cinquecento diceva «nove». A ogni parola corrispondeva un segno particolare, una specie di marchio; gli ultimi erano molto complicati… cercai di spiegargli che questa rapsodia di voci sconnesse era precisamente il contrario di un sistema di numerazione. Gli feci osservare che dire 365 è dire tre centinaia, sei decine, cinque unità: analisi che non è possibile con «numeri» come «Il Negro Timoteo»; o «Mantello di carne». Funes non mi sentì o non volle sentirmi.»

Un sistema di numerazione di questo genere è "semplice" nel senso che non richiede conoscenze aritmetiche di alcun tipo, ma, ovviamente, ha il grave inconveniente che, come lo stesso Borges osservava, Funes doveva imparare a memoria una enorme quantità di nomi. Inoltre, manca del tutto un criterio razionale per regolamentare la formazione delle parole o dei simboli che indicano i numeri.
Non è però detto che l'adozione di un meccanismo sistematico per attribuire i nomi possa garantire che il sistema di numerazione sia ottimale.

Il sistema inventato dai Romani, ad esempio, era rigoroso, prevedeva una codifica univoca di ogni numero e non richiedeva la memorizzazione di innumerevoli simboli, ma aveva una serie di magagne.
Trascuriamo pure il fatto che il sistema non era in grado di esprimere lo zero, i numeri negativi, i numeri non interi, e che le operazioni aritmetiche ai tempi di Giulio Cesare erano estremamente ardue; ma il difetto che vorrei qui sottolineare era che il sistema romano non permetteva di esprimere tutti i numeri.
I nostri progenitori latini avevano infatti escogitato alcuni trucchi per indicare quantità grandi (ad esempio una barra sopra un numero significava che il numero doveva essere moltiplicato per 1000), ma prima o poi si incontrava inevitabilmente un limite.

L'avvento dei sistemi di numerazione posizionale risolse per fortuna questi problemi, introducendo un meccanismo ottimale in grado di attribuire un simbolo a tutti i numeri, indipendentemente dalla loro grandezza. Nel sistema decimale, ad esempio, bastano dieci simboli per poter ottenere tutte le quantità intere (con opportuni accorgimenti si costruiscono poi anche i numeri negativi e frazionari).

Il passaggio dal simbolo numerico alla corrispondente parola è poi una questione "interna" della lingua che si desidera utilizzare, ma solitamente si tratta di una conversione quasi automatica. Così come al sistema numerico sono sufficienti dieci simboli, alla "macchina" linguistica, per tradurre il simbolo in parola, bastano pochi "nomi primitivi" (cioè non derivati) e alcune regole più o meno rigorose per combinare nomi e costruirne di nuovi.  In italiano, tanto per fare un esempio, non mi pare esistano altri "nomi primitivi" oltre a quelli dei numeri da zero a dieci, al "venti", al "cento", al "mille", al "milione" e al "miliardo".

Cosa? Qualcuno obietta che ne ho dimenticato uno? Ah, dev'essere la voce di Paperon de' Paperoni che ci ricorda l'esistenza del "fantastiliardo"!
Zio Paperone non ha tutti i torti. Come sanno bene tutti gli appassionati di storie Disney, la parola "fantastiliardo" viene spesso utilizzata per indicare un numero molto grande, solitamente riferito ai dollaroni dell'amato ziastro. Ricordo che da bambino, avido lettore di "Topolino" qual ero, mi domandai spesso a cosa corrispondesse esattamente un fantastiliardo.
Ebbene, pare che qualcuno abbia affrontato la delicata questione in modo scientifico, basandosi su accurate analisi filologiche, e sia giunto ad una conclusione molto precisa. Sembra che il termine sia stato utilizzato per la prima volta nel 1961, nel numero 6 dei Classici di Walt Disney, nel prologo a "Il miliardo": in questa storia si parla di 30 fantastiliardi, e tale quantità viene scritta come 30 seguito da 80 zeri.
Quindi, ci sentiamo autorizzati a concludere che un fantastiliardo corrisponde a 10 elevato alla 80.

Contento, Paperone? Sappi, però, caro zione, che esiste un numero un pochino più grande del tuo amato fantastiliardo, del quale parlerò nella seconda parte di questo duplice post; e la parola che nel 1938 (quando tu non eri stato ancora disegnato) è stata introdotta per indicare questo numero ha, in un certo senso, reso due ragazzi miliardari. Anzi, fantastiliardari.

Carnevale della Matematica #65 su Gli studenti di oggi

Se non l'avete ancora fatto, vi invito caldamente a leggere il Carnevale della Matematica numero 65, uscito sabato scorso nel bel blog "Gli studenti di oggi" di Roberto "Zar" Zanasi.
(Dato che ci sono, colgo l'occasione per consigliare a tutti la lettura di "Verso l'infinito, ma con calma", libro scritto dallo "Zar" medesimo: un gustoso, accurato e divertente saggio sul vertiginoso tema dell'infinito in matematica).
Questa edizione settembrina è, nello stile di Roberto, sobria e incisiva. Come al solito, poi, il Carnevale si rivela generoso di contributi, alcuni dei quali (tra cui l'unico di Mr. Palomar, Parole informatiche: navigare) hanno seguito la traccia proposta, cioè la "navigazione".
Congratulazioni quindi a tutti i partecipanti e allo Zar, e appuntamento al prossimo Carnevale, che sarà ospitato dal fondatore Maurizio Codogno, con lo stuzzicante tema "Parole e numeri".

Parole informatiche: navigare

La metafora marinaresca applicata all'esplorazione di internet ha una storia molto "antica".
Come scriveva Maurizio .mau. Codogno nel suo Gergo Telematico, l'uso del verbo "navigare" in ambito web è nato ancor prima della diffusione del web: probabilmente è da ricollegare al software HyperCard che la Apple lanciò negli anni Ottanta del secolo scorso e che rese popolare il concetto di "ipertesto" molti anni prima del boom della rete.
Il verbo "navigare" utilizzato nell'accezione di saltare da una pagina web all'altra mediante i link presenti nelle pagine stesse ha certamente il suo modello nell'inglese "to navigate".
In inglese c'è altro verbo molto usato con lo stesso significato, che è "to surf" (ad esempio, "to surf the net", "to surf the web", ecc.): in italiano si è plasmato un verbo corrispondente, "surfare", che però negli anni ha ridotto molto la sua diffusione.
Codogno intravede una sottile differenza tra i due verbi, legata alla "leggerezza" dell'esplorazione dei contenuti web: se stiamo gironzolando per la rete per svago, allora stiamo surfando, mentre stiamo navigando se la nostra ricerca è svolta per lavoro o comunque con intenzioni più serie.
Secondo il vocabolario Zingarelli, si parla di "navigazione" nella rete quando il visitatore  applica "una certa continuità e scorrevolezza", mentre il "surfare" evoca "l'idea di spizzicare qua e là nella rete, con un andamento meno fluido", un po' come avviene nello "zapping" televisivo.
Nel corso degli anni, ho la sensazione che anche il termine "navigare", nel senso di esplorare la rete, stia gradualmente diventando desueto: una possibile spiegazione risiede nel fatto che, nell'ambito delle tecnologie, il concetto di navigazione evoca ormai non tanto i web browser, quanto i dispositivi satellitari che ci aiutano a trovare la strada giusta per arrivare ovunque.
Insomma: siamo sempre un popolo di navigatori, questo è fuori discussione, ma i nostri velieri non sono più soltanto i nostri personal computer, ma soprattutto le nostre automobili. Vento in poppa a tutti!

Carnevale della Matematica #64 su Popinga

Spero che l'amico Popinga sarà magnanimo nel perdonarmi anche questa volta per l'enorme ritardo con cui recensisco il suo Carnevale: sappia che, nonostante il mio silenzio negli ultimi giorni (dovuto a ferie in luoghi di montagna bellissimi ma male raggiunti da internet), il Carnevale d'agosto non me lo sono affatto perso.
E lo consiglio a tutti coloro che, per ragioni varie, non l'hanno ancora letto: vi assicuro che merita!

Devo confessare che ho provato un pizzico di invidia nei confronti del bravo Popinga, per il fatto che gli è capitata un'edizione del Carnevale contraddistinta da una potenza di due, nella fattispecie 64. Cosa volete farci, noi informatici siamo un po' malati in questo senso... Però, pensateci: le potenze di due sono un po' come i numeri primi: merce che diventa sempre più rara man mano che ci si inerpica per i numeri naturali. Era da quasi tre anni che non capitava un Carnevale potenza di due, e adesso dovremo aspettarne più di cinque per averne un altro. Chissà come sarà il mondo nel dicembre del 2018, quando uscirà il Carnevale della Matematica n. 128!

Chiacchiere a parte, il padrone di casa di questo Carnevale di piena estate, dato il periodo vacanziero, ha preferito non suggerire alcun tema. Ma non per questo la carrellata di post è stata meno interessante del solito: davvero meritevoli i contenuti e i contributi.
Complimenti quindi a Popinga (oltre che facilitatore carnevalizio, autore di un paio di meravigliosi post sul tema dell'autoreferenzialità) e a tutti i partecipanti!
Il prossimo Carnevale sarà ospitato da Roberto "Zar" Zanasi, sul blog "Gli studenti di oggi", con il tema "La navigazione".
Buona continuazione di estate a tutti.

Le tigri blu

C'è una famosa canzone dei Beatles, "Come together", che contiene l'enunciato di un semplice teorema di  aritmetica.

La tesi enunciata è la seguente:

...one and one and one is three.

ovvero 1+1+1=3.

Se i Beatles si professano sostenitori di una matematica "convenzionale", i Radiohead sembrano invece attratti dalle verità contraddittorie, come dimostra il titolo di questo brano.

L'affermazione "2+2=5" ha alcuni illustri precursori.

Chi ha letto il celebre "1984" di George Orwell ricorderà che questo era un esempio di "falso dogma", da tutti ritenuto vero nonostante la sua evidente falsità, proprio perché propagandato come tale dal regime. Il protagonista del romanzo, Winston Smith, si chiede se l'universale accettazione della verità di "2+2=5" sia un fatto sufficiente a rendere l'affermazione vera, ma alla fine cede al lavaggio del cervello operato dal Partito, e scrive la falsa espressione su un tavolo. Fino al 1987, a causa di un errore di stampa, le edizioni inglesi del romanzo riportavano "2+2=" anziché "2+2=5": nessun critico parve accorgersi del refuso, e qualcuno interpretò il fatto come una parziale resistenza del protagonista alla vittoria finale del regime.
Prima di Orwell, la frase "2+2=5" fu citata, tra gli altri, da Victor Hugo. Fëdor Dostoevskij, nel celebre "Memorie del sottosuolo", cita un'espressione similmente falsa, "2x2=5", e descrive il credere alla sua verità come una sorta di trionfo della volontà individuale.

Se una affermazione come "2+2=5", anziché inculcata da un regime autoritario o ritenuta vera solo per un capriccio da megalomane, venisse da qualcuno dimostrata rigorosamente senza trucchi o passaggi illegali, ci troveremmo davanti a un fatto sconvolgente.
Più o meno è ciò che accade al protagonista di uno degli ultimi racconti di Jorge Luis Borges, intitolato "Tigri blu" e pubblicato nel 1977.
Un professore di logica particolarmente attratto dalle tigri apprende che in una regione dell'India è stata scoperta una varietà blu di questi animali. Affascinato dall'idea dell'esistenza di una simile meraviglia, comincia a sognare tigri blu con regolarità. Recatosi infine sul luogo indicato, intraprende una minuziosa ricerca di questi felini straordinari, senza tuttavia avvistarne alcuno, e notando negli abitanti della zona una certa reticenza mista a timore reverenziale nei confronti delle favolose tigri blu.
Finché, un giorno, salito su un'altura, il nostro protagonista scorge, in una fessura del terreno, degli strani oggetti:

In una delle fessure, che non erano profonde e si ramificavano in altre crepe, riconobbi un colore. Era, incredibile a dirsi, il blu della tigre del mio sogno. Vorrei non averlo mai visto. Guardai bene. La crepa era piena di pietruzze, tute uguali, rotonde, molto lisce e di pochi centimetri di diametro. La loro regolarità le faceva apparire un po' artificiali, come fossero gettoni.

Sono queste, si scoprirà ben presto, le tigri blu di cui si favoleggia. Ma cos'hanno di particolare queste pietruzze? Ebbene, sembrano mettere in crisi le certezze della matematica, in quanto si riproducono e svaniscono in modo del tutto casuale e imprevedibile. È impensabile utilizzarle per far di conto, perché addizioni e sottrazioni diventano operazioni del tutto prive di logica.

Ne tirai fuori un primo pugno e sentii che ne restavano ancora due o tre. Una sorta di solletico, di lievissima agitazione, mi scaldò la mano. La aprii e vidi che ce n'erano trenta o quaranta dischetti. Avrei giurato che non fossero più di dieci. (...)
Li riunii tutti in mucchio e cercai di contarli uno per uno. Quella semplice operazione si rivelò impossibile. Guardavo fisso un dischetto, lo tiravo fuori col pollice e l'indice, e non appena era da solo, erano molti.

Borges, che spesso ho citato in questo blog come uno degli scrittori "più matematici" del Novecento, era affascinato dalla perfezione e dalla bellezza del linguaggio matematico, ma ancor di più dalla vertigine che può nascere da un eventuale crollo di quell'edificio così perfetto. Non esiste nulla di più sconcertante, ammette Borges, di vedere sgretolarsi i pilastri che tengono in piedi la matematica, e con essa la realtà nella quale viviamo e la nostra stessa mente. Qualsiasi altro assurdo, a confronto, sarebbe più sopportabile.

Se mi dicessero che ci sono unicorni sulla luna, io accetterei o respingerei la notizia, oppure sospenderei il giudizio, ma sarei in grado di immaginarli. Se invece mi dicessero che sulla luna sei o sette unicorni possono essere tre, direi subito che è impossibile. Chi ha compreso che tre più uno fa quattro non fa la prova anche con monete, dadi, pezzi degli scacchi o matite. Lo sa e basta. Non può concepire un'altra cifra. Certi matematici affermano che tre più uno è una tautologia di quattro, un modo diverso di dire quattro. (...) Se tre più uno può fare due o può fare quattordici, la ragione è una follia.

Il professore, ormai sull'orlo della pazzia, cerca di trovare una logica nel comportamento delle azzurre pietruzze, ma non ha successo nel suo tentativo.
Non vi svelo il finale della storia delle tigri blu, invitandovi a leggere il racconto completo (che potete trovare nella raccolta "Il libro di sabbia"). Vi lascio con un altro breve passo.

Lo stesso ardente desiderio di ordine che al principio creò la matematica mi fece cercare un ordine in quell'aberrazione della matematica che sono le assurde pietre che si riproducono. Volli trovare una legge nelle loro imprevedibili variazioni. Consacrai i giorni e le notti a fissare una statistica dei cambiamenti. (...) Fu inutile cercare un ordine, un disegno segreto nelle rotazioni. Il massimo di pezzi che ottenni fu quattrocentodiciannove; il minimo, tre. (...) Mentre maneggiavo le pietre che distruggono la scienza della matematica, pensai più volte a quelle pietre del greco che furono le prime cifre e che hanno legato a tante lingue la parola "calcolo". La matematica, mi dissi, ha la sua origine e ora la sua fine nelle pietre.

Carnevale della Matematica #63

Benvenuti all'edizione numero 63 del Carnevale della Matematica, il secondo ospitato da Mr. Palomar.
Il tema di questa edizione, "Le parole sono importanti" è rubato da una famosa battuta di un film di Nanni Moretti, per la precisione "Palombella rossa".

Qualcuno, all'apprendere il tema del Carnevale numero 63, avrà pensato che, sì, d'accordo, le parole saranno anche importanti, in generale, ma cosa c'entra la frase del film di Moretti con la matematica? In realtà non lo so di preciso nemmeno io, o forse lo so molto bene, ma non importa: l'idea di usare la battuta morettiana come tema carnevalizio (che, lo confesso, non è stata mia bensì di mia moglie) mi è sembrata subito un'intuizione geniale, e come tale non è stata mai messa in discussione. E se proprio la scena di Moretti che rimprovera la giornalista non soddisfa la vostra voglia di matematica, eccovi uno spezzone di un altro film del noto attore e regista alle prese con un quadrato magico.

Questo Carnevale è impreziosito da una serie di meravigliose immagini realizzate (alcune in esclusiva) da un giovane e bravissimo illustratore bellunese, Marco Trevisan.
Marco, che mi onora della sua amicizia, è anche laureato in matematica: sfruttando il suo duplice talento persegue il dialogo tra scienza e arte nel territorio della narrazione per immagini. Già allievo di famosi illustratori, ha partecipato a importanti mostre e pubblicato diversi libri per bambini; ha vinto nel 2009 il premio "Illustratore dell'Anno", realizzando il calendario 2010 della "Città del Sole".
Spero che le immagini che ho incluso in questo post possano suscitare anche a voi quel senso di sorridente fascinazione che provo io nel guardarle.

Bene. È ora di dare veramente inizio alla celebrazione carnevalizia, e per farlo degnamente torno per un attimo con la memoria al concerto al quale ho assistito una ventina di giorni fa nella "mia" Verona. Il protagonista di quella serata, che, guarda caso, ha il mio stesso nome di battesimo e ha inciso con i Beatles il primo album proprio nel '63, ha scritto centinaia di canzoni, tra le quali questa, che sembra fatta apposta per il mio scopo:

It's my Carnival,
it's a lovely day...

  

Ed ora il "mio" Carnevale può davvero cominciare.
Come ben sapete, la tradizione carnascialesca impone che qualche parola venga spesa sulle proprietà matematiche del numero protagonista dell'edizione, in questo caso il 63.
Innanzitutto non abbiamo a che fare con un numero primo, perché la sua fattorizzazione è 3x3x7.
È poi un numero difettivo, perché è maggiore della somma dei suoi divisori propri, che è pari a 1+3+7+9+21= 41.

Il 63 è anche un numero altamente cototiente, il che significa che l'equazione x - φ(x) = k, con φ(x) che rappresenta la cosiddetta funzione totiente di Eulero, ha più equazioni con k=63 che con qualsiasi altro valore di k minore di 63 (tranne 1). Precisamente, 63 è l'ottavo numero naturale che gode di questa proprietà (prima di lui sono 2, 4, 8, 23, 35, 47, 59).
È anche un numero della forma 2ⁿ-1, con n=6: ciò non basta tuttavia a rendere 63 un numero primo di Mersenne, poiché 6 non è un numero primo, e soprattutto perché non lo è nemmeno 63; però fa sì che equivalga alla somma delle prime sei potenze di due (1+2+4+8+16+32=63) e che rappresenti un repdigit, cioè che sia esprimibile, in diverse basi di numerazione, come ripetizione della stessa cifra (ad esempio 111111 in base 2, 333 in base 4, 77 in base 8).
Il 63 è poi un numero di Woodall (cioè ha la forma n x 2ⁿ-1, con n=4), e un numero di Harshad in base 10 (cioè è divisibile per la somma delle sue cifre, in questo caso 9).
Infine, il nostro magnifico 63 è il terzo degli interessanti numeri centrali di Delannoy (l'n-esimo numero centrale di Delannoy è pari al numero di possibili percorsi che, in una griglia n x n, conducono dall'angolo in basso a sinistra a quello in alto a destra).

Se vogliamo passare dalle proprietà matematiche a quelle non matematiche, potrei citare il sistema americano d'arma Stoner M63, progettato negli anni sessanta del secolo scorso, allo scopo di riunire insieme diverse tipologie d'arma. Ma da buon pacifista, preferisco menzionare il "Gruppo 63", un movimento letterario di neoavanguardia nato nell'ottobre del 1963 a Palermo, come reazione ai modelli consueti della poesia tradizionale e del romanzo neorealista. Il gruppo, del quale fecero parte anche Alberto Arbasino, Nanni Balestrini, Umberto Eco, Edoardo Sanguineti, Sebastiano Vassalli, si richiamava all''ideologia marxista e al movimento dello strutturalismo.

E cominciamo con i contributi a tema, per la verità pochi (ma molto buoni).

Leonardo Petrillo propone, sul blog collettivo Al Tamburo Riparato, il post Parole matematiche: asteroide, nel quale ci spiega come il termine "asteroide", oltre a indicare uno dei noti corpi celesti che ruotano generalmente tra l'orbita di Marte e quella di Giove, denota anche una particolare curva con 4 cuspidi.

Spartaco Mencaroni è un amico blogger che sa coniugare con bravura la prospettiva letteraria con quella scientifica. Insieme al Gloglottatore ha ideato il Carnevale della Letteratura, finalizzato alla promozione della buona scrittura, proponendosi anche di contribuire all'approfondimento delle relazioni fra umanesimo e pensiero scientifico. Sul suo invitante blog Il coniglio mannaro, Spartaco offre Le infinite parole, un bel racconto che parla del rapporto tra le parole e l'infinito.

Tra i numerosi contributi di Maurizio Codogno, padre del Carnevale della Matematica, uno mi sembra a tema: è uscito anch'esso sul Tamburo Riparato, si intitola Odd and even, e descrive la curiosa questione di una difficile traduzione in italiano di una freddura matematica.

Il grande Popinga non tradisce mai, e propone due appetitosi contributi a tema.
Il primo, Trasgredire le frontiere: note matematiche per tromboni filosofici, affronta la questione dell'ubriacatura intellettuale determinata dalle tesi dello strutturalismo. Tra i concetti matematici preferiti dai sostenitori di questo movimento c’erano quelli che, allo sguardo poco esperto degli umanisti, mettevano in discussione la linearità della conoscenza; Popinga ci racconta la vicenda di un articolo-beffa che nel 1996 fu pubblicato su una rivista benché fosse volutamente costellato di assurdità di stampo, appunto, strutturalista.

Il secondo post, La riforma geometrica di Leopold Hugo, descrive la poliedrica e folle figura di Leopold, nipote dello scrittore Victor Hugo: innamorato delle parole bizzarre che inventava, ideò una riforma della geometria proiettiva, che immodestamente chiamò "hugodomoidale".

Il pacchetto dei contributi fuori tema è molto consistente e, come nella tradizione di questo Carnevale, particolarmente stimolante.

Comincio con Leonardo Petrillo, che nel blog Scienza e Musica propone una Soluzione alternativa al quesito n. 8 della prova di matematica PNI dell'esame di stato 2013: l'esercizio richiedeva di dimostrare un limite senza usare il celebre (e spesso provvidenziale) teorema di L'Hôpital, e Leonardo suggerisce un metodo diverso da quelli che sono stati recentemente diffusi sul web.

Annarita Ruberto, nel suo bel blog Matematic@ente, partecipa generosamente con quattro articoli.
Il primo, Sfera in movimento, è la descrizione di un'applet realizzata dalla stessa Annarita con Geogebra, con la quale è possibile apprezzare la rotazione di una sfera potendo anche spostare anche l'asse di rotazione.
Eversione della sfera e paradosso di Smale affronta il difficile tema dell'eversione della sfera, presentando il contro-intiuitivo risultato di Stephen Smale, secondo il quale, in uno spazio tridimensionale, è possibile rivoltare una sfera (vuota) come se fosse un guanto, ottenendo eventuali auto-intersezioni ma senza creare alcuna piega, per mezzo di una deformazione continua.
In Gli Elementi di Euclide con applet interattivi Annarita ci presenta una versione completa della celeberrima opera del grande matematico greco: curata da David Joyce della Clark University, questa edizione web ha il merito di essere anche corredata di molte applet interattive.

Infine, con Mamma Bug, Baby Bug e spirali di Cornu con Scratch scopriamo una stimolante applicazione sviluppata da Malin Christersson per apprendere le clotoidi, o spirali di Cornu, particolari spirali che Annarita riesce a creare anche sbucciando arance: l'applicazione è stata realizzata con Scratch, una interessante comunità di apprendimento creativo che consente di creare e condividere storie interattive, giochi ed animazioni.

Anche i Rudi Matematici, ovvero Rudy d’Alembert, Alice Riddle e Piotr Rezierovic Silverbrahms, onorano il Carnevale della loro presenza. Questi maestri della divulgazione mi informano che questa volta il "convento" passa ben due "compleanni", il che significa che il mese prossimo Popinga non ne avrà nessuno (mi spiace, caro Pop...)
Si comincia con 19 Giugno 1623 – Buon compleanno, Blaise!, dove il festeggiato è Blaise Pascal: dopo una dotta quanto intrigante discussione sull'eterno confronto tra fede e ragione, i Rudi ci regalano una biografia del grande matematico e filosofo, dalla "pascalina" al triangolo che porta il suo nome.
Si continua con 1 Luglio 1643 – Buon compleanno, Gottfried!, ovvero "tanti auguri" a Gottfried Leibniz. Questa volta l'antefatto è il gustoso aneddoto delle lettere-enigma che Galileo Galilei inviava a Johannes Kepler per annunciargli in codice le sue ultime scoperte astronomiche; ma se il confronto tra Galileo e Keplero fu alleggerito da questa simpatica vicenda degli indovinelli, quello tra Leibniz e Newton fu un duello senza esclusioni di colpi, motivato dal tentativo di entrambi di vedersi riconosciuta la paternità dell'invenzione del calcolo infinitesimale.
In Il gioco del Tredici, i Rudi ci propongono un dilettevole giochino che, a loro detta, non è tanto da giocare, quanto da analizzare (e per questo chiedono la collaborazione di tutti noi).
Quick & Dirty – Perché la scala vince il poker è, secondo i suoi stessi autori, un post "sporco e veloce", nel quale si discute una questione di interesse pokeristico.
Il consueto post con la soluzione del (sempre stuzzicante) problema del mese sulla rivista "Le Scienze" è Il problema di Giugno (538) – La scacchiera del binomio.
E infine, cito testualmente il caro Piotr, "ci sarebbe il miracolo mensile, ma questo mese il miracolo non è ancora avvenuto". Il miracolo sarebbe la pubblicazione del numero 174 della prestigiosa "Rivista fondata nell'altro millennio": il link ve l'ho passato comunque, tanto è sicuramente solo questione di ore o pochi giorni (e poi quando la rivista esce, il piacere nel leggerla ripaga ampiamente l'innocuo ritardo di cui i Rudi ogni volta si autoflagellano).

Tornando al primo artefice carnevalesco, ossia Maurizio Codogno in arte .mau., eccovi la sua usuale valanga di eccellenti contributi.
Prima di tutto, .mau. è un maestro insuperabile nel creare giochi e indovinelli matematici. Ecco allora, sulle Notiziole ecco i consueti "quizzini" della domenica (come potremmo farne a meno, ormai?): I tre moschettieri, enigma logico con Athos, Porthos e Aramis come protagonisti; Monete e bilance, che, come l'autore fa notare, "poteva essere ben più difficile"; Doppio triangolo, interessante rompicapo in cui una precisa regola genera un numero centrale a partire dai tre numeri sui vertici di un triangolo; e infine Non ci si incontra!, digressione paradossale sul tema dell'amicizia, con soluzione non matematica...

Maurizio ci regala anche alcune recensioni dei libri. Il primo è The Beauty of Everyday Mathematics, sull'omonimo libro di Norbert Hermann, che secondo .mau., nonostante il tono piacevole non rende giustizia alla matematica assalendo il lettore con "formulacce che non finiscono più". Il secondo è Dai giochi agli algoritmi, sul libro di  Lorenzo Repetto: Codogno ci informa che "l'autore scrive in modo piacevole, il che male non fa", e che il volume rappresenta "un buon testo di riferimento per raccogliere informazioni e considerazioni sul tema dell'informatica".
In Libri (matematici) per l'estate, .mau. recensisce tre buoni volumi trovati nella sezione "matematica" dei remainders di Amazon.
C'è anche 13 litri, gustoso (quanto triste) post sulla "povera matematica", in cui nove bottiglie d'acqua da un litro e mezzo bastano, secondo qualcuno, a riempire un acquario speciale dove sguazza un granchio gigante da tre metri e mezzo di apertura "zampale".

Sul Post, invece, Maurizio ci segnala, tanto per cominciare, La lunga marcia verso i primi gemelli, un resoconto di come i matematici di mezzo mondo stiano migliorando il limite del "teorema dei numeri primi cuGGini".
A seguire, alcuni post, legati tutti alla soluzione di problemi: Quando conviene fermarsi?, problemino probabilistico con una risposta non così banale come sembrerebbe a prima vista; Permutazioni alla maturità 2013, quesito della maturità 2013 facile... per chi è bravo a fare il giocoliere; Basta saperlo..., in cui spesso in matematica sapere qual è il risultato da dimostrare fa anche intuire qual è la strada da prendere per dimostrarlo (il guaio è appunto riuscire a saperlo...); e infine Epidemie, interessantissimo problema matematico la cui dimostrazione è un'applicazione del concetto di monovariante.


Roberto Zanasi, sul blog Gli studenti di oggi, ha iniziato una nuova e bellissima serie di post, intitolata Tutto quello che so sul Nim, con una meravigliosa generalizzazione e dedicata all'interessante (matematicamente) gioco del Nim. Roberto racconta che, come credo sia successo a molti, ha sentito parlare per la prima volta del Nim molti anni fa leggendo un libro di Martin Gardner. Le regole sono semplici: si creano pile composte da un numero variabile di oggetti, e ogni giocatore può togliere le pedine che vuole (almeno una) da una delle pile; perde chi non ha più mosse da fare. I tre episodi finora usciti sono 1. Le regole del gioco, 2. I personaggi in gioco e 3. Una partita un po' più seria.
Lo Zar, con il suo stile dialogico che lo ha reso famoso, ci accompagna alla scoperta dei segreti matematici di un gioco davvero affascinante. La serie, ci assicura il suo autore, continuerà anche dopo queste prime tre puntate.

Roberto Natalini segnala una lunga e notevolissima sequenza di contributi tratti dall'autorevole sito Maddmaths!  
Nel corso del convegno INdAM tenutosi a Roma dal 27 al 29 maggio di quest'anno e dedicato al tema "Mathematical Models and Methods for Planet Earth", Roberto Natalini ha incontrato Christiane Rousseau, promotrice e coordinatrice mondiale dell'iniziativa “Matematica per il Pianeta Terra”. In Intervista sul Pianeta Terra: a colloquio con Christiane Rousseau trovate la trascrizione integrale dell'intervista e anche il video.

L'anno scorso un informatico italiano, Silvio Micali, grazie al suo lavoro nel campo della crittografia, è stato insignito (insieme a Shafi Goldwasser) del prestigioso Turing Award, una sorta di Nobel per l'Informatica. Micali è nato a Palermo nel 1954, si è laureato all'Università degli Studi di Roma "La Sapienza"; oggi insegna informatica presso il Dipartimento di Ingegneria elettrica del MIT. Maddmaths! presenta un articolo di Andrea Clementi (La Teoria delle Dimostrazioni interattive e le sue Applicazioni) e la trascrizione della lectio magistralis (Dubbi e fortuna sulla strada della scienza) che Micali ha tenuto presso il Rettorato dell’Università degli Studi di Roma "La Sapienza" il 10 maggio 2013.

Nella rubrica Focus, l'interessante articolo La matematica delle impronte digitali di Riccardo Aragona, Massimiliano Sala e Claudia Tinnirello ci spiega come la matematica sia in grado di riconoscerci attraverso la ‘biometria’, disciplina che si occupa dell’identificazione delle persone attraverso sistemi basati su caratteristiche fisiologiche o comportamentali. 

In Fantamatematica, Stefano Pisani è l'autore di Gauss il genio timido. Vite immaginarie, eventi improbabili, aneddoti completamente infondati, testimonianze palesemente contraddittorie, imbarazzanti documenti inediti di pura invenzione sconfessati da eredi, contemporanei e gente di buonsenso: tutto questo a che a vedere con Gauss, il genio timido che morì per un attacco di perfezionismo. 

Per la rubrica Giovani matematici crescono, ecco Massimiliano Gubinelli: le equazioni al derivate parziali con rumori molto singolari, una intervista di Maya Briani a Massimiliano Gubinelli, classe 1974, che è stato di recente nominato per cinque anni Membro Junior dell'Istituto Universitario Francese, onorificenza che spetta solo a otto matematici sotto i 40 anni che lavorano in Francia.

Le schede divulgative di MaddMaths! si rinnovano, e nasce la rubrica Madd-Spot, curata da Emiliano Cristiani. Il primo contribito ospitato è Le origini del dissenso nella dinamica delle opinioni, di Paolo Frasca, e riguarda modelli matematici che tentano di descrivere l'evoluzione delle opinioni nei gruppi.

In Alfabeto della matematica Corrado Mascia è l'autore di T come Trasformata, ovvero: vedere lo stesso oggetto sotto un punto di vista diverso può rivelare grandi sorprese… 

Infine, in Sulle tracce del mostro: recensione di “Un genio nello scantinato”, Roberto Natalini ci parla di “Un genio nello scantinato” di Alexander Masters (Adelphi, 2013), la strana biografia di uno strano talento matematico.

Gianluigi Filippelli, dal suo bel blog DropSea segnala Congruenze trisecanti, un post didattico nel quale vengono trattati i criteri di congruenza; Gianluigi ci spiega come questi possono essere utili per risolvere alcuni problemi specifici, come ad esempio i due di David Pagni (proposti nel post), così come per comprendere il metodo di trisecazione degli angoli di Archimede.


Il blog Con le mele e con le pere di Jean Morales offre sempre contributi di grande interesse. Questo mese Jean mi segnala ben cinque ottimi post, che vado a presentare usando le parole dell'autore.

Caratterizzando l’iperbole equilatera, è un articoletto articolato sull'iperbole equilatera, che può essere definita usando due cerchi generatori. Dopo un percorso forse un po' impegnativo che racconta di questa rappresentazione alternativa, si chiude con un quesito di geometria.

Il capo ti vuole nel suo ufficio: la domanda, dal punto di vista puramente astratto, può essere così formulata: la capacità migliore, per la costituzione di una buona squadra, è quella di saper scegliere bene chi assumere o chi licenziare? Si cerca una risposta in termini probabilistici.

In Bologna 2013 – Divertissement 14-17 ci sono quattro domandine di geometria ispirate a dettagli fotografati durante una gita a Bologna. E scopriamo che, nel far geometria, ci fa compagnia anche una fanciulla ritratta in un quadro.

Per Chiarax, Pony Express Intergalattica Jean sfodera una semiseria ambientazione stellare, con protagonista la spericolata Chiarax. Il fattorino è esperto in consegne ultra rapide, ma non necessariamente ultra sicure. Il problema, di calcolo delle probabilità, è di carattere combinatorio.

Ancora geometria in Pochi e sciolti ottonari, questa volta molto semplice, ma proposta in versi. Per scusarsi, l'autore mi riferisce di avere almeno evitato di mettere rime...

E Mr. Palomar? Bè, ecco, il sottoscritto è stato particolarmente avaro di post, avendone sfornato soltanto uno, e per giunta neanche a tema. Una vergogna, direte voi: e avete ragione. Ma non voletemi troppo male: ho cercato di allestire al meglio almeno questo Carnevale, facendomi bello con i contributi degli altri.
Per la cronaca, l'unico mio post del mese è Dino Buzzati e i numeri primi, e racconta un curioso episodio accaduto nel 1911, che cambiò sempre la vita di un certo Luigi Poletti, fino ad allora anonimo impiegato di banca, e successivamente infaticabile cacciatore di numeri primi.

E dopo Buzzati è ormai arrivato il tempo dei saluti.
Il prossimo Carnevale della Matematica, edizione ferragostana contraddistinta dal numero 64 (una potenza di due mancava da quasi tre anni), sarà ospitato dal buon Popinga, con tema libero.
In conclusione, un caloroso ringraziamento a tutti coloro che hanno partecipato con i propri contributi: e lunga vita al Carnevale!

Mr. Palomar su Coelum!

Già da qualche giorno è in edicola il numero di luglio e agosto della prestigiosa rivista Coelum.
Siete già corsi in edicola ad acquistarlo? No? E cosa aspettate?
Perché comprare Coelum?
Come perché? Prima di tutto perché è probabilmente la più bella e importante rivista italiana di astronomia.
Secondo, perché da questo numero Coelum ospita, proprio nell'ultima pagina della rivista, una mia rubrica, intitolata "Moebius", in cui tratto tematiche di matematica e "astronomia ricreativa". In ogni articolo lancerò al lettore anche una sfida in termini di quesiti ed enigmi matematico-astronomici. Il primo è già lì, in edicola, che aspetta qualcuno che lo sappia risolvere!
Questo incarico rappresenta per me qualcosa di straordinariamente bello, dato che in questa rubrica potrò mettere assieme due grandi amori della mia vita: l'astronomia e la matematica.
Approfitto qui per ringraziare il direttore di Coelum, Giovanni Anselmi, per la entusiasmante opportunità e per la fiducia nei miei confronti.
Buona lettura a tutti!

Dino Buzzati e i numeri primi

Dino Buzzati

Le apparizioni di tematiche scientifiche negli scritti di Dino Buzzati sono molto più rare di quanto accada nell'opera di altri scrittori, come ad esempio Italo Calvino.
Eppure, soprattutto nel corpus degli articoli che il grande scrittore e giornalista firmò per il Corriere della Sera, emergono alcune perle di straordinario interesse.
Tra il 1958 e il 1971, ad esempio, Buzzati scrisse alcuni meravigliosi pezzi riguardanti le imprese spaziali dell'epoca, raccontando in particolare la conquista americana della Luna grazie al programma Apollo.
Mi direte che questa non è proprio scienza pura, e meno che meno matematica. Ok, volete la matematica in Buzzati? Subito serviti. Nella raccolta "Cronache terrestri", pubblicata nel 1972, l'anno della morte dello scrittore, si trova un articolo intitolato "Un affascinante enigma matematico", nel quale Buzzati riferisce un curioso episodio accaduto nel 1911.
Lasciamolo raccontare allo stesso autore.

Il signor Luigi Poletti, di 47 anni, da Pontremoli, impiegato di banca, va a trovare un vecchio amico di famiglia, il professor Gino Loria, insegnante di storia della matematica. Siamo a Genova, nel 1911.
Seduto nello studio, mentre parla di cose indifferenti, distrattamente Poletti tira a sé un libro rilegato, largo e basso, una specie di atlante. Lo apre a caso: le pagine sono tutte piene di numeri, disposti in caselle regolari. Lo apre ancora più avanti: ancora numeri.
"Che cos'è?" chiede Poletti tanto per dire qualche cosa.
"Mi è arrivato proprio oggi" dice Loria. "È un lavoro americano. Immagina: l'elenco di tutti i numeri primi compresi nei primi dieci milioni."
"Numeri primi?"
"Eh, se non sbaglio, tu hai fatto due anni di matematica all'Università, dovresti saperne qualche cosa."

A questo punto Buzzati, da grande scrittore qual era, regala una gustosissima spiegazione di cosa siano i numeri primi al lettore che avesse dimenticato completamente la matematica imparata a scuola.

I numeri primi che si possono dividere soltanto per se stessi o per l'unità, i numeri per dire così tutti di un pezzo insolubili.
L'1, il 3, il 7, l'11, il 13, il 17, il 19, il 23 e così via. Paragonabili a quello che nel campo della chimica sono i corpi semplici.
Prendete per esempio il 29: provate un po' a scomporlo, a dividerlo. Niente, rimane duro come un blocco di granito. Sì, potete dividerlo per 1, scomporlo in unità. Ma l'unità non è veramente un divisore, è la particella elementare di cui sono fatti tutti i numeri, primi e non primi, così come di elettroni, protoni, neutroni, eccetera, sono fatti tutti i corpi che esistono in natura, semplici e non semplici.
Considerate invece il successivo: il 30, apparentemente più bello e sodo. Ahimé, basta toccarlo che si sfalda in tanti pezzi. Lo si può dividere per 2, lo si può dividere per 3, e poi per 5, per 6, per 10, per 15. Insomma un numero fatto di tanti altri numeri più piccoli, un numero senza personalità.

Derrick Norman Lehmer

Questa storia di Luigi Poletti e Gino Loria è, ovviamente, un fatto vero. In gioventù Luigi Poletti aveva studiato matematica all'università, ma non aveva portato a termine gli studi. Ma quelle tavole di numeri primi scoperte a casa dell'amico Loria riaccesero qualcosa in lui, come un antico amore che torna a vivere.

Gino Benedetto Loria, invece, nato a Mantova nel 1862, godeva di buona fama nel'ambiente matematico, soprattutto per i suoi interessi nel campo della geometria e per le sue ricerche di storia della matematica.
Le tavole che si trovavano a casa sua e che attirarono l'attenzione dell'amico erano state redatte nel 1909 da Derrick Norman Lehmer, matematico statunitense nato nel 1867.
Il lavoro di Lehmer era più che un elenco di numeri primi, perché conteneva la fattorizzazione di tutti i numeri minori di 10.017.000.

"Ma perché tanto lavoro?" chiede Poletti con una curiosità sempre maggiore. Non c'è una formula che possa dirci se un dato numero è primo o no? No, una formula di questa fatta non esiste. Non solo: i numeri primi sono una famiglia strana. Più si sale, più si rarefanno, ma tra l'uno e l'altro gli intervalli sono irregolari e imprevedbili. Possono essercene tre vicinissimi e poi per scovarne un altro bisogna magari percorrere delle distanze immense. 

Dino Buzzati

Dietro queste poche righe di Buzzati sembra quasi di vederli, i tanti matematici che si sono affannati intorno all'enigma più formidabile di tutta la matematica, quello della distribuzione dei numeri primi: da Gauss a Riemann, da Hadamard a de la Vallée-Poussin, da von Koch a Selberg ed Erdős.
La successiva riflessione dello scrittore bellunese è un importante richiamo all'importanza della ricerca pura, anche se (apparentemente) priva di applicazioni pratiche: un ragionamento molto simile Buzzati lo faceva ripetutamente anche nei suoi articoli sulle imprese spaziali e sulle fatiche dei ciclisti dei suoi tempi.
A che servono veramente queste sfide? A nulla, ma non per questo non devono essere sostenute; anzi, a maggior ragione vanno incoraggiate, perché inseguire ciò che è impossibile e ciò che sembra inutile è poesia.
La stessa poesia che Buzzati ravvisava spesso nelle immani fatiche dei ciclisti e nelle conquiste degli alpinisti, tra i quali era lui stesso.

E lo scopo? A che cosa serve sapere se un numero è primo o no? Ebbene, per certi calcoli è un dato indispensabile. Ma questo non succede tutti i giorni. Il motivo vero è un altro; ed è quel disinteressato desiderio di capire e di conoscere che sta alla base di ogni scienza. Si proponeva forse un uso pratico Einstein quando fondava la dottrina della relatività? Gli studiosi della struttura atomica pensavano forse alla bomba di Hiroscima? 

È curioso che solo quattro anni dopo la morte di Buzzati si cominciò a comprendere quanto i numeri primi potessero diventare importanti anche in pratica, grazie alle applicazioni in crittografia.
Buzzati, sorprendentemente, sembra presagirlo:


Come escludere che un giorno i numeri primi si riveleranno importanti anche agli effetti pratici? La loro natura misteriosa, apparentata in certo modo ai corpi semplici, non lascia confusamente presagire una futura rivelazione clamorosa quale oggi non possiamo sospettare?

Luigi Poletti

Dopo quell'incontro a casa di Loria, insomma, la vita di Poletti cambiò radicalmente.

D'improvviso si fa in lui una decisione che può apparire ingenua, assurda, temeraria: "Mi metterò al lavoro io, sarò io l'esploratore dei numeri primi al di là del decimo milione".


E non lo disse per dire: lo fece davvero. Alla bella età di 47 anni si rimise a studiare matematica, e si dedicò per molti anni ad espandere la tavola di Lehmer, arrivando persino a ideare una nuova variante del crivello di Eratostene, denominata "neocribrum".
I suoi successi gli valsero molti riconoscimenti da parte della comunità scientifica: e pensare che non si era nemmeno laureato e fino a 47 anni non si era mai veramente dedicato alla matematica.
Come scrive Buzzati: era un ignobile dilettante, ora è un autorevole maestro.
Fu anche poeta, quasi a confermare la vicinanza che Buzzati riconosceva tra la ricerca scientifica e la poesia.
Pubblicò molti elenchi di numeri primi e parecchie opere specialistiche. Nel 1946 fu membro di una commissione internazionale alla quale fu affidato il compito di ampliare la tavola di Lehmer, e che dopo cinque anni produsse un elenco contenente tutti i primi minori di 11 milioni.
Successivamente Poletti si spinse fino alle vertiginose altezze dei 12 e poi dei 13 milioni. È comprensibile che Buzzati, provetto alpinista e innamorato delle Dolomiti, sia stato attratto da questa figura di matematico delle cime inviolate.
Poletti morì nel 1967 all'età di 103 anni. Molti lo ricordano ancora, ultracentenario, passeggiare per le vie di Pontremoli, sempre attento e pronto a intrattenersi con i concittadini.
Buzzati lo descrive così:

A passi intrepidi prosegue sempre più avanti nell'allucinante ignota selva dei numeri che si ergono ormai come giganti, tanto alti che non si riesce a scorgerne la vetta. Immaginate un intrico di ciclopiche colonne serrate l'una addosso all'altra, e una formica coraggiosa che vi si insinua in mezzo. La formica è Poletti: col suo neocribrum egli le saggia ad una ad una ed ecco i paurosi picchi sgretolarsi, crollare silenziosamente in polvere. Ma ogni tanto, al tocco sapiente, la pietra dà un suono metallico, non trema, non si sfalda: è un numero di razza buona, è un NP, un monolite, un K2, un Everest, che intatto durerà in eterno.

Carnevale della Matematica #62 su Popinga

Avete ragione: pubblicare il post di richiamo dell'ultima edizione del Carnevale della Matematica con due giorni di ritardo non è una bella cosa. Ma spero che il buon Popinga, magnifico padrone di casa di questo mese, mi perdonerà. D'altra parte in questo modo contribuisco a tenere alto l'interesse per l'evento anche due giorni dopo l'evento stesso: in questo mondo virtuale in cui tutto brucia in fretta, non è cosa da poco.
Popinga ha, come al solito, allestito un Carnevale memorabile: il tema "Matematica e genio" si è rivelato di grande interesse e molti degli amici blogger lo hanno rispettato, proponendo contributi di sicura qualità.

Come da tradizione, la carrellata dei contributi è stata introdotta da una panoramica sulle proprietà matematiche del numero 62; ebbene, non ho potuto trattenere le risa leggendo queste parole (geniali, com'è lecito attendersi da uno come Popinga):
"Per i tifosi della Juventus, 62 è il numero degli scudetti finora vinti dalla squadra torinese, tanto per loro un numero di scudetti sparato a caso vale un altro."

Popinga ha anche proposto una dotta ed esauriente trattazione sul tema del mese, approfondendo le modalità con le quali il genio può manifestarsi nell'ambito delle scienze matematiche (e non dimenticando di aggiungere un tocco di musica con The Genius, ovvero Ray Charles).

Mr. Palomar ha contribuito con tre post, per ciascuno dei quali Popinga ha aggiunto un'ottima descrizione-recensione (lo ringrazio molto per questo): Eulero superstar, in cui ho parlato della bellezza in matematica e bellezza e di un sondaggio di qualche anno fa sui teoremi più belli; Parole informatiche: robot, con il quale ho ripreso, stavolta in chiave "robotica", la vecchia rubrica sui termini in uso nel mondo informatico; e I quadrati magici (Parte 2), in cui ho descritto strani oggetti come quadrati diabolici, cubi magici e cubi diabolici.
Ricordo che la prossima edizione del Carnevale sarà ospitata proprio da Mr. Palomar, con il tema "Le parole sono importanti".  Invito fin d'ora tutti i contributori a farsi avanti, con segnalazioni in tema oppure no.
Ancora tanti complimenti a Popinga, a tutti i partecipanti di questa edizione, e buon Carnevale a tutti!

Eulero superstar

Recentemente mi è stato chiesto di tenere, per un pubblico di adolescenti, una serata sul tema della bellezza in matematica. Studiare e trattare questo argomento è stato per me una delle esperienze divulgative più entusiasmanti degli ultimi tempi, perché sono convinto che la matematica, forse assieme alla musica, sia la creazione umana che più si avvicina all'ideale di bellezza, qualsiasi cosa questa parola significhi.

Sul legame tra matematica e bellezza sono stati versati i classici fiumi d'inchiostro, e non intendo qui aggiungerne altri. Cito soltanto un sondaggio che venne effettuato nel 1988 dalla rivista Mathematical Intelligencer. I lettori furono invitati a scegliere tra 24 teoremi quello che, secondo loro, incarnava meglio l'idea di bellezza: precisamente veniva richiesto di assegnare ad ogni teorema un voto da 0 a 10.
Il matematico David Wells, che curò la raccolta dei questionari compilati, riferisce che un lettore assegnò zero a tutti i 24 teoremi, commentando con la frase "La matematica è uno strumento. Solo l'arte può essere bella.".
Dato che io non sono d'accordo con questo anonimo lettore, e non lo era nemmeno David Wells, questo voto venne escluso dal sondaggio. Tenendo in considerazione gli altri questionari che arrivarono alla redazione della rivista, venne stilata una classifica di cui riporto le prime dieci posizioni, ciascuna con il rispettivo voto medio.

Non mi dilungo in commenti, ma una cosa balza subito all'occhio: ai primi due posti ci sono due celeberrimi risultati ottenuti da Eulero, e un altro teorema del matematico svizzero si trova in quinta posizione. Non ci sono dubbi quindi: Eulero superstar!

1. Identità di Eulero: e^iπ= -1 (voto 7,7)
2. Formula di Eulero per i poliedri: V + F = E + 2 (voto 7,5)
3. Teorema di Euclide sull'infinità dei numeri primi (voto 7,5)
4. Esistono solo 5 poliedri regolari (voto 7,0)
5. Soluzione di Eulero del problema di Basilea: la somma dei reciproci dei quadrati degli interi poistivi è uguale a π²/6 (voto 7,0)
6. Teorema del punto fisso di Brouwer: una funzione continua del disco unitario chiuso in se stesso ha un punto fisso (voto 6,8)
7. La radice quadrata di 2 non è razionale (voto 6,7)
8. π è un numero trascendente (voto 6,5)
9. Ogni mappa può essere colorata con quattro colori (voto 6,2)
10. Ogni numero primo della forma 4ⁿ⁺¹ è unicamente somma di due interi quadrati (voto 6,0)

I quadrati magici (Parte 2)

Proseguendo la scorribanda nel mondo dei quadrati magici, ciò che subito balza all'occhio è la straordinaria quantità di analisi e ricerche che nel corso dei secoli sono state compiute su questi curiosi oggetti matematici. Più di mezzo secolo fa Martin Gardner faceva notare come nel 1838, quando la conoscenza di queste strutture era ancora meno profonda rispetto al 1960, veniva pubblicata un'opera sui quadrati magici articolata in tre ponderosi volumi.
Risulta perciò necessario selezionare gli argomenti, per non naufragare nell'oceano. Ecco allora che ci imbattiamo nella più antica documentazione di un quadrato magico 4x4, che si trova in una iscrizione del secolo XI o XII ritrovata a Nasik, in India.

Si tratta di un quadrato dotato di proprietà straordinarie, e per questo denominato "ultramagico".  Dicono che talvolta la magia, portata all'estremo e volta al lato oscuro, degenera in magia nera, stregoneria, o culto del demonio. Ecco che i matematici definiscono i quadrati ultramagici come quello di Nasik come "diabolici" .
Oltre ad avere le consuete caratteristiche dei quadrati magici, i quadrati diabolici esibiscono la costante di magia anche lungo le diagonali spezzate: ad esempio, costituiscono una diagonale spezzata le celle 13, 7, 4 e 10, oppure le celle 14, 8, 3 e 9.
Il risultato può essere ulteriormente generalizzato: nei quadrati diabolici ogni gruppo di quattro caselle adiacenti produce la costante di magia. In un quadrato diabolico 4x4 come quello in figura la costante di magia 34 salta fuori in 86 modi diversi!
E non solo: se componiamo un mosaico formato da molte copie contigue del quadrato, sarà diabolico ogni quadrato 4x4 che possiamo delimitare all'interno del mosaico.

Ma non abbiamo ancora finito di elencare le proprietà di questi quadrati magici. Cosa accade a un quadrato diabolico se spostiamo l'ultima riga in cima al quadrato? Semplice, rimane diabolico. E se spostiamo in basso la prima riga? Diabolicamente resta diabolico. Anche spostando una colonna da un'estremità all'altra non c'è nulla da fare, la diabolicità si conserva.
Anche le rotazioni e le riflessioni non intaccano le proprietà diaboliche di questo oggetto matematico. Gli studiosi hanno individuato altri tipi di operazioni che conservano la diabolicità, e hanno mostrato che queste trasformazioni costituiscono una struttura algebrica di gruppo.

Un'altra particolarità dei quadrati diabolici, descritta sempre da Martin Gardner, chiama in causa gli ipercubi, oggetti dei quali ho già parlato due anni fa, divagando a partire dal tema originario della matematica dell'I Ching (in quel post ricordavo tra l'altro lo sviluppo tridimensionale di un ipercubo dipinto da Salvador Dalí in "Corpus Hypercubus".
Cosa c'entrano i quadrati ultramagici con gli ipercubi? Se mettiamo in corrispondenza le 16 caselle di un quadrato diabolico con i 16 vertici di un ipercubo a quattro dimensioni, si ottiene una distribuzione di numeri tale per cui la somma dei quattro vertici di ogni faccia è pari a 34. Inoltre, la somma dei numeri sulle coppie che si trovano agli antipodi dell'ipercubo dà 17.
Sottoponendo l'ipercubo a riflessioni e rotazioni si ottengono 384 configurazioni, corrispondenti ai 384 quadrati diabolici 4x4.

Non bisogna confondere questo particolare legame tra quadrati diabolici e ipercubi con i "cubi magici", che altro non sono che gli equivalenti tridimensionali dei quadrati magici.
Un cubo magico è quindi una matrice tridimensionale n x n x n nella quale la somma dei numeri di ogni riga in ciascuna delle tre dimensioni e di ognuna delle quattro diagonali sia un numero costante, che anche in questo caso viene chiamato costante di magia. 
La costante di magia di un cubo magico tridimensionale è uguale a

Anche in tre dimensioni esiste la magia nera, e anche i cubi, come i quadrati, possono essere talmente magici da diventare diabolici: accade quando anche la somma dei numeri su ogni diagonale spezzata restituisce la costante di magia del cubo.

Più che ai cubi diabolici, i matematici hanno rivolto la loro attenzione ad un'altra categoria di cubi magici, detti "perfetti".  Possono vantare questo appellativo i cubi nei quali non soltanto le diagonali maggiori ma anche quelle interne sono magiche.
La ricerca sui cubi magici perfetti è relativamente recente: il primo, di ordine 7, fu scoperto nel 1866 dal missionario inglese Andrew Frost.

Nove anni dopo un quadrato magico perfetto di ordine 8 fu trovato da Gustavus Frankenstein, pittore e matematico tedesco dal cognome che era tutto un programma.  Un dipinto di questo artista-scienziato è riportato qui a lato.
Verso la fine dell'Ottocento sono stati scoperti cubi magici perfetti di ordine 9, 11 e 12, mentre solo nel 1988 è stato individuato un quadrato magico perfetto con n=10.

Ma esistono anche quadrati magici perfetti di ordine inferiore a 7? Ebbene, è stato provato che non ne esistono con n uguale a 2, 3 e 4, e fino a dieci anni fa si sospettava che non ne esistessero nemmeno di ordine 5 e 6.
Nel novembre 2003, il matematico tedesco Walter Trump e l'informatico francese Christian Boyer, facendo girare per settimane un sofisticato algoritmo in parallelo su cinque computer,  hanno finalmente trovato il più piccolo cubo magico perfetto, di ordine 5.  Due mesi prima, gli stessi due ricercatori avevano trovato anche il primo cubo magico perfetto di ordine 6.
Questa è una pagina che illustra in dettaglia l'impresa di Trump e Boyer; questa è invece una pagina su quadrati e cubi magici curata dallo stesso Walter Trump. Buon divertimento!

Parole informatiche: robot

Ritorna (vorrei dire a grande richiesta, ma non è proprio così...) la rubrica delle parole informatiche. Ho pubblicato l'ultimo post nel giorno di Capodanno, e poi più nulla. D'ora in poi le parole torneranno, spero con maggiore continuità e con post in generale più brevi.
Questa volta parlerò di robot. E per introdurre l'argomento con un video, quale migliore scelta se non i Kraftwerk di "The robots"?

La parola robot, che in italiano viene pronunciata a volte con l'accento sulla prima "o", e a volte con l'accento sulla seconda "o", deriva dal termine cecoslovacco robota, che significa lavoro pesante o lavoro forzato, e che discende, a sua volta, dal vocabolo rabota, in uso nell'antico slavo ecclesiastico con il significato di servitù.  Più precisamente, per robota si intendeva la corvée, cioè una prestazione agricola che il vassallo forniva al signore feudale per un certo periodo, tipicamente di sei mesi.

La stessa radice compare in molte altre lingue slave: ad esempio lavoro si dice rabota in russo e in ucraino, e robota in polacco; in quest'ultima lingua lavoratore si dice robotnik e il verbo fare si traduce robić. Pare che questa radice etimologica sia imparentata con quella che in tedesco ha dato origine al termine Arbeit, che significa sempre lavoro e che compariva nella tristemente celebre scritta "Arbeit macht frei" ("Il lavoro rende liberi") sul cancello d'ingresso del campo di concentramento di Auschwitz.
Anche il latino labor pare derivare dallo stesso ceppo indoeuropeo, attraverso una trasformazione della "r" in "l".

L'introduzione della parola robot, come è facile immaginare, è relativamente recente: fu lo scrittore ceco Karel Čapek a coniarla nel 1920, per la sua opera teatrale fantascientifica "I robot universali di Rossum".
Si può discutere sul fatto che i robot di Čapek erano in realtà "replicanti", cioè organismi biologici modificati attraverso procedimenti di ingegneria genetica, mentre in seguito al 1920 la parola passò a indicare soprattutto esseri meccanici artificiali (a questo proposito, chi fosse interessato a una tassonomia ragionata di androidi, cyborg, robot e replicanti può consultare l'affascinante "Dizionario degli esseri umani fantastici e artificiali" di Vincenzo Tagliasco).

In una sua memoria, lo stesso Karel Čapek ammette che il vero ideatore del termine robot non fu lui, ma suo fratello pittore Josef.  I due fratelli condividevano la pratica della letteratura oltre che l'interesse per il tema dei esseri artificiali, e tre anni prima lo stesso Josef aveva scritto un racconto in cui aveva utilizzato la parola automat (in italiano, automa).  Pare che Karel avesse originariamente ideato il termine labori, ma, non essendo soddisfatto del suono della parola, avesse accettato il consiglio del fratello a optare per il vocabolo robot.

La parola inventata dallo scrittore ceco divenne in breve tempo tra le più popolari, soprattutto nell'ambito della letteratura fantascientifica.  Non posso non citare, a tale proposito, i libri del celebre Ciclo dei Robot che Isaac Asimov scrisse a partire dagli anni Cinquanta, nei quali vide per la prima volta la luce il termine robotica (in inglese robotics).  In queste storie Asimov introdusse anche le famose tre leggi della robotica, alle quali i suoi robot positronici dovevano rigorosamente attenersi:
1) un robot non può recar danno a un essere umano né può permettere che, a causa del proprio mancato intervento, un essere umano riceva danno;
2) un robot  deve obbedire agli ordini impartiti da un essere umano, purché tali ordini non contrastino con la Prima Legge;
3) un robot deve proteggere la propria esistenza, purché tale autodifesa non contrasti con la Prima o con la Seconda Legge.

Da diversi decenni la robotica non è più un'esclusiva dei romanzi e dei film di fantascienza, ma è a tutti gli effetti una branca reale dell'ingegneria. I robot reali sono macchine automatizzate che, almeno in linea di principio, possono sostituire o imitare gli essere umani in particolari ambiti: e in questo senso, i robot sono certamente anche (ma non solo) legati all'informatica.
Tuttavia, esiste oggi un'altra accezione del termine robot (o dell'abbreviazione bot), strettamente legato alle tecnologie informatiche: ci si riferisce in questo caso a particolari programmi che accedono a internet, e in particolare al web, in maniera simile a come farebbe un utente umano, per assolvere a funzioni svariate in modo automatico.

Solitamente, i robot vengono impiegati per svolgere attività che richiedono tassi di ripetitività o velocità che non potrebbero essere raggiunti da un utente umano.

Ad esempio, ci sono robot che partecipano automaticamente a giochi online, ad aste online o a chatroom, che generano spam anche a scopo pubblicitario, che diffondono software maligni, e così via.

L'utilizzo più frequente è però il cosiddetto spidering, cioè l'analisi automatizzata delle informazioni prelevabili dai web server, allo scopo di indicizzare le pagine dei siti web per conto dei motori di ricerca.

I robot ai quali è assegnato questo compito hanno nomi pittoreschi, tra i quali spider (ragni), ants (formiche) o crawler (leccapiedi): lo so che non c'entra nulla, ma pensando a quest'ultimo nomignolo non riesco a trattenermi dal chiudere questo post con la bellissima "Carpet crawlers" dei Genesis.

 

Carnevale della Matematica #61 su "Notiziole di .mau."

E' uscita ieri, puntuale come un orologio svizzero, la nuova edizione del Carnevale della Matematica, la numero 61, questo mese allestita dal suo illustre Fondatore, Maurizio .mau. Codogno.
Il tema proposto era "costanti matematiche", ma, come dice lo stesso .mau., "io come al solito non l'ho seguito affatto".  Se è per quello nemmeno il sottoscritto, il quale questa volta è stato anche particolarmente poco generoso: uno solo post, sui quadrati magici, al quale però seguirà a breve una specie di sequel.
Molti hanno invece seguito la traccia indicata, e sono giunti alcuni post davvero notevoli, che dipingono un imperdibile quadro sul tema delle costanti matematiche.  Anche nei contributi fuori tema, comunque, non mancano affatto gli spunti di notevole interesse.
Ricordo che l'edizione di giugno del Carnevale sarà ospitata da Popinga, con il tema "Matematica e genio". Complimenti vivissimi a .mau. e ai partecipanti, e buona lettura a tutti!