sabato 16 marzo 2013

Strani poliedri ungheresi

Che cos'è un poliedro? È semplicemente un solido limitato da un certo numero di facce, costituite da poligoni. Lo stesso termine "poliedro" deriva dalla parola greca πολύεδρον, che significa "molte facce".
Un esempio banale di poliedro è il cubo: le sue sei facce sono quadrati, cioè poligoni regolari formati da quattro lati e quattro angoli. Il cubo è anche uno dei sei tipi di solidi platonici: i poliedri convessi regolari di cui ho parlato in un mio vecchio post di ispirazione calcistica.

Altri esempi di semplici poliedri sono i prismi, i parallelepipedi e le piramidi (che coincidenza: poliedri, poligoni, Platone, prismi, parallelepipedi, piramidi; avete fatto caso alla ricorrenza dell'iniziale "P"?).
Il più semplice dei solidi platonici, il tetraedro, gode di una singolare proprietà: è privo di diagonali. In altri termini, non riusciamo a trovare, in questo poliedro, una coppia di vertici che non siano collegati tra di loro da uno spigolo.
Gli altri solidi platonici hanno invece tutti almeno una diagonale, a partire dal cubo e dall'ottaedro.

Come direbbe Antonio Lubrano, a questo punto una domanda sorge spontanea: esistono altri poliedri privi di diagonali? Non è un quesito banale, perché l'assenza di diagonali, intuitivamente, sembra legata a solidi molto semplici, addirittura minimali come il tetraedro, e appare difficile trovare un solido appena più complesso in cui tutti i vertici siano collegati a due a due da spigoli.

Eppure, un altro poliedro senza diagonali esiste. Lo ha scoperto nel 1949 il matematico ungherese Ákos Császár: ha sette vertici, ciascuno di essi è collegato a tutti i rimanenti sei tramite spigoli, ragion per cui non vi sono diagonali.
Come si può vedere dal filmato seguente, questo stranissimo solido è caratterizzato da un tunnel che lo attraversa da parte a parte. Insomma, da un punto di vista topologico, il solido assomiglia più a una ciambella (o, come dicono i matematici, a un toro) che a una sfera.
Per il resto, il poliedro di Császár ha 21 spigoli e 14 facce triangolari.




Ma torniamo all'umile tetraedro. Oltre a non avere diagonali, questo solido ha un'altra proprietà che sembra derivare dalla sua semplicità: ogni faccia confina con tutte le altre.

Ancora una volta possiamo chiederci: esiste un altro poliedro con questa caratteristica? Potrebbe sembrare arduo individuarlo, eppure esiste, e il solido incriminato è stato scoperto, nel 1977, da un altro matematico ungherese, Lajos Szilassi.
Lo stranissimo poliedro di Szilassi ha sette facce a forma di esagono, e ognuna confina con tutte le altre attraverso uno spigolo.
Anch'esso è percorso da un tunnel e ha una topologia toroidale.

 

A questo punto i più perspicaci dei miei lettori, subodorando una certa simmetria, avranno sicuramente maturato un sospetto: non è che sussista una qualche parentela tra il poliedro di Csaszar e il poliedro di Szilassi?
Ebbene sì: uno è il duale dell'altro, cioè si passa da uno all'altro, e viceversa, scambiando tra di loro i ruoli dei vertici e delle facce.
Ad esempio, tra i cinque solidi platonici, il tetraedro è duale di se stesso, mentre sono duali tra di loro cubo e ottaedro (si veda figura a fianco), e anche icosaedro e dodecaedro sono uno il duale dell'altro.




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