La matematica di Gianni Rodari #4: Relazioni

La parola "relazione" è ricca di significati in molti ambiti: rapporto tra più persone, collegamento tra fatti o concetti, resoconto di un'esperienza o un argomento, e così via.
In matematica, una relazione tra due insiemi A e B si definisce solitamente come un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B. Alla maggior parte delle persone una simile definizione può sembrare piuttosto misteriosa. Detto in modo equivalente, una relazione tra A e B non è altro che un elenco qualsiasi di coppie ordinate di tipo (a, b), dove a è un elemento dell'insieme A e b è un elemento dell'insieme B.

Per esempio, se A è l'insieme formato dai numeri -9, -5, 1 e 7, e B è l'insieme formato dai numeri 1, 4, 5 e 8, possiamo definire (si veda la figura a fianco) una relazione R costituita dalle coppie (-9, 1), (-5, 5), (1, 8), (7, 1) e (7, 4).
Per mostrare un esempio dotato di un significato più concreto, immaginiamo un insieme A costituito dalle persone che leggono libri e un insieme B formato dai libri. Una relazione che lega i due insiemi è la collezione delle coppie ordinate (lettore, libro) che vengono stabilite quando l'elemento "lettore" ha letto l'elemento "libro". Così, io sono un elemento di A e sono presente in tante coppie ordinate della relazione quanti sono i libri che ho letto. Nella relazione ci sarà, per esempio, una coppia (Paolo Alessandrini, "Grammatica della fantasia"). Ma ci saranno tantissime altre coppie ordinate aventi la "Grammatica della fantasia" come secondo elemento: tante quante sono le persone che hanno letto quel libro.

Cosa c'entra tutto questo discorso sulle relazioni con Gianni Rodari (a parte l'esempio sopra)?
C'entra perché, nel più volte citato capitolo 37 della "Grammatica", Rodari mostra diversi esempi di relazioni. 

Ecco un esempio divertente:

Il direttore didattico Giacomo Santucci, di Perugia, domanda regolarmente agli scolari di prima classe: - Tu hai un fratello? - Sì- - E tuo fratello ha un fratello? - No, è la bellissima e recisa risposta, nove volte su dieci.

In questo caso A e B sono lo stesso insieme, ovvero l'insieme delle persone. La relazione descritta è il legame di fraternità: la coppia (Anna, Giovanni) vi appartiene se i due elementi Anna e Giovanni sono fratelli. È evidente che si tratta di una relazione simmetrica, perché se Anna ha Giovanni come fratello, allora Giovanni ha Anna come sorella.
Invece, per esempio la relazione "sono figlio/a di" non è simmetrica.
È curioso notare come la simmetria, intesa in senso più generico, caratterizzi persino le date di nascita e morte di Rodari: 1920 e 1980, anni posti in modo simmetrico rispetto alla metà del Novecento. Ma qui rischio di scadere nella numerologia e quindi la smetto subito.
Altre due proprietà che una relazione può possedere sono la riflessività (che si ha quando qualsiasi elemento a è in relazione con se stesso) e la transitività (che si ha quando dal fatto che a è in relazione con b e b è in relazione con c, consegue che a è in relazione con c).
Quando una relazione è simmetrica, riflessiva e transitiva prende il nome di relazione d'equivalenza.

Se invece una relazione possiede le proprietà riflessiva e transitiva, ma anziché essere simmetrica è antisimmetrica (cioè se a è in relazione con b, allora b non è in relazione con a, a meno che i due elementi non siano uguali tra di loro), la relazione viene chiamata relazione d'ordine.
I classici esempi sono offerti dalle relazioni "minore o uguale di" e "maggiore o uguale di" (il lettore potrà divertirsi a verificare che queste relazioni soddisfano davvero le tre proprietà riflessiva, transitiva e antisimmetrica).
Rodari, sempre nel fatidico capitolo 37, allude alle relazioni d'ordine più volte, parlando di confronti di natura quantitativa tra oggetti, persone o luoghi ("a è più piccolo di b", "x è più basso di y", "m è più grasso di n" e così via). Anche nella fiaba "Pesa-di-più e Pesa-di-meno", tratta dalla raccolta "Venti storie più una" del 1969, si utilizzano relazioni d'ordine, questa volta legate al peso delle persone.
Tutto questo ha a che vedere anche con il concetto di misura, ma su questo tornerò più avanti, riprendendo anche la fiaba che ho appena citato.

La matematica di Gianni Rodari #3: Logica e Fantastica

Questa terza puntata della serie dedicata alla matematica di Rodari sarà più breve delle precedenti.
D'altra parte, la mia idea iniziale era quella di scrivere una serie di "pillole" brevi, non di articoli lunghi: altrimenti, dovendo arrivare fino a ottobre, vi annoierei per bene!

Vorrei partire questa volta da una frase che Rodari scrive nell'"antefatto" della "Grammatica della fantasia":

Un giorno, nei Frammenti di Novalis (1772-1801), trovai quello che dice: "Se avessimo anche una Fantastica, come una Logica, sarebbe scoperta l'arte di inventare". Era molto bello. Quasi tutti i Frammenti di Novalis lo sono, quasi tutti contengono illuminazioni straordinarie.

Il poeta romantico tedesco Novalis

Rodari racconta di aver trovato quel frammento quando, ancora adolescente, già insegnava italiano ai bambini, e nel tempo libero leggeva Dostoevskij e studiava tedesco. Anni dopo, insegnante alle elementari, cominciò a prendere nota in un "Quaderno di Fantastica" i meccanismi attraverso i quali gli nascevano in testa le storie che raccontava ai bambini, i trucchi che scopriva "per mettere in movimento parole e immagini". Quel quaderno, a quanto pare, fu il primo embrione di una serie di riflessioni, progetti, avvenimenti che portarono Rodari, molti anni dopo, a concepire l'idea di scrivere la "Grammatica della fantasia", ovvero una descrizione di alcuni modi in cui si possono inventare storie per bambini. Rodari lo nega, ma la Grammatica era di fatto un tentativo di fondare quella "Fantastica" di cui parlava Novalis.

Ora, il ruolo decisivo e simbolico che Rodari attribuisce a quel frammento di Novalis riflette a mio parere, l'importanza concessa dall'autore di Omegna alla logica e, più in generale, alla matematica e alla scienza.
Viviamo in un mondo in cui molti intellettuali si vantano di non capire nulla di matematica e dimostrano (in questo periodo più che mai) di non avere alcuna cognizione di cosa sia la scienza. La lezione di Rodari costituisce un grande insegnamento: il suo ragionamento era più o meno "se possiamo descrivere il mondo reale così bene usando la logica, la matematica e la scienza, potremmo descrivere il mondo della fantasia enunciando regole che non dovrebbero essere troppo diverse, almeno concettualmente, da quelle della logica, della matematica e della scienza".

In fin dei conti è un concetto molto simile a quello espresso nel capitolo 37 della Grammatica:

La novella, a sua insaputa, è anche un esercizio di logica. Ed è difficile rintracciare un confine tra le operazioni della logica fantastica e quelle della logica senza aggettivi.

Ed è anche il concetto che sta dietro un po' tutto il capitolo 37 e che viene ribadito spesso nelle opere di Rodari.
Forse è proprio per questo che trovo così stimolante parlare di matematica partendo dagli spunti offerti da Rodari: anziché allontanarsi nettamente dal mondo scientifico e matematico (come spesso molti narratori o "umanisti" si sentono autorizzati a fare), Rodari sente invece il bisogno di avvicinarsi a quel mondo, per attingere da esso ciò di cui ha bisogno per costruire le sue storie.
Logica e Fantastica, insomma, vivono pacificamente insieme.
O forse sono quasi la stessa cosa.

Carnevale della Matematica #140 su Notiziole di .mau.

Sulle Notiziole di .mau. è uscito oggi il Carnevale della Matematica numero 140, dedicato al tema dei giochi ("il tema 'giochi'", dice .mau., "non sarà il massimo, ma la morte di Conway me l'ha fatto venire in mente. E poi sapete bene che io amo i giochi!")

A questa edizione hanno contribuito, con interessanti post, Annalisa Santi, Roberto Zanasi, Maddmaths!, Dioniso, Math is in the Air, Gialuigi Filippelli, i Rudi Mathematici e ovviamente il padrone di casa nonché fondatore, Maurizio Codogno detto .mau.

E Mr. Palomar? Be', certo, c'è anche lui, cioè io,  con le due prime puntate della serie dedicata alla matematica di Gianni Rodari (domani dovrebbe uscire la terza, vedremo...)
Ma non basta: pare che la prossima edizione del Carnevale, la n. 141, sarà ospitata proprio da questo blog: e visto che ci sono, vi anticipo anche il tema: "storie".
Buona lettura e buon Carnevale a tutti!

Ristoranti, virus e geometria

Nella seduta del 10 maggio del Comitato tecnico scientifico per l'emergenza COVID-19, è stato approvato un breve documento tecnico redatto dall'INAIL in collaborazione con l'Istituto Superiore di Sanità. In questo report vengono proposte alcune misure di sicurezza che potrebbero essere adottate nel settore della ristorazione per garantire il contenimento della diffusione del virus.

Leggendo il documento, emergono in particolare due frasi che impongono altrettante norme di distanziamento.
La prima:

Il layout dei locali di ristorazione andrebbe quindi rivisto con una rimodulazione dei tavoli e dei posti a sedere, garantendo il distanziamento fra i tavoli – anche in considerazione dello spazio di movimento del personale – non inferiore a 2 metri e garantendo comunque tra i clienti durante il pasto (che necessariamente avviene senza mascherina), una distanza in grado di evitare la trasmissione di droplets e per contatto tra persone, anche inclusa la trasmissione indiretta tramite stoviglie, posaterie, ecc.; anche mediante specifiche misure di contenimento e mitigazione.

E la seconda:

In ogni caso, va definito un limite massimo di capienza predeterminato, prevedendo
uno spazio che di norma dovrebbe essere non inferiore a 4 metri quadrati per ciascun
cliente, fatto salvo la possibilità di adozioni di misure organizzative come, ad esempio,
le barriere divisorie.

Estraendo l'essenza geometrica di queste frasi, le norme possono essere così riformulate:
1) la distanza tra un un tavolo e l'altro deve essere non minore di 2 metri;
2) la capienza massima di una sala deve essere calcolata considerando un'area di almeno 4 metri quadrati esclusiva per ciascun cliente.

Benissimo. Sulla rete e sulle testate giornalistiche sono subito apparse interpretazioni improbabili o imbarazzanti di queste norme, come ad esempio l'immagine riportata qui a destra e pubblicata, pare, su quotidiani come il Gazzettino e il Messaggero.

Già, perché tutti sanno che un quadrato con il lato di 4 metri ha un'area di 4 metri quadrati, o no?
No, ovviamente: ha un'area di 16 metri quadrati.
Evidentemente il distratto (o molto scarso in matematica?) grafico voleva scrivere "2 metri", e non "4 metri", come lato del quadrato contornato di arancione. In questo modo l'area è effettivamente di 4 metri quadrati, e la distanza tra un cliente e l'altro è di 2 metri, come richiesto dalle norme.

Ma c'è un problema. Gianluca Dotti l'ha spiegato molto bene in un suo articolo pubblicato oggi su Wired. Non dobbiamo pensare, come erroneamente ha fatto qualcuno in questi giorni, che le due norme siano l'una equivalente all'altra.

Reticolo ortorombico (o rettangolare)

Sì, è vero che possiamo immaginare una griglia regolare come quella riportata nella figura qui a sinistra, nella quale ogni punto corrisponde a un cliente e la distanza tra uno e l'altro è di 2 metri. Così facendo ogni cliente si ritrova "proprietario" di un quadrato di area uguale a 4 metri quadrati.
Il fatto è che la norma parla di tavoli e non di clienti quando enuncia la norma della distanza di 2 metri. E a ogni tavolo, normalmente, stanno più persone, mica soltanto una.

Non basta: quella griglia, che in geometria e in cristallografia (riducendoci a due dimensioni, ovviamente) sarebbe definita reticolo ortorombico (o rettangolare), nella realtà della ristorazione è un'astrazione piuttosto inverosimile: solitamente i tavoli di un ristorante o i tavolini di un bar non sono disposti così, ma secondo strutture meno ordinate.

Fonte: TGCOM24

Presupponendo che la distanza minima tra due persone sedute allo stesso tavolo sia quella, standard in questi tempi di Coronavirus, di un metro, lo schema qui a destra risulta molto più rigoroso e corretto.

Mettiamoci nei panni di un ristoratore.
Il suo problema sarà rispettare le due norme cercando nel contempo di massimizzare il numero di clienti nella sua sala.
Come segnalato anche nell'articolo di Dotti, la soluzione ottimale non è il reticolo ortorombico, ma quello che i cristallografi e i matematici chiamano reticolo esagonale (in 2D). Le api, per così dire, lo sanno bene, e non a caso costruiscono i loro favi utilizzando una struttura esagonale, che permette loro di ottenere il massimo risparmio di cera.

In questo tipo di griglia, mostrato nell'immagine sotto, ogni cliente è al centro di un esagono i cui vertici sono i clienti più vicini.

Ma poi, lo ricordo ancora, la questione è complicata dal fatto che la distanza di 2 metri vale tra tavoli diversi, non tra clienti che stanno allo stesso tavolo.

Reticolo esagonale

E comunque, l'altra norma, quella dei 4 metri quadrati, serve unicamente come criterio per determinare la capienza massima della sala, e non deve essere presa alla lettera come spazio minimo che deve essere garantito a ogni singolo cliente.

In ogni caso, come avevo preannunciato in un post di quasi un mese fa, era inevitabile che dopo le percentuali, la statistica, la probabilità, le funzioni esponenziali e le equazioni differenziali, anche la geometria salisse alla ribalta come strumento necessario per orientarci nel groviglio in cui siamo finiti per colpa del virus.
E poi dicono che la matematica non serve a niente.

Il dizionario delle parole future: bellezza

Qualche settimana fa ho ricevuto una mail, con la quale la dottoressa Simona Rusconi, della cooperativa AttivaMente, mi ha proposto di partecipare a un progetto che mi è sembrato subito entusiasmante: il "Dizionario delle Parole Future".

La domanda che mi è stata posta è semplice quanto suggestiva: “qual è la parola che porteresti con te fuori da questa quarantena?” 

Ebbene, io ho pensato alla parola "bellezza": un concetto spesso dimenticato, ma importante e centrale.

Anche in matematica.

E ho proposto un video (lo trovate anche in fondo a questa pagina) in cui ho spiegato cosa intendo per bellezza.

Sono molto belle le parole con cui Simona ha introdotto il mio video nel sito del Dizionario:

Diciamo, quindi, che mai avrei pensato di poter inserire le parole “bellezza” e “matematica” all’interno della stessa frase. 

O, meglio, magari anche sì – per qualche strano giro o associazione mentale che non escludo di poter fare – ma sicuramente mai con una relazione diretta tra le due. 

Questo prima. 

Poi arriva Paolo Alessandrini e mi manda il suo contributo. E inizio a intravedere che (cito) “quando la complessità riesce a sciogliersi inaspettatamente nella stupefacente semplicità di una formula matematica”, allora sì. Forse anche lì si può avvertire quella sensazione che ci lascia sorpresi e smarriti, con la pelle d’oca e un senso di illuminazione e leggerezza. Che ci sembra di vedere meglio e sentirci in qualche modo più grandi di noi. 

Qualcosa che potrebbe essere definita come “bellezza”. 

Ma, in fondo, da uno che ha intitolato il suo libro "Matematica rock" qualcosa di spiazzante avrei pure dovuto aspettarmelo…

 

La matematica di Gianni Rodari #2: la teoria degli insiemi

Un diagramma che mostra l'intersezione tra due insiemi

Chi di voi lettori non ha mai sentito parlare di teoria degli insiemi? Pochi, credo. Fin dai primi anni della scuola elementare, gli insiemi sono stati presentati a molti di noi come una delle colonne portanti della matematica. Probabilmente, chi è andato a scuola prima degli anni Sessanta del secolo scorso non ricorda di aver mai affrontato questo argomento della matematica, mentre chi  ha cominciato il proprio percorso d'istruzione dopo gli anni Ottanta ha incontrato gli insiemi ma non li ha studiati a fondo come avevano fatto i loro genitori.

Il fatto è che anche nella didattica della matematica ci sono le mode. E la questione della teoria degli insiemi, o insiemistica, come si diceva spesso qualche decennio fa, è uno dei casi più eclatanti in questo senso.

Quando, nel 1957, i russi lanciarono lo Sputnik e misero a segno il primo punto nella partita per il predominio nello spazio, il governo degli Stati Uniti decise che si doveva correre subito ai ripari per cercare di raddrizzare le sorti del confronto con il nemico. 

Ci si rese conto che si doveva partire dalla scuola: in particolare era avvertita l'urgenza di migliorare e aggiornare i programmi scolastici delle materie scientifiche. L'incarico della riforma fu affidato alla National Science Foundation, agenzia governativa che sostiene la formazione di base nei campi scientifici non medici, la quale promosse un ambizioso progetto di riforma dei curricoli di fisica, biologia, chimica e matematica. Per quest'ultima il risultato fu il cosiddetto "New Math", un nuovo corso dell'insegnamento della matematica che prevedeva argomenti mai visti prima sui libri scolastici: l'aritmetica modulare, le disequazioni, le basi diverse da 10, le matrici, la logica simbolica, l'algebra booleana, l'algebra astratta e, appunto, la teoria degli insiemi.

Libri sul "New Math"

Il vento del cambiamento cominciò a soffiare negli stessi anni anche in Europa. Nel 1959 si tenne vicino a Parigi un convegno sul tema "Le nuove matematiche", promosso dall'OCSE, durante il quale il matematico francese Jean Dieudonné, portavoce del gruppo Bourbaki, lanciò il celebre grido "Abbasso Euclide!", sostenendo che gli insegnanti di matematica dovevano smetterla di puntare tutto sull'algebra classica e sulla geometria euclidea, e dovevano invece aprirsi a nuovi percorsi, includendo in primis la teoria degli insiemi.
La nuova matematica (molto influenzata dagli indirizzi bourbakisti) attecchì, in America come in Europa, nel corso degli anni Sessanta, raggiunse il culmine nel decennio successivo, e declinò negli anni Ottanta: nel 1985 i nuovi programmi della scuola elementare italiana indicavano esplicitamente che lo studio degli insiemi non doveva più essere considerato essenziale in matematica.

Visto che la produzione poetica di Gianni Rodari si colloca, in gran parte, nel periodo compreso tra il 1960 e il 1980, non deve stupire che la teoria degli insiemi, proprio in quegli anni divenuta popolarissima e reputata "moderna", faccia capolino più volte nelle sue opere.

Un primo esempio lo troviamo nel (già citato nella prima puntata di questa serie) capitolo 37 della "Grammatica della fantasia". Rodari lo apre così:

Un'illustrazione ispirata al "Brutto anatroccolo"
di Andersen

La famosa novella del Brutto anatroccolo di Andersen - cioè del cigno capitato per errore in un branco di anatre - può essere tradotta in termini matematici nell'"avventura di un elemento A, capitato per errore nell'insieme degli elementi B, che non trova pace fino a quando non rientra nel suo insieme naturale, quello degli elementi A..."

A Rodari interessa soprattutto mostrare come una storia apparentemente lontana anni luce dalla matematica, come può essere la fiaba di Andersen o qualsiasi altra narrazione, possa racchiudere insospettate strutture logiche, insiemistiche o aritmetiche. Poco più avanti, Rodari si pone una domanda: è lecito eseguire l'operazione opposta, cioè partire da una struttura logica, da un'idea insiemistica, e costruirvi una storia attorno? Certo, si risponde, ed ecco alcuni possibili giochi che scaturiscono da questa idea: per esempio chiedere a un bambino di enumerare gli insiemi dei quali lui fa parte e farli diventare mattoni per costruire racconti.
Ecco, questo gioco di snocciolare gli insiemi di cui facciamo parte evidentemente piaceva molto a Rodari, tanto è vero che vi fa riferimento in almeno altre due occasioni. La prima, davvero geniale, è una poesia rivolta a un pubblico adulto e intitolata appunto "Insiemi", che fu pubblicata nel 1968 dalla rivista letteraria "Il caffè" e riproposta nel 1984 nella raccolta "Il cavallo saggio".
La poesia inizia così:

Lo consolava la matematica degli insiemi.
Riflettendo sui suoi casi facilmente scopriva
di far parte di numerosi insiemi così catalogabili:
l’insieme degli uomini nati nel 1920,
l’insieme degli uomini nati nel 1920 tutt’ora viventi,
l’insieme di tutti i nati,
l’insieme di tutti i mancini,
l’insieme degli epatopatici,
l’insieme degli addetti al commercio,
l’insieme degli addetti al lavoro,
l’insieme delle persone che portano l’orologio al polso,
l’insieme dei mammiferi,
l’insieme dei bipedi
(di questi due insiemi egli occupava saldamente l’intersezione
senza l’imbarazzo di chi tiene il piede in due scarpe),
l’insieme degli abitanti della via Lattea,
la cui tabulazione sarà possibile
solo a completamento della sua esplorazione,
l’insieme di coloro che hanno schifo dei ragni,
l’insieme degli utenti della strada,
l’insieme degli italiani sopravvissuti alla seconda guerra mondiale,
l’insieme degli italiani che temono la terza,
l’insieme degli europei che abitano a sud di Francoforte sul Reno ma a nord del Busento,
a ovest di Saint-Tropez ma a est di Salonicco (...)

E avanti così, con una elencazione strepitosa e divertentissima, che fa uso anche di una terminologia tecnica appropriata, come in questo passaggio che tratta di "corrispondenza biunivoca":

l’insieme dei compratori di cravatte
(che non sta in corrispondenza biunivoca
con l’insieme dei portatori di cravatte,
stanteché molte mogli comprano cravatte ma non le portano
e molti mariti portano cravatte ma non le comprano)

oppure nel successivo frammento, dove si parla anche di insiemi infiniti, di sottoinsiemi, di insiemi disgiunti, di insiemi complementari, di insiemi vuoti (in questi ultimi Rodari inserisce anche un bell'esempio numerico e uno geometrico):

Col tempo si rese conto, non senza un sentimento di orgoglio,
di essere un elemento di un insieme infinito
quale è certamente al di là di ogni meschino dubbio
l’insieme degli uomini reali e degli uomini immaginari.
Scoprì con gioia di far parte di numerosi sottoinsiemi,
di insiemi universali,
di insiemi disgiunti,
di insiemi complementari.
Lo entusiasmò la certezza che mai, per soffiar di venti,
sarebbe precipitato in un insieme vuoto,
quale l’insieme degli uomini alti diciotto metri,
l’insieme dei presidenti della R. I. eletti prima del 1940,
l’insieme dei numeri pari divisori di tredici,
l’insieme dei ramarri parlanti, l’insieme dei rettangoli con cinque angoli,
l’insieme delle chitarre che fumano la pipa
e quello delle pipe che suonano la chitarra.

Rodari riesce addirittura a toccare il pericoloso concetto di "insieme di insiemi":

La celebre reinterpretazione in chiave "cinematografica"
del confronto tra Frege e Russell, realizzata da
Marco Fulvio Barozzi detto Popinga

Come avrebbe potuto sentirsi mai solo,
o temere per le sue difese personali,
contemplando l’insieme di tutti i suoi insiemi,
vedendolo crescere a vista d’occhio,
docile ai suoi comandi?

La possibilità di un qualsiasi insieme di insiemi fu implicitamente ammessa dal grande logico tedesco Gottlob Frege mediante il suo "principio di comprensione" (esso postulava che è lecito definire un insieme come aggregato di tutti e soli gli elementi che godono di una certa proprietà). Nel 1902 il filosofo e matematico inglese Bertrand Russell inviò a Frege una lettera con la quale mostrava che in base al principio di comprensione sarebbe stato possibile definire un insieme formato da tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elementi, e se ci chiediamo se questo insieme contiene se stesso oppure no, ci accorgiamo che entrambe le possibili risposte generano una contraddizione. La scoperta di questo "bug" nel principio di di comprensione gettò Frege in una profonda costernazione.

La trovata della lista degli insiemi viene riproposta da Rodari nel 1978 nel romanzo breve "C'era due volte il barone Lamberto". Nel poscritto 1, alla fine del primo capitolo, Rodari annota:

Rileggendo l'elenco delle collezioni del barone Lamberto mi accorgo di aver dimenticato: la collezione di carta igienica, quella dei fischietti da capostazione, quella delle cravatte per giraffa...
Ho conosciuto un tale di Massafiscaglia che faceva collezione di insiemi. "Stia bene attento, - mi spiegò una volta; - riflettendo sui miei casi ho scoperto di far parte dei seguenti insiemi: l'insieme degli uomini nati nel 1918, l'insieme degli uomini nati nel 1918 e tuttora viventi, l'insieme di tutti i nati, l'insiemi di tutti i mancini (...)

e avanti così, riutilizzando alcuni degli insiemi della poesia di dieci anni prima, in versione semplificata e adatta a un pubblico di ragazzi, fino a terminare in questo modo:

Ogni giorno aggiungo alla mia collezione nuovi insiemi e numerosi sottoinsiemi. Potrò mai sentirmi solo? Eserciti innumerevoli corrono al mio soccorso da tutte le parti del cosmo... Purtroppo non potrò mai far parte dell'insieme dei miei mobili. Da due settimane mi sforzo invano di far parte dell'insieme dei fiori finti. Mi potrebbe dare una mano?

La matematica di Gianni Rodari #1: Conway e il "Game of Life"

Gianni Rodari (1920-1980)

Qualche giorno fa ci ha lasciati il grande matematico inglese John Horton Conway, tra i più brillanti degli ultimi decenni.
Conway è stato anche un gigante della matematica ricreativa e inventore di numerosi geniali giochi matematici.
Che Conway vanti molte citazioni su articoli specialistici di matematica o in saggi scientifici divulgativi, non sorprende nessuno.
Credo tuttavia che una citazione risulti, per molte persone, sconosciuta e anche piuttosto sorprendente: il nome di Conway compare nientemeno che nel celebre saggio di Gianni Rodari "Grammatica della fantasia. Introduzione all'arte di inventare storie" (Einaudi, 1973).
Il riferimento all'accademico inglese è contenuto in una delle diciassette brevi "schede" che Rodari mise in fondo al volume, a integrazione dei quarantaquattro capitoli dell'opera.
Perché questa citazione?

Parto da un dato di fatto: Rodari era un grande appassionato di scienza, come traspare dalla sua opera letteraria, e leggeva regolarmente riviste come "Le Scienze".
Qualche anno fa un ottimo giornalista scientifico come Pietro Greco ha esplorato le incursioni rodariane nel mondo della scienza in un libro intitolato "L'universo a dondolo. La scienza nell'opera di Gianni Rodari" (Springer, 2011). Greco ha osservato che Rodari studiava "con sistematicità il rapporto complesso e bidirezionale tra scienza e fantasia. Nella convinzione che non solo la scienza serve alla fantasia, ma che la fantasia serve alla scienza".

La "Grammatica della fantasia",
capolavoro di Rodari

A Rodari questo mutuo legame stava molto a cuore. Se esploriamo il mondo della scrittura e delle trame, possiamo scoprirvi innumerevoli spunti di carattere scientifico, talvolta inseriti intenzionalmente, altre volte no. In questo senso la scienza serve alla fantasia. Più in particolare, Rodari ha spesso individuato nelle narrazioni di altri autori, e inserito nelle proprie, richiami di tipo matematico, legati per esempio alla logica, alla teoria degli insiemi, alla geometria.
Nel capitolo 37 della "Grammatica", intitolato significativamente "La matematica delle storie", Rodari si occupa proprio di mostrare come le strutture logico-matematiche ricorrono frequentemente nelle trame delle storie.

La scheda "Le storie della matematica" si apre con una di quelle frasi che da sole aprono alla mente sconfinati universi:

Accanto a una "matematica delle storie" (vedi cap. 37) ci sono anche delle "storie della matematica".

Ecco, Rodari suggerisce ora di capovolgere il punto di vista e di cercare non più la matematica nelle narrazioni, ma le narrazioni all'interno della matematica. Più in generale, come osserva Greco, "la fantasia serve alla scienza".

È una riflessione acuta e modernissima, questa di Rodari.
Fondamentale per chi, come me, fa il divulgatore e il docente, e deve ideare forme e modalità adatte per veicolare argomenti e concetti che spesso sono oggettivamente difficili per la gran parte del pubblico. Saper trasformare in narrazione ciò che solitamente viene pensato in una forma totalmente diversa, astratta e formale, può rappresentare un'arma vincente, uno strumento comunicativo di enorme efficacia.
In classe io l'ho constatato molte volte: quando riesco a proporre un argomento matematico sotto forma di storia, ottengo sempre risultati apprezzabili, a volte ottimi. La narrazione attiva nella mente di chi ascolta meccanismi emotivi che innalzano di molto l'attenzione e l'interesse.
Ecco allora che, anziché introdurre i numeri irrazionali con un approccio formale, lo si può fare raccontando la vicenda dei pitagorici alle prese con la scoperta dell'incommensurabilità tra le lunghezze del lato e della diagonale del quadrato. Invece di spiegare il calcolo combinatorio attraverso le definizioni tradizionali, si può partire dalla copertina di "Help!" dei Beatles, come ho fatto in "Matematica rock". E così via.
Ma naturalmente Rodari non si riferiva soltanto a un atteggiamento "narrativo" della trasmissione della scienza. Intendeva, più in generale, che la scienza e la matematica possono racchiudere, al loro interno, germi di storie: che questi vengano portati in superficie e sfruttati da insegnanti e divulgatori, è un'altra questione.
Si tratta, in fin dei conti, della stessa tesi che è stata sviluppata nel bellissimo "Matematica come narrazione" di Gabriele Lolli (Il Mulino, 2018), in cui si mostra come (cito dal risvolto di copertina) "nei programmi di grandi matematici i concetti sono i protagonisti di una fiaba che combina nuove idee in moduli ricorrenti, quelle tecniche del ragionamento che sono nate dalla retorica e dalla poesia greca".

L'autore delle "Favole al telefono" ha insistito più volte sulla bidirezionalità storie-fantasia, declinandola spesso in chiave matematica: per esempio, nel capitolo 44 della "Grammatica", troviamo una delle sue frasi più famose:

Le fiabe servono alla matematica come la matematica serve alle fiabe.

John H. Conway (1937-2020)

L'esempio di storie utili alla matematica che Rodari propone nella scheda chiama direttamente in causa John Conway:

Chi segue la rubrica Giochi matematici di Martin Gardner nella rivista "Scienze" (edizione italiana dello "Scientific American") mi ha già capito. I "giochi" che i matematici inventano per esplorare i loro territori, o scoprirne di nuovi, assumono spesso la caratteristica di "fictions" che stanno a un passo dall'invenzione narrativa. Ecco per esempio il gioco denominato "Vita", creato da John Norton Conway, un matematico di Cambridge ("Scienze", maggio 1971). 

Come lettore de "Le Scienze", il grande scrittore di Omegna apprezzava in particolare la rubrica "Giochi matematici", curata dal 1957 al 1980 (e anche successivamente, ma in modo non regolare) dal grande Martin Gardner. Se Rodari non fosse scomparso nel 1980, ancora cinquantanovenne, avrebbe sicuramente trovato illuminanti anche i "Metamagical Themas" (1981-1983) di Douglas Hofstadter e le "Computer/Mathematical recreations" di Alexander Dewdney (1984-1991).

La copertina del "Scientific American "
di ottobre 1970

Nel numero 223/4 (ottobre 1970) del "Scientific American", la rubrica "Mathematical Games" proponeva un articolo intitolato "The fantastic combinations of John Conway's new solitaire game 'Life'". "Le Scienze" pubblicò la traduzione italiana nel numero di maggio 1971, citato da Rodari.
Il "Game of Life" creato da Conway è il più celebre degli automi cellulari: la semplicità delle sue regole, combinata alla meravigliosa complessità delle strutture che riesce a generare, lo rendono uno degli esempi più stupefacenti di bellezza matematica.
In questo vecchio post avevo brevemente parlato di alcune delle sue proprietà.

Che cosa c'entrano le storie con il gioco di Conway? Lo stesso Rodari lo chiarisce benissimo subito dopo:

Esso consiste nel simulare sul calcolatore la nascita, la trasformazione e il declino di una società di organismi viventi. In questo gioco le configurazioni inizialmente asimmetriche tendono a diventare simmetriche. Il professor Conway le chiama: "l'alveare", "il semaforo", "lo stagno", "il serpente", "la chiatta", "la barca", "l'aliante", "l'orologio", "il rospo", ecc. Egli assicura che esse costituiscono "un meraviglioso spettacolo da osservare sullo schermo del calcolatore": uno spettacolo in cui, in fin dei conti, l'immaginazione contempla se stessa e le proprie strutture.

Io me lo immagino, il grande Rodari, a casa sua, nel maggio del 1971, intento a leggere l'articolo di Gardner e fantasticare sui pattern del "Game of Life". Chissà se per un attimo ha anche pensato di ambientare uno dei suoi racconti nel meraviglioso automa cellulare di Conway, facendo muovere rospi, barche, semafori e alianti in una delle sue storie geniali.

Quest'anno si celebra il centenario della nascita di Gianni Rodari. Lo scorso 14 aprile è stato il quarantennale della sua morte.
Ho deciso di offrire un piccolo contributo alla memoria di questo nostro grande autore pubblicando, con cadenza all'incirca settimanale (l'idea è di uscire ogni venerdì), un post dedicato alla "Matematica di Gianni Rodari". Questo è il primo.
L'ultimo coinciderà con il giorno del centenario, il 23 ottobre.
Spero che vi piaceranno.

Il coronavirus per fare matematica a scuola

In questo periodo di lockdown si è assistito a un fenomeno straordinario: alcuni argomenti matematici piuttosto tecnici, solitamente confinati nelle pagine degli articoli specialistici o dei testi scolastici o universitari di matematica, sono diventati oggetto di discussione anche tra i "non addetti ai lavori", nei talk show televisivi, nei social e sulle testate d'informazione. Questo fatto è allo stesso tempo positivo e negativo.

Positivo, perché ha mostrato a un pubblico molto vasto che la matematica è uno strumento decisivo per il monitoraggio e per la gestione di una situazione d'emergenza come quella che stiamo vivendo: ciò ha contribuito a togliere alla matematica quell'aura di disciplina astrusa e priva di applicazioni pratiche.
Negativo, perché esiste il rischio che questioni molto complesse e delicate vengano banalizzate e trattate con superficialità.

Per quanto mi riguarda, come divulgatore e ancor più come docente, mi sono accorto di alcuni fatti molto interessanti. Per prima cosa, gli argomenti matematici che in queste settimane sono stati toccati nel dibattito pubblico relativo alla pandemia di COVID-19, sono molto variegati, spaziando dalle funzioni esponenziali alle equazioni differenziali, dalle percentuali alla statistica, e così via.
Di più: ho constatato che praticamente (quasi) tutti gli argomenti di matematica che di solito vengono trattati nel corso della programmazione della scuola secondaria di primo e secondo grado (scuola media e superiore, per intenderci) potrebbero essere trattati ed esemplificati attingendo ai problemi e alle questioni che il virus ci sta ponendo.

Ho allora pensato di scrivere questo post per elencare gli argomenti in questione, dando per ciascuno un accenno di come i concetti matematici possano essere affrontati con riferimento alla pandemia.
Sia chiaro: il mio esercizio è poco più di un gioco elencativo, e non ha alcuna pretesa di essere uno studio accurato, esaustivo e dettagliato: l'intento è semplicemente suggerire, soprattutto ai colleghi, qualche spunto frettoloso, consapevole di dire cose che in gran parte sono già ben note e in molti casi anche messe in pratica.
Sì, perché sicuramente moltissimi docenti stanno impiegando questo periodo di didattica a distanza per portare avanti gli argomenti in un'ottica diversa dal solito, mostrando esempi e applicazioni legati all'ambito dell'epidemia.
L'occasione, secondo me, è assolutamente ghiotta: la matematica è salita alla ribalta delle cronache come forse non era mai successo prima, e sfruttare questo momento di popolarità è utile per veicolare gli argomenti verso gli studenti in modo molto più efficace.
Ecco allora il mio elenco (non badate troppo all'ordine che ho seguito, non necessariamente coincidente con quello/i adottato/i nelle scuole).

Numeri naturali e numeri interi
Usiamo i numeri naturali soprattutto per contare, ovviamente. Relativamente a una certa zona (l'Italia, per esempio), potremmo contare i nuovi casi di malati di COVID-19 in un certo giorno. Sommando questi numeri naturali per i diversi giorni di una settimana, o di un mese, otteniamo i nuovi casi in un periodo più lungo. Se poi consideriamo la differenza tra nuovi contagi e guarigioni nello stesso periodo, potremmo imbatterci (evenienza molto desiderabile) in numeri negativi. Variazioni sul tema possono portare a espressioni con numeri interi, anche con parentesi.

Frazioni e numeri razionali
Se dividiamo il numero di nuovi contagi per il totale della popolazione (sempre riferendoci a un certo periodo e a una certa area), otteniamo un numero che è più significativo del numero assoluto di casi. Questo numero sarà, in generale, una frazione, ovvero un numero razionale. Per esempio potremmo scoprire che un millesimo dell'intera popolazione si è infettata nell'intervallo di tempo considerato.
Altri esempi di frazioni che intervengono nel mondo delle epidemie sono il tasso di letalità, ovvero il numero di decessi fratto il numero di malati, oppure il tasso di mortalità, cioè il numero di decessi fratto la quantità totale della popolazione (sempre in un dato periodo).

Percentuali
Le percentuali saltano fuori molto facilmente quando si parla di COVID-19 o di epidemie in genere. Per esempio, moltiplicando per 100 le frazioni introdotte sopra otteniamo le corrispondenti percentuali. Ma si può ragionare anche su altre porzioni della popolazione (per esempio, rispetto al totale dei malati, si possono considerare le percentuali di quelli che mostrano sintomi lievi, medi o gravi, oppure dei ricoverati, degli isolati in casa, ecc.)

Proporzioni 
Possiamo usare le proporzioni come strumenti utili per trasformare una frazione in un'altra frazione avente un denominatore diverso: nel caso in cui quest'ultimo debba essere 100 stiamo operando la trasformazione della frazione nel relativo valore percentuale.

Potenze
Si possono tirare in ballo facilmente anche le potenze ipotizzando scenari in cui ogni contagiato infetta un numero fisso di altre persone in un dato intervallo di tempo. Naturalmente sto parlando di una situazione di crescita esponenziale, ma anche senza descrivere la questione utilizzando il concetto di funzione si può restare nell'ambito più elementare delle potenze (magari ricorrendo anche a narrazioni metaforiche come quella classica della scacchiera e dei chicchi di grano).

Equazioni e disequazioni 
Non è difficile, attingendo alle relazioni descritte fin qui, creare problemi che possano essere risolti mediante semplici equazioni, lineari o non lineari, intere o fratte.
Naturalmente si tratta di esercizi puramente didattici, visto che i modelli "seri" utilizzati per descrivere le dinamiche di un'epidemia ricorrono a equazioni differenziali (ne accennerò più avanti).

Statistica
Questa è evidentemente un'area assolutamente centrale nel nostro discorso. Abbiamo visto quanto sia importante poter disporre di dati di qualità e saperli usare correttamente per comprendere la situazione dell'epidemia e cercare di prevederne l'evoluzione futura. Le tabelle che ogni giorno vengono rese pubbliche per aggiornarci sul conteggio degli individui positivi, dei ricoverati, dei guariti, dei deceduti e così via, suddivise per regione o per provincia sono ottimi esempi per comprendere i concetti basilari della statistica descrittiva: popolazioni, unità statistiche, rilevazioni, caratteri e modalità, frequenze (assolute, relative e percentuali), seriazioni e serie statistiche, ecc.
Sono innumerevoli le attività e gli approfondimenti che si possono svolgere a partire da tabelle di questo tipo: per esempio esplorare le varie tipologie di rappresentazione grafica dei dati (istogrammi, aerogrammi, ortogrammi, cartogrammi con riferimento alle regioni o alle province italiane, ecc.), calcolare indici di posizione centrale (medie, moda, mediana) e di variabilità.

Calcolo combinatorio 
Nella seconda parte del mio post di febbraio sulla matematica delle epidemie mostravo come il calcolo combinatorio possa essere utile per conteggiare il numero di diverse coppie di individui che si possono creare in una popolazione: calcolo che può essere utile per fondare la formulazione di modelli descrittivi dell'epidemia.
Certamente questo ramo della matematica può essere chiamato in causa anche in altri modi, per esempio in quanti modi è possibile segmentare una classe in gruppi più piccoli (questione che potrebbe diventare importante nei prossimi mesi).

Probabilità 
In quest'area della matematica, il calcolo che viene in mente per primo è quello relativo alla probabilità che una persona presa a caso venga contagiata dal virus.
Nello stesso post che ho citato sopra viene descritto un possibile calcolo di questo genere, che parte da considerazioni combinatorie e rappresenta la base della formulazione dei modelli matematici come quello di Kermack-McKendrick.

Funzioni e grafici 
Siamo sommersi, ormai da molte settimane, da grafici che illustrano l'andamento nel tempo del numero di contagiati (e anche di guariti e di deceduti), relativamente a una singola regione o provincia, o a tutta l'Italia, o a un altro Paese, o a tutto il mondo.
La competenza relativa alla lettura e alla decifrazione di un grafico di questo tipo è assolutamente fondamentale per uno studente, ancor di più della capacità di studiare una funzione assegnata in forma analitica e rappresentarla graficamente.
L'analisi di alcuni grafici selezionati da articoli di questo periodo e relativi allo sviluppo della pandemia potrebbe rappresentare un'attività molto interessante: ovviamente dovrebbe essere svolta in un modo coerente con il grado di conoscenza degli studenti (per esempio distinguere una funzione lineare da una non lineare, oppure individuare gli intervalli in cui una funzione è crescente, o ancora studiare il segno, determinare le intersezioni con gli assi, fino ad arrivare agli asintoti, ai punti di massimo e minimo, e così via).

Rette, funzioni esponenziali e altro
Nel caso delle funzioni che descrivono l'andamento del contagio, sarebbe particolarmente interessante riconoscere alcuni andamenti speciali, soprattutto quello di tipo lineare e quello di tipo esponenziale (si veda anche il mio post sul tema).
Si è parlato molto, specialmente nelle settimane scorse, di crescita esponenziale, di curva logistica, di flesso: ecco, quale migliore occasione per consolidare questi concetti?

Limiti di funzioni 
Sempre in relazione alle funzioni e ai grafici, il limite è uno di quei concetti che crea maggiori difficoltà di comprensione. L'esemplificazione del virus potrebbe aiutare in questo senso: per esempio, considerando la funzione che descrive la variazione nel tempo del numero di contagiati, non dovrebbe essere difficile capire che il limite per t che tende a più infinito corrisponde a quanti contagiati ci saranno a lungo andare.

Derivate ed equazioni differenziali
Utilizzando come funzioni gli andamenti temporali del numero di contagiati, ma anche quelli del numero di suscettibili e di rimossi (guariti + deceduti+isolati, secondo il modello di Kermack-McKendrick), le derivate diventano importanti perché rappresentano il tasso di variazione di queste grandezze, e come tali intervengono nelle equazioni differenziali

Geometria 
Anche la geometria potrebbe essere chiamata in causa, per esempio nel proporre problemi relativi a questioni di distanziamento sociale tra persone. Il livello di difficoltà potrebbe variare molto, a seconda di come viene formulato il problema.

E qui mi fermo. Ma si potrebbe certo continuare, e soprattutto dettagliare molto di più di quanto ho fatto (ammesso che abbia senso farlo).
Certo, qualcuno potrà pensare: "anche prendendo un qualsiasi altro ambito reale diverso dal Coronavirus si poteva fare un esercizio del genere".
Può essere. Un altro ambito che, a mio parere, può offrire una varietà di spunti uguale e probabilmente superiore rispetto al COVID-19 e alle epidemie è rappresentato dalla questione climatica: qui gli agganci matematici utili a livello didattico sono davvero numerosissimi (esistono molti siti che sfruttano questa possibilità: tra tutti segnalo "Maths for Planet Earth - Climate Based Maths Questions for Students and Teachers", realizzato da un team dell'università di Oxford)
Ho però qualche dubbio che qualsiasi altro ambito reale possa offrire le stesse opportunità: se non altro, l'idea di partire proprio dal Coronavirus per parlare di matematica può essere vincente proprio perché, come dicevo all'inizio del post, questa tematica sta attraendo l'interesse di tutti e una lezione ancorata su tale ambito potrebbe motivare maggiormente gli studenti.

Chiudo con una riflessione. L'elenco di collegamenti che ho frettolosamente tracciato potrebbe interessare particolarmente i docenti delle classi quinte delle scuole superiori: nelle prossime settimane, infatti, potrebbe aver senso, anche in vista degli esami di Stato, fare un rapido percorso di ripasso dei "vecchi" argomenti utilizzando spunti come quelli che ho elencato.
In una prospettiva del genere, l'omogeneità dell'ambito reale dovrebbe aiutare i ragazzi a metabolizzare meglio i concetti matematici e a comprendere come un medesimo settore applicativo possa essere descritto e modellizzato ricorrendo a strumenti quantitativi diversi, a seconda dell'obiettivo che ci si pone o del problema reale che si deve risolvere.

Carnevale della Matematica #139 su MaddMaths!

Su MaddMaths! è uscita ieri l'edizione numero 139 del Carnevale della Matematica, dedicata alle crescite esponenziali.
Un Carnevale molto ricco di spunti e contributi degni di nota.
Anche Mr. Palomar ha contribuito, con il video dedicato al fascino dei grandi numeri e con la riproposizione del post sulla crescita esponenziale nell'ambito delle epidemie come quella che stiamo vivendo.

Questo Carnevale esce pochi giorni dopo la diffusione di una notizia che ha intristito tutti coloro che si occupano di matematica a vario titolo: la scomparsa, a quanto pare dovuta a COVID-19, del matematico inglese John Conway.
L'edizione carnevalesca ospitata da MaddMaths! ha dato il giusto rilievo alla figura di Conway, grande studioso di teoria dei gruppi e di altri settori della matematica e immenso maestro della matematica ricreativa.

Dopo aver appreso della morte di Conway, ho notato che molti dei post pubblicati in questo blog nel corso degli anni citano il celebre matematico. Elenco di seguito i principali, per chi desiderasse riscoprire alcuni dei fantastici giochi e delle suggestive scoperte del vulcanico studioso britannico:
Meraviglie possibili e impossibili con il cubo Soma (2011) - che cita una dimostrazione di Conway relativa al cubo Soma di Hein
Calcolatori-scacchiera per giocare alla vita (2012) - dedicato al famoso "Game of Life"
Germogli (2013) - dedicato al gioco "Sprouts"
I sistemi di Lindenmayer e la successione di Thue-Morse (2017) - che spiega cosa sono i numeri odiosi e malvagi di Conway

Il fascino dei grandi numeri

Dopo "La formula più bella del mondo", trasformata qualche giorno fa in un video, è il turno di un'altra mia conferenza, dedicata al tema dei grandi numeri: la tenni due anni fa al "Dolomiti in Scienza", rassegna organizzata dal Gruppo Divulgazione Scientifica Dolomiti di Belluno, associazione della quale faccio parte da ormai più di un decennio.

Spero che questo video possa piacervi e appassionarvi: è un tentativo di mostrare quanto la matematica contenga elementi sorprendenti e offra connessioni con molte altre discipline, per esempio la letteratura e addirittura i fumetti.

Buona visione!

 

Carnevale della Matematica #138 su Dropsea

È uscita oggi l'edizione 138 del Carnevale della Matematica, ospitato dal blog DropSea di Gianluigi Filippelli.
Oggi non è un giorno qualsiasi: è il Pi Day, certo, come ogni 14 marzo che si rispetti. Ma quest'anno questa data assume un'importanza ancora maggiore, perché diversi mesi fa l'UNESCO, su proposta dell'International Mathematical Union, aveva deciso che, a partire dal 2020, ogni 14 marzo sarebbe stato festeggiato come "Giornata Internazionale della Matematica" (IDM). 
In tutto il mondo erano stati organizzati centinaia di eventi: purtroppo l'attuale emergenza Coronavirus che sta sconvolgendo il pianeta ha portato all'annullamento di quasi tutte le manifestazioni previste.

Ma il Carnevale della Matematica, per sua fortuna, non teme alcun coprifuoco e può essere celebrato ugualmente: e Gianluigi Filippelli ha assolto al suo compito con grande maestria, regalandoci un'edizione molto ricca di spunti interessanti. Una lettura perfetta, insomma, per questi giorni di necessaria clausura in attesa che il virus esca di scena.

Strano a dirsi, Mr. Palomar ha contribuito generosamente, come non faceva da tempo immemore. C'è il post su Katherine Johnson, ci sono le due parti (prima e seconda) del post sulla Matematica delle epidemie, c'è l'articolo su Coronavirus e crescita esponenziale. 
Inoltre, in questo periodo di chiusura delle scuole, come sapete MaddMaths! ha lanciato la campagna #lascuolaconta, e anche Mr. Palomar ha dato un piccolo aiuto all'iniziativa: con un post introduttivo pubblicato su queste pagine, ma soprattutto con un articolo uscito su MaddMaths! stesso, nel quale ho parlato delle emozioni positive che la matematica può suscitare. In questo articolo ho anche raccontato un aneddoto personale, ambientato in un'aula scolastica, e ho inserito un video da me realizzato sul tema della bellezza matematica. Lo potete guardare anche qui sotto.
Questo filmato fa parte del mio canale YouTube, denominato semplicemente Paolo Alessandrini - Matematica. Vi invito a iscrivervi perché il canale sta crescendo giorno per giorno e offrirà sempre più materiale relativo alla matematica: conferenze spettacolo, videolezioni, filmati divulgativi, e così via.
Buona visione e buona lettura a tutti!

#lascuolaconta

In questi giorni di chiusura delle scuole e di sospensione delle attività a causa dell'epidemia del coronavirus, gli amici di MaddMaths!, il famoso sito di divulgazione matematica, hanno lanciato un'iniziativa intitolata #lascuolaconta, che mira a richiamare l'attenzione di ognuno di noi sull'importanza centrale della scuola, ma anche a offrire a studenti e docenti ciò che in questa fase diventa molto prezioso: materiale didattico, suggerimenti, spunti e idee su come insegnare e come apprendere.
Per quanto riguarda il primo obiettivo, be', io sono forse uno che può dire la sua sull'importanza della scuola: perché sono uno che, a un certo punto della sua vita (non esattamente in giovanissima età), ha deciso di averne abbastanza del lavoro come ingegnere informatico in azienda e ha scelto di calarsi nel girone infernale delle aule scolastiche, dei consigli di classe e dei collegi docenti.
Delle due l'una (o forse anche tutte e due): ho dimostrato pubblicamente di essere completamente pazzo (e l'ipotesi non è affatto da scartare), oppure ho capito che la scuola esercitava su di me un'attrazione fatale che non poteva non avere la meglio su qualsiasi considerazione di tipo economico, di carriera e di prestigio sociale.
Da dove nasce questa attrazione? Credo abbia a che fare con il forte desiderio di raccontare la matematica ai giovani in modo che la vedano con occhi nuovi. La mia è una sfida quotidiana (sì, anche adesso che le scuole sono chiuse, le modalità sono diverse ma il motore è lo stesso): cercare di far intravedere ai ragazzi anche soltanto un milionesimo della bellezza che la matematica è in grado di offrire. Consapevole del fatto che spesso il confronto quotidiano con loro aiuta spesso anche me a scoprire tanti altri generi di bellezza, che prima non conoscevo.

E il secondo obiettivo? Ho pensato di cogliere l'occasione dell'iniziativa #lascuolaconta per mettere a disposizione qualche piccolo e povero esempio di materiale didattico-divulgativo realizzato da me, per esempio:
1) un paio di conferenze di carattere divulgativo, la prima sul tema dei grandi numeri e la seconda sulla formula di Eulero (di nuovo, la bellezza!), da me tenute qualche tempo fa al "Dolomiti in Scienza" di Belluno: le offrirò, credo direttamente sul sito di MaddMaths!, in forma di video con slide e narrazione vocale;
2) alcune videolezioni che in questi giorni sto realizzando per i miei studenti e caricando sul mio canale YouTube (gli argomenti vanno dalle equazioni lineari ai sistemi lineari, dalle disequazioni fratte al calcolo combinatorio).

A presto, quindi, un po' qui e un po' su MaddMaths! Perché, in un periodo difficile come quello che stiamo vivendo ma anche nei momenti di tranquilla normalità, #lascuolaconta.
Eccome, se conta!

Coronavirus e crescita esponenziale

Quanto velocemente si sta propagando l'infezione da coronavirus?
Non essendo un virologo né un epidemiologo, posso soltanto affidarmi a quanto affermano gli esperti sulla base delle loro ricerche. In queste pagine cerco soltanto di proporre un po' di matematica e, anche in tema di epidemia, mostrare come i numeri ci possono aiutare a descrivere quanto sta accadendo attorno a noi.
Parlando appunto di velocità di propagazione del virus, un articolo reso noto pochi giorni fa (il 28 febbraio) da un team di ricercatori italiani dell'Università Statale di Milano (Alessia Lai, Annalisa Bergna, Carla Acciarri, Massimo Galli e Gianguglielmo Zehende), e accettato per la pubblicazione dal “Journal of Medical Virology”, ci fornisce alcune informazioni interessanti.
Innanzitutto, lo studio stima che l'epidemia abbia avuto origine tra la seconda metà di ottobre e la prima metà di novembre. Soltanto quando in Cina i ricoveri per polmonite hanno cominciato ad aumentare in maniera anomala si è compreso che ci si trovava di fronte a un nuovo e preoccupante virus. Per quanto riguarda l'Italia, l'infezione era probabilmente già presente prima di Natale (come ha scritto il direttore de "Le Scienze" Marco Cattaneo, "scordatevi la caccia all'untore, che il paziente zero ormai è come l'ago nel pagliaio").

Ricordate il famoso numero R₀, o tasso medio di riproduzione, di cui parlavo nel mio post sulla matematica delle epidemie (parti prima e seconda)? Ebbene, secondo i calcoli dei cinque scienziati il nuovo coronavirus mostra un R₀ globale uguale a circa 2,6 (il range possibile è compreso tra 2,1 e 5,1). In altre parole, ogni singola persona già contagiata dal virus infetta, in media, altre 2,6 persone, ipotizzando che tutta la popolazione sia esposta al contagio.

Come risulta chiaro se avete letto i miei post precedenti, con un un R₀ attestato su questi valori, decisamente maggiori di 1, il numero di individui infettivi non può che crescere in modo esponenziale, almeno finché il numero di guarigioni non comincia a diventare superiore al numero di contagi.

Questa deduzione è in linea con l'altra conclusione dello studio degli scienziati italiani: il tempo di raddoppio dell'epidemia è compreso fra 3,6 e 4,1 giorni.
Che cosa significa? In pratica, il numero di persone infettate raddoppia nel giro di quattro giorni circa.
Immaginiamo, ovviamente semplificando un po' (e utilizzando dati non del tutto corrispondenti alla realtà), che il tempo di raddoppio sia diventato, il giorno di Capodanno, uguale a 4 giorni esatti, e che da allora non sia più cambiato. Supponiamo anche che il primo gennaio i contagiati fossero 10 in tutto il mondo. Possiamo dedurre che il 5 gennaio erano diventati all'incirca 20, il 9 gennaio 40, il 13 gennaio 80, e così via.
In generale, se si potesse viaggiare a ritroso nel tempo e approdare al giorno in cui vi era una persona infettata dal virus (il famigerato "paziente zero"), occorrerebbe contare poi il numero di giorni trascorsi da quella data iniziale e dividerlo per 4. Il numero ottenuto è il numero di volte per cui dobbiamo raddoppiare l'1 originario, per calcolare il numero attuale di contagiati (questo vale però nell'ipotesi, per nulla realistica, in cui il tempo di raddoppio si sia mantenuto costante nel tempo: gli epidemiologi ci insegnano che in realtà esso varia abbastanza spesso, soprattutto nelle fasi iniziali del contagio).
Raddoppiare 1 per x volte significa elevare 2 alla x. Per esempio, raddoppiarlo 3 volte significa calcolare

La funzione in gioco, quindi, è del tipo

e si tratta della ben nota funzione esponenziale. Qui la base è stata presa uguale a 2 perché siamo partiti dall'idea del raddoppio. Avremmo potuto parlare, anziché di raddoppio, di triplicazione, e avremmo ottenuto una funzione del tipo

ma la sostanza del ragionamento non sarebbe per nulla cambiata, e la funzione sarebbe rimasta una funzione esponenziale, soltanto con base 3 anziché 2.
In generale, quando ci troviamo di fronte a un fenomeno che può essere descritto con una funzione esponenziale la cui base è maggiore di 1, abbiamo a che fare con qualcosa che cresce in modo accelerato, e che quindi tenderà a diventare molto grande se la legge con cui varia continuerà a essere di tipo esponenziale per molto tempo.

Ricordate la leggenda della scacchiera e dei chicchi di grano? La racconto sempre ai miei studenti quando parlo di funzioni esponenziali, o anche semplicemente quando in prima rinfresco loro la memoria sulle proprietà delle potenze. Secondo questa leggenda, l'inventore del gioco degli scacchi si presentò un giorno al palazzo del re per mostrargli la sua creazione. Il sovrano si appassionò tanto al nuovo gioco che si disse disposto a ricompensare l'inventore con qualunque cosa egli avesse desiderato. L'inventore disse che gli sarebbero bastati un chicco di grano sulla prima casella della scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro chicchi sulla terza, e così via, fino a raggiungere l'ultima casella. Dato che la scacchiera ha 64 caselle, il numero di chicchi sulla x-esima casella risulta uguale a

e per calcolare il numero totale di chicchi è necessario sommare tutte le potenze di questo tipo, con x che varia da 0 (la prima casella, dove 2 elevato alla zero è uguale a 1) a 63 (l'ultima casella della scacchiera). Il risultato del calcolo è più o meno uguale a 18 miliardi di miliardi di chicchi di grano: decisamente troppi, anche per il reame più sconfinato che possiamo concepire.

La leggenda rende l'idea del rapidissimo aumento che una crescita di tipo esponenziale può comportare. Ma non dobbiamo cadere nell'equivoco che un incremento esponenziale debba per forza essere più rapido di un incremento di tipo lineare.
Lo ha spiegato anche, riferendosi proprio alla crescita degli infettati dal nuovo coronavirus, il prof. Pier Luigi Lopalco, noto epidemiologo dell'Università di Pisa, in una intervista rilasciata il primo marzo a RAI News. Secondo Lopalco, è possibile che anche in alcune zone dell'Italia sia iniziata la fase della diffusione esponenziale del contagio. Ma, come afferma l'epidemiologo, questo non deve necessariamente preoccuparci.
Crescita esponenziale, infatti, significa che il numero di infettati raddoppia in un numero costante di giorni, ma se questo numero è molto grande, la diffusione potrebbe non essere esplosiva da subito: se poi la fase esponenziale del contagio termina in un tempo breve, l'aumento complessivo potrebbe non essere così marcato (già, perché, come ho mostrato nei due post precedenti, la fase esponenziale prima o poi deve finire).

Nel diagramma qui sotto, vediamo il grafico di una funzione esponenziale (in rosso) messo a confronto con un grafico lineare, cioè con una retta (in blu). Immaginiamo che sull'asse orizzontale (cioè delle x) ci sia il tempo, misurato in giorni, e sull'asse verticale (y) il numero di contagiati in due epidemie diverse.



La base della funzione esponenziale è maggiore di 1 (altrimenti non ci sarebbe nemmeno una crescita), ma è appena maggiore di 1 (precisamente, vale 1,05). Questo significa che il tempo di raddoppio dei contagi è piuttosto lungo: per l'esattezza, è uguale a più di 14 giorni. Esponenziale sì, quindi, ma moderata.
La retta, invece, ha un coefficiente angolare pari a 3, il che significa che gli infettati aumentano di 3 ogni giorno. Non è una crescita esponenziale, certo, ma è una progressione che inizialmente risulta più rapida dell'altra, che diviene esplosiva tardi.
Come si vede subito dal diagramma, non c'è storia: la curva blu si impenna in modo da distanziare decisamente la curva rossa: se le epidemie terminano in tempi brevi, diciamo non molto oltre i 120 giorni, quella ad aumento lineare avrà fatto danni ben maggiori di quella a diffusione esponenziale. Tutto dipende dall'orizzonte temporale: alla lunga, l'esponenziale vince sempre sulle rette, ma se la base è di poco superiore a 1, potrebbe servire molto, troppo tempo per il sorpasso.

Questo ragionamento rende evidente una verità che spesso sfugge a molte persone: parlare di crescita esponenziale non significa parlare genericamente di crescita rapida. Questo sia perché, come ho appena mostrato, un aumento esponenziale potrebbe essere tutt'altro che rapido, sia perché, al contrario, una grandezza può crescere rapidamente ma senza che il fenomeno sia di tipo esponenziale. Purtroppo molto spesso, nei titoli dei giornali, nelle trasmissioni televisive e nei social network, si sente usare l'espressione "crescita esponenziale" in modo improprio, intendendo appunto un aumento genericamente molto veloce.
Tanto per fare uno dei moltissimi possibili esempi, date un'occhiata a questo articolo apparso nel maggio del 2019: si parla nel titolo di "crescita esponenziale del mercato dei green bond", ma nel pezzo si ammette che c'è stato soltanto un aumento del 42% tra il primo trimestre del 2018 e il primo trimestre del 2019. Decisamente poco per poter definire la crescita "esponenziale"!
Insomma, questo è un esempio di come un termine matematico dal significato molto ben delimitato si è esteso al linguaggio comune perdendo la sua accezione precisa. Ma anche a questo, strano a dirsi, serve la matematica: a usare le parole in modo più appropriato.

In conclusione, riportando le nostre considerazioni al caso del nuovo coronavirus: è molto probabile che in Italia il contagio sia all'inizio della fase esponenziale crescente, ma ciò non deve essere motivo di ansia e pessimismo. Il tasso di riproduzione R₀ è stato stimato a livello globale, come ho detto all'inizio di questo post, attorno a 2,6: ma nel nostro Paese potrebbe anche avere un valore più basso, rendendo la curva esponenziale più prudente nelle sue fasi iniziali. Se poi l'epidemia dovesse raggiungere il picco, e quindi cominciare a diminuire, in tempi relativamente brevi, tutto tornerebbe alla normalità senza che siano stati rilevati danni particolarmente importanti. Vedremo nei prossimi giorni come evolverà la situazione.