domenica 19 aprile 2020

Il coronavirus per fare matematica a scuola

In questo periodo di lockdown si è assistito a un fenomeno straordinario: alcuni argomenti matematici piuttosto tecnici, solitamente confinati nelle pagine degli articoli specialistici o dei testi scolastici o universitari di matematica, sono diventati oggetto di discussione anche tra i "non addetti ai lavori", nei talk show televisivi, nei social e sulle testate d'informazione.
Questo fatto è allo stesso tempo positivo e negativo.
Positivo, perché ha mostrato a un pubblico molto vasto che la matematica è uno strumento decisivo per il monitoraggio e per la gestione di una situazione d'emergenza come quella che stiamo vivendo: ciò ha contribuito a togliere alla matematica quell'aura di disciplina astrusa e priva di applicazioni pratiche.
Negativo, perché esiste il rischio che questioni molto complesse e delicate vengano banalizzate e trattate con superficialità.

Per quanto mi riguarda, come divulgatore e ancor più come docente, mi sono accorto di alcuni fatti molto interessanti. Per prima cosa, gli argomenti matematici che in queste settimane sono stati toccati nel dibattito pubblico relativo alla pandemia di COVID-19, sono molto variegati, spaziando dalle funzioni esponenziali alle equazioni differenziali, dalle percentuali alla statistica, e così via.
Di più: ho constatato che praticamente (quasi) tutti gli argomenti di matematica che di solito vengono trattati nel corso della programmazione della scuola secondaria di primo e secondo grado (scuola media e superiore, per intenderci) potrebbero essere trattati ed esemplificati attingendo ai problemi e alle questioni che il virus ci sta ponendo.

Ho allora pensato di scrivere questo post per elencare gli argomenti in questione, dando per ciascuno un accenno di come i concetti matematici possano essere affrontati con riferimento alla pandemia.
Sia chiaro: il mio esercizio è poco più di un gioco elencativo, e non ha alcuna pretesa di essere uno studio accurato, esaustivo e dettagliato: l'intento è semplicemente suggerire, soprattutto ai colleghi, qualche spunto frettoloso, consapevole di dire cose che in gran parte sono già ben note e in molti casi anche messe in pratica.
Sì, perché sicuramente moltissimi docenti stanno impiegando questo periodo di didattica a distanza per portare avanti gli argomenti in un'ottica diversa dal solito, mostrando esempi e applicazioni legati all'ambito dell'epidemia.
L'occasione, secondo me, è assolutamente ghiotta: la matematica è salita alla ribalta delle cronache come forse non era mai successo prima, e sfruttare questo momento di popolarità è utile per veicolare gli argomenti verso gli studenti in modo molto più efficace.
Ecco allora il mio elenco (non badate troppo all'ordine che ho seguito, non necessariamente coincidente con quello/i adottato/i nelle scuole).

Numeri naturali e numeri interi
Usiamo i numeri naturali soprattutto per contare, ovviamente. Relativamente a una certa zona (l'Italia, per esempio), potremmo contare i nuovi casi di malati di COVID-19 in un certo giorno. Sommando questi numeri naturali per i diversi giorni di una settimana, o di un mese, otteniamo i nuovi casi in un periodo più lungo. Se poi consideriamo la differenza tra nuovi contagi e guarigioni nello stesso periodo, potremmo imbatterci (evenienza molto desiderabile) in numeri negativi. Variazioni sul tema possono portare a espressioni con numeri interi, anche con parentesi.

Frazioni e numeri razionali
Se dividiamo il numero di nuovi contagi per il totale della popolazione (sempre riferendoci a un certo periodo e a una certa area), otteniamo un numero che è più significativo del numero assoluto di casi. Questo numero sarà, in generale, una frazione, ovvero un numero razionale. Per esempio potremmo scoprire che un millesimo dell'intera popolazione si è infettata nell'intervallo di tempo considerato.
Altri esempi di frazioni che intervengono nel mondo delle epidemie sono il tasso di letalità, ovvero il numero di decessi fratto il numero di malati, oppure il tasso di mortalità, cioè il numero di decessi fratto la quantità totale della popolazione (sempre in un dato periodo).

Percentuali
Le percentuali saltano fuori molto facilmente quando si parla di COVID-19 o di epidemie in genere. Per esempio, moltiplicando per 100 le frazioni introdotte sopra otteniamo le corrispondenti percentuali. Ma si può ragionare anche su altre porzioni della popolazione (per esempio, rispetto al totale dei malati, si possono considerare le percentuali di quelli che mostrano sintomi lievi, medi o gravi, oppure dei ricoverati, degli isolati in casa, ecc.)

Proporzioni 
Possiamo usare le proporzioni come strumenti utili per trasformare una frazione in un'altra frazione avente un denominatore diverso: nel caso in cui quest'ultimo debba essere 100 stiamo operando la trasformazione della frazione nel relativo valore percentuale.

Potenze
Si possono tirare in ballo facilmente anche le potenze ipotizzando scenari in cui ogni contagiato infetta un numero fisso di altre persone in un dato intervallo di tempo. Naturalmente sto parlando di una situazione di crescita esponenziale, ma anche senza descrivere la questione utilizzando il concetto di funzione si può restare nell'ambito più elementare delle potenze (magari ricorrendo anche a narrazioni metaforiche come quella classica della scacchiera e dei chicchi di grano).

Equazioni e disequazioni 
Non è difficile, attingendo alle relazioni descritte fin qui, creare problemi che possano essere risolti mediante semplici equazioni, lineari o non lineari, intere o fratte.
Naturalmente si tratta di esercizi puramente didattici, visto che i modelli "seri" utilizzati per descrivere le dinamiche di un'epidemia ricorrono a equazioni differenziali (ne accennerò più avanti).

Statistica
Questa è evidentemente un'area assolutamente centrale nel nostro discorso. Abbiamo visto quanto sia importante poter disporre di dati di qualità e saperli usare correttamente per comprendere la situazione dell'epidemia e cercare di prevederne l'evoluzione futura. Le tabelle che ogni giorno vengono rese pubbliche per aggiornarci sul conteggio degli individui positivi, dei ricoverati, dei guariti, dei deceduti e così via, suddivise per regione o per provincia sono ottimi esempi per comprendere i concetti basilari della statistica descrittiva: popolazioni, unità statistiche, rilevazioni, caratteri e modalità, frequenze (assolute, relative e percentuali), seriazioni e serie statistiche, ecc.
Sono innumerevoli le attività e gli approfondimenti che si possono svolgere a partire da tabelle di questo tipo: per esempio esplorare le varie tipologie di rappresentazione grafica dei dati (istogrammi, aerogrammi, ortogrammi, cartogrammi con riferimento alle regioni o alle province italiane, ecc.), calcolare indici di posizione centrale (medie, moda, mediana) e di variabilità.

Calcolo combinatorio 
Nella seconda parte del mio post di febbraio sulla matematica delle epidemie mostravo come il calcolo combinatorio possa essere utile per conteggiare il numero di diverse coppie di individui che si possono creare in una popolazione: calcolo che può essere utile per fondare la formulazione di modelli descrittivi dell'epidemia.
Certamente questo ramo della matematica può essere chiamato in causa anche in altri modi, per esempio in quanti modi è possibile segmentare una classe in gruppi più piccoli (questione che potrebbe diventare importante nei prossimi mesi).

Probabilità 
In quest'area della matematica, il calcolo che viene in mente per primo è quello relativo alla probabilità che una persona presa a caso venga contagiata dal virus.
Nello stesso post che ho citato sopra viene descritto un possibile calcolo di questo genere, che parte da considerazioni combinatorie e rappresenta la base della formulazione dei modelli matematici come quello di Kermack-McKendrick.

Funzioni e grafici 
Siamo sommersi, ormai da molte settimane, da grafici che illustrano l'andamento nel tempo del numero di contagiati (e anche di guariti e di deceduti), relativamente a una singola regione o provincia, o a tutta l'Italia, o a un altro Paese, o a tutto il mondo.
La competenza relativa alla lettura e alla decifrazione di un grafico di questo tipo è assolutamente fondamentale per uno studente, ancor di più della capacità di studiare una funzione assegnata in forma analitica e rappresentarla graficamente.
L'analisi di alcuni grafici selezionati da articoli di questo periodo e relativi allo sviluppo della pandemia potrebbe rappresentare un'attività molto interessante: ovviamente dovrebbe essere svolta in un modo coerente con il grado di conoscenza degli studenti (per esempio distinguere una funzione lineare da una non lineare, oppure individuare gli intervalli in cui una funzione è crescente, o ancora studiare il segno, determinare le intersezioni con gli assi, fino ad arrivare agli asintoti, ai punti di massimo e minimo, e così via).

Rette, funzioni esponenziali e altro
Nel caso delle funzioni che descrivono l'andamento del contagio, sarebbe particolarmente interessante riconoscere alcuni andamenti speciali, soprattutto quello di tipo lineare e quello di tipo esponenziale (si veda anche il mio post sul tema).
Si è parlato molto, specialmente nelle settimane scorse, di crescita esponenziale, di curva logistica, di flesso: ecco, quale migliore occasione per consolidare questi concetti?

Limiti di funzioni 
Sempre in relazione alle funzioni e ai grafici, il limite è uno di quei concetti che crea maggiori difficoltà di comprensione. L'esemplificazione del virus potrebbe aiutare in questo senso: per esempio, considerando la funzione che descrive la variazione nel tempo del numero di contagiati, non dovrebbe essere difficile capire che il limite per t che tende a più infinito corrisponde a quanti contagiati ci saranno a lungo andare.

Derivate ed equazioni differenziali
Utilizzando come funzioni gli andamenti temporali del numero di contagiati, ma anche quelli del numero di suscettibili e di rimossi (guariti + deceduti+isolati, secondo il modello di Kermack-McKendrick), le derivate diventano importanti perché rappresentano il tasso di variazione di queste grandezze, e come tali intervengono nelle equazioni differenziali

Geometria 
Anche la geometria potrebbe essere chiamata in causa, per esempio nel proporre problemi relativi a questioni di distanziamento sociale tra persone. Il livello di difficoltà potrebbe variare molto, a seconda di come viene formulato il problema.

E qui mi fermo. Ma si potrebbe certo continuare, e soprattutto dettagliare molto di più di quanto ho fatto (ammesso che abbia senso farlo).
Certo, qualcuno potrà pensare: "anche prendendo un qualsiasi altro ambito reale diverso dal Coronavirus si poteva fare un esercizio del genere".
Può essere. Un altro ambito che, a mio parere, può offrire una varietà di spunti uguale e probabilmente superiore rispetto al COVID-19 e alle epidemie è rappresentato dalla questione climatica: qui gli agganci matematici utili a livello didattico sono davvero numerosissimi (esistono molti siti che sfruttano questa possibilità: tra tutti segnalo "Maths for Planet Earth - Climate Based Maths Questions for Students and Teachers", realizzato da un team dell'università di Oxford)
Ho però qualche dubbio che qualsiasi altro ambito reale possa offrire le stesse opportunità: se non altro, l'idea di partire proprio dal Coronavirus per parlare di matematica può essere vincente proprio perché, come dicevo all'inizio del post, questa tematica sta attraendo l'interesse di tutti e una lezione ancorata su tale ambito potrebbe motivare maggiormente gli studenti.

Chiudo con una riflessione. L'elenco di collegamenti che ho frettolosamente tracciato potrebbe interessare particolarmente i docenti delle classi quinte delle scuole superiori: nelle prossime settimane, infatti, potrebbe aver senso, anche in vista degli esami di Stato, fare un rapido percorso di ripasso dei "vecchi" argomenti utilizzando spunti come quelli che ho elencato.
In una prospettiva del genere, l'omogeneità dell'ambito reale dovrebbe aiutare i ragazzi a metabolizzare meglio i concetti matematici e a comprendere come un medesimo settore applicativo possa essere descritto e modellizzato ricorrendo a strumenti quantitativi diversi, a seconda dell'obiettivo che ci si pone o del problema reale che si deve risolvere.

4 commenti:

  1. Buongiorno Mr Palomar, posso inserire (come link) tutti i tuoi interventi sul covid nel mio blog, in modo che gli studenti trovino tutto in un unico posto?

    RispondiElimina
  2. Certamente! Anzi, la cosa mi fa molto piacere.
    I post di questo blog sono pubblicati con licenza "Creative Commons - Attribuzione - Non commerciale", il che significa che si possono condividere liberamente: basta citare l'autore.
    Posso chiedere, per curiosità, qual è il tuo blog?

    RispondiElimina
  3. https://buongiornoquadernoepenna.blogspot.com/2020/05/numeri-e-funzioni-per-un-esorcismo.html

    Ho inserito la parte collegata ai tuoi materiali dopo il video del Dipartimento di Matematica di Padova. E' un blog in forma embrionale. Partita tempo fa non sapevo bene cosa farmene, ora ho deciso di usarlo per raccogliere in un unico posto le cose che mi interessano e di cui posso aver bisogno. Grazie per quello che scrivi!

    RispondiElimina

La matematica di Gianni Rodari #9: Più uno!

Nella puntata precedente di questa serie ho parlato dei numeri fantastici introdotti da Rodari nel classico "A inventare i numeri&qu...