martedì 3 marzo 2020

Coronavirus e crescita esponenziale

Quanto velocemente si sta propagando l'infezione da coronavirus?
Non essendo un virologo né un epidemiologo, posso soltanto affidarmi a quanto affermano gli esperti sulla base delle loro ricerche. In queste pagine cerco soltanto di proporre un po' di matematica e, anche in tema di epidemia, mostrare come i numeri ci possono aiutare a descrivere quanto sta accadendo attorno a noi.
Parlando appunto di velocità di propagazione del virus, un articolo reso noto pochi giorni fa (il 28 febbraio) da un team di ricercatori italiani dell'Università Statale di Milano (Alessia Lai, Annalisa Bergna, Carla Acciarri, Massimo Galli e Gianguglielmo Zehende), e accettato per la pubblicazione dal “Journal of Medical Virology”, ci fornisce alcune informazioni interessanti.
Innanzitutto, lo studio stima che l'epidemia abbia avuto origine tra la seconda metà di ottobre e la prima metà di novembre. Soltanto quando in Cina i ricoveri per polmonite hanno cominciato ad aumentare in maniera anomala si è compreso che ci si trovava di fronte a un nuovo e preoccupante virus. Per quanto riguarda l'Italia, l'infezione era probabilmente già presente prima di Natale (come ha scritto il direttore de "Le Scienze" Marco Cattaneo, "scordatevi la caccia all'untore, che il paziente zero ormai è come l'ago nel pagliaio").

Ricordate il famoso numero R0, o tasso medio di riproduzione, di cui parlavo nel mio post sulla matematica delle epidemie (parti prima e seconda)? Ebbene, secondo i calcoli dei cinque scienziati il nuovo coronavirus mostra un R0 globale uguale a circa 2,6 (il range possibile è compreso tra 2,1 e 5,1). In altre parole, ogni singola persona già contagiata dal virus infetta, in media, altre 2,6 persone, ipotizzando che tutta la popolazione sia esposta al contagio.

Come risulta chiaro se avete letto i miei post precedenti, con un un Rattestato su questi valori, decisamente maggiori di 1, il numero di individui infettivi non può che crescere in modo esponenziale, almeno finché il numero di guarigioni non comincia a diventare superiore al numero di contagi.

Questa deduzione è in linea con l'altra conclusione dello studio degli scienziati italiani: il tempo di raddoppio dell'epidemia è compreso fra 3,6 e 4,1 giorni.
Che cosa significa? In pratica, il numero di persone infettate raddoppia nel giro di quattro giorni circa.
Immaginiamo, ovviamente semplificando un po' (e utilizzando dati non del tutto corrispondenti alla realtà), che il tempo di raddoppio sia diventato, il giorno di Capodanno, uguale a 4 giorni esatti, e che da allora non sia più cambiato. Supponiamo anche che il primo gennaio i contagiati fossero 10 in tutto il mondo. Possiamo dedurre che il 5 gennaio erano diventati all'incirca 20, il 9 gennaio 40, il 13 gennaio 80, e così via.
In generale, se si potesse viaggiare a ritroso nel tempo e approdare al giorno in cui vi era una persona infettata dal virus (il famigerato "paziente zero"), occorrerebbe contare poi il numero di giorni trascorsi da quella data iniziale e dividerlo per 4. Il numero ottenuto è il numero di volte per cui dobbiamo raddoppiare l'1 originario, per calcolare il numero attuale di contagiati (questo vale però nell'ipotesi, per nulla realistica, in cui il tempo di raddoppio si sia mantenuto costante nel tempo: gli epidemiologi ci insegnano che in realtà esso varia abbastanza spesso, soprattutto nelle fasi iniziali del contagio).
Raddoppiare 1 per x volte significa elevare 2 alla x. Per esempio, raddoppiarlo 3 volte significa calcolare


La funzione in gioco, quindi, è del tipo

e si tratta della ben nota funzione esponenziale. Qui la base è stata presa uguale a 2 perché siamo partiti dall'idea del raddoppio. Avremmo potuto parlare, anziché di raddoppio, di triplicazione, e avremmo ottenuto una funzione del tipo


ma la sostanza del ragionamento non sarebbe per nulla cambiata, e la funzione sarebbe rimasta una funzione esponenziale, soltanto con base 3 anziché 2.
In generale, quando ci troviamo di fronte a un fenomeno che può essere descritto con una funzione esponenziale la cui base è maggiore di 1, abbiamo a che fare con qualcosa che cresce in modo accelerato, e che quindi tenderà a diventare molto grande se la legge con cui varia continuerà a essere di tipo esponenziale per molto tempo.

Ricordate la leggenda della scacchiera e dei chicchi di grano? La racconto sempre ai miei studenti quando parlo di funzioni esponenziali, o anche semplicemente quando in prima rinfresco loro la memoria sulle proprietà delle potenze. Secondo questa leggenda, l'inventore del gioco degli scacchi si presentò un giorno al palazzo del re per mostrargli la sua creazione. Il sovrano si appassionò tanto al nuovo gioco che si disse disposto a ricompensare l'inventore con qualunque cosa egli avesse desiderato. L'inventore disse che gli sarebbero bastati un chicco di grano sulla prima casella della scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro chicchi sulla terza, e così via, fino a raggiungere l'ultima casella. Dato che la scacchiera ha 64 caselle, il numero di chicchi sulla x-esima casella risulta uguale a


e per calcolare il numero totale di chicchi è necessario sommare tutte le potenze di questo tipo, con x che varia da 0 (la prima casella, dove 2 elevato alla zero è uguale a 1) a 63 (l'ultima casella della scacchiera). Il risultato del calcolo è più o meno uguale a 18 miliardi di miliardi di chicchi di grano: decisamente troppi, anche per il reame più sconfinato che possiamo concepire.

La leggenda rende l'idea del rapidissimo aumento che una crescita di tipo esponenziale può comportare. Ma non dobbiamo cadere nell'equivoco che un incremento esponenziale debba per forza essere più rapido di un incremento di tipo lineare.
Lo ha spiegato anche, riferendosi proprio alla crescita degli infettati dal nuovo coronavirus, il prof. Pier Luigi Lopalco, noto epidemiologo dell'Università di Pisa, in una intervista rilasciata il primo marzo a RAI News. Secondo Lopalco, è possibile che anche in alcune zone dell'Italia sia iniziata la fase della diffusione esponenziale del contagio. Ma, come afferma l'epidemiologo, questo non deve necessariamente preoccuparci.
Crescita esponenziale, infatti, significa che il numero di infettati raddoppia in un numero costante di giorni, ma se questo numero è molto grande, la diffusione potrebbe non essere esplosiva da subito: se poi la fase esponenziale del contagio termina in un tempo breve, l'aumento complessivo potrebbe non essere così marcato (già, perché, come ho mostrato nei due post precedenti, la fase esponenziale prima o poi deve finire).

Nel diagramma qui sotto, vediamo il grafico di una funzione esponenziale (in rosso) messo a confronto con un grafico lineare, cioè con una retta (in blu). Immaginiamo che sull'asse orizzontale (cioè delle x) ci sia il tempo, misurato in giorni, e sull'asse verticale (y) il numero di contagiati in due epidemie diverse.



La base della funzione esponenziale è maggiore di 1 (altrimenti non ci sarebbe nemmeno una crescita), ma è appena maggiore di 1 (precisamente, vale 1,05). Questo significa che il tempo di raddoppio dei contagi è piuttosto lungo: per l'esattezza, è uguale a più di 14 giorni. Esponenziale sì, quindi, ma moderata.
La retta, invece, ha un coefficiente angolare pari a 3, il che significa che gli infettati aumentano di 3 ogni giorno. Non è una crescita esponenziale, certo, ma è una progressione che inizialmente risulta più rapida dell'altra, che diviene esplosiva tardi.
Come si vede subito dal diagramma, non c'è storia: la curva blu si impenna in modo da distanziare decisamente la curva rossa: se le epidemie terminano in tempi brevi, diciamo non molto oltre i 120 giorni, quella ad aumento lineare avrà fatto danni ben maggiori di quella a diffusione esponenziale. Tutto dipende dall'orizzonte temporale: alla lunga, l'esponenziale vince sempre sulle rette, ma se la base è di poco superiore a 1, potrebbe servire molto, troppo tempo per il sorpasso.

Questo ragionamento rende evidente una verità che spesso sfugge a molte persone: parlare di crescita esponenziale non significa parlare genericamente di crescita rapida. Questo sia perché, come ho appena mostrato, un aumento esponenziale potrebbe essere tutt'altro che rapido, sia perché, al contrario, una grandezza può crescere rapidamente ma senza che il fenomeno sia di tipo esponenziale. Purtroppo molto spesso, nei titoli dei giornali, nelle trasmissioni televisive e nei social network, si sente usare l'espressione "crescita esponenziale" in modo improprio, intendendo appunto un aumento genericamente molto veloce.
Tanto per fare uno dei moltissimi possibili esempi, date un'occhiata a questo articolo apparso nel maggio del 2019: si parla nel titolo di "crescita esponenziale del mercato dei green bond", ma nel pezzo si ammette che c'è stato soltanto un aumento del 42% tra il primo trimestre del 2018 e il primo trimestre del 2019. Decisamente poco per poter definire la crescita "esponenziale"!
Insomma, questo è un esempio di come un termine matematico dal significato molto ben delimitato si è esteso al linguaggio comune perdendo la sua accezione precisa. Ma anche a questo, strano a dirsi, serve la matematica: a usare le parole in modo più appropriato.

In conclusione, riportando le nostre considerazioni al caso del nuovo coronavirus: è molto probabile che in Italia il contagio sia all'inizio della fase esponenziale crescente, ma ciò non deve essere motivo di ansia e pessimismo. Il tasso di riproduzione R0 è stato stimato a livello globale, come ho detto all'inizio di questo post, attorno a 2,6: ma nel nostro Paese potrebbe anche avere un valore più basso, rendendo la curva esponenziale più prudente nelle sue fasi iniziali. Se poi l'epidemia dovesse raggiungere il picco, e quindi cominciare a diminuire, in tempi relativamente brevi, tutto tornerebbe alla normalità senza che siano stati rilevati danni particolarmente importanti. Vedremo nei prossimi giorni come evolverà la situazione.

2 commenti:

  1. La crescita esponenziale è ciò che ci si aspetta a tempi brevi.... Ma forse (teoricamente) anche a tempi lunghi se non si interviene per via farmacologica o comunque cercando di contenere la propagazione virale. Dal momento che i farmaci non agiscono allo stesso modo sui singoli pazienti, l'azione farmacologica deve essere necessariamente descritta da una variabile aleatoria. Ne consegue un'equazione differenziale stocastica, di difficile soluzione. Io ho utilizzato Mathematica, per simulare un white noise "filtrato" (brown noise) quale variabile aleatoria. Mathematica mi ha permesso di integrare la corrispondente equazione stocastica alla stregua di una equazione differenziale ordinaria. La soluzione è interessante: http://www.extrabyte.info/2020/03/02/un-modello-epidemiologico-basato-su-unequazione-differenziale-stocastica/

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