Buon compleanno, Alan

Oggi Alan Turing compirebbe 100 anni. Peccato sia morto, appena quarantaduenne, nel lontano 1954, e in circostanze tra l'altro alquanto incresciose (non per lui, ovviamente, ma per il governo inglese che troppo tardi e goffamente ha riconosciuto le proprie responsabilità).
Ma ve lo immaginate Turing oggi?
Sarebbe più giovane di Rita Levi Montalcini, di ben tre anni.
Ve lo immaginate, il fondatore dell'informatica teorica e dell'intelligenza artificiale, nell'epoca degli iPad e degli smartphone, dei computer quantistici e dei computer a DNA?
E ve lo immaginate, il crittoanalista che durante la seconda guerra mondiale decifrò il codice Enigma usato dai nazisti, alle prese con le problematiche di sicurezza della rete?
Buon compleanno, Alan.  L'informatica continuerà ad evolvere continuamente e rapidamente dal punto di vista tecnologico, come ha sempre fatto finora; nuovi framewok, linguaggi, sistemi operativi compariranno e sostituiranno i precedenti. Ma la base teorica di tutto questo, che conta molto più dei dettagli tecnologici, attingerà, anche fra mille anni, alle ricerche fondamentali di quell'uomo che, come nella favola di Biancaneve, si spense addentando una mela avvelenata.

Da Diego Bricio Hernandez ai Van Der Graaf Generator

Il mio professore di Analisi Matematica 1 (e poi anche 2) all'Università era messicano. Si chiamava Diego Bricio Hernandez, e aveva una faccia rotonda e simpatica. Ad ogni lezione dimostrava il suo genio matematico: riusciva a inventare al momento le dimostrazioni dei teoremi, e sapeva affascinare noi studenti con una visione della matematica che, ricordo bene, mi era sembrata improvvisamente diversa, molto più vasta, difficile e stimolante di quella che avevo studiato al liceo.
Dal febbraio 1992 il mio libretto poté vantare la presenza di ben due sue firme (in particolare quella accanto al 30 in Analisi 1): ma non avrei immaginato che quel brillantissimo matematico poco più che quarantacinquenne avrebbe terminato i suoi giorni pochi mesi dopo. In effetti lo seppi molti anni dopo, e mi dispiacque molto.
Tra i molti aneddoti legati a lui, ne ricordo uno: una mattina scrisse alla lavagna la celebre identità di Eulero

e disse: "Ragazzi, questa è la più bella formula della matematica. Guardatela. Ci sono tutte le cose più basilari della matematica: c'è il numero e, c'è i, c'è π, c'è lo zero, c'è l'uno, c'è l'addizione, c'è l'uguaglianza, c'è l'elevamento a potenza. C'è tutto. Non c'è una formula più bella di questa."

Anche il gruppo rock dei Van Der Graaf Generator, famoso soprattutto negli anni 70 nella stagione progressiva, ha reso omaggio a questa così elegante eguaglianza, nel brano intitolato semplicemente "Mathematics".

Il testo è alquanto significativo (lascio a voi l'onere della traduzione):

Here be numbers transcendental,
on an imaginary axis spun,
decimal places without limit
and zero and one.

Mathematics,
simply pure beyond belief.

e to the power of i times pi plus one is zero
e to the power of i times pi plus one is zero
e to the power of i times pi is minus one
e to the power of i times pi is minus one

A single function, exponential,
just one addition must be done...
multiplication in completion
of zero, of one.

Mathematics,
just so "wow" it brooks belief.

Quella definizione della matematica, "semplicemente pura in modo incredibile", rende bene la sensazione che il prof. Hernandez sapeva suscitare nelle sue lezioni.  Oltre alla sua attività accademica, viene ricordata anche quella legata alla divulgazione della matematica, e ciò non sorprende, data la sua capacità di trasmettere con naturalezza e, direi, leggerezza, il bello che si nasconde tra teoremi e numeri.
A distanza di più di vent'anni posso essere orgoglioso di essere stato uno dei suoi allievi.

Carnevale della Matematica #50 su Crescere creativamente

Con l'edizione di giugno, egregiamente ospitata dal blog "Crescere creativamente", il Carnevale della Matematica giunge ad un numero bello tondo di uscite: 50.
Il ragguardevole traguardo dimostra la grande salute e l'autorevolezza dell'iniziativa ideata, sulla falsariga dell'anglosassone Carnival of Mathematics, dal buon Maurizio Codogno alias .mau.
L'edizione allestita da Maestra Rosalba (volutamente "senza tema") è, come da tradizione, ricca di segnalazioni di notevole interesse; molto simpatici i disegni dei suoi alunni che hanno illustrato il post carnascialesco.
Mr. Palomar ha contribuito con le ultime due puntate del ciclo "Mr. Q", dedicato alla computazione quantistica (a propostito di Mr. Q, la quarta e ultima puntata uscirà entro pochi giorni!).
La prossima edizione del Carnevale sarà ospitata dal grande Popinga; data la concomitanza con le Olimpiadi londinesi e con la festa nazionale francese del 14 luglio, i temi saranno due: la matematica dello sport e la matematica in Francia da François Viéte a Cedric Villani.

Congratulazioni a Maestra Rosalba e a tutti i partecipanti al Carnevale!

Mr. Q #3: Circuiti, uova strapazzate e grovigli

Ora che è chiaro cosa sia un qubit e come possa essere realizzato (ad esempio tramite un fotone polarizzato o una particella dotata di spin), la domanda ovvia è: come possiamo utilizzare i qubit per realizzare calcoli o eseguire algoritmi?
Insomma, come sono fatti i computer quantistici?
Come i computer classici, sono costituiti da circuiti logici: con l'unica differenza sostanziale che essi manipolano informazioni quantistiche, caratterizzate cioè dal fenomeno della sovrapposizione e da altri esotiche proprietà che scopriremo nel seguito.
Supponiamo di avere un registro contenente un qubit, e immaginiamo che lo stato del registro sia 0. Abbiamo già visto che possiamo realizzare il registro con un fotone, e che facendo passare il fotone attraverso un polarizzatore posto a 45° rispetto alla verticale il fotone può passare dallo stato 0 allo stato sovrapposto |0> + |1>.
Un altro modo per ottenere la stessa sovrapposizione è utilizzare come registro, ad esempio, un atomo di rubidio, dotato di un elettrone esterno che può essere eccitato tramite un fascio di luce laser. Se chiamiamo 1 lo stato eccitato dell'atomo, e 0 quello fondamentale (cioè non eccitato), possiamo dire che il fascio laser funziona come un circuito logico che trasforma un qubit posto a 0 in un qubit posto a 1. Qualcosa di simile all'operatore logico NOT, che converte gli zeri in uni e viceversa.
Cosa accade però se sottoponiamo l'atomo di rubidio ad una luce laser dotata di un'energia pari al 50% di quella necessaria per eccitare l'atomo? A causa delle stranezze della fisica quantistica, l'atomo non rimane nello stato fondamentale, ma non entra nemmeno nello stato eccitato: avete indovinato, entra in uno stato di sovrapposizione del tipo |0> + |1>.
Ecco quindi un altro esempio di porta logica quantistica: in questo caso l'effetto è quello di prendere un qubit posto a 0 o a 1, e porlo in uno stato di sovrapposizione. Partendo dallo stato 0, e sottoponendo due volte il qubit a questo trattamento, il risultato è quello di eccitare completamente l'atomo, che quindi arriva nello stato 1 dopo essere passato attraverso lo stato sovrapposto.
Come ha affermato il matematico Brian Hayes, "è come se avessimo inventato una macchina che strapazza le uova e poi le fa tornare come prima".

Per costruire circuiti quantistici dobbiamo poter disporre di altri operatori logici. Uno di questi, noto come trasformata di Hadamard, è molto simile a quello che ho appena descritto, con l'eccezione che applicandolo due volte non si ottiene la commutazione da 0 a 1 o viceversa, ma il ritorno nello stato di partenza:

|0>  ---->  |0> + |1>  ---->  |0>

|1>  ---->  |0> -  |1>  ---->  |1>

 La porta logica descritta in precedenza, invece, funziona così:

|0>  ---->  |0> + |1>  ---->  |1>

 |1>  ---->  |1> -  |0>  ---->  -|0>

Ma questi operatori agiscono entrambi su un solo qubit, un po' come le classiche porte NOT presenti nei nostri computer: da sole non bastano per costruire un vero computer. Ci serve una porta che prenda più di un valore in ingresso, e butti fuori dei risultati secondo una certa tabella di verità, ad esempio come le porte AND e OR dei computer classici.
Nell'ambito della computazione quantistica, una porta di questo tipo che viene utilizzata molto è nota come "NOT controllato" o porta "C-NOT".
Come funziona questo operatore logico? In modo molto semplice. Gli ingressi sono due: il primo viene denominato "controllo" (control) e il secondo "bersaglio" (target). Il controllo attraversa la porta invariata, mentre il bersaglio viene commutato solo se il controllo è a 1.

Se immaginiamo che l'ingresso di controllo sia nello stato di sovrapposizione |0> + |1>, e che il bersaglio sia posto in ingresso a |0>. Cosa accade al bersaglio in uscita?

Ho detto che il bersaglio si inverte se il controllo è a 1, altrimenti rimane invariato. Ma il controllo, nel nostro caso, è sovrapposto, per cui si potrebbe dire che il bersaglio si inverte e al tempo stesso non si inverte (un po' come il famoso gatto di Schrödinger, vivo e morto insieme). Più precisamente, lo stato del bersaglio in uscita sarà sovrapposto, ma dipenderà dalla sovrapposizione del controllo: i due qubit di uscita sono, per così dire, strettamente legati tra loro, cosicché quando il controllo è nello stato |0> lo è anche il bersaglio, e quando il controllo è nello stato |1> lo è anche il bersaglio.

Insomma, lo stato complessivo in uscita può essere scritto come |00> + |11>: una sovrapposizione di stati in cui le due uscite o sono entrambe |0> o sono entrambe |1>.  Andando a misurare i due qubit in uscita non potremmo mai trovare i valori 01 oppure 10.

Secondo l'interpretazione a molti mondi, in metà universi il controllo vale 0 e quindi il bersaglio non si inverte, e nell'altra metà il controllo vale 1, provocando l'inversione del bersaglio.

I fisici quantistici conoscono bene questo tipo di correlazione tra qubit, e la definiscono come un "groviglio" tra i due qubit: i due stati sono infatti detti entangled.  Proprio come la canzone dei Genesis del 1976.

 

Carnevale dei libri di scienza #8: i libri del destino

E' valsa sicuramente la pena di aspettare qualche giorno per vedere pubblicata l'edizione n. 8 del Carnevale dei Libri di Scienza: questo mese è toccato al bel blog Gattivity di Emanuela Zerbinatti ospitare la rassegna di recensioni ideata e gestita da Daniele Gouthier di Scienza Express.
Il tema del mese è davvero stimolante: i libri del destino, cioè quelli che in qualche modo hanno influenzato le carriere scientifiche dei blogger partecipanti.

Come sempre, un Carnevale con molti spunti interessanti.
Mr. Palomar ha partecipato con un ricordo un po' nostalgico (perdonatemi: sapete com'è, quando si raggiunge una certa età si diventa così) di Isaac Asimov e delle rubriche "matematico-ricreative" delle Scienze.

Appuntamento al prossimo mese sul blog "Evolve or die" di Patrizia Martellini: protagoniste saranno le piante.
Buona lettura e buon carnevale a tutti!

Il "buon dottore" e il libro del destino

Frugando nella mia memoria alla ricerca del "libro del mio destino", sono giunto alla conclusione che più che un libro fu una rivista, anzi una sua particolare rubrica, a condizionarmi non poco nella scelta della facoltà universitaria (ingegneria) e a instillarmi l'amore per la disciplina che tuttora costituisce la mia professione, e cioè l'informatica.
Intorno al 1990, quando stavo per completare il liceo scientifico, una delle rubriche de "Le Scienze" era intitolata "(Ri)creazioni al calcolatore": era curata dal matematico e informatico canadese Alexander Dewdney, che aveva raccolto le pesantissime eredità di Martin Gardner e Douglas Hofstadter. Ricordo molto bene il piacere che provavo nel leggere quegli articoli riguardanti temi di matematica ricreativa, automi cellulari, algoritmi e giochi logici; e ricordo quanto il piacere si facesse ancora più intenso quando mi cimentavo nell'implementazione pratica al computer di quanto spiegato da Dewdney.


Ma lo so, una rivista non è un libro, e allora il mio cuore mi porta a scegliere un libro che non tratta né di matematica né di informatica, ma di astrofisica: "Il collasso dell'universo" di Isaac Asimov (Mondadori, 1977).  Lessi questo libro almeno due volte, da adolescente, rapito dall'inimitabile stile divulgativo del "buon dottore", rigoroso e al tempo stesso brillante.
Il tema centrale del saggio erano i buchi neri, ma la spiegazione si snodava gradualmente, partendo dalle particelle e dalle forze fondamentali della natura, introducendo a poco a poco i pianeti, le stelle, e arrivava all'argomento principale soltanto dopo aver creato una sufficiente tensione nel lettore: insomma più che un saggio divulgativo sembrava quasi di leggere un romanzo dalla trama avvincente.
Certamente questo libro ebbe su di me un forte ascendente, e contribuì a rafforzare la mia attrazione verso l'astronomia e la scienza in generale.
Ricordo bene anche una puntata di Mixer del 1989 in cui Minoli intervistava Asimov, e ricordo come nel 1992 la morte del grande divulgatore e scrittore mi addolorò molto.
Negli stessi anni in cui leggevo i saggi di Asimov, divorai anche molte delle sue opere di fantascienza, dal ciclo della Fondazione a "La fine dell'eternità": e anche queste letture hanno senza ombra di dubbio un posto d'onore tra i libri della mia vita.

Mr Q. #2: Chicchi di grano, monete e fotoni

Secondo un'antica leggenda, un mercante indiano si presentò un giorno al palazzo reale, per presentargli un gioco di nuova invenzione. Condotto alla presenza del sovrano, il mercante  aprì una scatola ed estrasse una tavola con 64 caselle bianche e nere. Sistemò su metà delle caselle 32 statuine di legno e spiegò al re le principali regole del gioco.
- Come volete chiamare questo gioco? - domandò il sovrano
- Lo chiamerei "gioco degli scacchi", sire.
- Il gioco che avete inventato è davvero sublime. Per questa nobile invenzione meritate una lauta ricompensa. Ditemi, cosa desiderate? Un palazzo? Una provincia dell'impero? Qualsiasi cosa chiediate vi sarà concessa.
- Sire, non desidero altro che un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, due chicchi per la seconda, quattro chicchi per la terza, otto per la quarta, e così via, raddoppiando ogni volta fino ad arrivare all'ultima casella.
Il re rise.
- Soltanto questo? Ma potete avere molto di più. Davvero vi accontentate di questi pochi chicchi di grano?
Il mercante confermò il suo desiderio, e il re, meravigliato dalla modestia del mercante, ordinò ai servitori che fosse subito esaudito. Quando i matematici di corte fecero i conti, informarono il re che per accontentare il mercante non sarebbero bastati i raccolti di tutto l'impero per mille anni.

In effetti, il mercante aveva chiesto 2⁰ = 1 chicchi per la prima casella, 2¹ = 2 per la seconda, 2² = 4 per la terza, e così via.  Il numero totale di chicchi è quindi 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁶³ = 2⁶⁴ - 1 = 18.446.744.073.709.551.615 (più di 18 miliardi di miliardi). Insomma, per accontentare il mercante, il re avrebbe dovuto consegnargli la produzione mondiale di grano di ben 3000 anni! 

Cosa ci insegna questa leggenda? A parte l'utile lezione che conviene sempre fare bene i conti prima di firmare qualsiasi contratto (e quindi la matematica serve), ci insegna che raddoppiando ripetutamente un numero si arriva molto rapidamente a quantità astronomiche.
Da ciò discende una curiosa conseguenza. Se volessimo dare un nome a ciascuno dei chicchi di grano guadagnati (almeno in teoria) dal furbo mercante, ci basterebbero 64 bit (cioè zeri e uni); in altri termini, mettendo in fila 64 bit si possono creare 18.446.744.073.709.551.615 diverse combinazioni.

In un computer classico, un registro da 64 bit può di volta in volta codificare un numero compreso tra 1 e 18.446.744.073.709.551.615.
In un computer quantistico, invece, un registro da 64 qubit contiene simultaneamente tutti quei numeri: tutti i chicchi di grano vinti dal mercante, nessuno escluso, sono nello stesso momento rappresentati in quel registro!
Se aggiungessimo nuovi qubit, il registro raddoppierebbe ogni volta la quantità di numeri rappresentabili, in una esplosiva escalation esponenziale (piaciuta l'allitterazione in e?).
Già un registro di soli 300 qubit conterrebbe in sè tanti numeri quante sono le particelle elementari nell'intero universo!

Non appena si va a leggere il contenuto del registro, però, questa coesistenza di numeri svanisce, un po' come i sogni che si dissolvono all'alba, e salta fuori uno e uno solo dei numeri che prima erano simultaneamente presenti in quei qubit.
Alcuni autori hanno proposto una metafora molto efficace: il bit classico è simile ad una moneta che viene lanciata e cade a terra mostrando una delle due facce; il qubit, invece, è paragonabile ad una moneta che, una volta lanciata, cade ma comincia a ruotare su se stessa, finché qualcuno non la fermi con la mano obbligandola ad esibire una delle due facce.



Gi studiosi di computazione quantistica si riferiscono a questa sorta di coabitazione di dati come "sovrapposizione", ma prima di loro erano i fisici quantistici a utilizzare questa parola.  I registri a qubit vengono infatti implementati nei computer quantistici tramite sistemi che obbediscono al fenomeno di sovrapposizione previsto dalla meccanica quantistica, del quale ho già accennato nel primo post di questa serie.

Un registro quantistico potrebbe, ad esempio, essere costituito da un fotone, che assume due possibili stati di polarizzazione (verticale o orizzontale).  Nella terminologia solitamente utilizzata in meccanica quantistica,  i due valori possono essere rappresentati rispettivamente con il simbolo |0> e con il simbolo |1>.

Supponiamo che un fotone polarizzato verticalmente venga fatto passare attraverso un polarizzatore posto a 45° rispetto alla verticale: se il fotone riesce a passare attraverso il polarizzatore, emergerà polarizzato diagonalmente a 45°. Questo stato particolare corrisponde in realtà ad una sovrapposizione degli stati di polarizzazione verticale e orizzontale. Secondo l'interpretazione a molti mondi, in metà degli universi il fotone avrà una polarizzazione verticale, e nell'altra metà presenterà una polarizzazione orizzontale.

Quando i due valori che si sovrappongono hanno la stessa probabilità di essere misurati, i fisici usano il simbolismo |0> + |1>.  Ma attenzione: quel segno + non indica una somma, ma appunto una sovrapposizione quantistica.  Per la verità, la sovrapposizione tra due stati equiprobabili |0> e |1>, dovrebbe essere indicata come

Questo perché nel simbolismo che rappresenta la sovrapposizione, i coefficienti dei due stati indicano le ampiezze degli stessi stati, e secondo la meccanica quantistica le rispettive probabilità sono uguali al modulo quadrato delle ampiezze. Dato che

 

la somme delle probabilità danno 1, cioè la certezza, come è giusto che sia.

Se le probabilità dei due stati sono diverse, possiamo esprimere la sovrapposizione con il simbolismo a|0> + b|1>, a condizione che sia  a² + b² = 1.

La meccanica quantistica, come ognuno sa, è una teoria strana, piena di fatti difficili da comprendere alla sola luce del buon senso. Tra le stranezze c'è anche il fatto che l'ampiezza associata ad uno stato può essere negativa. Non solo: i coefficienti possono addirittura essere numeri complessi. Ma non addentriamoci troppo in questi dettagli matematici.
Limitiamoci a prendere atto che sono perfettamente legittimi stati come - |0>, sovrapposizioni del tipo |0> - |1>, e così via.
Un modo efficace per rappresentare geometricamente i possibili valori di un qubit è la cosiddetta sfera di Bloch, sulla quale un qubit viene identificato come punto sulla superficie di una sfera di raggio unitario.

Così come i computer classici, anche i computer quantistici sono costituiti da circuiti logici, solo che in questo caso si tratta di circuiti che manipolano qubit anziché bit.

Vedremo nella prossima puntata come sono fatti questi circuiti logici, e ci avvicineremo al concetto di algoritmo quantistico.

Ho fatto un sogno

Se cercate su Google la frase inglese "I dreamed a dream" ("Ho fatto un sogno"), troverete una valanga di risultati relativi all'omonima canzone, scritta nel 1980 da Claude-Michel Schönberg e inclusa nel musical "Le Misérables".  Troverete, in particolare, un sacco di riferimenti alla recente interpretazione di Susan Boyle, ma io preferisco proporvi la versione di Aretha Franklin:



Naturalmente, non è mia intenzione scrivere un post sulla canzone intitolata "I dreamed a dream"; mi interessa invece segnalare come lo stesso verso (anche se con il verbo "dreamed" in forma contratta) si trova all'interno del testo della tragedia "Romeo e Giulietta" di William Shakespeare (e da buon veronese, lasciatemi un po' commuovere nel citare quest'opera, e anche nel riportare qui sotto una locandina d'epoca).
Precisamente, nella scena 4 del primo atto, Mercuzio cerca di convincere l'amico Romeo ad andare alla festa dei Capuleti, ma Romeo dice che non andrà, a causa di un sogno che ha fatto. Mercuzio, anziché chiedere che cosa ha sognato, accusa i sognatori di essere menzogneri e ridicolizza le preoccupazioni dell'amico.


Romeo:         I dream’d a dream to-night.
Mercutio:      And so did I.
Romeo:         Well, what was yours?
Mercutio:      That dreamers often lie.
Romeo:         In bed asleep, while they do dream things true.
Mercutio:      O, then, I see Queen Mab hath been with you. She is the fairies’ midwife, and she comes...

Se desiderate una traduzione, ve ne propongo una mia:

Romeo:         Stanotte ho fatto un sogno.
Mercuzio:      Anch'io.
Romeo:         Ah sì? E che cosa hai sognato?
Mercuzio:      Che quelli che sognano spesso mentono.
Romeo:         Sì, stanno a letto a dormire. E sognano cose vere.
Mercuzio:      Oh, ma certo! La regina Mab è venuta a trovarti. Lei è la levatrice delle fate, e viene...

In italiano, purtroppo, si perde il gioco di parole (in inglese pun) legato al verbo inglese lie, che significa "mentire" ma anche "giacere".  Mercuzio vuole sostenere che i sogni sono spesso bugiardi (often lie), ma Romeo raccoglie al volo l'imbeccata riportando l'attività del sognare nel giusto luogo (in bed asleep) e ribadendo la veridicità del contenuto dei sogni.
La frase più celebre di questa scena, e anche quella più interessante dal punto di vista della logica, è la battuta di Mercuzio: That dreamers often lie.

Ricordate il paradosso del mentitore? Ne ho parlato più volte anche in questo blog (ad esempio in questo e in questo post). L'affermazione di Mercuzio sembra un'ulteriore versione della celebre antinomia.  Se tralasciamo per un attimo l'avverbio often, il senso della frase di Mercuzio è che i sogni mostrano (sempre) cose false. Ma il guaio è che, per sua stessa ammissione, questa verità Mercuzio l'ha sognata, e quindi è soggetta alla stessa infondatezza. Quindi non è vero che i sogni sono bugiardi, e da ciò consegue che lo stesso sogno di Mercuzio è da considerarsi attendibile: ma il sogno diceva che i sogni mentono, e quindi...

Eccoci ricaduti nella millenaria voragine logica che secondo la leggenda fece impazzire il filosofo Fileta, e che in tempi più recenti fu sottilmente riformulata da Gödel nel rivoluzionario teorema di incompletezza.
Forse che anche Shakespeare, spaventato dalle conseguenze paradossali della battuta di Mercuzio, inserì quell'avverbio often per attenuare la perentorietà dell'asserzione?

Carnevale della Matematica #49 su .mau.

Il Carnevale della Matematica è sempre un grande evento; quando poi ad ospitarlo è il Fondatore, cioè .mau. al secolo Maurizio Codogno, lo è ancora di più.

L'edizione numero 49 è dedicata al tema dei "numeri strani", ma accoglie molti contributi anche a tema libero (come i due di Mr. Palomar, dedicati al senso della matematica in "1Q84" di Murakami e alla prima puntata di un nuovo ciclo di post sulla computazione quantistica).

Il buon .mau. ha messo insieme una stuzzicante carrellata di post di grande interesse (compresi i suoi, come sempre in gran quantità e di gran qualità...). Se fossi in voi non mi perderei questo Carnevale per nulla al mondo!
E buona lettura!

Mr Q. #1: Borges, Paperino e il computer quantistico

Nel 1941 il grande scrittore argentino Jorge Luis Borges pubblicava una raccolta di racconti intitolata "Il giardino dei sentieri che si biforcano". L'ultimo racconto, famosissimo, dava il titolo all'intera raccolta, ma anche nel resto del libro comparivano alcuni capolavori dell'opera di Borges, come "La biblioteca di Babele", "Tlön, Uqbar, Orbis Tertius" e "Pierre Menard, autore del Chisciotte".
Tre anni dopo i racconti vennero ripubblicati in una raccolta più ampia, la celebre "Finzioni", nella quale appariva una seconda parte con alcune storie inedite.

Nel "Giardino dei sentieri che si biforcano" sono narrate le vicissitudini di un tale Yu Tsun, professore cinese che fa la spia per i tedeschi durante la prima guerra mondiale. Parlando con Stephen Albert, uno studioso di  letteratura cinese, Yu Tsun ricorda il suo celebre antenato Ts'ui Pen, noto per avere scritto un romanzo contraddittorio e per aver costruito un labirinto che nessuno è mai riuscito a ritrovare. Albert spiega che in realtà libro e labirinto sono la stessa opera: non un labirinto fisico, ma un labirinto simbolico, un romanzo che attraverso una struttura ad albero infinitamente ramificata descrive tutti i futuri possibili di un evento.

- Prima di ritrovare questa lettera, m'ero chiesto in che modo un libro potesse essere infinito. (...) In tutte le opere narrative, ogni volta che s'è di fronte a diverse alternative ci si decide per una e si eliminano le altre; in quella del quasi inestricabile Ts'ui Pên, ci si decide - simultaneamente - per tutte. Si creano, così, diversi futuri, diversi tempi, che a loro volta proliferano e si biforcano. Di qui le contraddizioni del romanzo. 

(...)
- Precisamente , - disse Albert. - Il giardino dei sentieri che si biforcano è un enorme indovinello, o parabola, il cui tema è il tempo. (...) A differenza di Newton e di Schopenhauer, [Ts'ui Pên] non credeva in un tempo uniforme, assoluto. Credeva in infinite serie di tempo, in una rete crescente e vertiginosa di tempi divergenti, convergenti e paralleli. Questa trama di tempi che si accostano, si biforcano, si tagliano o s'ignorano per secoli, comprende tutte le possibilità. Nella maggior parte di questi tempi noi non esistiamo; in alcuni esiste lei e io no; in altri io, e non lei; in altri, entrambi.

Nel saggio "Il programma del'universo" (Einaudi, 2006), il fisico e informatico americano Seth Lloyd racconta che un giorno di primavera del 1983 se ne stava a bere champagne con alcuni compagni di studi nel giardino del Master dell'Emmanuel College, a Cambridge (bè, beato lui: quando studiavo a Padova era già tanto concedersi ogni tanto una birra media). Ad un certo punto si intromise una signora per far notare ai bravi giovincelli che seduto poco più in là c'era niente meno che il più grande scrittore vivente, Jorge Luis Borges, e sarebbe valsa la pena di parlargli. Seth Lloyd si avvicinò all'anziano signore e gli domandò se era consapevole del fatto che "Il giardino dei sentieri che si biforcano" rifletteva la cosiddetta "interpretazione a molti mondi" della meccanica quantistica.  Borges rispose che quando scrisse il racconto non lo fece sotto l'influenza della fisica quantistica, e d'altra parte non era sorpreso del fatto che le leggi della fisica potessero rispecchiare artifici letterari: dopo tutto, anche i fisici leggono libri.

L'"interpretazione a molti mondi" della meccanica quantistica venne proposta dal fisico Hugh Everett nel 1957, una quindicina di anni dopo la pubblicazione del racconto di Borges.

Prima del lavoro di Everett, la meccanica quantistica veniva giustificata unicamente secondo l'interpretazione di Copenaghen, così chiamata perché ispirata ai lavori condotti da Heisenberg e Bohr in Danimarca, negli anni Venti del secolo scorso.
In base a tale visione, quando si effettua la misurazione di un parametro quantistico, come lo spin di una particella, dobbiamo aspettarci di osservare uno dei due valori possibili, up e down, con una certa probabilità per ciascuna delle due alternative (ad esempio la stessa probabilità).  

Finché non viene eseguita la misurazione, il sistema permane in una sorta di sovrapposizione di stati, come avviene nel famoso esperimento mentale del gatto di Schrödinger, in cui prima che qualcuno vada ad aprire la gabbia il felino è al tempo stesso vivo e morto.

Secondo l'interpretazione a molti mondi, invece, quando andiamo a misurare lo spin di una innocua e microscopica particella, succede un fatto di proporzioni addirittura cosmiche: la storia dell'universo si biforca (non si sa bene come faccia a farlo) in due, e in ciascuno dei due universi risultanti si verifica un diverso esito della misurazione.

E' facile comprendere il motivo per cui la proposta di Everett abbia sempre incontrato molti ostacoli: il fatto di dover ricorrere all'esistenza di più universi soltanto per evitare l'aspetto probabilistico dell'interpretazione classica (il celebre "Dio che gioca a dadi") è sembrato a molti un postulato troppo ingombrante e difficile da giusticare.
Più precisamente, secondo l'interpretazione di Copenaghen dobbiamo fare i conti con una realtà intrinsecamente indeterminata e aleatoria, mentre nella visione a molti mondi l'indeterminazione si sposta su un piano soggettivo.

Nonostante le difficoltà, l'interpretazione di Everett ha riscosso negli ultimi decenni il favore di molti studiosi, tra i quali il fisico inglese David Deutsch, autore del famoso saggio divulgativo "La trama della realtà".
Secondo Deutsch, il modo migliore di spiegare la meccanica quantistica non è la visione classica della scuola di Copenaghen, ma è proprio l'interpretazione a molti mondi.

Nel racconto di Borges di cui ho parlato all'inizio di questo post, la storia dell'universo si biforca ogni volta che s'è di fronte a diverse alternative; nella teoria di Everett accade esattamente la stessa cosa, cioè la biforcazione avviene ogni volta che un qualsiasi evento che risente di una indeterminazione di tipo quantistico viene osservato.
D'altra parte, l'interpretazione a molti mondi è il corrispettivo scientifico di un topos largamente utilizzato dalla fantascienza e dalla fiction in generale: il tema degli universi paralleli (o alternativi), o, se preferite, del multiverso.
A parte il racconto di Borges, che peraltro anticipava in modo quasi perfetto la visione di Everett, sono innumerevoli gli esempi narrativi di ogni epoca che sono ambientati in un contesto "multiversale": l'esistenza di più realtà o dimensioni parallele costituisce infatti un espediente di formidabile potenza per giustificare intrecci fantastici dagli infiniti risvolti.
Ad esempio, uno scrittore di fantascienza che volesse ammettere la possibilità dei viaggi del tempo, ma desiderasse anche mantenere un certo rigore logico nelle sue trame, si scontrerebbe contro alcuni noti e fastidiosissimi paradossi temporali, e uno degli escamotage più eleganti è rappresentato dal postulare l'esistenza di infiniti universi (chi volesse approfondire questi temi può trovare spunti interessantissimi nel bel saggio di Renato Giovannoli "La scienza della fantascienza", edito da Bompiani nel 2001).
Il tema degli universi paralelli si ritrova anche in moltissimi film, serie televisive, fumetti e cartoni animati, e perfino nei testi di taluni brani di musica rock. Non ci credete? Eccovi allora un brano intitolato "The multiverse" della band canadese Voivod.



E se al destabilizzante metal trash punk preferite le rassicuranti storie di Topolino, eccovi accontentati: sui numeri 2717, 2718, 2719 e 2720 di Natale 2007 usciva una storia a puntate intitolata "Universi pa(pe)ralleli", nella quale Paperino, Paperina, zio Paperone e Paperoga si ritrovano a viaggiare attraverso diverse Paperopoli alternative a bordo di uno strano ipercubo.
In un numero di una ventina d'anni prima, Topolino e Pippo furono protagonisti di una "storia a bivi", nella quale esistono punti di snodo dai quali la storia può proseguire verso più futuri possibili. In una storia a bivi come quella vissuta da Topolino e Pippo, però, ad ogni bivio il lettore deve scegliere una delle vie possibili, scartando le altre: esattamente come Borges diceva delle opere narrative tradizionali (ogni volta che s'è di fronte a diverse alternative ci si decide per una e si eliminano le altre), e un po' come avveniva nei libri-gioco che andavano di moda qualche anno fa.
Gli universi pa(pe)ralleli di Paperino, invece, assomigliano molto di più al giardino narrativo descritto da Borges, perché ad ogni bivio non si sceglie una sola delle direzioni possibili, ma ci si decide - simultaneamente - per tutte.
La differenza è fondamentale, proprio come la differenza tra l'interpretazione di Copenaghen e quella dei molti mondi di Everett e Deutsch.

Ma tutto questo cosa c'entra con l'informatica e la computazione?
David Deutsch, oltre ad essere uno dei fisici più favorevoli all'ipotesi del multiverso, è considerato uno dei pionieri del computer quantistico.
Nei computer che utilizziamo oggi, l'informazione viene misurata in bit. Un bit (contrazione di "binary digit", cioè cifra digitale) è l'unità elementare dell'informazione, e corrisponde alla scelta tra due valori possibili (ad esempio, 0 oppure 1). Ogni informazione che viene elaborata dai nostri computer è rappresentata come combinazione di molti zeri e uni, così come ogni numero può essere espresso come sequenza di più cifre.
Ragionando in termini quantistici, nulla ci vieta di immaginare un "bit quantistico", o qubit, cioè un bit che può assumere simultaneamente più valori binari. Dobbiamo immaginare un ipotetico registro corrispondente a un qubit come un contenitore nel quale trovano posto, allo stesso tempo, il valore 0 e il valore 1.
Ad implementare fisicamente il registro potrebbe essere, ad esempio, una particella il cui spin che può assumere un valore up oppure un valore down. Secondo la meccanica quantistica, lo stato quantico della particella permane in uno stato di sovrapposizione fintantoché il registro non viene letto.

Ma cosa accade quando il computer va a leggere il valore memorizzato nel registro-particella? Se aderiamo all'interpretazione a molti mondi, dobbiamo immaginare che l'universo si biforchi in infiniti universi: in alcuni di questi il registro conterrà il valore 0, in altri il valore 1.  Secondo l'interpretazione tradizionale, invece, la lettura del registro farà collassare lo stato quantico secondo un meccanismo probabilistico.

Ovviamente, il numero di universi nei quali, secondo l'interpretazione di Everett, il registro assumerà il valore 0 è strettamente imparentato con la probabilità che, secondo l'interpretazione di Copenaghen, lo stato quantico collassi nel valore 0 al momento della misurazione.

In entrambi i casi, potremmo immaginare il nostro registro da un qubit come una cella di memoria che, prima che venga letta, può assumere valori intermedi tra 0 e 1: più vicino il valore è 0, maggiore è la probabilità che la lettura del registro restituisca il valore 0; o, se preferite, maggiore è il numeri di universi paralleli in cui il registro, dopo la lettura, ha il valore 0.
 
Ma attenzione: non dobbiamo commettere l'errore di immaginare un qubit come una sorta di bit analogico, che può assumere un continuum di valori compresi tra 0 e 1: nell'istante in cui il qubit viene osservato, infatti, esso potrà assumere soltanto il valore 0 oppure il valore 1, e nessun altro valore.
Nelle prossime puntate di questa nuova serie di post dedicati alla computazione quantistica, mi addentrerò più da vicino nel significato del qubit e nei possibili utilizzi di un computer quantistico.
Alla prossima!

Come lo scorrere dell'acqua

  - Che cosa mi piace della matematica? - disse Tengo, rivolgendo di nuovo a se stesso la domanda di prima, per distrarre la propria attenzione dalle dita e dal seno della ragazza. - La matematica è come lo scorrere dell'acqua. Naturalmente le teorie sono numerose e abbastanza complicate, ma la logica fondamentale è molto semplice. Come l'acqua che scorre dall'alto verso il basso seguendo il percorso più breve, anche la matematica non ha che un unico flusso. Se lo si osserva a lungo, con attenzione, quel percorso emerge da solo. Basta che ti limiti a guardarlo, senza fare nulla. Se ti concentri e guardi con attenzione, tutto si chiarisce da sè. In questo grande mondo non c'è nessuno che mi tratti con tanta gentilezza, a parte la matematica.
  Fukaeri ci pensò su per un po'.
  - Perché scrive romanzi, - chiese, senza nessun accento nella voce.
  Tengo tradusse la frase in una domanda più lunga.
  - Visto che la matematica per me è così piacevole, perché dovrei sforzarmi di scrivere romanzi? Non farei meglio a occuparmi solo di matematica? E' questo che vorresti sapere?
  Fukaeri annuì.
  - Vediamo... La vita vera è diversa dalla matematica. Nella vita le cose non scorrono scegliendo il percorso più breve. La matematica per me è, come dire, troppo naturale. Assomiglia a un bellissimo paesaggio. Qualcosa che semplicemente sta lì. Non c'è bisogno di sostituire nulla. Nel mondo della matematica, ogni tanto ho la sensazione di stare a poco a poco diventando trasparente. E a volte mi fa paura.
  Fukaeri continuava a guardare in faccia Tengo, senza mai distogliere lo sguardo. Come se spiasse in un appartamento vuoto con il viso incollato al vetro della finestra.
  Tengo disse:
  - Quando scrivo, usando le parole sostituisco il paesaggio che mi circonda con qualcosa che per me è molto più naturale. Cioè lo ricompongo. Solo così riesco ad accertare che questa persona chiamata "io" esiste davvero nel mondo. E' un lavoro molto diverso da quello che faccio quando sono nel mondo della matematica.
  - Verifica che esiste, - disse Fukaeri.
  - Anche se non posso dire di riuscirci ancora bene, - disse Tengo.

(da "1Q84", di Murakami Haruki, Libro 1, Einaudi 2011)

Carnevale della Matematica #48 su Maddmaths!

In concomitanza con il Mese della Consapevolezza Matematica, organizzato annualmente dalle associazioni americane di matematica, Maddmaths! ci offre una bella edizione del Carnevale della Matematica, con il tema "Matematica, statistica e il diluvio dei dati".
Come sempre, complimenti al curatore Roberto Natalini e a tutti i partecipanti!
Mr. Palomar ha contribuito con due post: il primo, "Se l'arrotondamento non quadra", per la verità pubblicato all'inizio di marzo, quindi più di un mese fa, e tuttavia in tema con l'argomento proposto; il secondo, "La sezione aurea e le regole del giuoco del calcio", al contrario fuori tema ma uscito pochi giorni fa.
Buona lettura a tutti!

La sezione aurea e le regole del giuoco del calcio

Come tutti gli sport, anche il gioco (anzi, il giuoco, come insegnavano i maestri e i dizionari di qualche decennio fa) del calcio ha le sue regole, codificate in un Regolamento ufficiale costituito da 17 norme principali.
La prima di queste regole si intitola "Il terreno di gioco", e descrive le caratteristiche del rettangolo delimitato dalle linee di porta e dalle linee laterali e nel quale i calciatori possono condurre il gioco.
L'incipit della Regola 1 recita testualmente:

Regola 1: il terreno di giuoco
Dimensioni
Il terreno di giuoco deve essere rettangolare. La lunghezza delle linee laterali deve essere, in ogni caso, superiore alla lunghezza delle linee di porta.
Lunghezza: minimo m. 90 massimo m. 120
Larghezza: minimo m. 45 massimo m. 90
Gare internazionali
Lunghezza: minimo m. 100 massimo m. 110
Larghezza: minimo m. 64 massimo m. 75





Insomma, per incontri non internazionali, secondo le regole ufficiali sarebbe in teoria ammissibile anche un campo lungo, ad esempio, 91 metri e largo 90 (un campo esattamente quadrato con il lato di 90 metri sembrerebbe escluso dalla frase iniziale "Il terreno di giuoco deve essere rettangolare", anche se un quadrato è pur sempre un caso particolare di rettangolo).
Nella maggior parte dei casi, i terreni di gioco (pardon, di giuoco) tendono ad assumere proporzioni "meno quadrate", con lunghezze e larghezze che si pongono circa a metà dei rispettivi intervalli ammessi, cioè intorno a 105 metri per 67,5 metri.

Le indicazioni che il regolamento prescrive per le partite internazionali sono più rigide, ma solitamente sono considerate uno standard de facto anche per gare a livelli più bassi. Analogamente, nel "calcio che conta" viene consigliata o talvolta imposta una misura ben precisa, che, guarda caso, corrisponde quasi esattamente al formato "medio" di cui parlavo poco fa: 105 x 68 metri.
Sono queste, infatti, le dimensioni che la FIFA raccomanda per i tornei internazionali, e che in Italia le Leghe di Serie A e B stabiliscono obbligatoriamente per le partite di campionato (tollerando al limite una dimensione minima di 65 metri per il lato corto, in caso di comprovate difficoltà tecniche dell'impianto).

Se diamo un'occhiata alle dimensioni del terreno di gioco (ops...) dei principali stadi italiano e stranieri, il formato standard 105 x 68 metri la fa da padrone: lo ritroviamo, tanto per fare alcuni esempi, all'Olimpico di Roma e all'Olimpico di Torino, al San Siro di Milano, al San Paolo di Napoli, al Bentegodi di Verona (permettetemi questa piccola menzione campanilistica...), al Campo Nou di Barcellona, al Lužniki di Mosca, allo Stadio del Centenario di Montevideo, all'Azteca di Città del Messico, e moltissimi altri.


Il rapporto tra i lati di un rettangolo 105 x 68 è pari a 105/68 = 1,54412: un valore non molto vicino al rapporto aureo, che è uguale a:

In un rettangolo aureo, il rapporto tra il lato maggiore e quello minore è uguale a quello tra il lato minore e la differenza tra lato maggiore e lato minore.
E' forse superfluo ricordare qui l'importanza che le proporzioni auree hanno rivestito nella storia dell'arte: mi limito a sottolineare che il rettangolo aureo è stato a lungo considerato il rettangolo più armonioso e "bello" da vedere, e non è un caso se lo ritroviamo, ad esempio, nelle comuni carte di pagamento o nei moderni badge aziendali.
E' quindi un vero peccato che gli organismi supremi del calcio non abbiano scelto come standard per i campi di calcio un formato aureo: avrebbero benissimo potuto raccomandare, per esempio, una lunghezza di 110 metri e una larghezza di 68 metri , dimensioni che rientrano nell'intervallo accettato dalla Regola 1 (anche per gare internazionali) e che disegnano un rettangolo quasi perfettamente aureo.
Le dimensioni raccomandate dalla FIFA prevedono un lato lungo troppo corto, o, se preferite, un lato corto troppo lungo.

Fortunatamente non tutti gli stadi sono così ligi rispetto agli standard internazionali, e alcuni presentano dimensioni diverse dal solito rettangolo 105 x 68 metri .
In alcuni di questi, però, il rapporto tra lato lungo e lato corto è ancora meno aureo di quello standard: ad esempio lo Stadio Olimpico di Atene e il mitico Wembley di Londra hanno un rapporto di 1,5 (105 x 70 metri), mentre il leggendario Maracanà di Rio de Janeiro raggiunge addirittura un rapporto di 1,466 (110 x 75 metri).
Uno stadio più vicino alla divina proporzione è il famoso Estadio Monumental di Buenos Aires, utilizzato dal River Plate: il rapporto tra lato lungo e lato corto è di 1,571, ma siamo ancora lontani dal fatidico numero di Fidia.

Un possibile candidato al titolo di stadio più aureo del mondo è il Santiago Bernabeu di Madrid: lo stadio del Real Madrid, dove la Nazionale italiana vinse il campionato del mondo nel 1982.
Purtroppo, le dimensioni esatte del campo madrileno sono piuttosto controverse: la versione inglese di Wikipedia indica 107 × 72 metri, quella spagnola si pronuncia per lo standard 105 x 68 metri, altre fonti propongono 106 x 70 metri.
Il sito dell'UEFA dichiara però che le dimensioni del Santiago Bernabeu sono di 106 x 66 metri: se questa è la versione corretta, il rapporto sarebbe di 1,606, molto vicino alla proporzione aurea.
Credo che, nonostante queste curiose voci discordanti, ai quarantenni come me piaccia pensare che il record di "aureità" spetti di diritto allo stadio di Madrid, quasi a nobilitare ulteriormente il ricordo nostalgico di quella notte di trent'anni fa.

L‘ultimo post

Non avrei mai desiderato intitolare un mio post come ho fatto con questo. Mr. Palomar chiude i battenti: troppi impegni lavorativi e familiari me lo impongono, purtroppo. Lo comunico ai miei lettori con grande dispiacere e con un po‘ di senso di colpa: auspicavo, per questa bellissima avventura, una vita ben più lunga. Resta il piacere di aver costruito un piccolo spazio di divulgazione scientifica e di avere avuto l'opportunità di conoscere alcuni magnifici compagni di viaggio tra gli altri blogger. Grazie a tutti!

Carnevale dei libri di scienza #6: numeri

Non poteva iniziare meglio, la primavera 2012: in questo giorno equinoziale ecco arrivare la sesta edizione del Carnevale dei libri di scienza, per questo mese allestito da Alice Della Puppa del blog della Libreria Baobab.
Un Carnevale molto interessante, a partire dal tema "Numeri", attorno al quale si sono accumulati contributi particolarmente stimolanti.
La prossima puntata del Carnevale dei libri di Scienza sarà ospitato dal blog di Cristina Sperlari "Il piccolo Friederich", con il tema ”A scuola di scienza: libri di scienza per bambini e ragazzi”. La scadenza per la presentazione dei contributi è fissata al 19 aprile 2012.

L'ossessione dei numeri primi

Se volete capire l'ipotesi di Riemann (e tutto l'insieme di scoperte, teoremi e problemi aperti che sono contigui alla famosa congettura), e desiderate farlo attraverso una spiegazione che sia divulgativa ma al tempo stesso un po' più approfondita di una superficiale introduzione, questo è il libro che fa al caso vostro.
Meno celebre del pur ottimo bestseller "L'enigma dei numeri primi" di Marcus du Sautoy, questo saggio del giornalista e scrittore anglo-americano John Derbyshire, edito nel 2003, riesce nell'intento di spiegare con chiarezza una delle parti più profonde e difficili di tutta la matematica.
Alternando capitoli di carattere storico e capitoli più squisitamente matematici, Derbyshire accompagna il lettore lungo la storia dell'irrisolto enigma della distribuzione dei numeri primi, e racconta le scoperte dei grandi protagonisti di questa vicenda appassionante.
A chi non abbia dimestichezza con i formalismi della matematica, questo testo potrà sembrare indigesto per l'abbondante ricorso a formule; viceversa questa stessa caratteristica sarà molto apprezzata da chi, non temendo equazioni e dimostrazioni, sia curioso di avventurarsi più profondamente nel mondo dei numeri primi.
Il libro è stato ristampato da Bollati Boringhieri per un'edizione speciale distribuita dalla rivista "Le Scienze".

Pi Day e Carnevale della Matematica #47 su DropSea

Nella smorfia napoletana il 47 è il numero del morto. L'edizione n. 47 del Carnevale della Matematica, tuttavia, è tutto fuorchè una cosa morta, perché raramente si sono visti carnevali così ricchi e appassionanti.
Oggi, tra l'altro, non è il solito quattordici del mese buono per l'appuntamento matematico-carnascialesco, ma il padre di tutti i giorni quattordici: il 14 marzo, cioè il 3.14, insomma pi greco!
In altri termini, oggi è il Pi Day! E per celebrarlo degnamente non potete non leggere la magnifica carrellata di post e articoli che Gianluigi Filippelli di DropSea ci ha regalato.

Il prossimo appuntamento del Carnevale sarà ospitato il 14 aprile da MaddMaths!
Buon Pi Day a tutti!

I ponti di Eulero

Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero, era un costruttore di ponti. Non mi riferisco ai sette ponti che scavalcano il fiume Pregel nella città prussiana di Konigsberg, legati al famoso problema topologico che Eulero risolse nel 1736, ma alle innovative connessioni che il geniale matematico svizzero riuscì a stabilire tra molti rami diversi della matematica.
I ponti scoperti da Eulero collegarono tra loro, in modo spesso sorprendente, settori come la teoria dei numeri, l’analisi, lo studio dei numeri complessi, la topologia, la geometria analitica.
Uno di questi ponti è la celebre identità scoperta da Eulero nel 1748:






Questa formula viene spesso considerata “la più bella di tutta la matematica” perché raccoglie in una meravigliosa sintesi alcuni degli operatori e dei numeri fondamentali della matematica: l'addizione, l'esponenziale, lo zero, l'uno, il numero di Nepero e, la costante immaginaria i e il celebre π.
A proposito di π, uno dei legami più interessanti che Eulero esplorò, sotto molteplici punti di vista, è quello tra il fatidico rapporto geometrico e i numeri primi.
Che cosa lega tra loro queste due nozioni matematiche? Apparentemente nulla. π è un numero irrazionale, addirittura trascendente, come ho accennato in questo mio post, mentre i numeri primi sono i numeri naturali refrattari alla divisione.
Prima del Settecento, π era ritenuto una costante d'interesse esclusivamente geometrico. Eulero fu il primo a comprendere che alcuni strani nessi congiungevano π ai numeri primi, passando attraverso concetti non banali come le serie convergenti e le funzioni.
Ad esempio, modificando opportunamente il segno di alcuni termini della celebre serie armonica, Eulero ottenne questa sorprendente equazione:

dove i segni dei termini, a parte i primi due, si determinano in questo modo:
- segno positivo se il denominatore è un numero primo del tipo (4m – 1);
- segno negativo se il denominatore è un numero primo del tipo (4m + 1);
- prodotto dei segni dei singoli fattori se il denominatore è un numero composto.
Mentre, com'è ben noto, la serie armonica non converge, cioè tende verso un valore infinito, questa particolare serie converge verso π molto lentamente: per arrivare alla scadente approssimazione 3,01 occorrono 500 termini, per determinare l'1 come prima cifra decimale ne servono 5000, e per arrivare a 3,14 bisogna utilizzarne ben 3.000.000.
Nonostante la scarsa utilizzabilità pratica, tuttavia, questa identità è una delle più notevoli della matematica, soprattutto per l'inatteso coinvolgimento del concetto di numero primo.

Un altro dei ponti euleriani tra π e i numeri primi è legato al celebre problema di Basilea e alla famosa formula prodotto di Eulero.
Il problema era stato proposto quasi un secolo prima dal matematico bolognese Pietro Mengoli, il quale aveva inutilmente cercato di calcolare una formula (o, come dicono i matematici, una "forma chiusa") che esprimesse il valore al quale tende la somma degli inversi dei quadrati di tutti i numeri naturali, cioè:

Ancora una volta si trattava di una serie imparentata con la serie armonica: in questo caso la differenza non stava nei segni dei termini, ma nella presenza dei quadrati al denominatore di ogni termine.
I quadrati al denominatore rendono i termini più piccoli e fanno sì che la serie converga. Non è difficile calcolare empiricamente che il valore al quale tende si aggira intorno a 1,64493: tuttavia nessuno fino al 1735 riuscì a determinare una forma chiusa per questo valore.
La trovò in quell'anno il nostro Eulero, il quale dimostrò che: 

 

Dividendo per 6 il quadrato di π si ottiene proprio quel fatidico valore 1,64493...
Eulero si accorse anche che il risultato poteva essere elegantememente generalizzato a tutti i casi in cui, al posto dei quadrati, compaiono potenze pari.
Ma questa volta cosa c'entrano i numeri primi? C'entrano, perché Eulero scoprì che, manipolando opportunamente quella somma degli inversi dei quadrati, si poteva ricavare la seguente formulazione alternativa:

dove il prodotto al secondo membro coinvolge tutti i numeri p primi.
Ad esempio, con s=2 si otteneva il caso particolare con il valore pari al quadrato di π diviso per 6.
Ecco quindi un nuovo strano ponte euleriano tra π e i numeri primi. Inoltre, ancora una volta π saltava fuori a sorpresa da un teorema che univa l'analisi matematica (le serie) e la teoria dei numeri (i numeri primi), ma che nulla c'entrava con cerchi e altre figure geometriche, i tradizionali luoghi nei quali ci si aspetta di trovare π.

Il teorema racchiuso nell'equazione esposta sopra prende il nome di "formula prodotto di Eulero", e riveste una grande importanza nella storia della matematica, soprattutto perché aprì la strada a molte fondamentali scoperte successive.
Il divulgatore inglese John Derbyshire, nel suo bel saggio "L'ossessione dei numeri primi", pubblicato in Italia da Bollati Boringhieri, ha ribattezzato questo teorema come la "Chiave d'Oro", sottolineando la sua rilevanza e la sua utilità.
Il primo membro dell'equazione non è altro che la definizione della celeberrima funzione zeta, che Bernhard Riemann esplorò a fondo più di un secolo dopo Eulero, introducendo le metodologie dell'analisi complessa e comprendendo meglio i suoi legami con i numeri primi.
Il ponte gettato da Eulero nel 1735 rappresentò il primo passo di un cammino appassionante, che portò alla formulazione dell'ipotesi di Riemann e alla definizione di una serie di misteri tuttora irrisolti.

Se l'arrotondamento non quadra

Mr. Palomar ha l'abitudine di registrare le sue spese quotidiane su un quaderno a quadretti, suddividendole per settimana e per categoria di spesa.
Un pomeriggio Mr. Wilson va a trovare l'amico e nota il quaderno sul tavolo della cucina.
- Non ti facevo così preciso e minuzioso!
- E' una vecchia abitudine. Non so se serva veramente riempire queste pagine di conti, ma mi dà l'impressione di tenere le mie finanze sotto controllo.
- Vedo che registri tutto, fino all'ultimo centesimo.
- Già. Un giorno ho provato a registrare le spese arrotondandole all'euro, ma mi sono imbattuto in un problema che non sono riuscito a risolvere.
- Posso intuire. Ma sentiamo, che tipo di problema hai avuto?
- Guarda questa tabella. Sono le spese del mese di gennaio, suddivise in 5 categorie e riportate con precisione al centesimo.

- Bene, fin qui mi sembra tutto a posto, o sbaglio?
- Non sbagli. Ma guarda cosa succede in questa tabella. L'ho ricavata dalla precedente arrotondando ogni importo parziale all'euro, e calcolando i totali a partire da questi nuovi importi arrotondati.

Mr. Wilson osserva la tabella.
- Come prevedevo. Alcuni totali sono diversi da prima, e soprattutto sono diversi dal risultato che si sarebbe ottenuto arrotondando anche i totali con lo stesso criterio degli importi parziali.
- Esatto, è proprio questo il problema. I totali incriminati sono quelli che ho segnato in rosso. Ad esempio il totale delle spese della seconda settimana è diventata di 228 euro, mentre arrotondando il totale reale 227,1 si sarebbe dovuto ottenere 227.
- E' ovvio che questo accada: ad esempio se in una riga o in una colonna c'è una maggioranza di importi sopra la soglia del mezzo euro, o viceversa sotto quella soglia.
- Proprio così. E guarda il totale complessivo. E' sballato di quasi 2 euro e mezzo.
- Hai provato a vedere cosa succede se oltre agli importi parziali si arrotondano anche i totali?
- Sì, ho provato. Ed è venuta fuori questa tabella.

- E cos'hai notato?
- Apparentemente sembra risolvere il problema: peccato che stavolta i totali non siano sempre ottenuti come somma degli importi parziali. Ad esempio 90 + 87 + 7 + 44 non fa 227, ma 228.
- Risolvere il problema che hai osservato non è cosa facile. Anzi, è in generale impossibile se ci vincola ad arrotondare gli importi nel modo tradizionale.
- Cosa intendi per "tradizionale"?
- Intendo dire che di solito una somma viene arrotondata per eccesso se eguaglia o supera la soglia dei 50 centesimi, e per difetto se rimane sotto quel limite.
- Certo, mi sembra una scelta ragionevole.
- Ma così facendo ti imbatti sicuramente nel problema che hai notato, e non c'è rimedio.
- Cos'altro posso fare?
- Se accetti che un importo venga arrotondato per eccesso o per difetto indipendentemente dal livello dei centesimi di euro, allora il problema può essere risolto.
- E come?
- Utilizzando particolari algoritmi euristici studiati appositamente per escogitare una combinazione ottimale di arrotondamenti sulle diverse celle della tabella, con l'obiettivo di mantenere corrette le somme sulle righe e sulle colonne. Il problema è noto in letteratura come "problema dell'arrotondamento controllato" (in inglese "controlled rounding problem" o CRP).
- Interessante. Ma mi vuoi dire che altre persone oltre a me si sono imbattute nel problema di arrotondare somme di denaro?
- Sì, certo. Ma la cosa non riguarda soltanto valori economici. Il problema nasce storicamente negli istituti di statistica, soprattutto per esigenze legati alla privacy.
- Privacy?
- Gli istituti di statistica devono elaborare e pubblicare grandi tabelle di dati relativi alle caratteristiche della popolazione. Spesso, però, per evitare che certe informazioni possano violare la privacy delle persone rivelando dati riconducibili a singoli individui, è necessario "perturbare" certi dati arrotondandoli rispetto ad una certa base di riferimento. Così facendo, tuttavia, si va incontro alle difficoltà che hai visto anche tu.
- E quindi gli statistici hanno chiesto aiuto ai matematici.
- Sì, ma soprattutto agli informatici, perché le tecniche di risoluzione del CRP sono raffinati metodi euristici nei quali i ricercatori di informatica hanno dato il meglio di sè.
- Meno male. Mi sa però che continuerò a registrare le mie spese al centesimo.
- Forse ti conviene.  D'altra parte, così gli arrotondamenti quadrano sempre!

Carnevale dei libri di scienza #5: matematica e arte

Fa molto piacere vedere come il Carnevale dei libri di scienza, creatura nata qualche mese fa da una felice idea di Daniele Gouthier di Scienza Express (e che questo blog ha avuto l'onore di ospitare nella sua seconda edizione), sia ormai una realtà ben avviata e consolidata.


Flavio Ubaldini su Pitagora e dintorni ha dato vita alla quinta tappa di questo viaggio, con un tema molto stuzzicante: "matematica e arte". Un sentito grazie a Flavio e a tutti i partecipanti per una edizione che come sempre si rivela molto interessante.

La prossima tappa è ospitata da Alice Della Puppa sul sito della Libreria Baobab. La deadline è fissata al 19 marzo, e il tema è semplice quanto affascinante: numeri.
Partecipate numerosi! E Buon Carnevale a tutti!