L'evoluzione artificiale e i doppietti di Lewis Carroll

Questo post è un post... scriptum al post intitolato "Il gioco dell'evoluzione artificiale". In quell'articolo ho descritto come giochi di parole le operazioni di mutazione e di crossing-over, fondamentali negli algoritmi genetici.
Non potevo però tacere il fatto che il gioco delle "parole mutanti" vanta un padre particolarmente autorevole: niente meno che Lewis Carroll, scrittore-matematico amatissimo dai matematici, autore di "Alice nel paese delle meraviglie" e di "Attraverso lo specchio".

In un post del 2010, Gianluigi Filippelli ha descritto quello che Carroll aveva chiamato il gioco dei "doppietti": da una parola data si deve passare a un'altra parola prefissata (con lo stesso numero di lettere), sostituendo una lettera alla volta e utilizzando sempre parole di senso compiuto.
Secondo quanto racconta Martin Gardner ("Enigmi e giochi matematici - volume 3", Sansoni Editore), Carroll inventò questo gioco nel Natale del 1877, per due bambine che "non avevano nulla da fare".
Nel 1879 la rivista "Vanity Fair" ospitò sulle sue pagine diversi doppietti ideati da Carroll. Il gioco divenne molto popolare soprattutto grazie alle gare a premi promosse da quella stessa testata.
Il gioco venne successivamente ripreso da molti enigmisti. Dmitri Borgmann, nel suo libro "Language on vacation" del 1965, osservò che il doppietto ideale conduce da una parola all'altra attraverso un numero di passi uguale alla lunghezza delle due parole, e le due parole di partenza e di arrivo non hanno in comune alcuna lettera uguale nella stessa posizione. Ad esempio:
MARE --> MALE --> MELE --> MELA --> VELA

Già l'autore di Alice doveva avere intuito il forte legame tra questo gioco e la teoria di Darwin. Infatti, ad esempio, uno degli enigmi proposti da Carroll consisteva nel far evolvere l'uomo (MAN) dalla scimmia (APE). La soluzione del gioco è in questo caso:
APE --> ARE --> ERE --> ERR --> EAR --> MAR --> MAN

Se volete qualcosa di simile in lingua italiana, sono certamente in grado di accontentarvi, ma al prezzo di discostarmi (solo leggermente) dalla lezione di Darwin:
CANE --> RANE --> RAME --> RAMO --> REMO --> TEMO --> TOMO --> UOMO

Il genetista inglese John Maynard Smith, famoso per avere applicato la teoria dei giochi (e sottolineo, giochi) all'evoluzione, sottolineò in un suo libro del 1962 come il gioco dei doppietti riflettesse bene i meccanismi attraverso i quali una specie si evolve in un'altra. Immaginando il genoma di una specie come un'unica lunghissima parola, nella quale le basi azotate del DNA recitano la parte delle lettere, le mutazioni, faceva notare Smith, assomigliano sorprendentemente ai doppietti di Carroll.
D'altra parte questa somiglianza è esattamente l'idea alla base degli algoritmi genetici, di cui ho parlato nel mio post "Il gioco dell'evoluzione artificiale".
Il saggio di Smith uscì proprio negli anni in cui queste tecniche evolutive cominciavano ad essere concepite dai ricercatori informatici.
Mi pare che questa storia sia un bell'esempio di come letteratura, biologia e matematica si possano incrociare (ecco, di nuovo il crossing-over!) dando origine a bellissimi frutti. Sempre nel segno del gioco.

Kraftwerk: "Numbers" e "Computer World"

Dopo la segnalazione del recente disco "Numeri" di Raf, non potevo non riesumare questa insolita performance matematico-informatica dei mitici Kraftwerk: significativamente, e molto appropriatamente per il sottotitolo di questo blog, i due brani, che risalgono al 1981, si intitolano "Numbers" e "Computer World"...

Il gioco dell'evoluzione artificiale

La teoria dell'evoluzione delle specie viventi rappresenta uno dei pilastri della biologia e del pensiero moderno. Nonostante si tratti di una teoria giovane (fu formulata da Charles Darwin "soltanto" un secolo e mezzo fa) ad oggi i suoi principi generali sono ormai consolidati presso la comunità scientifica, grazie alle numerose prove scientifiche fin qui raccolte.
Tuttavia, al di fuori del mondo scientifico c'è tuttora chi si ostina a rifiutare la visione darwiniana, e perfino alcuni (fortunatamente rari) scienziati sono notoriamente contrari alla teoria, pur non avendo mai avuto il coraggio di proporre tali opinioni a riviste specialistiche.
Tra le visioni alternative che rifiutano o criticano il darwinismo, possiamo citare la teoria del "disegno intelligente", il "creazionismo", il "devoluzionismo": alcune di queste opinioni sono sostenute da posizioni religiose, altre soltanto da una discutibile critica ai fondamenti logici e sperimentali dell'evoluzionismo.
Le prove dell'ipotesi di Darwin, in realtà, sono talmente schiaccianti e definitive che non dovrebbe esistere più alcun dubbio sulla validità della teoria: non è questa la sede per elencarle tutte, anche perché si tratterebbe di spaziare dalle dimostrazioni paleontologiche a quelle legate alla distribuzione geografica delle specie viventi e dei fossili, e questo non è un blog che possa occuparsi in modo competente di queste discipline.
Sorprendentemente, però, una delle prove a mio parere più meravigliose della teoria dell'evoluzione ci viene offerta proprio dalla matematica e dall'informatica. Com'è possibile?
Prima di arrivare al punto, devo però fare un excursus sui contenuti dell'ipotesi di Darwin.

L’esempio classico, che trova spazio anche sui libri di scuola, è quello del collo della giraffa.

Tutti sappiamo che le giraffe hanno il collo lungo. Ma è anche noto, e lo era già ai tempi di Darwin, che il collo delle giraffe primitive era più corto. Secondo l'ipotesi di Darwin, di tanto in tanto, diciamo "per caso", o "per errore", può nascere una giraffa col collo un po’ più lungo. Essendo il collo lungo una mutazione genetica e non un carattere acquisito, si tratta anche di una caratteristica ereditaria, cioè i figli di una giraffa dal collo lungo avranno probabilmente anche loro il collo lungo.
In una certa epoca, a causa dell’impoverimento dei pascoli, molte giraffe avevano cercato di cibarsi non più soltanto dell’erba ma anche delle foglie degli alberi: nella dura competizione per il cibo, una giraffa dotata di un collo più lungo si sarebbe trovata quindi nettamente avvantaggiata. Il collo lungo, insomma, rappresentava un importante vantaggio competitivo, e quelle giraffe fortunate si ritrovavano ad avere, come dicono i biologi, una idoneità superiore alle loro cugine.
Un'alta idoneità comporta, in genere, una maggiore probabilità di sopravvivenza, una vita più lunga e un maggior benessere, ma anche una maggiore predisposizione a riprodursi e quindi un numero maggiore di figli. Questo meccanismo è alla base della cosiddetta selezione naturale, perché induce una specie di cernita tra gli individui più idonei e quelli meno idonei, o, per così dire, tra mutazioni più o meno vantaggiose. Secondo la teoria di Darwin è questo il vero motore dell’evoluzione.
La conseguenza fu che le giraffe dal collo lungo si diffusero rapidamente, sostituendo gradualmente quelle dal collo corto. Altre mutazioni casuali che potevano essersi verificate, ad esempio giraffe senza coda oppure con cinque zampe, sicuramente non avrebbero avuto lo stesso successo e la stessa diffusione, in quanto poco vantaggiose.

Il meccanismo della selezione naturale premia quindi le piccole mutazioni casuali che si rivelano più vantaggiose: queste si replicano nella discendenza, innescano un lento processo di evoluzione delle specie e si accumulano generazione dopo generazione, determinando sul lungo periodo vistosi e radicali cambiamenti. La teoria di Darwin, però, non spiega però altre cose: ad esempio come l’informazione sui caratteri ereditari venga registrata all’interno degli esseri viventi, e come questi caratteri vengano trasmessi dai genitori ai figli.
E' la genetica a fornire queste risposte, mostrando come le cellule del nostro corpo siano dotate di un nucleo che contiene particolari corpuscoli, chiamati cromosomi, di solito disposti a coppie: in ogni cellula di un essere umano, ad esempio, vi sono 23 coppie di cromosomi, ciascuna delle quali è formata da un cromosoma ereditato dal padre e da uno ereditato dalla madre. Ogni cromosoma è costituito da un lunghissimo filamento di una molecola chiamata DNA, tutto attorcigliato su se stesso come un gomitolo e suddiviso in porzioni chiamate geni. Una molecola di DNA è simile ad una scala a chiocciola, i cui "pioli" sono composti chimici detti basi azotate: il modo in cui queste basi si susseguono nei filamenti dei cromosomi costituisce una sorta di lunghissima sequenza codificata, detta genoma, che rappresenta il "libretto di istruzioni" , o, meglio, una enorme enciclopedia da consultare per costruire un essere vivente.

Tutte le informazioni "genetiche", cioè ereditarie, sono scritte qui: ad esempio la lunghezza del collo per la giraffa, il colore dei nostri occhi, e così via.
Quando queste informazioni vengono replicate in modo errato, si verificano le mutazioni già intuite da Darwin: ad esempio la comparsa delle giraffe dal collo lungo.
Oltre alla mutazione, l'altro fenomeno genetico fondamentale per i meccanismi dell'evoluzione è il crossing over, che avviene in ciascuno di noi durante la formazione dei gameti, le cellule che partecipano alla fecondazione: in ognuna delle coppie di cromosomi ereditati dai genitori, si verifica uno scambio reciproco di geni, fatto che favorisce l’incrocio dei programmi genetici e produce inedite mescolanze da trasmettere ai discendenti.


Negli anni Quaranta, alcuni illustri matematici, come Alan Turing, Norbert Wiener e John Von Neumann, cominciarono a studiare i fenomeni biologici dell'evoluzione e della genetica e intuirono la possibilità di replicare questi meccanismi in modo artificiale, utilizzando i primi calcolatori elettronici.

Perché imitare nei computer il comportamento della materia vivente? Quel era l'utilità di questo strano gioco dell'evoluzione artificiale?
Fin dagli albori dell’informatica i ricercatori si erano imbattuti in problemi difficili, che richiedono di trovare la soluzione ottimale tra una enorme quantità di soluzioni possibili. Ad esempio, è difficile far giocare un computer a scacchi, oppure fargli trovare il percorso più breve per visitare un insieme di città, oppure progettare una proteina che abbia un comportamento chimico desiderato. Purtroppo, l'approccio concettualmente più ovvio, cioè esaminare tutte le possibilità per scoprire qual è la migliore, appariva proibitivo, perché avrebbe richiesto un tempo di calcolo troppo lungo. Era necessario escogitare metodi più veloci, scorciatoie più efficienti.
L'idea vincente presa a prestito dalla biologia è presto detta. Invece di scandagliare, una per una, tutte le soluzioni possibili e alla fine scegliere la migliore, usiamo un approccio evolutivo: immaginiamo che ogni possibile soluzione del problema sia un "individuo", il cui genoma contiene le informazioni caratteristiche della soluzione rappresentata. Partendo da una "popolazione" iniziale scelta casualmente, gli individui vengono fatti "evolvere" simulando la comparsa di mutazioni casuali e il verificarsi di fenomeni di crossing over, similmente a quanto avviene nella realtà nelle cellule viventi. Generazione dopo generazione, vengono selezionati gli individui più idonei, cioè le soluzioni migliori, secondo un principio che imita la selezione naturale: potremmo definrila una sorta di "selezione artificiale". Generalmente questa metodologia, se ben applicata, porta ad avvicinarsi alla soluzione ottimale in tempi relativamente brevi.
L'approccio descritto corrisponde, con buona approssimazione, allo schema generale degli algoritmi genetici, proposti per la prima volta negli anni Settanta, dal ricercatore americano John Holland.

Nella terminologia degli algoritmi genetici gli individui della popolazione vengono chiamati anche cromosomi: infatti, per semplicità, si assume che ogni individuo possieda un solo cromosoma, e possa quindi essere identificato con quell’unico cromosoma (In natura le specie viventi hanno di solito più cromosomi, ad esempio 46 nell'uomo, ma gli informatici sono molto meno bravi della Natura, per cui è già tanto che ci sia un solo cromosoma per individuo).

Uno delle questioni spinose che sorgono con gli algoritmi genetici consiste nel trovare un modo di codificare la soluzione all'interno del genoma dell'individuo. Ovviamente l'approccio da seguire dipende dal tipo di problema. Molto spesso le soluzioni vengono rappresentate come stringhe, o semplici successioni di simboli. Ad esempio, se il problema che vogliamo risolvere è quello di progettare una proteina, ossia determinare una sequenza di amminoacidi che, una volta sintetizzata in laboratorio, evidenzi determinate caratteristiche chimiche, allora potremmo rappresentare ogni individuo, cioè ogni proteina corrispondente a una possibile soluzione, tramite la sequenza di simboli di amminoacidi che rappresenta quella proteina.

Un'altra difficoltà cruciale da affrontare è legata al modo in cui, ad ogni generazione, dobbiamo misurare l'idoneità di ogni individuo, cioè di ciascuna soluzione che si trova nel nostro brodo di coltura. Il nostro ingrato compito è selezionare gli individui con l'idoneità più alta, e, ahimé, scartare quelli di peggiore qualità. Ad esempio, nel problema delle proteine, l'idoneità di una sequenza candidata di amminoacidi dipende dalle caratteristiche chimiche che tale sequenza esibirebbe una volta sintetizzata in laboratorio: l'algoritmo genetico dovrà quindi implementare particolari calcoli per misurare questo grado di qualità delle soluzioni.

Ecco allora lo schema generale del nostro "gioco dell'evoluzione artificiale", vale a dire la struttura base di un algoritmo genetico:
1. stabilire delle politiche per la codifica delle soluzioni e per la misurazione dell'idoneità;
2. costruire una popolazione iniziale casuale di individui che codifichino, tramite sequenze opportune di simboli, altrettante soluzioni possibili del problema;
3. ad ogni generazione:
• analizzare tutti gli individui presenti e scegliere quelli con idoneità più alta;
• accoppiare tra loro gli individui selezionati e sottoporli a crossing over;
• mutare alcuni dei figli ottenuti;
• se l'idoneità dell'individuo migliore è considerata abbastanza alta per i nostri scopi, terminare, altrimenti passare alla prossima generazione.

Superati gli scogli progettuali riguardanti la codifica delle soluzioni e i criteri di selezione degli individui più idonei, ciò che rimane potrebbe assomigliare ai giochi di una rivista di enigmistica: le operazioni di crossing over e di mutazione, infatti, applicate alle sequenze di simboli che rappresentano le soluzioni, sembrano uscite dalla "Pagina della Sfinge" della Settimana Enigmistica.
Il tipo più comune di crossing over tra due sequenze di simboli consiste nel tagliare in due ciascuna delle due sequenze, dando origine a due figli, l'uno formato dalla concatenazione della prima parte del primo genitore e della seconda del secondo, e l’altro formato dalla concatenazione della prima parte del secondo genitore e della seconda del primo. Una sorta di doppia sciarada incrociata tra due parole (gli appassionati di enigmistica correggeranno certamente le mie imprecisioni terminologiche), come nell'esempio seguente:

PIC-CO, ARTI-COLO --> PIC-COLO, ARTI-CO

Una mutazione, invece, non è altro che la variazione di una parte della sequenza di simboli che rappresenta una soluzione: nulla più che un semplice cambio di lettera in una parola.
Ad esempio:

PICCO --> PACCO

Grazie ai primi studi pioneristici di Turing, Von Neumann e Wiener, alla formalizzazione di Holland e alle ricerche successive, gli algoritmi genetici sono stati progressivamente perfezionati e hanno dato prova di funzionare ottimamente per la risoluzione di problemi difficili. In particolare, queste tecniche evolutive hanno permesso di affrontare con successo non soltanto problemi di ottimizzazione, ma anche problemi di modellazione e di predizione di dati. In questo caso si fanno evolvere modelli che cercano di descrivere un sistema complesso: ad esempio modelli ingegneristici di motori o di edifici, modelli biologici, modelli meteorologici o climatici, modelli finanziari, ecosistemi, modelli per giochi di simulazione, e così via. Spesso, per costruire modelli di questo tipo, gli algoritmi genetici vengono usati per fare evolvere strutture matematiche dette reti neurali, ognuna delle quali rappresenta un possibile modello del problema. L’accoppiata reti neurali – algoritmi genetici è utilizzata molto spesso e con ottimi risultati nelle attuali ricerche sull’intelligenza artificiale.
Quali conclusioni possiamo trarre dall'efficacia degli algoritmi genetici? Gli algoritmi genetici non sono altro che l'applicazione a problemi "umani" di un meccanismo naturale: certo, si tratta di un'idea applicata in modo semplificato e adattato, ma in realtà il copyright dell'idea non è nostro, ma di Madre Natura. E se l'idea alla base di questo gioco dell'evoluzione simulata funziona, questa è certamente un'ulteriore dimostrazione del fatto che l'evoluzione, quella naturale, funziona, e anche molto bene.
Potrebbe sembrare forzato il concetto di usare l'evoluzione per risolvere problemi: ma in realtà è esattamente ciò che ha fatto e continua a fare la Natura. L’evoluzione e la selezione naturale, che funzionano, generazione dopo generazione, attraverso un accumulo selettivo di piccole mutazioni vantaggiose, hanno dato prova di saper risolvere problemi molto difficili, escogitando soluzioni ingegnose e sofisticate. Pensiamo alla giraffa: il problema difficile della giraffa primitiva consisteva nel trovare un modo per mangiare le foglie degli alberi, e la geniale soluzione fu un progressivo allungamento del collo, attraverso le generazioni.
Altro esempio: il pipistrello. Dovendo cacciare di notte, il simpatico mammifero volante deve riuscire a individuare le prede nel buio: ebbene, l’evoluzione ha messo a punto, nel corso dei millenni, una tecnologia di ecolocazione davvero sofisticatissima, simile al nostro sonar, che farebbe invidia a molti ingegneri di oggi.
Gli informatici, insomma, dopo avere “rubato” ai biologi l’idea per inventare gli algoritmi genetici, hanno ricambiato il favore nel modo migliore che potessero escogitare: fornendo una affascinante dimostrazione del fatto che Darwin aveva ragione.
Spero che questa osservazione possa contribuire a convincere qualche persona ancora scettica rispetto alla teoria dell'evoluzione. E' vero che i principi della teoria di Darwin, ad un esame intuitivo, possono apparire “strani”, o “irragionevoli”: eppure, per quanto incredibile, l'evoluzione, sia quella naturale che quella artificiale, funziona. E come scrisse il poeta inglese George Byron: "E' strano, ma vero; perché la verità è sempre strana, più strana della fantasia.”

Carnevale della matematica #38: goto MaddMaths!

Anche se in ritardo di un giorno (anzi, quasi due), ecco il promesso post sul Carnevale della Matematica, ospitato per questo mese dai MaddMaths!
Il tema di giugno era "La matematica nella vita quotidiana".
Mr. Palomar ha partecipato (se così si può dire) con i suoi due miseri post degli ultimi 30 giorni (forse dovrei dire malgrado i suoi miseri contributi, e grazie alla bontà di chi ha ospitato il Carnevale)
Ma prometto, per le prossime settimane, nuovi contributi, interessanti e numerosi!

Labirintico Borges

Esattamente 25 anni fa, il 14 giugno 1986, moriva a Ginevra uno dei più grandi scrittori del Novecento, forse il più "matematico" di tutti: Jorge Luis Borges.
Molti dei temi simbolici cari a Borges sono genuinamente matematici, e altri lo sono per estensione: cito qui l'infinito, il tempo, la memoria, il sogno, la verità, il paradosso, gli scacchi, il doppio. Ma uno dei temi più ricorrenti nell'opera di Borges è costituito dal labirinto.
Sono infatti numerosissimi i passi borgesiani che raccontano di labirinti: dalla celeberrima "Biblioteca di Babele" a "Il giardino dei sentieri che si biforcano", da "I due re e i due labirinti", a "La casa di Asterione" e a "Abenjacan il Bojari, ucciso nel suo labirinto".

Non stupisce quindi che sia stato scelto proprio questo simbolo metaforico, nonché oggetto matematico, per celebrare oggi a Venezia il venticinquennale della morte del grande argentino.
Un grande giardino-labirinto, realizzato dall'architetto inglese Randoll Coate e finanziato dalla Fondazione Cini, è stato inaugurato nell'isola di San Giorgio, alla presenza della vedova dello scrittore, Maria Kodama Borges. Il labirinto veneziano di Borges è la copia di quello esistente dal 2003 nella tenuta di Los Alamos, in Argentina.

Borges e Venezia erano legati da un rapporto speciale. "Ne era quasi ipnotizzato perché il tratto onirico di Venezia, l’acqua, il silenzio delle calli, lo affascinavano completamente" - ha detto Maria Borges - "e Venezia stessa è un labirinto".
Nel labirinto veneziano non potevano mancare gli specchi, altro simbolo caro a Borges, gödelianamente intriso di implicazioni matematiche e metaforiche. Prossimamente verrà realizzato un corrimano in alabastro con il racconto "Il giardino dei sentieri che si biforcano" inciso in caratteri Braille. Al di là del servizio reso ai non vedenti, è evidente il richiamo ad uno dei racconti più matematici di Borges: vertiginosa riflessione sugli universi paralleli che rappresenta un labirinto temporale ancor prima che un labirinto fisico.

Le nove famiglie

Mr. Palomar e Mr. Wilson passeggiano di notte per le vie della città, di ritorno da una piacevole seratina in birreria in compagnia di amici.
Prima di arrivare all'incrocio dove dovranno dividersi per raggiungere ciascuno la propria abitazione, Mr. Wilson se ne esce con uno dei suoi soliti indovinelli:
- Scegli un numero qualsiasi di due cifre, e somma le due cifre tra loro!
- Eh? - risponde Mr. Palomar, spaesato.
- Dai, non vorrai lasciar finire la serata senza un giochino come si deve!
- Va bene, scelgo un numero di due cifre. Sommo le sue cifre. E poi?
- Se la somma ha ancora due cifre, sommale ancora, fino a ridurti a una sola cifra.
- E poi?
- Sottrai la somma delle cifre dal numero iniziale.
- Fatto.
- Ora somma le cifre del numero che hai ottenuto. Il risultato è... 9!
- E' vero! Scommetto che tu voglia che io ti chieda: "Come hai fatto?"
- Sì. Chiedimelo.
- Come hai fatto?
- Ora te lo spiegherò. Devi sapere che tutti i numeri naturali si distribuiscono in nove famiglie.
- Nove famiglie?
- Prendi i primi numeri naturali, da 1 a 9. Il numero 1 lo assegniamo alla famiglia dell'uno, il 2 quella del due, il tre a quella del tre, e così via, fino ad arrivare al 9, che appartiene...
- ... alla famiglia del nove.
- Bravo.
- Grazie. Non mi sembra una conclusione affascinante e sorprendente. E non spiega il giochino di prima.
- No, ma aspetta. il numero 10 dove lo metti?
- Non ne ho idea.
- Abbiamo detto che abbiamo nove famiglie.
- Allora suppongo che tu voglia inserire il 10 nella famiglia dell'uno, in modo da ricominciare la successione.
- Esatto. L'11 lo mettiamo poi nella famiglia del due, e così via.
- Ancora non vedo nulla di interessante. Dato un numero qualsiasi, basta dividerlo per 9: il resto ottenuto ci dirà a quale famiglia appartiene.
- Non è del tutto esatto. Se ad esempio prendiamo numeri divisibili per 9, otteniamo resto zero, però abbiamo chiamato questa famiglia "famiglia del nove", non "famiglia dello zero".
- E' solo una questione terminologica.
- Te lo concedo. Ora ti faccio vedere qualcosa di più divertente. 10 è formato da 1 e 0. Se fai 1 più 0...
- 1 più 0 fa 1, e infatti il 10 è nella famiglia dell'uno.
- Già. E questo funziona per tutti i numeri successivi. Invece di dividere per 9 e calcolare il resto, basta sommare le cifre del numero. Ad esempio il 53 appartiene alla famiglia...
- ... dell'otto. Ma che mi dici, ad esempio, del numero 58? 5 più 8 fa 13, e noi abbiamo solo nove famiglie...
- Se hai ottenuto 13, ripeti il procedimento: 1 più 3 fa 4, quindi il 58 sta nella famiglia del quattro!
- Sei sicuro che funziona?
- Se non ci credi prova! Il "numero di famiglia" è chiamato anche "radice numerica".
- Quindi che la radice numerica di 53 è 8, e quella di 58 è 4.
- Proprio così.
I due sono ormai arrivati al bivio.
Mr. Wilson continua:
- Ma non è finita qui. Se sommi tra di loro due numeri interi, la radice numerica del risultato sarà la somma delle radici numeriche degli addendi. Provare per credere!
- E se la somma delle radici numeriche supera 9?
- Solito trucco. Somma le cifre fino a ridurti a un numero compreso tra 1 e 9.
- In effetti funziona. 53 più 58 fa 111, che ha radice numerica 3. Le radici numeriche di 53 e 58 sono rispettivamente 8 e 4, che sommate danno 12. E 1 più 2 fa 3!
- Vedi che è divertente? E la cosa funziona analogamente anche per la sottrazione, per la moltiplicazione e la divisione.
- Adesso che ci penso, questa non è altro che la prova del nove che ci insegnavano alle elementari!
- Proprio lei. Adesso ti è chiaro il giochino di prima?
- In effetti sì! Hai detto che la radice numerica della sottrazione tra due numeri è uguale alla sottrazione tra le radici numeriche dei numeri stessi.
- Esatto.
- E dato che il numero di due cifre che ho scelto all'inizio e la sua radice numerica hanno ovviamente la stessa radice numerica, la loro differenza apparterrà alla famiglia del nove, che poi è quella dei numeri divisibili per nove.
- Bravissimo. Ma le radici numeriche hanno altre proprietà interessanti.
- Ad esempio?
- Ad esempio le famiglie del tre, del sei e del nove non comprendono numeri primi, fatta eccezione per il numero 3.
- Curioso.
- I multipli di 1, 2, 4, 5, 7 e 8 hanno tutte le radici numeriche, distribuite secondo una successione periodica, mentre i multipli di 3 e 6 hanno radici numeriche 3, 6 e 9. I multipli di 9, invece, lo sappiamo già, hanno sempre radice numerica 9.
- Interessante. Ma, pensavo, tutto questo funziona con il nove. Se provassimo con un altro numero? Funzionerebbe lo stesso?
- No, non funzionerebbe. Il nove funziona perché noi esprimiamo i numeri con il sistema di numerazione decimale. Se usassimo la numerazione in base, diciamo, 6, allora dovremmo considerare il resto della divisione di un numero per 5: essa coinciderebbe con la radice numerica, cioè con la somma delle cifre del numero stesso (ripetuta finché ridotta ad una sola cifra, cioè ad un numero compreso tra 1 e 5).
- Questo è molto interessante. Allora nella numerazione ternaria, che ricorre alle cifre 0, 1 e 2, le famiglie sono soltanto due, quella dell'uno e quella del due?
- Esatto. E, rispettivamente, sono null'altro che la famiglia dei numeri dispari e quella dei numeri pari.
- Aspetta, provo un esempio. Il numero ternario 112 equivale al 14 decimale. Per calcolare la radice numerica si ottiene (sempre restando nel sistema ternario) 1+1+2=11, e quindi 1+1=2. Infatti 14 è pari.
- Bravo. Se poi prendi un altro numero ternario, poniamo 201, che equivale a 19, per arrivare alla sua radice numerica devi calcolare 2+0+1=10, e quindi 1+0=1. Infatti 19 è dispari.
- E se sommi i due numeri?
- Proprio quello che volevo fare. 112 più 201 in ternario fa 1020 (in decimale, 14 più 19 fa 33). Calcoliamo la radice numerica: 1+0+2+0=10, e 1+0=1. Infatti 33 è dispari.
- Non fa una grinza. Ora andrò a dormire un po' più contento.
- Anch'io. Buonanotte!
- Buonanotte!

Carnevale della Matematica

Forse immeritatamente, da "absolute beginner", Mr. Palomar ha partecipato alle ultime cinque edizioni del prestigioso Carnevale della Matematica, iniziativa creata da .mau. sul modello del Carnival of Mathematics.


Il Carnevale della Matematica è un bellissima idea per raccogliere i blogger italiani di divulgazione matematica: ogni mese, precisamente il giorno 14 (la scelta del giorno non è certo casuale, e non serve che io spieghi il perché), uno dei blogger pubblica un post che raccoglie e recensisce i post che gli altri blogger hanno scritto nel mese trascorso e che gli hanno segnalato.
Ogni mese viene fissato un tema, che non è tuttavia vincolante ai fini della partecipazione al Carnevale.
L'iniziativa permette così di far conoscere nuovi blog di matematica agli appassionati e di divulgare con maggiore efficacia articoli che altrimenti rischierebbero di restare inosservati.

Finora, nonostante la maggior parte dei miei post siano stati recensiti e segnalati nei primi cinque Carnevali del 2011, non avevo mai pubblicato post che pubblicizzassero a loro volta l'iniziativa carnascialesca.
Rimedio adesso, con grave ritardo, ringraziando gli amici bloggers che hanno curato finora i Carnevali, sempre con impeccabili puntualità, precisione e brillantezza; e li ringrazio in particolare per avermi sempre volentieri ospitato.

Riporto qui i link ai cinque Carnevali che sono stati pubblicati tra gennaio e maggio, e che hanno recensito articoli di Mr. Palomar:

Carnevale di gennaio, ospitato da .mau.

Carnevale di febbraio, ospitato da Rangle

Carnevale di marzo, ospitato da Pi greco quadro

Carnevale di aprile, ospitato dai Rudi Matematici

Carnevale di maggio, ospitato da Dropsea

Numeri

Non sono certo un fan di Raf, ma appena ho visto, esposto nella vetrina di un negozio di dischi, il suo nuovo album intitolato "Numeri", ho subito pensato che, nel blog che ha esplorato alcuni strani legami tra matematica e musica pop, un seppur minimo accenno doveva esserci.
Nel testo della canzone che dà il nome al disco le voci di Nathalie, Frankie HI-NRG MC e Raf affastellano, un po' disordinatamente, nozioni matematiche varie, mescolate a improbabili rime, notizie da Istat e autocitazioni autoironiche:

Primi, perfetti, reali, razionali,
Oppure dispari, complessi, perduti, dimenticati.
Siamo numeri, siam ricchi e poveri, ma siamo solo numeri,
Siam donne e uomini, siam numeri di tutti i generi.
Espressi in indici, riassunti in medie
Sempre in numero un po' superiore a quello delle sedie.
60 milioni di cui 1/3 lavora, 1 su 30 sta a casa,
1 su 1000 non la trova.
Tu contane 8, il nono è povero
E per l'erario ogni 1000 di loro c'è un ultramilionario.
Ma la gente che dà i numeri, che fa i numeri è frequente
Superi chi ha i numeri e due scrupoli.
Forse solo oggi lo sappiamo per davvero
Cos'è rimasto di quelli anni '80: lo 0.

Il pifferaio alle porte dell'oracolo - Parte 3

Nella seconda parte di questo post vi parlavo di una procedura ricorsiva in grado di generare tutti i numeri da 0 a 63 come stringhe binarie, oppure, il che è la stessa cosa, tutti i 64 esagrammi dell'I Ching, cioè tutte le combinazioni di 6 linee, intere e spezzate.
Ecco un esempio, in linguaggio Java.

package iching;

public class IChing {

    public static void main(String[] args)
    {
        String[] iching;
        int length = 6;
        iching = create_string(length);
        for (int i = 0; i <= (int)Math.pow(2,length)-1; i++)
        {
            System.out.println(i+1 + " - " + iching[i]);
        }
    }
   
    public static String[] create_string(int length)
    {
        String[] substr = new String[(int)Math.pow(2,length-1)];
        String[] str = new String[(int)Math.pow(2,length)];
       
        if (length==1)
        {
            str[0] = ":";
            str[1] = "|";
            return str;         
        }
        else
        {  
            substr = create_string(length-1);
            for (int i = 0; i <= (int)Math.pow(2,length-1)-1; i++)
            {
                 str[i] = ":" + substr[i];
                 str[i+(int)Math.pow(2,length-1)] = "|" + substr[i];
            }
            return str;
        }  
    }
}

Se avete la possibilità di eseguire questo programmino Java, provate: il risultato che otterrete saranno i 64 esagrammi dell'I Ching, nell'ordine di Shao Yung, e rappresentati con i due simboli ":" e "|", che corrispondono rispettivamente alla linea spezzata e alla linea continua. Se nel codice del programma sostituite i due simboli rispettivamente con lo zero e l'uno, l'output sarà costituito dai numeri da 0 a 63 in notazione binaria.
Non mi soffermo sui dettagli del codice. Per chi conosce Java non sarà difficile orientarsi tra le istruzioni. Chi non lo conosce non si perderà granché: un programma è molto meno importante dell'algoritmo di cui esso rappresenta la traduzione in uno specifico linguaggio. E dell'algoritmo che crea queste combinazioni abbiamo già discusso abbastanza nelle prime due parti: se ne parlassi ancora diventerei davvero noioso.

Come ho cercato di dimostrare in questi post, i rapporti tra l'I Ching e la matematica sono molto stretti, e numerosi articoli e libri sono stati scritti per esplorare questo connubio: è davvero sorprendente constatare quanto questo antichissimo testo sia intriso di matematica a tutti i livelli.
Sempre Gardner racconta che nel 1934, in un libro scritto da un certo Z.D. Sung, venne proposto un modo interessante per associare gli 8 trigrammi agli angoli di un cubo.

Notiamo che in questa figura viene utilizzata una convenzione opposta a quella che avevamo fin qui proposto: alla linea intera è infatti associato lo zero, e a quella spezzata è associato l'uno. Ma si tratta appunto di una semplice convenzione: l'una o l'altra sono ugualmente valide.
Ciò che conta è che alle 3 dimensioni del cubo corrispondono le cifre di un numero binario di 3 cifre: ad esempio all'asse X corrisponde la terza cifra, quella più a sinistra.
Poiché si tratta di cifre appunto binarie, esse possono assumere solo due valori. Ad esempio, se ci spostiamo nella direzione dell'asse X, la terza cifra passa dal valore 0 al valore 1.
Notate anche che i trigrammi reciprocamente complementari sono disposti agli angoli diametralmente opposti del cubo: ad esempio il trigramma costituito da tre linee intere, associato all'angolo del cubo etichettato con il numero 111, si trova nella posizione opposta al trigramma dalle tre linee spezzate, cioè all'angolo del cubo contraddistinto dal numero 000.

D'accordo, abbiamo imparato che un cubo può dare ospitalità agli otto trigrammi. E se volessimo fare altrettanto con combinazioni più lunghe, ad esempio tetragrammi? Il principio è del tutto analogo. Se un cubo, che è una figura tridimensionale, è adatto a rappresentare combinazioni di tre linee (o bit), allora per raffigurare sequenze di 4 cifre binarie abbiamo bisogno di un cubo nello spazio a 4 dimensioni, cioè di un ipercubo.

Se potessimo immaginare una simile figura, scopriremmo che i suoi angoli sono 16, esattamente come le possibili combinazioni di 4 bit.
Nel 1954, il grande pittore spagnolo Salvador Dalí realizzò un dipinto che raffigura una crocifissione, intitolato "Corpus Hypercubus" (vedi figura a lato).
Nel dipinto, Cristo non appare inchiodato ad una tradizionale croce, ma sospeso in aria e come appoggiato ad una strana struttura che vuole rappresentare lo "sviluppo" tridimensionale di un ipercubo a quattro dimensioni, così come un normale cubo può essere sviluppato su un piano nel modo raffigurato qui sotto.

Passando da 4 a 6 dimensioni, il cubo diventa un iper-iper-iper-cubo, con ben 64 angoli, che possono essere utilizzati per ospitare tutti i 64 esagrammi dell'I Ching.



Anche se è al di fuori delle nostre possibilità immaginare, anche lontanamente, una simile mostruosità geometrica, possiamo tuttavia provare a figurarci di spostarci da un iper-iper-iper-angolo all'altro di questo iper-iper-iper-cubo, muovendoci sui suoi iper-iper-iper-spigoli, così come possiamo fare con il normale cubo dei trigrammi di Z.D. Sung. Il nostro spostamento corrisponde al passaggio da un esagramma ad un altro, che differisce dal primo per una sola delle sue 6 cifre binarie: esattamente ciò che accade quando, interrogando l'oracolo cinese, viene sorteggiato un esagramma con una linea "mutante".
Che cosa intendiamo per linea mutante? Ogni linea dell'I Ching, indipendentemente dal fatto che sia intera o spezzata, può essere fissa oppure mutante. In quest'ultimo caso essa tende al suo opposto: in altri termini, se è intera, essa "tende" ad una linea spezzata, e viceversa. Un esagramma che contenga una linea mutante, di conseguenza, "tende" a trasformarsi in un altro esagramma che differisce dal primo per una sola delle 6 linee.
Ovviamente, quando l'oracolo risponde ad un nostro quesito proponendoci un esagramma, questo potrebbe presentare soltanto linee fisse, oppure una sola mutante, ma anche più d'una: allora l'esagramma tende ad un altro esagramma con più di una linea invertita rispetto al primo esagramma. In questo caso è come se ci si muovesse sull'iper-iper-iper-cubo su attraversando più di un iper-iper-iper-spigolo, cioè facendo variare più di una cifra binaria.

Se volessimo rappresentare sull'albero di Shao Yung un analogo tipo di passaggio da un esagramma con linee mutanti agli esagrammi "destinazione", dovremmo progettare spostamenti un po' più complicati. Lascio ai miei lettori l'ingrato (ma non troppo) compito di capire come funzionano questi "viaggi arborei".

Se in ogni esagramma ognuna delle 6 linee può mutare oppure no, non è difficile calcolare il numero degli esagrammi diversi che possono essere "raggiunti": è ovviamente 2⁶ = 64. Questo significa che attraverso il mutamento delle linee possiamo passare da un esagramma ad uno qualsiasi degli altri esagrammi, oppure restare nello stesso esagramma (se nessuna linea è mutante).
Se però ci limitiamo a considerare il caso in cui una e una sola delle sei linee muta, allora gli esagrammi "raggiungibili" sono soltanto 6, uno per ogni linea. Sulla base di questa limitazione, il testo classico dell'I Ching si riferisce spesso ad una "catena" di esagrammi, in cui la linea che muta sale di una posizione esagramma dopo esagramma. Partendo, ad esempio, dall'esagramma 1 che corrisponde a sei linee yang, cioè intere, e facendo mutare la sua linea inferiore, otteniamo l'esagramma 44, che ha la prima linea spezzata e le altre intere.

Apro qui una parentesi, per puntualizzare un fatto importante. Abbiamo visto come l'ordinamento "naturale" degli esagrammi non può che essere quello legato alla rappresentazione "binaria" di Shao Yung, che poi corrisponde esattamente a quello che esce dal programmino proposto all'inizio di questo post; sfortunatamente, però, questa sequenza non è la stessa adottata dall'I Ching, il quale, infatti, elenca gli esagrammi in un ordine "strano", apparentemente casuale e probabilmente privo di una regolarità e di un significato matematico.
E' un vero peccato! Ma tant'è: dobbiamo farcene una ragione. Se adottiamo la convenzione che interpreta la linea intera come uno e le spezzata come zero, e che associa la prima linea dell'esagramma, cioè quella più in basso, alla cifra meno significativa del numero binario, allora l'esagramma 1, ad esempio, non corrisponde alla rappresentazione binaria del numero 1, ma a quella del numero 63, e l'esagramma 44 corrisponde al numero 62.

Ma torniamo alla nostra "catena" di esagrammi. L'esagramma 1 viene associato al mese di maggio, quindi alla primavera inoltrata, in cui siamo adesso: è questo, nella concezione cinese, il periodo dell'anno più pienamente vicino al principio yang. Nell'esagramma 44, invece, la presenza della prima linea spezzata viene interpretata come l'inizio della penetrazione del principio yin, che si manifesta nel mese di giugno. Potrebbe sembrare naturale fare coincidere questo periodo dell'anno, in cui si compie il solstizio estivo, con la fase di yang estremo (per così dire il principio "estivo"), rimandando al mese successivo l'inizio dell'entrata dello yin (il principio "invernale"); invece, in perfetto accordo con la visione cosmica taoista, è proprio nel mese del solstizio d'estate che, paradossalmente, comincia a farsi sentire l'inverno, un po' come nel simbolo del Taijitu la parte yang (bianca) più "piena" contiene già in sè un seme di principio yin (nero).
Proseguendo il ciclo dei mutamenti, l'esagramma 44 si trasforma nell'esagramma 33, costituito dalle prime due linee spezzate e dalle successive quattro intere: esso è associato al mese di luglio. E così via, attraversando di seguito gli esagrammi 12 (agosto), 20 (settembre), 23 (ottobre), 2 (novembre).
Quest'ultimo è formato da sei linee spezzate. Rappresenta il culmine del principio yin, che precede di un mese il solstizio invernale. Da questo esagramma in poi, si ricomincia a far mutare le linee partendo da quella più in basso.
Ecco allora l'esagramma 24, nel quale la prima linea è yang e tutte le altre sono yin: è facile comprendere, a questo punto, che si tratta dell'esagramma speculare rispetto al 44. Nell'esagramma 24, legato al periodo del solstizio invernale, il principio yang, estivo, torna a fare sentire la propria timida influenza (ecco perché l'esagramma è associato, nell'interpretazione dell' I Ching, al "Ritorno"); nel corso dei mesi successivi questa crescerà gradualmente, attraversando uno alla volta gli esagrammi 19 (gennaio), 11 (febbraio), 34 (marzo), 43 (aprile) e alla fine di nuovo l'esagramma 1, corrispondente al mese di maggio.

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per comprendere il significato dei versi di Syd Barrett nel brano "Chapter 24". Prima di tutto, a quale esagramma dell'I Ching faceva riferimento il Pifferaio? Ovvio, all'esagramma n. 24: il "Ritorno".

Consultando una qualsiasi edizione dell'I Ching nella sezione dedicata a questo esagramma, troviamo frasi del tipo:

Sentenza: Il Ritorno. Riuscita. Uscire e rientrare senza male. Amici arrivano. Nessuna sfortuna. La stessa è la via dell'andare e del tornare e al settimo giorno viene il ritorno. Propizio quando c'è un luogo in cui andare.
Immagine: Il Tuono sotto la Terra: questa è l'immagine del Ritorno. Ispirandosi ad essa, gli antichi Re nel giorno del solstizio invernale facevano chiudere le porte della città, impedendo l'ingresso ai mercanti e agli stranieri, mentre i sovrani quel giorno non ispezionavano i lori territori.

La spiegazione fornita dal testo dell'I Ching fa riferimento al già descritto ciclo semestrale che parte dall'esagramma 44 (primo del ciclo) e, mutando una linea alla volta, giunge all'esagramma 2 (sesto del ciclo), associato all'oscurità yin del mese di novembre.

A movement is accomplished in six stages

(Un movimento si compie in sei stadi)

Il mutamento di quest'ultimo esagramma genera il settimo esagramma del ciclo, appunto l'esagramma 24, il "Ritorno", nel quale una giovane luce yang fa capolino anticipando il prossimo avvento delle stagioni calde:

...And the seventh brings return.
The seven is the number of the young light

(...E il settimo riconduce al principio.
Il sette è il numero della luce giovane)

E' interessante notare che l'esagramma che precede il 24, e che rappresenta l'oscurità yin del mese di novembre, è l'esagramma 2. Nella nostra rappresentazione binaria "naturale", esso codifica il numero 0, mentre l'esagramma 24 corrisponde, come già detto, al numero 1. Barrett esprime perfettamente questo fatto con il verso

It forms when darkness is increased by one

(Si forma quando l'oscurità è aumentata di uno)


I successivi versi sono:

Change returns success
Going and coming without error
Action brings good fortune
Sunset

The time is with the month of winter solstice
When the change is due to come
Thunder in the other course of heaven
Things cannot be destroyed once and for all
Change returns success
Going and coming without error
Action brings good fortune
Sunset, sunrise

(Il cambiamento porta al successo,
Andare e venire senza errore.
L'azione porta buona sorte.
Tramonto.

Il tempo è quello del mese del solstizio invernale
Quando il cambiamento è destinato ad avvenire.
Tuono nell'altra rotta del cielo
Le cose non si distruggono una volta per tutte.
Il cambiamento porta al successo,
Andare e venire senza errore.
L'azione porta buona sorte.
Tramonto, alba.)


e si riferiscono ad aspetti legati all'interpretazione divinatoria dell'esagramma, che a noi interessa meno. Da notare però il corretto riferimento al periodo del solstizio invernale.
Finisce qui questa avventura all'interno delle meraviglie matematiche dell'I Ching. Ringrazio il Pifferaio, Syd Barrett per avermi guidato in questo mondo misterioso e fatato: senza di lui non sarei riuscito a orientarmi, e mi sarei perso nella selva oscura degli esagrammi.

Il pifferaio alle porte dell'oracolo - Parte 2

Nella prima parte del post ho tracciato una linea immaginaria (e forse improbabile) che congiunge il fondatore dei Pink Floyd, Syd Barrett, pifferaio alle porte dell'oracolo, e il fondatore dell'analisi matematica, Gottfried Wilhelm Leibniz, anche lui, e molto prima di Barrett, folgorato sulla via dell'I Ching.
In realtà il fascino di questo antichissimo libro, certamente tra i più celebri e importanti della storia della letteratura mondiale, ha conquistato intellettuali e artisti di ogni epoca.

Tra questi va ricordato lo psichiatra svizzero Carl Gustav Jung (nella foto accanto), continuatore e poi oppositore della teoria di Sigmund Freud. Jung scrisse tra l'altro una celebre prefazione alla versione inglese dell'I Ching, che ancora oggi troviamo in molte edizioni del libro. L'opera di divulgazione di Jung rese famoso in Occidente il testo sapienziale cinese, e legò la sua interpretazione alle sue teorie sulla sincronicità.
Interpretazione, appunto. Fin qui ho parlato dell'I Ching in termini matematici, ma non del suo significato divinatorio. Come si interroga il Libro? In estrema sintesi, il procedimento canonico consiste nel porre un quesito all'oracolo, il quale risponderà indicando uno dei 64 esagrammi: le tecniche utilizzate per sorteggiare l'esagramma fanno uso di lanci di monete oppure di estrazioni di steli di achillea.
I testi associati all'esagramma prescelto dovranno quindi essere interpretati per trarne la risposta al quesito. Ma non è nemmeno di questo che voglio parlarvi.
Si diceva della fortuna che l'I Ching riscosse in Occidente a partire dallo scorso secolo. Ma tutte le cose divenute molte famose, si sa, possono essere soltanto amate o odiate:

I don't believe in magic.
I don't believe in I Ching.
I don't believe in bible.
I don't believe in tarot.
(John Lennon, "God", 1970)

Nonostante le diffidenze lennoniane sul Libro dei Mutamenti, pare che il suo ex collega George Harrison, noto cultore delle culture orientali, si fosse ispirato all'I Ching, pochi anni prima, nel comporre il testo della celebre “While My Guitar Gently Weeps”.
Più sofisticato e strutturato fu il progetto che il compositore statunitense John Cage (nella foto sotto) condusse a partire dal 1951: Cage realizzò diverse composizioni lasciandosi guidare dall'aleatorietà dell'I Ching, utilizzato come oracolo.
Torneremo in futuri post sulle bizzarre tecniche compositive di Cage basate su criteri combinatori.
Più recentemente, il musicista danese Per Nørgård, famoso per la colonna sonora del film "Il pranzo di Babette", nel 1982 dedicò all’I Ching una sua composizione per percussioni; solo due anni fa Vittorio Nocenzi, fondatore e tastierista del Banco del Mutuo Soccorso, ha pubblicato un intero disco di pezzi pianistici ispirati ad altrettanti esagrammi dell'I Ching.

Anche lo scrittore di fantascienza Philip K. Dick fu conquistato dal mistero del Libro dei Mutamenti: i personaggi della sua opera più famosa, "La svastica del sole", parlano spesso dell'I Ching e ne fanno continuamente uso; pare che lo stesso Dick avesse interrogato l'oracolo per compiere alcune fondamentali scelte narrative durante la stesura del romanzo. Tra l'altro il capolavoro di Dick nasconde una struttura che definirei ricorsiva, o gödeliana, ma questa è un'altra storia (materiale per un futuro post).

Tutto questo per sfiorare solo in superficie i legami tra l'antico testo cinese, la musica, la letteratura. Ma questo è soprattutto un blog di matematica, quindi ancora una volta mi richiamo all'ordine per non divagare, e ritorno a parlare del buon Leibniz (nell'immagine sotto).
Fu un gesuita missionario, padre Joachim Bouvet, di ritorno da uno dei suoi viaggi in Cina, a mostrare al grande matematico quegli antichi e strani disegni che noi chiamiamo esagrammi.
A Leibniz le linee intere e spezzate che componevano gli esagrammi apparvero subito per quello che effettivamente sono: cifre binarie. La linea spezzata, ad esempio, poteva essere assimilata allo zero, e quella intera all'uno.
Leibniz stava già studiando la possibilità di costruire sistemi di numerazione non decimali, e la geniale intuizione celata dietro quelle antiche linee lo affascinò all'istante.
Che cosa c'è di meraviglioso nella numerazione binaria? Il fatto che con due soli principi fondamentali (lo yang e lo yin, per usare la terminologia cinese) si riesce ad esprimere qualsiasi cosa.
Il significato filosofico di questa possibilità è molto profondo. Nella logica classica aristotelica, il principio di non contraddizione e il principio del terzo escluso sembrano suggerire una visione "binaria" del mondo, in cui un'affermazione può essere o vera o falsa, e non può essere entrambe le cose né può darsi una terza possibilità. La numerazione binaria, tuttavia, va ben oltre queste regole logiche, in quanto non ci si ferma ai due principi fondamentali ("yang" e "yin", o, come direbbe Aristotele, "vero" e "falso"): attraverso il procedimento ricorsivo introdotto nella prima parte di questo post, i due "semi" iniziali, mescolandosi tra di loro a più livelli, fanno germogliare un universo di combinazioni potenzialmente infinito, e certamente molto più espressivo e sfumato del rigido dualismo logico aristotelico.
Nella visione cosmogonica suggerita dall'I Ching, dal caos primordiale, dall’universo "vuoto e senza forma", simboleggiato dal simbolo del Taijitu, deriva il dualismo dello yang e dello yin; quindi, per successive ramificazioni binarie, tutte le infinite sfumature permesse dalle combinazioni possibili. Dopo soli sei livelli di ricorsione, abbiamo già 2⁶ = 64 esagrammi, sufficienti a descrivere un universo divinatorio estremamente complesso ed espressivo, e di riflettere la complessità del mondo reale (che non è certo soltanto yang o soltanto yin).

Passando dall'ambito filosofico alla prospettiva matematica, l'essenza del discorso non varia, ed è esattamente questo il senso della numerazione binaria, così come quello di tutti i sistemi di numerazione.
Questi, infatti, si fanno carico di esprimere tutte le quantità possibili utilizzando un alfabeto limitato di simboli, appunto due nel caso binario, dieci nel caso decimale, e così via.
Il modo in cui i simboli si combinano è precisamente lo stesso meccanismo usato nell'I Ching per creare gli esagrammi.

Come abbiamo visto nella prima parte di questo post, le ramificazioni binarie ripetute ricorsivamente per sei livelli danno origine agli esagrammi, cioè alle combinazioni di sei linee (intere o spezzate), cioè, per usare una terminologia informatica, a stringhe di sei bit.
In un articolo del 1974, il grande Martin Gardner, indimenticato e non raggiunto maestro di tutti i divulgatori matematici, racconta che intorno all'anno Mille alcuni studiosi cinesi, tra i quali il pensatore Shao Yung, intuirono l'idea dell'albero binario e la applicarono agli esagrammi dell'I Ching.
Ripercorrendo, livello dopo livello, l'algoritmo ricorsivo descritto nella prima parte, si ottiene un diagramma come quello indicato nella seguente figura.


In questo diagramma la radice dell'albero è in basso, nella striscia bianca che rappresenta il "livello 0" e che corrisponde al Taijitu (o T'ai Chi). Da questo caos indifferenziato germogliano, al livello 1, i principi primi dello yin (nero) e dello yang (bianco). Al livello 2 lo yin di suddivide a sua volta in yin e yang, e così fa lo yang. Una volta completati sei livelli di questa suddivisione binaria, lo schema rivela automaticamente la struttura di tutti i 64 esagrammi. Come?
Osservate il sesto ed ultimo livello: è suddiviso in 64 caselle. Se immaginiamo di dividere l'intero schema (dal livello 1 al livello 6) in 64 colonne, e di rimpiazzare in ciascuna parte il nero con la una linea spezzata ed il bianco con una linea intera, le colonne rappresentano i 64 esagrammi!
Ma non è tutto. Se ci fermiamo a 5 livelli, osserviamo che al quinto livello ci sono 32 caselle: se consideriamo lo schema che si ottiene considerando i livelli dal primo al quinto, e lo suddividiamo nelle 32 colonne, esse corrispondono alle 32 combinazioni costruibili con 5 linee (potremmo forse chiamarli pentagrammi?). E così via, analogamente, per i 16 "tetragrammi", per gli 8 trigrammi, per i 4 bigrammi, e, limitandoci al primo livello, per i due principi cosmici dello yin e dello yang.

Se sostituiamo uno zero ad ogni linea spezzata, e un uno ad ogni linea intera, gli esagrammi nell'ordine di Shao Yung si trasformano in una sequenza di stringhe binarie: 000000, 000001, 000010, 000011, ..., 111111.
Che sequenza è? Ovviamente si tratta dei numeri da 0 a 64 espressi in notazione binaria!
Dato che, come abbiamo visto, il procedimento per ottenere queste combinazioni di bit è, nella sua essenza, ricorsivo, non dovremmo stupirci del fatto che possiamo scrivere una procedura di natura ricorsiva che genera tutti i numeri da 1 a 64 come stringhe binarie.
Appuntamento allora alla terza ed ultima parte del post, per vedere un esempio di tale procedura, e per continuare l'esplorazione nel meraviglioso mondo matematico dell'I Ching: senza dimenticare i misteriosi versi di Syd Barrett, che finalmente troveranno una spiegazione.

Il pifferaio alle porte dell'oracolo - Parte 1

A quanto pare, tra i post che ho pubblicato su questo blog, quello che ha riscosso i maggiori favori è stato quello sulla "Matematica di Ummagumma".
Per ringraziare i miei lettori dei complimenti e degli apprezzamenti su questo articolo, vorrei ancora una volta parlare di matematica e di informatica partendo da uno spunto "floydiano".
Il primo disco dei Pink Floyd uscì nel 1967, e venne realizzato nei mitici studi londinesi di Abbey Road, negli stessi giorni in cui i Beatles registravano l'epocale "Sgt. Pepper's Lonely Hearts Club Band".
Il suggestivo titolo, "The piper at the gates of dawn" ("Il pifferaio alle porte dell'alba"), fu copiato da quello di un capitolo del classico della letteratura per ragazzi "Il vento tra i salici", di Kenneth Grahame.

Quest'opera di esordio del famoso gruppo inglese fu quasi un lavoro personale di Syd Barrett. E' un esempio emblematico del rock psichedelico, pieno di sperimentazioni musicali e sonore, testi grotteschi e bizzarri, i cui protagonisti sono gnomi, biciclette, stelle e pianeti, spaventapasseri.
Tra le canzoni incluse nel disco, una delle meno note è "Chapter 24", il cui testo inizia con versi apparentemente molto misteriosi:








A movement is accomplished in six stages,
And the seventh brings return.
The seven is the number of the young light,
It forms when darkness is increased by one.
Change returns success,
Going and coming without error.
Action brings good fortune.
Sunset.

Un movimento si compie in sei stadi,
E il settimo riconduce al principio.
Il sette è il numero della luce giovane,
Si forma quando l'oscurità è aumentata di uno.
Il cambiamento porta al successo,
Andare e venire senza errore.
L'azione porta buona sorte.
Tramonto.

A cosa diavolo si riferiscono questi versi ermetici di Barrett?
Sarebbe dura, probabilmente impossibile, orientarsi tra queste parole se non fosse noto che la canzone trae ispirazione da uno dei libri più antichi della storia del pensiero cinese, noto come "I Ching", o "Libro dei Mutamenti".
Nel corpus dei testi classici della saggezza compilato da Confucio, l'I Ching rappresenta il testo più antico.
E' formato da una prima parte "classica" e da un "commentario". Entrambe le sezioni sono suddivise in 64 capitoli, uno per ciascuno dei possibili esagrammi.
Un esagramma è una combinazione di sei linee, ciascuna delle quali può essere continua (e legata al principio yang) oppure spezzata (e legata al principio yin). Disponendo di due tipi di linea, ci sono 2⁶ = 64 possibili combinazioni di sei linee: ecco spiegati i sessantaquattro esagrammi descritti nell'I Ching.

Nell'antica filosofia cinese, la contrapposizione tra lo yang e lo yin riflette la dialettica degli opposti che si completano reciprocamente e che si trasformano l'uno nell'altro, in una alternanza naturale ed eterna: dialettica che si riscontra, ad esempio, nelle contrapposizioni giorno - notte, maschio - femmina, sole - luna, caldo - freddo, secco - umido, estate - inverno, sud - nord, est - ovest, cielo - terra, attività - passività, movimento - riposo, durezza - morbidezza, forza - cedevolezza, e così via.
L'antico simbolo del Taijitu, centrale in tutta la filosofia e la cultura dell'Estremo Oriente, vuole proprio raffigurare la contrapposizione, la complementarietà e la reciproca trasformazione tra i due principi yang e yin.

Il principio yang, associato all'idea di forza, viene anche raffigurato, come già detto, dalla linea continua, mentre il principio yin, legato alla cedevolezza, è simboleggiato dalla linea interrotta, o spezzata.
Combinando due linee tra di loro, si possono creare 2² = 4 combinazioni, che possiamo chiamare bigrammi, e che nella tradizione cinese sono associate alle quattro fasi del ciclo delle stagioni, dei punti cardinali e dei momenti della giornata.
Guardiamo la figura sotto, in cui, seguendo il senso orario, si completa il ciclo formato dai quattro bigrammi: ciascuno di essi trova una propria corrispondenza con le quattro aree del Taijitu.
Ad esempio, combinando insieme una linea yang e una linea yin (la convenzione prevede di partire dal basso e salire verso l'alto), si ottiene il bigramma legato alla primavera, al mattino, all'est, cioè allo yang minore e al concetto di sorgente, di inizio; la fase successiva è associata alla combinazione di due linee yang, che simboleggiano l'estate, il mezzogiorno, il sud, cioè lo yang estremo e la crescita; ad esso segue il bigramma formato dalla sequenza yin-yang, che si associa all'autunno, alla sera, all'ovest, cioè allo yin minore e alla raccolta; e infine il bigramma formato da due linee yin, simbolo dell'inverno, della notte, del nord, cioè dello yin estremo e della prova da affrontare.

E mettendo insieme tre linee?
Si ottengono i trigrammi, che sono, ovviamente, 2³ = 8.


I trigrammi vengono messi in relazione, secondo la filosofia cinese, con gli otto principi cosmici simboleggiati dal Tuono, dal Fuoco, dallo Stagno, dal Cielo, dal Vento, dall'Acqua, dal Monte e dalla Terra.
La mitologia cinese narra di un mitico re Fu Hsi, vissuto intorno al 2900 a.C., dotato di quattro occhi e di una coda di serpente:a questo sovrano sarebbe stato rivelato, in modo soprannaturale, il significato profondo dei trigrammi.
Secondo l'interpretazione di Fu Hsi, i trigrammi vengono disposti in un ordine ciclico, strutturato in modo tale che trigrammi reciprocamente complementari (ad esempio il Cielo e la Terra, oppure il Tuono e il Vento) si trovino in posizioni opposte.
La complementarietà dei trigrammi ha un significato metafisico e simbolico, ma anche matematico: ogni trigramma si trasforma nel suo complementare sostituendo le linee yang con linee yin, e viceversa.

La disposizione di Fu Hsi viene spesso chiamata "cielo anteriore", oppure "disposizione primaria". In Estremo Oriente viene considerata come un simbolo di buona fortuna, e viene spesso associata con il simbolo del Taijitu.

Passando dalle linee yang e yin ai quattro bigrammi, e da questi agli otto trigrammi, abbiamo compiuto due passi tra loro analoghi: abbiamo essenzialmente moltiplicato per due, cioè abbiamo duplicato, ramificato.
Partendo dai trigrammi potremmo ripetere lo stesso procedimento, in modo ricorsivo (ricordate Ummagumma e le matrioske?), per ottenere le 16 combinazioni di 4 linee, le 32 combinazioni di 5 linee, e infine i 64 esagrammi dell'I Ching.
Ogni esagramma può essere visto anche come una coppia di trigrammi: d'altra parte 8x8 = 64.
Ma seguendo l'interpretazione ricorsiva di cui parlavo prima, non è difficile immaginare un albero la cui radice rappresenta il principio cosmico unitario del Taijitu:
1) da questo tronco di dipartono i due rami principali dello yang e dello yin, cioè della linea intera e della linea spezzata;
2) da ciascuno di questi rami partono altri due rami, che danno origine ai quattro trigrammi del ciclo delle stagioni;
3) al terzo livello hanno origine, per ulteriore biforcazione, gli otto trigrammi di Fu Hsi;
e così via, per arrivare ai 64 esagrammi e, se vogliamo, anche oltre, indefinitamente, creando combinazioni formate da un numero qualsiasi di linee.
Quella che abbiamo descritto è una struttura molto familiare agli informatici, che viene chiamata albero binario.
Com'è possibile? I cinesi di 3000 anni fa avevano già compreso l'essenza della numerazione binaria? Bè, pare proprio di sì.
Non è un caso che nel 1679 il filosofo e matematico tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz, nel suo trattato "De Progressione Dyadica", descrisse il sistema di numerazione binaria, oggi alla base di tutta l'informatica, citando esplicitamente l'I Ching come sua fonte di ispirazione.
Successivamente fu George Boole, verso la metà dell'Ottocento, a riprendere gli studi di Leibniz, e a costruire in modo strutturato la logica binaria, oggi chiamata anche, in suo onore, booleana.
Nelle prossime parti di questo post (che si preannuncia articolato e ricco di sorprese), ritorneremo agli esagrammi, agli alberi binari, e soprattutto ai misteriosi versi di Syd Barrett, pifferaio alle porte dell'oracolo.

Il "Computus" di Spencer Jones

Domani è Pasqua, e volendo inserire un post di sapore pasquale in un blog di matematica, non potevo che parlare del problema del calcolo della data della Pasqua.
Nei secoli passati si utilizzava la parola latina "computus", senza altre specificazioni, per indicare appunto questo particolare calcolo: prova dell'importanza che veniva attribuita a questo tipo di procedura.
Com'è noto, la Pasqua cristiana cade nella prima domenica successiva al primo plenilunio successivo all'equinozio di primavera. Ad esempio, la prima luna piena della primavera di quest'anno si è verificata lunedì scorso, 16 aprile: quindi per festeggiare la Pasqua dobbiamo aspettare domani. Il plenilunio precedente è stato il 19 marzo, troppo presto per considerarlo un plenilunio di primavera.
Questa curiosa regola per fissare la data in cui celebrare la resurrezione di Cristo fu stabilita al Concilio di Nicea del 325; in base ad essa, la Pasqua non può verificarsi prima del 22 marzo o dopo il 25 aprile. Quest'anno siamo quasi al limite massimo. Un giorno più in là e avremmo celebrato la più importante ricorrenza cristiana insieme alla Liberazione: l'ultima volta che accadde fu nel 1943, quando la seconda guerra mondiale era ancora in corso e il 25 aprile 1945 era di là da venire. La prossima volta sarà nel 2038.
Tre anni fa la Pasqua cadde, al contrario, molto "bassa": il 23 marzo, un solo giorno dopo il limite inferiore. Per vedere una Pasqua festeggiata il 22 marzo si deve risalire addirittura al 1761, e la prossima volta sarà nel 2285!
Come è ragionevole supporre, non tutte le date comprese tra il 22 marzo e il 25 aprile sono ugualmente probabili come date pasquali: ad esempio le Pasque basse sono, come abbiamo visto, piuttosto rare.
La figura seguente illustra la distribuzione statistica: come vedete le date comprese tra il 28 marzo e il 20 aprile sono più o meno equiprobabili, con un curioso picco positivo in corrispondenza del 19 aprile, mentre le date "basse" e "alte" sono progressivamente più rare mano a mano che ci si avvicina ai limiti consentiti.

Come si esegue il "Computus"?
L'algoritmo più famoso è sicuramente quello scoperto dall'onnipresente matematico Carl Friedrich Gauss, ma questa procedura ha il difetto di utilizzare un parametro che varia a seconda dell'intervallo di due secoli che si considera.

Un algoritmo che non presenta questa aspetto "poco elegante" (sono certo che Gauss da lassù mi perdonerà per questa impertinenza) è riportato sul prezioso libro "Astronomical Algorithms" di Jean Meeus (edito da Willmann-Bell), ma venne descritto da Spencer Jones (nella foto accanto) nel suo volume "General Astronomy" del 1922.
Jones fu un illustre astronomo inglese, noto anche per essersi occupato, intorno al 1940, dell'affascinante problema dell'esistenza della vita su altri pianeti.
Il metodo di Jones, valido per il calendario gregoriano e per qualsiasi secolo, richiede, come unico dato di partenza, l'anno X del quale si desidera calcolare la data della Pasqua, e consiste nell'eseguire, in dieci passi, alcune divisioni, per ognuna delle quali occorre annotare quoziente e resto.
La tabella seguente dovrebbe fornire la descrizione completa dell'algoritmo.

       Dividere                 per   quoziente   resto

1)     l'anno X                 19                  a
2)     l'anno X                100        b         c
3)     b                         4        d         e
4)     b + 8                    25        f        
5)     b - f + 1                 3        g        
6)     19a +b -d - g + 15       30                  h
7)     c                         4        i         k
8)     32 + 2e + 2i - h - k      7                  l
9)     a + 11h + 22l           451        m        
10)    h + l -7m + 114          31        n         p

Una volta arrivati in fondo, n indica il mese in cui cade la Pasqua nell'anno X: 3 sta per marzo, 4 per aprile; e p+1 indica il giorno della Pasqua.
Ad esempio, prendiamo X = 2011. Dividendo 2011 per 19 otteniamo il resto a=16 (passo 1), e dividendolo per 100 otteniamo il quoziente b=20 e il resto c=11 (passo 2).
Se dividiamo b=20 per 4 (passo 3), il quoziente è d=5 e il resto è e=0; nel passo 4, b+8=28 va diviso per 25, fornendo il quoziente f=1.
Il passo 5 ci chiede di dividere b - f + 1 = 20 per 3, e otteniamo il quoziente g=6.
Nel passo 6, dividiamo 19a +b -d - g + 15 = 328 per 30, annotandoci il resto h=28.
Dividendo poi c=11 per 4 (passo 7), otteniamo il quoziente i=2 e il resto k=3.
Al passo 8, calcoliamo 32 + 2e + 2i - h - k = 5 diviso 7, e il resto è l=5.
Dividendo a + 11h + 22l = 434 per 451 (passo 9), otteniamo il quoziente m=0, e infine (passo 10), dividiamo h + l -7m + 114 = 147 per 31, ricavando il quoziente n=4 e il resto p=23.
Il valore n=4 ci dice che la Pasqua cadrà in aprile, e p+1=24 ci fornisce il giorno esatto, domani appunto.
Buona Pasqua a tutti i lettori di Mr. Palomar!

Strani sonetti

Sicuramente molti lettori hanno già sentito parlare dell'OuLiPo, e sanno cos'è: un gruppo di scrittori di lingua francese, fondato nel 1960, che inventò interessanti tecniche di scrittura "vincolata", spesso legate a criteri matematici.
Due celebri membri dell'OuLiPo furono Raymond Queneau, autore de "I fiori blu", di "Zazie nel metro" e degli "Esercizi di stile", e Georges Perec, che, come già raccontato in questo blog, utilizzò un quadrato greco-latino per dare una struttura al suo romanzo "La vita, istruzioni per l'uso".
Sulle tecniche di scrittura oulipiane si potrebbero riempire centinaia di post di interesse matematico: ma vorrei limitarmi ad un esempio piccolo piccolo, che vi propongo in forma di enigma domenicale.
Uno dei componenti dell'OuLiPo, certo meno noto di Perec e Queneau, fu Jacques Bens (1931-2001), il quale inventò una forma alternativa di sonetto, e riempì addirittura un intero libro con 41 esempi di questa nuova struttura.
Il sonetto classico è formato da quattordici versi, di solito endecasillabi, raggruppati in strofe composte rispettivamente da 4, 4, 3 e 3 versi (in totale appunto 14).
Per illustrare la struttura classica del sonetto propongo il seguente celebre esempio dantesco:

Tanto gentile e tanto onesta pare

Tanto gentile e tanto onesta pare
la donna mia quand'ella altrui saluta,
ch'ogne lingua deven tremando muta,
e li occhi non l'ardiscan di guardare.

Ella si va, sentendosi laudare,
benignamente d'umiltà vestuta;
e par che sia una cosa venuta
da cielo in terra a miracol mostrare.

Mostrasi sì piacente a chi la mira,
che dà per li occhi una dolcezza al core,
che 'ntender no la può chi non la prova:

e par che de la sua labbia si mova
uno spirito soave pien d'amore,
che va dicendo a l'anima: Sospira.

Il sonetto di Bens utilizza invece una struttura di strofe costituite rispettivamente da 3, 1, 4, 1 e 5 versi. Eccone un esempio:

Mélancolique

Je vais donc retrouver mes anciens horizons,
Cette odeur pas perdue des vents et des maisons.
J’ai l’air d’abandonner, mais n’ayez nulle crainte:

Si je quitte Paris, c’est pour le mieux aimer.

On incline à brusquer une banale étreinte.
Mais que vaut cet orgueil qui n’est plus de saison?
Allez donc réunir le cœur et les raisons.
La ville, en souriant, laisse sa rude empreinte:

Si je quitte Paris, c’est pour vous mieux aimer.

Vous mieux aimer, je ne pouvais y croire, mais
Je vois bien qu’aujourd’hui le présent nous emporte.
Il me faut, pour vous voir, m’éloigner quelque peu.
J’enferme mes regrets, puisque cela se peut,
Après avoir glissé ma clé sous votre porte.

Lascio ai lettori due compiti: il primo è tradurre il sonetto dal francese, il secondo, più interessante dal punto di vista della matematica giocosa, è capire il motivo di questa particolare struttura.
Non è affatto difficile, sono sicuro che l'avete tutti capito: il primo che inserirà un commento con la soluzione esatta meriterà un pubblico elogio su un prossimo blog.

Il nodo dei Led Zeppelin

Pochi giorni fa vi ho parlato delle meraviglie matematiche celate nel disco "Ummagumma" dei Pink Floyd. Quell'album uscì nel 1969. Un paio di anni dopo, i Led Zeppelin, altra grande band del rock britannico, realizzarono il quarto album della propria discografia, che essendo privo di un titolo ufficiale passò alla storia come "Led Zeppelin IV".

Il disco ebbe un successo enorme in tutto il mondo, e si stima che furono vendute circa 32 milioni di copie. Una delle canzoni contenute nell'album, "Stairway to Heaven", diventò uno dei brani più celebri della storia del rock.
In "Ummagumma" gli aspetti matematici non si nascondevano nelle canzoni, ma nella copertina: una cosa simile avviene anche in questo disco dei Led Zeppelin, curatissimo negli aspetti grafici e simbolici.

Sul recto della copertina (cioè sul davanti) appare l'immagine di una parete, con la carta da parati sbrindellata: appesa al muro, una vecchia cornice racchiude una fotografia di un contadino con una grossa fascina di legname sulle spalle.

Nell'interno della copertina, si ammira un disegno ispirato alla figura dell'Eremita dei tarocchi, mentre nella quarta di copertina, sopra i titoli delle canzoni, osserviamo quattro simboli misteriosi.
I quattro Led Zeppelin decisero infatti di firmare il loro disco ciascuno con un simbolo scelto personalmente.
Il primo simbolo, quello scelto da Jimmy Page, fu disegnato personalmente dal chitarrista: si trattava di uno strano segno, vagamente rassomigliante alla parola "ZoSo", ma del quale Page non rivelò mai il significato e l'origine.

Anche il quarto dei simboli raffigurati, associato al cantante Robert Plant, era originale, e pare ispirato ad una simbologia legata al mitico continente Mu.
Il secondo e il terzo simbolo, rispettivamente scelti dal bassista John Paul Jones e dal batterista John Bonham, furono trovati sul famoso "Book of Signs" di Rudolf Koch.
Il simbolo di Bonham raffigurava tre anelli intrecciati, associati alla triade di madre, padre e figlio; ma è quello di Jones che merita qualche parola in più in un blog come questo, dato il suo interesse geometrico.

Il nome tecnico della figura scelta dal bassista è "triquetra". Si tratta di una strana forma che si può costruire utilizzando esclusivamente dei cerchi. In che modo? Prendete due cerchi uguali, e intersecateli tra loro come mostrato nella figura a fianco, facendo in modo che il centro di ognuno si trovi sulla circonferenza dell’altro. L’intersezione tra i due cerchi è la figura centrale bianca, detta “vesica piscis”, cioè vescica di pesce, o anche “mandorla”. Questa semplice figura geometrica cela in sé una interessante particolarità matematica. Se calcoliamo il rapporto tra la sua altezza e la sua larghezza, otteniamo esattamente il valore della radice di 3. Gli antichi greci si erano accorti di questa proprietà, che d’altra parte può essere dimostrata per via geometrica abbastanza facilmente.
Per le sue proprietà geometriche e matematiche, la “vesica piscis” è sempre stata un simbolo religioso e mistico, non solo in India, nella Mesopotamia antica e in varie civiltà asiatiche e africane, ma anche nel Cristianesimo. La mandorla venne associata alla figura di Cristo in quanto legata al concetto di seme e quindi simbolo di vita; inoltre, essendo l’intersezione tra due cerchi, apparve come simbolo perfetto di Cristo in quanto ponte tra il mondo materiale e quello spirituale, tra l’uomo e Dio.

Bene, ora che conosciamo e abbiamo imparato a costruire una “vesica piscis”, la possiamo usare per costruire la triquetra: è importante sapere che per raggiungere il nostro obiettivo non ci basterà una “vesica piscis”, e nemmeno due, ma ce ne serviranno ben tre, che dobbiamo sovrapporre tra loro come indicato nella figura qui sotto.


I lettori più smaliziati si saranno però accorti che la triquetra mostrata nella figura non è soltanto una sovrapposizione di tre figure a forma di mandorla: o meglio, può essere vista anche così, ma può anche essere costituita come una linea, intrecciata mirabilmente a se stessa, che disegna il contorno delle tre “vesicae piscis”. Costruita così, la nostra triquetra è a tutti gli effetti un nodo, e in particolare il cosiddetto “nodo a trifoglio”. Gli esperti di araldica riconosceranno in questo tipo di nodo un simbolo molto utilizzato negli stemmi, che riecheggia nel proprio nome la celebre leggenda del nodo di Gordio legata ad Alessandro Magno: il “nodo gordiano”.
Il profilo del nodo a trifoglio e del nodo gordiano differisce da quello della triquetra per il fatto di avere le estremità arrotondate, laddove la triquetra mostra invece le punte che le derivano dalle tre “vesicae piscis”.

Lo studio delle strutture topologiche riconducibili a nodi, cioè a curve chiuse intrecciate nello spazio, occupa nella matematica un posto non trascurabile. La teoria dei nodi ha importanti applicazioni alla fisica, alla chimica e alla biologia. Uno dei primi matematici che studiarono i nodi, già nel Settecento, fu Alexandre-Théophile Vandermonde, che molti studenti o ex studenti associano inevitabilmente al concetto matematico del determinante. In seguito a studiare i nodi furono, oltre che i matematici, anche molti fisici. Lord Kelvin nel 1867 propose la teoria degli “atomi vortice”, secondo la quale gli atomi non sono altro che mulinelli che si muovono nell’etere, annodati tra di loro; per verificare la solidità della teoria Kelvin, aiutato da altri ricercatori, si imbarcò nell’enorme impresa di compilare una tavola di tutti i nodi topologicamente distinti. La teoria degli atomi vortice non resse a lungo, e crollò quando i fisici compresero che l’etere non esisteva; ma le ricerche sui nodi compiute da Kelvin e dagli altri matematici rimasero preziose e vennero continuate. Oggi lo studio matematico dei nodi e dei cosiddetti “link” (cioè collezioni di nodi) rappresenta una delle più complicate, interessanti e attive branche della matematica. Uno dei punti di contatto con la fisica è oggi rappresentato dalla teoria delle stringhe, tra le candidate a fornire una modalità di conciliazione tra la relatività generale e la fisica quantistica.
La triquetra, in particolare, rappresenta, nella teoria dei nodi, l’esempio più semplice di nodo non banale. Se la “vesica piscis” era stata usata come simbolo di Cristo, la triquetra venne spesso associata alla Trinità, e tale associazione appare abbastanza ovvia se consideriamo la natura “triplice” di questa figura.
Il simbolo della triquetra appare spesso nell’arte e nella cultura germanica e in quella celtica.

Insomma, quando John Paul Jones scelse questo simbolo per firmare, assieme agli altri tre Led Zeppelin, il loro capolavoro del 1971, scelse una figura semplice, figlia soltanto di umili cerchi, ma sorprendentemente densa di matematica, di storia, di cultura.