Le nove famiglie

Mr. Palomar e Mr. Wilson passeggiano di notte per le vie della città, di ritorno da una piacevole seratina in birreria in compagnia di amici.
Prima di arrivare all'incrocio dove dovranno dividersi per raggiungere ciascuno la propria abitazione, Mr. Wilson se ne esce con uno dei suoi soliti indovinelli:
- Scegli un numero qualsiasi di due cifre, e somma le due cifre tra loro!
- Eh? - risponde Mr. Palomar, spaesato.
- Dai, non vorrai lasciar finire la serata senza un giochino come si deve!
- Va bene, scelgo un numero di due cifre. Sommo le sue cifre. E poi?
- Se la somma ha ancora due cifre, sommale ancora, fino a ridurti a una sola cifra.
- E poi?
- Sottrai la somma delle cifre dal numero iniziale.
- Fatto.
- Ora somma le cifre del numero che hai ottenuto. Il risultato è... 9!
- E' vero! Scommetto che tu voglia che io ti chieda: "Come hai fatto?"
- Sì. Chiedimelo.
- Come hai fatto?
- Ora te lo spiegherò. Devi sapere che tutti i numeri naturali si distribuiscono in nove famiglie.
- Nove famiglie?
- Prendi i primi numeri naturali, da 1 a 9. Il numero 1 lo assegniamo alla famiglia dell'uno, il 2 quella del due, il tre a quella del tre, e così via, fino ad arrivare al 9, che appartiene...
- ... alla famiglia del nove.
- Bravo.
- Grazie. Non mi sembra una conclusione affascinante e sorprendente. E non spiega il giochino di prima.
- No, ma aspetta. il numero 10 dove lo metti?
- Non ne ho idea.
- Abbiamo detto che abbiamo nove famiglie.
- Allora suppongo che tu voglia inserire il 10 nella famiglia dell'uno, in modo da ricominciare la successione.
- Esatto. L'11 lo mettiamo poi nella famiglia del due, e così via.
- Ancora non vedo nulla di interessante. Dato un numero qualsiasi, basta dividerlo per 9: il resto ottenuto ci dirà a quale famiglia appartiene.
- Non è del tutto esatto. Se ad esempio prendiamo numeri divisibili per 9, otteniamo resto zero, però abbiamo chiamato questa famiglia "famiglia del nove", non "famiglia dello zero".
- E' solo una questione terminologica.
- Te lo concedo. Ora ti faccio vedere qualcosa di più divertente. 10 è formato da 1 e 0. Se fai 1 più 0...
- 1 più 0 fa 1, e infatti il 10 è nella famiglia dell'uno.
- Già. E questo funziona per tutti i numeri successivi. Invece di dividere per 9 e calcolare il resto, basta sommare le cifre del numero. Ad esempio il 53 appartiene alla famiglia...
- ... dell'otto. Ma che mi dici, ad esempio, del numero 58? 5 più 8 fa 13, e noi abbiamo solo nove famiglie...
- Se hai ottenuto 13, ripeti il procedimento: 1 più 3 fa 4, quindi il 58 sta nella famiglia del quattro!
- Sei sicuro che funziona?
- Se non ci credi prova! Il "numero di famiglia" è chiamato anche "radice numerica".
- Quindi che la radice numerica di 53 è 8, e quella di 58 è 4.
- Proprio così.
I due sono ormai arrivati al bivio.
Mr. Wilson continua:
- Ma non è finita qui. Se sommi tra di loro due numeri interi, la radice numerica del risultato sarà la somma delle radici numeriche degli addendi. Provare per credere!
- E se la somma delle radici numeriche supera 9?
- Solito trucco. Somma le cifre fino a ridurti a un numero compreso tra 1 e 9.
- In effetti funziona. 53 più 58 fa 111, che ha radice numerica 3. Le radici numeriche di 53 e 58 sono rispettivamente 8 e 4, che sommate danno 12. E 1 più 2 fa 3!
- Vedi che è divertente? E la cosa funziona analogamente anche per la sottrazione, per la moltiplicazione e la divisione.
- Adesso che ci penso, questa non è altro che la prova del nove che ci insegnavano alle elementari!
- Proprio lei. Adesso ti è chiaro il giochino di prima?
- In effetti sì! Hai detto che la radice numerica della sottrazione tra due numeri è uguale alla sottrazione tra le radici numeriche dei numeri stessi.
- Esatto.
- E dato che il numero di due cifre che ho scelto all'inizio e la sua radice numerica hanno ovviamente la stessa radice numerica, la loro differenza apparterrà alla famiglia del nove, che poi è quella dei numeri divisibili per nove.
- Bravissimo. Ma le radici numeriche hanno altre proprietà interessanti.
- Ad esempio?
- Ad esempio le famiglie del tre, del sei e del nove non comprendono numeri primi, fatta eccezione per il numero 3.
- Curioso.
- I multipli di 1, 2, 4, 5, 7 e 8 hanno tutte le radici numeriche, distribuite secondo una successione periodica, mentre i multipli di 3 e 6 hanno radici numeriche 3, 6 e 9. I multipli di 9, invece, lo sappiamo già, hanno sempre radice numerica 9.
- Interessante. Ma, pensavo, tutto questo funziona con il nove. Se provassimo con un altro numero? Funzionerebbe lo stesso?
- No, non funzionerebbe. Il nove funziona perché noi esprimiamo i numeri con il sistema di numerazione decimale. Se usassimo la numerazione in base, diciamo, 6, allora dovremmo considerare il resto della divisione di un numero per 5: essa coinciderebbe con la radice numerica, cioè con la somma delle cifre del numero stesso (ripetuta finché ridotta ad una sola cifra, cioè ad un numero compreso tra 1 e 5).
- Questo è molto interessante. Allora nella numerazione ternaria, che ricorre alle cifre 0, 1 e 2, le famiglie sono soltanto due, quella dell'uno e quella del due?
- Esatto. E, rispettivamente, sono null'altro che la famiglia dei numeri dispari e quella dei numeri pari.
- Aspetta, provo un esempio. Il numero ternario 112 equivale al 14 decimale. Per calcolare la radice numerica si ottiene (sempre restando nel sistema ternario) 1+1+2=11, e quindi 1+1=2. Infatti 14 è pari.
- Bravo. Se poi prendi un altro numero ternario, poniamo 201, che equivale a 19, per arrivare alla sua radice numerica devi calcolare 2+0+1=10, e quindi 1+0=1. Infatti 19 è dispari.
- E se sommi i due numeri?
- Proprio quello che volevo fare. 112 più 201 in ternario fa 1020 (in decimale, 14 più 19 fa 33). Calcoliamo la radice numerica: 1+0+2+0=10, e 1+0=1. Infatti 33 è dispari.
- Non fa una grinza. Ora andrò a dormire un po' più contento.
- Anch'io. Buonanotte!
- Buonanotte!