martedì 20 marzo 2012

Carnevale dei libri di scienza #6: numeri

Non poteva iniziare meglio, la primavera 2012: in questo giorno equinoziale ecco arrivare la sesta edizione del Carnevale dei libri di scienza, per questo mese allestito da Alice Della Puppa del blog della Libreria Baobab.
Un Carnevale molto interessante, a partire dal tema "Numeri", attorno al quale si sono accumulati contributi particolarmente stimolanti.
La prossima puntata del Carnevale dei libri di Scienza sarà ospitato dal blog di Cristina Sperlari "Il piccolo Friederich", con il tema ”A scuola di scienza: libri di scienza per bambini e ragazzi”. La scadenza per la presentazione dei contributi è fissata al 19 aprile 2012.

sabato 17 marzo 2012

L'ossessione dei numeri primi

Se volete capire l'ipotesi di Riemann (e tutto l'insieme di scoperte, teoremi e problemi aperti che sono contigui alla famosa congettura), e desiderate farlo attraverso una spiegazione che sia divulgativa ma al tempo stesso un po' più approfondita di una superficiale introduzione, questo è il libro che fa al caso vostro.
Meno celebre del pur ottimo bestseller "L'enigma dei numeri primi" di Marcus du Sautoy, questo saggio del giornalista e scrittore anglo-americano John Derbyshire, edito nel 2003, riesce nell'intento di spiegare con chiarezza una delle parti più profonde e difficili di tutta la matematica.
Alternando capitoli di carattere storico e capitoli più squisitamente matematici, Derbyshire accompagna il lettore lungo la storia dell'irrisolto enigma della distribuzione dei numeri primi, e racconta le scoperte dei grandi protagonisti di questa vicenda appassionante.
A chi non abbia dimestichezza con i formalismi della matematica, questo testo potrà sembrare indigesto per l'abbondante ricorso a formule; viceversa questa stessa caratteristica sarà molto apprezzata da chi, non temendo equazioni e dimostrazioni, sia curioso di avventurarsi più profondamente nel mondo dei numeri primi.
Il libro è stato ristampato da Bollati Boringhieri per un'edizione speciale distribuita dalla rivista "Le Scienze".

mercoledì 14 marzo 2012

Pi Day e Carnevale della Matematica #47 su DropSea

Nella smorfia napoletana il 47 è il numero del morto. L'edizione n. 47 del Carnevale della Matematica, tuttavia, è tutto fuorchè una cosa morta, perché raramente si sono visti carnevali così ricchi e appassionanti.
Oggi, tra l'altro, non è il solito quattordici del mese buono per l'appuntamento matematico-carnascialesco, ma il padre di tutti i giorni quattordici: il 14 marzo, cioè il 3.14, insomma pi greco!
In altri termini, oggi è il Pi Day! E per celebrarlo degnamente non potete non leggere la magnifica carrellata di post e articoli che Gianluigi Filippelli di DropSea ci ha regalato.

Il prossimo appuntamento del Carnevale sarà ospitato il 14 aprile da MaddMaths!
Buon Pi Day a tutti!

domenica 11 marzo 2012

I ponti di Eulero

Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero, era un costruttore di ponti. Non mi riferisco ai sette ponti che scavalcano il fiume Pregel nella città prussiana di Konigsberg, legati al famoso problema topologico che Eulero risolse nel 1736, ma alle innovative connessioni che il geniale matematico svizzero riuscì a stabilire tra molti rami diversi della matematica.
I ponti scoperti da Eulero collegarono tra loro, in modo spesso sorprendente, settori come la teoria dei numeri, l’analisi, lo studio dei numeri complessi, la topologia, la geometria analitica.
Uno di questi ponti è la celebre identità scoperta da Eulero nel 1748:






Questa formula viene spesso considerata “la più bella di tutta la matematica” perché raccoglie in una meravigliosa sintesi alcuni degli operatori e dei numeri fondamentali della matematica: l'addizione, l'esponenziale, lo zero, l'uno, il numero di Nepero e, la costante immaginaria i e il celebre π.
A proposito di π, uno dei legami più interessanti che Eulero esplorò, sotto molteplici punti di vista, è quello tra il fatidico rapporto geometrico e i numeri primi.
Che cosa lega tra loro queste due nozioni matematiche? Apparentemente nulla. π è un numero irrazionale, addirittura trascendente, come ho accennato in questo mio post, mentre i numeri primi sono i numeri naturali refrattari alla divisione.
Prima del Settecento, π era ritenuto una costante d'interesse esclusivamente geometrico. Eulero fu il primo a comprendere che alcuni strani nessi congiungevano π ai numeri primi, passando attraverso concetti non banali come le serie convergenti e le funzioni.
Ad esempio, modificando opportunamente il segno di alcuni termini della celebre serie armonica, Eulero ottenne questa sorprendente equazione:


dove i segni dei termini, a parte i primi due, si determinano in questo modo:
- segno positivo se il denominatore è un numero primo del tipo (4m – 1);
- segno negativo se il denominatore è un numero primo del tipo (4m + 1);
- prodotto dei segni dei singoli fattori se il denominatore è un numero composto.
Mentre, com'è ben noto, la serie armonica non converge, cioè tende verso un valore infinito, questa particolare serie converge verso π molto lentamente: per arrivare alla scadente approssimazione 3,01 occorrono 500 termini, per determinare l'1 come prima cifra decimale ne servono 5000, e per arrivare a 3,14 bisogna utilizzarne ben 3.000.000.
Nonostante la scarsa utilizzabilità pratica, tuttavia, questa identità è una delle più notevoli della matematica, soprattutto per l'inatteso coinvolgimento del concetto di numero primo.

Un altro dei ponti euleriani tra π e i numeri primi è legato al celebre problema di Basilea e alla famosa formula prodotto di Eulero.
Il problema era stato proposto quasi un secolo prima dal matematico bolognese Pietro Mengoli, il quale aveva inutilmente cercato di calcolare una formula (o, come dicono i matematici, una "forma chiusa") che esprimesse il valore al quale tende la somma degli inversi dei quadrati di tutti i numeri naturali, cioè:

Ancora una volta si trattava di una serie imparentata con la serie armonica: in questo caso la differenza non stava nei segni dei termini, ma nella presenza dei quadrati al denominatore di ogni termine.
I quadrati al denominatore rendono i termini più piccoli e fanno sì che la serie converga. Non è difficile calcolare empiricamente che il valore al quale tende si aggira intorno a 1,64493: tuttavia nessuno fino al 1735 riuscì a determinare una forma chiusa per questo valore.
La trovò in quell'anno il nostro Eulero, il quale dimostrò che: 
Dividendo per 6 il quadrato di π si ottiene proprio quel fatidico valore 1,64493...
Eulero si accorse anche che il risultato poteva essere elegantememente generalizzato a tutti i casi in cui, al posto dei quadrati, compaiono potenze pari.
Ma questa volta cosa c'entrano i numeri primi? C'entrano, perché Eulero scoprì che, manipolando opportunamente quella somma degli inversi dei quadrati, si poteva ricavare la seguente formulazione alternativa:
dove il prodotto al secondo membro coinvolge tutti i numeri p primi.
Ad esempio, con s=2 si otteneva il caso particolare con il valore pari al quadrato di π diviso per 6.
Ecco quindi un nuovo strano ponte euleriano tra π e i numeri primi. Inoltre, ancora una volta π saltava fuori a sorpresa da un teorema che univa l'analisi matematica (le serie) e la teoria dei numeri (i numeri primi), ma che nulla c'entrava con cerchi e altre figure geometriche, i tradizionali luoghi nei quali ci si aspetta di trovare π.

Il teorema racchiuso nell'equazione esposta sopra prende il nome di "formula prodotto di Eulero", e riveste una grande importanza nella storia della matematica, soprattutto perché aprì la strada a molte fondamentali scoperte successive.
Il divulgatore inglese John Derbyshire, nel suo bel saggio "L'ossessione dei numeri primi", pubblicato in Italia da Bollati Boringhieri, ha ribattezzato questo teorema come la "Chiave d'Oro", sottolineando la sua rilevanza e la sua utilità.
Il primo membro dell'equazione non è altro che la definizione della celeberrima funzione zeta, che Bernhard Riemann esplorò a fondo più di un secolo dopo Eulero, introducendo le metodologie dell'analisi complessa e comprendendo meglio i suoi legami con i numeri primi.
Il ponte gettato da Eulero nel 1735 rappresentò il primo passo di un cammino appassionante, che portò alla formulazione dell'ipotesi di Riemann e alla definizione di una serie di misteri tuttora irrisolti.

martedì 6 marzo 2012

Se l'arrotondamento non quadra

Mr. Palomar ha l'abitudine di registrare le sue spese quotidiane su un quaderno a quadretti, suddividendole per settimana e per categoria di spesa.
Un pomeriggio Mr. Wilson va a trovare l'amico e nota il quaderno sul tavolo della cucina.
- Non ti facevo così preciso e minuzioso!
- E' una vecchia abitudine. Non so se serva veramente riempire queste pagine di conti, ma mi dà l'impressione di tenere le mie finanze sotto controllo.
- Vedo che registri tutto, fino all'ultimo centesimo.
- Già. Un giorno ho provato a registrare le spese arrotondandole all'euro, ma mi sono imbattuto in un problema che non sono riuscito a risolvere.
- Posso intuire. Ma sentiamo, che tipo di problema hai avuto?
- Guarda questa tabella. Sono le spese del mese di gennaio, suddivise in 5 categorie e riportate con precisione al centesimo.



- Bene, fin qui mi sembra tutto a posto, o sbaglio?
- Non sbagli. Ma guarda cosa succede in questa tabella. L'ho ricavata dalla precedente arrotondando ogni importo parziale all'euro, e calcolando i totali a partire da questi nuovi importi arrotondati.


Mr. Wilson osserva la tabella.
- Come prevedevo. Alcuni totali sono diversi da prima, e soprattutto sono diversi dal risultato che si sarebbe ottenuto arrotondando anche i totali con lo stesso criterio degli importi parziali.
- Esatto, è proprio questo il problema. I totali incriminati sono quelli che ho segnato in rosso. Ad esempio il totale delle spese della seconda settimana è diventata di 228 euro, mentre arrotondando il totale reale 227,1 si sarebbe dovuto ottenere 227.
- E' ovvio che questo accada: ad esempio se in una riga o in una colonna c'è una maggioranza di importi sopra la soglia del mezzo euro, o viceversa sotto quella soglia.
- Proprio così. E guarda il totale complessivo. E' sballato di quasi 2 euro e mezzo.
- Hai provato a vedere cosa succede se oltre agli importi parziali si arrotondano anche i totali?
- Sì, ho provato. Ed è venuta fuori questa tabella.


- E cos'hai notato?
- Apparentemente sembra risolvere il problema: peccato che stavolta i totali non siano sempre ottenuti come somma degli importi parziali. Ad esempio 90 + 87 + 7 + 44 non fa 227, ma 228.
- Risolvere il problema che hai osservato non è cosa facile. Anzi, è in generale impossibile se ci vincola ad arrotondare gli importi nel modo tradizionale.
- Cosa intendi per "tradizionale"?
- Intendo dire che di solito una somma viene arrotondata per eccesso se eguaglia o supera la soglia dei 50 centesimi, e per difetto se rimane sotto quel limite.
- Certo, mi sembra una scelta ragionevole.
- Ma così facendo ti imbatti sicuramente nel problema che hai notato, e non c'è rimedio.
- Cos'altro posso fare?
- Se accetti che un importo venga arrotondato per eccesso o per difetto indipendentemente dal livello dei centesimi di euro, allora il problema può essere risolto.
- E come?
- Utilizzando particolari algoritmi euristici studiati appositamente per escogitare una combinazione ottimale di arrotondamenti sulle diverse celle della tabella, con l'obiettivo di mantenere corrette le somme sulle righe e sulle colonne. Il problema è noto in letteratura come "problema dell'arrotondamento controllato" (in inglese "controlled rounding problem" o CRP).
- Interessante. Ma mi vuoi dire che altre persone oltre a me si sono imbattute nel problema di arrotondare somme di denaro?
- Sì, certo. Ma la cosa non riguarda soltanto valori economici. Il problema nasce storicamente negli istituti di statistica, soprattutto per esigenze legati alla privacy.
- Privacy?
- Gli istituti di statistica devono elaborare e pubblicare grandi tabelle di dati relativi alle caratteristiche della popolazione. Spesso, però, per evitare che certe informazioni possano violare la privacy delle persone rivelando dati riconducibili a singoli individui, è necessario "perturbare" certi dati arrotondandoli rispetto ad una certa base di riferimento. Così facendo, tuttavia, si va incontro alle difficoltà che hai visto anche tu.
- E quindi gli statistici hanno chiesto aiuto ai matematici.
- Sì, ma soprattutto agli informatici, perché le tecniche di risoluzione del CRP sono raffinati metodi euristici nei quali i ricercatori di informatica hanno dato il meglio di sè.
- Meno male. Mi sa però che continuerò a registrare le mie spese al centesimo.
- Forse ti conviene.  D'altra parte, così gli arrotondamenti quadrano sempre!