I quadrati magici (Parte 2)

Proseguendo la scorribanda nel mondo dei quadrati magici, ciò che subito balza all'occhio è la straordinaria quantità di analisi e ricerche che nel corso dei secoli sono state compiute su questi curiosi oggetti matematici. Più di mezzo secolo fa Martin Gardner faceva notare come nel 1838, quando la conoscenza di queste strutture era ancora meno profonda rispetto al 1960, veniva pubblicata un'opera sui quadrati magici articolata in tre ponderosi volumi.
Risulta perciò necessario selezionare gli argomenti, per non naufragare nell'oceano. Ecco allora che ci imbattiamo nella più antica documentazione di un quadrato magico 4x4, che si trova in una iscrizione del secolo XI o XII ritrovata a Nasik, in India.

Si tratta di un quadrato dotato di proprietà straordinarie, e per questo denominato "ultramagico".  Dicono che talvolta la magia, portata all'estremo e volta al lato oscuro, degenera in magia nera, stregoneria, o culto del demonio. Ecco che i matematici definiscono i quadrati ultramagici come quello di Nasik come "diabolici" .
Oltre ad avere le consuete caratteristiche dei quadrati magici, i quadrati diabolici esibiscono la costante di magia anche lungo le diagonali spezzate: ad esempio, costituiscono una diagonale spezzata le celle 13, 7, 4 e 10, oppure le celle 14, 8, 3 e 9.
Il risultato può essere ulteriormente generalizzato: nei quadrati diabolici ogni gruppo di quattro caselle adiacenti produce la costante di magia. In un quadrato diabolico 4x4 come quello in figura la costante di magia 34 salta fuori in 86 modi diversi!
E non solo: se componiamo un mosaico formato da molte copie contigue del quadrato, sarà diabolico ogni quadrato 4x4 che possiamo delimitare all'interno del mosaico.

Ma non abbiamo ancora finito di elencare le proprietà di questi quadrati magici. Cosa accade a un quadrato diabolico se spostiamo l'ultima riga in cima al quadrato? Semplice, rimane diabolico. E se spostiamo in basso la prima riga? Diabolicamente resta diabolico. Anche spostando una colonna da un'estremità all'altra non c'è nulla da fare, la diabolicità si conserva.
Anche le rotazioni e le riflessioni non intaccano le proprietà diaboliche di questo oggetto matematico. Gli studiosi hanno individuato altri tipi di operazioni che conservano la diabolicità, e hanno mostrato che queste trasformazioni costituiscono una struttura algebrica di gruppo.

Un'altra particolarità dei quadrati diabolici, descritta sempre da Martin Gardner, chiama in causa gli ipercubi, oggetti dei quali ho già parlato due anni fa, divagando a partire dal tema originario della matematica dell'I Ching (in quel post ricordavo tra l'altro lo sviluppo tridimensionale di un ipercubo dipinto da Salvador Dalí in "Corpus Hypercubus".
Cosa c'entrano i quadrati ultramagici con gli ipercubi? Se mettiamo in corrispondenza le 16 caselle di un quadrato diabolico con i 16 vertici di un ipercubo a quattro dimensioni, si ottiene una distribuzione di numeri tale per cui la somma dei quattro vertici di ogni faccia è pari a 34. Inoltre, la somma dei numeri sulle coppie che si trovano agli antipodi dell'ipercubo dà 17.
Sottoponendo l'ipercubo a riflessioni e rotazioni si ottengono 384 configurazioni, corrispondenti ai 384 quadrati diabolici 4x4.

Non bisogna confondere questo particolare legame tra quadrati diabolici e ipercubi con i "cubi magici", che altro non sono che gli equivalenti tridimensionali dei quadrati magici.
Un cubo magico è quindi una matrice tridimensionale n x n x n nella quale la somma dei numeri di ogni riga in ciascuna delle tre dimensioni e di ognuna delle quattro diagonali sia un numero costante, che anche in questo caso viene chiamato costante di magia. 
La costante di magia di un cubo magico tridimensionale è uguale a

Anche in tre dimensioni esiste la magia nera, e anche i cubi, come i quadrati, possono essere talmente magici da diventare diabolici: accade quando anche la somma dei numeri su ogni diagonale spezzata restituisce la costante di magia del cubo.

Più che ai cubi diabolici, i matematici hanno rivolto la loro attenzione ad un'altra categoria di cubi magici, detti "perfetti".  Possono vantare questo appellativo i cubi nei quali non soltanto le diagonali maggiori ma anche quelle interne sono magiche.
La ricerca sui cubi magici perfetti è relativamente recente: il primo, di ordine 7, fu scoperto nel 1866 dal missionario inglese Andrew Frost.

Nove anni dopo un quadrato magico perfetto di ordine 8 fu trovato da Gustavus Frankenstein, pittore e matematico tedesco dal cognome che era tutto un programma.  Un dipinto di questo artista-scienziato è riportato qui a lato.
Verso la fine dell'Ottocento sono stati scoperti cubi magici perfetti di ordine 9, 11 e 12, mentre solo nel 1988 è stato individuato un quadrato magico perfetto con n=10.

Ma esistono anche quadrati magici perfetti di ordine inferiore a 7? Ebbene, è stato provato che non ne esistono con n uguale a 2, 3 e 4, e fino a dieci anni fa si sospettava che non ne esistessero nemmeno di ordine 5 e 6.
Nel novembre 2003, il matematico tedesco Walter Trump e l'informatico francese Christian Boyer, facendo girare per settimane un sofisticato algoritmo in parallelo su cinque computer,  hanno finalmente trovato il più piccolo cubo magico perfetto, di ordine 5.  Due mesi prima, gli stessi due ricercatori avevano trovato anche il primo cubo magico perfetto di ordine 6.
Questa è una pagina che illustra in dettaglia l'impresa di Trump e Boyer; questa è invece una pagina su quadrati e cubi magici curata dallo stesso Walter Trump. Buon divertimento!

Parole informatiche: robot

Ritorna (vorrei dire a grande richiesta, ma non è proprio così...) la rubrica delle parole informatiche. Ho pubblicato l'ultimo post nel giorno di Capodanno, e poi più nulla. D'ora in poi le parole torneranno, spero con maggiore continuità e con post in generale più brevi.
Questa volta parlerò di robot. E per introdurre l'argomento con un video, quale migliore scelta se non i Kraftwerk di "The robots"?

La parola robot, che in italiano viene pronunciata a volte con l'accento sulla prima "o", e a volte con l'accento sulla seconda "o", deriva dal termine cecoslovacco robota, che significa lavoro pesante o lavoro forzato, e che discende, a sua volta, dal vocabolo rabota, in uso nell'antico slavo ecclesiastico con il significato di servitù.  Più precisamente, per robota si intendeva la corvée, cioè una prestazione agricola che il vassallo forniva al signore feudale per un certo periodo, tipicamente di sei mesi.

La stessa radice compare in molte altre lingue slave: ad esempio lavoro si dice rabota in russo e in ucraino, e robota in polacco; in quest'ultima lingua lavoratore si dice robotnik e il verbo fare si traduce robić. Pare che questa radice etimologica sia imparentata con quella che in tedesco ha dato origine al termine Arbeit, che significa sempre lavoro e che compariva nella tristemente celebre scritta "Arbeit macht frei" ("Il lavoro rende liberi") sul cancello d'ingresso del campo di concentramento di Auschwitz.
Anche il latino labor pare derivare dallo stesso ceppo indoeuropeo, attraverso una trasformazione della "r" in "l".

L'introduzione della parola robot, come è facile immaginare, è relativamente recente: fu lo scrittore ceco Karel Čapek a coniarla nel 1920, per la sua opera teatrale fantascientifica "I robot universali di Rossum".
Si può discutere sul fatto che i robot di Čapek erano in realtà "replicanti", cioè organismi biologici modificati attraverso procedimenti di ingegneria genetica, mentre in seguito al 1920 la parola passò a indicare soprattutto esseri meccanici artificiali (a questo proposito, chi fosse interessato a una tassonomia ragionata di androidi, cyborg, robot e replicanti può consultare l'affascinante "Dizionario degli esseri umani fantastici e artificiali" di Vincenzo Tagliasco).

In una sua memoria, lo stesso Karel Čapek ammette che il vero ideatore del termine robot non fu lui, ma suo fratello pittore Josef.  I due fratelli condividevano la pratica della letteratura oltre che l'interesse per il tema dei esseri artificiali, e tre anni prima lo stesso Josef aveva scritto un racconto in cui aveva utilizzato la parola automat (in italiano, automa).  Pare che Karel avesse originariamente ideato il termine labori, ma, non essendo soddisfatto del suono della parola, avesse accettato il consiglio del fratello a optare per il vocabolo robot.

La parola inventata dallo scrittore ceco divenne in breve tempo tra le più popolari, soprattutto nell'ambito della letteratura fantascientifica.  Non posso non citare, a tale proposito, i libri del celebre Ciclo dei Robot che Isaac Asimov scrisse a partire dagli anni Cinquanta, nei quali vide per la prima volta la luce il termine robotica (in inglese robotics).  In queste storie Asimov introdusse anche le famose tre leggi della robotica, alle quali i suoi robot positronici dovevano rigorosamente attenersi:
1) un robot non può recar danno a un essere umano né può permettere che, a causa del proprio mancato intervento, un essere umano riceva danno;
2) un robot  deve obbedire agli ordini impartiti da un essere umano, purché tali ordini non contrastino con la Prima Legge;
3) un robot deve proteggere la propria esistenza, purché tale autodifesa non contrasti con la Prima o con la Seconda Legge.

Da diversi decenni la robotica non è più un'esclusiva dei romanzi e dei film di fantascienza, ma è a tutti gli effetti una branca reale dell'ingegneria. I robot reali sono macchine automatizzate che, almeno in linea di principio, possono sostituire o imitare gli essere umani in particolari ambiti: e in questo senso, i robot sono certamente anche (ma non solo) legati all'informatica.
Tuttavia, esiste oggi un'altra accezione del termine robot (o dell'abbreviazione bot), strettamente legato alle tecnologie informatiche: ci si riferisce in questo caso a particolari programmi che accedono a internet, e in particolare al web, in maniera simile a come farebbe un utente umano, per assolvere a funzioni svariate in modo automatico.

Solitamente, i robot vengono impiegati per svolgere attività che richiedono tassi di ripetitività o velocità che non potrebbero essere raggiunti da un utente umano.

Ad esempio, ci sono robot che partecipano automaticamente a giochi online, ad aste online o a chatroom, che generano spam anche a scopo pubblicitario, che diffondono software maligni, e così via.

L'utilizzo più frequente è però il cosiddetto spidering, cioè l'analisi automatizzata delle informazioni prelevabili dai web server, allo scopo di indicizzare le pagine dei siti web per conto dei motori di ricerca.

I robot ai quali è assegnato questo compito hanno nomi pittoreschi, tra i quali spider (ragni), ants (formiche) o crawler (leccapiedi): lo so che non c'entra nulla, ma pensando a quest'ultimo nomignolo non riesco a trattenermi dal chiudere questo post con la bellissima "Carpet crawlers" dei Genesis.

 

Carnevale della Matematica #61 su "Notiziole di .mau."

E' uscita ieri, puntuale come un orologio svizzero, la nuova edizione del Carnevale della Matematica, la numero 61, questo mese allestita dal suo illustre Fondatore, Maurizio .mau. Codogno.
Il tema proposto era "costanti matematiche", ma, come dice lo stesso .mau., "io come al solito non l'ho seguito affatto".  Se è per quello nemmeno il sottoscritto, il quale questa volta è stato anche particolarmente poco generoso: uno solo post, sui quadrati magici, al quale però seguirà a breve una specie di sequel.
Molti hanno invece seguito la traccia indicata, e sono giunti alcuni post davvero notevoli, che dipingono un imperdibile quadro sul tema delle costanti matematiche.  Anche nei contributi fuori tema, comunque, non mancano affatto gli spunti di notevole interesse.
Ricordo che l'edizione di giugno del Carnevale sarà ospitata da Popinga, con il tema "Matematica e genio". Complimenti vivissimi a .mau. e ai partecipanti, e buona lettura a tutti!

I quadrati magici (Parte 1)

Qualche giorno fa io e mia moglie abbiamo portato ad una festa di compleanno a sorpresa il quadrato magico di tartine immortalato nella figura qui a fianco.
Per chi l'avesse dimenticato, viene detto "magico" un quadrato formato da n righe ed n colonne, le cui caselle sono riempite con i numeri interi positivi da 1 a n², disposti in modo tale che la somma su ogni riga, su ogni colonna e su ognuna delle due diagonali restituisca lo stesso numero.

Tanto per rincarare la dose, insieme alle tartine abbiamo portato alla festa anche degli stuzzichini geometrici, realizzati seguendo la ricetta che Robert Ghattas propone nel suo bel libro "Bricologica".

Il quadrato che ci siamo sbafati con i nostri amici ha una storia millenaria. Narra una leggenda che molti secoli prima di Cristo, al tempo della dinastia Shang, un pescatore (o, secondo altre versioni, un bambino) vide, lungo le rive del fiume cinese Lo, una tartaruga che portava sul guscio degli strani segni. Ad un'analisi più attenta ci si accorse che i segni costituivano un quadrato magico 3x3.  La mirabile struttura matematica venne ribattezzata "Lo Shu", e viene tuttora considerata in Oriente come simbolo sacro di armonia universale nonché come amuleto.
Non esistono altri quadrati magici 3x3 oltre a Lo Shu, se si eccettuano quelli ottenuti da questo per rotazione o riflessione.
Esistono quadrati magici più grandi? Certamente sì: anzi, è dimostrato che dato, un numero qualsiasi n più grande di 2, è sempre possibile costruire un quadrato magico n x n. Inoltre, al crescere di n, aumenta vertiginosamente il numero di quadrati magici che possono essere costruiti. Ad esempio, sempre trascurando rotazioni e immagini speculari, esistono 880 quadrati magici con lato n=4 e 275.305.224 quadrati magici con lato n=5, mentre non è noto quanti siano esattamente quelli con n>5.

La somma ricorrente che si ottiene sulle righe, sulle colonne e sulle diagonali dei quadrati magici si chiama, un po' alla Harry Potter, "costante di magia", e viene calcolata in funzione di n dalla formula

Nel quadrato "Lo Shu", la costante equivale a 15, nei quadrati 4x4 vale 34, in quelli 5x5 è uguale a 65, e così via.

Nei laboratori che realizzo per la scuola primaria, chiedo spesso ai ragazzi di disporre in un quadrato magico 9 tessere quadrate che portavano i numeri da 1 a 9. Il compito non è banale, anche se dopo qualche tentativo, e con qualche piccolo aiuto, l'obiettivo viene di solito raggiunto. Un semplice trucco per realizzare a colpo sicuro la disposizione magica (e non fare brutta figura davanti ai ragazzi) è questo: si dispongano i numeri in ordine da 1 a 9 (figura A), si ruotino i numeri esterni di una posizione, indifferentemente in senso orario o antiorario (figura B), e infine si scambino tra di loro i numeri collocati sugli "spigoli" del quadrato (figura C).

Un celeberrimo quadrato magico di ordine 4 appare nell'incisione a bulino che Albrecht Dürer realizzò nel 1514 e intitolò "Melancolia I". I critici d'arte concordano nel considerare quest'opera come una rappresentazione dello stato di depressione del suo autore. In una scena dall'atmosfera soffusa e lunare, una figura alata e in atteggiamento pensoso è circondata da strani simboli alchemici: una bilancia dai piatti vuoti, una scala a pioli, un levriero magro e dormiente, strumenti di carpenteria, una clessidra che misura il passare del tempo, un putto, una campana, un coltello, e, per finire, una sfera, un interessante tetraedro troncato, che forse meriterebbe da solo un post di argomento geometrico, e appunto un quadrato magico, posto nell'angolo in alto a destra.
Cosa c'entra il quadrato magico con la melanconia di Dürer? Secondo l'interpretazione prevalente, gli astrologi rinascimentali collegavano i quadrati magici all'influenza del pianeta Giove, ritenuta in grado di contrastare l'atteggiamento saturnino, associato all'alchimia e alla melanconia. Insomma, se la tradizione cinesi attribuisce ai quadrati magici proprietà di portafortuna, nel Rinascimento venivano considerati simboli dal potere "antidepressivo".

Il quadrato di Dürer non è un semplice quadrato magico, ma gode di straordinarie ulteriori proprietà.
La costante di magia 34 viene ottenuta non soltanto sommando i numeri sulle righe, sulle colonne e sulle diagonali, ma anche sommando i numeri dei quattro settori quadrati 2x2 in cui si può dividere il quadrato, e anche sommando i quattro numeri centrali e i quattro numeri agli spigoli.
Inoltre, il quadrato è simmetrico, nel senso che sommando ogni numero con il numero simmetricamente opposto rispetto al centro si ottiene 17.


Realizzare un quadrato magico simmetrico a partire da una disposizione iniziale ordinata dei numeri da 1 a 16 è, curiosamente, ancora più semplice del caso 3x3: è sufficiente invertire ciascuna delle due diagonali. Provate per credere! Se seguite le mie istruzioni, otterrete un quadrato simile a quello di Dürer, ma con le due colonne intermedie scambiate tra di loro. L'artista e matematico tedesco operò questo ulteriore scambio in modo da ottenere il colpo di teatro finale: i due numeri centrali dell'ultima riga compongono il numero 1514, anno di realizzazione dell'opera.

I quadrati magici costituiscono un ambito della matematica ricreativa estremamente ricco di sorprese. Ad esempio una delle sfide più entusiasmanti è quella di determinare il numero di quadrati magici di un certo ordine, che, come abbiamo visto, è ad oggi ignoto per ordini superiori al quinto.
Un altro problema molto interessante, soprattutto per i collegamenti con l'informatica, è legato alla costruzione di quadrati magici grandi.
Sono state utilizzate svariate tecniche per raggiungere questo obiettivo. Una delle più notevoli è quella che fa uso degli algoritmi genetici, dei quali ho parlato in un post di quasi due anni fa.
Per vedere l'agoritmo in azione, consultate questa pagina.
Se l'evoluzione biologica riguarda specie viventi, in questo caso ad evolvere sono i quadrati magici. La popolazione iniziale viene costruita introducendo nei quadrati valori casuali, che, nella maggior parte dei casi, non renderanno magico il quadrato. Il punteggio di idoneità (o fitness) viene assegnato ad ogni quadrato tenendo conto della sua "magia", cioè della sua vicinanza alla caratteristiche di magia sulle righe, sulle colonne e sulla diagonali. I quadrati con idoneità minore vengono scartati, mentre i più magici vengono selezionati per la riproduzione, che avviene attraverso scambi di valori tra diversi quadrati e mutazioni casuali.
Sugli individui della generazione successiva viene nuovamente assegnato il punteggio di idoneità, e il processo continua finché non viene raggiunto un limite di tempo o un quadrato non rivela finalmente la sua "magia".

Carnevale della Matematica #60 sul Gloglottatore

Raggiunge quota 60 (mesi) il glorioso Carnevale della Matematica.
Ad ospitarlo stavolta è stato il blog "Il gloglottatore", che ha confezionato una bella carrellata di informazioni sul numero 60, di spunti e contributi sul tema del mese (che era Euclide), nonché di segnalazioni fuori tema.
Il tutto impreziosito da una serie di dipinti di Klimt.
Tra i contributi non euclidei, i post dell'ultimo mese di Mr. Palomar: a spasso tra poliedri ungheresi, scacchi e germogli primaverili.
Complimenti al Gloglottatore e a tutti i partecipanti, e appuntamento a maggio sulle Notiziole di .mau., con il tema "Costanti matematiche".
Buon Carnevale a tutti!

Germogli

Stamattina sono uscito a fare una breve passeggiata con mia moglie alle pendici delle colline veronesi. Dopo molti giorni grigi, finalmente il sole ha fatto capolino lanciando una promessa di imminente primavera, e la visione luminosa degli alberi in fiore e dei nuovi germogli ci ha fatto bene al cuore.
D'altra parte, oggi è Pasqua, festa di resurrezione per antonomasia, la cui data è legata, anche matematicamente, a quella dell'equinozio di primavera.

Ma dicevo dei germogli. Esiste un gioco che porta proprio questo nome (in inglese sprouts), e non credo che esista una stagione migliore di questa per provare a giocarci.
Il gioco nacque nel 1967 nella mente geniale di John Conway, ideatore anche dell'automa cellulare Game of life, dell'algoritmo Doomsday per calcolare i giorni della settimana, dei numeri surreali e di molte altre meraviglie matematiche. A plasmare l'idea collaborò anche un collega di Conway a Cambridge, Michael Paterson.
Il gioco dei germogli ebbe subito un grande successo, come ricorda lo stesso Conway:

"Il giorno in cui i germogli incominciarono a germogliare sembrava che tutti, tra una lezione e l'altra, al caffè o nella pausa per il tè fossero presi dal nel nuovo gioco. In ogni angolo c'erano gruppi di studenti e professori che analizzavano movimenti e strategie dei germogli"

Come si gioca a Germogli? E' molto semplice: basta un foglio di carta e due giocatori, forniti ciascuno di una matita.
Si comincia tracciando sul foglio alcuni punti (o pallini): ne bastano pochi, ad esempio sette o otto.
A turno, ogni giocatore traccia una linea che unisca due punti (se si preferisce, la linea può partire da un punto e finire sullo stesso punto), e segna sulla linea tracciata un nuovo punto.
La linea può avere una forma qualunque, ma non deve intersecare le altre linee già presenti, né attraversare i punti esistenti. Per dirla matematicamente, il grafo del gioco deve mantenersi planare.
Il nuovo punto non deve coincidere con uno dei due punti estremi della linea: tipicamente viene disegnato intorno alla metà della linea, in modo da suddividerla, di fatto, in due nuove linee.
Esiste un'ultima regola da rispettare: da ogni punto non possono partire più di tre linee.
Vince il giocatore che, dopo aver tracciato la sua linea, mette l'avversario nelle condizione di non poter tracciare nuove linee.
Tutto qui.

Com'è noto, in matematica "bello" è quasi un sinonimo di "semplice". Ma "semplice" è il contrario di "complicato", e non di "complesso". Complicato è male, complesso è bene, si potrebbe sintetizzare. Tanto è vero che molte idee semplici, come i germogli di Conway, danno origine a meravigliose complessità, che rimangono belle e per nulla complicate.
La bellezza e l'eleganza hanno spesso a che fare con la complessità che, a sorpresa, sgorga dalla semplicità.
Il gioco "primaverile" di Conway è, in questo senso, un esempio brillante di semplicità e bellezza matematica: non stupisce quindi il fatto che sia stato ideato da un matematico e che molti matematici, a partire dallo stesso autore (in particolare nel suo libro "On Numbers and Games"), lo abbiano studiato in profondità.

Nelle tre figure seguenti è illustrata una semplice partita, con un solo punto iniziale (indicato in rosso). Come mostrato nella prima figura, il primo giocatore traccia una linea dal punto iniziale a se stesso, creando un nuovo punto (indicato in nero). Il secondo giocatore ha due mosse a disposizione, illustrate nelle due figure successive, ma entrambe lo portano alla vittoria, in quanto bloccano le mosse del primo giocatore.

In generale non esiste una strategia per giocare a Germogli, ma l'analisi del gioco porta a individuare metodi vincenti, suggerendo quali curve chiuse o aperte convenga tracciare per bloccare l'avversario. Ma tornerò sull'argomento nei prossimi post.
Per adesso, vi invito a cimentarvi nel gioco, per scoprire quanto possa essere un gioco divertente e metematicamente affascinante.
Ad esempio, per queste vacanze pasquali, potrebbe essere un'ottima alternativa alle gite fuori porta, rese impossibili dal tempo che non sembra affatto essersi messo al bello stabile.
Buona Pasqua e buona Pasquetta con i germogli!

Fantasia sulla scacchiera

Rileggendo i vecchi contenuti di questo blog, mi sono reso conto di non aver mai dedicato veramente un post al gioco degli scacchi, se non per parlare di aspetti marginali e di collegamenti con altri temi: ad esempio la leggenda dei chicchi di grano sulla scacchiera o il grande quadrato latino della "Vita istruzioni per l'uso" di Perec.
Non rimedierò oggi a questa mancanza, anche perché parlare di scacchi in modo davvero originale non è cosa facile per chi scacchista non è.  Parlerò invece di varianti al gioco classico degli scacchi. Non aspettatevi però una trattazione sistematica: vi dovrete accontentare di una incuriosita carrellata, disordinata e molto incompleta.

In un articolo dedicato proprio ai molti giochi da scacchiera, il grande Martin Gardner scriveva: "Come gli organismi biologici, i giochi si evolvono e proliferano in nuove specie. Alcuni semplici giochi, come il filetto, possono restare invariati per secoli; altri fioriscono per qualche tempo, poi svaniscono completamemte."
Dama e scacchi sono invece i giochi da scacchiera che hanno originato la più grande quantità di mutazioni, attraverso i secoli e i continenti.

Lo stesso Gardner ricorda che gli scacchi hanno probabilmente avuto origine in India nel VI secolo dopo Cristo, e che l'attuale versione internazionale standardizzata non è che una delle innumerevoli forme di scacchi conosciute.
Parlando di scacchi "fantasia", l'attenzione deve andare, ovviamente, sulle varianti sostanziali e non estetiche del gioco. In molti negozi si trovano infatti versioni caratterizzate da pedine dall'aspetto insolito, magari dall'ambientazione fantascientifica, zoologica o mitologica: le regole del gioco, tuttavia, restano invariate, e scarsa rilevanza ha il fatto che la torre può avere, ad esempio, l'aspetto di un elefante, e i pedoni quello di scimmie.

Le varianti sostanziali possono derivare dall'uso di scacchiere alternative o di tipi di pezzi non convenzionali, da regole diverse per il movimento, per la cattura o per lo scacco, o da chissà quale altra fantasiosa modifica al gioco standard.
I tre principali paesi dell'Asia orientale, Giappone, Cina e Corea, danno origine ad altrettante varianti scacchistiche.

Gli scacchi giapponesi, ad esempio, detti anche shogi, si giocano su una scacchiera 9x9 anziché 8x8, e con venti pedine per parte, sistemate su tre righe anziché due. I tipi di pezzi sono diversi rispetto al gioco tradizionale, ma il meccanismo dello scacco matto è analogo. Una caratteristica insolita consiste nel fatto che i pezzi catturati possono essere riutilizzati da chi li ha presi.

Anche gli scacchi cinesi (tséung k'i) condividono col gioco standard la dinamica dello scacco matto, ma le regole sono completamente diverse. La scacchiera è 8x8, e al centro è attraversata da una fascia orizzontale detta il "fiume".
I 32 pezzi, suddivisi tra pedoni, cavalli, elefanti, torri, cannoni, consiglieri, imperatori, non sono collocati sulle caselle della scacchiera, ma sulle intersezioni delle sue linee.

Gli scacchi coreani (tiyang-keui) hanno qualche somiglianza con quelli cinesi, e in particolare le pedine si muovono ancora sulle intersezioni: ma la dimensione della scacchiera è 8x9, e molte regole sono parecchio diverse.

Come nella musica rock, esiste un genere di scacchi detto progressivo. Rispetto al gioco standard cambia soltanto la regola dell'alternanza tra le mosse del bianco e del nero: il bianco apre il gioco con la sua mossa, il nero prosegue con due mosse, il bianco ne effettua tre, e così via. Nelle fasi finali della partita, ogni giocatore può trovarsi a dover effettuare una sequenza molto lunga di mosse, e questo rende il gioco particolarmente complesso e appassionante.
Ci sono delle sottovarianti legate alla possibilità di interrompere, sotto certe condizioni, la propria serie di mosse, oppure a particolari limitazioni nel movimento dei pezzi.
E' curioso notare che le varietà conosciute di scacchi progressivi sono quella italiana, quella scozzese, quella scozzese moderna e quella inglese: come nel rock progressivo, le idee migliori sono nate in Gran Bretagna e in Italia.

Se non volete cimentarvi nelle complessità degli scacchi progressivi, potete sempre provare gli scacchi marsigliesi, o a due mosse: semplicemente ogni giocatore gioca due volte a ogni turno.

In alcune varianti compaiono pezzi strani, come il centauro, che combina le mosse dell'alfiere e del cavallo, o la regina blu, che non è di nessuno dei due giocatori, e può essere usata a turno da ciascuno.

In un'altra versione, uno dei due giocatori può giocare senza la regina, aggiungendo in compenso una riga in più di pedoni.

Molte idee per scacchi alternativi sono nati dalla mente di narratori. Negli scacchi inventati dallo scrittore irlandese Lord Dunsany, grande appassionato di caccia e di pistole, uno dei due giocatori può giocare unicamente con quattro file di pedoni.

Lo scrittore americano Edgar Rice Burroughs, noto in particolare per avere ideato il personaggio di Tarzan, scrisse una gran quantità di storie di fantascienza, ambientate per lo più sul pianeta Marte e centrate sulla figura di John Carter.
In uno di questi romanzi, intitolato "Le pedine di Marte", Burroughs propone una versione alternativa del gioco degli scacchi, nota come scacchi marziani o jetan, giocata su una scacchiera 10x10 con pezzi dal movimento insolito: ad esempio la "principessa" può effettuare, una sola volta in una partita, una super-mossa che consiste nel fuggire a una distanza illimitata in qualsiasi direzione.

Il solito Gardner racconta di un altro autore di fantascienza, Lewis Padgett, (in realtà pseudonimo di due coniugi americani, Henry Kuttner and Catherine Lucille Moore), che in un racconto descrive la figura di un geniale matematico inventore di versioni alternative degli scacchi.

Una variante curiosa degli scacchi è detta "di trasporto": ogni pezzo può essere messo sulla cima di una torre e da essa trasportato in una diversa casella della scacchiera.

In un momento politico in cui va di moda la logica del "tanto peggio tanto meglio", non è fuori luogo citare una versione di scacchi in cui, paradossalmente, si vince se si perde: nel vinciperdi, infatti, scopo del gioco è farsi catturare tutti i pezzi, re compreso, e arrivare al punto di non poter più muovere.

Ancora Martin Gardner descrive un tipo di scacchi in cui uno dei due giocatori dispone dei classici 16 pezzi, mentre l'altro ne ha uno solo, il cosiddetto marajà, le cui mosse combinano quelle della regina e del cavallo. E' dimostrato che, se si toglie ai pedoni la prerogativa di trasformarsi in regine una volta giunti sulla riga finale, non è così facile sconfiggere il potente marajà, favorito dalla sua grande mobilità.

Esiste anche una versione di scacchi che fa uso di due scacchiere nella stessa partita: nella quadriglia (detta anche tourbillon o bughouse), infatti, due squadre di due giocatori ciascuna giocano sulle due scacchiere, ma i pezzi presi da un giocatori vengono passati al suo compagno di squadra, il quale, giocando con il colore opposto, può usarli come desidera.

E' possibile giocare con una scacchiera normale, pezzi standard e regole classiche, utilizzando però posizioni di partenza insolite: rientrano in questa categoria numerosissime varianti degli scacchi, tra le quali wild, scacchi 960, fianchetto, scacchi trascendentali e molte altre.
Innumerevoli sono le scacchiere anomale: tridimensionali, esagonali, romboidali,e chi più ne ha più ne metta. E' possibile anche immaginare che la scacchiera sia in realtà un cilindro, per cui il lato destro è considerato unito al lato sinistro. Se volete complicare le cose, immaginate che la scacchiera sia un nastro di Moebius, cioè che sia stata applicata una torsione di mezzo giro prima di congiungere i due lati della stessa.

Ma abbiamo appena scalfito la superficie del mondo degli scacchi fantasia: la voce inglese di Wikipedia "Chess variant" è davvero ricchissima di esempi: ne potete trovare addirittura uno inventato da Yoko Ono!
Buon divertimento!

Strani poliedri ungheresi

Che cos'è un poliedro? È semplicemente un solido limitato da un certo numero di facce, costituite da poligoni. Lo stesso termine "poliedro" deriva dalla parola greca πολύεδρον, che significa "molte facce".
Un esempio banale di poliedro è il cubo: le sue sei facce sono quadrati, cioè poligoni regolari formati da quattro lati e quattro angoli. Il cubo è anche uno dei sei tipi di solidi platonici: i poliedri convessi regolari di cui ho parlato in un mio vecchio post di ispirazione calcistica.

Altri esempi di semplici poliedri sono i prismi, i parallelepipedi e le piramidi (che coincidenza: poliedri, poligoni, Platone, prismi, parallelepipedi, piramidi; avete fatto caso alla ricorrenza dell'iniziale "P"?).
Il più semplice dei solidi platonici, il tetraedro, gode di una singolare proprietà: è privo di diagonali. In altri termini, non riusciamo a trovare, in questo poliedro, una coppia di vertici che non siano collegati tra di loro da uno spigolo.
Gli altri solidi platonici hanno invece tutti almeno una diagonale, a partire dal cubo e dall'ottaedro.

Come direbbe Antonio Lubrano, a questo punto una domanda sorge spontanea: esistono altri poliedri privi di diagonali? Non è un quesito banale, perché l'assenza di diagonali, intuitivamente, sembra legata a solidi molto semplici, addirittura minimali come il tetraedro, e appare difficile trovare un solido appena più complesso in cui tutti i vertici siano collegati a due a due da spigoli.

Eppure, un altro poliedro senza diagonali esiste. Lo ha scoperto nel 1949 il matematico ungherese Ákos Császár: ha sette vertici, ciascuno di essi è collegato a tutti i rimanenti sei tramite spigoli, ragion per cui non vi sono diagonali.
Come si può vedere dal filmato seguente, questo stranissimo solido è caratterizzato da un tunnel che lo attraversa da parte a parte. Insomma, da un punto di vista topologico, il solido assomiglia più a una ciambella (o, come dicono i matematici, a un toro) che a una sfera.
Per il resto, il poliedro di Császár ha 21 spigoli e 14 facce triangolari.

Ma torniamo all'umile tetraedro. Oltre a non avere diagonali, questo solido ha un'altra proprietà che sembra derivare dalla sua semplicità: ogni faccia confina con tutte le altre.

Ancora una volta possiamo chiederci: esiste un altro poliedro con questa caratteristica? Potrebbe sembrare arduo individuarlo, eppure esiste, e il solido incriminato è stato scoperto, nel 1977, da un altro matematico ungherese, Lajos Szilassi.
Lo stranissimo poliedro di Szilassi ha sette facce a forma di esagono, e ognuna confina con tutte le altre attraverso uno spigolo.
Anch'esso è percorso da un tunnel e ha una topologia toroidale.

 

A questo punto i più perspicaci dei miei lettori, subodorando una certa simmetria, avranno sicuramente maturato un sospetto: non è che sussista una qualche parentela tra il poliedro di Csaszar e il poliedro di Szilassi?
Ebbene sì: uno è il duale dell'altro, cioè si passa da uno all'altro, e viceversa, scambiando tra di loro i ruoli dei vertici e delle facce.
Ad esempio, tra i cinque solidi platonici, il tetraedro è duale di se stesso, mentre sono duali tra di loro cubo e ottaedro (si veda figura a fianco), e anche icosaedro e dodecaedro sono uno il duale dell'altro.

Carnevale della Matematica #59 su DropSea

Oggi è il 14 marzo.
E allora? Bè, scritto numericamente, è il 14/3; e, come scrivono gli inglesi, 3.14, cioè... π!
D'altra parte, non è certo un caso se il Carnevale della Matematica viene celebrato il 14 di ogni mese: il Carnevale di marzo rappresenta poi, in un certo senso, l'edizione principe, che coincide con il Pi day e con il compleanno di Albert Einstein, e viene tradizionalmente dedicata alle meraviglie del pi greco.
L'edizione di oggi è stata ospitata dal blog Dropsea. Il bravissimo Gianluigi Filippelli ha allestito un post carnevalizio molto piacevole e ricco di contributi, simpaticamente inframezzato da riquadri contenenti ghiotte "notizie pigreche".
Dopo le consuete curiosità matematiche sul numero 59, Gianluigi ci guida attraverso caos, poliedri archimedei, quadrature del cerchio, ipersfere, numeri ciclici, storie del pi greco, difficili enigmi, vincite al lotto, e molte altre delizie matematiche!
π è anche noto come costante di Archimede, mentre il prossimo Carnevale, che sarà ospitato dal blog il gloglottatore, sarà dedicato all'altro gigante della matematica antica, cioè Euclide, autore degli Elementi e padre della geometria.

William Shanks, ovvero il calcolatore umano

In questo blog ho citato due volte la canzone "Pi", scritta e interpretata da Kate Bush in onore del numero più famoso di tutti: π, cioè pi greco. Nel testo di questa canzone viene descritta la figura di un matematico ossessionato da questo numero e vengono elencate 116 delle sue cifre decimali.
Nel primo di questi post accostavo questo brano pop al personaggio del procuratore Paravant nella "Montagna incantata" di Thomas Mann, e nel secondo lo collegavo all'impresa del cinese Lu Chao che nel 2005 ha recitato a mente 67.890 cifre della famosa costante.
Non tutti sanno, però, che le 116 cifre cantate da Kate Bush non sono tutte giuste. Precisamente, gli errori commessi sono due: come cifra n. 54, al posto di uno zero, la celebre cantautrice inglese canta inspiegabilmente "21", e più avanti, salta in blocco le cifre comprese tra le n. 79 e la n. 100, riprendendo dalla n. 101, per terminare alla n. 137.
Non ha molto senso stabilire se questa variazione debba essere considerata un errore grossolano, oppure una licenza artistica, o ancora, come qualcuno ha fantasiosamente ipotizzato, un misterioso messaggio cifrato.
Nel 2009, durante una trasmissione radiofonica della BBC intitolata “More or less”, è stata proposta una tesi che ironicamente qualcuno ha ribattezzato “congettura di Kate Bush”: nulla ci vieta di supporre che i 116 decimali cantati si trovino non all’inizio ma in un'altra posizione nell’infinito sviluppo di π.

Anche se certamente non è così, a me piace invece pensare che l'errore nel testo di "Pi" sia stato volutamente commesso per rendere omaggio al matematico dilettante inglese William Shanks, che nel 1873 annunciò di avere trovato ben 707 decimali di π.
Piccolo particolare: in quell'epoca non c'erano computer, ragion per cui Shanks eseguì tutti i calcoli con carta e penna.
William Shanks era nato nel 1812 a Corsenside, nel Northumberland. A 34 anni si era sposato a Londra, e l'anno dopo si era trasferito a Houghton-le-Spring, un paese della contea del Tyne and Wear, non lontano da Sunderland, dove aveva trovato lavoro prima come insegnante di materie letterarie e matematiche, e successivamente come preside di un collegio scolastico privato.
Questo incarico gli lasciava molto tempo libero, al punto che, per non annoiarsi, aveva deciso di dedicare le numerose ore buche al suo passatempo preferito: il calcolo di π. Aveva deciso di organizzarsi in questo modo: al mattino determinava nuove cifre decimali, e al pomeriggio ripercorreva i calcoli eseguiti per correggere eventuali errori.
Nel 1853 presentò i primi risultati delle sue fatiche in un libro, intitolato "Contributions to mathematics, comprising chiefly the rectification of the circle to 607 decimals etc.".
Sebbene 607 cifre rappresentassero già un record eccezionale (l'unico degno concorrente di Shanks era William Rutherford, che nello stesso anno si era però fermato a 440 cifre), Shanks non era soddisfatto, e continuò a lavorare senza tregua per altri vent’anni per aggiungere altre cento posizioni decimali alla sua approssimazione, finché nel 1873 pubblicò la sua celebre tavola con 707 cifre.

Per eseguire i suoi calcoli, Shanks aveva deciso di utilizzare una formula scoperta dal matematico inglese John Machin nel 1706:

π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)

Nel corso della sua vita, Shanks si dedicò anche al calcolo delle cifre decimali della costante di Nepero e e della costante di Eulero-Mascheroni γ.
Pubblicò anche una tavola dei numeri primi fino a 60.000, calcolò i logaritmi naturali di 2, 3, 5 e 10 fino a 137 decimali, e i valori di 2^12m+1 per m = 1, 2, 3, ..., 60.

Ma il nome di William Shanks rimane legato alla colossale impresa del calcolo delle cifre di π: nessuno mai fece meglio di lui servendosi soltanto di carta e penna. 
Quando Shanks morì, nel 1882, i computer erano ancora lungi dall'apparire sulla terra: soltanto una cinquantina di anni dopo, con l'avvento dei primi calcolatori meccanici si cominciò a conoscere π più in profondità.
E fu proprio grazie ad un calcolatore che nel 1944 D. F. Ferguson si accorse di un errore nel calcolo di Shanks: la cifra n. 528 calcolata dal matematico ottocentesco era diversa da quella corretta, calcolata con un calcolatore meccanico e servendosi della formula alternativa

π/4 = 3 arctan(1/4) + arctan(1/20) + arctan(1/1985)

In definitiva, ricontrollando tutto il procedimento di Shanks, Ferguson stabilì che soltanto le prime 527 posizioni erano corrette, un po' come le cifre salmodiate da Kate Bush in "Pi".

Oggi, utilizzando un qualsiasi pacchetto di software matematico, basta premere un bottone per fare apparire tutte le prime 707 cifre di π, e anche per spingersi ben oltre, fino alle migliaia o ai milioni di cifre decimali.
William Shanks dedicò invece la gran parte della sua vita a questo calcolo: e anche se esso conteneva un errore, del quale peraltro lui non ebbe mai consapevolezza, la sua impresa rimane irripetibile e meravigliosamente romantica.