Mosse tabù

Mr. Palomar e il suo amico Mr. Wilson si trovano a passeggiare sulle colline, in una zona molto vasta, caratterizzata da ondulazioni continue, irregolari e disuguali.
I due si inerpicano su ripidi sentieri attraverso i boschi, seguiti da discese erbose e da nuove salite.
- Dovevamo studiare meglio la cartina prima di partire. Qui è tutto un saliscendi! - esclama Mr. Palomar col fiatone.
- Te l'ho detto, la cartina l'ho dimenticata a casa. Ma suvvia, non è piacevole un po' di saliscendi? La verità è che non hai più il fisico.
- Sarà. Ma spero che manchi poco all'arrivo.
- Il punto dove dovremmo arrivare è il punto più basso dell'intera area collinare.
- Me lo hai già detto. Chissà se siamo sulla strada giusta - brontola Mr. Palomar.
- Tranquillo, prima o poi arriveremo!
- Già, prima o poi...
- Piuttosto, visto che il percorso è così ondulato, sarebbe stato interessante portare un altimetro.
- Un altimetro? Sarebbe stata più utile la tua cartina, dove sono indicate le linee altimetriche!
- Ma anche un altimetro potrebbe aiutare. Come ti dicevo, il punto dove dobbiamo arrivare è il punto alla quota più bassa di tutta questa zona.
- Va bene, ma l'altimetro ti dice la quota del punto in cui siamo, non di tutti i punti del territorio!
- Hai ragione, però conoscendo l'altitudine del punto in cui siamo e quella dei punti immediatamente vicini, si può avere un'idea di quale strada intraprendere!
- Mi stai dicendo che non sei più sicuro se stiamo seguendo il sentiero giusto?
- No, tranquillo, sono sicuro. O... quasi.
- Speriamo. Ma l'idea che ti può dare l'altimetro è sicuramente imperfetta. Supponiamo che qui la quota sia di 300 metri, e che sia invece di 350 metri se ci spostiamo di mezzo chilometro a nord, 300 metri se andiamo a ovest, 250 metri a sud e 290 a est. Tu ti incammineresti verso sud, immagino. Però chi ti dice che imboccando quella direzione, mezzo chilometro dopo non si cominci a salire tornando a 300 metri e più? Magari è meglio piegare verso nord, perché dopo l'altura può esserci una discesa verso il punto basso che vogliamo raggiungere! E poi, lasciamelo dire, il tuo altimetro è perfettamente inutile: possiamo vedere a occhio se nelle varie direzioni ci siano salite o discese! Il fatto è che questa informazione potrebbe essere ingannevole.
- Hai perfettamente ragione! Ti concedo che l'altimetro serva a poco. Ed è vero che quell'informazione la puoi ricavare anche semplicemente guardandoti attorno. Ma questa informazione rimane molto utile per trovare la strada giusta.
- Forse. Ma seguendo pedissequamente questo metodo rischi di prendere direzioni del tutte sbagliate.
- Sì, ma non ho finito di spiegarti il mio metodo.
- Sentiamo. Sono tutto orecchi.
- In pratica la regola fondamentale è spostarsi seguendo la direzione che comporta il maggiore abbassamento possibile della quota. Tuttavia, questo può portare ad un problema.
- Quale problema?
- Il problema che tu stesso hai intuito. Seguendo il tuo esempio, se io mi incammino verso sud per scendere ad una altitudine di 250 metri, potrei scoprire, una volta spostatomi nella nuova posizione, che tutte le direzioni attorno a me condurrebbero verso punti più in alto.
- Appunto, è proprio ciò che obiettavo.
- In pratica mi troverei in una specie di buca, dalla quale non posso spostarmi perché qualunque direzione mi farebbe "peggiorare" la situazione, cioè non mi consentirebbe di abbassare la quota corrente.
- Però, pensaci un attimo. Questo potrebbe essere un buon segno: potresti infatti essere arrivato nel punto di destinazione, quello più basso di tutti.
- Certo, ma potrebbe anche essere un falso punto di destinazione. In altre parole, anziché il punto in assoluto più basso della zona, potrebbe essere semplicemente un punto circondato da punti più alti, e tuttavia meno basso del punto che desideriamo raggiungere: insomma, come dicono i matematici, invece del minimo globale, un minimo locale.
- E come si fa allora?
- Rischiamo di rimanere intrappolati in questi "falsi" minimi. Occorre che il nostro metodo consenta di uscire da queste buche.
- Non possiamo farlo finché la regola prescrive di scegliere la direzione che porta verso il maggiore abbassamento della quota. Se siamo finiti in una buca, la quota la possiamo soltanto alzare, non abbassare. Però un aumento "temporaneo" sarebbe l'unico modo per uscire dalla buca: poi potremmo essere premiati trovando una nuova promettente discesa.
- Hai colto perfettamente il nocciolo della questione. Infatti il metodo di cui voglio parlarti ammette, soltanto quando non si può fare di meglio, anche "mosse peggioranti", cioè spostamenti verso quote maggiori, proprio per evitare di restare intrappolati nelle buche.
- Bene, è tutto qui?
- No. C'è un altro problema. Immagina di essere finito in una buca. Come abbiamo detto, potremmo essere già arrivati al nostro traguardo; ma potremmo anche essere finiti in un minimo locale dal quale dovremmo allontanarci per esplorare altre zone. Ammettendo gli spostamenti peggioranti, il nostro metodo ci consente di risalire per un po' uno dei versanti del burrone. Cosa succede subito dopo?
- Dato che il metodo prescrive comunque di seguire la direzione migliore, dovremmo girare sui tacchi e tornare indietro, finendo di nuovo nella voragine. Poi torneremmo a risalire il pendio, e quindi scenderemmo di nuovo, all'infinito.
- Brutta cosa. Il metodo non funziona.
- E' proprio qui che interviene la trovata geniale. Il metodo proibisce di ripetere la stessa "mossa" per un certo tempo. Quindi, quando abbiamo risalito il versante, non possiamo finire nella gola di nuovo perché così facendo ripercorreremmo uno spostamento già effettuato, cosa proibita dal nostro metodo. In questo modo, visto che la mossa rimane "tabù" per un certo numero di spostamenti, abbiamo tutto il tempo di risalire completamente il pendio e metterci "in salvo", allontanandoci dal pericoloso canyon.
- Interessante. Hai inventato tu questo procedimento?
- No. Il metodo che ti ho descritto è noto come "tabu search", o "ricerca tabu", ed è stato ideato dall'informatico americano Fred Glover, verso la fine degli anni Ottanta.
- Viene davvero utilizzato in qualche applicazione?
- Come no. E' una delle tecniche più note e più apprezzate per affrontare difficili problemi di ottimizzazione. Spesso i ricercatori hanno bisogno di risolvere problemi che corrispondono alla ricerca di minimi di funzioni complicate dall'andamento non ben conosciuto: qualcosa di simile al nostro problema di cercare il punto più basso di un territorio del quale non conosciamo l'altimetria.
- E utilizzando questa tecnica, si riesce sempre a trovare il minimo globale?
- Assolutamente no. Il più delle volte il "tabu search", così come altre tecniche simili, permette di avvicinarsi molto alla soluzione migliore; altre volte consente di individuarla con precisione; altre volte ancora non fornisce soluzioni di alta qualità, ma si tratta di casi meno frequenti. In ogni caso, le tecniche come il "tabu search" vengono chiamate "euristiche": la loro caratteristica principale è che utilizzando queste tecniche non è detto che venga trovata sempre la soluzione migliore di tutte.
- E allora, perché queste tecniche vengono utilizzate?
- Perché in molti casi non possiamo fare di meglio. Se abbiamo dimenticato a casa la cartina e non ricordiamo più il sentiero da seguire, l'unica possibilità è affidarsi a metodologie approssimate di questo tipo.
- E' anche il nostro caso? - chiede preoccupato Mr. Palomar
- Temo di sì - risponde Mr. Wilson - Non ricordo più il percorso giusto. Dovremo affidarci alla ricerca tabu per riuscire a tornare a casa!

Carnevale della matematica #39: goto .mau.

Il Carnevale della Matematica di luglio, che coincide con la Presa della Bastiglia, è ospitato dal Fondatore, Maurizio Codogno, alias .mau., in particolare dal suo ormai celebre blog delle "Notiziole"
Il tema del mese riguarda i "giochi matematici" (o "la matematica e i giochi", o "il gioco della matematica"...). Come sempre, il tema non è vincolante: e infatti alcuni blogger si sono attenuti e altri no.
Mr. Palomar ha contribuito con sei articoli (mese abbastanza prolifico...), quattro dei quali riguardano il tema proposto.
Ma la novità più rilevante è la presenza di una nuova partecipante agli eventi carnascialeschi: Cristina Sperlari, insegnante di scuola primaria, con il suo blog "Il piccolo Friedrich".
Buon Carnevale a tutti!

Il gioco della fine del mondo

Hanoi è la capitale dello stato di Vietnam dal 1976, anno della riunificazione tra Vietnam del Nord e Vietnam del Sud. Lo scorso 10 ottobre (un giorno matematicamente molto particolare secondo il calendario gregoriano: 10/10/10) gli abitanti di Hanoi e tutti i vietnamiti hanno festeggiato il millesimo anniversario della costruzione della città, voluta dall'imperatore Lý Thái Tổ che la chiamò Thăng Long, cioè "dragone che si alza in volo".
La città di Hanoi è ben nota, oltre che ai geografi, agli storici e ai viaggiatori, anche agli informatici. Perché mai? Semplicemente perché nel 1883 il matematico francese Edouard Lucas, per attribuire un tocco di esotismo ad un rompicapo di sua invenzione, si inventò una leggenda collegata all'antica città di Hanoi. Secondo la leggenda di Lucas, in un tempio di Hanoi alcuni monaci sono intenti, da tempo immemore, a poggiare dischi d'oro su colonne di diamante, consapevoli che nel momento in cui avranno terminato il loro compito il mondo avrà fine.
Più precisamente, ci sono 3 colonne e 64 dischi di dimensioni diverse. All'inizio dei tempi i dischi erano incolonnati sulla prima colonna in ordine di grandezza, cioè in modo tale che ogni disco poggiasse su un disco più grande (i dischi formavano quindi un cono). Da allora i monaci hanno cominciato a spostare dischi, uno alla volta, rispettando la regola fondamentale secondo la quale è vietato poggiare un disco su un disco più piccolo, e con l'obiettivo supremo di spostare tutti i dischi sulla terza colonna.
Come si risolve il rompicapo? La soluzione che si impara nei corsi di programmazione è un tipico esempio di algoritmo ricorsivo, e anche un eccellente esempio di ragionamento per induzione.
Supponiamo di essere in grado di risolvere il gioco per n dischi, e cimentiamoci nella versione con n+1 dischi. Sulla prima colonna avremo quindi n+1 dischi, che dobbiamo spostare sulla terza colonna. Sapendo risolvere il rompicapo con n dischi, non avremo difficoltà a spostare i primi n dischi dalla prima alla seconda colonna; potremo agevolmente spostare il disco (n+1)-esimo dalla prima alla terza colonna, e infine ripeteremo il procedimento degli n dischi spostando tutti i dischi dalla seconda alla terza colonna.
Siccome il gioco è banalmente risolvibile se n=1 (si tratta semplicemente di spostare un disco dalla prima alla terza colonna), per induzione possiamo concludere che è possibile risolvere il rompicapo per qualsiasi numero n.
Si può dimostrare che il numero minimo di mosse necessarie per risolvere il rompicapo con n dischi è pari a 2ⁿ-1. Se i dischi fossero soltanto 3, basterebbero quindi 2³ - 1 = 7 mosse; con 64 dischi, il numero diventa enorme: i monaci dovrebbero effettuare più di 18 miliardi di miliardi di spostamenti!
Possiamo quindi stare tranquilli: se immaginiamo che per spostare un disco i monaci impieghino un secondo, il mondo finirà tra circa 584 miliardi di anni, un tempo ben superiore a quello necessario a trasformare il Sole nella gigante rossa che inghiottirà anche il nostro pianeta.

Il numero di Dio

Immaginate di dover raggiungere un luogo della vostra città dove non siete mai stati, assolutamente entro una certa ora. Potete aiutarvi con il navigatore, o affidarvi alla vostra conoscenza della città, o ancora chiedere indicazioni a qualche passante. In ogni caso non vi basta semplicemente arrivare, ma avete bisogno di trovare un tragitto ottimale, possibilmente il più breve possibile.
Esistono infatti moltissimi, addirittura infiniti percorsi per arrivare in un certo luogo, e uno di essi è quello che permette di giungere a destinazione nel minor tempo possibile.
Se invece di raggiungere un luogo dovete cimentarvi con un rompicapo, ad esempio il celeberrimo cubo magico di Rubik, o il gioco del quindici, di cui ho parlato in un mio precedente post, la situazione non è molto diversa. Potreste accontentarvi di risolvere “semplicemente” il gioco, cioè portare il cubo, probabilmente disordinato, nella configurazione ordinata con tutte le facce colorate di un solo colore, oppure spostare le tessere del gioco del quindici in modo che i numeri siano tutti in sequenza. Ma se siete giocatori provetti, questo non vi basta: volete trovare la via più breve, che conduce sempre alla disposizione finale ordinata nel minor numero di mosse. Se la trovaste davvero, probabilmente sareste talmente orgogliosi di voi stessi da sentirvi “come un dio”: e ne avreste ben donde! Non a caso un algoritmo, cioè un procedimento ben definito, che consenta di risolvere un rompicapo come il cubo di Rubik o il gioco del quindici con il numero minimo possibile di mosse e riducendo al minimo la quantità di memoria utilizzata viene chiamato “algoritmo di Dio”.
Se il riferimento all’essere supremo può sembrarvi esagerato, sappiate che escogitare una procedura di questo tipo, in genere, non è compito facile. La clausola sull'utilizzo della memoria è a questo proposito importante: riferendoci per esempio al cubo di Rubik, sarebbe facile, in linea di principio, pensare ad una enorme tabella precompilata in cui ad ogni configurazione possibile del cubo viene fatta corrispondere la sequenza ottimale per risolvere il rompicapo. Ma si dà il caso che il giocattolo di Rubik può assumere 43 miliardi di miliardi di possibili configurazioni: produrre e utilizzare una simile tabellona sarebbe poco maneggevole perfino per i computer più potenti.
Albert Einstein disse "Quando la soluzione è semplice, Dio sta rispondendo". Potremmo anche immaginare Dio come un risparmiatore, che predilige le vie che consentono di sprecare meno risorse possibili: non solo il tempo, ma anche lo spazio, cioè la memoria.
Un degno algoritmo di Dio per il cubo di Rubik, quindi, dovrebbe essere sempre capace di determinare la sequenza di mosse più breve per riordinare il diabolico marchingegno, senza ricorrere a giganteschi indici. La ricerca di una procedura di questo tipo è strettamente collegata ad una domanda che molti di noi, giocherellando con il famoso rompicapo, ci siamo posti: quante mosse sono necessarie per risolvere questo puzzle? Equivalentemente: qual è il numero minimo di mosse con cui possiamo certamente risolvere il cubo partendo da una configurazione qualsiasi? Sono certo che avrete già immaginato come i matematici hanno chiamato questo numero. Proprio così: il numero di Dio.
Già nel 1981, quando il cubo magico era all'apice del suo successo in tutto il mondo, il matematico Morwen Thistlethwaite dimostrò che 52 mosse sono sempre sufficienti per risolvere il cubo, partendo da qualsiasi configurazione. Questo significava che il numero di Dio non poteva essere maggiore di 52: ma probabilmente era più basso. Dal 1981 in poi, molti altri matematici cercarono di abbassare quel numero, e ci riuscirono. Nel 1990 si era già arrivati a 42, nel 1992 si scese a 37, e nel 1995 si arrivò a quota 29.
In questo stesso anno Michael Reid si cimentò nel compito opposto: trovare un limite inferiore al numero di Dio, cioè un numero di mosse sotto il quale non si può andare per configurazioni particolarmente "rognose". Reid fissò questo limite a 20.
Il numero di Dio era quindi compreso tra 20 e 29. Il limite superiore non scese per dieci anni, ma nel 2005 scoprì che 28 mosse sono sempre sufficienti. Tra il 2006 e il 2008 il gioco si fece duro, e l'asticella si abbassò per cinque volte, toccando quota 22 nell'agosto 2008.
La ricerca del numero di Dio era ormai giunta alla sua fase decisiva. La risposta definitiva arrivò esattamente un anno fa, nel luglio 2010, quando Morley Davidson, Tomas Rokicki, Herbert Kociemba e John Dethridge dimostrarono che bastano sempre 20 mosse per riordinare i colori del cubo.
Il numero di Dio è quindi 20. Ma come hanno fatto questi matematici a determinarlo? Utilizzando calcolatori potentissimi e software molto sofisticati che hanno esplorato in modo intelligente l'enorme numero di possibili configurazioni. Gli studi di Davidson e colleghi hanno determinato che su un totale di 43 miliardi di miliardi di possibili configurazioni, circa 300 milioni necessitano di esattamente 20 mosse, mentre la stragrande maggioranza delle configurazioni possono essere risolte in un numero di mosse compreso tra 15 e 19.
Per chi volesse saperne di più:
http://www.cube20.org/
http://www.bbc.co.uk/news/technology-10929159

L'evoluzione artificiale e i doppietti di Lewis Carroll

Questo post è un post... scriptum al post intitolato "Il gioco dell'evoluzione artificiale". In quell'articolo ho descritto come giochi di parole le operazioni di mutazione e di crossing-over, fondamentali negli algoritmi genetici.
Non potevo però tacere il fatto che il gioco delle "parole mutanti" vanta un padre particolarmente autorevole: niente meno che Lewis Carroll, scrittore-matematico amatissimo dai matematici, autore di "Alice nel paese delle meraviglie" e di "Attraverso lo specchio".

In un post del 2010, Gianluigi Filippelli ha descritto quello che Carroll aveva chiamato il gioco dei "doppietti": da una parola data si deve passare a un'altra parola prefissata (con lo stesso numero di lettere), sostituendo una lettera alla volta e utilizzando sempre parole di senso compiuto.
Secondo quanto racconta Martin Gardner ("Enigmi e giochi matematici - volume 3", Sansoni Editore), Carroll inventò questo gioco nel Natale del 1877, per due bambine che "non avevano nulla da fare".
Nel 1879 la rivista "Vanity Fair" ospitò sulle sue pagine diversi doppietti ideati da Carroll. Il gioco divenne molto popolare soprattutto grazie alle gare a premi promosse da quella stessa testata.
Il gioco venne successivamente ripreso da molti enigmisti. Dmitri Borgmann, nel suo libro "Language on vacation" del 1965, osservò che il doppietto ideale conduce da una parola all'altra attraverso un numero di passi uguale alla lunghezza delle due parole, e le due parole di partenza e di arrivo non hanno in comune alcuna lettera uguale nella stessa posizione. Ad esempio:
MARE --> MALE --> MELE --> MELA --> VELA

Già l'autore di Alice doveva avere intuito il forte legame tra questo gioco e la teoria di Darwin. Infatti, ad esempio, uno degli enigmi proposti da Carroll consisteva nel far evolvere l'uomo (MAN) dalla scimmia (APE). La soluzione del gioco è in questo caso:
APE --> ARE --> ERE --> ERR --> EAR --> MAR --> MAN

Se volete qualcosa di simile in lingua italiana, sono certamente in grado di accontentarvi, ma al prezzo di discostarmi (solo leggermente) dalla lezione di Darwin:
CANE --> RANE --> RAME --> RAMO --> REMO --> TEMO --> TOMO --> UOMO

Il genetista inglese John Maynard Smith, famoso per avere applicato la teoria dei giochi (e sottolineo, giochi) all'evoluzione, sottolineò in un suo libro del 1962 come il gioco dei doppietti riflettesse bene i meccanismi attraverso i quali una specie si evolve in un'altra. Immaginando il genoma di una specie come un'unica lunghissima parola, nella quale le basi azotate del DNA recitano la parte delle lettere, le mutazioni, faceva notare Smith, assomigliano sorprendentemente ai doppietti di Carroll.
D'altra parte questa somiglianza è esattamente l'idea alla base degli algoritmi genetici, di cui ho parlato nel mio post "Il gioco dell'evoluzione artificiale".
Il saggio di Smith uscì proprio negli anni in cui queste tecniche evolutive cominciavano ad essere concepite dai ricercatori informatici.
Mi pare che questa storia sia un bell'esempio di come letteratura, biologia e matematica si possano incrociare (ecco, di nuovo il crossing-over!) dando origine a bellissimi frutti. Sempre nel segno del gioco.

Kraftwerk: "Numbers" e "Computer World"

Dopo la segnalazione del recente disco "Numeri" di Raf, non potevo non riesumare questa insolita performance matematico-informatica dei mitici Kraftwerk: significativamente, e molto appropriatamente per il sottotitolo di questo blog, i due brani, che risalgono al 1981, si intitolano "Numbers" e "Computer World"...

Il gioco dell'evoluzione artificiale

La teoria dell'evoluzione delle specie viventi rappresenta uno dei pilastri della biologia e del pensiero moderno. Nonostante si tratti di una teoria giovane (fu formulata da Charles Darwin "soltanto" un secolo e mezzo fa) ad oggi i suoi principi generali sono ormai consolidati presso la comunità scientifica, grazie alle numerose prove scientifiche fin qui raccolte.
Tuttavia, al di fuori del mondo scientifico c'è tuttora chi si ostina a rifiutare la visione darwiniana, e perfino alcuni (fortunatamente rari) scienziati sono notoriamente contrari alla teoria, pur non avendo mai avuto il coraggio di proporre tali opinioni a riviste specialistiche.
Tra le visioni alternative che rifiutano o criticano il darwinismo, possiamo citare la teoria del "disegno intelligente", il "creazionismo", il "devoluzionismo": alcune di queste opinioni sono sostenute da posizioni religiose, altre soltanto da una discutibile critica ai fondamenti logici e sperimentali dell'evoluzionismo.
Le prove dell'ipotesi di Darwin, in realtà, sono talmente schiaccianti e definitive che non dovrebbe esistere più alcun dubbio sulla validità della teoria: non è questa la sede per elencarle tutte, anche perché si tratterebbe di spaziare dalle dimostrazioni paleontologiche a quelle legate alla distribuzione geografica delle specie viventi e dei fossili, e questo non è un blog che possa occuparsi in modo competente di queste discipline.
Sorprendentemente, però, una delle prove a mio parere più meravigliose della teoria dell'evoluzione ci viene offerta proprio dalla matematica e dall'informatica. Com'è possibile?
Prima di arrivare al punto, devo però fare un excursus sui contenuti dell'ipotesi di Darwin.

L’esempio classico, che trova spazio anche sui libri di scuola, è quello del collo della giraffa.

Tutti sappiamo che le giraffe hanno il collo lungo. Ma è anche noto, e lo era già ai tempi di Darwin, che il collo delle giraffe primitive era più corto. Secondo l'ipotesi di Darwin, di tanto in tanto, diciamo "per caso", o "per errore", può nascere una giraffa col collo un po’ più lungo. Essendo il collo lungo una mutazione genetica e non un carattere acquisito, si tratta anche di una caratteristica ereditaria, cioè i figli di una giraffa dal collo lungo avranno probabilmente anche loro il collo lungo.
In una certa epoca, a causa dell’impoverimento dei pascoli, molte giraffe avevano cercato di cibarsi non più soltanto dell’erba ma anche delle foglie degli alberi: nella dura competizione per il cibo, una giraffa dotata di un collo più lungo si sarebbe trovata quindi nettamente avvantaggiata. Il collo lungo, insomma, rappresentava un importante vantaggio competitivo, e quelle giraffe fortunate si ritrovavano ad avere, come dicono i biologi, una idoneità superiore alle loro cugine.
Un'alta idoneità comporta, in genere, una maggiore probabilità di sopravvivenza, una vita più lunga e un maggior benessere, ma anche una maggiore predisposizione a riprodursi e quindi un numero maggiore di figli. Questo meccanismo è alla base della cosiddetta selezione naturale, perché induce una specie di cernita tra gli individui più idonei e quelli meno idonei, o, per così dire, tra mutazioni più o meno vantaggiose. Secondo la teoria di Darwin è questo il vero motore dell’evoluzione.
La conseguenza fu che le giraffe dal collo lungo si diffusero rapidamente, sostituendo gradualmente quelle dal collo corto. Altre mutazioni casuali che potevano essersi verificate, ad esempio giraffe senza coda oppure con cinque zampe, sicuramente non avrebbero avuto lo stesso successo e la stessa diffusione, in quanto poco vantaggiose.

Il meccanismo della selezione naturale premia quindi le piccole mutazioni casuali che si rivelano più vantaggiose: queste si replicano nella discendenza, innescano un lento processo di evoluzione delle specie e si accumulano generazione dopo generazione, determinando sul lungo periodo vistosi e radicali cambiamenti. La teoria di Darwin, però, non spiega però altre cose: ad esempio come l’informazione sui caratteri ereditari venga registrata all’interno degli esseri viventi, e come questi caratteri vengano trasmessi dai genitori ai figli.
E' la genetica a fornire queste risposte, mostrando come le cellule del nostro corpo siano dotate di un nucleo che contiene particolari corpuscoli, chiamati cromosomi, di solito disposti a coppie: in ogni cellula di un essere umano, ad esempio, vi sono 23 coppie di cromosomi, ciascuna delle quali è formata da un cromosoma ereditato dal padre e da uno ereditato dalla madre. Ogni cromosoma è costituito da un lunghissimo filamento di una molecola chiamata DNA, tutto attorcigliato su se stesso come un gomitolo e suddiviso in porzioni chiamate geni. Una molecola di DNA è simile ad una scala a chiocciola, i cui "pioli" sono composti chimici detti basi azotate: il modo in cui queste basi si susseguono nei filamenti dei cromosomi costituisce una sorta di lunghissima sequenza codificata, detta genoma, che rappresenta il "libretto di istruzioni" , o, meglio, una enorme enciclopedia da consultare per costruire un essere vivente.

Tutte le informazioni "genetiche", cioè ereditarie, sono scritte qui: ad esempio la lunghezza del collo per la giraffa, il colore dei nostri occhi, e così via.
Quando queste informazioni vengono replicate in modo errato, si verificano le mutazioni già intuite da Darwin: ad esempio la comparsa delle giraffe dal collo lungo.
Oltre alla mutazione, l'altro fenomeno genetico fondamentale per i meccanismi dell'evoluzione è il crossing over, che avviene in ciascuno di noi durante la formazione dei gameti, le cellule che partecipano alla fecondazione: in ognuna delle coppie di cromosomi ereditati dai genitori, si verifica uno scambio reciproco di geni, fatto che favorisce l’incrocio dei programmi genetici e produce inedite mescolanze da trasmettere ai discendenti.


Negli anni Quaranta, alcuni illustri matematici, come Alan Turing, Norbert Wiener e John Von Neumann, cominciarono a studiare i fenomeni biologici dell'evoluzione e della genetica e intuirono la possibilità di replicare questi meccanismi in modo artificiale, utilizzando i primi calcolatori elettronici.

Perché imitare nei computer il comportamento della materia vivente? Quel era l'utilità di questo strano gioco dell'evoluzione artificiale?
Fin dagli albori dell’informatica i ricercatori si erano imbattuti in problemi difficili, che richiedono di trovare la soluzione ottimale tra una enorme quantità di soluzioni possibili. Ad esempio, è difficile far giocare un computer a scacchi, oppure fargli trovare il percorso più breve per visitare un insieme di città, oppure progettare una proteina che abbia un comportamento chimico desiderato. Purtroppo, l'approccio concettualmente più ovvio, cioè esaminare tutte le possibilità per scoprire qual è la migliore, appariva proibitivo, perché avrebbe richiesto un tempo di calcolo troppo lungo. Era necessario escogitare metodi più veloci, scorciatoie più efficienti.
L'idea vincente presa a prestito dalla biologia è presto detta. Invece di scandagliare, una per una, tutte le soluzioni possibili e alla fine scegliere la migliore, usiamo un approccio evolutivo: immaginiamo che ogni possibile soluzione del problema sia un "individuo", il cui genoma contiene le informazioni caratteristiche della soluzione rappresentata. Partendo da una "popolazione" iniziale scelta casualmente, gli individui vengono fatti "evolvere" simulando la comparsa di mutazioni casuali e il verificarsi di fenomeni di crossing over, similmente a quanto avviene nella realtà nelle cellule viventi. Generazione dopo generazione, vengono selezionati gli individui più idonei, cioè le soluzioni migliori, secondo un principio che imita la selezione naturale: potremmo definrila una sorta di "selezione artificiale". Generalmente questa metodologia, se ben applicata, porta ad avvicinarsi alla soluzione ottimale in tempi relativamente brevi.
L'approccio descritto corrisponde, con buona approssimazione, allo schema generale degli algoritmi genetici, proposti per la prima volta negli anni Settanta, dal ricercatore americano John Holland.

Nella terminologia degli algoritmi genetici gli individui della popolazione vengono chiamati anche cromosomi: infatti, per semplicità, si assume che ogni individuo possieda un solo cromosoma, e possa quindi essere identificato con quell’unico cromosoma (In natura le specie viventi hanno di solito più cromosomi, ad esempio 46 nell'uomo, ma gli informatici sono molto meno bravi della Natura, per cui è già tanto che ci sia un solo cromosoma per individuo).

Uno delle questioni spinose che sorgono con gli algoritmi genetici consiste nel trovare un modo di codificare la soluzione all'interno del genoma dell'individuo. Ovviamente l'approccio da seguire dipende dal tipo di problema. Molto spesso le soluzioni vengono rappresentate come stringhe, o semplici successioni di simboli. Ad esempio, se il problema che vogliamo risolvere è quello di progettare una proteina, ossia determinare una sequenza di amminoacidi che, una volta sintetizzata in laboratorio, evidenzi determinate caratteristiche chimiche, allora potremmo rappresentare ogni individuo, cioè ogni proteina corrispondente a una possibile soluzione, tramite la sequenza di simboli di amminoacidi che rappresenta quella proteina.

Un'altra difficoltà cruciale da affrontare è legata al modo in cui, ad ogni generazione, dobbiamo misurare l'idoneità di ogni individuo, cioè di ciascuna soluzione che si trova nel nostro brodo di coltura. Il nostro ingrato compito è selezionare gli individui con l'idoneità più alta, e, ahimé, scartare quelli di peggiore qualità. Ad esempio, nel problema delle proteine, l'idoneità di una sequenza candidata di amminoacidi dipende dalle caratteristiche chimiche che tale sequenza esibirebbe una volta sintetizzata in laboratorio: l'algoritmo genetico dovrà quindi implementare particolari calcoli per misurare questo grado di qualità delle soluzioni.

Ecco allora lo schema generale del nostro "gioco dell'evoluzione artificiale", vale a dire la struttura base di un algoritmo genetico:
1. stabilire delle politiche per la codifica delle soluzioni e per la misurazione dell'idoneità;
2. costruire una popolazione iniziale casuale di individui che codifichino, tramite sequenze opportune di simboli, altrettante soluzioni possibili del problema;
3. ad ogni generazione:
• analizzare tutti gli individui presenti e scegliere quelli con idoneità più alta;
• accoppiare tra loro gli individui selezionati e sottoporli a crossing over;
• mutare alcuni dei figli ottenuti;
• se l'idoneità dell'individuo migliore è considerata abbastanza alta per i nostri scopi, terminare, altrimenti passare alla prossima generazione.

Superati gli scogli progettuali riguardanti la codifica delle soluzioni e i criteri di selezione degli individui più idonei, ciò che rimane potrebbe assomigliare ai giochi di una rivista di enigmistica: le operazioni di crossing over e di mutazione, infatti, applicate alle sequenze di simboli che rappresentano le soluzioni, sembrano uscite dalla "Pagina della Sfinge" della Settimana Enigmistica.
Il tipo più comune di crossing over tra due sequenze di simboli consiste nel tagliare in due ciascuna delle due sequenze, dando origine a due figli, l'uno formato dalla concatenazione della prima parte del primo genitore e della seconda del secondo, e l’altro formato dalla concatenazione della prima parte del secondo genitore e della seconda del primo. Una sorta di doppia sciarada incrociata tra due parole (gli appassionati di enigmistica correggeranno certamente le mie imprecisioni terminologiche), come nell'esempio seguente:

PIC-CO, ARTI-COLO --> PIC-COLO, ARTI-CO

Una mutazione, invece, non è altro che la variazione di una parte della sequenza di simboli che rappresenta una soluzione: nulla più che un semplice cambio di lettera in una parola.
Ad esempio:

PICCO --> PACCO

Grazie ai primi studi pioneristici di Turing, Von Neumann e Wiener, alla formalizzazione di Holland e alle ricerche successive, gli algoritmi genetici sono stati progressivamente perfezionati e hanno dato prova di funzionare ottimamente per la risoluzione di problemi difficili. In particolare, queste tecniche evolutive hanno permesso di affrontare con successo non soltanto problemi di ottimizzazione, ma anche problemi di modellazione e di predizione di dati. In questo caso si fanno evolvere modelli che cercano di descrivere un sistema complesso: ad esempio modelli ingegneristici di motori o di edifici, modelli biologici, modelli meteorologici o climatici, modelli finanziari, ecosistemi, modelli per giochi di simulazione, e così via. Spesso, per costruire modelli di questo tipo, gli algoritmi genetici vengono usati per fare evolvere strutture matematiche dette reti neurali, ognuna delle quali rappresenta un possibile modello del problema. L’accoppiata reti neurali – algoritmi genetici è utilizzata molto spesso e con ottimi risultati nelle attuali ricerche sull’intelligenza artificiale.
Quali conclusioni possiamo trarre dall'efficacia degli algoritmi genetici? Gli algoritmi genetici non sono altro che l'applicazione a problemi "umani" di un meccanismo naturale: certo, si tratta di un'idea applicata in modo semplificato e adattato, ma in realtà il copyright dell'idea non è nostro, ma di Madre Natura. E se l'idea alla base di questo gioco dell'evoluzione simulata funziona, questa è certamente un'ulteriore dimostrazione del fatto che l'evoluzione, quella naturale, funziona, e anche molto bene.
Potrebbe sembrare forzato il concetto di usare l'evoluzione per risolvere problemi: ma in realtà è esattamente ciò che ha fatto e continua a fare la Natura. L’evoluzione e la selezione naturale, che funzionano, generazione dopo generazione, attraverso un accumulo selettivo di piccole mutazioni vantaggiose, hanno dato prova di saper risolvere problemi molto difficili, escogitando soluzioni ingegnose e sofisticate. Pensiamo alla giraffa: il problema difficile della giraffa primitiva consisteva nel trovare un modo per mangiare le foglie degli alberi, e la geniale soluzione fu un progressivo allungamento del collo, attraverso le generazioni.
Altro esempio: il pipistrello. Dovendo cacciare di notte, il simpatico mammifero volante deve riuscire a individuare le prede nel buio: ebbene, l’evoluzione ha messo a punto, nel corso dei millenni, una tecnologia di ecolocazione davvero sofisticatissima, simile al nostro sonar, che farebbe invidia a molti ingegneri di oggi.
Gli informatici, insomma, dopo avere “rubato” ai biologi l’idea per inventare gli algoritmi genetici, hanno ricambiato il favore nel modo migliore che potessero escogitare: fornendo una affascinante dimostrazione del fatto che Darwin aveva ragione.
Spero che questa osservazione possa contribuire a convincere qualche persona ancora scettica rispetto alla teoria dell'evoluzione. E' vero che i principi della teoria di Darwin, ad un esame intuitivo, possono apparire “strani”, o “irragionevoli”: eppure, per quanto incredibile, l'evoluzione, sia quella naturale che quella artificiale, funziona. E come scrisse il poeta inglese George Byron: "E' strano, ma vero; perché la verità è sempre strana, più strana della fantasia.”

Carnevale della matematica #38: goto MaddMaths!

Anche se in ritardo di un giorno (anzi, quasi due), ecco il promesso post sul Carnevale della Matematica, ospitato per questo mese dai MaddMaths!
Il tema di giugno era "La matematica nella vita quotidiana".
Mr. Palomar ha partecipato (se così si può dire) con i suoi due miseri post degli ultimi 30 giorni (forse dovrei dire malgrado i suoi miseri contributi, e grazie alla bontà di chi ha ospitato il Carnevale)
Ma prometto, per le prossime settimane, nuovi contributi, interessanti e numerosi!

Labirintico Borges

Esattamente 25 anni fa, il 14 giugno 1986, moriva a Ginevra uno dei più grandi scrittori del Novecento, forse il più "matematico" di tutti: Jorge Luis Borges.
Molti dei temi simbolici cari a Borges sono genuinamente matematici, e altri lo sono per estensione: cito qui l'infinito, il tempo, la memoria, il sogno, la verità, il paradosso, gli scacchi, il doppio. Ma uno dei temi più ricorrenti nell'opera di Borges è costituito dal labirinto.
Sono infatti numerosissimi i passi borgesiani che raccontano di labirinti: dalla celeberrima "Biblioteca di Babele" a "Il giardino dei sentieri che si biforcano", da "I due re e i due labirinti", a "La casa di Asterione" e a "Abenjacan il Bojari, ucciso nel suo labirinto".

Non stupisce quindi che sia stato scelto proprio questo simbolo metaforico, nonché oggetto matematico, per celebrare oggi a Venezia il venticinquennale della morte del grande argentino.
Un grande giardino-labirinto, realizzato dall'architetto inglese Randoll Coate e finanziato dalla Fondazione Cini, è stato inaugurato nell'isola di San Giorgio, alla presenza della vedova dello scrittore, Maria Kodama Borges. Il labirinto veneziano di Borges è la copia di quello esistente dal 2003 nella tenuta di Los Alamos, in Argentina.

Borges e Venezia erano legati da un rapporto speciale. "Ne era quasi ipnotizzato perché il tratto onirico di Venezia, l’acqua, il silenzio delle calli, lo affascinavano completamente" - ha detto Maria Borges - "e Venezia stessa è un labirinto".
Nel labirinto veneziano non potevano mancare gli specchi, altro simbolo caro a Borges, gödelianamente intriso di implicazioni matematiche e metaforiche. Prossimamente verrà realizzato un corrimano in alabastro con il racconto "Il giardino dei sentieri che si biforcano" inciso in caratteri Braille. Al di là del servizio reso ai non vedenti, è evidente il richiamo ad uno dei racconti più matematici di Borges: vertiginosa riflessione sugli universi paralleli che rappresenta un labirinto temporale ancor prima che un labirinto fisico.

Le nove famiglie

Mr. Palomar e Mr. Wilson passeggiano di notte per le vie della città, di ritorno da una piacevole seratina in birreria in compagnia di amici.
Prima di arrivare all'incrocio dove dovranno dividersi per raggiungere ciascuno la propria abitazione, Mr. Wilson se ne esce con uno dei suoi soliti indovinelli:
- Scegli un numero qualsiasi di due cifre, e somma le due cifre tra loro!
- Eh? - risponde Mr. Palomar, spaesato.
- Dai, non vorrai lasciar finire la serata senza un giochino come si deve!
- Va bene, scelgo un numero di due cifre. Sommo le sue cifre. E poi?
- Se la somma ha ancora due cifre, sommale ancora, fino a ridurti a una sola cifra.
- E poi?
- Sottrai la somma delle cifre dal numero iniziale.
- Fatto.
- Ora somma le cifre del numero che hai ottenuto. Il risultato è... 9!
- E' vero! Scommetto che tu voglia che io ti chieda: "Come hai fatto?"
- Sì. Chiedimelo.
- Come hai fatto?
- Ora te lo spiegherò. Devi sapere che tutti i numeri naturali si distribuiscono in nove famiglie.
- Nove famiglie?
- Prendi i primi numeri naturali, da 1 a 9. Il numero 1 lo assegniamo alla famiglia dell'uno, il 2 quella del due, il tre a quella del tre, e così via, fino ad arrivare al 9, che appartiene...
- ... alla famiglia del nove.
- Bravo.
- Grazie. Non mi sembra una conclusione affascinante e sorprendente. E non spiega il giochino di prima.
- No, ma aspetta. il numero 10 dove lo metti?
- Non ne ho idea.
- Abbiamo detto che abbiamo nove famiglie.
- Allora suppongo che tu voglia inserire il 10 nella famiglia dell'uno, in modo da ricominciare la successione.
- Esatto. L'11 lo mettiamo poi nella famiglia del due, e così via.
- Ancora non vedo nulla di interessante. Dato un numero qualsiasi, basta dividerlo per 9: il resto ottenuto ci dirà a quale famiglia appartiene.
- Non è del tutto esatto. Se ad esempio prendiamo numeri divisibili per 9, otteniamo resto zero, però abbiamo chiamato questa famiglia "famiglia del nove", non "famiglia dello zero".
- E' solo una questione terminologica.
- Te lo concedo. Ora ti faccio vedere qualcosa di più divertente. 10 è formato da 1 e 0. Se fai 1 più 0...
- 1 più 0 fa 1, e infatti il 10 è nella famiglia dell'uno.
- Già. E questo funziona per tutti i numeri successivi. Invece di dividere per 9 e calcolare il resto, basta sommare le cifre del numero. Ad esempio il 53 appartiene alla famiglia...
- ... dell'otto. Ma che mi dici, ad esempio, del numero 58? 5 più 8 fa 13, e noi abbiamo solo nove famiglie...
- Se hai ottenuto 13, ripeti il procedimento: 1 più 3 fa 4, quindi il 58 sta nella famiglia del quattro!
- Sei sicuro che funziona?
- Se non ci credi prova! Il "numero di famiglia" è chiamato anche "radice numerica".
- Quindi che la radice numerica di 53 è 8, e quella di 58 è 4.
- Proprio così.
I due sono ormai arrivati al bivio.
Mr. Wilson continua:
- Ma non è finita qui. Se sommi tra di loro due numeri interi, la radice numerica del risultato sarà la somma delle radici numeriche degli addendi. Provare per credere!
- E se la somma delle radici numeriche supera 9?
- Solito trucco. Somma le cifre fino a ridurti a un numero compreso tra 1 e 9.
- In effetti funziona. 53 più 58 fa 111, che ha radice numerica 3. Le radici numeriche di 53 e 58 sono rispettivamente 8 e 4, che sommate danno 12. E 1 più 2 fa 3!
- Vedi che è divertente? E la cosa funziona analogamente anche per la sottrazione, per la moltiplicazione e la divisione.
- Adesso che ci penso, questa non è altro che la prova del nove che ci insegnavano alle elementari!
- Proprio lei. Adesso ti è chiaro il giochino di prima?
- In effetti sì! Hai detto che la radice numerica della sottrazione tra due numeri è uguale alla sottrazione tra le radici numeriche dei numeri stessi.
- Esatto.
- E dato che il numero di due cifre che ho scelto all'inizio e la sua radice numerica hanno ovviamente la stessa radice numerica, la loro differenza apparterrà alla famiglia del nove, che poi è quella dei numeri divisibili per nove.
- Bravissimo. Ma le radici numeriche hanno altre proprietà interessanti.
- Ad esempio?
- Ad esempio le famiglie del tre, del sei e del nove non comprendono numeri primi, fatta eccezione per il numero 3.
- Curioso.
- I multipli di 1, 2, 4, 5, 7 e 8 hanno tutte le radici numeriche, distribuite secondo una successione periodica, mentre i multipli di 3 e 6 hanno radici numeriche 3, 6 e 9. I multipli di 9, invece, lo sappiamo già, hanno sempre radice numerica 9.
- Interessante. Ma, pensavo, tutto questo funziona con il nove. Se provassimo con un altro numero? Funzionerebbe lo stesso?
- No, non funzionerebbe. Il nove funziona perché noi esprimiamo i numeri con il sistema di numerazione decimale. Se usassimo la numerazione in base, diciamo, 6, allora dovremmo considerare il resto della divisione di un numero per 5: essa coinciderebbe con la radice numerica, cioè con la somma delle cifre del numero stesso (ripetuta finché ridotta ad una sola cifra, cioè ad un numero compreso tra 1 e 5).
- Questo è molto interessante. Allora nella numerazione ternaria, che ricorre alle cifre 0, 1 e 2, le famiglie sono soltanto due, quella dell'uno e quella del due?
- Esatto. E, rispettivamente, sono null'altro che la famiglia dei numeri dispari e quella dei numeri pari.
- Aspetta, provo un esempio. Il numero ternario 112 equivale al 14 decimale. Per calcolare la radice numerica si ottiene (sempre restando nel sistema ternario) 1+1+2=11, e quindi 1+1=2. Infatti 14 è pari.
- Bravo. Se poi prendi un altro numero ternario, poniamo 201, che equivale a 19, per arrivare alla sua radice numerica devi calcolare 2+0+1=10, e quindi 1+0=1. Infatti 19 è dispari.
- E se sommi i due numeri?
- Proprio quello che volevo fare. 112 più 201 in ternario fa 1020 (in decimale, 14 più 19 fa 33). Calcoliamo la radice numerica: 1+0+2+0=10, e 1+0=1. Infatti 33 è dispari.
- Non fa una grinza. Ora andrò a dormire un po' più contento.
- Anch'io. Buonanotte!
- Buonanotte!

Carnevale della Matematica

Forse immeritatamente, da "absolute beginner", Mr. Palomar ha partecipato alle ultime cinque edizioni del prestigioso Carnevale della Matematica, iniziativa creata da .mau. sul modello del Carnival of Mathematics.


Il Carnevale della Matematica è un bellissima idea per raccogliere i blogger italiani di divulgazione matematica: ogni mese, precisamente il giorno 14 (la scelta del giorno non è certo casuale, e non serve che io spieghi il perché), uno dei blogger pubblica un post che raccoglie e recensisce i post che gli altri blogger hanno scritto nel mese trascorso e che gli hanno segnalato.
Ogni mese viene fissato un tema, che non è tuttavia vincolante ai fini della partecipazione al Carnevale.
L'iniziativa permette così di far conoscere nuovi blog di matematica agli appassionati e di divulgare con maggiore efficacia articoli che altrimenti rischierebbero di restare inosservati.

Finora, nonostante la maggior parte dei miei post siano stati recensiti e segnalati nei primi cinque Carnevali del 2011, non avevo mai pubblicato post che pubblicizzassero a loro volta l'iniziativa carnascialesca.
Rimedio adesso, con grave ritardo, ringraziando gli amici bloggers che hanno curato finora i Carnevali, sempre con impeccabili puntualità, precisione e brillantezza; e li ringrazio in particolare per avermi sempre volentieri ospitato.

Riporto qui i link ai cinque Carnevali che sono stati pubblicati tra gennaio e maggio, e che hanno recensito articoli di Mr. Palomar:

Carnevale di gennaio, ospitato da .mau.

Carnevale di febbraio, ospitato da Rangle

Carnevale di marzo, ospitato da Pi greco quadro

Carnevale di aprile, ospitato dai Rudi Matematici

Carnevale di maggio, ospitato da Dropsea

Numeri

Non sono certo un fan di Raf, ma appena ho visto, esposto nella vetrina di un negozio di dischi, il suo nuovo album intitolato "Numeri", ho subito pensato che, nel blog che ha esplorato alcuni strani legami tra matematica e musica pop, un seppur minimo accenno doveva esserci.
Nel testo della canzone che dà il nome al disco le voci di Nathalie, Frankie HI-NRG MC e Raf affastellano, un po' disordinatamente, nozioni matematiche varie, mescolate a improbabili rime, notizie da Istat e autocitazioni autoironiche:

Primi, perfetti, reali, razionali,
Oppure dispari, complessi, perduti, dimenticati.
Siamo numeri, siam ricchi e poveri, ma siamo solo numeri,
Siam donne e uomini, siam numeri di tutti i generi.
Espressi in indici, riassunti in medie
Sempre in numero un po' superiore a quello delle sedie.
60 milioni di cui 1/3 lavora, 1 su 30 sta a casa,
1 su 1000 non la trova.
Tu contane 8, il nono è povero
E per l'erario ogni 1000 di loro c'è un ultramilionario.
Ma la gente che dà i numeri, che fa i numeri è frequente
Superi chi ha i numeri e due scrupoli.
Forse solo oggi lo sappiamo per davvero
Cos'è rimasto di quelli anni '80: lo 0.

Il pifferaio alle porte dell'oracolo - Parte 3

Nella seconda parte di questo post vi parlavo di una procedura ricorsiva in grado di generare tutti i numeri da 0 a 63 come stringhe binarie, oppure, il che è la stessa cosa, tutti i 64 esagrammi dell'I Ching, cioè tutte le combinazioni di 6 linee, intere e spezzate.
Ecco un esempio, in linguaggio Java.

package iching;

public class IChing {

    public static void main(String[] args)
    {
        String[] iching;
        int length = 6;
        iching = create_string(length);
        for (int i = 0; i <= (int)Math.pow(2,length)-1; i++)
        {
            System.out.println(i+1 + " - " + iching[i]);
        }
    }
   
    public static String[] create_string(int length)
    {
        String[] substr = new String[(int)Math.pow(2,length-1)];
        String[] str = new String[(int)Math.pow(2,length)];
       
        if (length==1)
        {
            str[0] = ":";
            str[1] = "|";
            return str;         
        }
        else
        {  
            substr = create_string(length-1);
            for (int i = 0; i <= (int)Math.pow(2,length-1)-1; i++)
            {
                 str[i] = ":" + substr[i];
                 str[i+(int)Math.pow(2,length-1)] = "|" + substr[i];
            }
            return str;
        }  
    }
}

Se avete la possibilità di eseguire questo programmino Java, provate: il risultato che otterrete saranno i 64 esagrammi dell'I Ching, nell'ordine di Shao Yung, e rappresentati con i due simboli ":" e "|", che corrispondono rispettivamente alla linea spezzata e alla linea continua. Se nel codice del programma sostituite i due simboli rispettivamente con lo zero e l'uno, l'output sarà costituito dai numeri da 0 a 63 in notazione binaria.
Non mi soffermo sui dettagli del codice. Per chi conosce Java non sarà difficile orientarsi tra le istruzioni. Chi non lo conosce non si perderà granché: un programma è molto meno importante dell'algoritmo di cui esso rappresenta la traduzione in uno specifico linguaggio. E dell'algoritmo che crea queste combinazioni abbiamo già discusso abbastanza nelle prime due parti: se ne parlassi ancora diventerei davvero noioso.

Come ho cercato di dimostrare in questi post, i rapporti tra l'I Ching e la matematica sono molto stretti, e numerosi articoli e libri sono stati scritti per esplorare questo connubio: è davvero sorprendente constatare quanto questo antichissimo testo sia intriso di matematica a tutti i livelli.
Sempre Gardner racconta che nel 1934, in un libro scritto da un certo Z.D. Sung, venne proposto un modo interessante per associare gli 8 trigrammi agli angoli di un cubo.

Notiamo che in questa figura viene utilizzata una convenzione opposta a quella che avevamo fin qui proposto: alla linea intera è infatti associato lo zero, e a quella spezzata è associato l'uno. Ma si tratta appunto di una semplice convenzione: l'una o l'altra sono ugualmente valide.
Ciò che conta è che alle 3 dimensioni del cubo corrispondono le cifre di un numero binario di 3 cifre: ad esempio all'asse X corrisponde la terza cifra, quella più a sinistra.
Poiché si tratta di cifre appunto binarie, esse possono assumere solo due valori. Ad esempio, se ci spostiamo nella direzione dell'asse X, la terza cifra passa dal valore 0 al valore 1.
Notate anche che i trigrammi reciprocamente complementari sono disposti agli angoli diametralmente opposti del cubo: ad esempio il trigramma costituito da tre linee intere, associato all'angolo del cubo etichettato con il numero 111, si trova nella posizione opposta al trigramma dalle tre linee spezzate, cioè all'angolo del cubo contraddistinto dal numero 000.

D'accordo, abbiamo imparato che un cubo può dare ospitalità agli otto trigrammi. E se volessimo fare altrettanto con combinazioni più lunghe, ad esempio tetragrammi? Il principio è del tutto analogo. Se un cubo, che è una figura tridimensionale, è adatto a rappresentare combinazioni di tre linee (o bit), allora per raffigurare sequenze di 4 cifre binarie abbiamo bisogno di un cubo nello spazio a 4 dimensioni, cioè di un ipercubo.

Se potessimo immaginare una simile figura, scopriremmo che i suoi angoli sono 16, esattamente come le possibili combinazioni di 4 bit.
Nel 1954, il grande pittore spagnolo Salvador Dalí realizzò un dipinto che raffigura una crocifissione, intitolato "Corpus Hypercubus" (vedi figura a lato).
Nel dipinto, Cristo non appare inchiodato ad una tradizionale croce, ma sospeso in aria e come appoggiato ad una strana struttura che vuole rappresentare lo "sviluppo" tridimensionale di un ipercubo a quattro dimensioni, così come un normale cubo può essere sviluppato su un piano nel modo raffigurato qui sotto.

Passando da 4 a 6 dimensioni, il cubo diventa un iper-iper-iper-cubo, con ben 64 angoli, che possono essere utilizzati per ospitare tutti i 64 esagrammi dell'I Ching.



Anche se è al di fuori delle nostre possibilità immaginare, anche lontanamente, una simile mostruosità geometrica, possiamo tuttavia provare a figurarci di spostarci da un iper-iper-iper-angolo all'altro di questo iper-iper-iper-cubo, muovendoci sui suoi iper-iper-iper-spigoli, così come possiamo fare con il normale cubo dei trigrammi di Z.D. Sung. Il nostro spostamento corrisponde al passaggio da un esagramma ad un altro, che differisce dal primo per una sola delle sue 6 cifre binarie: esattamente ciò che accade quando, interrogando l'oracolo cinese, viene sorteggiato un esagramma con una linea "mutante".
Che cosa intendiamo per linea mutante? Ogni linea dell'I Ching, indipendentemente dal fatto che sia intera o spezzata, può essere fissa oppure mutante. In quest'ultimo caso essa tende al suo opposto: in altri termini, se è intera, essa "tende" ad una linea spezzata, e viceversa. Un esagramma che contenga una linea mutante, di conseguenza, "tende" a trasformarsi in un altro esagramma che differisce dal primo per una sola delle 6 linee.
Ovviamente, quando l'oracolo risponde ad un nostro quesito proponendoci un esagramma, questo potrebbe presentare soltanto linee fisse, oppure una sola mutante, ma anche più d'una: allora l'esagramma tende ad un altro esagramma con più di una linea invertita rispetto al primo esagramma. In questo caso è come se ci si muovesse sull'iper-iper-iper-cubo su attraversando più di un iper-iper-iper-spigolo, cioè facendo variare più di una cifra binaria.

Se volessimo rappresentare sull'albero di Shao Yung un analogo tipo di passaggio da un esagramma con linee mutanti agli esagrammi "destinazione", dovremmo progettare spostamenti un po' più complicati. Lascio ai miei lettori l'ingrato (ma non troppo) compito di capire come funzionano questi "viaggi arborei".

Se in ogni esagramma ognuna delle 6 linee può mutare oppure no, non è difficile calcolare il numero degli esagrammi diversi che possono essere "raggiunti": è ovviamente 2⁶ = 64. Questo significa che attraverso il mutamento delle linee possiamo passare da un esagramma ad uno qualsiasi degli altri esagrammi, oppure restare nello stesso esagramma (se nessuna linea è mutante).
Se però ci limitiamo a considerare il caso in cui una e una sola delle sei linee muta, allora gli esagrammi "raggiungibili" sono soltanto 6, uno per ogni linea. Sulla base di questa limitazione, il testo classico dell'I Ching si riferisce spesso ad una "catena" di esagrammi, in cui la linea che muta sale di una posizione esagramma dopo esagramma. Partendo, ad esempio, dall'esagramma 1 che corrisponde a sei linee yang, cioè intere, e facendo mutare la sua linea inferiore, otteniamo l'esagramma 44, che ha la prima linea spezzata e le altre intere.

Apro qui una parentesi, per puntualizzare un fatto importante. Abbiamo visto come l'ordinamento "naturale" degli esagrammi non può che essere quello legato alla rappresentazione "binaria" di Shao Yung, che poi corrisponde esattamente a quello che esce dal programmino proposto all'inizio di questo post; sfortunatamente, però, questa sequenza non è la stessa adottata dall'I Ching, il quale, infatti, elenca gli esagrammi in un ordine "strano", apparentemente casuale e probabilmente privo di una regolarità e di un significato matematico.
E' un vero peccato! Ma tant'è: dobbiamo farcene una ragione. Se adottiamo la convenzione che interpreta la linea intera come uno e le spezzata come zero, e che associa la prima linea dell'esagramma, cioè quella più in basso, alla cifra meno significativa del numero binario, allora l'esagramma 1, ad esempio, non corrisponde alla rappresentazione binaria del numero 1, ma a quella del numero 63, e l'esagramma 44 corrisponde al numero 62.

Ma torniamo alla nostra "catena" di esagrammi. L'esagramma 1 viene associato al mese di maggio, quindi alla primavera inoltrata, in cui siamo adesso: è questo, nella concezione cinese, il periodo dell'anno più pienamente vicino al principio yang. Nell'esagramma 44, invece, la presenza della prima linea spezzata viene interpretata come l'inizio della penetrazione del principio yin, che si manifesta nel mese di giugno. Potrebbe sembrare naturale fare coincidere questo periodo dell'anno, in cui si compie il solstizio estivo, con la fase di yang estremo (per così dire il principio "estivo"), rimandando al mese successivo l'inizio dell'entrata dello yin (il principio "invernale"); invece, in perfetto accordo con la visione cosmica taoista, è proprio nel mese del solstizio d'estate che, paradossalmente, comincia a farsi sentire l'inverno, un po' come nel simbolo del Taijitu la parte yang (bianca) più "piena" contiene già in sè un seme di principio yin (nero).
Proseguendo il ciclo dei mutamenti, l'esagramma 44 si trasforma nell'esagramma 33, costituito dalle prime due linee spezzate e dalle successive quattro intere: esso è associato al mese di luglio. E così via, attraversando di seguito gli esagrammi 12 (agosto), 20 (settembre), 23 (ottobre), 2 (novembre).
Quest'ultimo è formato da sei linee spezzate. Rappresenta il culmine del principio yin, che precede di un mese il solstizio invernale. Da questo esagramma in poi, si ricomincia a far mutare le linee partendo da quella più in basso.
Ecco allora l'esagramma 24, nel quale la prima linea è yang e tutte le altre sono yin: è facile comprendere, a questo punto, che si tratta dell'esagramma speculare rispetto al 44. Nell'esagramma 24, legato al periodo del solstizio invernale, il principio yang, estivo, torna a fare sentire la propria timida influenza (ecco perché l'esagramma è associato, nell'interpretazione dell' I Ching, al "Ritorno"); nel corso dei mesi successivi questa crescerà gradualmente, attraversando uno alla volta gli esagrammi 19 (gennaio), 11 (febbraio), 34 (marzo), 43 (aprile) e alla fine di nuovo l'esagramma 1, corrispondente al mese di maggio.

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per comprendere il significato dei versi di Syd Barrett nel brano "Chapter 24". Prima di tutto, a quale esagramma dell'I Ching faceva riferimento il Pifferaio? Ovvio, all'esagramma n. 24: il "Ritorno".

Consultando una qualsiasi edizione dell'I Ching nella sezione dedicata a questo esagramma, troviamo frasi del tipo:

Sentenza: Il Ritorno. Riuscita. Uscire e rientrare senza male. Amici arrivano. Nessuna sfortuna. La stessa è la via dell'andare e del tornare e al settimo giorno viene il ritorno. Propizio quando c'è un luogo in cui andare.
Immagine: Il Tuono sotto la Terra: questa è l'immagine del Ritorno. Ispirandosi ad essa, gli antichi Re nel giorno del solstizio invernale facevano chiudere le porte della città, impedendo l'ingresso ai mercanti e agli stranieri, mentre i sovrani quel giorno non ispezionavano i lori territori.

La spiegazione fornita dal testo dell'I Ching fa riferimento al già descritto ciclo semestrale che parte dall'esagramma 44 (primo del ciclo) e, mutando una linea alla volta, giunge all'esagramma 2 (sesto del ciclo), associato all'oscurità yin del mese di novembre.

A movement is accomplished in six stages

(Un movimento si compie in sei stadi)

Il mutamento di quest'ultimo esagramma genera il settimo esagramma del ciclo, appunto l'esagramma 24, il "Ritorno", nel quale una giovane luce yang fa capolino anticipando il prossimo avvento delle stagioni calde:

...And the seventh brings return.
The seven is the number of the young light

(...E il settimo riconduce al principio.
Il sette è il numero della luce giovane)

E' interessante notare che l'esagramma che precede il 24, e che rappresenta l'oscurità yin del mese di novembre, è l'esagramma 2. Nella nostra rappresentazione binaria "naturale", esso codifica il numero 0, mentre l'esagramma 24 corrisponde, come già detto, al numero 1. Barrett esprime perfettamente questo fatto con il verso

It forms when darkness is increased by one

(Si forma quando l'oscurità è aumentata di uno)


I successivi versi sono:

Change returns success
Going and coming without error
Action brings good fortune
Sunset

The time is with the month of winter solstice
When the change is due to come
Thunder in the other course of heaven
Things cannot be destroyed once and for all
Change returns success
Going and coming without error
Action brings good fortune
Sunset, sunrise

(Il cambiamento porta al successo,
Andare e venire senza errore.
L'azione porta buona sorte.
Tramonto.

Il tempo è quello del mese del solstizio invernale
Quando il cambiamento è destinato ad avvenire.
Tuono nell'altra rotta del cielo
Le cose non si distruggono una volta per tutte.
Il cambiamento porta al successo,
Andare e venire senza errore.
L'azione porta buona sorte.
Tramonto, alba.)


e si riferiscono ad aspetti legati all'interpretazione divinatoria dell'esagramma, che a noi interessa meno. Da notare però il corretto riferimento al periodo del solstizio invernale.
Finisce qui questa avventura all'interno delle meraviglie matematiche dell'I Ching. Ringrazio il Pifferaio, Syd Barrett per avermi guidato in questo mondo misterioso e fatato: senza di lui non sarei riuscito a orientarmi, e mi sarei perso nella selva oscura degli esagrammi.

Il pifferaio alle porte dell'oracolo - Parte 2

Nella prima parte del post ho tracciato una linea immaginaria (e forse improbabile) che congiunge il fondatore dei Pink Floyd, Syd Barrett, pifferaio alle porte dell'oracolo, e il fondatore dell'analisi matematica, Gottfried Wilhelm Leibniz, anche lui, e molto prima di Barrett, folgorato sulla via dell'I Ching.
In realtà il fascino di questo antichissimo libro, certamente tra i più celebri e importanti della storia della letteratura mondiale, ha conquistato intellettuali e artisti di ogni epoca.

Tra questi va ricordato lo psichiatra svizzero Carl Gustav Jung (nella foto accanto), continuatore e poi oppositore della teoria di Sigmund Freud. Jung scrisse tra l'altro una celebre prefazione alla versione inglese dell'I Ching, che ancora oggi troviamo in molte edizioni del libro. L'opera di divulgazione di Jung rese famoso in Occidente il testo sapienziale cinese, e legò la sua interpretazione alle sue teorie sulla sincronicità.
Interpretazione, appunto. Fin qui ho parlato dell'I Ching in termini matematici, ma non del suo significato divinatorio. Come si interroga il Libro? In estrema sintesi, il procedimento canonico consiste nel porre un quesito all'oracolo, il quale risponderà indicando uno dei 64 esagrammi: le tecniche utilizzate per sorteggiare l'esagramma fanno uso di lanci di monete oppure di estrazioni di steli di achillea.
I testi associati all'esagramma prescelto dovranno quindi essere interpretati per trarne la risposta al quesito. Ma non è nemmeno di questo che voglio parlarvi.
Si diceva della fortuna che l'I Ching riscosse in Occidente a partire dallo scorso secolo. Ma tutte le cose divenute molte famose, si sa, possono essere soltanto amate o odiate:

I don't believe in magic.
I don't believe in I Ching.
I don't believe in bible.
I don't believe in tarot.
(John Lennon, "God", 1970)

Nonostante le diffidenze lennoniane sul Libro dei Mutamenti, pare che il suo ex collega George Harrison, noto cultore delle culture orientali, si fosse ispirato all'I Ching, pochi anni prima, nel comporre il testo della celebre “While My Guitar Gently Weeps”.
Più sofisticato e strutturato fu il progetto che il compositore statunitense John Cage (nella foto sotto) condusse a partire dal 1951: Cage realizzò diverse composizioni lasciandosi guidare dall'aleatorietà dell'I Ching, utilizzato come oracolo.
Torneremo in futuri post sulle bizzarre tecniche compositive di Cage basate su criteri combinatori.
Più recentemente, il musicista danese Per Nørgård, famoso per la colonna sonora del film "Il pranzo di Babette", nel 1982 dedicò all’I Ching una sua composizione per percussioni; solo due anni fa Vittorio Nocenzi, fondatore e tastierista del Banco del Mutuo Soccorso, ha pubblicato un intero disco di pezzi pianistici ispirati ad altrettanti esagrammi dell'I Ching.

Anche lo scrittore di fantascienza Philip K. Dick fu conquistato dal mistero del Libro dei Mutamenti: i personaggi della sua opera più famosa, "La svastica del sole", parlano spesso dell'I Ching e ne fanno continuamente uso; pare che lo stesso Dick avesse interrogato l'oracolo per compiere alcune fondamentali scelte narrative durante la stesura del romanzo. Tra l'altro il capolavoro di Dick nasconde una struttura che definirei ricorsiva, o gödeliana, ma questa è un'altra storia (materiale per un futuro post).

Tutto questo per sfiorare solo in superficie i legami tra l'antico testo cinese, la musica, la letteratura. Ma questo è soprattutto un blog di matematica, quindi ancora una volta mi richiamo all'ordine per non divagare, e ritorno a parlare del buon Leibniz (nell'immagine sotto).
Fu un gesuita missionario, padre Joachim Bouvet, di ritorno da uno dei suoi viaggi in Cina, a mostrare al grande matematico quegli antichi e strani disegni che noi chiamiamo esagrammi.
A Leibniz le linee intere e spezzate che componevano gli esagrammi apparvero subito per quello che effettivamente sono: cifre binarie. La linea spezzata, ad esempio, poteva essere assimilata allo zero, e quella intera all'uno.
Leibniz stava già studiando la possibilità di costruire sistemi di numerazione non decimali, e la geniale intuizione celata dietro quelle antiche linee lo affascinò all'istante.
Che cosa c'è di meraviglioso nella numerazione binaria? Il fatto che con due soli principi fondamentali (lo yang e lo yin, per usare la terminologia cinese) si riesce ad esprimere qualsiasi cosa.
Il significato filosofico di questa possibilità è molto profondo. Nella logica classica aristotelica, il principio di non contraddizione e il principio del terzo escluso sembrano suggerire una visione "binaria" del mondo, in cui un'affermazione può essere o vera o falsa, e non può essere entrambe le cose né può darsi una terza possibilità. La numerazione binaria, tuttavia, va ben oltre queste regole logiche, in quanto non ci si ferma ai due principi fondamentali ("yang" e "yin", o, come direbbe Aristotele, "vero" e "falso"): attraverso il procedimento ricorsivo introdotto nella prima parte di questo post, i due "semi" iniziali, mescolandosi tra di loro a più livelli, fanno germogliare un universo di combinazioni potenzialmente infinito, e certamente molto più espressivo e sfumato del rigido dualismo logico aristotelico.
Nella visione cosmogonica suggerita dall'I Ching, dal caos primordiale, dall’universo "vuoto e senza forma", simboleggiato dal simbolo del Taijitu, deriva il dualismo dello yang e dello yin; quindi, per successive ramificazioni binarie, tutte le infinite sfumature permesse dalle combinazioni possibili. Dopo soli sei livelli di ricorsione, abbiamo già 2⁶ = 64 esagrammi, sufficienti a descrivere un universo divinatorio estremamente complesso ed espressivo, e di riflettere la complessità del mondo reale (che non è certo soltanto yang o soltanto yin).

Passando dall'ambito filosofico alla prospettiva matematica, l'essenza del discorso non varia, ed è esattamente questo il senso della numerazione binaria, così come quello di tutti i sistemi di numerazione.
Questi, infatti, si fanno carico di esprimere tutte le quantità possibili utilizzando un alfabeto limitato di simboli, appunto due nel caso binario, dieci nel caso decimale, e così via.
Il modo in cui i simboli si combinano è precisamente lo stesso meccanismo usato nell'I Ching per creare gli esagrammi.

Come abbiamo visto nella prima parte di questo post, le ramificazioni binarie ripetute ricorsivamente per sei livelli danno origine agli esagrammi, cioè alle combinazioni di sei linee (intere o spezzate), cioè, per usare una terminologia informatica, a stringhe di sei bit.
In un articolo del 1974, il grande Martin Gardner, indimenticato e non raggiunto maestro di tutti i divulgatori matematici, racconta che intorno all'anno Mille alcuni studiosi cinesi, tra i quali il pensatore Shao Yung, intuirono l'idea dell'albero binario e la applicarono agli esagrammi dell'I Ching.
Ripercorrendo, livello dopo livello, l'algoritmo ricorsivo descritto nella prima parte, si ottiene un diagramma come quello indicato nella seguente figura.


In questo diagramma la radice dell'albero è in basso, nella striscia bianca che rappresenta il "livello 0" e che corrisponde al Taijitu (o T'ai Chi). Da questo caos indifferenziato germogliano, al livello 1, i principi primi dello yin (nero) e dello yang (bianco). Al livello 2 lo yin di suddivide a sua volta in yin e yang, e così fa lo yang. Una volta completati sei livelli di questa suddivisione binaria, lo schema rivela automaticamente la struttura di tutti i 64 esagrammi. Come?
Osservate il sesto ed ultimo livello: è suddiviso in 64 caselle. Se immaginiamo di dividere l'intero schema (dal livello 1 al livello 6) in 64 colonne, e di rimpiazzare in ciascuna parte il nero con la una linea spezzata ed il bianco con una linea intera, le colonne rappresentano i 64 esagrammi!
Ma non è tutto. Se ci fermiamo a 5 livelli, osserviamo che al quinto livello ci sono 32 caselle: se consideriamo lo schema che si ottiene considerando i livelli dal primo al quinto, e lo suddividiamo nelle 32 colonne, esse corrispondono alle 32 combinazioni costruibili con 5 linee (potremmo forse chiamarli pentagrammi?). E così via, analogamente, per i 16 "tetragrammi", per gli 8 trigrammi, per i 4 bigrammi, e, limitandoci al primo livello, per i due principi cosmici dello yin e dello yang.

Se sostituiamo uno zero ad ogni linea spezzata, e un uno ad ogni linea intera, gli esagrammi nell'ordine di Shao Yung si trasformano in una sequenza di stringhe binarie: 000000, 000001, 000010, 000011, ..., 111111.
Che sequenza è? Ovviamente si tratta dei numeri da 0 a 64 espressi in notazione binaria!
Dato che, come abbiamo visto, il procedimento per ottenere queste combinazioni di bit è, nella sua essenza, ricorsivo, non dovremmo stupirci del fatto che possiamo scrivere una procedura di natura ricorsiva che genera tutti i numeri da 1 a 64 come stringhe binarie.
Appuntamento allora alla terza ed ultima parte del post, per vedere un esempio di tale procedura, e per continuare l'esplorazione nel meraviglioso mondo matematico dell'I Ching: senza dimenticare i misteriosi versi di Syd Barrett, che finalmente troveranno una spiegazione.

Il pifferaio alle porte dell'oracolo - Parte 1

A quanto pare, tra i post che ho pubblicato su questo blog, quello che ha riscosso i maggiori favori è stato quello sulla "Matematica di Ummagumma".
Per ringraziare i miei lettori dei complimenti e degli apprezzamenti su questo articolo, vorrei ancora una volta parlare di matematica e di informatica partendo da uno spunto "floydiano".
Il primo disco dei Pink Floyd uscì nel 1967, e venne realizzato nei mitici studi londinesi di Abbey Road, negli stessi giorni in cui i Beatles registravano l'epocale "Sgt. Pepper's Lonely Hearts Club Band".
Il suggestivo titolo, "The piper at the gates of dawn" ("Il pifferaio alle porte dell'alba"), fu copiato da quello di un capitolo del classico della letteratura per ragazzi "Il vento tra i salici", di Kenneth Grahame.

Quest'opera di esordio del famoso gruppo inglese fu quasi un lavoro personale di Syd Barrett. E' un esempio emblematico del rock psichedelico, pieno di sperimentazioni musicali e sonore, testi grotteschi e bizzarri, i cui protagonisti sono gnomi, biciclette, stelle e pianeti, spaventapasseri.
Tra le canzoni incluse nel disco, una delle meno note è "Chapter 24", il cui testo inizia con versi apparentemente molto misteriosi:








A movement is accomplished in six stages,
And the seventh brings return.
The seven is the number of the young light,
It forms when darkness is increased by one.
Change returns success,
Going and coming without error.
Action brings good fortune.
Sunset.

Un movimento si compie in sei stadi,
E il settimo riconduce al principio.
Il sette è il numero della luce giovane,
Si forma quando l'oscurità è aumentata di uno.
Il cambiamento porta al successo,
Andare e venire senza errore.
L'azione porta buona sorte.
Tramonto.

A cosa diavolo si riferiscono questi versi ermetici di Barrett?
Sarebbe dura, probabilmente impossibile, orientarsi tra queste parole se non fosse noto che la canzone trae ispirazione da uno dei libri più antichi della storia del pensiero cinese, noto come "I Ching", o "Libro dei Mutamenti".
Nel corpus dei testi classici della saggezza compilato da Confucio, l'I Ching rappresenta il testo più antico.
E' formato da una prima parte "classica" e da un "commentario". Entrambe le sezioni sono suddivise in 64 capitoli, uno per ciascuno dei possibili esagrammi.
Un esagramma è una combinazione di sei linee, ciascuna delle quali può essere continua (e legata al principio yang) oppure spezzata (e legata al principio yin). Disponendo di due tipi di linea, ci sono 2⁶ = 64 possibili combinazioni di sei linee: ecco spiegati i sessantaquattro esagrammi descritti nell'I Ching.

Nell'antica filosofia cinese, la contrapposizione tra lo yang e lo yin riflette la dialettica degli opposti che si completano reciprocamente e che si trasformano l'uno nell'altro, in una alternanza naturale ed eterna: dialettica che si riscontra, ad esempio, nelle contrapposizioni giorno - notte, maschio - femmina, sole - luna, caldo - freddo, secco - umido, estate - inverno, sud - nord, est - ovest, cielo - terra, attività - passività, movimento - riposo, durezza - morbidezza, forza - cedevolezza, e così via.
L'antico simbolo del Taijitu, centrale in tutta la filosofia e la cultura dell'Estremo Oriente, vuole proprio raffigurare la contrapposizione, la complementarietà e la reciproca trasformazione tra i due principi yang e yin.

Il principio yang, associato all'idea di forza, viene anche raffigurato, come già detto, dalla linea continua, mentre il principio yin, legato alla cedevolezza, è simboleggiato dalla linea interrotta, o spezzata.
Combinando due linee tra di loro, si possono creare 2² = 4 combinazioni, che possiamo chiamare bigrammi, e che nella tradizione cinese sono associate alle quattro fasi del ciclo delle stagioni, dei punti cardinali e dei momenti della giornata.
Guardiamo la figura sotto, in cui, seguendo il senso orario, si completa il ciclo formato dai quattro bigrammi: ciascuno di essi trova una propria corrispondenza con le quattro aree del Taijitu.
Ad esempio, combinando insieme una linea yang e una linea yin (la convenzione prevede di partire dal basso e salire verso l'alto), si ottiene il bigramma legato alla primavera, al mattino, all'est, cioè allo yang minore e al concetto di sorgente, di inizio; la fase successiva è associata alla combinazione di due linee yang, che simboleggiano l'estate, il mezzogiorno, il sud, cioè lo yang estremo e la crescita; ad esso segue il bigramma formato dalla sequenza yin-yang, che si associa all'autunno, alla sera, all'ovest, cioè allo yin minore e alla raccolta; e infine il bigramma formato da due linee yin, simbolo dell'inverno, della notte, del nord, cioè dello yin estremo e della prova da affrontare.

E mettendo insieme tre linee?
Si ottengono i trigrammi, che sono, ovviamente, 2³ = 8.


I trigrammi vengono messi in relazione, secondo la filosofia cinese, con gli otto principi cosmici simboleggiati dal Tuono, dal Fuoco, dallo Stagno, dal Cielo, dal Vento, dall'Acqua, dal Monte e dalla Terra.
La mitologia cinese narra di un mitico re Fu Hsi, vissuto intorno al 2900 a.C., dotato di quattro occhi e di una coda di serpente:a questo sovrano sarebbe stato rivelato, in modo soprannaturale, il significato profondo dei trigrammi.
Secondo l'interpretazione di Fu Hsi, i trigrammi vengono disposti in un ordine ciclico, strutturato in modo tale che trigrammi reciprocamente complementari (ad esempio il Cielo e la Terra, oppure il Tuono e il Vento) si trovino in posizioni opposte.
La complementarietà dei trigrammi ha un significato metafisico e simbolico, ma anche matematico: ogni trigramma si trasforma nel suo complementare sostituendo le linee yang con linee yin, e viceversa.

La disposizione di Fu Hsi viene spesso chiamata "cielo anteriore", oppure "disposizione primaria". In Estremo Oriente viene considerata come un simbolo di buona fortuna, e viene spesso associata con il simbolo del Taijitu.

Passando dalle linee yang e yin ai quattro bigrammi, e da questi agli otto trigrammi, abbiamo compiuto due passi tra loro analoghi: abbiamo essenzialmente moltiplicato per due, cioè abbiamo duplicato, ramificato.
Partendo dai trigrammi potremmo ripetere lo stesso procedimento, in modo ricorsivo (ricordate Ummagumma e le matrioske?), per ottenere le 16 combinazioni di 4 linee, le 32 combinazioni di 5 linee, e infine i 64 esagrammi dell'I Ching.
Ogni esagramma può essere visto anche come una coppia di trigrammi: d'altra parte 8x8 = 64.
Ma seguendo l'interpretazione ricorsiva di cui parlavo prima, non è difficile immaginare un albero la cui radice rappresenta il principio cosmico unitario del Taijitu:
1) da questo tronco di dipartono i due rami principali dello yang e dello yin, cioè della linea intera e della linea spezzata;
2) da ciascuno di questi rami partono altri due rami, che danno origine ai quattro trigrammi del ciclo delle stagioni;
3) al terzo livello hanno origine, per ulteriore biforcazione, gli otto trigrammi di Fu Hsi;
e così via, per arrivare ai 64 esagrammi e, se vogliamo, anche oltre, indefinitamente, creando combinazioni formate da un numero qualsiasi di linee.
Quella che abbiamo descritto è una struttura molto familiare agli informatici, che viene chiamata albero binario.
Com'è possibile? I cinesi di 3000 anni fa avevano già compreso l'essenza della numerazione binaria? Bè, pare proprio di sì.
Non è un caso che nel 1679 il filosofo e matematico tedesco Gottfried Wilhelm von Leibniz, nel suo trattato "De Progressione Dyadica", descrisse il sistema di numerazione binaria, oggi alla base di tutta l'informatica, citando esplicitamente l'I Ching come sua fonte di ispirazione.
Successivamente fu George Boole, verso la metà dell'Ottocento, a riprendere gli studi di Leibniz, e a costruire in modo strutturato la logica binaria, oggi chiamata anche, in suo onore, booleana.
Nelle prossime parti di questo post (che si preannuncia articolato e ricco di sorprese), ritorneremo agli esagrammi, agli alberi binari, e soprattutto ai misteriosi versi di Syd Barrett, pifferaio alle porte dell'oracolo.