Distanziamento sociale e distanza matematica

Alzi la mano chi aveva già sentito l'espressione distanziamento sociale (o distanziamento fisico) prima dell'introduzione del lockdown. Pochi di noi, credo, se si eccettuano forse le persone coinvolte nel settore sanitario. E con ogni probabilità la versione nota era quella inglese, ovvero social  distancing (o physical distancing).
Ora, a lockdown concluso, è invece un'espressione sulla bocca di tutti. Con questa dicitura, è ben noto, si intende l'accorgimento di mantenere una certa distanza tra le persone e di ridurre il numero di persone contemporaneamente presenti in un certo luogo, allo scopo di evitare o ridurre la diffusione di un agente infettivo, per esempio un virus nel corso di una pandemia.
L'utilizzo di questa misura di sicurezza è antichissimo: se ne parla anche nella Bibbia, in relazione all'isolamento di lebbrosi o appestati.

Se si parla di distanziamento sociale, si parla essenzialmente di distanza tra una persona e l'altra. E, come è facile immaginare, si tratta innanzitutto di un concetto matematico.
Immaginiamo che in una stanza ci siano due persone, Andrea e Beatrice, che parlano tra di loro. Come possiamo misurare la distanza che le separa? Presto detto: prendiamo un metro, magari di quelli da sarto, lo stendiamo per terra in modo da creare un segmento che parte da Andrea e arriva a Beatrice, e leggiamo sul metro il numero di centimetri corrispondenti al punto in cui si trova Beatrice.

Se formalizziamo il procedimento in modo più astratto, ci riportiamo a quanto abbiamo imparato a scuola: se sul piano cartesiano abbiamo due punti A e B, ciascuno contraddistinto da una coppia di coordinate, la distanza tra A e B è la lunghezza del segmento che congiunge i due punti. Nel caso più generale, questa lunghezza può essere facilmente calcolata a partire dalle coordinate dei punti ricorrendo al teorema di Pitagora, come è illustrato nella figura a fianco.

Ma il concetto di distanza, in matematica, è molto più generale. Rappresenta, per così dire, un'astrazione della nozione di lontananza che sussiste tra due oggetti qualsiasi.
La definizione che solitamente viene data è la seguente: la distanza su un qualsiasi insieme M è una funzione d che mappa il prodotto cartesiano M × M sull'insieme dei numeri reali  e che soddisfa le seguenti tre proprietà:

La prima proprietà formalizza il fatto che l'unico caso in cui due oggetti abbiano distanza reciproca nulla è che i due oggetti siano in realtà lo stesso oggetto.

La seconda proprietà è la simmetria: la distanza tra x e y è uguale alla distanza tra y e x.

Infine, la terza è la cosiddetta proprietà triangolare: la distanza tra due elementi x e y non può essere maggiore della somma tra la distanza tra x e un terzo punto z e la distanza tra questo terzo punto z e y. Considerate un triangolo: la lunghezza di qualsiasi suo lato è sicuramente minore o uguale della somma delle lunghezze degli altri due. Detto altrimenti: se io devo andare da Milano a Torino, ci impiego meno se prendo una strada diretta anziché fare una tappa intermedia a Genova.

Da queste tre proprietà (anzi, dalle ultime due) se ne può dedurre una quarta, molto semplice, che stabilisce che la distanza tra due elementi dell'insieme M può essere un numero positivo oppure uguale a zero, ma non può essere un numero negativo (avete mai visto un segmento di lunghezza negativa?)

Una funzione d che soddisfa tutte e tre le proprietà fondamentali può essere legittimamente chiamata distanza. Ma il bello è che, preso un insieme qualsiasi, non esiste necessariamente una sola funzione con queste caratteristiche. 

Se per esempio l'insieme M è l'insieme dei punti del piano, la distanza che abbiamo imparato a calcolare mediante il teorema di Pitagora (e che viene chiamata distanza euclidea) è la più semplice e intuitiva, ma non è certo l'unica che soddisfa le tre proprietà.

Ne esistono molte altre, per esempio la distanza di Manhattan, introdotta da Hermann Minkowski, secondo la quale la distanza tra due punti del piano cartesiano è la somma del valore assoluto delle differenze delle loro coordinate. In altre parole, per misurare quanto dista un punto da un altro, non posso tracciare una linea obliqua che congiunga direttamente i due punti, ma sono autorizzato a utilizzare soltanto linee orizzontali e verticali.
Guardate la figura a fianco. Per congiungere i due punti indicati come pallini neri, si possono scegliere diversi percorsi formati da segmenti orizzontali e verticali: la figura ne mostra tre (in rosso, blu e giallo), ma ce ne sono molti altri. Tutti, comunque, hanno la stessa lunghezza complessiva (12). Misurare la distanza lungo la linea verde, obliqua e diretta, è invece proibito.

In sostanza, mentre nella geometria euclidea dobbiamo calcolare le differenze tra le coordinate, e poi calcolare la radice quadrata della somma dei quadrati di tali differenze, a Manhattan è più facile: basta sommare direttamente le differenze.
Il sistema basato sulla distanza di Manhattan viene anche detto "geometria del taxi", ed è particolarmente realistico in città dove le principali strade sono perpendicolari tra di loro (per esempio Manhattan, appunto, ma anche Torino). Talvolta questa metrica viene definita anche "geometria degli scacchi", perché è secondo questo sistema che la torre misura la distanza tra due caselle della scacchiera.

Attenzione, nel definire il concetto di distanza ho parlato di insieme M qualsiasi, non necessariamente di un insieme di punti nel piano o nello spazio. Potrebbe trattarsi di un insieme di note musicali (la distanza potrebbe essere allora la formalizzazione del concetto di intervallo musicale), di immagini (allora potremmo entrare in considerazioni computazionali relative alla somiglianza tra immagini, rilevanti nell'ambito dei software di riconoscimento di oggetti), e perfino di parole.

In quest'ultimo caso, si può usare per esempio la distanza di Hamming: date due parole, la loro distanza di Hamming è il numero di sostituzioni (un enigmista direbbe "cambi di lettera") che devono essere eseguite per trasformare una parola nell'altra. Ne avevo parlato in un post della serie dei premi Turing, perché l'inventore di questa importante funzione distanza tra stringhe di caratteri, il matematico americano Richard Hamming, fu insignito del prestigioso riconoscimento nel 1968.

In generale, una volta che abbiamo definito una funzione distanza su un insieme M, possiamo anche definire il concetto matematico di palla: la palla di raggio r centrata in un certo elemento z di M non è altro che l'insieme degli elementi di M la cui distanza da z è minore di r (per la precisione, questa è una palla aperta, mentre per definire la corrispondente palla chiusa dobbiamo scrivere "minore o uguale" al posto di "minore").
Come si vede nella figura a fianco, la palla è il concetto matematico perfetto per rappresentare l'idea del distanziamento sociale!