Specchi, sogni e frattali

Nel racconto "Tlön, Uqbar, Orbis Tertius" (il primo della celebre raccolta "Finzioni"), Jorge Luis Borges scrive:

"Bioy Casares ricordò allora che uno degli eresiarchi di Uqbar aveva giudicato che gli specchi e la copula sono abominevoli, poiché moltiplicano il numero degli uomini"

Lasciando la discussione sulla "copula" ad altre tipologie di blog, mi vorrei concentrare sulla questione degli specchi.
Che cos'è, in fin dei conti, uno specchio? Potremmo immaginarlo come una "macchina" che trasforma oggetti reali in immagini riflesse.
Pensiamo ora ai programmi informatici: ogni programma incorpora una certa logica, l'algoritmo, che trasforma i dati in ingresso in dati in uscita.
Non siamo allora del tutto fuori strada se paragoniamo uno specchio ad un programma per computer. Il confine tra input e output è chiaro: se mi guardo allo specchio, io sono il dato di ingresso fornito alla logica di elaborazione, e la mia immagine riflessa rappresenta l'informazione di uscita.
Insomma, è vero che ogni specchio moltiplica il numero degli uomini, ma lo fa fino a un certo punto: in effetti si limita a raddoppiarlo.
Si può fare di più?
Cosa accadrebbe se l'immagine riflessa venisse a sua volta rediretta verso l'algoritmo-specchio? Bè, quest'ultimo produrrebbe una nuova immagine riflessa: precisamente l'immagine riflessa dell'immagine riflessa. Si innescherebbe insomma un ciclo ricorsivo, come accade in ogni programma informatico che richiama se stesso.

Ma nella pratica come si può creare un loop di questo tipo con uno specchio? L'immagine riflessa esce dallo specchio, mentre noi vorremmo curvarla in modo che sia di nuovo riflessa dallo specchio.
Curvare la luce? Non scherziamo.
In realtà basta molto meno per chiudere il cerchio: un altro specchio.
Qualche mese fa entrai in una pasticceria di Feltre, nel cui ampio salone due enormi specchi si guardavano l'un l'altro. Meraviglia delle meraviglie! Le immagini delle persone e degli oggetti presenti nella sala si moltiplicavano, se non in modo abominevole come diceva Borges (anzi no: Bioy Casares... ops... l'eresiarca di Uqbar), in modo vertiginoso: sicuramente qualcosa di più del banale raddoppio di immagini prodotto dallo specchio.
Il secondo specchio è l'artificio necessario e sufficiente per "girare" l'immagine riflessa sul primo specchio.
La funzione riflettente di uno specchio può essere svolta anche da un sistema tecnologico costituito da una telecamera, che riprende l'oggetto, collegata ad uno schermo televisivo, che visualizza, per così dire, un duplicato dello stesso oggetto.
In questo caso la chiusura del ciclo si può realizzare facilmente senza ricorrere ad una seconda telecamera o ad un secondo schermo: è sufficiente che la telecamera venga puntata sullo stesso schermo televisivo!
E' questo il cosiddetto fenomeno del video-feedback.
Nel celeberrimo e monumentale saggio "Gödel, Escher, Bach", e soprattutto nel successivo "Anelli nell'io", Douglas Hofstadter parla diffusamente del video-feedback. Nelle tipiche immagini prodotte dai feedback ottici si scorgono bizzarre fantasmagorie, corridoi infiniti, vertiginose voragini, come nell'immagine a fianco.
Il fascino di queste visioni caleidoscopiche è stato sfruttato da molti artisti, e ha trovato un particolare impiego in molti videoclip musicali, soprattutto a cavallo tra gli anni Settanta e Ottanta del secolo scorso. Uno dei primi esempi è il video della celebre "Bohemian Rhapsody" dei Queen, del 1975 (i feedback sono visibili nella sezione centrale del brano, quella in cui Freddie Mercury canta "Galileo, Galileo..."):



A parte questi esempi contenuti nei video musicali, probabilmente il fenomeno del feedback video rimane per ciascuno di noi poco familiare; tutti invece abbiamo sicuramente provato l'esperienza dell'analogo fenomeno sonoro, cioè il feedback audio.
L'ambientazione è tipica: pochi minuti prima dell'inizio di una conferenza, o di un concerto, qualcuno sta provando l'impianto audio, e all'improvviso un fastidiosissimo stridio assorda l'uditorio per qualche secondo. Cos'è successo? Semplicemente qualcuno ha avvicinato troppo il microfono ad una delle casse. Così facendo un suono raccolto dal microfono, anche se impercettibile, è stato amplificato e diffuso dall'altoparlante: ma il microfono che si trovava lì vicino ha di nuovo raccolto il suono rimandandolo, amplificato, alle casse, e attivando una reazione a catena potenzialmente infinita che ha determinato lo sgradevole boato (per la verità, alcuni chitarristi rock, come Jimi Hendrix, hanno a volte sfruttato il feedback audio intenzionalmente, e in modo controllato, per creare particolari sonorità).

Tutti questi esempi (doppio specchio, feedback video, feedback audio) possono essere rappresentati matematicamente in un modo molto semplice. Abbiamo sempre un'informazione (nei primi due casi un'immagine, nel terzo caso un suono) che viene raccolta da una "macchina" (lo specchio, il sistema telecamera-schermo, l'impianto audio) che produce come risultato un'informazione simile (l'immagine riflessa, l'immagine sullo schermo televisivo, il suono amplificato e diffuso dagli altoparlanti), e questo risultato viene poi utilizzato per rialimentare il ciclo.
Se, per semplicità, l'informazione iniziale viene assimilata a un numero, e la "macchina" viene modellata da una funzione F (ad esempio una funzione reale di variabile reali), ecco che ci troviamo di fronte ad una successione z₁, z₂, …, z_N di numeri definita da:

z_i+1 = F(z_i)

In altre parole, ogni termine della successione viene ottenuto a partire dal precedente semplicemente dandolo in pasto alla "macchina": esattamente ciò che accade nei fenomeni visivi e sonori che abbiamo descritto poco fa.

Torneremo tra poco su queste funzioni iterative, per esplorarne alcune sorprendenti proprietà. Ma prima vorrei parlarvi di sogni.
Sogni? Che diamine c'entrano i sogni con la matematica?

Immaginate che la funzione S rappresenti il meccanismo attraverso il quale una persona x viene trasportata dalla dimensione della realtà a quella del sogno: il valore di uscita S(x) della funzione corrisponde così alla versione onirica della persona x.
(La definizione è, a dire il vero, piuttosto imprecisa e sfumata, perché in alcuni casi sarebbe più comodo che il valore della funzione indicasse, più in generale, il contenuto del sogno, che non è detto contenga una versione sognata del sognatore ma potrebbe essere costituito da altre persone o altri oggetti sognati: ma non mi formalizzerò troppo su questa questione).

Agli specchi e agli apparati video e audio, insomma, aggiungiamo il sogno come "macchina" in grado di realizzare l'"abominevole moltiplicazione" già paventata da Borges.

La letteratura e l'arte cinematografica sono piene di storie in cui il sogno permette di creare interessanti effetti di moltiplicazione, di iterazione e di ricorsione.
Nel mio vecchio post "La matematica di Ummagumma (Parte 1)", ad esempio, avevo citato il testo della canzone "Abate cruento" di Elio e le Storie Tese, che inizia così:

"Questa notte ho fatto un sogno strutturato a matrioska: io sognavo di sognare..."

La funzione S ha trasportato Elio nella sua versione onirica, che potremmo indicare come S(Elio); ma questo valore è stato poi inviato alla stessa funzione S, che ha generato così una versione sognata della versione sognata: S(S(Elio)).
Il "solito" Borges ci offre un altro delizioso esempio, tratto dalla già menzionata raccolta "Finzioni". Nel racconto "Le rovine circolari" uno "straniero" decide di sognare un altro uomo, per poi "imporlo alla realtà": cerca insomma di applicare la funzione sogno S per dare vita ad una persona S(straniero), ma giunto alla fine dei suoi giorni si rende conto di essere lui stesso il risultato dell'azione di S, cioè di essere il sogno di un altro:

"Andò incontro ai gironi di fuoco: che non morsero la sua carne, che lo accarezzarono e inondarono senza calore e combustione. Con sollievo, con umiliazione, con terrore, comprese che era anche lui una parvenza, che un altro stava sognandolo."

In questo caso abbiamo quindi:

uomo = S(straniero)

ma anche:

straniero = S(altro)

Un altro esempio interessante proviene dal romanzo "I fiori blu", scritto nel 1965 dallo scrittore e matematico Raymond Queneau e tradotto in italiano da Italo Calvino. I protagonisti di questo delizioso romanzo sono due: il Duca d'Auge, uno strampalato eroe medievale che sembra viaggiare attraverso i secoli, e Cidrolin, un pigro diseredato urbano che vive su una chiatta, passando il tempo a bere essenza di finocchio e a riverniciare la staccionata lungo la banchina.

Ogni episodio descritto riguarda uno dei due protagonisti (a parte la scena finale, che vede finalmente l’incontro tra i due) e termina sempre con il personaggio che si appisola e comincia a sognare di essere l’altro.
Come nella storia del filosofo cinese Zhuangzi, che sogna di essere una farfalla (ma potrebbe essere la farfalla a sognare di essere Zhuangzi), così nel romanzo di Queneau non è mai chiaro se sia il Duca d’Auge a sognare di essere Cidrolin o viceversa.

Utilizzando la solita funzione sogno S, si direbbe che:

S(Cidrolin) = Duca d’Auge

ma anche:

S(Duca d’Auge) = Cidrolin

Ciascuno degli esempi citati mette in evidenza una successione di termini del tutto analoga a quelle che ho descritto a proposito dei fenomeni di feedback: anche qui ogni termine della successione è ricavato dal precedente applicando ripetutamente la funzione S.
Il sogno a matrioska di Elio genera una successione di soli tre termini: Elio, S(Elio), S(S(Elio)); ma anche se la canzone non fornisce testimonianze in merito, possiamo immaginare che l'annidamento dei sogni prosegua all'infinito, creando termini ulteriori come S(S(S(Elio))), S(S(S(S(Elio)))), e così via.
Anche il racconto di Borges ci parla di una successione a tre termini: altro, straniero = S(altro), uomo = S(straniero) = S(S(altro)); e qui potremmo fantasticare sia sul fatto che anche il cosiddetto "altro uomo" sia a sua volta il sogno di altri (aggiungendo quindi alla successione termini a sinistra), sia sul fatto che l'uomo sognato dallo straniero sia egli stesso in grado di sognare altri uomini (estendendo così la successione a destra).
La successione di Queneau è invece molto strana: i suoi termini continuano a riproporre in modo alternato i due protagonisti, Cidrolin e il Duca d'Auge.

Il lettore che volesse dilettarsi con altri e ben più complicati esempi di questa “topologia del sogno” deve certamente noleggiare il DVD del film "Inception" di Christopher Nolan, uscito nel 2010. Qui i "sogni dentro i sogni" si annidano a tre livelli, generando situazioni intricate e dando vita ad una trama avvincente oltre che intellettualmente stimolante.

Vorrei chiudere questo post accennando al fatto che le successioni indotte da funzioni iterative come quelle che abbiamo visto fin qui celano alcune proprietà davvero sorprendenti.
Nel 1979 il matematico Benoît Mandelbrot stava studiando la successione z₁, z₂, …, z_N definita dalla funzione z_i+1 = z_i²+ c, dove z_{1 =} 0 e c è un numero complesso prefissato. Si tratta, come vedete, di una successione del tutto analoga a quelle che abbiamo esplorato finora.
In particolare, potremmo chiederci se i valori assunti dai termini della successione tendono ad assestarsi su un valore finito, oppure se divergono verso valori sempre più grandi.
Ebbene, Mandelbrot si accorse che questo comportamento della successione dipendeva in modo impercettibile dal valore del parametro c; e volendo rappresentare sul piano complesso l'insieme dei valori di c tali per cui la successione assume valori finiti, si otteneva la seguente figura, dalla forma piuttosto familiare:L'area nera costituisce il famoso insieme di Mandelbrot, e comprende i valori di c per i quali la successione non diverge. La zona bianca corrisponde invece ai valori del parametro tali per cui la successione cresce in modo indefinito. Ma invece di lasciare questi punti in bianco, si potrebbero colorare diversamente per rappresentare le diverse "velocità" con cui la successione diverge: in questo modo si generano versioni spettacolari e affascinanti del frattale di Mandelbrot, come la seguente:


Dietro la semplicità di una successione apparentemente innocua come quella che abbiamo visto, si nasconde quindi un universo di una complessità e di una ricchezza sconvolgenti: quello dei frattali.
Ma mi fermo qui: sul magico mondo dei frattali avrò modo di soffermarmi più a lungo in altri post.