Nastri e alberi di Natale

Si avvicina Natale. Che cosa regalare? Un libro, certo, è sempre un'ottima scelta: ma quale libro? Un libro di scienza, ad esempio. Va bene, ma quale? Ce n'è uno, scritto da Clifford A. Pickover, eclettico e brillante autore, giornalista e ricercatore americano, che è interamente dedicato ad una strisciolina di carta. Un nastrino apparentemente banale, del tutto simile a quelli con i quali confezioneremo i nostri pacchi regalo per Natale.
Questo nastro, al quale Pickover ha dedicato un intero libro di 250 pagine, sarebbe normalissimo, se non fosse per due caratteristiche particolari:
1. non è un nastro aperto, ma viene richiuso su se stesso a formare una specie di anello;
2. viene richiuso solo dopo avere sottoposto una delle sue estremità ad una torsione di 180°.
Grazie a questa innocente torsione, il nastro non è più così banale, ma diventa il nostro nastro, o, per usare il termine ufficiale, un nastro di Möbius, dal nome del matematico August Ferdinand Möbius che lo studiò a fondo.

Se non avete mai costruito un nastro di Möbius prima d'ora, fatelo subito! Basta una strisciolina di carta e un po' di colla (o nastro adesivo) per chiudere l'anello.
Quello che otterrete è una delle figure geometriche più sorprendenti della matematica.
La caratteristica più sconcertante è che il nastro di Möbius ha una sola faccia, mentre i nastri che abbiamo conosciuto finora hanno ovviamente due facce, una sopra e una sotto. Prendete il nostro nastro: se percorrete con un dito la superficie, potete infatti tornare al punto di partenza senza mai staccare il dito. Come l'artista olandese Maurits Cornelis Escher ha immaginato in alcune sue opere, una formica che percorresse l'anello si ritroverebbe al punto di partenza senza dover effettuare salti o attraversare la frontiera tra il "sopra" e il "sotto".
Intituitivamente ci sembra naturale che una superficie debba avere due facce, o due lati: una "superiore" o "esterna", e una "inferiore" o "interna". Il fatto che le due facce del nastro di Möbius siano in realtà la stessa faccia, nonostante appaia evidente dalla prova del dito (o della formica), rimane comunque qualcosa di strano e lontano dal senso comune.

Che cosa succede ora se tagliamo a metà l’anello, in senso longitudinale? Si accettano scommesse. Potremmo aspettarci di ottenere due nastri di Möbius diversi, o forse due nastri normali. Difficilmente, se non abbiamo già provato, ci aspetteremmo di trovarci in mano un nuovo nastro di Möbius, solo più lungo del precedente. Eppure è ciò che avviene.
E se lo tagliamo di nuovo? Incredibile, otteniamo due anelli concatenati!
Queste ed altre sorprendenti proprietà hanno reso il nostro nastro una fonte straordinaria di ispirazione non soltanto per i matematici, ma anche per molti artisti, scrittori e musicisti: abbiamo citato i disegni di Escher, ma potremmo ricordare molti altri esempi di opere che hanno preso spunto dalla bizzarra strisciolina.

Il buon Pickover ha scritto il saggio "Il nastro di Möbius" (titolo originale "The Möbius strip") nel 2006; l'edizione italiana è stata pubblicata lo stesso anno da Apogeo.
Si tratta di un libro divertentissimo, pieno di sorprese e di magie matematiche, ricco di incursioni nell'arte, nella letteratura, nel cinema, nei giochi, nella tecnologia, nella fantascienza.

Tra gli innumerevoli esempi di applicazioni del nastro di Möbius proposte da Pickover, alcune ci trasportano decisamente in un clima natalizio.
Un brevetto richiesto nel 1997 dal cinese Xian Wang parla di un "oggetto dotato di movimento alimentato elettricamente che viaggia su un binario capace di esplorare quadranti liberi descritti nel teorema di Möbius".
E' un divertente trenino elettrico in grado di viaggiare su un tracciato di binari möbiussiani sostenuti da vari supporti: Pickover ci assicura che "il tracciato può essere utilizzato per decorare un albero di Natale in quanto può serpeggiare tra i rami e gli ornamenti."

Un'altra nota natalizia la troviamo quando Pickover ci racconta di come Teja Krasek, una nota artista slovena, realizzi sculture a forma di nastro di Möbius abbellite da particolari tassellature come quelle scoperte dal matematico inglese Roger Penrose. Le tassellature di Penrose, basate sulla sezione aurea, hanno la speciale capacità di coprire superfici infinite in modo aperiodico, cioè senza ripetere mai la stessa configurazione (cosa che avviene ad esempio nello schema utilizzato dalle piastrelle che abbiamo in bagno).
Ebbene, Teja Krasek è un'artista che ama la matematica a tal punto che ha deciso di dedicarsi alla stranissima (e difficilissima) occupazione di decorare nastri di Möbius con tasselli di Penrose.
Pickover ci informa che se andiamo a casa di Teja Krasek nel periodo natalizio, troveremo un albero di Natale del tutto speciale, addobbato da meravigliosi e splendenti nastri di Möbius.
I nastri di Möbius, tra l'altro, sono più comodi delle comuni palle per l'albero di Natale: non è necessario legarli sull'albero in quanto possono essere infilati sui rami così come sono.
Scrive Pickover: "I nastri brillano per le stelle luccicanti che ne ornano la superficie e l'albero riesce a scaldare il cuore di qualunque matematico romantico."
Buon Natale a tutti da Mr. Palomar.