La matematica di Ummagumma (Parte 1)

Nel fatidico anno 1969, i Pink Floyd, dopo i primi due album "The piper at the gates of dawn" e "A saucerful of secrets", nei quali era evidente la matrice psichedelica ed era stato fondamentale il contributo di Syd Barrett, realizzarono un disco molto diverso, più orientato verso i canoni del rock progressivo, al quale venne dato un titolo bizzarro: "Ummagumma".
Chi prendesse per la prima volta in mano quest’album, nella sua pregiata versione in vinile, o anche nella meno romantica edizione in CD, sicuramente sarebbe attratto dalla strana immagine di copertina. Alle spalle di David Gilmour seduto in primo piano, si nota una fotografia incorniciata e appesa al muro, e gli altri componenti del gruppo, in posizioni diverse fuori dalla porta di casa.
Fin qui nulla di strano. Ma se osserviamo bene la fotografia sul muro, vi notiamo una scena del tutto simile a quella dell’intera immagine di copertina: questa volta però è Roger Waters a essere seduto in primo piano, gli altri tre musicisti si trovano fuori dalla porta e sul muro, un’altra fotografia analoga alla precedente.

Com’è possibile? Stiamo impazzendo? No, semplicemente ci troviamo di fronte ad un sistema di matrioske, o di scatole cinesi. O, se volete, stiamo osservando un esempio interessante di ricorsività, o ricorsione, come amano dire gli informatici. La ricorsività si viene a creare ogniqualvolta un oggetto contiene una copia di se stesso, o fa in qualche modo riferimento a se stesso. Qualcosa di molto simile all’autoreferenzialità.
E’ chiaro che il gioco ricorsivo della copertina di "Ummagumma" potrebbe concettualmente proseguire all’infinito: ogni fotografia contiene una copia di se stessa, e solo interrompendo la successione in qualche modo si può uscire da questo folle circolo vizioso.
Se guardiamo la copertina ancora più in profondità, in effetti, ci accorgiamo che al quarto livello della ricorsione la fotografia appesa al muro non raffigura più la scena complessiva ma, con un colpo di teatro che ha del geniale, contiene la copertina del precedente album dei Pink Floyd: "A saucerful of secrets"!

Ecco quindi un brillante esempio di ciclo di ricorsione che, dopo un certo numero di ripetizioni, si arresta. E’ come avere un certo numero di matrioske, ciascuna delle quali ne contiene un’altra: prima o poi, inevitabilmente, troveremo una matrioska vuota, o, se volete, una matrioska contenente un oggetto che non è una matrioska.

Gli informatici conoscono bene il concetto di ricorsione, perché per risolvere alcuni problemi o per effettuare certi tipi di calcoli, è comodo servirsi di procedure che, ad un certo punto dell’esecuzione, invocano loro stesse, generando così una sequenza di chiamate che ha termine soltanto quando si verifica una situazione particolare: un po’ come la matrioska vuota o come l’improvvisa comparsa della copertina di "A saucerful of secrets" nella cornice appesa al muro!
Ad esempio, esiste in matematica una funzione particolare, chiamata "fattoriale", molto usata dagli statistici. Com'è noto, il fattoriale di un numero si calcola moltiplicando tra loro tutti i numeri interi da 1 fino a quel numero. Ad esempio il fattoriale di 3 è uguale a 1 x 2 x 3, cioè 6. Quanto è invece il fattoriale di 4? Bè, è uguale a 1 x 2 x 3 x 4, cioè a 24. Ma allora, direte voi, il fattoriale di 4 si può calcolare anche come il fattoriale di 3 (che è 6) moltiplicato per 4!
Immaginate di essere dei programmatori, e di dover scrivere una procedura informatica per calcolare il fattoriale di un numero qualsiasi. Potreste scrivere un programma ricorsivo, che prende il numero di partenza e lo moltiplica per il fattoriale del numero intero immediatamente precedente: ad esempio, come abbiamo visto, per calcolare il fattoriale di 4 usiamo il fattoriale di 3, per calcolare il fattoriale di 3 usiamo quello di 2, e così via.
Attenzione però: una volta arrivati al fattoriale di 0, non potreste ricorrere al fattoriale di -1, perché in questo modo fareste un bel buco per terra e comincereste a scavare nei numeri negativi, all’infinito, creando disastri! Da bravi programmatori dovrete ricordarvi di "A saucerful of secrets" o della matrioska vuota, che in questo caso è il fattoriale di 0: quando si arriva a 0, qui dovete fermarvi, e tener conto che il fattoriale di 0 è semplicemente 1!

Il concetto di ricorsività non appartiene soltanto alla matematica o all'informatica, ma anche, solo per fare alcuni esempi, alle arti figurative, alla letteratura, al cinema. Negli anni settanta, sulla scatola di uno dei prodotti di Droste, una marca olandese di cacao, era disegnata un’infermiera che reggeva in mano un vassoio con una tazza e una scatola della stessa marca. Il giornalista olandese Nico Scheepmaker coniò il termine "effetto Droste", per indicare immagini contenenti versioni ridotte di se stesse.
Un’espressione che è quasi un sinonimo di "effetto Droste" è "mise en abyme", in francese "messo nell’abisso". L’origine del termine va cercata nell’araldica, dove indica uno stemma che contiene un piccolo scudo all’interno di uno scudo più grande. Oggi, si parla di "mise en abyme" soprattutto nella critica letteraria, artistica e cinematografica, per indicare storie ricorsive strutturate a matrioska.


Questa notte ho fatto un sogno strutturato a matrioska:
io sognavo di sognare che un abate un po' cruento
dopo avermi esaminato mi ordinava di svegliarmi.
Io ubbidiente gli ubbidivo, cioè sognavo di svegliarmi
e me lo ritrovavo accanto con quel fare suo cruento,
lui che mi riesaminava, io che gli chiedevo affranto:
"Dimmi, abate, perché insisti nell'esaminarmi attento?
Ho commesso forse un atto che fu inviso all'abbazia?"
Egli, colto alla sprovvista, non sapendo fare meglio,
mi ordinò seduta stante di procedere a un risveglio.

(da "Abate cruento", di Elio e le Storie Tese)

Stefano Belisari, in arte Elio, è laureato in ingegneria elettronica, e certamente la ricorsione come concetto informatico ha un ruolo chiave in questo testo surreale, in cui la procedura "sogno" viene invocata (per usare un termine informatico) due volte: la prima volta, se così posso dire, dal programma principale, e la seconda volta dalla procedura stessa, appunto in modo ricorsivo. In entrambi i casi l'esecuzione della procedura termina a causa del comando dell'abate cruento, il quale ordina di "procedere a un risveglio". Dopo la prima uscita ci ritroviamo all'interno della procedura stessa, al primo livello di ricorsione, e dopo la seconda uscita ritorniamo al livello di partenza, quello del programma principale.

Un celebre esempio è offerto dall’Amleto di Shakespeare, nel quale a un certo punto i personaggi mettono in scena una tragedia che è molto simile all’Amleto stesso: l’Amleto, quindi, contiene dentro di sè un altro Amleto, il quale ne contiene un altro, e così via all’infinito.
Esempi più moderni di "teatro nel teatro" ce li propone Pirandello: nei suoi "Sei personaggi in cerca d’autore", lo spazio rappresentato sul palco del teatro è a sua volta il palco di un teatro, e i personaggi recitano la parte di attori che stanno provando un'altra opera teatrale di Pirandello, "Il gioco delle parti".
La letteratura moderna, d’altra parte, è piena di strutture ricorsive e giochi autoreferenziali, da "Aspettando Godot" di Samuel Beckett, a "Se una notte d’inverno un viaggiatore" di Italo Calvino, a molti racconti di Borges.
Anche il cinema ha fatto spesso uso di vertiginosi giochi di "mise en abyme": si pensi ad esempio al film "eXistenZ" di David Cronenberg, o ad "Inception" dell’anno scorso.


L’arte figurativa, soprattutto quella moderna, non è da meno. In alcuni famosi dipinti raffiguranti pipe, René Magritte compie una riflessione sulla differenza tra realtà e rappresentazione, giocando in modo molto profondo con i paradossi dell’autoreferenza. Ma l’artista che più di ogni altro ha affrontato le sottigliezze della ricorsione è il grafico olandese Maurits Cornelis Escher, famoso per i suoi disegni di costruzioni impossibili, distorsioni geometriche e tassellature del piano: potremmo citare la ricorsività intrecciata in "Mani che disegnano", dove una mano che impugna una matita sta disegnando su un foglio un'altra mano, la quale, a sua volta – ed ecco il paradosso - disegna la prima mano…

Tornando a "Ummagumma", il disco che ha offerto lo spunto per parlare di ricorsività, non posso evitare di notare che questa copertina ci regala anche un altro magnifico pretesto matematico: ma di questo parlerò nel prossimo post.

Commenti

  1. Per quanto riguarda il fattoriale è molto meglio non fermarsi all'1 ma fare un passo ulteriore: quei matematici diabolici hanno infatti definito 0!=1 e si evitano un sacco di problemi....

    Quanto sopra solo come scusa per venire allo scoperto e dire che ho da poco scoperto questo blog e l'ho subito messo tra i preferiti: davvero complimenti!

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  2. Grazie dei complimenti, e grazie anche dell'utile precisazione sulla definizione del fattoriale: in effetti la scelta convenzionale (e per certi aspetti conveniente) della "matrioska vuota", in questo caso, coincide proprio con 0! e non con 1! (ho rettificato di conseguenza il post).

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  3. Bel post, molto interessante, mi intriga molto questo tipo di lettura "multidisciplinare" di uno stesso argomento.
    Aspetto la seconda parte.... :)

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  5. Vorrei presentare un mio ebook che parla della ricorsività e dei giochi di specchi ad ampio raggio. Di Ravecca Massimo su amazon: “Tre uomini un volto: Gesù, Leonardo e Michelangelo”.

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