La matematica dei Pink Floyd a Breda di Piave

In un autunno entusiasticamente floydiano, grazie all'imminente uscita del nuovo album The endless river (anticipato dal singolo Louder than words), non potevo tralasciare di parlare ancora un po' di matematica e Pink Floyd.
Per questo, venerdì 14 novembre presenterò il mio libro La matematica dei Pink Floyd a Breda di Piave, in provincia di Treviso.
La serata, intitolata La matematica è rock, si svolgerà presso l'Auditorium di Villa Olivi, in Piazza Olivi, con inizio alle ore 21 e ingresso libero.
L'evento fa parte della rassegna intitolata Suggestioni d'autunno, organizzata dalla Biblioteca Comunale di Breda di Piave.
La serata vedrà anche la presenza del chitarrista Stefano Zamuner, che proporrà alcuni momenti musicali ispirati alla musica dei Pink Floyd, e di Christian Stradiotto, che leggerà alcuni passi del mio libro.
Introdurrà la presentazione Sandra Fedrigo.
Oltre alla musica e alla lettura, la serata proporrà anche immagini e filmati.
Come nella recente presentazione a Guanzate, non parlerò soltanto di matematica nei Pink Floyd, ma anche di spunti matematici legati ad altri protagonisti del rock.
Ringrazio la Biblioteca di Breda di Piave per la bella opportunità.
Mi raccomando, non mancate!

Carnevale della Matematica #78 su Crescere Creativamente

Spero che i miei lettori mi perdoneranno per il timing di questo post, che non è esattamente dei migliori: ma il Carnevale della Matematica è appuntamento così importante che non è possibile dimenticarlo. Meglio ritardare di qualche giorno, ma saltare un'edizione no, non sia mai.
L'edizione numero 78 è stata ospitata dal blog Crescere Creativamente di Rosalba Cocco, con l'interessante tema "Disegnate la matematica".

Come riporta la stessa maestra Rosalba:

"Disegnate la matematica" è il tema proposto ed è la consegna che ho impartito ai miei alunni di classe seconda durante l'attività della scorsa settimana. Non è facile per i bambini piccoli rappresentare i numeri, per quanto questi ultimi vengano presentati tramite oggetti, quindi con l'idea di renderli aderenti alla realtà, essi sono comunque un'astrazione. Perfino nei semplici problemi che prendono spunto da situazioni pratiche, sono percepiti dai bambino come distanti. Una cosa è sicuramente vera: i bambini sono più abituati a ragionare sul linguaggio a conoscere nomi e concetti relativi alla lingua, meno abituati al ragionamento sui concetti di quantità

Eppure i disegni che i bambini hanno consegnato e che hanno impreziosito la carrellata carnevalesca sono tutti molto belli, così come lo sono i numerosi contributi presentati, alcuni dei quali anche a tema.
Questo blog ha partecipato con la seconda parte del post Come costruire un libro infinito (attenzione, è in arrivo la terza e ultima parte).

Vi ricordo l'appuntamento con il prossimo Carnevale, il numero 79: sul magnifico blog Il Coniglio mannaro del grande Spartaco Mencaroni, con il suggestivo tema "Matematica e libertà".
(Ohibò: 79 è primo, e quindi il Sommo Popinga e il Fondatore .mau. hanno dovuto inventare per l'occasione il nome in codice gaussiano, che è Senza posa.)
Spartaco ha introdotto il prossimo Carnevale d'autunno con un post che a suo dire rappresenta una sommessa introduzione, un richiamo ancora vago, in anticipazione di una qualche sorpresa. Attendiamo con curiosità. Per adesso, complimenti a Rosalba e a tutti i partecipanti del Carnevale d'ottobre, e lunga vita al Carnevale!

Come costruire un libro infinito (seconda parte)

Nella prima parte di questo post (uscita ormai più d'un mese fa: perdonatemi il ritardo con cui esce questa sezione finale), riportavo l'"assioma dei libri infiniti" così come formulato da Jean Paul Delahaye:

ogni sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1] dei numeri reali compresi fra 0 e 1 determina un libro infinito anch'esso chiamato E. A ciascun elemento x di E corrisponde un foglio x del libro E. Se x e y sono due elementi di E e x<y, allora il foglio associato a x si trova, nel libro E, davanti al foglio associato a y.

Ciascuno dei libri infiniti che rispettano l'assioma di Delahaye è quindi associato a un sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1].
Ovviamente questa ipotesi è piuttosto difficile da immaginare, perché stiamo parlando di sottoinsieme infiniti, e ciò significa che dobbiamo figurarci nella mente fogli infinitamente sottili, cosa non certo intuitiva.
D'altra parte, fa notare Delahaye nel suo libro (che, per inciso, non è infinito), non si capisce perché  fogli di spessore infinitesimale debbano essere più assurdi rispetto a istanti di tempo di durata infinitesimale, che in fisica sono del tutto normali.

Come la mettiamo però con il fatto che ogni foglio ha due facce, cioè due pagine? È presto detto. Se x è il numero reale appartenente all'intervallo [0,1], la pagina anteriore, cioè il recto, sarà associata a un numero indicato come x^_, mentre la pagina posteriore, cioè il retro, sarà legata a un numero denotato come x⁺.

Prendiamo ora E oppure una sua parte (ovvero un plico di fogli del nostro libro infinito). Tale insieme avrà un estremo inferiore inf(E) e un estremo superiore sup(E). Può accadere che l'estremo inferiore appartenga a E, oppure no. E analogamente per l'estremo superiore.
Per esempio, consideriamo il libro infinito associato all'insieme A = {..., 1/n, ..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1}. L'estremo superiore di questo insieme è uguale a 1: dato che esso appartiene all'insieme A stesso, lo chiamiamo massimo di A.
L'estremo inferiore è invece 0, ma questo numero non fa parte di A, e quindi possiamo dire che A non ha un minimo.
Quali sono le conseguenze per il nostro libro infinito? Visto da sopra, il libro non presenta una pagina specifica, cosa che accadrebbe se invece l'insieme A avesse un minimo. Per convenzione, Delahaye immagina che il plico di fogli appaia completamente nero, o, più poeticamente, nero-abisso, come se l'insieme infinito di fogli sottostanti producesse, a causa della trasparenza della carta, una sorta di infinita sovrapposizione del contenuto nero stampato.
In altre parole, nessuna pagina è la prima pagina di questo mostruoso libro infinito. Un'ultima pagina, invece, ce l'ha, ed è la pagina associata al numero 1⁺.

Delahaye suggerisce che, quando il lettore trova, in un punto qualsiasi del libro, una pagina stampata, sulla sinistra o sulla destra, può sempre umettarsi leggermente il dito e voltare la pagina: all'indietro se si tratta di una pagina sulla sinistra, o in avanti se si tratta di una pagina sulla destra. Detto altrimenti, il lettore può staccare la pagina dal plico cui appartiene, osservandone la parte opposta.
Torniamo al nostro libro A. Umettando ripetutamente il dito e andando dall'ultima pagina a ritroso verso l'inizio, si sfilano in sequenza le pagine 1⁺ , 1^_ , 1/2⁺, 1/2^_, 1/3⁺, 1/3^_, ... Tutte queste pagine appaiono stampate, cioè non sono nero-abisso. Solo la copertina iniziale è completamente nera: possiamo immaginare che le pagine, mano a mano che ci si avvicina all'inizio, diventino sempre più sottili, tendendo all'infinitamente sottile!

Il libro A sembra quindi un supporto perfetto per una storia che ha un finale ma che non ha un inizio preciso.
Viceversa, un libro complementare ad A è un libro che inizia ma non finisce: per esempio il libro infinito associato all'insieme B ={1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}, che ha come unica pagina nero-abisso la sua ultima pagina.
Il libro A può essere modificato aggiungendo, davanti alla copertina, una pagina corrispondente allo 0: otteniamo così il libro associato a A' = {0} U {..., 1/n, ..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1}. Il primo foglio di questo libro può essere voltato inumidendo il dito, ma dopo aver compiuto questa operazione il lettore si troverà davanti la pagina 0⁺ a sinistra e una pagina nero-abisso a destra. Questa vertiginosa pagina nera nasconde in realtà l'insieme di fogli corrispondente all'insieme dei numeri reali A.

Un interessante libro infinito è quello associato all'insieme C ={..., 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1- 1/3, 1-1/4, 1-1/5, ...}, che presenta le due copertine completamente nere, ma nessun'altra pagina in questo volume è nero-abisso. Il foglio 1/2 si trova a metà tra un'infinità di pagine e un'altra infinità di pagine.
Come osserva Delahaye, tutto sommato si tratta di un libro infinito dalla struttura abbastanza semplice.
Un libro certamente più affascinante è quello legato all'insieme D = {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...} U {..., 1/2+1/5, .1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}. Questa volta, al centro del libro c'è un doppio accumulo di fogli: se il lettore riuscisse ad aprirlo esattamente nel mezzo, troverebbe a sinistra un plico nero-abisso corrispondente all'insieme privo di massimo {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...}, e a destra un altro plico nero-abisso corrispondente all'insieme privo di minimo {..., 1/2+1/5, .1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}.
Finché il lettore non riesce a operare questa delicata e precisissima apertura del volume, potrebbe pensare di avere a che fare con il libro corrispondente all'insieme D' = {0, 1/2-1/3, 1/2-1/4, 1/2-1/5, ...} U {1/2} U {..., 1/2+1/5, 1/2+1/4, 1/2+1/3, 1}.

I due libri D e D' sono topologicamente diversi, mentre può accadere che diversi insiemi infiniti corrispondano in realtà a libri indistinguibili tra loro, in quanto perfettamente equivalenti dal punto di vista topologico. Tanto per fare un esempio banale, {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...} e {2, 4, 6, ..., 2n, ...} generano libri infiniti indistinguibili l'uno dall'altro.

Il libro R è il libro infinito associato all'insieme di tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1. Com'è fatto questo volume? Possedendo un minimo, 0,  e un massimo, 1, le copertine sono entrambe stampate. Tuttavia, girando la prima pagina, troveremo sulla sinistra una pagina stampata e sulla destra una pagina nero-abisso, dato che non esiste il minimo dei numeri reali positivi. In modo analogo, partendo dall'ultima pagina e tornando indietro, ci imbattiamo subito in una pagina leggibile sulla destra, e in una pagina nero-abisso sulla sinistra.
In generale, aprendo il libro a caso, scopriremo sempre, sui due lati, una pagina nero-abisso e una pagina leggibile. Il fatto che la pagina nera si trovi a sinistra o a destra dipende dal tipo di separazione che operiamo aprendo il libro casualmente. La separazione può infatti essere del tipo [0, x[ e [x, 1] oppure del tipo [0, x] e ]x, 1]. Nel primo caso troveremo la pagina nera sulla sinistra, mentre nel secondo caso la osserveremo sulla destra.

Un altro libro infinito descritto da Delahaye è quello Q, associato all'insieme dei numeri razionali compresi tra 0 e 1. Com'è noto, i numeri razionali sono quelli della forma p/q, dove p e q sono numeri interi, con p compreso strettamente tra 0 e q, e q diverso da zero. 

Come accade per il libro R, anche Q ha le due copertine stampate, e quando si gira il primo foglio, oppure l'ultimo all'indietro, si trova una pagina completamente nera. Però, sfogliando il libro Q, può accadere a un certo punto di trovare entrambe le pagine di color nero-abisso. Perché? Per il fatto che alcuni sottoinsiemi superiormente limitati dell'insieme dei numeri razionali non hanno l'estremo superiore.
Questo può apparire un paradosso: il libro Q sembra presentare più pagine nere del libro R, quasi come se il libro Q fosse più infinito del libro R (cosa paradossale visto che l'insieme dei reali, che ha la potenza del continuo, è in realtà più "numeroso" dell'insieme dei razionali, che è "soltanto" numerabile).

Non solo: abbiamo visto che aprendo a caso il libro R, ci troviamo sempre a che fare con una pagina leggibile e una pagina nero-abisso. Cosa accade se invece apriamo a caso il libro Q?

Per rispondere a questa domanda, dobbiamo definire rigorosamente l'operazione di apertura a caso di un libro infinito. Tale operazione equivale a estrarre a caso un numero reale x compreso tra 0 e 1, e mettere a sinistra tutti i fogli il cui numero è minore di x, e a destra tutti i fogli il cui numero è maggiore di x. Se x stesso corrisponde a un foglio presente nel libro, si fa testa o croce per decidere se il foglio x deve essere posizionato a destra o a sinistra.

Ora, visto che i numeri razionali costituiscono una porzione trascurabile nell'insieme dei numeri reali, se apriamo a caso il libro Q, sorteggeremo con una probabilità del 100% un numero x irrazionale, il che significa che sia a destra che a sinistra vedremo il mostruoso colore nero-abisso.

Bene. Per adesso può bastare. La terza parte del post concluderà questo strano viaggio attraverso i libri senza fine: oggetti vertiginosi e paradossali, che soltanto due cose meravigliosamente folli come la matematica e la letteratura potevano concepire.

"La matematica dei Pink Floyd" al Festival "Frontiere letterarie" (continua)

Ancora qualche parola, anzi, qualche immagine tratta dai manifesti e dai pieghevoli del festival "Frontiere Letterarie".

Segnatevelo sulle agende: venerdì 26 settembre, ore 21, alla Biblioteca Comunale di Guanzate, in provincia di Como. Ingresso libero.

Il programma dettagliate lo trovate sul sito del Festival.

Parlerò de "La matematica dei Pink Floyd", certo, ma ve li farò anche ascoltare e vedere, i Pink Floyd. No, non saranno presenti Waters e Gilmour (almeno, non credo), ma qualche sorpresa ci sarà, promesso!

 

"La matematica dei Pink Floyd" al Festival "Frontiere letterarie"

Da tarthiev.deviantart.com

L'autunno 2014 si preannuncia molto interessante per gli appassionati dei Pink Floyd. A parte la grande mostra "The Pink Floyd Exhibition", che doveva essere inaugurata il 19 settembre e invece è stata rinviata a tempo indeterminato, i fan sono in ansia per l'uscita del nuovo disco "The endless river", prevista per il mese di ottobre.
Gli esperti sono divisi tra chi sostiene che si tratterà di una raccolta di scarti e chi giura che il nuovo album non potrà che essere un capolavoro.
Un fatto è certo: si tornerà a parlare molto di Pink Floyd (non che si sia mai smesso, a dire il vero), e d'altra parte anche le voci di Wikipedia sulla band britannica sono state modificate per segnalare che i Pink Floyd non sono stati una rock band, ma sono una rock band. Adesso, nel 2014.

E proprio per sottolineare questo momento floydiano, venerdì 26 settembre sarò a Guanzate, in provincia di Como, per parlare del mio e-book "La matematica dei Pink Floyd", nell'ambito del Festival "Frontiere Letterarie".
L'evento avrà luogo presso la Biblioteca Comunale, in via delle Rimembranze 3, con inizio alle ore 21 e ingresso libero.

Come suggerisce il sito del Festival:
attraverso immagini e ascolti, Paolo Alessandrini farà contenti sia gli appassionati dei Pink Floyd rivelando aspetti inediti della loro band preferita, sia i più aperti tra gli appassionati di matematica.

Parlerò non soltanto di matematica nei Pink Floyd, ma anche di spunti matematici legati ad altri protagonisti del rock.
Il Festival è organizzato da una quindicina di Comuni disseminati tra il Varesotto, la provincia di Como e il Canton Ticino. L'edizione 2014, che si aprirà venerdì prossimo e durerà fino a fine novembre, è la settima, e il suo suggestivo tema è “Di tutti i colori”. 
La serata di venerdì 26 sarà decisamente di colore rosa. Anzi, pink: come la copertina del mio librino.
Non mancate!

Carnevale della Matematica #77

All’alba melodioso.

(77 secondo la Poesia Gaussiana del Sommo Popinga)

Benvenuti all'edizione numero 77 del glorioso Carnevale della Matematica, la terza ospitata da Mr. Palomar.

Come vuole la tradizione carnevalizia, si comincia con alcune curiosità legate al numero 77.
La fattorizzazione è 7 × 11 (da cui il verso gaussiano riportato all'inizio di questo post). Dato che la somma dei divisori di 77 è minore del numero stesso, siamo di fronte a un numero difettivo. Poiché i fattori 7 e 11 sono numeri primi della forma 4t+3, con t intero, cioè sono primi gaussiani, possiamo anche dire che 77 è un numero di Blum.
Il 77 è anche un numero che fa parte di una successione di Ulam, in cui ogni termine è esprimibile, in modo univoco, come somma di due membri precedenti e distinti della successione: un esempio di successione di Ulam comprendente 77 è : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, ecc.
Il nostro 77 ha anche le caratteristica di essere la somma di tre quadrati consecutivi (4×4 + 5×5 + 6×6) e dei primi otto numeri primi (2+3+5+7+11+13+17+19).
È anche il più grande numero che non può essere espresso come somma di numeri distinti i cui reciproci sommano a 1.

Passando a curiosità non matematiche, pare che durante la seconda guerra mondiale il numero 77 fosse utilizzato spesso come parola d'ordine nelle regioni scandinave: il modo alquanto peculiare in cui il numero viene pronunciato nella lingua svedese consentiva infatti di discriminare immediatamente tra persone svedesi, norvegesi e tedesche.
Venendo a storie più recenti e nostrane, il Settantasette è stato un movimento politico italiano attivo, appunto a partire dal 1977, nell'ambito della sinistra extraparlamentare.
Se nella Smorfia napoletana il nostro numero simboleggia cose tentatrici, come le gambe delle donne o i diavoli, in alcune religioni, come l'Islam e il Cristianesimo, questo numero acquisice valenze più ultraterrene. Secondo alcune credenze numerologiche, infatti, il numero viene associato a Gesù Cristo, e settantasette furono anche, secondo i vangeli, le generazioni che trascorsero tra Adamo e Gesù.
In ambito musicale, 77 è anche l'anno di debutto della celebre rock band americana dei Talking Heads. Nel loro primo album (che s'intitolava appunto Talking Heads: 77) compariva Psycho killer, divenuta poi una delle canzoni più famose del gruppo.

Il tema che ho proposto per questo Carnevale settembrino è Matematica mostruosa, spaventosa, vertiginosa.
In che modo la matematica può incutere paura, suscitare un senso di vertigine, o suggerire idee mostruose? Non stiamo forse parlando della scienza apollinea per eccellenza? Dello studio delle forme perfette, dell'armonia dei numeri, in cui ogni cosa è, per definizione, coerente, equilibrata e rassicurante?
Chi conosce bene la matematica sa che non è così, forse perché l'ambito della matematica non coincide esattamente con la realtà. Certamente vi sono aspetti del reale che non possono essere descritti compiutamente in forma matematica, ma specularmente esistono anche aree della matematica che sfuggono a ogni tentativo di ricondurle a categorie reali, e in questo senso suscitano vertigine e sconcerto. L'infinito e i paradossi logici sono due esempi ovvi.
Ma questo è forse un discorso che ci porterebbe troppo lontano: meglio rientrare su binari più facili. Mi limito a dire che per illustrare questo Carnevale ho scelto alcune opere di Oscar Reutersvärd, un artista svedese noto per i suoi disegni di figure tridimensionali "impossibili" (tra le quali il celebre triangolo di Penrose, "scoperto" in realtà da Reutersvärd). Ho tratto le illustrazioni seguenti dal blog Impossible world di Vlad Alexeev. Spero che anche a voi queste figure paradossali appaiano un poco mostruose e incutano un pizzico di spavento e di vertigine.

Alcuni dei post che mi sono stati segnalati sono, in effetti, perfettamente in sintonia con l'argomento proposto, ma com'è ormai noto anche i contributi fuori tema sono più che benvenuti. Per questo ho pensato di non suddividere il Carnevale in due parti come avevo fatto nelle precedenti edizioni, e di presentare tutti i contibuti in un'unica sequenza.

Partiamo dal Coniglio Mannaro, ovvero dal bravissimo Spartaco Mencaroni: medico, mirabile narratore appassionato di matematica, nonché autore dei Racconti matematici pubblicati da 40K.
Il Coniglio propone Il naufragio del Perroquet, un racconto in due parti (questa è la prima, e questa la seconda), che si accorda perfettamente con il tema del Carnevale.
Le parole dello stesso autore descrivono molto bene non solo il racconto che introducono, ma più in generale il modo in cui la matematica e la logica stesse possono diventare spaventose:

Cos'è l'orrore? Possiamo darne un gran numero di definizioni, basandoci sulle nostre più sottili angosce, magari generate dal ricordo di esperienze passate. Una dimensione soggettiva, insomma, che non si può separare dal concetto stesso di paura. Ma esiste anche un orrore oggettivo, inconfutabile, a cui nessuno può resistere: ed è quello che ci assale quando la realtà, che siamo abituati a ritenere logica e indissolubile, vacilla.
Paradossi, fenomeni inspiegabili, distorsioni temporali... sono spesso l'ingrediente più gustoso delle finzioni più riuscite: ma le stesse cose ci spaventano a morte se diventano parte inconfutabile della realtà. Quando lo stesso strumento principe della ragione, la logica matematica, ci conduce a distorsioni impossibili, inaccettabili, innaturali, allora...
Beh, a quel punto, il panico è inevitabile.

Anche Flavio Ubaldini, trombonista e matematico anche noto come Dioniso, ha a che fare con i librini di Altramatematica, avendo scritto l'imperdibile La musica dei numeri. E anche il suo contributo al carnevale settembrino è di tipo narrativo: direttamente dall'ottimo blog Pitagora e dintorni, ecco a voi La scala del diavolo, una gustosissima storia ambientata in un'aula universitaria, con un imprevisto risvolto "mostruoso":

Quella notte Maria stentò ad addormentarsi. E, nel dormiveglia, cominciò a vedere il volto del suo salvatore delle ultime file. Lo vedeva bello e raggiante. Ma, improvvisamente, da quel volto spuntarono due folti baffi. E la luce che emanava si spense. Per essere rimpiazzata dall'oscurità del volto gignante del professore.
- Continua ma non derivabile, continua ma non derivabile - diceva il professore con voce beffarda e potente. Poi il tono si fece sempre più cavernoso e il volto s'infuocò.


Roberto Zanasi, anche lui autore di un pregevole blog (Gli studenti di oggi) ma anche di un e-book della sopra citata collana (Un punto fermo, che senza dubbio merita una lettura), contribuisce al Carnevale affrontando, con rigore e grande capacità divulgativa, una delle questioni più controverse della matematica, e cioè Ma chi l'ha detto che meno per meno fa più?
Eccovi un assaggio:

Eh, la famosa regola del prodotto (e della divisione) dei segni dice che meno per meno fa più, ma perché è così? Perché il prodotto di due numeri negativi deve essere positivo? Perché non negativo al quadrato, per dire? (No, ok, vabbé).

Il Carnevale della Matematica non sarebbe il Carnevale della Matematica se non vi partecipassero quei tre geniali simpaticoni dei Rudi Mathematici. Per amor di completezza, anche loro sono autori di uno dei bei librini matematici di 40K, precisamente quello intitolato Di 28 ce n'è 1. E poi sono loro che scrivono su Le Scienze e sul relativo blog Rudi Matematici (senza acca). Il bello è che nel segnalarmi i loro generosi contributi, i Rudi quasi si scusano per il fatto che (dicono loro) non hanno granché da proporre. Eppure i loro post sono numerosi e, come sempre, di eccelsa brillantezza.
Il primo, Sembra facile..., è uno di quei pezzi un po' ostici del Capo, che si occupa di tutti i miti del gioco d'azzardo in modo alternativo.
I Compleanni sono un grande classico dei Rudi. 21 Agosto 1789 – Buon Compleanno, Augustin!
celebra l'anniversario della nascita di Cauchy: personaggio moderatamente antipatico, che però ha dato un contributo davvero grande allo sviluppo della matematica, tra le altre cose insegnando a molti altri grandi matematici. Non perdetevi questo articolo, che, com'è peraltro normale nei Compleanni dei Rudi, riesce mirabilmente a collegare tra di loro argomenti che per ogni comune mortale sarebbero inconciliabili, come il David Letterman Show, le macchine da scrivere, il progresso culturale, e appunto Cauchy.
Sempre dal blog de Le Scienze, i Rudi segnalano anche l'affascinante Un classico al quadrato (o al cubo): i Cubi di Platone, ovvero il problema classico del mese, che ha riscosso grande successo tra i loro lettori.
A proposito di problemi, ecco anche la soluzione del problema di agosto pubblicato su Le Scienze 552 (Wimbledon 2.0) (che, ancora una volta, si è dimostrato aperto a varie interpretazioni e così anche a varie strade risolutive):

Ma vi rendete conto? Rudy che non sa neppure che a Wimbledon è assolutamente irrinunciabile vestire di bianco! Dobbiamo davvero vederle tutte, in questa vita faticosa.

Oddio, va riconosciuto a Rudy che, a ben vedere, non è che si trattasse davvero di Wimbledon: anche perché, se si fosse trattato davvero del praticello inglese, assai difficilmente avremmo visto Alice arrivare in quattro e quattr’otto in finale. Era solo un torneuccio condominiale da nome un po’ troppo altisonante… e se vi pare un’esagerazione, tenete sempre bene a mente, per favore, che molte delle cose che vi raccontiamo non hanno necessariamente una relazione diretta con la realtà. In altri termini, non crediate che, solo perchè avete letto il pezzo su Le Scienze a inizio mese, voi possiate affermare senza tema di smentita che Alice Riddle è una furia con la racchetta anche nel mondo reale. A dirla tutta, non sappiamo neppure se la vera Alice ce l’abbia, una racchetta…

Dato che nel precedente Carnevale non era stato possibile segnalare l'uscita del numero agostano di RM, l'autorevole e insostituibile "Rivista fondata nell'altro millennio", mi ritrovo immeritatamente l'onore di segnalare due numeri anziché uno soltanto: il numero 187 e l'appena uscito numero 188.

Mauro Merlotti, autore del blog Zibaldone scientifico, ha bene interpretato il tema proposto parlando di due argomenti matematici che sicuramente spalancano scenari vertiginosi e spaventosi: i frattali e i grandi numeri. Il suo contributo è appunto intitolato Grandi numeri. Mauro me lo ha presentato con queste parole:

Visto che l’argomento è “Matematica mostruosa, spaventosa, vertiginosa”, mi è venuto spontaneo parlare di frattali e “grandi numeri” che ho sempre ritenuto essere un argomento affascinante. Ho visto che anche Mr. Palomar ha pubblicato qualche cosa in merito l’anno scorso. 


Dal pregevole blog Al tamburo riparato, Leonardo Petrillo propone Di gruppi e mostri (matematici), un ecellente contributo che potrei definire deliziosamente mostruoso, sul tema della teoria dei gruppi e in particolare del gruppo Mostro M, con le sue inaspettate connessioni con la teoria dei numeri:

La storia del gruppo Mostro M (o gruppo di Fischer-Griess) ha inizio nel 1973, quando Bernd Fischer e Robert Griess ipotizzarono l'esistenza di un gruppo che potesse essere visto in ben 196.883 dimensioni. In sostanza, si può immaginare il gruppo Mostro come un incredibile fiocco di neve con circa 8 · 1053 simmetrie in uno spazio di 196.883 dimensioni.

Andrea di Science4fun partecipa alla rassegna carnascialesca con Il pane cade sempre dalla parte della marmellata?
Vi chiedete cosa c'entra con il tema del Carnevale? Come mi scrive lo stesso autore: più vertigine di così!
L'articolo, molto interessante e divertente, cerca di fare chiarezza su una delle questioni più studiate dai fisici golosi:

È opinione diffusa che la fetta di pane cada atterrando sempre della parte della marmellata. Si tratta di una delle più famose leggi di Murphy, ma è davvero così o si tratta solamente dell’effetto del caso, magari amplificato da qualche frase aneddotica?


Non si potrebbe celebrare degnamente il Carnevale senza il suo padre fondatore, Maurizio .mau. Codogno. Ah, sì, è vero: anche .mau. è autore di uno dei librini di Altramatematica (Matematica e infinito), ed è anche il curatore della collana. Com'è suo costume, Maurizio contribuisce alla sua creatura carnevalesca con generosità.
Per cominciare, sulle Notiziole ha presentato un divertente Gioco per ferragosto: Duzzle!

Scopo del gioco, come spiegato nella finestra pop-up iniziale, è quello di rimettere in ordine crescente i numeri da 1 a 25 disposti in un quadrato 5×5. Quello che si può fare è spingere una riga o una colonna: un numero uscirà fuori dal quadrato e prenderà il posto lasciato libero dagli altri che si sono mossi.

Inoltre, .mau. ci regala alcune delle sue illuminanti e incisive recensioni.
La dea delle piccole vittorie è un romanzo di Yannick Grannec, in cui Gödel viene visto con gli occhi della moglie... ma non solo.
Paradoxes from A to Z di Michael Clark è un libro che raccoglie un gran numero di paradossi, matematici ma anche filosofici o linguistici o legali, da quelli classici a quelli più recenti. A parere del recensore (e traduttore) .mau. l'edizione inglese è meglio di quella italiana.
In Musing of the Masters, Raymond George Ayoub ha raccolto diciassette saggi di matematici che non trattano di matematica in senso stretto, ma piuttosto del lato umanistico della matematica.

Sul Post, Codogno ci offre i consueti e appetitosi Problemini per ferragosto, e ci fornisce anche le relative soluzioni.
Induzione alla rovescia è invece un interessantissimo post che spiega perché il classico metodo di induzione, utilizzato per dimostrare che una certa proprietà vale per tutti i numeri interi, e normalmente applicato in senso crescente, può essere impiegato anche al contrario:

Un’induzione alla rovescia non può funzionare: che senso avrebbe tornare all’indietro, se dobbiamo arrivare fino all’infinito? Infinito meno uno che cos’è? Beh: esiste un caso in cui si fa effettivamente induzione all’indietro! 

Volete sapere qual è questo caso? Be', leggete il post, no?

Il contributo di Annalisa Santi, dal blog Matetango, si intitola John Nash, tra genio e follia.
Con le parole stesse dell'autrice:
Giusto per cercare un aggancio si potrebbe dire che John Nash  ha dimostrato che proprio la matematica gli ha permesso di uscire dal tunnel della schizofrenia paranoide, questa sì "mostruosa, spaventosa, vertiginosa"!  Nash ha sostenuto infatti che: "La matematica, il calcolo e i computer sono stati la medicina che mi ha riportato ad un'idea più razionale e logica, aiutandomi a rifiutare il pensiero e l'orientamento allucinatori. La matematica è curativa e in America viene usata nella terapia occupazionale al posto dei farmaci. Con ottimi risultati!"



Roberto Natalini mi fa sapere che "Maddmaths! ha parecchio dormito in agosto". Ma non credetegli. I contributi di questo sito sono sempre abbondanti e di elevatissimo livello qualitativo.
Il primo è anche in tema: in occasione del convegno Infinite Wallace / Wallace infini, che si tiene in questi giorni a Parigi, il sito Images des Mathématiques ha chiesto a Roberto Natalini, che tra le altre cose è co-coordinatore, con Andrea Firrincieli, del sito Archivio DFW Italia, di scrivere un breve articolo sulle connessioni tra David Foster Wallace e la matematica. Il risultato è Gli infiniti scherzi matematici di David Foster Wallace.

Il secondo contributo è Il momento giusto per andare in pensione a cura di Stefano Pisani, Maya Briani, Andrea Pascucci. In tempi di crisi economica, le ansie dei lavoratori si appuntano non solo sull’attualità ma anche sul futuro. La questione pensionistica, su cui arrivano con cadenza praticamente quotidiana notizie non esattamente incoraggianti, è stata affrontata da un gruppo italo-spagnolo di matematici che ha elaborato un modello che potrebbe aiutare a rispondere alla domanda: quando è il momento migliore per andare in pensione?
Stefano Pisani è l'autore dell'interessante La matematica al servizio della pallavolo italiana. Nei Mondiali di pallavolo maschile che gli azzurri avevano un’arma in più: i numeri. E non stiamo parlando dei numeri degli schemi o delle loro altezze, ma dell’applicazione al gioco degli atleti di modelli matematici sviluppati dal Moxoff, spin-off del Politecnico di Milano. 
Infine, Congresso Internazionale dei Matematici: non solo Mirzakhani è l'intervento di Ciro Ciliberto, professore ordinario di geometria superiore all'Università di Tor Vergata e presidente dell'UMI, sul recente congresso internazionale dei matematici di Seoul. 

Dal sempre stimolante blog Dropsea, Gianluigi Filippelli partecipa con quattro contributi.

La congettura di Rota tratta della congettura enunciata nel 1970 da Gian-Carlo Rota sulle matroidi, degli oggetti matematici a metà strada tra le matrici e gli insiemi.

La matematica delle lacrime è la piccola storia di un modello matematico che descrive il fluido lacrimale all'interno degli occhi.

Dagli equilibri di Nash ai comportamenti collettivi è un post di grande interesse: sfruttando come spunto ispirativo il Godel Research Prize vinto da un suo ex compagno di classe, Filippelli discorre degli equilibri di Nash azzardando un possibile legame con lo studio dei comportamenti collettivi.

Racconti matematici è invece una recensione dell'omonima raccolta di racconti curata da Claudio Bartocci.

Per concludere la carrellata dei contributi, anche questo blog ha cercato di immergersi in un'atmosfera di vertigine matematica. In Come costruire un libro infinito (prima parte) suggerisco qualche idea su come potrebbe essere fatto un libro infinito, sfruttando alcuni assist offerti non da matematici, ma da scrittori, come Michael Ende, Jorge Luis Borges e Raymond Queneau. Ma il bello deve ancora venire, e arriverà appunto tra pochi giorni, nella seconda parte del post.

E siamo arrivati in fondo. La prossima edizione uscirà tra un mese sul blog Crescere creativamente di Maestra Rosalba, con il tema "Disegnate la matematica". Il nome in codice sarà il merlo canta allegro.

Ecco, il Carnevale è davvero finito. Lasciatemi ringraziare di cuore tutti i partecipanti. Evviva il Carnevale della Matematica!

Come costruire un libro infinito (prima parte)

Da insularomana.wordpress.com

Sarà di certo capitato anche a voi di immergervi rapiti nelle pagine di un libro, divorarle con avidità e godimento e, una volta giunti alla fine, pensare: “L’unico difetto di questo libro è che è troppo breve”. Oppure: “Avrei desiderato che l’ultima pagina non arrivasse mai”. O semplicemente: “Peccato che sia finito”.

Già, perché se un libro viene finito, cioè terminato, vuol dire che è finito, cioè che non è infinito. D’altra parte, credo che né io né voi abbiamo mai avvistato libri infiniti.

Eppure, l’idea di un libro senza fine è talmente forte e densa di implicazioni affascinanti e vertiginose che molti l’hanno in qualche modo affrontata. Ma come realizzare un libro infinito?

Libri ciclici (infinito metaforico)

Esiste un trucco per farlo in modo molto semplice: con qualche artificio si fa in modo che il lettore, arrivato in fondo al libro, riparta dall’inizio. Una struttura ciclica, quindi. O, se preferite, un’applicazione libresca dei corsi e ricorsi storici di Gianbattista Vico o del concetto nietzschiano dell’eterno ritorno.
Solo che in questo modo non si realizza veramente un libro infinito, ma piuttosto un libro illimitato, un po’ come una circonferenza, che non ha inizio né fine, ma nemmeno una lunghezza infinita.
L’artificio del libro ciclico fu realmente utilizzato dallo scrittore irlandese James Joyce nella sua ultima e più complessa opera, pubblicata nel 1939 con il titolo Finnegans wake: il testo si apre infatti con la frase

riverrun, past Eve and Adam's...

che in realtà è la seconda parte della frase che conclude il libro:

A way a lone a last a loved a long the

Un altro esempio di libro ciclico lo troviamo nel romanzo La storia infinita, pubblicato nel 1979 dallo scrittore tedesco Michael Ende. Il libro ha una struttura molto complessa e una trama estremamente intricata e suggestiva. La versione cinematografica del 1984, diretta da Wolfgang Petersen, sebbene molto coinvolgente, piena di magnifici effetti speciali e impreziosita da una bella colonna sonora, sacrificava molto della ricchezza e della profondità del testo originale. Per la cronaca, Ende si inferocì dopo aver visto la pellicola, e affermò: "Auguro la peste ai produttori. M'hanno ingannato. Quello che mi hanno fatto è una sozzura a livello umano, un tradimento a livello artistico."

Nel romanzo, La storia infinita è il titolo di tre libri diversi:
1. il libro scritto da Ende, nel quale sono narrate, in color rosso rubino, le vicende del mondo reale e, in color verde-azzurro, quelle del regno di Fantàsia;
2. il libro rubato dal ragazzino Bastiano in un negozio di antiquariato, in cui sono raccontate soltanto le vicende di Fantàsia;
3. il libro scritto dal Vecchio della Montagna Vagante, in cui sono descritte, in color verde-azzurro, le vicende del mondo reale e, in color rosso rubino, quelle del regno di Fantàsia.

Michael Ende (1929-1995)
Da http://alleszeichnen.blogspot.it

Come in un gioco di scatole cinesi, il primo libro contiene il secondo, e il secondo contiene il terzo. Il terzo libro sarebbe identico al primo, se non fosse per l'inversione speculare dei colori in cui sono scritte le vicende reali e quelle del regno di Fantàsia. Verso la fine della fantasiosa e affascinante vicenda del romanzo, l'Infanta Imperatrice trova, sulla sommità di un'alta torre, la dimora del Vecchio, il quale è intento nella stesura del terzo libro.
L'Imperatrice chiede al Vecchio di leggere il libro.
Lui, pur riluttante, esegue l'ordine, innescando così la Fine Infinita, un vertiginoso ciclo ricorsivo senza fine:  tutti gli avvenimenti della Storia Infinita si ripetono, a partire dal furto del libro da parte di Bastiano.
Il ragazzino, allora, comprendendo di essere rimasto intrappolato in un loop senza fine, pronuncia il nome "Fiordiluna", che magicamente funziona come condizione di terminazione del ciclo infinito: qualcosa di analogo all'"ordine di procedere a un risveglio" nell'Abate cruento di Elio.

Anche lo scrittore argentino Jorge Luis Borges ha immaginato spesso libri pseudo-infiniti dalla struttura ciclica. Nel celebre racconto La biblioteca di Babele descrive un libro fisicamente ciclico: un gran libro circolare dalla costola continua, che gira tutto attorno alla parete di una stanza di forma circolare. Successivamente si apprenderà che questo libro ciclico è Dio.
L’immagine del volume circolare ritorna anche in un altro racconto famoso, Il giardino dei sentieri che si biforcano, che ho già citato in un vecchio post riguardante la computazione quantistica.
La vicenda narrata è quella del professore cinese Yu Tsun, spia in Inghilterra al servizio della Germania durante la prima guerra mondiale. Yu Tsun è il discendente di Ts'ui Pen, noto per avere scritto un enorme romanzo e per avere costruito un labirinto infinito, che nessuno è mai riuscito a ritrovare. Stephen Albert, uno studioso di letteratura cinese gli svela la verità, contenuta in una lettera vergata dallo stesso antenato di Yu Tsun:

Prima di ritrovare questa lettera, m'ero chiesto in che modo un libro potesse essere infinito.
Non potrei pensare che a un volume ciclico, circolare: un volume la cui ultima pagina fosse identica alla prima, con la possibilità di continuare indefinitamente.
Mi rammentai anche della notte centrale delle Mille e una notte, dove la regina Shahrazad (per una magica distrazione del copista) si mette a raccontare testualmente la storia delle Mille e una notte, a rischio di tornare un'altra volta alla notte in cui racconta, e così all'infinito. Pensai anche a un'opera platonica, ereditaria, da trasmettersi di padre in figlio, e alla quale ogni nuovo individuo avrebbe aggiunto un capitolo, emagari corretto, con zelo pietoso, le pagine dei padri. Queste congetture mi attrassero; ma nessuna sembrava corrispondere, sia pure in modo remoto, ai contraddittori capitoli di Ts'ui Pen.

Raymond Queneau (1903 – 1976)

Libri combinatori (infinito potenziale)

Alla fine Albert svela la verità a Yu Tsun: libro e labirinto sono in realtà la stessa cosa, e costituiscono il "giardino dei sentieri che si biforcano" del titolo. Non un labirinto infinito nello spa
zio, quindi, ma un romanzo labirintico che cerca di descrivere tutte le conseguenze future di un evento a più livelli, in una ramificazione vertiginosa e potenzialmente infinita.

Potenzialmente, appunto. Potrei soffermarmi sulle molte complesse strutture combinatorie esplorate nel Novecento da alcuni scrittori, primi fra tutti Raymond Queneau nei suoi Cent mille milliards de poèmes: un insieme di dieci sonetti ciascuno dei quali occupa una pagina ed è formato da 14 versi. Ogni pagina è tagliata in strisce orizzontali, ciascuna delle quali contiene un verso: le combinazioni che si vengono a creare sono quindi 10¹⁴, appunto i centomila miliardi del titolo.


Libri veramente infiniti (infinito attuale)

Se la ciclicità è poco più di un trucco per rappresentare l'infinito, anche le strutture combinatorie, per quanto ardite e mostruosamente ramificate, non possono che tendere all'infinito, senza mai raggiungerlo davvero.
Per forza, direte voi: mica vorrai costruire un libro veramente infinito!
Non fisicamente, certo, ma almeno concettualmente forse una strada esiste, e a questo proposito il solito Borges ha indicato alcuni spunti interessanti.
Il racconto La biblioteca di Babele termina con la seguente vertiginosa visione:

Letizia Alvarez de Toledo ha osservato che la vasta Biblioteca è inutile: a rigore, basterebbe un solo volume, di formato comune, stampato in corpo nove o dieci, e composto d’un numero infinito di fogli infinitamente sottili (Cavalieri, al principio del secolo XVII, affermò che in ogni corpo solido è la sovrapposizione di un numero infinito di piani). Il maneggio di questo serico vademecum non sarebbe comodo: ogni foglio apparente si sdoppierebbe in altri simili; l’inconcepibile foglio centrale non avrebbe rovescio.

Il principio di Cavalieri, cui Borges fa riferimento, attribuisce una astratta plausibilità a un’idea di libro infinito che ovviamente rimane impossibile dal punto di vista concreto: come sarebbe possibile, infatti, realizzare un volume di spessore finito costituito da un numero infinito di pagine infinitamente sottili?
Ammettendo comunque che l’operazione sia possibile, è chiaro che un siffatto libro sarebbe un vero libro infinito, e potrebbe quindi raccogliere in sé l’intero contenuto di una biblioteca infinita come quella descritta da Borges nella prima parte del racconto.

Jorge Luis Borges (1899 - 1986) - da http://quadernodizaffiro.blogspot.it

L’idea del libro infinito deve avere ossessionato a lungo il grande scrittore argentino, e non dobbiamo stupirci di ritrovarla anche in un’altra storia, scritta qualche anno più tardi, e significativamente intitolata Il libro di sabbia.
Il racconto fa parte della raccolta omonima del 1975, che contiene anche il racconto Tigri blu.
Nella vicenda raccontata da Borges, il protagonista riceve uno strano libro da un venditore di bibbie:

Mi disse che il suo libro si chiamava il Libro di Sabbia, perché quel libro e la sabbia non hanno né principio né fine. Mi disse di cercare la prima pagina.

Con la mano sinistra sopra il frontespizio, cercai la prima pagina con il pollice quasi incollato all'indice. Tutto fu inutile: tra il frontespizio e la mano si interponevano sempre nuovi fogli. Era come se sorgessero dal libro.

«Adesso cerchi la fine.»

Fallii di nuovo; riuscii appena a balbettare con una voce che non era la mia:

«Non è possibile.»

Sempre sottovoce, il venditore di bibbie mi disse:
«Non è possibile, ma è. Il numero di pagine di questo libro è esattamente infinito. Nessuna è la prima, nessuna è l'ultima. Non so perché siano numerate in questo modo arbitrario. Forse per suggerire che i termini di una serie infinita ammettono qualsiasi numero.

Ben presto il libro diviene un tormento insostenibile per il protagonista, il quale decide alla fine di disfarsene abbandonandolo sugli scaffali di una biblioteca.

Verso la fine dell'estate capii che il libro era mostruoso. A nulla valse considerare che non meno mostruoso ero io, che lo percepivo con occhi e lo palpavo con dieci dita provviste di unghie. Sentii che era un oggetto da incubo, una cosa oscena che infamava e corrompeva la realtà.

Pensai al fuoco, ma ebbi paura che la combustione di un libro infinito fosse altrettanto infinita e soffocasse con il fumo il pianeta.
Ricordai di avere letto che il luogo migliore per nascondere una foglia è un bosco. Prima di andare in pensione lavoravo nella Biblioteca Nazionale, che conserva novecentomila libri; so che a destra del vestibolo una scala curva si immerge nello scantinato, dove si trovano i periodici e le carte geografiche. Approfittai di una distrazione degli impiegati per perdere il Libro di Sabbia in uno di quegli umidi scaffali. Cercai di non osservare né a che altezza né a che distanza dalla porta.
Provo un po' di sollievo, ma non voglio nemmeno passare per via México.

Libri come quelli sognati da Borges nella Biblioteca di Babele e nel Libro di sabbia sono, per così dire, veramente infiniti, nel senso che la nozione di infinito che racchiudono non è soltanto una metafora, come nel caso dei libri ciclici, o una potenzialità, come nei libri combinatori alla Queneau. Qui ci si confronta invece con un infinito matematico "attuale".
Si direbbe che l'infinito del primo libro descritto da Borges abbia la potenza del continuo (come i numeri reali), mentre il secondo sembra essere numerabile (come i numeri interi).
Nel bellissimo saggio Jeux finis et infinis del 2010 (edito in Italia da Dedalo nel 2012 col titolo Giochi finiti e infiniti), il matematico francese Jean Paul Delahaye ha fornito una definizione rigorosa di un libro infinito alla Borges.
Quello che Delahaye chiama l'"assioma dei libri infiniti" stabilisce infatti che:

ogni sottoinsieme infinito E dell'intervallo [0,1] dei numeri reali compresi fra 0 e 1 determina un libro infinito anch'esso chiamato E. A ciascun elemento x di E corrisponde un foglio x del libro E. Se x e y sono due elementi di E e x<y, allora il foglio associato a x si trova, nel libro E, davanti al foglio associato a y.

Questo principio consente di immaginare una grande varietà di libri infiniti, dato che a ogni sottoinsieme infinito dell'insieme dei reali compresi tra 0 e 1 corrisponde un libro infinito ben preciso, con proprie caratteristiche legate alle peculiarità del sottoinsieme stesso.
Vedremo nella seconda parte di questo post come sono fatti questi strani, affascinanti e mostruosi libri infiniti.

Carnevale della Matematica #76 su Notiziole di .mau.

Cosa fare in queste fresche e piovose giornate di metà agosto, che assomigliano più ad un umido e nebbioso ottobre che al nostro ideale di estate? Come trascorrere il tempo, visto che il meteo non invita a impiegarlo all'aperto, sulle spiagge o in passeggiate al lago o in montagna?
La risposta è ovvia: si legga il Carnevale della Matematica n. 76, ospitato dal Fondatore .mau. (anche noto come Maurizio Codogno) sulle sue Notiziole (con nome in codice Canta, canta nella luce).
Non tragga in inganno la relativa brevità del testo del post carnevalesco: i rimandi ai contributi sono numerosi e si ramificano in una meravigliosa fioritura di articoli, recensioni e materiale vario. Insomma, le vostre vacanze saranno piacevoli anche se il tempo è pessimo e dovete stare rintanati in casa: e meno male che c'è il Carnevale, quello che si festeggia in ogni mese dell'anno! (per inciso, perdonate il ritardo con cui recensisco la rassegna carnevalesca, ma chi conosce questo blog sa che accade spesso: non che essere recidivi renda meno grave il delitto, ma almeno lo rende meno sorprendente).
Il tema del Carnevale ferragostano di quest'anno, guarda un po', era "Matematica estiva", e come sempre alcuni dei partecipanti si sono adeguati e altri no (il sottoscritto, per esempio, no).
La rassegna, udite udite, si apre con un contributo proveniente proprio dal blog che state leggendo: quello su Edsger Dijkstra, per la serie dei premi Turing. Tutti gli altri suggerimenti sono di grande interesse, comprese alcune recensioni dei "librini" di Altramatematica, tra cui quelle proposte da Mr. Palomar.
Complimenti dunque a tutti i contributori nonché all'illustre "facilitatore" .mau.
L'appuntamento è al prossimo mese, quando il prestigioso evento carnevalizio sarà ospitato nientemeno che da questo blog. Proprio così: le pagine di Mr. Palomar accoglieranno il Carnevale della Matematica n. 77, con nome gaussian-popinghiano All’alba melodioso e con il tema Matematica mostruosa, spaventosa, vertiginosa.
Buon Carnevale a tutti!

Il calendario, la matematica e il Giorno del Giudizio

A tutti noi è capitato, almeno una volta nella vita, di conoscere dal vivo una persona, o un gruppo di persone, che ci erano note soltanto in modo indiretto: per esempio attraverso l'immagine diffusa dai mass media, o anche soltanto tramite le loro opere (nel caso si tratti di autori, artisti, scienziati, e così via).
Può succedere poi che il personaggio con il quale ci troviamo a tu per tu sia molto famoso, oppure qualcuno che apprezziamo molto, magari al punto di considerarci suoi fans. Quando ciò accade, l'incontro può diventare davvero memorabile, o per lo meno molto piacevole.

Per esempio, in quel territorio, a me molto caro, che sta all'intersezione tra la divulgazione scientifica e la matematica ricreativa, abitano tre persone che io stimo particolarmente, e che rispondono al nome di Rudi Mathematici.

Io i Rudi li avevo conosciuti inizialmente leggendo Le Scienze: per quei pochi che non lo sanno, da ormai sei anni sono gli autori di una quasi loro omonima rubrica di matematica ricreativa (loro forse non vorrebbero che io lo dicessi, ma in qualche modo le loro pagine raccolgono l'eredità dello spazio che fu di gente come Martin Gardner, Douglas Hofstadter e Ian Stewart).

 

La loro prestigiosa firma, una e trina, l'ho ritrovata poco tempo dopo anche sulla mitica "rivista fondata nell'altro millennio", vale a dire l'irrinunciabile e solluccheroso mensile in formato PDF che potete scaricare dal loro sito o ricevere comodamente per e-mail.
Leggendo le pagine de Le Scienze, quelle della loro rivista online, e (non dimentichiamocene) del loro "blog d'autore" ho sempre più apprezzato (o, dovrei forse ammettere, "invidiato"?) il loro modo speciale e inimitabile di raccontare la matematica.
Non avrei mai immaginato che a un certo punto (è accaduto poco più di un anno fa), qualcuno mi avrebbe chiesto di rinnovare la rubrica che, molti anni prima, i Rudi avevano curato sulla gloriosa rivista di astronomia Coelum: è così che ora, immeritatamente, scrivo di matematica ricreativa sull'ultima pagina di quel mensile.
Incoraggiato da questo incredibile avvenimento, qualche mese fa presi un po' di coraggio e osai chiedere ai miei idoli di rispondere a qualche domanda per questo blog: con grande gentilezza loro accettarono, e ne uscì questa intervista.
Lo scorso 11 maggio, l'apoteosi: a Torino, durante il Salone del Libro, finalmente incontrai di persona 2/3 dei mitici Rudi Mathematici. Come potete immaginare, un incontro che viene a maturarsi attraverso tappe di questo tipo diviene particolarmente significativo

Un altro motivo di affinità tra i sommi Rudi e il sottoscritto è il fatto di essere entrambi (forse dovrei dire tutti e quattro?) autori della collana Altramatematica di 40K.
Già, perché anche i Rudi hanno scritto uno dei librini della prestigiosa serie di e-book, intitolato Di 28 ce n'è 1.
Il titolo lascia intendere che si tratta di un libro sul calendario, o meglio, sulle questioni matematiche, spesso molto curiose e anche divertenti, che riguardano i calendari.
Per introdurlo, non c'è niente di meglio del "trailer" degli stessi autori:

Dalle Calende Greche (che non esistono) al 30 Febbraio (che invece è esistito); dalle invidie degli imperatori romani che volevano mesi non meno lunghi di quelli dei loro predecessori alle complicate decisioni conciliari sulla Pasqua e sull’Epatta; dalla cancellazione occidentale di dieci giorni nel 1582, alla proibizione orientale dei calendari nel Giappone medievale; dalla Genesi che cita la settimana nei suoi primi versi, al Giorno del Giudizio (inventato da un matematico). Un viaggio per scoprire quale sia il giorno bisestile (no, non è il 29 Febbraio), o perché la Rivoluzione d’Ottobre sia capitata a Novembre, o, più semplicemente, per scoprire quanto sia difficile contare anche solo da 1 a 365.

Inutile dire che il libro è scritto davvero bene, come i Rudi sanno fare, e si lascia leggere con grande facilità e piacevolezza. Scorrendo le sue pagine (elettroniche, ovviamente) si scoprono cose davvero interessanti: per esempio la storia del 30 febbraio (che è davvero esistito in una certa nazione e in un certo anno), il millenario dilemma tra calendari solari, lunari, lunisolari e chi più ne ha più ne metta, o l'algoritmo del Giorno del Giudizio, inventato da quel geniaccio di John Conway, e comodissimo per determinare in che giorno della settimana cada una certa data.
Insomma, cosa aspettate a scaricarlo e a leggerlo? La vostra estate sarà molto più ricca e gradevole.

Colgo l'occasione per elogiare e ringraziare di cuore i Rudi per aver promosso il loro libro senza mai dimenticare i titoli di tutti i "colleghi di collana", e di avere quindi citato anche il sottoscritto sul blog de Le Scienze e sull'ultimo numero della rivista che prende il nome dallo stesso trio, dove mi hanno voluto dedicare una recensione per me bellissima, della quale cito le ultime (per me commoventi) parole:
La matematica sta dappertutto, nella mente irrequieta di Barrett, nell’obiettivo del fotografo di Ummagumma, ma anche nella matita smozzicata dello scolaro, nella scarpa del centravanti in televisione, nella Luna che tramonta a Ovest e nel DNA della portinaia che rientra dal supermercato. Paolo Alessandrini l’ha tirata fuori dai Pink Floyd, e il merito è tutto suo: molto più che di Barrett, Waters, Gilmour, Wright e Mason.

Non contenti, i Rudi hanno menzionato tutti gli autori di Altramatematica addirittura sulle sacre pagine cartacee della rivista di divulgazione scientifica più importante d'Italia. Prova ne è l'immagine qui a fianco, tratta dal numero di luglio, di fronte alla quale ancora oggi, diverse settimane dopo, mi scopro ancora incredulo, e mi chiedo se sono proprio io quell'Alessandrini che viene citato, oppure se si tratti, molto più probabilmente, di un omonimo autore di libri di "matematica pop". Che strana coincidenza, però!

La narrativa di "Altramatematica"

L'estate è per molti una stagione tradizionalmente dedicata a passatempi rilassati, a occupazioni che distolgano la mente, a letture non impegnative. E quando si dice "letture non impegnative", il più delle volte si intendono romanzi e racconti, non saggi. Insomma, narrativa.
Secondo queste premesse, la tanto amata (almeno da me e dagli amici autori) collana Altramatematica si direbbe una collana poco estiva. Ma non è affatto vero. A parte il fatto che (per fortuna) molti lettori prediligono libri di divulgazione anche nella stagione estiva, Altramatematica vanta, tra tanti e-book di saggistica, anche tre titoli di narrativa. Del terzo scriverò più avanti: qui vorrei parlarvi dei primi due.

Il primo, Partition, è, per essere precisi, un testo teatrale, scritto da Ira Hauptman e tradotto da Martha Fabbri per 40K. La trama ruota attorno all'incontro che esattamente un secolo fa, a Cambridge, segnò la storia della matematica del Novecento: il matematico inglese Godfrey Harold Hardy conobbe l'indiano Srinivasa Ramanujan, in quello che il primo definì "l'unico incidente romantico" della sua vita.
La pièce di Hauptman è un bellissimo esempio di teatro matematico, che si legge molto piacevolmente: ai due protagonisti si affiancano Alfred Billington, amico di Hardy; e un Pierre de Fermat in versione del tutto inedita e fantasiosa.

Se al teatro preferite i racconti, ma non volete rinunciare allo sfondo matematico, non potete perdervi Racconti matematici, di Spartaco Mencaroni. Per chi non lo sapesse, Spartaco è un medico specializzato in medicina preventiva, ma la sua grande passione è la scrittura. Il suo blog Il coniglio mannaro è una vera miniera di idee geniali, di storie ricche di perizia compositiva, di fantasia e di grande apertura intellettuale. Fatevi ogni tanto un giro su quel blog: non vi deluderà.
Il librino che Spartaco ha pubblicato per Altramatematica contiene due racconti: il primo, intitolato Sulle fragili ali della bellezza, tratta la vertiginosa idea dell'infinito matematico, osservandola con gli occhi di un professore del Settecento che non riesce a comprendere il nuovo (per l'epoca) concetto degli infinitesimi, e per questo motivo rischia di diventare pazzo. Il secondo racconto è, a mio modesto parere, un piccolo capolavoro: in un contesto simil-fantascientifico, è l'avventurosa storia dell'esplorazione di una struttura frattale, detta spugna di Menger. Detto così sembra cosa noiosa, quando in realtà la storia lascia davvero senza fiato e conquista il lettore con sapiente ritmo e intelligenza narrativa. Come recita il trailer: "Immergiti in un racconto matematico, ma fai attenzione, potresti non trovare più l'uscita!"
Buone letture (matematiche) sotto l'ombrellone!

I premi Turing: Edsger Dijkstra

Siete i soddisfatti possessori di un'auto sportiva fiammante con l'ultimo modello di navigatore satellitare touchscreen a bordo? Non vi separereste mai dal vostro smartphone e in particolare dall'app di navigazione, che ormai usate anche per percorrere strade ormai ben conosciute? Prima di intraprendere un viaggio qualsiasi, consultate sempre Google Maps e date un'occhiata al luogo di destinazione utilizzando Street View? Be', se è così, sappiate che la persona che dovete ringraziare più di ogni altra non è né l'amministratore delegato dell'azienda costruttrice della vostra macchina, né quello della compagnia che ha prodotto il vostro telefono, e nemmeno i fondatori di Google.

No, il vero artefice delle meraviglie che amate tanto è un signore olandese nato a Rotterdam nel 1930 e scomparso dodici anni fa.
Il suo nome, Edsger Wybe Dijkstra, è noto a tutti gli informatici per il celebre algoritmo che, in modo molto semplice ed elegante, consente di determinare il percorso più breve esistente tra un punto di partenza e un punto di arrivo su una rete di strade.

Figlio di un chimico e di una matematica, al liceo Edsger eccelleva in tutte le materie scientifiche, ma curiosamente era intenzionato a iscriversi alla facoltà di giurisprudenza. Furono i suoi genitori e i suoi insegnanti a convincerlo (per nostra fortuna, verrebbe da dire) a dedicarsi agli studi scientifici, e fu così che studiò fisica teorica all'università di Leida.
Nel 1951 frequentò un corso di programmazione a Cambridge, in Inghilterra. Per il giovane Edsger fu un'esperienza entusiasmante, che lo segnò in modo decisivo: pochi mesi dopo iniziò a lavorare come programmatore al Dipartimento di Informatica del Mathematical Centre di Amsterdam.
Nel 1956 si laureò in fisica, e nello stesso anno ideò il famoso algoritmo del cammino minimo, che sarebbe stato pubblicato tre anni dopo nell'articolo A note on two problems in connection with graphs (il secondo problema trattato, per la cronaca, era un'altra questione di teoria dei grafi: il problema del minimo albero ricoprente).
Sempre nel 1959 ottenne il Ph.D. all'Università di Amsterdam per la sua tesi intitolata Communication with an automatic computer.

Pare che quando Dijkstra si sposò, nel 1957, la burocrazia olandese non accettò che venisse scritta la misteriosa parola "programmatore" nella casella dedicata alla professione: così il neo-sposo optò per la più comprensibile dicitura "fisico teorico". Altri tempi.
Negli anni successivi, Dijkstra fu l'artefice di molte altre innovazioni cruciali per la storia del'informatica moderna: contribuì in modo determinante allo sviluppo del linguaggio ALGOL-60, e vi introdusse un costrutto apposito per la ricorsione; fu il primo a utilizzare il termine "stack", oggi comunissimo tra tutti gli informatici.
Nel 1962 divenne professore di matematica all'Università di Tecnologia di Eindhoven. Dieci anni dopo vinse il prestigioso premio Turing. Nel 1973 fu nominato Research Fellow alla Burroughs Corporation. Dal 1983 al 1999 insegnò informatica all'Università di Austin, in Texas.

Dijkstra è oggi considerato uno dei mostri sacri della storia della teoria degli algoritmi e della programmazione strutturata, e scrisse numerosi libri e articoli su questi temi.
Molteplici sono le sue scoperte, al di là del celebre algoritmo del cammino minimo: tra queste citerò l'algoritmo "shunting-yard", utilizzato per analizzare espressioni matematiche in notazione infissa, il pionieristico sistema operativo "THE", che supportava il multitasking ed era elegantemente strutturato come una "pila" di strati, il famoso algoritmo del banchiere e il geniale concetto di "semaforo", croci e delizie di ogni studente dei corsi di sistemi operativi.
Fu sempre Dijkstra a rendersi conto che, nei linguaggi di programmazione di alto livello, l'istruzione GOTO (che permette di saltare da una riga a un'altra all'interno di un programma) non è compatibile con una buona strutturazione del programma: nel 1968 scrisse l'articolo A case against the GO TO statement, che sosteneva questa tesi. Un altro settore di ricerca approfondito dall'informatico olandese fu quello della verifica formale della correttezza degli algoritmi.
Per tutti questi fondamentali contributi Dijkstra fu insignito del premio Turing nel 1972: ma certamente il suo elegante algoritmo del cammino minimo rappresentò il suo successo maggiore e il motivo della sua elevatissima reputazione nel mondo dell'informatica. Come funziona questo celebre algoritmo?

Immaginiamo di avere un grafo come quello illustrato in figura, formato da nodi e da archi. Ogni arco è contraddistinto da un valore numerico chiamato peso.
Un grafo come questo potrebbe rappresentare una rete di strade percorribili per viaggiare da un punto all'altro. In questo caso il peso di un arco sarà indicativo della lunghezza della tratta stradale che l'arco rappresenta, oppure del tempo necessario a percorrerla.
Supponiamo di voler applicare l'algoritmo di Dijkstra per spostarci dal punto A al punto F.
Il metodo di Dijkstra mantiene, in ogni istante dell'esecuzione, tre insiemi distinti di nodi della rete:
l'insieme V dei nodi visitati, l'insieme F dei nodi di frontiera, e l'insieme S dei nodi sconosciuti.
Per ogni nodo z, l'algoritmo tiene traccia di un valore (provvisorio) di distanza dal punto di partenza, d_z, e del predecessore (provvisorio) del nodo stesso, p_z.
All'inizio l'insieme V è vuoto, F è formato dal solo nodo di partenza A, e tutti gli altri nodi sono in S. Tutte le distanze d_z sono inizialmente considerate infinite (ad eccezione di quella del nodo di partenza A, posta a zero), e i predecessori p_z vengono considerati ignoti.
L'algoritmo consiste nel ripetere a ciclo continuo la seguente serie di operazioni. Si sceglie dall'insieme F il (o un) nodo z con distanza d_z minima, si sposta il nodo z nell'insieme V, e si spostano in F tutti i nodi ancora sconosciuti che sono successori di z (cioè che sono collegati a z). Per ciascuno di questi nodi successori viene calcolato un possibile nuovo valore della distanza, pari a d_z + a, dove a è il peso dell'arco che collega z con il nodo considerato. Se questo possibile nuovo valore è minore del precedente, esso viene "ufficializzato", e il predecessore del nodo viene aggiornato a z. In caso contrario, non succede nulla, e si passa al successivo dei nodi successori.

Da cs-exhibitions.uni-klu.ac.at

Quando i nodi successori sono terminati, si ripete la serie di operazioni allo stesso modo, e si prosegue così finché il nodo di destinazione F non risulta visitato, o finché l'insieme di frontiera non si svuota completamente. In quest'ultimo caso avremo capito che F non è raggiungibile partendo da A, altrimenti alla fine avremo compilato per tutti i nodi del grafo i valori di distanza e i predecessori.
Lascio ai lettori l'onore e l'onere di applicare il metodo illustrato al grafo in figura: vedrete che tutto sommato è divertente.

Dijkstra è famoso anche per una sua curiosa abitudine: amava scrivere, con la sua inseparabile penna stilografica, brevi memorie scientifiche, lettere e resoconti a mano, e le etichettava con il prefisso "EWD" (le sue iniziali) seguito da un numero d'ordine. L'archivio dell'Università del Texas ha catalogato più di 1300 documenti “EWD".
Un altro particolare passatempo di Dijkstra era quello di raccontare, anche all'interno dei suoi "EWD", le vicende di un'azienda immaginaria, la Mathematics Inc., il cui business era quello di provare teoremi matematici e poi metterli sul mercato, mantenendo però segreta la dimostrazione. Secondo i fantasiosi racconti di Dijkstra, nel catalogo dei prodotti della società vi era anche l'ipotesi di Riemann: uno dei principali problemi che l‘azienda doveva fronteggiare era la riscossione delle royalties dai matematici che utilizzavano l'ipotesi di Riemann come base di partenza per dimostrare altri teoremi.