In matematica, una relazione tra due insiemi A e B si definisce solitamente come un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B. Alla maggior parte delle persone una simile definizione può sembrare piuttosto misteriosa. Detto in modo equivalente, una relazione tra A e B non è altro che un elenco qualsiasi di coppie ordinate di tipo (a, b), dove a è un elemento dell'insieme A e b è un elemento dell'insieme B.
Per esempio, se A è l'insieme formato dai numeri -9, -5, 1 e 7, e B è l'insieme formato dai numeri 1, 4, 5 e 8, possiamo definire (si veda la figura a fianco) una relazione R costituita dalle coppie (-9, 1), (-5, 5), (1, 8), (7, 1) e (7, 4).Per mostrare un esempio dotato di un significato più concreto, immaginiamo un insieme A costituito dalle persone che leggono libri e un insieme B formato dai libri. Una relazione che lega i due insiemi è la collezione delle coppie ordinate (lettore, libro) che vengono stabilite quando l'elemento "lettore" ha letto l'elemento "libro". Così, io sono un elemento di A e sono presente in tante coppie ordinate della relazione quanti sono i libri che ho letto. Nella relazione ci sarà, per esempio, una coppia (Paolo Alessandrini, "Grammatica della fantasia"). Ma ci saranno tantissime altre coppie ordinate aventi la "Grammatica della fantasia" come secondo elemento: tante quante sono le persone che hanno letto quel libro.
Cosa c'entra tutto questo discorso sulle relazioni con Gianni Rodari (a parte l'esempio sopra)?
C'entra perché, nel più volte citato capitolo 37 della "Grammatica", Rodari mostra diversi esempi di relazioni.
Ecco un esempio divertente:
Il direttore didattico Giacomo Santucci, di Perugia, domanda regolarmente agli scolari di prima classe: - Tu hai un fratello? - Sì- - E tuo fratello ha un fratello? - No, è la bellissima e recisa risposta, nove volte su dieci.
In questo caso A e B sono lo stesso insieme, ovvero l'insieme delle persone. La relazione descritta è il legame di fraternità: la coppia (Anna, Giovanni) vi appartiene se i due elementi Anna e Giovanni sono fratelli. È evidente che si tratta di una relazione simmetrica, perché se Anna ha Giovanni come fratello, allora Giovanni ha Anna come sorella.Invece, per esempio la relazione "sono figlio/a di" non è simmetrica.
È curioso notare come la simmetria, intesa in senso più generico, caratterizzi persino le date di nascita e morte di Rodari: 1920 e 1980, anni posti in modo simmetrico rispetto alla metà del Novecento. Ma qui rischio di scadere nella numerologia e quindi la smetto subito.
Altre due proprietà che una relazione può possedere sono la riflessività (che si ha quando qualsiasi elemento a è in relazione con se stesso) e la transitività (che si ha quando dal fatto che a è in relazione con b e b è in relazione con c, consegue che a è in relazione con c).
Quando una relazione è simmetrica, riflessiva e transitiva prende il nome di relazione d'equivalenza.
Se invece una relazione possiede le proprietà riflessiva e transitiva, ma anziché essere simmetrica è antisimmetrica (cioè se a è in relazione con b, allora b non è in relazione con a, a meno che i due elementi non siano uguali tra di loro), la relazione viene chiamata relazione d'ordine.
I classici esempi sono offerti dalle relazioni "minore o uguale di" e "maggiore o uguale di" (il lettore potrà divertirsi a verificare che queste relazioni soddisfano davvero le tre proprietà riflessiva, transitiva e antisimmetrica).
Rodari, sempre nel fatidico capitolo 37, allude alle relazioni d'ordine più volte, parlando di confronti di natura quantitativa tra oggetti, persone o luoghi ("a è più piccolo di b", "x è più basso di y", "m è più grasso di n" e così via). Anche nella fiaba "Pesa-di-più e Pesa-di-meno", tratta dalla raccolta "Venti storie più una" del 1969, si utilizzano relazioni d'ordine, questa volta legate al peso delle persone.
Tutto questo ha a che vedere anche con il concetto di misura, ma su questo tornerò più avanti, riprendendo anche la fiaba che ho appena citato.
Nessun commento:
Posta un commento